第二章 静电场中的导体
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电磁学02静电场中的导体与介质
A q -q
-q+q
UA
q'
4 0 R0
q ' 4 0R1
q q '
4 0 R2
0
可得 q ( q) 1(9略)
例4 接地导体球附近有一点电荷,如图所示。
求:导体上感应电荷的电量
R
解: 接地 即 U0
o
感应电荷分布在表面，
l
q
电量设为:Q’（分布不均匀！）
由导体等势，则内部任一点的电势为0
选择特殊点：球心o计算电势，有：
1) Dds
S
1 (
r
1) q0内
l i mq内
V0V
1 (
r
1) limq0内 V0V
1 (
r
1)0
00 0。 40
[例2] 一无限大各向同性均匀介质平板厚度为 d
表明：腔内的场与腔外(包括壳的外表面)
物理 内涵
的电荷及分布无关。
在腔内 E 腔 外表 E 腔 面外 0带
电 量 的电 体 的
二.腔内有带电体时
q
① 带电量： Q腔内 q （用高斯定理易证）
表面
23
② 腔内的电场： 不为零。
由空腔内状况决定，取决于：
*腔内电量q；
*腔内带电体及腔内壁的 几何因素、介质。
平行放置一无限大的不带电导体平板。
0 1 2 求：导体板两表面的面电荷密度。
E２ • E１ 解: 设导体电荷密度为 1、 2 ，
E0 电荷守恒： 1 + 2 = 0
(1)
导体内场强为零：E0 +E1‐E2 = 0
0 1 2 0 20 20 20
（1）、（2）解得：
[理学]第2章 静电场与物质的相互作用2
![[理学]第2章 静电场与物质的相互作用2](https://img.taocdn.com/s3/m/f4703b09b4daa58da0114a7c.png)
1. 导体是一个等势体，导体表面是一个等势面。
2. 靠近导体表面外侧处的电场场强处处与表面相垂直。
二、静电平衡导体上的电荷分布
处于静电平衡状态的导体，其电荷分布有以下特点：
导体内，体电荷密度处处为零，电荷只分布在导体表面 上。
导体表面上的面电荷密度σ与该处表面处的场强E在数 值上成比例，即σ=ε0E。
问题的由来：
由若干带电导体组成的带电系统，虽不能通过面电荷分布来 确定电场分布，但只要通过改变带电导体的形状、大小、导 体之间的相对位置以及调控各导体的电势或电量，就可以得 出我们所要求的各种空间电场。
除了由电荷分布能够唯一地确定电场外，从静电场遵 守的普遍性质——高斯定理和环路定理出发，通过给 定各个导体的形状、大小、导体之间的相对位置、各 个导体的电势或电量以及包围电场空间的边界面上的 电势后，能否保证由带电导体组成的带电系统的电场 有唯一确定的解存在呢？
孤立导体表面的面电荷密度σ与所在处表面曲率有关： 表面凸出而尖锐（曲率大） 表面平坦（曲率小） 表面凹进去（曲率为负） 大 σ 小
由于E ∝σ导体尖端附近场强强，平坦的地方次之，凹进去的 地方最弱。导体尖端附近的场强特别强，可导致尖端放电。
三、导体壳与唯一性定理
1. 导体壳静电平衡时的基本性质
一个壳内无带电体的导体壳，不管是由于自身带 电还是在外电场中，静电平衡时都具有以下基本性质： ① ② 导体壳的内表面上处处无电荷，电荷只 能分布在外表面； 空腔内无电场，仍是等势体。
对于导体壳的空腔内有其他带电体的情况： 当静电平衡时，导体壳的内表面上将会有电荷。
Qinnerface qi Qouterface qself qi
i i
应用举例：
赵凯华-电磁学-第三版-第二章-静电场中的导体和电介质
R2 R1 R0
解： 1)导体电荷只分布在表面上 球A的电荷只可能在球的表面
B
Q
Aq
o
壳电B荷有可两能个分表布面在内、外两个表面R（2具体R1分布？）R0
由于A、B同心放置
带电体系具有球对称性
电量在表面上均匀分布（满足E内＝0要求）
电量在表面上均匀分布 Q q
电量q在球A表面上均匀分
R 1
4 0
9109 m 103 RE 1F
106 F
法拉单位过大, 常用单位: 1nF 109 F
1pF 1012 F
二.导体组的电容
由静电屏蔽:导体壳内部的电场只由腔内的电 量和几何条件及介质决定电位差仅与电荷 Q，几何尺寸有关，不受外部电场的影响，可
以定义电容。
UB
E dr
R2
4 0r R2 4 0 R2
例3 如图所示，接地导体球附近有一点电荷 。
求:导体上感应电荷的电量
解: 接地，即 U 0
设:感应电量为 Q
R
由于导体是个等势体
O
l
q
O点的电势也为零 ，则
Q q 0 40 R 40l
Q Rq l
腔内无电场，E腔内＝0 腔内电势处处相等
S
证明: 在导体壳内紧贴内表面作高斯面S
E ds 0 高斯定理 S
Qi 内表面 0
1.处处没有电荷
与等位矛盾 证明了上述 两个结论
2.内表面有一部分是正 则 会 从 正 电 荷 向 负 电荷，一部分是负电荷 电荷发出电力线
这就是物质对静电场的响应---第二章的研究内容：电场中的导体感应、 电解质极化， 并且分析感应、极化电荷对静电场的影响---静电场与物质的 相互作用(影响)
第二章(静电场中的导体和介质)
§2.1导体
导体（conductor）：存在大量的可自由移动的 电荷，包括金属、电解液、等离子体、超导体。 导体放入静电场后，二者产生相互作用：导体 中的自由电荷在静电场的作用下，会重新分布； 静电场会受到导体中自由电荷的影响而发生变化。 我们这里只讨论金属导体，所得结论有的也适 用于其它导体。
一、静电平衡
E
E0
二、导体空腔
静电平衡条件下，导体空腔除了具有一般导 体的基本性质外 ，还有一些特殊的性质，分两种 情况： 1、腔内无电荷： （1）空腔的内表面不存在电荷； （2）腔内无电场； （3）腔内电位为常数。 因外部电场、电荷对腔内无影响，因此具有保 护内部空间的作用。
2、腔内有电荷： （1）导体空腔的内表面上的电荷与腔内的电 荷等值异号； （2）腔内的电场与电位分布都由腔内电荷决 定； （3）腔内表面电荷分布与腔外情况无关，整 个空间的电场和电位分布都受腔内电荷 影响； （4）将空腔外壁接地，腔外电场及电位分布 不受腔内电荷影响。
P分子 V
V 0
（2）电极化强度矢量通量 由于电介质发生极化后，在电介质的内 部或边界表面上出现极化电荷，所以电极化 强度矢量与极化电荷之间存在相互联系。 可以证明：闭合曲面的电极化强度矢量 通量等于该闭合曲面内的极化电荷的负值。
即： P dS q
S 内
（2）电极化类型： 当电介质受到外电场的作用时，要在电介质 的内部或电介质的边界上出现极化电荷，称 为电介质的极化，简称电极化。电极化有两 种类型：位移极化和取向极化。 无外场时：
有极分子 无极分子
有外场时: （a）有极分子电介质，主要是取向极化 ，也 有位移极化。 （b）无极分子介质，只有（电子）位移极化。
D o E o E o (1 )E
静电场中的导体
静电场中的 导体
一、导体的静电平衡条件
+
++++ + + + +
感应电荷
静电平衡条件
导体 内部 的场
E0
E E0 E'
E'
静电平衡时
E E' E0
E E0 E' 0
外场
E0
•静电平衡条件： 导 感应场 E '
体内部场强为0。
导体内部的场 E
二、处于静电平衡的导体的性质
1.静电平衡时导体为等势体，导体表面 为等势面。
R2 R3
(1)球壳B内、外表面上的电量及球A和球壳B的电势
(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金 属球A和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B的电势
• 例:有一块大金属平板,面 积为S,带有总电量Q,在 其近旁平等放置第二块 大金属板,此板原来不带 电.求静电平衡时,金属板 上的电荷 分布及其空间
如尖端放电
三、静电空腔内表面无电荷,全部电 荷分布于外表面。
证明：在导体内作高斯面
S
E
dS
q
0
导体内 E 0, q 0
面内电荷是否会等量异号？
如在内表面存在等量异号 电荷，则腔内有电力线， 电势沿电力线降落，所以 导体不是等势体，与静电 平衡条件矛盾。
所以内表面无电荷，所有电荷分布于外表 面。
• 不管外电场如何变化，由于导体表面电 荷的重新分布，总要使内部场强为 0。
• 空腔导体具有静电屏蔽作用。例如：高 压带电作业人员穿的导电纤维编织的工 作服。
2.腔内有电荷
空腔原带有电荷 Q ，将 q 电荷放入空腔内。 结论：
一、导体的静电平衡条件
+
++++ + + + +
感应电荷
静电平衡条件
导体 内部 的场
E0
E E0 E'
E'
静电平衡时
E E' E0
E E0 E' 0
外场
E0
•静电平衡条件： 导 感应场 E '
体内部场强为0。
导体内部的场 E
二、处于静电平衡的导体的性质
1.静电平衡时导体为等势体，导体表面 为等势面。
R2 R3
(1)球壳B内、外表面上的电量及球A和球壳B的电势
(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金 属球A和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B的电势
• 例:有一块大金属平板,面 积为S,带有总电量Q,在 其近旁平等放置第二块 大金属板,此板原来不带 电.求静电平衡时,金属板 上的电荷 分布及其空间
如尖端放电
三、静电空腔内表面无电荷,全部电 荷分布于外表面。
证明：在导体内作高斯面
S
E
dS
q
0
导体内 E 0, q 0
面内电荷是否会等量异号？
如在内表面存在等量异号 电荷，则腔内有电力线， 电势沿电力线降落，所以 导体不是等势体，与静电 平衡条件矛盾。
所以内表面无电荷，所有电荷分布于外表 面。
• 不管外电场如何变化，由于导体表面电 荷的重新分布，总要使内部场强为 0。
• 空腔导体具有静电屏蔽作用。例如：高 压带电作业人员穿的导电纤维编织的工 作服。
2.腔内有电荷
空腔原带有电荷 Q ，将 q 电荷放入空腔内。 结论：
静电场中的导体
'
'
13
电偶极矩： 斜柱体的体积：
' ql Sl V Sl cos
电极化强度矢量的大小： p
' p cos pn
3、电介质的极化规律，极化率：
' V cos
p
极化强度矢量与该点的合场强有关，并与介质有关 对大多数各向同性电介质
2、电容器及其电容： 平板电容：
同轴柱形电容器 设 长 为 l
s c 0 d
C AB
qA U A UB
带电量为 q 外半径为 RB
8
内半径为 RA 则 q l
L
E 2 0 r B U AB E dl
A
RB
q c 2 0 U AB
同心球形电容器
1.0 102 m 处的电势
3、把点电荷移开球心，导体球壳的电势是否变化？
10 4 . 0 10 解：1、 V 9 109 40 R2 3.0 10 2
q
+q
-q
120v
2、定义
R1
+q
V1
R1
q 4 0 r
2
r1
dr
R2
q 4 0 r
0
s
E
0
2
尖端放电的实质 三、静电屛蔽：
+
+ + + + +
+ +
四、导体存在时静电场的计算： 例1、金属板面积为S，带电量为 Q。近旁平行放置第二块不 带电大金属板。 1、求电荷分布和电场分布；
第二章 静电场中的导体和电介质：电容器的电容
D 0 E P 0 r E E
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
第二章-静电场与导体
第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
静电场中的导体
E2 4 0 r 2
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
静电场中的导体和电介质
2.1.1 导体的静电平衡条件 当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时，则该带电体系达到了静电平衡。 均匀导体的静电平衡条件就是其体内场强处为0。 从导体静电平衡条件还可导出以下推论： （1）导体是个等位体，导体表面是个等位面。 （2）导体以外靠近其表面地方的场强处处与表面垂直。
2.2.3 电容器的并联、串联 （1） 并联 电容器并联时，总电容等于个电容器电容之和。 (2) 串联 电容器串联后，总电容的倒数是各电容器电容的到数之和
2.2.4 电容器储能（电能） 设每一极板上所带电荷量的绝对值为Q,两极板间的电压为U,则电容器储存的电能 从这个意义上说，电容C也是电容器储能本领大小的标志。
（2）极化电荷的分布与极化强度矢量的关系 以位移极化为模型，设想介质极化时，每个分子中的正电“重心”相对负电“重心”有个位移l。用q代表分子中正、负电荷的数量，则分子电矩P分子=ql。设单位体积内有 n个分子，则极化强度矢量P=np分子=nql。
取任意闭合面S,根据电荷守恒定律，P通过整个闭合面S的通量应等于S面内净余的极化电荷∑q′的负值 ，即 这个公式表达了极化强度矢量P与极化电荷分布的一个普遍关系。
（3）库仑平方反比率的精确验证 用实验方法来研究导体内部是否确实没有电荷，可以比库仑扭秤实验远为精确的验证平方反比律。 卡文迪许的验证实验装置见教材中图2-11。实验时，先使连接在一起的球1和壳3带电，然后将导线抽出，将球壳3的两半分开并移去，再用静电计检验球1上的电荷。反复实验结果表明球1上总没有电荷。
（1） 平行板电容器 平行板电容器由两块彼此靠得很近的平行金属极板组成。设两极板A、B的面积为S , 带电量分别为±q , 则电荷的面密度分别为 ±σe =±q/S 根据式（2.1），场强为 E = σe/ε0 ， 电位差为 根据电容的定义
静电场中的导体和电介质电磁学
静电屏蔽
如前所述,导体壳的外表面保护了它所 包围的区域,使之不受导体壳外表面上的 电荷或外界电荷的影响,这个现象称为静 电屏蔽.
图2.12 <a> 腔内无电 荷
图2.12 <b>腔内有电荷
图2.12 <c> 导体腔接
图2.12 <d> c的等效图
地
图2.12 静电屏蔽
〔3〕静电场边值问题的唯一性定理
其中任意两导体之间都有电容,但并不完全取决 于自己的几何形状和相对位置,与周围其他导
§2.4 静电场中的电介质
1、电介质的极化 2、极化强度与退极化场 3、电介质的极化规律
§2.4.1 电介质的极化
1、电介质〔dielectrics〕 是绝缘体,内部大量的束缚电荷. 与导体和静电场的相互作用,既有相似之 处,但也有重要差别.
第二章 静电场中的导体和电介质
第二章 静电场中的导体和电介质
§2.1 物质的电性质 §2.2 静电场中的导体 §2.3 电容和电容器 §2.4 静电场中的电介质 §2.5 电介质中静电场的基本定理 §2.6 边值关系和有介质存在时的唯一性
定理
§2.1 物质的电性质
1、 导体、绝缘体与半导体 2、 物质的电结构
由于空气中存在离散的自由电荷,永电体 表面上的极化电荷会吸引一些自由电荷 而最终会被中和失去作用.
2、极化率与相对介电常数
设平行板电容器未填充电介质时极板间的场强
为E0<外场>,填充电介质后电场为E,由介质极
化规律知,介质极化强度为： P 0 E
与电容器正极板相对的介质表面有极化电荷面
密度：' P•nP,与负极板相对的介质表
§2.1.1 导体、绝缘体与半导体
如前所述,导体壳的外表面保护了它所 包围的区域,使之不受导体壳外表面上的 电荷或外界电荷的影响,这个现象称为静 电屏蔽.
图2.12 <a> 腔内无电 荷
图2.12 <b>腔内有电荷
图2.12 <c> 导体腔接
图2.12 <d> c的等效图
地
图2.12 静电屏蔽
〔3〕静电场边值问题的唯一性定理
其中任意两导体之间都有电容,但并不完全取决 于自己的几何形状和相对位置,与周围其他导
§2.4 静电场中的电介质
1、电介质的极化 2、极化强度与退极化场 3、电介质的极化规律
§2.4.1 电介质的极化
1、电介质〔dielectrics〕 是绝缘体,内部大量的束缚电荷. 与导体和静电场的相互作用,既有相似之 处,但也有重要差别.
第二章 静电场中的导体和电介质
第二章 静电场中的导体和电介质
§2.1 物质的电性质 §2.2 静电场中的导体 §2.3 电容和电容器 §2.4 静电场中的电介质 §2.5 电介质中静电场的基本定理 §2.6 边值关系和有介质存在时的唯一性
定理
§2.1 物质的电性质
1、 导体、绝缘体与半导体 2、 物质的电结构
由于空气中存在离散的自由电荷,永电体 表面上的极化电荷会吸引一些自由电荷 而最终会被中和失去作用.
2、极化率与相对介电常数
设平行板电容器未填充电介质时极板间的场强
为E0<外场>,填充电介质后电场为E,由介质极
化规律知,介质极化强度为： P 0 E
与电容器正极板相对的介质表面有极化电荷面
密度：' P•nP,与负极板相对的介质表
§2.1.1 导体、绝缘体与半导体
静电场中导体
q
S内
i
0
由于高斯面 S 可取得任意小，所以导 体内无净电荷分布。
2. 静电平衡导体， 其表面附近场强的大 ---- - - E S P 小与该处表面的电荷 面密度成正比。 + +S ' + +
+ + ++ + + ++ + +
S '
dS E dS E dS E dS E S S ' 侧面
1. 孤立带电导体接地时，为什么所有 电荷会流向地球？
2. 地球的电势为何视为零？
Q R q r
1 Q VR 40 R
尖端放电现象：
+ + + + +
避害：避雷针的使用等。
趋利：电焊，静电喷漆， 电子点火等。
§13-4 空腔导体内外的静电场 静电屏蔽
一、空腔导体内外的静电场 1. 空腔内没有电荷 空腔内没有电荷时，电荷只能分布 在导体外表面。空腔内没有电场分布。
P
σ
3. 孤立导体静电平衡时,表面曲率越 大的地方,电荷面密度越大。
+ + + + + + + + + + + +
以下例定性说明。
例: 设有两个相距很远的带电导体球， 半径分别为 R 和 r (R >r)，用一导线将两 球相连, 哪个球带电量大？哪个球的面电 荷密度大？
R
Q
r q
R 解：设系统达到静电平衡时，两球的 带电量分别为Q 和 q , 两球的电势
静电场中的导体
物理学
势面。
1.2 静电平衡导体上的电荷分布
（1）导体内部各处的净电荷为零， 电荷只分布在导体的表面
如下图所示，由于导体内的电场强度E处处为零，所以通 过导体内任意高斯面的电通量为零，即
S E dS 0
根据高斯定理可知，此时高斯面 所包围的电荷量的代数和必然为零。 因为此高斯面是任意的，因此可得上 述表述是正确的。
若把金属导体放在外电场中，导体内部的自由电子在电 场力的作用下作宏观定向运动，从而使导体内正负电荷重新 分布。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈 现出的带电现象，称为静电感应现象。
2．静电平衡条件
如下图所示，在电场强度为E0的匀强电场中放入一块金 属板。在电场力的驱动下，金属内部的电子逆着外电场的方
E dS E dS+ E dS+ E dS
S
上底
ห้องสมุดไป่ตู้
下底
侧面
E S +0 S +E S cos E S 2
此高斯面包围的净电荷为σΔS，根据高斯定理有
所以
ES S 0
E0
由上式可知，在静电平衡时，导体表面上各处的面电荷密 度与该表面外附近处的场强的大小成正比。
（3）孤立的导体处于静电平衡时，它的表面 各处的电荷面密度与各处表面的曲率有关，曲 率越大的地方，电荷面密度越大
对于腔内有带电体的空腔导体，如右图所示，空腔内表面 必定带有与腔内带电体等量异号的电荷，外表面带有与腔内带 电体等量同号的电荷。若导体接地，则空腔内带电体的电荷变 化将不再影响导体外的电场。
如下图所示，对于在腔内带电体的空腔导体外还有一带 电体B，由于静电感应，空腔导体外表面上的电荷及其带电 体B上的电荷将重新分布。静电平衡时，空腔导体有如下特 点：
电磁学第二章
2 3 法3，作如图高斯面有：
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
电磁学课件
§2-2 电容与电容器A capacitor can be "charged" and can store charge.⇨电荷在导体表面的分布必须保证满足导体的静电平衡条件。
⇨对于孤立导体，电荷在导体表面的相对分布情况由导体的几何形状唯一确定，因而带一定电量的导体外部空间的电场称为孤立导体的电容。
由半径决定．若把地球作为一个孤立导体球，其电容也可由上式决定。
对于两个导体组成的导体组，当周围不存在其它导体或带电体，这两导体间的当这两导体附近存在其它带电体或导体时，电量与电势差之间的正比关系将被破坏。
可以采用静电屏空腔导体的屏蔽作用可以使带电物体不影响周围其它带电体，即势差。
C 导体成正比，与导体这种特殊的导体组称为电容器，组成电容器的两个导体分别称为电容器的两个极板。
电容器的电容值为：电容器的电容与电容器的带电状态无关，与周围的带电体也无关，完全由电容器的几何结构决定。
电容的大小反映了当电容器两极间存在广义电容器：多个导体任意放置，构成广义电容器，各个导体的表面是极板。
1.平行板电容器由两块平行放置的金属板组成，极板的面积S大，两极板间的距离d小，两极板均匀带电，带电量为 Q，极板间的电场由极板上的电荷分布唯一确定。
忽略极板的边缘效应，两板之间的电势差为故平行板电容器的电容为:由此可见，增大极板面积，减少两极板间的距离可使电容器的电容量增大。
其电容为:若R B ＞＞R A ，即外球壳B 远离球，则回到孤立导体球的电容公式；若R A 和R B 都很大，而比R A ＝d 很小，则R A ⨯R B =R 2, 则回到平板电容器的公式。
由于电容器每个电极上的电量q ＝，复杂电容器电容的计算C=Q/U 是一个普遍适用的公式，对Q 1≠Q 2的两导体，公式中的Q 应理解为用导线将两导体接通时所交换的电荷量。
符号相反，则接通两极板，转移的电荷量为两极板都不接地的情况,两极板的内侧电荷面密度σ2内，外侧电荷面密度分别为2外，两极板侧面积均为S用导线连接两极板后，因为两极板的几何性质完全一样，静电平衡时它们所带的电量相等，即：所以转移的电量为可见，尽管两极板所带的C=？四、电容器的联结1．电容器串联但实际电容器很少串联使用，因为一旦一只电容器被击穿，会使其他电容器相继被击穿。
第二章 静电场中的导体与电介质
第二章 静电场中的导体与电介质2.1 导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很大（相差10多个数量级，而不同导体间电导率数量级最多就相差几个数量级）。
（2）微观上导体内部存在大量的自由电子，在外电场下会发生定向移动，产生宏观上的电流而电介质内部的电子处于束缚状态，在外场下不会发生定向移动（电介质被击穿除外）。
2.2静电场中的导体1. 导体对电场的响应：静电场中的导体，其内部的自由电子会发生定向漂移，电荷分布会发生变化，这是导体对电场的响应方式称为静电感应，导体表面会产生感应电荷，感应电荷激发的附加场会在导体内部削弱外电场直至导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，这时导体处于静电平衡状态。
2. 导体处于静电平衡状态的必要条件:0i E =（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，自然其内部电场（指外场与感应电荷产生的电场相叠加的总电场）必为0。
3. 静电平衡下导体的电学性质：（1）导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本身带的电荷）只分布在导体表面。
这个可以由高斯定理推得：ii sq E ds ε⋅=⎰⎰，S 是导体内“紧贴”表面的高斯面，所以0i q =。
（2）导体是等势体，导体表面是等势面。
显然()()0b a b i a V V E dl -=⋅=⎰，a,b 为导体内或导体表面的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。
（3）导体表面以处附近空间的场强为：0ˆEn δε=，δ为邻近场点的导体表面面元处的电荷密度，ˆn为该面元的处法向。
简单的证明下：以导体表面面元为中截面作一穿过导体的高斯柱面，柱面的处底面过场点，下底面处于导体内部。
由高斯定理可得：12i s s dsE ds E ds δε⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰，1s ,2s 分别为高斯柱面的上、下底面。
因为导体表面为等势面所以ˆE En=，所以1s E ds Eds ⋅=⎰⎰而i E =0所以0ds Eds δε=，即0ˆE n δε=（0δ>E 沿导体表面面元处法线方向，0δ<E 沿导体表面面元处法线指向导体内部）。
电磁学-静电场中的导体和电介质a
R
❖ 表面突出尖锐部分曲率大, 电荷面密度大;
导体
❖ 表面比较平坦部分曲率小, 电荷面密度小;
❖ 表面凹进部分曲率为负, 电荷面密度最小。
证明: 设有两个相距很远的带电导体球，如图： 用很长的细导线连接两导体球,
忽略两球间的静电感应，导体球上的电荷仍均匀分布。
整个导体系统是等势体。
A
球：VA
1 4 0
例1: 无限大均匀带电平面的电场中平行放一无限大金属平板，
已知：带电平面的电荷面密度为 0 。
求：金属板两面的感应电荷面密度 。
解: 设金属板两面感应电荷面密度分别为 1 和 2 ，
假定均大于零 。
由电荷守恒: 1 2 0
(1)
0 1 2
导体内场强由三个带电平面产生并且 = 0 ：
外表面接地，腔外电场消失。
导体空腔内电场不受外界的影响，或利用导体空腔接地 而使腔内带电体与外界隔绝的现象。
封闭导体壳（不 论接地与否）内部的 电场不受外电场的影 响；
接地封闭导体壳 （或金属丝网）外部 的场不受壳内电荷的 影响。
⑵ 应用：均压服
E
E
0+ +++
注意：腔内无带电体时，空腔导体外的电场由空腔导体外表面的 电荷分布和其它带电体的电荷分布共同决定。
腔内有带电体时，腔体外表面
所带的电量由电荷守恒定律决 定，腔外导体和电场不影响腔
内电场。
四．有导体存在时静电场
E,
V
的计算
电荷守恒定律
静电平衡条件
电荷分布
EV
❖ 表面突出尖锐部分曲率大, 电荷面密度大;
导体
❖ 表面比较平坦部分曲率小, 电荷面密度小;
❖ 表面凹进部分曲率为负, 电荷面密度最小。
证明: 设有两个相距很远的带电导体球，如图： 用很长的细导线连接两导体球,
忽略两球间的静电感应，导体球上的电荷仍均匀分布。
整个导体系统是等势体。
A
球：VA
1 4 0
例1: 无限大均匀带电平面的电场中平行放一无限大金属平板，
已知：带电平面的电荷面密度为 0 。
求：金属板两面的感应电荷面密度 。
解: 设金属板两面感应电荷面密度分别为 1 和 2 ，
假定均大于零 。
由电荷守恒: 1 2 0
(1)
0 1 2
导体内场强由三个带电平面产生并且 = 0 ：
外表面接地，腔外电场消失。
导体空腔内电场不受外界的影响，或利用导体空腔接地 而使腔内带电体与外界隔绝的现象。
封闭导体壳（不 论接地与否）内部的 电场不受外电场的影 响；
接地封闭导体壳 （或金属丝网）外部 的场不受壳内电荷的 影响。
⑵ 应用：均压服
E
E
0+ +++
注意：腔内无带电体时，空腔导体外的电场由空腔导体外表面的 电荷分布和其它带电体的电荷分布共同决定。
腔内有带电体时，腔体外表面
所带的电量由电荷守恒定律决 定，腔外导体和电场不影响腔
内电场。
四．有导体存在时静电场
E,
V
的计算
电荷守恒定律
静电平衡条件
电荷分布
EV
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作扁圆柱形高斯面
E dS ES
S
σS / ε0
+ +
S
E 0
+
+
+ +
σ E ε0
+
结论：表面电场强度的大小与该表面电荷面 密度成正比
4、影响电荷在导体表面上的分布的因素：
①导体的几何形状； ②导体所带的电量； ③周围的带电体； ④周围不带电的导体。
5.孤立带电导体表面电荷分布
Q Q C U AB VA VB
3
电容器的分类
按可调分类：可调电容器、微调电容器、 双连电容器、固定电容器 按介质分类：空气电容器、云母电容器、陶瓷电容器、 纸质电容器、电解电容器 按体积分类：大型电容器、小型电容器、微型电容器 按形状分类：平板电容器、圆柱形电容器、球形电容器
球形
柱形
平行板
《静电场》复习
两条实验定律 两个出发点 两个物理量
●库仑定律 ●叠加原理 ●电荷受力 ●电场力作功 ● 电场强度 ●电势能
两个基本性质
● 高斯定理 ●环路定理
一、导体的特征 功函数
导体电结构的特点:
存在大量的可自由移动的电荷。 （1）分为： （P3）
第一类导体：金属
第二类导体：酸、碱、盐溶液
（2）金属导体的特征： （P54）
2、屏蔽腔内电场
接地空腔导体
将使外部空间不受 空腔内的电场影响.
+
+ + +
q
+
接地导体电势为零 问：
不接地行吗？
q
+
+
q
+
3、应用 （P59） （1）精密的电磁测量仪器：(为避免外界电场的干扰) 用金属制作仪器的外壳，常用金属网罩代替。
汽 车 是 个 静 电 屏 蔽 室
屏 蔽 线
法拉第笼
课外知识
A B 1 2 3 4
B板
3S 4S 0
E4
A
b
E1 E 2 E 3
B
解方程得:
电荷分布
Q 1 4 2S Q 2 3 2S
A
B
1 2 3 4 E E E
场强分布
A 板左侧
两板之间
1 Q E 0 2 0 S
+ 高压
场离子显微镜(FIM)
避 雷 针
特点？ 工作原理？
穿雨衣比撑伞更安全
房屋最高处竖一金属棒，棒下端连 一条足够粗的铜线，铜线下端连一块金 属板埋入地下深处潮湿处。金属棒的上 端须是一个尖头或分叉为几个尖头。
四 、静电屏蔽
1、屏蔽外电场
E
E
外电场
空腔导体屏蔽外电场
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受外电 场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等 .
q q
R1
Q q
R2
R3
R1R2 q Q R1R3 R1R2 R2 R3 R1 q q 1 1 V壳 dr ( ) 2 R2 4 r 4 0 R2 R1 0
2-4 电容 电容器
一、孤立导体的电容
1 1、引入 •孤立导体是指其它导体或带电体都离它足够远，以至于其它 导体或带电体对它的影响可以忽略不计。 •真空中一个半径为R、带电量为Q 的孤立球形导体的电势为
导 体 是 等 势 体
E dl U E dl 0
导体内部电势相等
+ +
导体表面是等势面
en
+
+
E
d+ l
+
eτ
U AB
AB
E dl 0
A
B
三、静电平衡时导体上电荷的分布
1、实心导体
E 0 q SE dS 0 ε0 q 0
Q E 0S
E
E0
例 2、 有一外半径R1，内半径R2 的金属球壳， 在球壳中放一半径 R3的同心金属球，若使 球壳带电Q和球带电q， Q 问：两球体上的电荷如何 q 分布？球心电势为多少？
R3
R2
R1
解 作球形高斯面 S1
E1 0 (r R3 )
R 1 Q
S2
R3
作球形高斯面 S2 q S2 E2 dS ε0
a点 1 2 3 4 0 a 2 0 2 0 2 0 2 0 E 4 E 3 E 2 E1 b点 1 2 3 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 3 4 A板
1S 2 S Q
AB
与导体是等势体矛盾
+
+ + +
+ +
高斯 面
+
－
A
＋
B
+ +
+ S
结论：空腔内无电荷时，电荷分布在外表面, 内表面无电荷.
空腔内有电荷时
E dS 0
S
q
i
0
+q
高斯 q 面
-q
S
结论: 空腔内有电荷+q时，空腔内表面有 感应电荷-q，外表面有感应电荷+q．
3 、导体表面附近场强与电荷面密度的关系
R2
q q
Q 2 q Q q
r
R1
R1 1 1 1
q E2 ( R3 r R2 ) 2 4 π ε0 r E3 0 ( R1 r R2 ) Q q E4 ( r R1 ) 2 4 π ε0 r Vo E dl 0 R2 R3 E1 dl E2 dl
1 RR1Q1l Nhomakorabea R1 导线
R2
Q2
R2
证明: 用导线连接两导体球
则
VR1 VR2
即
40 R1
Q1
40 R2
Q2
1 4R12 2 4R2 2 40 R1 40 R2
1 R2 2 R1
尖端放电现象
带电导体尖端附 近的电场特别大，可 使尖端附近的空气发 生电离而成为导体产 生放电现象．
情况较复杂 ，目前还未找到一个能表示面密 度与曲率的关系的统一公式，只由实验来测定。 实验表明在孤立带电导体表面：
• 凸出的尖锐部分(曲率是正值且较大)电荷面密 度较大 • 比较平坦部分(曲率较小)电荷面密度较小
• 凹进部分(曲率为负)电荷面密度最小孤立带电 尖端放电
孤立导体
C
导体球
例5（P63）
A B 1 2 3
E 3 E 2 E1
1 2 3
a
A板
1 0
1S 2 S Q
Q 2 3 S
b
电荷分布
E1 E 2 E 3
A
B
电荷分布
1 0
Q 2 3 S
A B 1 2 3
场 两板之间 强 分 布 两板之外
• 是一个由金属或者良导体形成的笼子。 • 由于金属的静电等势性，可以有效的屏蔽 外电场的干扰。法拉第笼无论被加上多高 的电压内部也不存在电场。而且由于金属 的导电性，即使笼子通过很大的电流，内 部的物体通过的电流也微乎其微。在面对 电磁波时，可以有效的阻止电磁波的进入。 由于法拉第笼的电磁屏蔽原理 在汽车中的 人是不会被雷击中的，而且在同轴电缆也 可以不受干扰的传播讯号，同样也是因为 法拉第笼的原理。如果电梯内没有中继器 的话。那么当电梯关上的时候，里面任何 电子讯号也收不到。高压带电作业操作员 的防护服也是依据法拉第笼的原理制成，
球壳外表面带电 Q q
r R3
R3
E0
Qq E 40 r 2
r R3
R3
Qq Vo Edr Edr 40 R3 0 R3
qQ V Edr 40 r r
(3)若不是连接，而是使外球 接地，电荷分布如图所示，
这是由于 1 q q Q外表面 V壳 ( )0 4 π 0 R3 R3 R3 知
所以
q
R1
q
R2
Q外表面 0
R3
V球
R2 R1
R2
R1
E dl
q q
1 1 dr ( ) 2 4 0 r 4 0 R1 R2
(4)若接地不是外壳球而
是内球，情况又如何?
内球上所带电量为零吗? 1 q q Q q V球 ( )0 4 π 0 R1 R2 R3 解之得 q
2 静电平衡
+ + + +
+ + + +
+ + + +
E0
E0 ＇ E E0
+ + + + + + + +
E0
＇ E E0 E 0
导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
静电平衡条件
（1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.
V
Q 40 R
电量与电势的比值却是一个常量，只与导体的形状有关， 由此可以引入电容的概念。
2 2 、电容的定义
孤立导体所带的电量与其 电势的比值叫做孤立导体 的电容
C Q V
3 3、电容的单位 法拉(F) 1F=1C.V-1 微法 1μF=10-6F 皮法 1pF=10-12F