量测系统概念设计与不确定度之快速评估-蒙地卡罗模拟法
系统建模与仿真第12讲 Monte Carlo蒙特卡洛方法
Nicholas Metropolis (1915-1999)
Monte-Carlo, Monaco
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟的应用： 自然现象的模拟： 宇宙射线在地球大气中的传输过程； 高能物理实验中的核相互作用过程； 实验探测器的模拟 数值分析： 利用Monte Carlo方法求积分
2
3.141528 3.141528 3.141509 3.141553 3.141506
3
3.141527 3.141521 3.141537 3.141527 3.141538
n
(i )2
si
i1
n 1
0.000012
0.0000032
s si / n
ua s t(0.683, n 1) 0.0000033
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟在实际研究中的作用
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟的步骤： 1. 根据欲研究的系统的性质，建立能够描述该系统特性的理 论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数； 2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模 拟结果； 3. 对模拟结果进行分析总结，预言系统的某些特性。
k n 1
3.1415279
14
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两 门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方 打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地 点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指 示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正确 时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6 的射击效果能全部消灭敌人．
风险评估技术-蒙特卡罗模拟分析(Monte Carlo simulation)
蒙特卡罗模拟分析(Monte Carlo simulation)1 概述很多系统过于复杂，无法运用分析技术对不确定性因素的影响进行模拟，但可以通过考虑投入随机变量和运行N次计算(即所谓模拟)的样本，以便获得希望结果的N个可能成果。
描述输入数据的不确定性并开展多项模拟(其中，对输入数据进行抽样以代表可能出现的结果)加以评估。
这种方法可以解决那些借助于分析方法很难理解和解决的复杂状况。
可以使用电子表格和其他常规工具进行系统开发，也可以使用更复杂的工具来满足一些更复杂的要求，很多要求所需的投资较少。
当该技术首次开发时，蒙特卡罗模拟所需的迭代过程缓慢，耗费时间。
但是，随着计算机技术的进步和理论的发展，例如latin-hypercube抽样法使很多应用程序的处理时间几乎变得微不足道。
2 用途蒙特卡罗模拟是评估不确定性因素在各种情况下对系统产生影响的方法。
这种方法通常用来评估各种可能结果的分布及值的频率，例如成本、周期、吞吐量、需求及类似的定量指标。
蒙特卡罗模拟法可以用于两种不同用途：●传统解析模型的不确定性的分布；●解析技术不能解决问题时进行概率计算。
3 输入输入到蒙特卡罗模拟法的是一个系统模型和关于输入类型的信息、不确定性源和期望的输出。
具有不确定性的输入数据被表示为具有一定分布的随机变量，根据不确定性的水平其分布具有或多或少的离散性。
为此，均匀分布、三角分布、正态分布和对数正态分布经常被使用。
4 过程过程如下：●确定尽可能准确代表所研究系统特性的模型或算法；●用随机数将模型运行多次，产生模型(系统模拟)输出。
在模拟不确定性效应的应用场合，模型以方程式的形式提供输入参数与输出之间的关系。
所选择的输入值取自这些参数中代表不确定性特点的适当的概率分布。
●在每一种情况下，计算机以不同的输入运行模型多次(经常到一万次)并产生多种输出。
这些输出可以用传统的统计方法进行处理，以提供均值、方差和置信区间等信息。
下面给出一个模拟例子。
蒙特卡洛模拟法
蒙特卡洛模拟法一蒙特卡洛模拟法简介蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。
具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。
由于涉及到时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此只是在近些年才得到广泛推广。
这个术语是二战时期美国物理学家Metropolis执行曼哈顿计划的过程中提出来的。
蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论。
二蒙特卡洛模拟法求解步骤应用此方法求解工程技术问题可以分为两类:确定性问题和随机性问题。
解题步骤如下：1.根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致2 .根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。
通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
3. 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
4.按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
5. 统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。
三蒙特卡洛模拟法的应用领域蒙特卡洛模拟法的应用领域主要有：1.直接应用蒙特卡洛模拟:应用大规模的随机数列来模拟复杂系统，得到某些参数或重要指标。
蒙特卡罗方法及应用
蒙特卡罗方法及应用一、本文概述《蒙特卡罗方法及应用》是一篇深入研究和探讨蒙特卡罗方法及其在多个领域中应用的重要性的文章。
蒙特卡罗方法，又称随机抽样或统计试验方法，是一种基于概率统计理论的数值计算方法。
它通过模拟随机过程，以大量的样本数据来估计求解问题的解，特别适用于处理复杂系统中的不确定性问题。
本文首先介绍了蒙特卡罗方法的基本原理和核心概念，包括随机变量的生成、概率分布的模拟以及随机过程的模拟等。
然后，文章详细阐述了蒙特卡罗方法在各种领域中的应用，如物理学、工程学、金融学、生物学等。
在这些领域中，蒙特卡罗方法被广泛应用于求解复杂系统的数学模型，预测和评估系统的性能，以及优化决策方案等。
本文还讨论了蒙特卡罗方法的优缺点，包括其计算效率高、适用范围广等优点，以及计算精度受样本数量影响、对随机性要求高等缺点。
文章还探讨了蒙特卡罗方法的未来发展趋势，包括与、大数据等前沿技术的结合，以及在新兴领域如量子计算中的应用等。
《蒙特卡罗方法及应用》这篇文章旨在全面介绍蒙特卡罗方法的基本原理、应用领域以及发展前景，为读者提供一个深入理解和学习蒙特卡罗方法的平台。
通过本文的阅读，读者可以更好地理解蒙特卡罗方法的本质和应用价值，为相关领域的研究和实践提供有益的参考和启示。
二、蒙特卡罗方法的基本原理蒙特卡罗方法，又称统计模拟方法或随机抽样技术，是一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。
该方法通过模拟随机过程，求解数学、物理、工程以及金融等领域的问题。
蒙特卡罗方法的基本原理可以概括为以下几点：随机抽样：蒙特卡罗方法的核心思想是通过随机抽样来获取问题的数值解。
它根据问题的概率模型，在概率空间中进行随机抽样，以获得问题的近似解。
这种随机抽样可以是简单的均匀抽样，也可以是复杂的概率分布抽样。
大数定律：蒙特卡罗方法基于大数定律，即当试验次数足够多时，相对频率趋于概率。
通过大量的随机抽样，蒙特卡罗方法可以得到问题的近似解，并且随着抽样次数的增加，这个近似解会逐渐接近真实解。
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法
蒙特卡洛仿真法（Monte Carlo Simulation）是一种基于随机抽样的数值计算方法，用于模拟和估计复杂系统或过程的行为和特性。
它通过生成大量随机数，并利用这些随机数对系统进行多次模拟，从而获得系统的统计特征或输出结果。
蒙特卡洛仿真法的基本思想是基于概率分布的采样。
首先，需要确定系统中各个变量或参数的概率分布函数。
然后，通过随机生成符合这些概率分布的样本值，来代表系统在不同情况下的可能状态。
接下来，对每个生成的样本进行计算或模拟，得到相应的输出结果。
通过重复这个过程多次（通常是数千或数万次），可以获得大量的样本结果。
根据这些样本结果，可以计算出系统的统计指标，如均值、标准差、概率分布等，从而对系统的行为进行估计和预测。
蒙特卡洛仿真法的优点包括：
1. 能够处理复杂的系统和不确定性问题；
2. 可以提供系统的统计特征和概率分布信息；
3. 适用于难以通过解析方法求解的问题。
蒙特卡洛仿真法在许多领域都有广泛的应用，如金融工程、风险管理、物理科学、工程设计等。
它可以帮助决策者在不确定性环境下进行风险评估、优化设计和决策制定。
需要注意的是，蒙特卡洛仿真法的准确性和可靠性取决于所选择的概率分布函数、抽样次数以及对结果的统计分析方法。
在实际应用中，需要合理选择和验证这些参数和方法，以确保模拟结果的有效性和可靠性。
蒙特卡洛法评定测量不确定度及其应用
蒙特卡洛法评定测量不确定度及其结果的应用铁科院标准计量研究所王彦春2013年7月18日测量不确定度的来源❖与误差的来源相同，共5个主要方面⏹测量设备（标准器；2.配套设备）⏹测量方法⏹被测量⏹影响量⏹人员（操作、读数、数据修约等）产生不确定度的原因❖被测量的定义不完整；（被测对象、方法、影响量）❖复现被测量的测量方法不理想；（方法）❖测量方法和测量程序中的近似和假设；（方法）❖取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；（被测对象）❖测量仪器的计量性能(如最大允许误差、灵敏度、鉴别力、分辨力、死区及稳定性等)的局限性导的不确定度，即仪器的不确定度；（设备）❖测量标准或标准物质提供的量值的不确定度；（设备）❖对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善；（影响量）❖引用的数据或其他参量的不确定度；（影响量）❖对模拟式仪器的读数存在人为偏移；（人员）❖在相同条件下重复观测中测得的量值的变化。
（重复性）测量不确定度的来源必须根据实际测量情况进行具体分析。
测量不确定度的来源❖区分两大类来源⏹随机因素：使测量结果呈现分散性，即分散性（分散区间，宽度取决于随机因素的影响程度）⏹系统因素：使测量结果呈现未知性，即不可知性（区间移动，区间偏离参考值的远近取决于系统因素的影响程度）以上两者共同导致测量结果的不确定度性，共同构成最终不确定度的区间测量不确定度的评定方法❖基于误差传播的评定方法（JJF 1059.1-2012，GUM法)不适用范围：⏹输入量概率分布不对称；⏹不能假设输出量的概率分布近似为正态分布或t分布；⏹测量模型不能用线性模型近似或求灵敏系数很困难；⏹被测量估计值与其标准不确定度大小相当时。
❖基于模拟试验的评定方法（JJF 1059.2-2012，MCM法，即蒙特卡洛法)：属万能型方法❖GUM方法的评定结果的合理性可用MCM法进行验证。
测量不确定度评定过程(MCM法)❖测量模型❖确定来源⏹应注意的问题：熟悉被评定项目，灵活运用；针对主要因素合理评定，不遗漏（输入量和重要影响量）、不重复。
蒙特卡罗
七、蒙特卡洛方法微分法通过对仪器全部或局部的作用原理方程求全微分来求得源误差为各特性参数或结构参数误差所产生的局部误差，其前提是仪器作用原理方程是可微的，而且用其求局部误差时忽略了高阶微分项，所以面对作用原理为不可微或作用原理有复杂非线性的情况，微分法的分析精度及其可靠性难以评估。
蒙特卡洛方法又称为随机事件模拟，随着计算机技术和软件技术的发展，该方法已广泛应用于测量不确定度评定、可靠性分析评估、误差综合和精度分配等工程领域，许多工程软件如Zemax 已经采用蒙特卡洛方法来评估光学元件的制造误差和装配误差对光学系统性能的影响，并以此构建其光学系统公差设计体系。
蒙特卡洛方法是分析仪器随机误差的有效方法，基本出发点是通过对不同分布的抽样来模拟仪器特性和结构参数的随机源误差，代入仪器作用原理方程获得仪器误差一个估计，反复这个过程，将获得仪器误差的一系列估计值，对其进行统计，即可获得多个（或单个）仪器特性和结构参数随机源误差所引起的仪器随机误差的统计值。
设仪器的作用原理方程式如式（2-24），当仪器的特性或结构参数为理论值n q q q 00201,,, 时，仪器应该具有的指示值为),,,,(002010n q q q x f y =若结构参数i q 有误差i q ∆，n i ,,2,1L =，是彼此相互独立且服从特定分布)(δϕi 的随机误差，即i i i q q q ∆+=0，n i ,,2,1L =，以对该概率分布)(δϕi 的随机抽样j ζ作为误差i q ∆的估计值，带入仪器的作用原理方程，获得一个仪器示值的估计值j y 即),,,,,,(00220110nj n ij i j j j q q q q x f y ζζζζ++++= ，M j ,,3,2,1 =经过M 次的反复计算，即可获得M 个仪器示值的估计值j y ，对j y 进行统计，即可获得仪器示值的分布，同时获得仪器示值平均值0y Y =和标准差y σ，进而获得示值误差极限y t σ±，t 为置信系数。
基于蒙特卡罗方法评定不确定度中相关随机变量模拟
现代测量与实验室管理2010年第4期 文章编号:1005-3387(2010)04-0024-27基于蒙特卡罗方法评定不确定度中相关随机变量模拟崔伟群 杭晨哲(中国计量科学研究院,北京 100013)摘 要:蒙特卡罗方法是一种统计模拟方法,也可以应用于测量不确定度的评定。
该方法要求各个输入随机变量之间相互独立。
本文探讨了蒙特卡罗方法中具有相关性的输入随机变量的模拟,在已知条件下以最小二分法为基础,给出了具有相关性的两个随机变量的模拟方法,并使用该模拟方法在不同的条件下产生具有相关性的随机数,通过统计分析得到随机数的统计特征,从模拟结果可以发现本方法能够较好地完成在给定相关系数条件下生成随机序列。
关键词:蒙特卡罗;不确定度;相关性、最小二分法、随机变量中图分类号:T B92 文献标识码:A0 引言蒙特卡罗方法[1-3]是由Metr opolis在二次世界大战期间提出的一种统计模拟方法,并应用于原子弹中子运输过程的研究。
与一般的数值计算方法不同,它以概率统计理论为基础,能够比较逼真地描述事物的特点和物理实验过程,是用来解决数学和物理问题的非确定性(概率统计的或随机的)的数值方法,因此,运用该近似方法所获得的结果更加接近于实际的物理过程。
近年来,蒙特卡罗方法逐渐应用于计量学中同样以概率统计理论为基础的不确定度评定。
蒙特卡罗方法评定测量不确定度的基本思路是在已知输入量的概率分布前提下,用计算机模拟实际测量过程,得到大量模拟测量结果并分析,统计出输出结果测量不确定度[4]。
作为一种数学模拟物理过程的数值方法,蒙特卡罗方法并没有解决不确定度评定中输入量之间的相关性问题。
应用蒙特卡罗方法的必要前提就是各输入量之间不相关。
而在实际中,复杂的测试系统具有很多测试输入随机变量,由于在同一测试系统中,不可避免的具有相关性[3]。
在一些情况下,可以忽略相关性,但是如果将所有的相关性都忽略将使蒙特卡罗方法失去模拟实际过程的意义。
《蒙特卡罗方法》课件
REPORTING
优点
高效性
蒙特卡罗方法在处理大规模、复杂问 题时，相对于解析方法，具有更高的 计算效率。
适用性强
该方法适用于各种类型的问题，无论 是数学、物理还是工程领域。
灵活性高
蒙特卡罗方法允许使用各种随机抽样 技术，可以根据问题的特性灵活调整 。
易于实现
蒙特卡罗方法的算法相对简单，容易 编程实现。
估计精度
统计估计的精度与样本数量和估计方法的选 择有关。
误差分析
误差来源
蒙特卡罗方法的误差主要来源于概率模型的近似和随机抽样的不 确定性。
误差控制
通过增加样本数量、改进概率模型等方法来减小误差。
误差评估
通过方差、置信区间等统计方法对误差进行评估和检验。
PART 03
蒙特卡罗方法的实现步骤
REPORTING
《蒙特卡罗方法》 PPT课件
REPORTING
• 蒙特卡罗方法简介 • 蒙特卡罗方法的原理 • 蒙特卡罗方法的实现步骤 • 蒙特卡罗方法的应用实例 • 蒙特卡罗方法的优缺点 • 蒙特卡罗方法的未来发展与展望
目录
PART 01
蒙特卡罗方法简介
REPORTING
定义与特点
定义
蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的 数值计算方法，通过随机抽样和统计 模拟来求解数学、物理、工程等领域 的问题。
代。
PART 04
蒙特卡罗方法的应用实例
REPORTING
金融衍生品定价
总结词
蒙特卡罗方法在金融衍生品定价中应用广泛 ，通过模拟标的资产价格变化，计算衍生品 价格和风险。
详细描述
蒙特卡罗方法通过随机抽样和概率统计，模 拟标的资产（如股票、外汇或商品等）的价 格变化，从而计算出衍生品（如期权、期货 或掉期等）的预期收益或风险。这种方法能 够处理复杂的衍生品定价问题，并给出较为 精确的估计。
蒙特卡罗方法及应用
蒙特卡罗方法及应用蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的数值计算方法，它在许多实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍如何在没有明确思路的情况下，使用蒙特卡罗方法来解决实际问题，并概述其基本原理、实现步骤、优缺点及应用实例。
当遇到一些复杂的问题，比如在无法列出方程求解的数学问题，或者在需要大量计算的概率统计问题中，我们可能会感到无从下手。
此时，蒙特卡罗方法提供了一种有效的解决方案。
通过使用随机数和概率模型，我们可以对问题进行模拟，并从模拟结果中得出结论。
蒙特卡罗方法的基本原理是利用随机数生成器，产生一组符合特定概率分布的随机数，然后通过这组随机数对问题进行模拟。
具体实现步骤包括：首先，确定问题的概率模型；其次，使用随机数生成器生成一组随机数；然后，通过模拟大量可能情况，得到问题的近似解；最后，对模拟结果进行统计分析，得出结论。
蒙特卡罗方法的优点在于，它可以在一定程度上解决难以列出方程的问题，提供一种可行的计算方法。
此外，蒙特卡罗方法可以处理多维度的问题，并且可以给出近似解，具有一定的鲁棒性。
然而，蒙特卡罗方法也存在一些缺点，比如模拟次数过多可能会导致计算效率低下，而且有时难以确定问题的概率模型。
蒙特卡罗方法在概率领域有广泛的应用，比如在期权定价、估计数学期望、计算积分等领域。
以估计数学期望为例，我们可以通过蒙特卡罗方法生成一组符合特定概率分布的随机数，并计算这些随机数的平均值来估计数学期望。
总之，蒙特卡罗方法为我们提供了一种有效的数值计算方法，可以在没有明确思路的情况下解决许多实际问题。
通过了解蒙特卡罗方法的基本原理、实现步骤、优缺点及应用实例，我们可以更好地理解并应用这种方法。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的概率模型和随机数生成器，以得到更精确的结果。
我们也需要注意蒙特卡罗方法的局限性，例如在处理高维度问题时可能会出现计算效率低下的问题。
针对这些问题，我们可以尝试使用一些优化技巧或者和其他计算方法结合使用，以提高计算效率。
蒙特卡罗(Monte Carlo method)方法知识详解
蒙特卡罗（Monte Carlo method）方法知识详解蒙特卡罗方法（英语：Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
20世纪40年代，在冯·诺伊曼，斯塔尼斯拉夫·乌拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡罗方法。
因为乌拉姆的叔叔经常在摩纳哥的蒙特卡洛赌场输钱得名，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特卡罗方法在金融工程学、宏观经济学、生物医学、计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）机器学习等领域应用广泛。
一、蒙特卡罗方法的基本思想通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。
例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。
中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向。
科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据。
另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。
通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解。
这种方法多用于求解复杂的多维积分问题。
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡罗方法基于这样的思想：假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
蒙特卡罗法
在实际问题中，大量问题很难用数学模型描述，或有些问题即使能建立起数学模型，也由于模型中含有的随机因素太多，而难于用解析的方法求解，这时就需要借助于模拟的方法。
模拟又称为仿真，其基本思想是建立一个试验的模型，此模型需包含所研究系统的主要特点。
通过运行这个试验模型，可获得所研究系统的一些必要信息。
蒙特卡罗（Monte Carlo）方法就是一种应用随机数来进行模拟试验的方法。
此方法通过对研究系统进行随机观察抽样，根据对样本值的观察统计，可求得所研究系统的某些重要参数。
一、引例1. 排队模型：海港系统的卸载货物问题考虑一个中小规模的海港，拥有专门为货船卸载货物的设备。
假定在任何时刻只允许一艘船卸载货物，船仅为了卸载货物而停靠该港口，且连续两艘船先后到达港口的间隔时间范围是[15,145]（单位：min），并且是随机的。
每艘船需要的卸载货物时间依赖于船的型号和装载量，其卸载时间的变化区间为[45,90]（单位：min）。
解答下面问题：（1）每艘船在港口的平均停留时间和最长停留时间是多少？（2）定义一艘船的等待时间为船只到达港口时间到开始卸载货物时间，问每艘船的平均等待时间和最长等待时间是多少？（3）试确定系统卸载设备的空闲率（或使用率）。
2. 海港系统的卸载货物过程分析海港系统的状态变量有：船只在港停留时间、等待卸载货物时间、服务时间、船只数和卸载货物的设备数等。
海港系统是一个关于时间的状态转移过程，对其卸载货物问题，可先借助计算机来简单模拟海港系统的实际运行状况，然后再作一般性的讨论。
为此首先假定：（1）每艘船可能在任意时刻到达港口；（2）连续两艘船到达港口的间隔服从区间[15,145]上的均匀分布；（3）每艘船的卸载时间也服从[45,90]区间上的均匀分布；（4）该港口只考虑卸载货物这一活动，不考虑其它活动；（5）只考虑从零时刻起到最后一艘船离岗的总的运行时间T；（6）每艘船卸完货物后立刻离开港口；（7）在[0, T]时间范围内，考虑评价系统指标体系即卸载设备的使用率、货船的平均等待时间等。
蒙特卡罗法用于分析测试不确定评定PPT学习教案
c) GUM法存在的缺点 GUM法做出的分析结果符合正态分布的假设，在
对某些测试模型的处理中与实际情况偏差较大。有的测试 模型明显不符合正态分布。
测试模型函数的分布理论上可以依据各个分量的分 布通过卷积计算出来，但是在计算过程中需要用到积分， 有的函数“不可积”，因而测试模型函数的分布不能准确 获得。
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a)蒙特卡洛模拟法计算圆周率
利用单位圆与边长为1的正方形面积之比来计算π的近似值。
具体思想如下: 如图所示,单位圆的1/4为一个扇形,它是边长为1 的正方形的一部分。考虑扇形面积在正方形面积中所占的比例k, 得出其结果为π/4,然后乘以4就可以得到π的值。
k ssector
ssquare 4
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d）什么是区间估计 区间估计就是通过从总体样本中抽样或者其他方式，对随机变量总体分布的
参数进行估计的一种数学方法。通常以置信水平（概率）和区间的形式给出。
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例如：标样证书上，标称量值就是以区间估计的形式给出： 该物质的真值落入区间（188,212）g / mL 的可能性为95%。
续 ；大于n，终止，计算4*m/n，输出结果
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模拟结果
输入中模拟次数 100000
落入扇形的点数 78451
开始模拟
圆周率模拟值 3.13804
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b)蒙特卡洛模拟计算定积分
蒙特卡洛模拟计算定积分是依据：定积分是曲线在一定区间内和x轴围成的 面积可以通过蒙塔卡洛模拟估计出来；尤其对那些没有原函数的函数定积分计算 尤为适应。
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3、不确定度评定方法
不确定度评定方法： JJF 1059.1-2012 测量不确定度评定与表示（GUM） JJF 1059.2-2012 用蒙特卡洛法评定测量不确定度（MCM） GB/T 27411-2012 检测实验室中常用不确定度评定方法与
蒙特卡洛法评定测量不确定度》
JJF 中华人民共和国国家计量技术规范JJF1059.2-2011用蒙特卡洛法评定测量不确定度Monte Carlo Method for Evaluation of Measurement Uncertainty201×-××-××发布 201×-××-××实施国家质量监督检验检疫总局发布用蒙特卡洛法传播概率分布Monte Carlo Method for Evaluationof Measurement Uncertainty本规范经国家质量监督检验检疫总局于201×年××月××日批准，并自201×年××月××日起施行。
归口单位：全国法制计量管理计量技术委员会 起草单位： 北京理工大学中国计量科学研究院国家质检总局计量司本规范由全国法制计量管理计量技术委员会解释本规范起草人：周桃庚北京理工大学叶德培沙定国北京理工大学原遵东中国计量科学研究院施昌彦陈红国家质检总局计量司目录引言 (5)1 适用范围 (6)2 引用文献和参考文献 (6)3 术语和定义 (7)4 蒙特卡洛法 (11)4.1 蒙特卡洛法的实施步骤 (11)4.2 模型的建立 (12)4.3蒙特卡洛试验次数 (13)4.4 输入量概率分布的抽样及模型值计算 (13)4.5 输出量分布函数的离散表示 (13)4.6 输出量及其标准不确定度 (14)4.7 输出量的包含区间 (14)4.8 自适应蒙特卡洛方法 (15)5 报告结果 (17)6用蒙特卡洛法验证GUM法的结果 (18)6.1 用蒙特卡洛法验证GUM法的结果 (18)6.2 用于验证GUM法的蒙特卡洛试验次数 (19)附录A 常见的输入量概率密度函数(补充件) (20)附录B用蒙特卡洛法传播概率分布实例(补充件) (23)B.1 加法模型 (23)B.2 质量校准 (27)B.3 微波功率计校准中的比较损耗 (30)B.4 量块校准 (34)附录C GUM法与MCM的比较(补充件) (39)附录D分布传播的基本原理(补充件) (41)D.1 概率分布的传播 (41)D.2 分布传播的实施方法 (41)附录E词汇和基本符号(参考件) (43)附录F常用术语的英汉对照(参考件) (48)引言本规范规定了用蒙特卡洛法评定与表示测量不确定度的方法，其核心内容是基于测量模型采用蒙特卡洛法(MCM)进行概率分布传播。
测量不确定度的评定中的蒙特卡罗方法
电子质量（2012第01期）测量不确定度的评定中的蒙特卡罗方法测量不确定度的评定中的蒙特卡罗方法Uncertainty Evaluation in M easurement of M onte Carlo M ethod陈雅（广东省电子电器产品监督检验所,广东广州510400）Chen Ya(Guangdong Electronic&Electrical Production and Supervision Institute,GuangdongGuangzhou510400）摘要：该文介绍了蒙特卡罗法以及不确定度问题，当采用不确定度传递律进行测量不确定度评定(GUM方法)有困难或不方便时，蒙特卡罗法是实用的替代方法。
关键词：蒙特卡罗方法；测量；不确定度中图分类号：TB9文献标识码：A文章编号：1003-0107(2012)01-0070-02Abstract:The Monte Carlo method and the question of measurement uncertainty are given，When it isdifficult to apply the GUM uncertainty framework that uses the law of propagation of uncertainty to evalu-ate uncertainty in measurement,the Monte Carlo Method(MCM)is a practical alternative.Key w ords:Monte Carlo Method;measurement;uncertaintyCLC num ber:TB9Docum ent code:A Article ID：1003-0107(2012)01-0070-020引言为能统一地评价测量结果的质量,1963年原美国标准局(NBS)的数理统计专家埃森哈特首次提出了测量不确定度的概念，并在当时国际上受到普遍的关注；1970年, NBS进一步提出了不确定度的定量表示方法；1980年国际计量局在征求了32个国家计量院以及5个国际组织的意见后，推荐采用测量不确定度来评定测量结果的建议书，即INC-1(1980)；1981年第70届CIPM讨论通过建议书；1993年，7个国际组织联合发布《测量不确定度表示指南》(Guide to the Expression of Uncertainty in M easure-ment)，简称GUM；1999年，经国家技术监督局批准，我国颁布实施由全国法制计量技术委员会提出的(JJF1059-1999)《测量不确定度的评定与表示》，适用于国家计量基准、标准物质、测量及测量方法、计量认证和实验认可、测量仪器的校准和检定、生产过程的质量保证和产品的检验和测试、贸易结算以及资源测量等测量技术领域[1]。
应用蒙特卡罗方法计算动态测量的不确定度
第16卷 第6期2006年11月黑 龙 江 科 技 学 院 学 报Jour nal ofH e il o ng jiang Institute o f Sc i e nce&Tec hno l o gyV o.l 16N o .6N ov .2006文章编号:1671-0118(2006)06-0357-03应用蒙特卡罗方法计算动态测量的不确定度高玉英, 陈晓怀(合肥工业大学仪器科学与光电工程学院,合肥230009)摘 要:针对动态不确定度有待深入研究的实际,介绍了一种采用蒙特卡罗统计模拟的方法来解带置信水平的不确定度评定的问题,并基于动态测量的观测数据是一随机过程的特征,分别对平稳及非平稳随机过程进行动态不确定度的计算。
利用计算机模拟抽样,可以削弱动态测量中因长时间作业引起的损耗而使得动态特性改变。
结果表明,采用蒙特卡罗方法求得统计量是一种可行且可靠的方法。
关键词:蒙特卡罗方法;随机过程;动态不确定度;随机数 中图分类号:TH 701;O242.2文献标识码:ACalcul a tion of dynam i c measure ment uncert ainty w ithMont e Carl o methodGAO Yuying, C HE N X iaohuai(Schoo l o f Instru m ent Sc i ence and O pto -e l ectronic eng i neer i ng ,H e fei U niversity of T echno logy ,H efe i 230009,Ch i na)Abst ract :D irected at dyna m ic m easure m ent uncerta i n ty ,the sub ject of deep st u dy ,this paper intro -duces the funda m entals based on M onte Carlo m ethod to w or k on t h e eva l u ation o f dyna m ic m easure m en t uncertai n ty w it h believe leve.l Fro m the po int tha t the observa ti o n data o f dyna m ic m easure m ent is a ran -do m process ,the dyna m ic uncerta i n ty o f d ifferent rando m process is ca lculated .The use of the co mpu ter si m ulation sa m ple reduces the change of dyna m ic i d entity ,wh ich co m es fr o m the spo ilage i n the l o ng w orking .The resu lts indicate tha t the m easure is feasible and reliable .K ey w ords :M onte C arlo m ethod ;rando m process ;dyna m ic uncertainty ;stochastic number收稿日期:2006-09-29基金项目:国家自然科学基金资助项目(50275047)0 引 言不确定度是对测量精度的定量表征,测量结果必须包括不确定度才是完整并有意义的。
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量測系統概念設計與不確定度之快速評估-蒙地卡羅模擬法李信宏、楊正財工研院量測中心流量研究室摘要量測不確定度為評估量測結果品質優劣與受測量分散程度的一個重要參數。
自國際標準化組織公布量測不確定度表示方式指引(ISO GUM)以來，即被各國國家實驗室及校正測試實驗室作為表示量測結果的最高指導原則。
然而隨著時代的演進，更快更有效率的評估方式也被提出，其中利用數值方法來計算量測不確定度則是目前最新的發展趨勢，而蒙地卡羅模擬法則為此一重要的代表作。
藉由程式的撰寫與電腦的運算而有效率的產生量測系統的評估結果，不僅達到更為精準的結果，更可應用到以往評估方式所無法處理的複雜問題，因此本文將介紹此一方法的計算程序與應用方式，以作為未來國內在評估量測系統不確定度的一個參考工具。
一、前言近年來國際標準化組織(ISO)為促進各國在科技研究、經貿發展以及國際的交流，特別針對物質的質或量的評估與表示方式，訂定了一些相關的標準，並在1993年發佈了“Guide to the expression of uncertainty in measurement”，簡稱ISO GUM，而此標準已成為各國家實驗室在評估量測不確定度時的重要參考依據。
目前量測不確定度的評估可概分為兩大類（如圖一），一為實驗室本身(Intra-laboratory approach)，另一為跨實驗室(Inter-laboratory approach)[1]。
而此兩個方法又可再細分為1.建立量測模型並利用不確定度傳播定律(Law of propagation of uncertainty)作分析2.單一實驗室驗證3.使用性能數據(ISO 5725) 4.使用能力試驗數據(ISO-Guide 43) 來作評估。
其中第一項(Modelingapproach)則是依據ISO GUM建構出量測系統的數學模型並考慮各個變數對量測值的影響，而變數的不確定度則以A類或B類的方式予以評估。
然而隨著時代的演進與科技進步，越來越多的量測技術，並無法單純以傳統的ISO GUM來估算系統之量測不確定度，因此在2004年Joint Committee for Guides in Metrology (JCGM-WG1)第一工作小組提出了ISO GUM的補充內容，以使不確定度的分析更加的完整，其中並提到“蒙地卡羅模擬法為目前處理機率密度函數傳遞與不確定度評估之最有效率的數值計算工具”。
而目前此數值方法也已公布於GUM supplement 1[2]，而在今年OIML (International Organization of Legal Metrology)也公佈此方法的指引文件(OIML G 1-101[3])，其中詳細的描述了以此方法進行不確定度評估的步驟與計算程序。
目前各國家實驗室對於此方法也投入相當的資源進行研究，其中在歐洲方面，英國的國家實驗室(National Physical Laboratory, NPL)已進行了數年的研究，除了應用此方法在高能物理之計量科學外，更在今年舉辦蒙地卡羅模擬法的國際研討會以推廣該方法在量測科學的應用。
而德國國家標準實驗室(Physikalisch Technische Bundesanstalt, PTB)亦開始與英國NPL一同進行該方法的研究[4]。
而亞洲區部分，日本國家標準實驗室(National Metrology Institute of Japan, NMIJ)與韓國國家標準實驗室(Korea Research Institute of Standards and Science, KRISS)也利用蒙地卡羅模擬法作了一些相關的應用並發表於BIPM(Bureau International des Poids et Mesures)的會議上。
同時在今年的APMP(Asia Pacific Metrology Programme)亦針對蒙地卡羅模擬法進行相關的討論，因此應用蒙地卡羅數值法於量測不確定度的分析已逐漸成為目前國際發展的趨勢，以補傳統不確定度評估方法的不足。
另外在能源計量方面，由於全球能源的短缺，各個能源大國如美國、日本及歐洲對於液化天然氣(Liquefied Natural Gas, LNG)的需求均逐年提升，也使得LNG流量的計量更顯的重要，同時相關的計量技術與流量計的開發也正如火如荼的展開。
目前各先進國家均已針對這主題加以研究，而荷蘭NMi (Nederlands Meetinstituut)則是第一個國家實驗室進行LNG校正與測試系統的設計，其系統設計除參考NIST發展的液態氮校正系統（如圖二）作評估外，並根據GUM supplement 1所提供的蒙地卡羅數值法進行系統不確定度的評估並驗證其設計結果，以協助系統作進一步的修改與測試。
由於LNG原級校正系統在應用秤重法設計的同時，可能會面對到低溫與結霜種種的問題，因此在不確定度的評估上會有其一定的困難點，因此藉由蒙地卡羅模擬法來評估系統與協助設計將更有效率。
而利用蒙地卡羅模擬法於量測系統不確定度的評估主要有以下之好處：一、藉由電腦快速的運算速度與程式的撰寫可更有效率的評估系統的不確定度，而所計算出來的結果將較以一階泰勒展開近似的ISO GUM不確定度評估方式更為精準。
二、蒙地卡羅模擬法主要是利用直接的方式模擬系統物理情況，而此方法可提供量測或校正系統反向思考設計的一個工具，藉由系統不確定度目標的設定，而反向推估各個原始誤差源所需掌握的程度與評估系統設計的優劣。
因此將此方法用於系統初期的概念設計或是現有系統不確定度的驗證，將是一個相當有效的評估方式，因此在本文中將針對此一計算方法作進一步的探討。
二、理論架構與計算流程傳統之系統不確定度的評估主要是基於不確定度傳播定律（如圖三）。
首先需建立量測系統方程式並確定誤差源與估計值，接著利用A類或B類的評估方式以求取標準不確定度，並經由一階泰勒級數的近似，將各個變數的資訊傳遞到量測系統方程式，進而得知量測系統之受測量與不確定度。
而受測量之涵蓋區間(Coverage interval)的求得，則是基於結果為高斯分配的假設，倘若系統之量測方程式為非線性的情況下，必須要利用高階的泰勒級數展開來作近似，以求得較精準的系統不確定度。
但也因為如此，而增加不確定度評估的困難度。
總結來說，傳統的ISO GUM 不確定度評估模式的限制，包括有中央極限定理不全然適用、各誤差來源不全然是對稱分配以及難以應用於非線性之量測方程式等等，均使得實驗室在計算受測量時，難以確認其結果的機率分配圖形。
而如果採用蒙地卡羅模擬法的話，藉由估算各誤差來源之機率密度函數(Probability Density Function, PDF)以模擬大量隨機數據，並將數據代入量測方程式以計算出受測量的機率分配，並評估其量測不確定度與相關統計結果，如此可較傳統ISO GUM 之不確定度評估方式得到更為精準與可靠的結果。
這樣一來，即可不再受到非線性方程式的影響，也不用額外計算有效自由度（受限於t 分配）與偏微分的問題。
傳統量測不確定度的評估程序，主要是基於國際標準化組織(ISO)出版之量測不確定度表示方式指引(GUM)，其量測不確定評估程序的八大步驟分別為：（1）建立量測系統數學模式 （2）確定各誤差源並計算其估計值 （3）標準不確定度之評估 （4）評估各估計值之共變數(Covariance) （5）計算受測量之估計值與靈敏係數(Sensitivity coefficient) （6）計算組合標準不確定度與有效自由度(Effective degrees of freedom) （7）決定擴充係數(Coverage factor)與擴充不確定度 （8）量測不確定度的表達[5]。
圖四為ISO GUM 與蒙地卡羅模擬法在不確定度評估計算程序的差異，由圖中可知蒙地卡羅模擬法提供了一個數值的近似方式，藉由程式的計算模擬系統隨機情況以求取量測不確定度，相較於傳統之不確定度評估方式，此模擬法將可免去複雜的計算並使得應用的範圍更廣且更有效率。
蒙地卡羅模擬法主要利用量測方程式之各個獨立變數的機率密度函數(PDF)，隨機選取函數值並代入量測方程式中，以求得整個系統的資料分布[6]，如圖五所示。
而利用此計算結果可進而求得受測量的估計值與其不確定度以及涵蓋區間與結果之機率分配。
其計算流程可概述如下：【1】從N 個獨立變數(N i X i ,...,1, )的機率密度函數中，針對各個函數隨機選取樣本點，並將此樣本點的值代入系統方程式中以得到系統的受測量。
而針對這個程序重複至足夠大的數目M ，以得到M 個系統的受測量，並利用此M 個值作進一步的分析並構建出受測量的分配圖形，如圖六所示。
【2】利用此M 個計算出的系統受測量估計值，作進一步的統計(如標準差、收斂區間等)與不確定度的分析。
其中M 的值需達到一定程度的數目（一般約為610）才可達到一定的精確度。
如要加快收斂的速度，可採用自適應(Adaptive)之疊代方法[7]，以加快收斂速度並達到所需的精確度。
而此計算流程（如圖七[8]）的各個步驟將詳細描述如下：(1) 量測系統方程式：定義量測系統的統御方程式()X f Y = ，其中Y 為系統的受測量，X 為輸入量，並評估各個輸入變數的機率密度函數(PDF)與不確定度。
(2) 輸入變數的機率密度函數：在執行計算之前，需指定各個輸入變數的機率密度函數與相關資訊，而此資料的來源可依據經驗或科學的判斷以及有限制的資料來計算。
其中常見的機率密度函數包含有：1.常態分配(Normal distribution)：若資料分布呈現鐘形、圖形左右對稱且平均數、中位數與眾數幾乎相等，資料中有68 %介於±1倍標準差之間，95 %介於±2倍標準差之間，99.73 %介於±3倍標準差之間的話，可假設此資料為常態分配。
2.矩形分配(Rectangular or Uniform distribution)：若資料點落於a ~ b 區間範圍內的機率為1，且發生在該範圍內任何一點的機率皆相等，而在該範圍外的機率為0及呈現對稱於中心點的分布時，則可假設為矩形或均勻分配。
3.三角分配(Triangular distribution)：若資料非常集中於中心點且集中程度介於常態分配與矩形分配之間，則可假設為三角分配。
(3) 蒙地卡羅模擬法之疊代次數：疊代次數需達到一定的數量，如此計算結果才足以得到準確的受測量之期望值(Expectation)與不確定度。
一般在610次的計算下，計算結果即可達小數點以下一至兩位的精確度。
另外可採用自適應的蒙地卡羅計算程序(Adaptive Monte Carlo procedure)，藉由觀測各變數的收斂情況而調整疊代的次數，以節省計算的時間。