函数的单调性与极值
函数的单调性与极值理
1、判别法中的开区间可换成其他各种区间. 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f (x)≥0 (≤0)
如： 函数f(x)=x3在(, )上严格单调增加 但 f (0) =0
•函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少.
（1）两类点定义的出发点不同。
极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点 邻域内任何其它点的函数值；
驻点是指导数为零的点
因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点 一定是可导点。
（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导， 则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；
（3）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域 内符号相反，则此驻点一定为极值点
y=2x39x212x3
例 例3 4. . 讨 论 函 数 y = 3 x 2 的 单 调 性 . 解 函数的定义域为(, ). y = 2 ( x 0 ) , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 . 3 3 x 因为x<0时, y<0, 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, )上单调增加.
故函数f(x) 在x=0处取 得极小值f(0)=0.
y = 3 x2
•说明
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。
本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性1、函数单调性的判定为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133--)(a 、)(b 。
图133--)(a 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向上升，除点))(,(ξξf 处的切线平行于x 轴外，)(a )(b 图133--曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为锐角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为正；而图133--)(b 中函数)(x f y =的图像在),(b a 内沿x 轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x 轴的夹角均为钝角，即曲线)(x f y =在区间),(b a 内除个别点外切线的斜率为负。
由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(x f 在区间I 内可导，在I 内任取两点1x 和2x （21x x <），在区间],[21x x 上应用拉格朗日中值定理，得)()()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （21x x <<ξ） （1）由于在（1）式中012>-x x ，因此，若在I 内导数)(x f '的符号保持为正，即0)(>'x f ，那么也有0)(>'ξf ，于是0)()()()(1212>-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f <表明函数)(x f 在区间I 上单调增加。
同理，若在I 内导数)(x f '的符号保持为负，即0)(<'x f ，那么也有0)(<'ξf ，于是0)()()()(1212<-'=-x x f x f x f ξ即 )()(21x f x f > 表明函数)(x f 在区间I 上单调减少。
函数的单调性与极值问题
函数的单调性与极值问题函数的单调性和极值问题是数学分析中的重要概念和研究重点。
理解函数的单调性和极值问题对于解决实际问题、优化函数以及求函数的最大值和最小值都具有重要意义。
本文将对函数的单调性和极值问题进行探讨和讲解。
一、函数的单调性函数的单调性描述了函数在定义域上的递增和递减情况。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数在该区间上是递增的；如果对于定义域内的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。
在进行函数单调性的研究时，我们常常通过函数的一阶导数来进行分析。
根据导数的定义和性质，当函数单调递增时，导函数f'(x)大于零，当函数单调递减时，导函数f'(x)小于零。
因此，我们可以通过导函数的正负来判断函数的单调性。
二、函数的极值问题函数的极值是函数在定义域内取得的最大值和最小值，分别称为极大值和极小值。
找到函数的极值对于实际问题的优化以及求解最优解非常重要。
对于连续的函数，在闭区间[a, b]上的极值一定是在函数的驻点（导数为零或者导数不存在的点）或是区间的端点上取得。
因此，我们可以通过求解函数的导数方程来找到函数的驻点，然后通过将驻点和区间端点代入函数来求解极值。
需要注意的是，在求解极值时，仅仅找到函数的驻点还不足以判断其是否为极值点。
还需要通过二阶导数的正负来判断此驻点是否为极大值、极小值或拐点。
当二阶导数大于零时，为极小值；当二阶导数小于零时，为极大值；当二阶导数等于零时，需进行其他方法的判断。
三、应用实例函数的单调性与极值问题在实际中有广泛的应用。
以下举例说明：1.经济学中的生产成本分析。
通过分析生产成本与产量之间的函数关系，可以确定产量范围内的最小成本和最大成本，为企业的生产决策提供参考依据。
2.物理学中的最速降线问题。
通过分析物体在重力作用下的运动状态，可以确定物体在斜面上的最速降线问题，为物体的运动设计提供最优解。
函数的单调性及极值
函数的单调性及极值一、函数单调性的判别法如果函数)(x f y =在],[b a 上单调增加（单调减少），那么，它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线。
这时，曲线上各点处的切线斜率非负（非正），即()0(()0)y f x y x '''=≥≤。
由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。
我们可以用导数的符号来判别函数的单调性。
定理1 设函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，则有（１）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；（２）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少．讨论可导函数)(x f 的单调性可按下列步骤进行 ：（1）求出函数)(x f 的定义域；（2）求出)(x f '，并令0)(='x f ，解此方程求出驻点； （3）用驻点把定义域分割成若干个部分区间，在每个部分区间内判定)(x f '的符号 若0)(>'x f ，则)(x f 在该区间单调增加；若0)(<'x f ，则)(x f 在该区间单调减少．例1 判定函数()sin [02]f x x x π=-在，上单调性。
解 因为在02π（，）内，()1cos 0f x x '=->所以由定理1可知，函数()sin [02]f x x x π=-在，上单调增加。
例２ 讨论396)(23++-=x x x x f 的单调性．解 该函数的定义域为 （),+∞∞-， )3)(1(39123)('2--=+-=x x x x x f令0)('=x f ，解得3,1==x x ，用它们把定义域分成),3[],3,1[],1,(+∞-∞三部分．列表讨论如下表示在)1,(-∞和),3(+∞内，0)('>x f ；“－”表示在)3,1(内0)('<x f ．由上述讨论可知 函数)(x f 在),3[]1,(+∞-∞和上单调增加，在]3,1[上单调减少．例３ 确定函数32)(x x f =的单调区间。
函数的单调性与极值点
函数的单调性与极值点函数的单调性和极值点是数学中重要的概念，它们用于描述函数在定义域内的增减关系和取得最大值或最小值的点。
本文将详细介绍函数的单调性和极值点的概念，并探讨它们的性质及应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减关系。
具体来说，如果对于定义域内的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，函数值f(x1)<f(x2)，则称函数为递增函数；当x1<x2时，函数值f(x1)>f(x2)，则称函数为递减函数。
为了判断函数的单调性，我们可以计算函数的导数。
对于定义在区间(a, b)上的可导函数，如果在该区间内导函数始终大于零，则函数为递增函数；如果在该区间内导函数始终小于零，则函数为递减函数。
当导函数在某一点处等于零时，该点可能是函数的极值点。
二、函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。
极值点可以分为极大值点和极小值点。
如果在某一点的邻域内，函数在该点处的值大于（或小于）邻域内其他点的函数值，则该点为极大值点（或极小值点）。
为了确定函数的极值点，我们需要计算函数的导数。
首先求得函数的导函数，然后找到导函数为零的解，即导函数的根。
根据极值点的性质，导函数在极大值点或极小值点处的值为零。
因此，将导函数等于零的解代入原函数中，即可求得极值点的值。
需要注意的是，虽然导函数为零的点可能是函数的极值点，但并不是所有导函数为零的点都是极值点。
还需要进一步分析函数的横截点和导函数的符号变化，以确定这些点是否为极值点。
三、函数的单调性与极值点的应用函数的单调性和极值点在各个科学领域中有广泛的应用。
在经济学中，函数的单调性用于分析供需关系以及市场的变化趋势。
在物理学中，函数的单调性和极值点可以用于描述物体的运动规律和力学问题。
在统计学中，函数的单调性和极值点被用于拟合数据和分析数据的趋势。
此外，在优化问题中，函数的单调性和极值点也扮演着重要的角色。
通过研究函数的单调性和极值点，我们可以找到函数取得最大值或最小值的条件，并在实际问题中应用这些条件进行优化。
-函数的单调性、极值与最值
（
2 ， 0） 2
+ ↑
（ 0， 2 2 ）
不存在 无
2 2
+ ↑
0
极大
－
↓
（ 1 ， ）
－
（
2 2
，1 ）
1
不存在
+ ↑
0
－
极小
极大
↓
无
↓
所以，f(x)的极大值为 f (
2 3 2 3 ) 4 ， f ( ) 4 . 2 2 0 )1 . f(x)的极小值为 f(
练习
求下列函数的极值.
注2：Th1中的“>”和“<”号也可改为“≥ ”和“≤ ” 号，
2、分段单调函数： Def 1：若函数在某些子区间上单调递增，而在另一些子
区间上单调递减，则称该函数为分段单调函数.
结论同样成立.
3、驻点： 导数 f '(x)在区间内部的零点称为 f (x)驻点 . Def 2：
即： f ' ( x ) 0 ，则 x 为驻点 . 0 0
2 2 例3：证明 1 x ln( x 1 x ) 1 x ( x 0 ).
2 2 证：令 f ( x ) 1 x ln( x 1 x ) 1 x
2 则 f ' ( x ) ln( x 1 x ) 0
( x 0)
当 x （ 0 , ）时， f( x ) 为严格单调递
a
x0
0
b
x
2、极值的必要条件 定理 2 设函数 f(x) 在 I 内连续，点 x0 不是 I 的断点 ，若函数在 x0 处取得极值，则 x0 或是函数的不可导 点，或是可导点；当 x0 是 f(x) 的可导点，那么 x0 必 是函数的驻点，即 f ( x0 ) = 0. 推论：设函数 f(x)在点 x0可导，则函数 f(x)在点 x0 取得极值的必要条件是 f ( x0 ) = 0 . 注1：极值点有可能是可导点，也有可能是极值点.
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学的广袤天地中，函数是一座璀璨的灯塔，而函数的单调性与极值则是其重要的特征和性质。
它们就像函数世界的指南针，帮助我们理解函数的行为和变化规律。
首先，咱们来聊聊函数的单调性。
简单说，单调性就是函数值随着自变量增大或减小的变化趋势。
如果函数值随着自变量的增大而增大，那这个函数在相应的区间上就是单调递增的；反之，如果函数值随着自变量的增大而减小，那它就是单调递减的。
想象一下，我们有一个函数 f(x) ＝ x²。
当 x ＜ 0 时，随着 x 的值越来越小，函数值却越来越大，所以在区间（∞， 0) 上，函数是单调递增的；而当 x ＞ 0 时，随着 x 的值越来越大，函数值也越来越大，所以在区间（0, ＋∞）上，函数同样是单调递增的。
那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要用到一些数学工具啦，比如导数。
导数就像是函数的“速度表”，它能告诉我们函数变化的快慢。
如果导数大于零，那么函数在这个区间就是单调递增的；如果导数小于零，那就是单调递减的。
举个例子，对于函数 f(x) ＝ 2x ＋ 3 ，它的导数 f'（x) ＝ 2 ，因为 2 大于零，所以这个函数在整个实数范围内都是单调递增的。
再来说说函数的极值。
极值可不得了，它是函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
比如说，一座山峰在周围的区域中是最高的，那这个山峰的高度就是一个极大值；而一个山谷在周围的区域中是最低的，那这个山谷的深度就是一个极小值。
要找到函数的极值，我们通常需要先找到导数为零的点，这些点被称为驻点。
但驻点可不一定都是极值点哦，还需要进一步判断。
假设我们有一个函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2 ，对它求导得到 f'（x) ＝3x² 6x 。
令导数等于零，即 3x² 6x ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 。
接下来，我们要通过二阶导数或者两侧的导数符号来判断这些点是不是极值点。
初中数学知识归纳函数的单调性与函数的极值
初中数学知识归纳函数的单调性与函数的极值初中数学知识归纳——函数的单调性与函数的极值函数是数学中的重要概念，它描述了一种元素之间的依赖关系。
而函数的单调性与函数的极值则是函数的两个重要性质。
本文将从数学角度详细解释函数的单调性与函数的极值的概念、性质以及它们在数学问题中的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值的增减性质。
具体说，对于一个定义在区间上的函数，如果其在区间内任意两个不同的点，函数值总是满足增加或减少的关系，则称该函数在该区间上是单调的。
函数的单调性分为单调递增和单调递减两种情况。
1. 单调递增函数的单调递增指的是在函数的定义域内，随着自变量的增加，函数值也逐渐增大。
例如，对于函数$f(x)$而言，如果对于区间$[a, b]$内的任意两个不同的实数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$[a, b]$上为单调递增。
2. 单调递减函数的单调递减指的是在函数的定义域内，随着自变量的增加，函数值逐渐减小。
例如，对于函数$f(x)$而言，如果对于区间$[a, b]$内的任意两个不同的实数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$[a, b]$上为单调递减。
函数的单调性在解决实际问题中具有重要作用，它可以帮助我们分析函数的性质和得出一些结论。
二、函数的极值函数的极值是指在函数的定义域内，函数取得的最大值或最小值。
极值点对应函数曲线上的极值。
1. 极大值函数的极大值是指函数在某个点上取得的最大值。
例如，对于函数$f(x)$而言，如果存在一个点$c$，使得在以$c$为中心的某个区间内，对于任意的$x$，都有$f(x) \leq f(c)$，则称函数$f(x)$在点$c$处有极大值。
2. 极小值函数的极小值是指函数在某个点上取得的最小值。
函数的单调性与极值
函数的单调性与极值在数学中，函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
它描述了函数图像是上升、下降还是具有其他类似的性质。
而函数的极值则表示函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
函数的单调性与极值是函数分析中常用的重要概念，可用于求解最优化问题、验证数学定理等。
一、函数的单调性函数的单调性分为递增和递减。
当函数随着自变量的增大而增大，或者随着自变量的减小而减小时，称为递增函数。
相反，当函数随着自变量的增大而减小，或者随着自变量的减小而增大时，称为递减函数。
我们以一些常见的函数类型为例，来说明函数的单调性：1. 线性函数：线性函数是指函数的表达式是一次方程的函数，即$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$是常数。
线性函数的单调性取决于斜率$a$的正负性。
当$a>0$时，函数递增；当$a<0$时，函数递减。
2. 幂函数：幂函数是指函数的表达式是$x$的幂次方，即$f(x)= x^n$，其中$n$是常数。
当$n>0$且$n$是奇数时，函数是递增的；当$n>0$且$n$是偶数时，函数是递减的。
3. 指数函数：指数函数是指函数的表达式是以常数为底数的指数函数，即$f(x)=a^x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
4. 对数函数：对数函数是指函数的表达式是对数函数，即$f(x)=\log_a x$，其中$a$是常数且$a>0$且$a\neq1$。
当$a>1$时，函数递增；当$0<a<1$时，函数递减。
二、函数的极值函数的极值包括最大值和最小值。
当函数在某个点上取得最大值时，称为函数的最大值；当函数在某个点上取得最小值时，称为函数的最小值。
极值点也被称为驻点。
函数的极值可以通过求导数的方法来获得。
首先，求函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
进一步，通过二阶导数的正负性来判断极值点的类型。
函数的单调性与极值求解
函数的单调性与极值求解是微积分中的重要概念，对于理解函数的性质、预测函数的变化趋势以及解决实际问题都具有重要意义。
本文将从单调性的定义、判断方法、应用，极值的定义、求解方法、应用等方面进行详细探讨。
一、单调性1. 单调性的定义单调性描述了函数值随自变量变化的规律。
若在一个区间内，函数值随自变量的增大而增大（减小而减小），则称函数在该区间内单调递增（递减）。
根据定义，我们可以知道单调性是一个局部性质，即一个函数在不同的区间内可以有不同的单调性。
2. 判断单调性的方法（1）导数法：通过求函数的导数，判断导数的符号来确定函数的单调性。
若导数在某区间内大于0，则函数在该区间内单调递增；若导数在某区间内小于0，则函数在该区间内单调递减。
（2）定义法：根据单调性的定义，对于任意的两个点x1和x2（x1<x2），如果函数在x1处的函数值小于在x2处的函数值，则函数在[x1, x2]区间内单调递增；反之，如果函数在x1处的函数值大于在x2处的函数值，则函数在[x1, x2]区间内单调递减。
3. 单调性的应用单调性在实际应用中具有广泛的用途。
例如，在经济学中，很多经济指标（如需求、供应等）都可以表示为自变量（如价格、收入等）的函数，通过分析这些函数的单调性，可以预测经济指标的变化趋势。
此外，在优化问题、工程问题等领域，单调性也发挥着重要作用。
二、极值1. 极值的定义极值描述的是函数在某一点处的局部性质，即函数值在该点及其附近达到最大或最小。
如果一个函数在某一点处的函数值大于（或小于）其附近所有点的函数值，则称函数在该点处取得极大值（或极小值）。
2. 求解极值的方法（1）一阶导数法：首先求出函数的导数，然后解导数等于0的方程，得到可能的极值点。
接着分析导数在这些点附近的符号变化，如果导数由正变负，则函数在此点处取得极大值；如果导数由负变正，则函数在此点处取得极小值。
（2）二阶导数法：在求得一阶导数等于0的点后，进一步求出函数的二阶导数。
函数的单调性与极值
x
，3 5
3 5
f (x)
+
0
f (x)
3 5
，1
1 不存在
1，
+
由上表可知，函数
f
(x)
的单调增加区间为
，53
和
[1，
)
，单调减少区间为
3 5
，1
。
二、函数的极值及其求法 1．函数极值的定义
由图3-2可以看出，y f (x) 在点 x2及 x5的函数值 f (x2 ) 和 f (x5 ) 比 它邻近各点的函数值都大，而在 x1，x4，x6 的函数值 f (x1)，f (x4 )，f (x6 ) 比它们邻近各点的函数值都小，对于这种性质和对应点的函数值，我 们给出如下定义：
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点 称为函数的尖点。
现将求函数 f (x)的单调区间的一般步骤归纳如下：
（1）确定函数 f (x) 的定义域； （2）求函数 f (x) 的导数，确定驻点和尖点； （3）以驻点和尖点为分界点，按照从小到大的顺序将定义域 划分为若干个子区间，列表讨论 f (x) 在各个子区间内 f (x) 的 符号，根据判定法确定函数 f (x) 的单调区间。
例4 求函数 f (x) (2x 5) 3 x2 的极值。
解 （1）函数的定义域为 ( ， )
（2）求导
f
(x)
5
(2x3
2
—5x 3
)
10
x—1
，得驻点
x 1，尖点
x 0。
界点将 ( ， ) 分为三个子区间， 列表讨论：
x
( ，0)
0
(0 ，1)
函数的单调性与极值、最值
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金融问题
在投资组合理论中，凹凸性可以用来描述投资组合的风险和回报之间的关系。投资者可以根据自己的风 险承受能力和投资目标，选择合适的投资组合策略。
05 函数的拐点
函数拐点定义
函数拐点是指函数图像上凹凸 性发生变化的点，即函数的一 阶导数在该点为零或不存在的 点。
在数学上，函数拐点的定义是 函数在某点的二阶导数为零的 点，即$f''(x)=0$。
最值的求法
代数法
通过求导数、找驻点、判断单调性等方法来求解 最值。
无穷区间法
利用极限的思想，将函数在无穷区间上的最值转 化为有限区间上的最值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值和最小 值。
最值在实际问题中的应用
01
优化问题
在生产、运输、分配等实际问题 中，常常需要通过求解最值来达 到最优解。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如 果任意两点之间的函数值都满足增减性条件，则函数在该 区间内单调。
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果在图像上 随着$x$的增大，$y$的值也增大（或减小），则函数在该 区间内单调递增（或递减）。
Hale Waihona Puke 单调性在实际问题中的应用单调性与最值
单调性与优化问题
在解决优化问题时，可以利用函数的单调性来找到最优解。例如，在求解最大值或最小值 问题时，可以利用函数的单调性来确定搜索区间，从而缩小搜索范围，提高求解效率。
02 函数的极值
函数极值的定义
极值点
函数在某点的值比其邻近点的值大或小的点。
极大值
函数在某点的值比其左侧邻近点的值大，比 其右侧邻近点的值小。
函数的单调性与极值点的判定
函数的单调性与极值点的判定一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在定义域上的增减性质。
通过对函数的导数进行研究可以判断函数的单调性。
1.1 函数递增与递减的定义（1）递增函数：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上递增。
（2）递减函数：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f(x)在定义域上递减。
1.2 寻找函数的单调区间函数的单调区间是指函数在这个区间上具有递增或递减的性质。
寻找函数的单调区间可以通过该函数的导数符号来确定。
（1）当函数的导数大于0时，函数在该区间上递增。
（2）当函数的导数小于0时，函数在该区间上递减。
通过求解函数的导数并进行符号判断，可以找到函数的单调区间。
二、函数的极值点的判定函数的极值点是指函数在该点处取得的最大值或最小值。
2.1 临界点的求解临界点是指函数在该点处的导数等于0或者导数不存在。
通过求解函数的导数，可以找到函数的临界点。
2.2 极值点的判定（1）当函数在临界点处的导数由负数变为正数时，该点为极小值点。
（2）当函数在临界点处的导数由正数变为负数时，该点为极大值点。
（3）当函数在临界点处的导数符号不变时，该点不是极值点。
通过求解函数的导数并研究导数的符号变化，可以判断函数的极值点。
综上所述，函数的单调性和极值点的判定是通过对函数的导数进行研究来完成的。
通过求解导数，并通过导数符号的变化来判断函数的单调性和极值点的性质。
在实际问题中，掌握函数的单调性和极值点的判定方法，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进而解决相关的数学问题。
函数的单调性与极值点的求解
函数的单调性与极值点的求解函数的单调性是指在定义域内，函数值的变化趋势是否具有一致性。
而极值点则是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
确定函数的单调性和找出极值点对于理解函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍如何判断函数的单调性以及如何求解函数的极值点。
一、函数的单调性判断函数的单调性的方法有两种：用导数和用函数的图像。
1. 用导数判断函数的单调性对于函数y=f(x)，在区间(a,b)上可导，如果在(a,b)上f'(x)>0，则函数在该区间内单调递增；如果f'(x)<0，则函数在该区间内单调递减。
举例：考虑函数y=x^2，在整个实数集上可导。
计算导数f'(x)=2x，可以发现当x>0时，f'(x)>0，函数递增；当x<0时，f'(x)<0，函数递减。
2. 用函数的图像判断函数的单调性根据函数的图像，如果图像从左往右逐渐上升，则函数在该区间内单调递增；如果图像从左往右逐渐下降，则函数在该区间内单调递减。
举例：观察函数y=x^2的图像，可以看到当x>0时，函数的图像从左往右逐渐上升；当x<0时，函数的图像从左往右逐渐下降。
函数的单调性判断对于求解函数的极值点也是有帮助的。
二、极值点的求解函数的极值点包括极大值点和极小值点，可以通过以下步骤求解：1. 求函数的导数对于函数y=f(x)，求它的一阶导数f'(x)。
如果函数存在极值点，那么在该点处导数等于零或者不存在。
2. 求解导数为零的方程根据求导得到的方程f'(x)=0，解方程得到使得导数为零的点，即可能的极值点。
3. 求解导数不存在的点导数不存在的点也可能是极值点，需要检查这些点是否满足极值点的条件。
4. 比较函数值在求解得到的可能的极值点中，比较这些点处的函数值，找出函数在该点处的最大值或最小值，即确定极值点。
举例：考虑函数y=x^3-3x^2+2x，在整个实数集上可导。
函数的性质单调性与极值的分析
函数的性质单调性与极值的分析函数的性质：单调性与极值的分析函数是数学中的重要概念，用来描述变量之间的关系。
在函数的研究中，了解函数的性质是至关重要的。
其中，函数的单调性和极值是两个重要的性质，它们能够帮助我们更好地理解和应用函数。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体而言，函数可以分为单调递增和单调递减两种情况。
单调递增表示函数值随着自变量的增大而增大，反之，单调递减则表示函数值随着自变量的增大而减小。
我们可以通过函数图像、导数和增减区间等方式来判断函数的单调性。
1. 函数图像通过观察函数的图像，我们可以直观地了解函数的单调性。
对于单调递增的函数，其图像从左往右逐渐上升；对于单调递减的函数，则是从左往右逐渐下降。
2. 导数函数的导数可以用来判断函数的单调性。
对于单变量函数，我们通过导数的正负来确定函数的单调性。
如果导数在定义域上恒大于零，则函数单调递增；如果导数在定义域上恒小于零，则函数单调递减。
3. 增减区间函数的增减区间也是判断函数单调性的重要方法。
通过求解函数的增减区间，我们可以确定函数在哪些范围内单调递增或单调递减。
了解函数的单调性对于解决实际问题非常有帮助。
例如，在经济学中，对于需求曲线和供给曲线的单调性分析可以帮助决策者做出合理的决策。
二、函数的极值函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在某个点上的最大值，极小值则是函数在某个点上的最小值。
极值的判断也可以通过函数的图像、导数和二阶导数等方式进行。
1. 函数图像函数的极值点对应于函数图像上的局部最高点和最低点。
通过观察函数图像，我们可以找到函数的极值点。
2. 导数和二阶导数对于单变量函数，函数的极值点通常对应于导数为零的点。
通过求解函数导数为零的方程，我们可以确定函数的极值点。
此外，二阶导数的符号还可以帮助我们确定极值的类型。
如果二阶导数大于零，则函数在该点有极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点有极大值。
函数的单调性与极值问题
函数的单调性与极值问题在数学中，研究函数的单调性与极值问题是非常重要的。
函数的单调性描述了函数在定义域内的递增或递减趋势，而极值则表示函数在某些点上取得最大或最小值。
本文将讨论函数的单调性和极值问题，并提供相关的数学概念和方法。
一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在其定义域内的变化趋势。
具体而言，如果对于函数中的任意两个实数x1和x2，当x1 < x2时，函数值f(x1)小于等于f(x2)，则函数被称为在该定义域内是递增的。
同样地，如果当x1 < x2时，f(x1)大于等于f(x2)，则函数被称为在该定义域内是递减的。
判断函数的单调性的方法通常有以下几种：1. 利用导数：对于可导的函数，可以通过求导来判断函数的单调性。
如果导函数大于零，则函数递增；如果导函数小于零，则函数递减。
2. 比较法：可以直接比较函数在不同点上的函数值来判断单调性。
如果函数值随着自变量的增大而增大，那么函数是递增的；反之则递减。
3. 二阶导数法：在某些情况下，可以通过求二阶导数来确定函数的单调性。
如果二阶导数大于零，则函数是凸函数，即递增的；如果二阶导数小于零，则函数是凹函数，即递减的。
二、极值问题极值是函数在其定义域内取得的最大或最小值。
极大值是函数在局部范围内取得最大值，而极小值则是函数在局部范围内取得的最小值。
在数学中，极值点也被称为驻点。
判断函数的极值通常有以下几种方法：1. 利用导数：对于可导的函数，可以通过求导数来找到驻点。
驻点为导数为零或不存在的点。
然后通过二阶导数的符号来判断驻点是极大值还是极小值。
若二阶导数大于零，则是极小值；若二阶导数小于零，则是极大值。
2. 区间法：对于定义域是闭区间的函数，可以通过计算区间端点和驻点的函数值来找到极值。
比较这些函数值可以确定最大值和最小值。
3. 二次判别法：对于二次函数，可以利用二次函数的二次判别式来判断其极值。
若二次判别式大于零，则函数有极值。
总结：函数的单调性与极值问题是数学中非常重要的概念和技巧。
函数与方程的单调性与极值
函数与方程的单调性与极值随着数学的发展，函数与方程的研究也逐渐深入，其中一个重要的概念就是函数的单调性与极值。
函数的单调性与极值对于数学研究和实际问题的解决都具有重要意义。
本文将着重探讨函数的单调性与极值。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增减变化规律。
通常将单调递增与单调递减作为两种基本类型。
如果对于任意的自变量x₁与x₂且满足x₁<x₂，都有f(x₁)≤f(x₂)，那么函数f(x)在定义域上就是单调递增的；如果对于任意的自变量x₁与x₂且满足x₁<x₂，都有f(x₁)≥f(x₂)，那么函数f(x)在定义域上就是单调递减的。
函数的单调性可以通过导数的正负性来判断。
如果函数f(x)在定义域上处处可导且导函数f'(x)>0，那么f(x)就是单调递增的；如果函数f(x)在定义域上处处可导且导函数f'(x)<0，那么f(x)就是单调递减的。
为了更好地理解函数的单调性，我们可以通过具体的例子进行说明。
例如，考虑函数f(x)=x²，在定义域上可以观察到对于任意的x₁和x₂，若x₁<x₂，则f(x₁)=x₁²<x₂²=f(x₂)，因此函数f(x)在整个定义域上是单调递增的。
类似地，可以通过导数的计算验证。
二、函数的极值函数的极值是指函数在一个局部区间内取得的最大值或最小值。
极大值即为在局部区间内取得的最大值，极小值即为在局部区间内取得的最小值。
在函数表达式中，极值点对应的自变量的取值称为极值点的横坐标，而函数在该点的取值称为极值点的纵坐标。
函数的极值点通常出现在函数的导数为0或不存在的点处。
我们可以通过求导数来确定函数极值点的位置。
具体而言，对于函数f(x)，首先求导得到导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，解方程可以得到极值点的横坐标，再通过函数表达式求出纵坐标即可确定极值点。
需要注意的是，极值点并不一定就是函数的最大值或最小值。
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函数的单调性与极值
本节开始, 我们学习导数在实际中的一些应用, 包括 利用导数研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性、拐 点）并作图以及最优化问题的求解, 这些应用的理论基
础是我们之前学习的微分学理论以及微分中值定理.
1
一、函数的单调性的判别法
观察与思考： 函数的单调性与导数的符号有什么关系？ 函数单调增加 函数单调减少
21
例7 求函数 f ( x) ( x 5) 2 3 ( x 1) 2的单调区间和极值.
解
1 2 f ( x) 2( x 5) 3 ( x 1) 2 ( x 5) 2 ( x 1) 3 3 6( x 5)( x 1) 2(x 5)2 4( x 5)(2x 1) . 3 3 x 1 33 x 1
x1 , x2 (a , b), 且 x1 x2 ,
f ( x)在[ x1, x2 ] [a, b]上满足Lagrange定理条件,
应用Lagrange定理,可得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )
( x1 x2 )
x2 x1 0, 从而
5
注： 1、函数单调性的判别法是Lagrange中值定理的重 要应用.定理中的区间[a,b]可推广为开区间、半开区间、 无穷区间等,定理均成立. 2、单调性是函数在一个区间上的性质, 因此要用导数在 该区间上的整体符号来判定,不能用一点处的导数符号来 代替.区间内个别点处的导数为零,不影响函数在该区间 上的整体单调性.
称为“二阶导数非零法” 说明：(1)记忆:几何直观；
o
x0
x
(2) 此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；
(3) 当 f ( x0 ) 0 时,法则失效,如: x 3 , x 4 在 x 0 处 .
24
例8
求函数 f ( x ) x 3 x 9 x 5 的极值.
( ,1) 1
1 ( 1, ) 2
1 2
1 ( ,5) 2
5
(5, )
不存 在
0
极 大 值
0
极 小 值
f ( x)
极 小 值
1 f ( x)的单调增区间为[ 1, ],[5, ); 2 1 单调减区间为 (, 1), ( , 5) 2 1 81 3 9 f( ) . f (1) 0，f (5) 0， 极大值： 极小值： 2 4 23 4
如 y x 3 的驻点为x 0 ,但它不是极值点.
17
此外,不可导点也可能是极值点,
如 y | x | 在 x 0 处不可导,但 x 0 却是极小值点.
但函数的不可导点也不一定是极值点，
如 y 3 x 在x 0 处不可导,却不是极值点.
y
y
y | x|
O
y3 x
x
O
f ( x)
f ( x)的单调增区间为 (,1),(2, ); 单调减区间为 [1, 2]. 分界点不要忘
11
例5 求函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
解
D=(, ).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2).
定理3(极值的第二充分条件)
设函数 f ( x) 在它的驻点x0 处二阶可导,则
(1) 如果 f ( x0 ) 0 , 则 x0 为极小值点； y
(2) 如果 f ( x0 ) 0 , 则 x0 为极大值点；
x0
x
(3) 如果 f ( x0 ) 0 , 则无法判断.
o
y
y
y 3 x2
o
x
8
例4 讨论函数 y e x x 1 的单调性 . 解 定义域 D=(, ).
x y e 1, 令 f ( x) 0 , 得 x 0 .
当x 0时，y 0, 函数在(, 0] 上单调减少；
y 0, 函数在(0, )上单调增加. 当x 0时，
2 f (x) 6x 18 x 12 6( x 1)( x 2).
令f ( x) 0, 解得 x1 1, x2 2.
x1 1, x2 2将定义域(, )划分为三个区间, 列表讨论如下：
x
f ( x )
(, 1)
(1, 2)
( 2, )
x
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导.
（） 1 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数 y f ( x)在[a, b]上
单调增加；
（2） 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数 y f ( x)在[a, b]上
单调减少；
4
证
3 2 y x , y 3 x 0 , y(0) 0, 例如,
y
但它在(, )上单调增加.
o
x
3、若不特别指明区间,默认在定义域上 讨论函数的单调性.
6
例1 讨论函数 y ln x 的单调性. 解 定义域 D=(0, ). 注意定义域！ 1 y 0 , x (0, ). x
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a, b]上单调增加；
若在(a , b)内， f ( x ) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
且当 x U ( x0 ) 时,恒有 f ( x) f ( x0 ) ,则称 f ( x0 ) 为 f ( x )
的一个极大值；如果当 x U ( x0 ) 时,恒有 f ( x) f ( x0 ) ，
则称 f ( x0 ) 为 f ( x ) 的一个极小值.
y y
o
x0
x
o
x0
x
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
15
说明： 1、极值不一定都存在； 2、极值若存在,必在定义区间的内部取到； 而最值既可能在区间内部取到,也可能在端点处取到. 若最值在区间内部取到,则必为极值. 3、极值是局部性的概念,可以有多个,且极大值不一定 比极小值大. 最值是全局概念. 至多有一个最大值，一个最小值.
3 y x 最小值不会大于最大值 . y
y
y
一阶导数 变号法
x
20
o
x0
x
o
x0
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间
的分界点. ——极值的另一种理解.
求极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；
(2) 求导数 f ( x), 并进行因式分解；
(3) 在定义域内, 求极值可疑点(即驻点或一阶导数 不存在的点)； (4) 应用极值的第一充分条件判断（列表讨论）. (5) 写出结论. 函数单调区间和极值经常是放在一起求的.
y
y f ( x)
O
x
无极值.
ax
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
16
x
定理1(极值的必要条件) 设 x0 是 f ( x) 的极值点，
且 f ( x ) 在点 x0 可导， 则必有 f ( x0 ) 0 .
所以对可导函数来说,极值点必为驻点.
y y
y
y x3
o
x0
x
o
x0
x
O
x
但反之不然，驻点不一定是极值点.
D=(, ).
1 x1 5, x2 . 又 f (1)不存在. 令 f ( x) 0， 2 列表讨论：
22
4( x 5)(2 x 1) 1 f ( x) , x1 5, x2 , x3 1. 列表讨论： 3 2 3 x 1
x
f ( x )
其中(,0],(0, )分别称为f ( x)的单调增和单调减区间.
单调增、减区间统称为单调区间. 对大多数函数而言, 求函数的单调区间比讨论其在定
义域上的整体单调性更有意义.
9
函数单调区间的计算
称为驻点
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的 分界点. 求函数单调区间的步骤：
1、求函数的定义域；
y
o
(1,0)
x
y ln x 在定义域内单调增加 ,即为增函数.
例2 判断函数 y x cos x 在[0, 2 ]上的单调性. 解
y 1 sin x ,
3 y 0, 且仅在x= 处,y 0. 在[0, 2 ]上， 2
函数y x cos x在[0, 2 ]上单调增加.
2、计算f ( x), 并进行因式分解；
驻点或不可导点 3、在定义域内,求单调区间的分界点； 4、用分界点将定义域划分成若干区间，应用单调性判
别法列表进行讨论；
5、写出结论（分界点勿忘）.
10
例5 求函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间. 解
D=( , ).
x
18
这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点, 两者必居其一. 我们将驻点和不可导点统称为极值可疑点. 下面给出两个充分条件,用来判别极值可疑点是否
分条件) 设函数 f ( x ) 在 x0 处连续,在 x0 的某去心邻域 U ( x0 ) 内可导.
(1) 若 x ( x 0 , x 0 ) 时 , f ( x ) 0 , y
x