《函数的单调性与极值》教学案设计
《选修11：导数的应用：单调性与极值、最值》教案
适用学科高中数学适用年级适用区域 苏教版区域课时时长（分钟）知识点 1.函数的单调性与极值;2.函数中含参数的单调性与极值。
高二 2 课时教学目标 1. 能利用导数研究函数的单调性，会用导数法求函数的单调区间．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件． 3. 会用导数求函数的极大值和极小值教学重点 利用导数研究函数的单调性；函数极值的概念与求法 教学难点 用导数求函数单调区间的步骤；函数极值的求法【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。
导入的方法很多，仅举两种方法： ① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； ② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减 的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变 化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?二、知识讲解考点 1 导函数判断函数的单调性 用导数求函数 f (x) 单调性的步骤： （1）明确函数 f (x) 的定义域，并求函数 f (x) 的导函数 f (x) ； （2）若导函数 f (x) 0( f (x) 0) 时，并求对应的解集； （3）列表，确定函数 f (x) 的单调性； （4）下结论，写出函数 f (x) 的单调递增区间和单调递减区间。
注意：导函数看正负，原函数看增减。
考点 2 极值用导数求函数 f (x) 极值的步骤:（1）明确函数 f (x) 的定义域，并求函数 f (x) 的导函数 f (x) ； （2）求方程 f / (x) 0 的根； （3）检验 f (x) 在方程 f (x) 0 的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近 为负，那么函数 f (x) 在这个根处取得极大值，这个根叫做函数的极大值点；如果在根的右 侧附近为正，左侧附近为负，那么函数 f (x) 在这个根处取得极小值，这个根叫做函数的极小值点。
《函数单调性教案》
《函数单调性教案》一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会利用单调性判断函数的性质，如极值、最值等。
3. 能够运用单调性解决实际问题，如求函数的极值、最值等。
二、教学内容：1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。
2. 单调性的判断方法及应用。
3. 实际问题中的单调性应用。
三、教学重点与难点：1. 函数单调性的概念及判断方法。
2. 单调性在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 讲授法：讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的思考。
五、教学过程：1. 导入：复习函数的概念，引导学生思考函数的性质。
2. 讲解：讲解函数单调性的概念，引导学生理解单调增、单调减的定义。
3. 举例：分析具体函数的单调性，让学生学会判断。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固单调性的判断方法。
5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。
6. 总结：回顾本节课的内容，强调单调性的重要性。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。
2. 练习题：收集学生练习题的答案，评估学生对单调性判断方法的掌握。
3. 案例分析：评估学生在实际问题中运用单调性的能力。
七、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用，如经济学中的需求曲线、供给曲线等。
2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用，如微分、积分等。
八、教学资源：1. 教材：提供相关教材，为学生提供系统性的学习材料。
2. 课件：制作课件，辅助教学，提高课堂效果。
3. 练习题：准备练习题，巩固所学内容。
4. 实际问题案例：收集实际问题案例，用于教学实践。
九、教学建议：1. 注重概念的理解：在教学过程中，要强调函数单调性概念的理解，让学生明白单调性是什么。
高中《数学》函数的单调性教学设计学情分析教材分析课后反思
《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。
《函数的单调性与最大(小)值》教学设计
函数的单调性与最大（小）值教学设计一、内容和内容解析1.内容函数的单调性2. 内容解析函数的单调性是主要的函数性质之一，它刻画了函数的增、减变化规律. 因为现实世界中的运动变化过程、增减趋势是主要的变化规律之一，而引进函数单调性的概念为刻画这种变化规律提供了方法，所以研究函数的单调性具有重要的现实意义；另一方面，方程、不等式等问题的求解，可以利用函数单调性进行解决. 因此，函数单调性在数学内外都有重要的应用.函数的单调性是函数的局部性质，即它通常是在函数定义域的某个子集上具有的性质；而函数奇偶性、周期性、最大值、最小值是函数在整个定义域上的性质，属于函数的整体性质.另外，通过研究函数的单调性，就容易得到函数的最大（小）值.从初中到高中，函数单调性概念的形成，经历了从定性到定量的过程，体现了数学概念逐渐抽象、严格化的过程，对于数学一般概念的学习具有借鉴意义.初中阶段，对函数图象从左到右上升（下降）转化为“y随x的增大而增大（减小）”进行刻画，学生经历了从图象直观到函数值随自变量的变化而变化的转化过程；高中阶段，通过引入数学符号，并采用“？x1,x2∈D”的方式，进一步将“y随x的增大而增大（减小）”转化为精确的定量关系，即用不等式刻画“增大”“减小”，从而使定性刻画上升到定量刻画，实现了变化规律的精确化表达.这样一种从形象直观到定性刻画再到抽象的符号语言刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言精确定量地刻画变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义.基于以上分析，确定教学重点：函数单调性的符号语言刻画.二、目标和目标解析1.目标（1）借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义；（2）会用定义证明简单函数的单调性；（3）会根据问题的实际意义，求函数的最大值、最小值；（4）在抽象函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道用符号语言刻画函数单调性时，“任意”“都有”等关键词的含义；能够从函数图象，或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减小上的变化趋势.（2）会用函数单调性的定义，按一定的步骤证明函数的单调性；（3）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大（小）值；（4）经历从图象直观到文字语言描述再到符号语言刻画的过程，感悟通过引入“？x1,x2∈D”的符号表示，把一个含有“无限”的问题转化为一种“有限”方式表示的方法，感受数学符号语言的作用.三、教学问题诊断分析学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，对于每一类函数都研究了函数值随自变量的增大而变化的规律，能够理解函数图象从左到右上升或下降这一性质，可以用“y随x的增大而减小（增大）”这样的文字语言来描述.高中阶段，要通过引入“？x1,x2∈D，当x1教学中，要利用一次函数、二次函数等，借助一定的教学媒体，如用信息技术展示函数值随自变量变化而变化的情况，用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等，数形结合地提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义.根据以上分析，确定教学难点是：符号语言的引入；对“任意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和使用.四、教学支持条件分析为使学生更好地理解单调性的形式化定义，降低归纳定义过程中的难度，可利用计算工具，采用动态方式展现函数值随自变量值变化的规律，并体会自变量取值的任意性.五、教学过程设计（一）引入引导语：我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识.比如，通过研究函数值随自变量值的变化规律，可以得到函数所刻画的现实问题的变化规律.什么叫函数性质呢？总体而言，函数性质就是“变化中的规律性，变化中的不变性”.因此，我们研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律.问题1：请看下面的函数图象，从中你发现了函数图象的哪些特征？你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质？师生活动：教师利用PPT展示例子，学生观察图象后回答问题.学生的回答有可能涉及到很多方面，教师引导学生关注函数图象从左到右升降变化的特点、对称性、最高点或最低点等.教师指出：函数图象所反映的这些特点就是函数的性质.本节课我们先研究如何用精确定量的方法刻画函数值随自变量的增大而增大（或减小）的变化规律.设计意图：通过实例，使学生感受研究函数性质的必要性；结合初中已学的用定性方法刻画函数单调性的知识，明确学习任务.（二）单调性性质及其定量刻画方法的抽象1.具体实例的分析问题2：在初中我们研究过二次函数y=a（x－h）2+k，从它的图象可以看出：如果a>0，当x师生活动：学生自主活动，也可以小组讨论，然后再组织全班交流.设计意图：用自己的语言表述，可以促使学生对单调性理解的具体化，使定性描述向定量刻画发展.学生一般会转述为“x增大了，对应的函数值y减小.”追问1：“x增大了”怎么用符号语言表示？“对应的函数值y减小”又该如何表示？y=x2为例，观察下表，你能用数学符号刻画x、y的数量变化关系吗？师生活动：一般地，学生会从表格中看到具体数值的变化规律，如当x从-4增大到-3，则f（x）从f（-4）=16减小到f（-3）=9；当x从-3增大到-2，则f（x）从f（-3）=减小到f（-2）=4；当x从-2增大到-1，则f（x）从f（-2）=4增大到f（-1）=1；……追问2：（1）这样的变化过程能写得完吗？怎么办？（2）这个变化过程中的数量关系有什么特点，你能概括一下上述变化过程的共同点吗？师生活动：学生通过从具体到抽象，可以得到：只要x1＜x2，就有f（x1）＞f（x2）如果学生有可能，教师可以进行启发帮助，或者直接给出上述表述.追问3：这里对x1，x2有什么要求？只取（-∞，0]上的某些数是否可以？你能举例说明吗？师生活动：让学生展开讨论，教师应当进行适当引导，并举出一些例子（反例）进行说明，最终要让学生明确，应该是区间（-∞，0]上的任意两个数.追问4：所以，更严格的表达应该是怎样的？师生活动：让学生说出“任取x1，x2∈（-∞，0]，教师总结：这里，我们借助代数符号语言，通过归纳，给出了一个与“无限”相关的变化规律的数学描述，体现了代数的力量.其中，任取x1，x2∈（-∞，0]，把“无穷”的问题转化成了具体可操作的有限过程.追问5：对于函数y=x2，你能模仿上述方法，给出“在区间[0，∞）上，y 随x的增大而增大”的符号语言刻画吗？设计意图：这个环节是本课的重点，其核心是通过从具体到抽象的过程，让学生学会用严格的代数语言刻画“在区间D上，当x增大时，相应的f（x）随着减小”.在“图象从左到右下降—y随x的增大而减小—任取x1，x2∈D，当x1注意：因为函数的单调性是一个比较难以理解的概念，学生第一次遇到要用一个数学符号语言刻画一个涉及“无限取值的问题”，大多数学生很难独立想到其中的数学方法，所以教学中可以采取先由教师教学启发性讲解，使学生理解“在区间D上，y随x的增大而减小”，可以用“任取x1，x2∈D，当x1 练习：请你模仿上述过程，用严格的符号语言刻画f（x）=|x|和f（x）=－x2的单调性.2.单调性定义的抽象问题3：请你归纳关于函数f（x）=x2，f（x）=|x|和f（x）=-x2的单调性的刻画方法，给出函数y= f（x）在区间D上单调性的符号刻画.师生活动：先由学生独立完成，然后小组交流，再组织全班交流. 在充分交流的基础上，教师给出严格的单调性定义表述.3.单调性定义的辨析问题4：（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且？x1，x2∈A，当x1（2）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流.教师可以提醒学生用多种方法表示函数（特别是利用图象直观说明问题）.设计意图：这里的问题（1）是引导学生辨析定义中的“任意”二字；问题（2）既是为了区分“单调递增”与“增函数”、“单调递减”与“减函数”等概念，同时也是为了引导学生认识函数在不同区间上单调递增（递减），但在它们的并集上不一定保持单调递增（递减）的性质.（三）单调性定义的简单应用例1.根据定义，研究函数f（x）=kx+b（k≠0）的单调性.师生活动：先让学生独立思考，讨论研究思路，然后再给出严格的表述（可以让几个学生板书），教师再引导学生对进行点评.这里教师应该强调：（1）研究一个函数的单调性，需要利用单调性的定义，考察在定义域的哪些区间上单调递增、在哪些区间上单调递减；（2）具体的操作方法是，在条件x1设计意图：对于一次函数的单调性，初中是通过观察图象得到的，学习了单调性的定义后，利用定义通过严格的逻辑推理对结论进行了证明，体现了形式化定义的作用.同时，通过比较简单的推理过程，让学生理解用单调性定义考察函数单调性的基本过程.例2.物理学中的玻意耳定律p=k/v（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数的单调性证明.师生活动：先让学生独立思考“体积V减小时，压强p增大”的含义，建立与函数单调性性质的联系，再让学生独立给出证明，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善.在给出完整证明后，给出追问：你能总结例1、例2的解题过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数的单调性的基本步骤吗？设计意图：例2是一个物理学中的公式，本例要使学生体会函数模型可以用来刻画现实世界中的现象，而数学研究的不是每一个现象而是从中抽象概括出来的一般问题，将一些不同的现象抽象成一类函数，通过研究这一类函数的性质获得事物的变化规律.另外，通过追问，要让学生总结出证明函数单调性的基本步骤：第一步，确定函数的定义域I；第二步，？x1，x2∈I，且设x1＜x2，并将x1，x2代入f（x），得f（x1），f（x2）；第三步，将f（x1）-f（x2）进行代数变形，转化为可以直接用实数大小关系、不等式的基本性质等判断其符号或大小关系的式子；第四步，得出相应的单调区间.例3.根据定义证明函数在区间（1，+∞）上单调递增.师生活动：先由学生独立思考并写出证明过程，可选几名学生板书，然后再进行全班交流.要引导学生进一步总结证明步骤，明确代数变形的方向.设计意图：利用单调性的定义，通过严格的代数推理，获得函数在（1，+∞）上单调递增的性质，这在没有函数单调性定义的时候是做不到的，可以使学生进一步体会到定义的作用；同时，也可以使学生体会代数证明的一般方法，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.（四）课堂小结问题5：回答下列问题.（1）什么叫函数的单调性？你能举出一些具体例子吗？（2）你认为，在理解函数的单调性时应把握好哪些关键问题？（3）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？师生活动：学生独立思考的基础上回答，教师再进行归纳.设计意图：（1）让学生准确叙述单调递增、单调递减、增函数、减函数等概念，通过举例使学生进一步把握函数单调性的要点；（2）引导学生进一步理解“函数有意义”是讨论函数单调性的前提，“？x1，x2∈I，且设x1＜x2”的含义，如何对f（x1）－f（x2）进行代数变形等等；（3）要使学生体会“从定性到定量”的研究思路，即通过图象直观及文字语言刻画得到函数性质的定性刻画，再用符号语言进行定量刻画，从而使函数性质得到严谨的数学表达.六、目标检测设计1. 请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.。
函数单调性优秀教案
函数单调性优秀教案【篇一：《函数单调性》教学设计】《函数单调性》教学设计【设计思路】有效的概念教学必须建立在学生已有的知识结构基础之上顺应学生的思维发展，因此在教学设计中注意在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”，呈现知识的发生和形成过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中。
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，使得学生对概念的认识不断深入．在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．考虑到学生数学思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔。
在教学设计中发挥好多媒体教学的优势，注意结合图形，由浅入深，采用数形结合方法，从感知发展到理性思维，让学生经历“创设情境——探究概念——理解反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验了参与数学知识的发生、发展过程，培养“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者。
【教学目标】1．理解函数单调性的概念，初步掌握判断、证明函数单调性的方法． 2．通过观察、归纳、抽象、概括自主建构函数单调性概念的过程，体会数形结合的思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力；通过对函数单调性的证明，体会数学的严谨性，提高学生的推理论证能力．3．在学习中体会数学的科学价值和应用价值，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．【背景分析】1、教材分析本节是高中数学新教材必修1第1章第1.3.1节第一课时，主要学习函数单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。
他是高中数学中相当重要的一个基础知识点。
是高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数单调性的基础．在比较数的大小、解方程或不等式、求函数的值域或最值、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。
高中数学教案函数的单调性与极值
高中数学教案——函数的单调性与极值教学目标：1. 理解函数单调性的概念，能够判断函数的单调性。
2. 掌握利用导数研究函数的单调性，会求函数的极值。
3. 能够运用函数的单调性和极值解决实际问题。
教学重点：1. 函数单调性的判断。
2. 利用导数研究函数的单调性和求极值。
教学难点：1. 函数单调性的证明。
2. 利用导数求函数的极值。
教学准备：1. 教学课件。
2. 相关练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习初中阶段学习的函数单调性的概念。
2. 引入高中阶段函数单调性的学习，指出其在高中数学中的重要性。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数单调性的定义和性质。
2. 举例说明如何判断函数的单调性。
3. 讲解利用导数研究函数的单调性，导数的正负与函数单调性的关系。
三、实例分析（15分钟）1. 分析具体函数的单调性，求函数的单调区间。
2. 利用导数求函数的极值，讲解极值的概念和求法。
四、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生独立完成。
2. 对学生的练习情况进行讲解和指导。
五、总结与展望（5分钟）1. 总结本节课的主要内容和知识点。
2. 指出函数单调性和极值在实际问题中的应用价值。
3. 展望下一节课将要学习的内容。
教学反思：本节课通过讲解和实例分析，让学生掌握了函数单调性的判断和利用导数研究函数的单调性及求极值的方法。
在课堂练习环节，学生能够独立完成相关题目，对函数单调性和极值的概念有了清晰的认识。
但在教学过程中，发现部分学生对于函数单调性的证明仍存在一定的困难，需要在今后的教学中加强这方面的训练。
六、应用拓展（10分钟）1. 通过实际问题，让学生运用函数的单调性和极值进行分析。
2. 引导学生将函数单调性和极值的知识应用到其他学科或生活中。
七、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，巩固函数单调性和极值的概念及应用。
2. 强调函数单调性和极值在高中数学中的重要性。
八、作业布置（5分钟）1. 布置适量作业，让学生巩固所学知识。
“函数的单调性”教案
函数的单调性教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会运用单调性判断函数的单调性，并能应用于实际问题中。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
3. 单调性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
四、教学方法1. 采用讲解、案例分析、讨论相结合的教学方法。
2. 利用数形结合的思想，引导学生直观理解函数的单调性。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程1. 引入新课：通过回顾初中阶段的反比例函数、二次函数等图像，引导学生关注函数的单调性。
2. 讲解函数单调性的概念：定义域内单调递增或递减的函数。
3. 讲解函数单调增和单调减的性质：自变量增大，函数值增大（减小）。
4. 判定方法：利用导数或图像判断函数的单调性。
5. 案例分析：分析具体函数的单调性，如f(x)=x^2、f(x)=-x^2等。
6. 练习：让学生独立判断给定函数的单调性，并解释原因。
7. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
8. 作业布置：巩固函数单调性的理解和应用。
六、教学拓展1. 探讨函数单调性与极值的关系：函数在极值点附近单调性发生变化。
2. 引入“局部单调性”概念：函数在某个区间内单调递增或递减。
3. 举例说明局部单调性在实际问题中的应用：优化问题、经济领域等。
七、课堂互动1. 提问：请问同学们认为函数的单调性在实际生活中有哪些应用？2. 学生分享：结合实际例子，如商品价格变动、经济增长等。
3. 教师点评：总结同学们的观点，并强调函数单调性的实际意义。
八、单调性在实际问题中的应用1. 举例说明：商品打折问题、利润最大化问题等。
2. 引导学生运用单调性解决实际问题：分析问题、建立模型、求解。
3. 课堂练习：让学生自主解决一个实际问题，如温度变化、速度与时间等。
第三高考数学一轮复习 函数的单调性与最值教案
城东蜊市阳光实验学校第三中学高考数学一轮复习函数的单调性与最值教案①利用函数的单调性．②定义法：先求定义域，再利用单调性定义．③图象法：假设f(x)是以图象形式给出的，或者者者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 5.函数的最值 设函数y ＝f(x)的定义域为I ，假设存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有．(2)存在x0∈I ，使得.那么，我们称M 是函数y ＝f(x)的．最值与函数的值域有何关系？【提示】函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。
(1) 求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x 取了某个值时的对应值，故函数获得最值时，一定有相应的x 的值．前提自测 1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，那么 (D) 2．假设函数y ＝ax 与y ＝－x b在(0，＋∞)上都是减函数，那么y ＝ax2＋bx 在(0，＋∞)上是 (B) A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减 D ．先减后增. 3．函数()f x =223x ax -+在区间(],2-∞上是单调函数,那么实数的取值范围是a≥2.4．设x1，x2为y ＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0； ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0；其中能推出函数y ＝f(x)为增函数的命题为__①_③_____5.函数2()23f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3,最小值2,那么正数m 的取值范围1≤m≤2.6.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数 自主﹒﹒探究 例1答案：a ＞0:f(x)为减函数。
a ＜0:f(x)为增函数。
函数的单调性与最值教学案
第三节函数的单调性与最值一、函数的单调性 1．单调函数的定义自左向右看图象自左向右看图象若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或 ，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的 ．3.函数单调性的性质①、奇函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ； ②、偶函数在其关于原点对称的区间上的单调性 ；③、在公共定义域内：增函数+增函数是 ，减函数+减函数是 增函数—减函数是，减函数—增函数是 。
二、函数的最值 预习演练1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－123．f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________.4．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m <n ，则f (m )______f (n )；若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x<f (1)，则实数x 的取值范围是______．5.写出下列函数的单调区间：⑴ 函数y =2x +x 2-3单调递增区间为________,单调递减区间为_______; ⑵ 函数y =x1的单调区间为______________, 6.函数)(x f =-2x +ax 2⑴若)(x f 的减区间为[1,+∞），a 的取值范围是_______；⑵若)(x f 的在[1,+∞）上是减函数，则a 的取值范围是____________ 注：1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2.单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 题型一:函数单调性的判断[例1] 证明函数f (x )＝2x －1x在(－∞，0)上是增函数．小结:对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行． 变式1．判断函数g (x )＝－2x x －1在 (1，＋∞)上的单调性．题型二：求函数单调区间[例2] 函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)小结：求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间． 题型三:复合函数单调区间的求解例3：求函数()f x =变式3：求解函数()f x 的单调区间 小结:对于复合函数()y fg x =⎡⎤⎣⎦，其单调性质如下：复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时增；相异时减.题型四：函数单调性的应用[例4] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )<f (m 2)的实数m 的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. (3)(2013·孝感调研)函数f (x )＝1x －1在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (4)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，则a ＝__________.题型五：抽象函数的单调性例5. 定义在R 上的函数()y f x =，()00f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的,a b R ∈,有()()()f a b f a f b +=. ⑴求证： ()01f =；⑵求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； ⑶证明：()f x 是R 上的增函数； ⑷若()()221f x f x x ->，求x 的取值范围变式5：已知定义在区间()0,+∞上的函数()f x 满足()()1122x f f x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x < ⑴求()1f 的值；⑵判断函数()f x 的单调性； ⑶若()31f =-，解不等式()2f x <-。
高中数学教案函数的单调性与极值
高中数学教案——函数的单调性与极值教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法。
3. 能够运用函数的单调性和极值解决实际问题。
教学内容：一、函数单调性的概念与判断方法1. 引入单调性的概念，给出单调增和单调减的定义。
2. 讲解如何判断函数的单调性，通过实例进行分析。
二、函数的极值概念与求法1. 引入极值的概念，讲解极大值和极小值的定义。
2. 讲解如何求函数的极值，通过实例进行分析。
三、应用举例1. 通过实际问题引入函数的单调性和极值的重要性。
2. 举例说明如何运用函数的单调性和极值解决实际问题。
四、练习与巩固1. 给出练习题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
2. 针对学生的练习情况进行讲解和解答疑问。
五、总结与拓展1. 对本节课的内容进行总结，强调函数单调性和极值的重要性。
2. 给出拓展问题，激发学生进一步学习的兴趣。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数单调性和极值的概念及求法。
2. 利用实例进行分析，让学生更好地理解函数单调性和极值的应用。
3. 布置练习题目，巩固所学知识。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对函数单调性和极值的理解程度。
2. 结合学生的练习情况和提问，评价学生对函数单调性和极值的掌握情况。
教学资源：1. PPT课件，用于讲解函数单调性和极值的概念及应用。
2. 练习题，用于巩固所学知识。
教学时间：1课时（45分钟）教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入单调性的概念，让学生回顾初中阶段学习的单调增和单调减的概念。
2. 提问：如何判断一个函数的单调性？引发学生思考。
二、讲解（15分钟）1. 讲解如何判断函数的单调性，通过实例进行分析。
2. 讲解函数的极值概念，讲解如何求函数的极值。
三、应用举例（10分钟）1. 举例说明如何运用函数的单调性和极值解决实际问题。
2. 让学生思考并回答：如何利用函数的单调性和极值优化问题？四、练习与巩固（10分钟）1. 给出练习题目，让学生独立完成。
函数单调性与极值教案
函数单调性与极值（三课时)第一课时教学目的：进一步熟悉函数单调性的定义，熟悉用定义证明函数单调性；直观地理解导数的符号与单调性的关系，能用求导的方法判断函数单调性以及求函数单调区间教学重点：导数与函数单调性的关系教学难点：导数与函数单调性的关系教学过程：一、复习：1．多项式的导数求法，函数在某一点处的导数与这一点处的切线斜率的关系巩固练习：(1)若曲线y=x 3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为( )(A) (2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8)(2)若曲线y=x 5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x 垂直，则此切线方程为( )(A) 5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非(3)曲线y=x 3/3-x 2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 .2．调递增与单调递减的意义3．如何用定义法证明函数的单调性例1 已知函数y=2x 3-6x 2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.引入：在上述运算过程中我们发现运算量比较大，而且还涉及到符号判断，有一定的难度。
但是函数单调性体现出了函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？若函数在区间(a,b)内单调递增，则当x 增大时，y 变小，因此当自变量x 的增量△x 大于0时，函数值y 的增量△y 也大于零，于是为正，当△x 无限趋x y ∆∆近于零时，的根限值为正，因此对应的导数值为正，反之亦然.xy ∆∆同理，若函数在区间(a,b)内单调递减，则在(a,b)内的每一点处的导数值为负，反之亦然.说明：引入时可用几何画板演示说明：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么'y y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么y=f(x)为这个区间'y内的减函数.回顾：证明函数在某区间上的单调性的常用方法：(1)单调性定义法(2)导数判断法二、例题例2 确定函数y=2x 3-6x 2+7的单调区间，并分别说明在各单调区间内的单调性回顾：用导数法确定函数的单调性时，一般的步骤是：(1)求出函数的导函数)('x f (2)求解不等式>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间)('x f (3)求解不等式<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间)('x f 值得注意的是不等式的解集与单调区间不是同一个概念，若解是由几部份的“并”组成的，则单调区间不应有“并集”运算出现。
《函数的单调性和最大(小)值》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《函数的单调性与最大（小）值》教学设计第一课时函数的单调性通过观察一些函数图像的特征，形成增（减）函数的直观认识。
再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义。
掌握用定义证明函数单调性的步骤。
函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
【知识与能力目标】1、结合具体函数，了解函数的单调性及其几何意义；2、学会运用函数图像理解和研究函数的性质；3、能够应用定义判断函数在某区间上的单调性。
【过程与方法目标】借助二次函数体验单调性概念的形成过程，领会数形结合的思想，运用定义进行判断推理，养成细心观察，严谨论证的良好的思维习惯。
【情感态度价值观目标】通过直观的图像体会抽象的概念，通过交流合作培养学生善于思考的习惯。
【教学重点】函数单调性的概念。
【教学难点】判断、证明函数单调性。
从观察具体函数图像引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
(一)创设情景，揭示课题德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究。
他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数。
艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图：思考1:当时间间隔t 逐渐增大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？ （二）研探新知观察下列各个函数的图像，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1随x的增大，y的值有什么变化？○2能否看出函数的最大、最小值？○3函数图像是否具有某种对称性？画出下列函数的图像，观察其变化规律：（1）f(x) = x （2）f(x) = x2思考1：这两个函数的图像分别是什么？二者有何共同特征？思考2：如果一个函数的图像从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？思考3：如图为函数f(x)在定义域I内某个区间D上的图像，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当x1＜x2时， f(x1)与f(x2)的大小关系如何？思考4: 我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数f(x)在区间D 上是增函数”？1、函数单调性定义（1）增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）。
函数第2节函数的单调性与最值教案北师大版
函数的单调性与最值[考试要求]1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的如果函数y＝f(x)在区间A是增加的或减少的，那么称A为单调区间．提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈D，都有f(x)≤M；②存在x0∈D，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈D，都有f(x)≥M；②存在x0∈D，使得f(x0)＝M结论M为y＝f(x)的最大值M为y＝f(x)的最小值1．函数单调性的结论(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，⇔f (x )在D 上是增函数；⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，f (x )＋g (x )是增(减)函数．(4)若k ＞0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k ＜0，则kf (x )与f (x )的单调性相反． (5)函数y ＝f (x )在公共定义域内与y ＝1f (x )的单调性相反．(6)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性关系是“同增异减”． 2．函数最值存在的两个结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)若定义在R 上的函数f (x )有f (－1)＜f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1．下列函数中，定义域为R 且为减函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |A [函数y ＝e －x 定义域为R 且为减函数．y ＝x 3定义域为R 且为增函数．函数y ＝ln x 定义域为(0，＋∞)．函数y ＝|x |定义域为R ，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故选A.]2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是________．[1，＋∞) [f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因此函数f (x )的单调递增区间为 [1，＋∞)．]3．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.]4．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]考点一 求函数的单调区间2．求复合函数单调区间的一般步骤 (1)求函数的定义域(定义域先行)； (2)求简单函数的单调区间；(3)求复合函数的单调区间，其依据是“同增异减”． [典例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝－x 2＋2|x |＋1； (2)f (x )＝2x ＋1x ＋1； (3)f (x )＝x 2＋x －6. [解] (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图像如图所示．由图像可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)由x ＋1≠0得x ≠－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， f (x )＝2x ＋1x ＋1＝2(x ＋1)－1x ＋1＝2－1x ＋1，其图像如图所示． 由图像知，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)．(3)由x 2＋x －6≥0得x ≤－3或x ≥2，即函数f (x )的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)， 令u ＝x 2＋x －6， 则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数．易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)．[母题变迁]若把本例T (1)函数解析式改为f (x )＝|x 2－4x ＋3|，试求函数f (x )的单调区间． [解] 先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图像，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图像．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的单调递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，[2,3]．点评：(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． (2)重视函数f (x )＝ax ＋bcx ＋d (ac ≠0)的图像与性质(对称中心、单调性、渐近线)．[跟进训练]1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．(0,2]D ．[2，＋∞)A [由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2，当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；当x ＜2时，(－∞，1]是函数f (x )的单调递增区间，[1,2]是函数f (x )的单调递减区间．] 2．函数y ＝ln(－x 2＋2x ＋3)的递减区间是( ) A ．(－1,1] B ．[1,3) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)B [令t ＝－x 2＋2x ＋3，由t ＞0得－1＜x ＜3. 故函数的定义域为(－1,3)．又t ＝－x 2＋2x ＋3在(－1,1)上是增函数，在[1,3)上是减函数，且y ＝ln t 在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数单调性可知函数y ＝ln(－x 2＋2x ＋3)的递减区间为[1,3)，故选B.]3．函数f (x )＝xx －1的单调递减区间为________．(－∞，1)和(1，＋∞) [由x －1≠0得x ≠1，即函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，又f (x )＝xx －1＝(x －1)＋1x －1＝1＋1x －1，其图像如图所示，由图像知，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．]考点二 函数单调性的判断与证明2．判断函数单调性的四种方法(1)图像法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3．证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法． [典例2] 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．法二：f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2，所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为增函数． [跟进训练]判断函数f (x )＝x ＋ax(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性．[解] 设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )．当0＜x 1＜x 2≤a 时，0＜x 1x 2＜a ，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1＜x 2时，x 1x 2＞a ，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点三 函数单调性的应用1．比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．2．求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．此时要特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数的范围(或值)的策略(1)视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)解决分段函数的单调性问题，要注意上、下段端点函数值的大小关系．比较函数值的大小[典例3－1] 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＞a ＞b B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，f (2)＞f (2.5)＞f (3)，所以b ＞a ＞c .] 点评：本例先由[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0得出f (x )在(1，＋∞)上是减函数，然后借助对称性，化变量－12，2,3于同一单调区间，并借助单调性比较大小．解函数不等式[典例3－2] 已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1,1)，则不等式f (1－m )＜f (m 2－1)的解集为________．(0,1) [f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， －1＜x ≤0，－x 2， 0＜x ＜1，则f (x )在(－1,1)上单调递减，不等式f (1－m )＜f (m 2－1)可转化为⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1，m 2－1＜1－m ，解得0＜m ＜1.]点评：解答此类题目时，应注意隐含条件，如本例⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1.求参数的值或取值范围[典例3－3] (1)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．{－3}B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3]D ．[－3，＋∞)(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，那么a的取值范围是( )A.(1,2)B.⎝⎛⎦⎤1，32 C.⎣⎡⎭⎫32，2D.⎝⎛⎭⎫32，2 (1)C (2)C [(1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －(a ＋2)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3. 所以a 的取值范围是(－∞，－3]． (2)由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.故选C.]点评：分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．如本例(2)． [跟进训练]1．若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]B [因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a ，－2x ＋2a ＋3，x ＜a ，因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.]2．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,1)C [因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数在[－2,2]上单调递增，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.]3．若函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [函数y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上是增函数． y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋k x －2，由题意知函数y ＝4＋k x －2在(3，＋∞)上是增函数，则有4＋k ＜0，解得k ＜－4.]4．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为________．⎣⎡⎭⎫18，13 [由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，(3a －1)×1＋4a ≥－a ，a ＞0，解得⎩⎨⎧a ＜13，a ≥18，a ＞0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13.]考点四 函数的最值(值域)求函数最值的五种常用方法[典例4] (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2(x ≤0)，x ＋1x＋a (x ＞0)的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2] (2)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．(3)函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．(1)D (2)3 (3)14 [(1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1x， 即x ＝1时，等号成立．故当x ＝1时取得最小值2＋a ，∵f (x )的最小值为f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2单调递减，故a ≥0，此时的最小值为f (0)＝a 2，故2＋a ≥a 2，得－1≤a ≤2.又a ≥0，得0≤a ≤2.故选D.(2)∵f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝3－log 21＝3.(3)令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.] [跟进训练]1．函数f (x )＝x ＋x －1的最小值为________．1 [法一：(换元法)令t ＝x －1，且t ≥0，则x ＝t 2＋1，所以原函数变为y ＝t 2＋1＋t ，t ≥0.配方得y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34， 又因为t ≥0，所以y ≥14＋34＝1， 故函数y ＝x ＋x －1的最小值为1.法二：(单调性法)因为函数y ＝x 和y ＝x －1在定义域内均为增函数，故函数y ＝x ＋x －1在[1，＋∞)内为增函数，所以y min ＝1.]2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2 x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．1 [法一：在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )图像，依题意，h (x )的图像如图所示．易知点A (2,1)为图像的最高点，因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2 x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2 x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数，所以h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.。
《函数的单调性》教学设计
《函数的单调性》教学设计《函数的单调性》教学设计作为一名专为他人授业解惑的人民教师，可能需要进行教学设计编写工作，借助教学设计可以提高教学效率和教学质量。
如何把教学设计做到重点突出呢？以下是店铺精心整理的《函数的单调性》教学设计，仅供参考，大家一起来看看吧。
《函数的单调性》教学设计1【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。
在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力及分析问题和解决问题的能力。
【学生分析】从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么，从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。
从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述？如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。
函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。
【教学目标】1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念。
2、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力。
3、通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
高中数学教案——函数的单调性与极值
高中数学教案——函数的单调性与极值一、教学目标：1. 理解函数的单调性概念，掌握判断函数单调性的方法。
2. 理解函数的极值概念，掌握求函数极值的方法。
3. 能够应用单调性和极值的概念解决实际问题。
二、教学内容：1. 函数的单调性：定义、性质、判断方法。
2. 函数的极值：定义、性质、求法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数单调性的判断方法，函数极值的求法。
2. 教学难点：函数单调性与极值在实际问题中的应用。
四、教学过程：1. 导入：通过生活中的例子引入函数的单调性和极值的概念。
2. 新课讲解：讲解函数的单调性，通过示例让学生理解并掌握判断方法。
3. 练习：让学生独立判断一些简单函数的单调性。
4. 新课讲解：讲解函数的极值，通过示例让学生理解并掌握求法。
5. 练习：让学生独立求一些简单函数的极值。
五、课后作业：（1）f(x) = x^2（2）f(x) = -x^2（1）f(x) = x^3（2）f(x) = -x^33. 应用单调性和极值的概念解决实际问题。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索和解决问题来理解和掌握函数的单调性和极值。
2. 使用多媒体课件和图形计算器等辅助教学工具，直观地展示函数的单调性和极值。
3. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
七、教学评价：1. 通过课堂提问和练习，评估学生对函数单调性和极值的理解程度。
2. 通过课后作业和课堂讨论，评估学生应用单调性和极值解决实际问题的能力。
八、教学拓展：1. 介绍一些与函数单调性和极值相关的高级概念，如导数的应用、函数的凸性等。
2. 引入一些实际应用案例，让学生了解函数单调性和极值在工程、经济等领域的应用。
九、教学反思：在教学过程中，及时收集学生的反馈信息，根据学生的实际情况调整教学内容和教学方法。
注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
十、教学计划：1. 课时安排：本教案共需10课时，每课时45分钟。
《函数的单调性与极值》教案(优质课)
《函数的单调性与极值》教案【教学目标】：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 【教学重点】：利用导数判断函数单调性； 【教学难点】：利用导数判断函数单调性 【教学过程】： 一 引入：以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1<x 2的前提下，比较f(x 1)<f(x 2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.二 新课讲授 1 函数单调性我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（∞-，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。
2 极大值与极小值观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。
函数的单调性教学设计(教案)
2.3 《函数的单调性》教学设计(第一课时)一、教材分析(一)本节内容的地位与作用中学生对函数单调性的学习分为三个阶段，分别为初中通过简单函数的感性认识、高一的严格定义及高二利用导数解决函数的单调性.因此，高一函数单调性概念的学习，起到了承前启后的作用.函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言刻画的概念.因此，单调性的研究方法非常重要，它为以后函数奇偶性、周期性等其它性质的学习提供了方法依据.它是解决函数定义域、值域、数列、不等式、三角函数等问题的有力工具，是高考重点考查的内容之一，同时也是培养学生逻辑推理能力的绝佳素材.(二)教学目标1、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法．2、能力目标：培养学生自主探索能力、分析归纳能力及逻辑推理能力．3、情感目标：通过层层设问，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的自信心，提高学生学习数学的兴趣.(三)教学重难点重点：函数单调性的概念.难点：（1）函数单调性概念的生成中，如何从图象的直观认识过渡到用符号语言表述；（2）运用定义证明函数的单调性．二、学情分析（一）认知水平1、知识学生通过初中的学习对函数的升、降有了初步的感知；函数的概念及表示的学习为本节内容做好了知识铺垫．2、技能他们初步具备了分析概括能力，但科学的思维方法尚未形成．（二）心理特征他们好奇心强，追求成功的愿望强烈．他们渴望老师给他们提供自主探索的时间及展示自我的空间．但他们抽象思维能力相对薄弱．三、教法分析本着新课改下以学生为主体，教师为主导的教学理念，结合本节课的知识特点及学情分析，决定采用问题式、启发式、探究式相结合的教学法．主要体现在新课引入时的层层设问，概念生成时的启发引导，总结证明步骤时的探究发现等．因幻灯片直观形象且教学容量大，故决定采用多媒体辅助教学．四、学法分析新课标要求学生不仅仅要“学会”，还应当让学生“会学”、“乐学”.在这种理念的指引下，我在教学设计上强调了让学生主动参与，积极探究，同时让学生相互交流与合作．让学生在与老师、同学之间的交流、讨论中完成知识的构建及难点的突破.五、教学过程教学环节教学内容设计思路创设情境引入新课(1)生活常识“糖水加糖味更甜”(2)焦作市某日全天气温图像问题：（1）观察图像，能得出哪些信息？（2）说说一天中气温的变化趋势？由生活情境引入新课，以此激发学生的学习兴趣。
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《函数的单调性与极值》教学案设计
教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
掌握利用导数判断函数单调性的方法；
教学重点：利用导数判断函数单调性；
教学难点：利用导数判断函数单调性
教学过程：
一 引入：
以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1<x 2的前提下，比较f(x 1)<f(x 2)与的大小，在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.
二 新课讲授
1 函数单调性
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342
+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，∞+）内为增函数；在区间（∞-，2）内，
切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间
（∞-，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/
y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。
例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。
例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。
y
2 极大值与极小值
观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。
一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有0)(='x f 。
但反过来不一定。
如函数3x y =，在0=x 处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
假设0x 使0)(0='x f ，那么0x 在什么情况下是的极值点呢？
如上左图所示，若0x 是)(x f 的极大值点，则0x 两侧附近点的函数值必须小于)(0x f 。
因此，0x 的左侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f 。
0x 的右侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，同理，如上右图所示，若0x 是极小值点，则在0x 的左侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，在0x 的右侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f ，从而我们得出结论：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
例3 求函数44313+-=
x x y 的极值。
三 小结
1求极值常按如下步骤：
① 确定函数的定义域；
② 求导数；
③ 求方程/y =0的根，这些根也称为可能极值点；
④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。
(最好通过列表法)
四 巩固练习
1 确定下列函数的单调区间：
（1）7522+-=x x y （2）3
3x x y -=
2 求下列函数的极值
（1）672+-=x x y （2）x x y 522+-=
（3）x x y 273-= （4）323x x y -=
五 课堂作业
1 确定下列函数的单调区间：
（1）24+-=x y （2）2
)1(-=x y
（3）522+--=x x y （4）x x x y --=23
2 求下列函数的极值
（1）1042
+-=x x y （2）7422-+-=x x y
（3）1323-+=x x y （4）3126x x y -+=
（5）x x x y 63423--=
（6）422x x y -=。