函数的单调性与极值教学案
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)章节一：函数单调性的引入1. 引入概念：单调增加和单调减少2. 讲解实例：设f(x) = x，则f(x)在实数集上单调增加设g(x) = -x，则g(x)在实数集上单调减少3. 总结：函数单调性是描述函数值变化趋势的重要性质，分为单调增加和单调减少两种情况。
章节二：函数单调性的定义1. 定义单调增加：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≤f(x2)，则称f(x)在区间I上单调增加。
2. 定义单调减少：若对于任意的x1 < x2，都有f(x1) ≥f(x2)，则称f(x)在区间I上单调减少。
3. 举例说明：设h(x) = 2x + 3，则h(x)在实数集上单调增加设k(x) = -x^2 + 1，则k(x)在区间[-1, 1]上单调增加，在区间(-∞, -1]和[1, +∞)上单调减少章节三：函数单调性的判断方法1. 导数法：若函数f(x)在区间I上可导，且导数f'(x) ≥0（单调增加）或f'(x) ≤0（单调减少），则f(x)在区间I上单调增加或单调减少。
2. 图像法：绘制函数图像，观察函数值的变化趋势，判断单调性。
3. 表格法：列出函数在不同x值下的函数值，观察函数值的变化规律，判断单调性。
章节四：函数单调性的应用1. 最大值和最小值：对于单调增加的函数，最大值出现在定义域的右端点；对于单调减少的函数，最小值出现在定义域的左端点。
2. 函数的切线：单调增加的函数在切点处的切线斜率为正；单调减少的函数在切点处的切线斜率为负。
3. 函数的图像：单调增加的函数图像上升，单调减少的函数图像下降。
章节五：单调性在实际问题中的应用1. 线性规划：利用函数的单调性确定最优解的位置。
2. 优化问题：求函数的最值，利用函数的单调性判断最值的位置。
3. 经济学：分析市场需求和供给的单调性，预测市场变化趋势。
4. 物理学：研究物体运动的速度和加速度，利用单调性分析物体的运动状态。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会利用单调性判断函数的性质，如极值、最值等。
3. 能够运用单调性解决实际问题，如求函数的极值、最值等。
二、教学内容：1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。
2. 单调性的判断方法及应用。
3. 实际问题中的单调性应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的概念及判断方法。
2. 单调性在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的思考。
五、教学过程：1. 导入：复习函数的概念，引导学生思考函数的性质。
2. 讲解：讲解函数单调性的概念，引导学生理解单调增、单调减的定义。
3. 举例：分析具体函数的单调性，让学生学会判断。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固单调性的判断方法。
5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
6. 总结：回顾本节课的内容，强调单调性的重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：收集学生练习题的答案，评估学生对单调性判断方法的掌握。
3. 案例分析：评估学生在实际问题中运用单调性的能力。
七、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用，如经济学中的需求曲线、供给曲线等。
2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用，如微分、积分等。
八、教学资源：1. 教材：提供相关教材，为学生提供系统性的学习材料。
2. 课件：制作课件，辅助教学，提高课堂效果。
3. 练习题：准备练习题，巩固所学内容。
4. 实际问题案例：收集实际问题案例，用于教学实践。
九、教学建议：1. 注重概念的理解：在教学过程中，要强调函数单调性概念的理解，让学生明白单调性是什么。
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)第一章：函数单调性的概念及意义1.1 函数单调性的定义引入函数单调性的概念，让学生理解函数单调性的含义。
举例说明函数单调性的两种类型：单调递增和单调递减。
1.2 函数单调性的意义解释函数单调性在数学分析中的重要性，如在求解极值、最值等问题中的应用。
通过实际例子展示函数单调性在现实生活中的应用，如经济学中的需求函数等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 图像法教授如何通过观察函数图像来判断函数的单调性。
引导学生学会识别函数图像中的单调区间。
2.2 导数法介绍导数与函数单调性的关系。
教授如何利用导数的正负来判断函数的单调性。
第三章：函数单调性的应用3.1 求函数的极值讲解如何利用函数单调性来求解函数的极值。
通过例题让学生掌握求解极值的方法。
3.2 求函数的最值介绍如何利用函数单调性来求解函数的最值。
通过例题让学生理解最值的求解过程。
第四章：函数单调性的进一步探讨4.1 单调区间与导数的关系讲解单调区间与导数之间的关系，让学生理解导数在单调性判断中的作用。
通过例题展示导数在单调区间判断中的应用。
4.2 单调性在实际问题中的应用介绍单调性在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。
通过实际例子让学生学会如何运用单调性解决实际问题。
第五章：综合练习与拓展5.1 综合练习题提供综合练习题，让学生巩固函数单调性的概念、判断方法和应用。
引导学生学会如何运用所学知识来解决问题。
5.2 拓展与应用引导学生思考函数单调性在其他数学领域的应用，如微分方程、线性代数等。
提供一些拓展问题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
第六章：函数单调性的高级应用6.1 函数的单调性与其他数学概念的联系探讨函数单调性与其他数学概念的联系，如微分、积分、极限等。
通过例题展示函数单调性在其他数学领域的应用。
6.2 函数单调性在优化问题中的应用介绍函数单调性在优化问题中的应用，如求解最大值、最小值等。
通过实际例子让学生学会如何运用函数单调性来解决优化问题。
高中《数学》函数的单调性教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。
函数的单调性教案
函数的单调性教案第一章：函数单调性的基本概念1.1 引入：引导学生回顾初中阶段学过的函数概念，复习一次函数、二次函数的图像和性质。
提问：函数的图像是否具有单调性？如何描述函数的单调性？1.2 单调性的定义：讲解函数单调性的定义，引导学生理解单调递增和单调递减的概念。
举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调性。
1.3 单调性的判断：教授如何判断函数的单调性，引导学生掌握利用导数或图像判断单调性的方法。
第二章：单调递增函数的性质2.1 单调递增的定义：复习单调递增的定义，强调函数值随着自变量的增加而增加的特点。
举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调递增性质。
2.2 单调递增函数的图像：讲解单调递增函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而上升的趋势。
2.3 单调递增函数的性质：教授单调递增函数的性质，如凹凸性、极值等。
第三章：单调递减函数的性质3.1 单调递减的定义：复习单调递减的定义，强调函数值随着自变量的增加而减少的特点。
举例说明：如y=-x，y=-2x-1等函数的单调递减性质。
3.2 单调递减函数的图像：讲解单调递减函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而下降的趋势。
3.3 单调递减函数的性质：教授单调递减函数的性质，如凹凸性、极值等。
第四章：单调性的应用4.1 最大值和最小值：讲解如何利用函数的单调性求解最大值和最小值问题。
4.2 函数的单调区间：讲解如何确定函数的单调递增区间和单调递减区间。
4.3 函数的单调性与方程的解：讲解如何利用函数的单调性来解决方程的解的问题。
第五章：单调性的综合应用5.1 函数图像的变换：讲解如何利用单调性来分析和理解函数图像的平移、翻折等变换。
5.2 函数的单调性与实际问题：引导学生将函数的单调性应用于解决实际问题，如优化问题、经济问题等。
5.3 单调性的进一步探讨：引导学生思考单调性的局限性，如非单调函数的特殊情况。
第六章：复合函数的单调性6.1 复合函数的概念：引导学生回顾复合函数的定义，理解复合函数是由两个或多个基本函数通过函数运算组合而成的。
函数单调性优秀教案
函数单调性优秀教案【篇一：《函数单调性》教学设计】《函数单调性》教学设计【设计思路】有效的概念教学必须建立在学生已有的知识结构基础之上顺应学生的思维发展，因此在教学设计中注意在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”，呈现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中。
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入．在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．考虑到学生数学思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。
在教学设计中发挥好多媒体教学的优势，注意结合图形，由浅入深，采用数形结合方法，从感知发展到理性思维，让学生经历“创设情境——探究概念——理解反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者。
【教学目标】1．理解函数单调性的概念，初步掌握判断、证明函数单调性的方法． 2．通过观察、归纳、抽象、概括自主建构函数单调性概念的过程，体会数形结合的思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力；通过对函数单调性的证明，体会数学的严谨性，提高学生的推理论证能力．3．在学习中体会数学的科学价值和应用价值，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【背景分析】1、教材分析本节是高中数学新教材必修1第1章第1.3.1节第一课时，主要学习函数单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。
他是高中数学中相当重要的一个基础知识点。
是高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数单调性的基础．在比较数的大小、解方程或不等式、求函数的值域或最值、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。
高中数学同步学案 正弦、余弦函数的单调性与最值
第2课时 正弦、余弦函数的单调性与最值学 习 目 标核 心 素 养1.掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值．(重点、难点) 2．掌握y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小．(重点)3．会求函数y ＝Asin (ωx＋φ)和y ＝Acos (ωx＋φ)的单调区间．(重点、易混点)1.通过正弦、余弦曲线观察出正弦、余弦函数的单调性和最大(小)值等性质,提升学生的数学抽象素养．2．通过三角函数单调性等性质的学习,培养学生的运用数形结合研究问题的思想,提升学生的数学运算素养.正弦、余弦函数的图象与性质 解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1][－1,1]单调性在⎣⎢⎡－π2＋2kπ，π2＋2kπ],k ∈Z 上递增,在⎣⎢⎡π2＋2kπ，3π2＋2kπ],k ∈Z 上递减在[－π＋2kπ,2k π],k ∈Z 上递增, 在[2kπ,π＋2kπ],k ∈Z 上递减最值x ＝π2＋2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝－π2＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1x ＝2kπ,k ∈Z 时,y max ＝1；x ＝π＋2kπ,k ∈Z 时,y min ＝－1对称轴 x ＝kπ＋π2(k∈Z)x ＝kπ(k∈Z)对称中心 (kπ,0)k∈Z⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π，0k ∈Z思考：y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间(m,n)(其中0＜m ＜n ＜2π)上都是减函数,你能确定m 、n 的值吗？ [提示] 由正弦函数和余弦函数的单调性可知m ＝π2,n ＝π.1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的值域是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2,0]D ．[－1,1]A [这里A ＝2,故值域为[－2,2]．]2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2的一个对称中心是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0B [y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝cos 2x,令2x ＝kπ＋π2(k∈Z)得x ＝kπ2＋π4(k∈Z),令k ＝0的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0,故选B.]3．函数y ＝2－sin x 取得最大值时x 的取值集合为________．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2kπ－π2，k ∈Z [当sin x ＝－1时,y max ＝2－(－1)＝3,此时x ＝2kπ－π2,k ∈Z.]4．函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z) [令2kπ≤2x －π4≤2k π＋π,k ∈Z,得kπ＋π8≤x ≤k π＋5π8(k∈Z),故单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．]正弦函数、余弦函数的单调性【例1】 (1)函数y ＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数,则a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,求函数f(x)的单调递增区间．思路点拨：(1)确定a 的范围→y＝cos x 在区间[－π,a]上为增函数→y＝cos x 在区间[－π,0]上是增函数,在区间[0,π]上是减函数→a 的范围．(2)确定增区间→令u ＝π4＋2x→y＝2sin u ＋1的单调递增区间．(1)(－π,0] [因为y ＝cos x 在[－π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以只有－π＜a≤0时满足条件,故a∈(－π,0]．](2)[解] 令u ＝π4＋2x,函数y ＝2sin u ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ,k ∈Z,由－π2＋2kπ≤π4＋2x≤π2＋2kπ,k ∈Z, 得－3π8＋kπ≤x ≤π8＋kπ,k ∈Z.所以函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋kπ，π8＋kπ,k ∈Z.1．本例(2)中条件不变,问⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4是该函数的单调递增区间吗？[解] 令2x ＋π4＝u,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4, ∴π4≤2x ＋π4≤3π4,即u∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4. 而y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上不单调,故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上不是单调递增的． 2．本例(2)中条件不变,求在[－π,π]上的单调递增区间． [解] 对于y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1,由2kπ－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k∈Z)得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k∈Z)．∵－π≤x ≤π,令k ＝－1时,－π≤x ≤－78π,令k ＝0时,－3π8≤x ≤π8,令k ＝1时,5π8≤x ≤π,∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2x ＋1在[－π,π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－78π、⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π8，π.3．本例(2)中把条件中的“π4＋2x”改为“π4－2x”,结果怎样？ [解] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1,令2kπ＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k∈Z),得kπ＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k∈Z)．故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＋1的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋3π8，k π＋7π8(k∈Z)．1．求形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b 或形如y ＝Acos (ωx＋φ)＋b(其中A≠0,ω>0,b 为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间,通过解不等式求得．2．具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体,若ω<0,先用诱导公式将式子变形,将x 的系数化为正；②在A>0,ω>0时,将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0,ω>0时,同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．1．(1)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为________． (2)已知函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ,则它的单调递减区间为________． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z) [(1)由π2＋2kπ≤3x ＋π6≤3π2＋2kπ(k∈Z ), 得π9＋2kπ3≤x ≤4π9＋2kπ3(k∈Z)． 又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3, 所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－2π9,⎣⎢⎡⎦⎥⎤π9，π3.(2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3,由2kπ≤2x －π3≤2kπ＋π,k ∈Z,得kπ＋π6≤x ≤k π＋2π3,k ∈Z,∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ＋π6，k π＋2π3(k∈Z)．]利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10；(2)sin 196°与cos 156°；(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 思路点拨：用诱导公式化简→利用函数的单调性，由自变量的大小推出对应函数值的大小 [解] (1)∵－π2＜－π10＜－π18＜π2,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10.(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°,cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°, ∵0°＜16°＜66°＜90°, ∴sin 16°＜sin 66°, 从而－sin 16°＞－sin 66°, 即sin 196°＞cos 156°. (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0＜π4＜35π＜π,且y ＝cos x 在[0,π]上是减函数,∴cos 35π＜cos π4,即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.三角函数值大小比较的策略(1)利用诱导公式,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2或⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2内；对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[－π,0]或[0,π]内．(2)不同名的函数化为同名的函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内,借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小．2．(1)已知α,β为锐角三角形的两个内角,则以下结论正确的是( ) A ．sin α＜sin β B ．cos α＜sin β C ．cos α＜cos β D ．cos α ＞cos β(2)比较下列各组数的大小： ①cos 15π8,cos 14π9；②cos 1,sin 1.(1)B [α,β为锐角三角形的两个内角,α＋β＞π2,α＞π2－β,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,π2－β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.](2)[解] ①cos 15π8＝cos π8,cos 14π9＝cos 4π9,因为0＜π8＜4π9＜π,而y ＝cos x 在[0,π]上单调递减,所以cos π8＞cos 4π9,即cos 15π8＞cos 14π9.②因为cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1,而0＜π2－1＜1＜π2且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＜sin 1,即cos 1＜sin 1.正弦函数、余弦函数的最值问题1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在x∈[0,π]上的最小值是多少？提示：因为x∈[0,π],所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4,由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y ＝Asin x ＋b,x∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？提示：不是．因为A>0时,最大值为A ＋b,若A<0时,最大值应为－A ＋b. 【例3】 (1)函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为________．(2)已知函数f(x)＝asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b(a ＞0)．当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时,f(x)的最大值为3,最小值是－2,求a和b 的值．思路点拨：(1)先用平方关系转化,即cos 2x ＝1－sin 2x,再将sin x 看作整体,转化为二次函数的值域问题．(2)先由x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2求2x －π3的取值范围,再求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的取值范围,最后求f(x)min ,f(x)max ,列方程组求解．(1)[－4,0] [y ＝cos 2x ＋2sin x －2 ＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2. 因为－1≤sin x ≤1,所以－4≤y≤0,所以函数y ＝cos 2x ＋2sin x －2,x ∈R 的值域为[－4,0]．] (2)[解] ∵0≤x≤π2,∴－π3≤2x －π3≤2π3,∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1,∴f(x)max ＝a ＋b ＝3, f(x)min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.1．求本例(1)中函数取得最小值时x 的取值集合．[解] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x －2＝－sin 2x ＋2sin x －1＝－(sin x －1)2, 所以当sin x ＝－1时,y min ＝－4,此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2kπ－π2，k ∈Z .2．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,求其最大值和最小值,并求取得最大值及最小值时的集合．[解] (1)因为－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1, 所以当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5；这时2x ＋π3＝2kπ(k∈Z),即x ＝kπ－π6(k∈Z)．当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时,y min ＝1. 这时2x ＋π3＝2kπ＋π(k∈Z),即x ＝kπ＋π3(k∈Z)．综上,f(x)max ＝5,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ－π6（k∈Z）；f(x)min ＝1,这时x 取值集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝kπ＋π3（k∈Z）.3．本例(2)中,函数变成f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,且加上条件x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时,求最大值、最小值． [解] 因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12,所以0≤2x＋π3≤π2,所以0≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1,所以当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时,y max ＝5； 当cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0,y min ＝3. 所以函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12的最大值为5,最小值为3.三角函数最值问题的常见类型及求解方法：(1)y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0),利用换元思想设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定．(2)y ＝Asin (ωx＋φ)＋b,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)的范围,最后得最值．1．求函数y ＝Asin (ωx＋φ)(A＞0,ω＞0)单调区间的方法：把ωx＋φ看成一个整体,由2kπ－π2≤ωx ＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为增区间,由2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋3π2(k∈Z)解出x 的范围,所得区间即为减区间．若ω＜0,先利用诱导公式把ω转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断．3．三角函数最值问题的求解方法有：(1)形如y ＝asin x(或y ＝acos x)型,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对a 正负的讨论． (2)形如y ＝Asin (ωx＋φ)＋b(或y ＝Acos (ωx＋φ)＋b)型,可先由定义域求得ωx＋φ的范围,然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围,最后求得最值．(3)形如y ＝asin 2x ＋bsin x ＋c(a≠0)型,可利用换元思想,设t ＝sin x,转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定.1．下列命题正确的是( )A ．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数B ．存在x∈R 满足sin x ＝ 2C ．在区间[0,2π]上,函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1D ．正弦函数y ＝sin x 有无穷多条对称轴和无数个对称中心D [A 错,y ＝sin x,y ＝cos x 在定义域没有单调增区间也没有减区间；B 错,sin x ≤1；C 错,y ＝cos x (x∈[0,2π])当x ＝0或2π时,函数取得最大值；D 对,根据正弦曲线可以知道正弦曲线有无数条对称轴,写成x ＝kπ＋π2(k∈Z),也有无穷多个对称中心(kπ,0)(k∈Z)．]2．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤5π6的值域为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [因为π4≤x ≤5π6,所以12≤sin x ≤1,即所求的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.]3．sin 2π7________sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8(填“＞”或“＜”)． ＞ [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8,因为0＜π8＜2π7＜π2,y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数,所以sin π8＜sin 2π7,即sin 2π7＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8.] 4．求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间．[解] 求函数y ＝1－sin 2x 的单调递增区间,转化为求函数y ＝sin 2x 的单调递减区间, 由π2＋2kπ≤2x ≤3π2＋2kπ,k ∈Z, 得π4＋kπ≤x ≤3π4＋kπ,k ∈Z,即函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)．。
单调性和极值
主 要 内 容 教 学 要 求
一、函数的最大值与最小值 二、曲线的凹凸性和拐点 一、会求简单应用题的最大(小)值 二、会用导数判断曲线的凹凸性
三、会求曲线的拐点
若函数 f ( x ) 在[a , b] 上连续，除个别点外处处可导，
并且至多有有限个导数 为零的点，则 f ( x )在 [a , b] 上的最大值与最小值存在 .
（2）如果在( a , b )内 f '( x ) 0, 那么函数 y f ( x )在 [a , b] 上单调减少．
注意：
（1）如果将定理中的闭区间换成开区间或半开区间， 结论仍然成立． （2）如果在 (a, b) 内 f ' ( x) 0(或 0) ，但等号只 在有 限个点处成立，那么函数 f ( x )在 [a , b] 上仍然是单调
三、小结 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
1．曲线的凹凸定义和判定法
知道了函数的单调性，对函数的变化情况有了初步的了解． 但仅限于此还不够，例如函数曲线
但它们上升的方式 y x 2 与 y x 在 (0,) 内都是上升的，
却有明显的区别
3 2 f ( x ) x 6 x 15x 1 的定义域为一切实数， 解 函数
f '( x) 3x2 12x 15 3( x 1)( x 5)
，令 f ' ( x) 0
，得 x1 1, x2 5
为表达简洁明了，列表表示
由上可知，函数的单调增区间为 (,1] 和[5, )
．
的必要条件；
（2）极值点也不一定是驻点，极值点可能是驻点也可能是 不可导点．例如，y x 在 x 0 处不可导, 但 x 0 是极小值点．
函数的单调性与最值教学案
第三节函数的单调性与最值一、函数的单调性 1．单调函数的定义自左向右看图象自左向右看图象若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或 ，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的 ．3.函数单调性的性质①、奇函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ； ②、偶函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ；③、在公共定义域内：增函数+增函数是 ，减函数+减函数是 增函数—减函数是，减函数—增函数是 。
二、函数的最值 预习演练1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123．f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.4．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)，则实数x 的取值范围是______．5.写出下列函数的单调区间：⑴ 函数y =2x +x 2-3单调递增区间为________,单调递减区间为_______; ⑵ 函数y =x1的单调区间为______________, 6.函数)(x f =-2x +ax 2⑴若)(x f 的减区间为[1,+∞），a 的取值范围是_______；⑵若)(x f 的在[1,+∞）上是减函数，则a 的取值范围是____________ 注：1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 题型一:函数单调性的判断[例1] 证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．小结:对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行． 变式1．判断函数g (x )＝－2x x －1在 (1，＋∞)上的单调性．题型二：求函数单调区间[例2] 函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)小结：求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间． 题型三:复合函数单调区间的求解例3：求函数()f x =变式3：求解函数()f x 的单调区间 小结:对于复合函数()y fg x =⎡⎤⎣⎦，其单调性质如下：复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时增；相异时减.题型四：函数单调性的应用[例4] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. (3)(2013·孝感调研)函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (4)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.题型五：抽象函数的单调性例5. 定义在R 上的函数()y f x =，()00f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b R ∈,有()()()f a b f a f b +=. ⑴求证： ()01f =；⑵求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； ⑶证明：()f x 是R 上的增函数； ⑷若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围变式5：已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()1122x f f x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x < ⑴求()1f 的值；⑵判断函数()f x 的单调性； ⑶若()31f =-，解不等式()2f x <-。
导数与函数的单调性、极值、最值教育教学设计
导数与函数的单调性、极值、最值----教学设计————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：课题：导数与函数的单调性、极值、最值科目：数学教学对象：高三课时第1课时提供者：段秀香单位：静海第六中学一、教学内容分析现在中学数学新教材中，导数（选修2-2）处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
天津高考中必有考一道解答题（如2009-2011年常规题或2012-2014年压轴题）和一道选择题或填空题。
这节课主要是利用导数研究函数的单调性、极值、最值。
二、教学目标知识与技能通过复习使学生能够利用导数求函数的单调区间、求函数的极大（小）值、求函数在连续区间上的最大值和最小值过程与方法目标通过对导数这一块内容的复习归纳，发展学生的推理能力和运算能力，让学生体会从发现问题、分析问题、解决问题的乐趣，情感态度与价值观通过探究过程，提高学生的悟性，增强学生的应考信心，从而争取最好的教学效果。
三、学习者特征分析我所教两个班级（高三新接手）：一个重点班一个普通班，重点班基础较好，普通班起点较低。
对学生的了解方式：两个多月的观察和接触了解以及高二期末成绩和高三第一次月考成绩，另外，还做了数学学习兴趣和困惑书面调查。
四、教学策略选择与设计教学策略的选择设计立足学生实际选题，关注高考的动向，既重视基础，又注重对学生数学能力与综合素质的提高。
五、教学重点1、利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2、求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．教学难点1．注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值六、教学过程教师活动学生活动设计意图题型一利用导数研究函数的单调性教师启迪函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．例1已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上单调递增，若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a. 学生自主完成解答过程，然后利用投影展示，纠正错误，规范书写。
函数单调性与极值教案
函数单调性与极值（三课时)第一课时教学目的：进一步熟悉函数单调性的定义，熟悉用定义证明函数单调性；直观地理解导数的符号与单调性的关系，能用求导的方法判断函数单调性以及求函数单调区间教学重点：导数与函数单调性的关系教学难点：导数与函数单调性的关系教学过程：一、复习：1．多项式的导数求法，函数在某一点处的导数与这一点处的切线斜率的关系巩固练习：(1)若曲线y=x 3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为( )(A) (2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8)(2)若曲线y=x 5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x 垂直，则此切线方程为( )(A) 5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非(3)曲线y=x 3/3-x 2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 .2．调递增与单调递减的意义3．如何用定义法证明函数的单调性例1 已知函数y=2x 3-6x 2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.引入：在上述运算过程中我们发现运算量比较大，而且还涉及到符号判断，有一定的难度。
但是函数单调性体现出了函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？若函数在区间(a,b)内单调递增，则当x 增大时，y 变小，因此当自变量x 的增量△x 大于0时，函数值y 的增量△y 也大于零，于是为正，当△x 无限趋x y ∆∆近于零时，的根限值为正，因此对应的导数值为正，反之亦然.xy ∆∆同理，若函数在区间(a,b)内单调递减，则在(a,b)内的每一点处的导数值为负，反之亦然.说明：引入时可用几何画板演示说明：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么'y y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么y=f(x)为这个区间'y内的减函数.回顾：证明函数在某区间上的单调性的常用方法：(1)单调性定义法(2)导数判断法二、例题例2 确定函数y=2x 3-6x 2+7的单调区间，并分别说明在各单调区间内的单调性回顾：用导数法确定函数的单调性时，一般的步骤是：(1)求出函数的导函数)('x f (2)求解不等式>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间)('x f (3)求解不等式<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间)('x f 值得注意的是不等式的解集与单调区间不是同一个概念，若解是由几部份的“并”组成的，则单调区间不应有“并集”运算出现。
高二数学-1第四章 第1节 函数的单调性与极值北师大版选修知识精讲
高二数学－1第四章第1节函数的单调性与极值北师大版选修1【本讲教育信息】一、教学内容第四章第1节函数的单调性与极值二、教学目标1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；2、理解并掌握极值的概念。
了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分必要条件。
3、能利用函数导数判断简单函数的单调性，会求简单的函数的单调区间和极值。
三、教学重、难点函数的单调性与其导数的关系的理解、极值的概念的理解是教学的重点，判断函数的单调性，求函数的极值是教学的难点。
四、知识要点分析：（一）函数的单调性与函数的导数的关系函数。
某个区间内，函数f （x ）的导数f '（x ）>0，则在这个区间上f （x ）单调递增。
某个区间内，函数f （x ）的导数f '（x ）<0，则在这个区间上f （x ）单调递减。
反之，某个区间内，函数f （x ）单调递增，则在这个区间上f （x ）的导数f '（x ）≥0； 某个区间内，函数f （x ）单调递减，则在这个区间上f （x ）的导数f '（x ）≤0 例如函数f （x ）=x 3，在R 上单调递增，其导函数在R 上，f '（x ）≥0.（二）求可导函数y=f （x ）的单调区间的步骤：（1）确定函数定义域（2）求f '（x ）并将f '（x ）通分或分解因式，将之化为乘积或商的形式。
（3）解不等式f '（x ）≥0（或f '（x ）≤0） （4）确认并写出单调区间（三）极值的定义：一般地，设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说 f （0x ）是函数)(x f y =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f （0x ）是函数)(x f y =的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
数学教案 北师大版选修2-2 同步备课-第3章导数应用第1节导数的单调性与极性
§1函数的单调性与极值1. 1 导数与函数的单调性学习目标核心素养1．掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性．(重难点)3．会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其它函数的单调区间．(重点) 1．借助图象认识函数的单调性与导数的关系，提升学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数研究函数的单调性的学习，培养学生的数学抽象和数学运算的核心素养.1．函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0 常数函数2．函数图像的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图像越大大比较“陡峭”(向上或向下)越小小比较“平缓”(向上或向下) 思考：如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？[提示]函数f(x)为常函数．1．若在区间(a，b)内，f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有( )A．f(x)>0 B．f(x)<0C．f(x)＝0 D．不能确定A[由条件可知，f(x)在(a，b)内单调递增，∵f(a)≥0，∴在(a，b)内有f(x)>0.]2．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )B [由f′(x)图像可知，f′(x)>0，函数单调递增，且开始和结尾增长速度慢，故应选B.] 3．已知函数f(x)＝12x 2－x ，则函数f(x)的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)D [法一：f(x)＝12x 2－x ＝12(x －1)2－12，对应的抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，可知函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．法二：f′(x)＝x －1，令f′(x)>0，解得x>1．故函数f(x)的单调增区间是(1，＋∞)．]单调性与导数的关系【例1】 (1)函数y ＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法： ①函数y ＝f(x)的定义域是[－1,5]； ②函数y ＝f(x)的值域是(－∞，0]∪[2,4]； ③函数y ＝f(x)在定义域内是增函数； ④函数y ＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0. 其中正确的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．②④(2)设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图像如图所示，则导函数y ＝f′(x)的图像可能为( )A BC D思路探究：研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．(1)A (2)D[(1)由图像可知，函数的定义域为[－1,5]，值域为(－∞，0]∪[2,4]，故①②正确，选A.(2)由函数的图像可知：当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.]1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图像研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点，分析导数的正负．1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( )A B C D(2)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是( )(1)D (2)D [(1)A ，B ，C 均有可能；对于D ，若C 1为导函数，则y ＝f(x)应为增函数，不符合；若C 2为导函数，则y ＝f(x)应为减函数，也不符合．(2)根据函数的导数的正负与单调性的关系，对照图像可知，答案应选D.]利用导数求函数的单调区间【例2】 求函数f(x)＝x ＋ax(a≠0)的单调区间．思路探究：求出导数f′(x)，分a>0和a<0两种情况．由f′(x)>0求得单调增区间，由f′(x)<0求得单调减区间．[解] f(x)＝x ＋ax的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax 2.当a>0时，令f′(x)＝1－ax2>0，解得x>a 或x<－a ；令f′(x)＝1－a x 2<0，解得－a<x<0或0<x<a ；当a<0时，f′(x)＝1－ax2>0恒成立，所以当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－a)和(a ，＋∞)；单调递减区间为(－a ，0)和(0，a)．当a<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．利用导数求函数单调区间的步骤1．确定函数f(x)的定义域． 2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x 的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数．4．结合定义域写出单调区间．2．(1)函数f(x)＝e x－ex ，x∈R 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)(2)函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)(1)D (2)B [(1)∵f′(x)＝(e x－ex)′＝e x－e ， 由f′(x)＝e x－e>0，可得x>1．即函数f(x)＝e x －ex ，x∈R 的单调增区间为(1，＋∞)，选D. (2)函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝1x －1，由f′(x)＝1x－1>0，得0<x<1，所以函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是(0,1)，选B.]已知函数的单调性求参数的取值范围1．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b<0时，f(x)的单调性如何？ [提示] 求函数的导函数f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a 2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．2．函数单调性的充要条件如何？[提示] (1)在某个区间内，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件．例如，函数f(x)＝x 3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)＝3x 2≥0.(2)函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．【例3】 已知关于x 的函数y ＝x 3－ax ＋b.(1)若函数y 在(1，＋∞)内是增函数，求a 的取值范围； (2)若函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a 的值．思路探究：(1)函数在区间(1，＋∞)内是增函数，则必有y′≥0在(1，＋∞)上恒成立，由此即可求出a 的取值范围．(2)函数y 的一个单调递增区间为(1，＋∞)，即函数单调区间的端点值为1，由此可解得a 的值． [解] y′＝3x 2－a.(1)若函数y ＝x 3－ax ＋b 在(1，＋∞)内是增函数．则y′＝3x 2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立， 即a≤3x 2在x∈(1，＋∞)时恒成立， 则a≤(3x 2)min . 因为x>1，所以3x 2>3.所以a≤3，即a 的取值范围是(－∞，3]．(2)令y′>0，得x 2>a3.若a≤0，则x 2>a3恒成立，即y′>0恒成立，此时，函数y ＝x 3－ax ＋b 在R 上是增函数，与题意不符． 若a>0，令y′>0，得x>a3或x<－a 3. 因为(1，＋∞)是函数的一个单调递增区间，所以a3＝1，即a ＝3.1．将本例(1)改为“若函数y 在(1，＋∞)上不单调”，则a 的取值范围又如何？ [解] y′＝3x 2－a ，当a<0时，y′＝3x 2－a>0，函数在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a>0时，函数y 在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x 2－a ＝0在区间(1，＋∞)上有根．由3x 2－a ＝0可得x ＝a3或x ＝－a3(舍去)． 依题意，有a3>1，∴a>3， ∴a 的取值范围是(3，＋∞)．2．本例(1)中函数改为f(x)＝x 3－ax 2－3x.区间“(1，＋∞)”改为“[1，＋∞)，a 的取值范围如何？ [解] 由f(x)＝x 3－ax 2－3x 得 f′(x)＝3x 2－2ax －3，∵f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数， ∴3x 2－2ax －3≥0， ∴a 3≤x 2－12x. 令g(x)＝x 2－12x，x∈[1，＋∞)，g′(x)＝x 2＋12x2>0，即g(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)＝0， ∴a 的取值范围为a≤0.1．解答本题注意可导函数f(x)在(a ，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a ，b)上恒成立，且f′(x)在(a ，b)的任何子区间内都不恒等于0.2．已知f(x)在区间(a ，b)上的单调性，求参数取值范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a ，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a ，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．3．已知函数f(x)＝2ax 3＋4x 2＋3x －1在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． [解] f′(x)＝6ax 2＋8x ＋3.∵f(x)在R 上是增函数，∴f′(x)≥0在R 上恒成立， 即6ax 2＋8x ＋3≥0在R 上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧64－72a≤0，a>0，解得a≥89.经检验，当a ＝89时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，＋∞.1．函数的单调性与导数符号的关系 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在(a ，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a ，b)为f(x)的单调增区间； (2)如果在(a ，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a ，b)为f(x)的单调减区间． 2．利用导数求函数的单调区间的步骤求函数的单调区间，就是解不等式f′(x)>0或f′(x)<0，不等式的解集就是所求的单调区间，其步骤如下：(1)求函数f(x)的定义域； (2)求出f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0可得函数f(x)的单调增区间，解不等式f′(x)<0可得函数f(x)的单调减区间． 3．函数f(x)在(a ，b)内单调递增(减)的充要条件是f ′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a ，b)内恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有f′(x)＝0并不影响函数f(x)在该区间内的单调性．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．[答案](1)×(2)×(3)√2．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )A．f(2)＜f(e)＜f(3)B．f(e)＜f(2)＜f(3)C．f(3)＜f(e)＜f(2)D．f(e)＜f(3)＜f(2)A[因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x ＋1x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．故选A.]3．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________．(1,2)[f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2．] 4．已知函数f(x)＝x3－ax－1．(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．[解]f′(x)＝3x2－a.(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，∴－1<x<1是f′(x)<0的解，∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，所以a＝3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵y＝3x2在R上的最小值为0.∴a≤0，∴a的取值范围是(－∞，0]．1.2 函数的极值学习目标核心素养1．理解函数的极大值和极小值的概念．(难点) 2．掌握求极值的步骤，会利用导数求函数的极值．(重点、难点) 1．借助图象理解函数的极大值和极小值，提升了学生的直观想象的核心素养．2．通过利用导数求函数的极值的学习，培养了学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.1．极大值点与极大值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．极小值点与极小值如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．[提醒]在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．3．极值的判断方法如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．4．求函数y＝f(x)极值点的步骤(1)求出导数f′(x)．(2)解方程f′(x)＝0.(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．思考：导数为0的点都是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x ＝x 0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x 0两侧的符号是否相反．1．下列四个函数中，在x ＝0处取得极值的函数是( ) ①y＝x 3；②y＝x 2＋1；③y＝|x|；④y＝2x. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①③B [y′＝3x 2≥0恒成立，所以函数y ＝x 3在R 上单调递增，无极值点，①不符合；y′＝2x ，当x>0时，函数y ＝x 2＋1单调递增，当x<0时，函数y ＝x 2＋1单调递减，②符合；结合该函数图像可知，函数y ＝|x|在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减，③符合；函数y ＝2x在R 上单调递增，无极值点，④不符合．]2．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2＜x ＜2)有( ) A ．极大值5，极小值－27 B ．极大值5，极小值－11 C ．极大值5，无极小值 D ．极小值－27，无极大值C [由y′＝3x 2－6x －9＝0，得x ＝－1或x ＝3.当x ＜－1或x ＞3时，y′＞0；由－1＜x ＜3时，y′＜0， ∴当x ＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．] 3．函数f(x)＝x 3－3x 2＋1在x ＝__________处取得极小值． 2 [由f(x)＝x 3－3x 2＋1， 得f′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数． 故当x ＝2时，函数f(x)取得极小值．]求函数的极值(1)f(x)＝x 2－2x －1； (2)f(x)＝x 44－23x 3＋x22－6；(3)f(x)＝|x|.[解] (1)f′(x)＝2x －2，令f′(x)＝0，解得x ＝1． 因为当x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0， 所以函数在x ＝1处有极小值， 且f(x)极小值＝－2．(2)f′(x)＝x 3－2x 2＋x ＝x(x 2－2x ＋1)＝x(x －1)2．令f′(x)＝0，解得x 1＝0，x 2＝1．所以当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x)单调 递减↘极小 值单调 递增↗无极值单调 递增↗所以当x ＝0时，函数取得极小值，且f(x)极小值＝－6.(3)f(x)＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0.显然函数f(x)＝|x|在x ＝0处不可导， 当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0，函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增； 当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0， 函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减． 故当x ＝0时，函数取得极小值， 且f(x)极小值＝0.极值点与导数的关系1．可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点． 点x 0是可导函数f(x)在区间(a ，b)内的极值点的充要条件： (1)f′(x 0)＝0；(2)点x 0两侧f′(x)的符号不同．2．不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x ＝0点)，也可能不是极值点(如y ＝x ，在x ＝0处不可导，在x ＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点．1．已知函数f(x)＝x 2－2ln x ，则f(x)的极小值是________． 1 [∵f′(x)＝2x －2x ，且函数定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x∈(0,1)时，f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，∴当x ＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1．]利用函数的极值求参数【例2】 已知f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－3时都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若f(－1)＝32，求f(x)的单调区间和极值．思路探究：(1)求导函数f′(x)，则由x ＝1和x ＝－23是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a ，b.(2)由f(－1)＝32求出c ，再列表求解．[解] (1)f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x)＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f′(x)＝0的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－23＝－23a ，1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝b 3，∴a＝－12，b ＝－2．(2)由(1)知f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f(－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1，∴f(x )＝x 3－12x 2－2x ＋1，∴f′(x)＝3x 2－x －2．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，⎭⎪⎫－23 －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递增 ↗4927单调递减 ↘－12单调递增 ↗∴f(x)的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1.当x ＝－23时，f(x)有极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝4927；当x ＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－12.已知函数极值求解析式的两点注意(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．2．已知函数f(x)＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x(x∈R，m 为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．[解] f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，所以导数f′(x)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋6)>0，f′(1)＝1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1，解得m>3，故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．函数极值的综合应用[探究问题]1．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有几个极小值点？[提示] 一个．x 1，x 2，x 3是极值点，其中x 2是极小值点，x 1，x 3是极大值点． 2．函数y ＝f(x)在给定区间(a ，b)内一定有极值点吗？[提示] 不一定，若函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是单调函数，就没有极值点．【例3】 已知函数f(x)＝x 3－3x ＋a(a 为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．思路探究：求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围．[解] 令f′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1． 当x<－1时，f′(x)>0； 当－1<x<1时，f′(x)<0； 当x>1时，f′(x)>0.所以当x ＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根，所以y ＝f(x)的图像与x 轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a>0，－2＋a<0，解得－2<a<2，故实数a 的取值范围是(－2,2)．1．本例中，若把“三个不同实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？ [解] 由已知应有 2＋a<0或－2＋a>0. 即a>2或a<－2．2．本例中，若把“三个不同实根”改为“恰有两个实根”，结果如何？ [解] 由条件可知，只要 2＋a ＝0或－2＋a ＝0即可， 即a ＝±2．转化的思想求导数范围的应用方程f(x)＝0的根就是函数y ＝f(x)的零点，是函数图像与x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图像与x 轴交点的问题．我们可以根据函数图像在坐标轴中的位置不同，结合极值的大小确定参数的范围．3．设a 为实数，函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a. (1)求f(x)的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点？[解] (1)f′(x)＝3x 2－2x －1． 令f′(x)＝0，则x ＝－13或x ＝1．当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 1 (1，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递 增↗极大值单调递 减↘极小值单调递 增↗所以f(x)的极大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，极小值是f(1)＝a －1．(2)函数f(x)＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f(x)>0， x 取足够小的负数时，有f(x)<0， 所以曲线y ＝f(x)与x 轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f(x)极小值＝f(1)＝a －1．∵曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 即527＋a<0或a －1>0，∴a<－527或a>1， ∴当a∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f(x)与x 轴仅有一个交点．1．函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．由图可以看出，极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷”．2．极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．3．函数在定义域内可能有许多极大值或极小值，但极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．4．若函数f(x)在[a ，b]上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋1必有两个极值． ( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． ( ) (3)函数f(x)＝1x 有极值．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．已知a 为函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2D [由题意得f′(x)＝3x 2－12，令f′(x)＝0得x ＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)在x ＝2处取得极小值，∴a＝2．]3．设a ∈R，若函数y ＝e x＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． (－∞，－1) [∵y＝e x＋ax ，∴y′＝e x＋a ，令y′＝e x＋a ＝0，则e x＝－a ， 即x ＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a ＞1，即a ＜－1．] 4．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． [解] y′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)． 令y′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：故当x 极小值。
《函数的单调性》教学设计
《函数的单调性》教学设计《函数的单调性》教学设计作为一名专为他人授业解惑的人民教师，可能需要进行教学设计编写工作，借助教学设计可以提高教学效率和教学质量。
如何把教学设计做到重点突出呢？以下是店铺精心整理的《函数的单调性》教学设计，仅供参考，大家一起来看看吧。
《函数的单调性》教学设计1【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力及分析问题和解决问题的能力。
【学生分析】从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么，从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。
从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述？如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
【教学目标】1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念。
2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力。
3、通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
高中数学教案函数的极值和导数
高中数学教案——函数的极值和导数教案内容：一、教学目标1. 理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
2. 掌握函数的单调性，能够判断函数的单调区间。
3. 理解函数的极值概念，能够求出函数的极值。
二、教学重点与难点1. 重点：导数的计算方法，函数的单调性，函数的极值。
2. 难点：导数的应用，函数的极值的求法。
三、教学方法采用讲解法、例题解析法、学生自主探究法。
四、教学准备1. 教学课件。
2. 相关例题及练习题。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性。
2. 讲解导数的概念：定义域内的函数在某一点的导数，即为该点的切线斜率。
引导学生理解导数的几何意义。
3. 导数的计算：讲解基本函数的导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。
4. 函数的单调性：通过例题，讲解函数单调性的判断方法，引导学生掌握如何判断函数的单调区间。
5. 函数的极值：讲解函数极值的概念，通过例题，引导学生掌握求函数极值的方法。
6. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。
8. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
注意：在教学过程中，要注重引导学生主动思考，培养学生的动手能力及解决问题的能力。
要及时解答学生的疑问，确保学生能够掌握所学知识。
六、教学内容与要求1. 理解曲线的切线与函数导数的关系。
2. 掌握基本函数的导数求解方法。
3. 能够运用导数判断函数的单调性。
七、教学过程1. 复习导入：通过回顾上节课的内容，引导学生复习导数的基本概念和计算方法。
2. 讲解导数的几何意义：通过图形演示，解释导数表示曲线在某点的切线斜率。
3. 导数的计算：详细讲解和练习基本函数的导数求解，包括幂函数、指数函数、对数函数等。
4. 函数单调性的判断：利用导数的概念，解释如何判断函数的单调性。
5. 例题解析：通过具体例题，演示如何运用导数判断函数的单调区间和求极值。
八、教学策略1. 采用互动式教学，鼓励学生提问和参与讨论。
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函数的单调性与极值（5月10日）
教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
掌握利用导数判断函数单调性的方法；
教学重点：利用导数判断函数单调性；
教学难点：利用导数判断函数单调性
教学过程：
一 引入：
以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1<x 2的前提下，比较f(x 1)<f(x 2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
二 新课讲授
1 函数单调性
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342
+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，
切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间
（∞-，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/
y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。
2 极大值与极小值
观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值，
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(='x f 。
但反过来不一定。
如函数3x y =，在0=x 处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
假设0x 使
0)(0='x f ，那么0x 在什么情况下是的极值点呢？
如上左图所示，若0x 是)(x f 的极大值点，则0x 两侧附近点的函数值必须小于)(0x f 。
因此，0x 的左侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f 。
0x 的右侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，同理，如上右图所示，若0x 是极小值点，则在0x 的左侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，在0x 的右侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f ，从而我们得出结论：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
例3 求函数44313+-=
x x y 的极值。
三 小结
1求极值常按如下步骤：
① 确定函数的定义域；
② 求导数；
③ 求方程/y =0的根，这些根也称为可能极值点；
④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。
(最好通过列表法)
四 巩固练习
1 确定下列函数的单调区间：
（1）7522+-=x x y （2）33x x y -=
2 求下列函数的极值
（1）672+-=x x y （2）x x y 522+-=
（3）x x y 273-= （4）323x x y -=
五 课堂作业
1 确定下列函数的单调区间：
（1）24+-=x y （2）2)1(-=x y
（3）522+--=x x y （4）x x x y --=23
2 求下列函数的极值
（1）1042+-=x x y （2）7422-+-=x x y
（3）1323-+=x x y （4）3
126x x y -+=
（5）x x x y 63423--= （6）422x x y -=。