第二节函数的单调性及其极值

(3)确定 f (x) 在各个子区间内的符号，从而判 定出 f (x) 的单调性.
例 1 求函数 f (x) = x3 - 3x 的单调区间． 解 (1)该函数的定义区间为( , )；
(2) f (x) = 3x2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)，令f (x) = 0， 得 x = - 1，x = 1，它们将定义区间分为三个子区间： ( , - 1)，(- 1, 1)，(1, )；
函数可能在其导数为零的点，或者是在连续但 不可导的点处取得极值.
定理 3 (极值的第一充分条件) 设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内可微(在 x0 处可以不可微，但必须连续)， 若当 x 在该邻域内 由小于 x0 连续地变为大于 x0 时， 其导数 f (x) 改变 符号， 则 f (x0) 为函数的极值. x0 为函数的极值点， 并且
(3)因为当 x ( , - 1)时，f (x)> 0， x (1, 1)时，f (x) < 0，x (1, + )时 f (x) > 0，
所以( , -1)和(1, )是 f (x) 的递增区间，
(-1, 1)是 f (x) 的递减区间. 为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳
为如下的表格：
定义 1 设函数 y = f(x) 在 x0 的一个邻域内有定义，
若对于该邻域内异于 x0 的 x 恒有 (1) f (x0) > f (x)，则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极大值，
x0 称为 f (x) 的极大值点； (2) f (x0) < f (x)，则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值，
第三章 导数的应用
第二节 函数的单调性及其极值
一、函数单调性的充分条件 二、函数的极值及其求法
一、函数单调性的充分条件
定理 1 设函数 y = f (x) 在区间 (a, b) 内可微，
(1)若当 x (a, b)时，f (x) > 0，则 f (x) 在 (a, b)内单调递增；
(2)若当 x (a, b)时， f (x) < 0， 则 f (x) 在 (a, b)内单调递减.
f (x2) > f (x1)， 可知 f (x) 在 (a, b)内递增.
(2)对于 f (x) < 0 的情形,其证法与(1)的类似.
确定某个函数的单调性的一般步骤是：
(1)确定函数的定义域；
(2)求出使 f (x) = 0 和 f (x) 不存在的点， 并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；
证 (1)设 f (x0) 为极大值，则由定义 1 可知， 必
存在 x0 的一个邻域 N(x0 , )，当x0 x N (x0 , ) 时，
有 f (x0 x ) - f (x0) < 0 (x 0 )，
因此，当 x < 0 时，有
f ( x0 x) f ( x0 ) 0, x
当 x > 0 时，有
x0 称为 f (x) 的极小值点； 函数的极大值、极小值统称为函数的极值， 极大
值点、极小值点统称为极值点.
显然，在图中，
x1，x4 为 f (x) 的极 大值点， x2，x5 为 f (x) 的极小值点.
y x1 O x2
y = f (x) x3 x4 x5 x
定理 2 (极值的必要条件)
设函数 y = f (x) 在 x0 处可导， 且 f (x0) 为极 值(即 x0 为值点)，则 f (x0) = 0.
3x3
令 f ( x) 0得 x 2 , 此外，显然 x = 0 为 f (x)
5 的不可导点，于是 x 0 , x 2 分 定 义 区 间 为 三
5
个子区间
( , 0)， 0, 2 , 2 , .
5 5
(3) 因 为 x (,0) 和 2 ,时, f ( x) 0, 5
证 设 x1，x2 为(a, b)内的任意两点，且 x1< x2， 则由拉格朗日中值定理有
其中 (a, b).
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ,
x2 x1
(1)若当 f (x) > 0，则 f () > 0，于是
f ( x2 ) f ( x1 ) 0， x2 x1
因为 x2 – x1 > 0，所以 f (x2) – f (x1) > 0，即当 x2 > x1 时，有
f ( x0 ) ≤
0.
因此， f (x0) = 0 .
(2) f (x0) 为极小值情形的证明是类似的，从略.
定理 2 的几何意义是：可微函数的图形在极值 点处的切线与 Ox 轴平行.
定理 2 的重要意义在于： 对于可微函数来讲， 其极值点必在导数为零的那些点之中. 今后，我们 称导数为零的点为驻点.
x f (x) f (x)
( , - 1)
(- 1,1)
(1, )
其中箭头 ， 分别分表示函数在指定区间递增和 递减.
2
例 2 讨论函数 f ( x) ( x 1)x 3 的单调性.
解 (1)该函数的定义区间为 ( ， )；
( 2) f
(x)
2 3
1
2
x 3 ( x 1) x 3
5x 2 1.
f ( x0 x) f ( x0 ) 0. x
因为 f (x) 在 x0 处可微，所以 f (x) 在该点处 的左、右导数存在且相等，即 f - (x0) = f + (x0)，
由于
f(
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
≥ 0，
f(
x0
)
lim
x 0
f ( x0 x) x
(1)若导数 f (x) 由正值变成负值，则 x0 为极大 值点，f (x0) 为 f (x) 的极大值；
(2)若导数 f (x) 由负值变成正值， 则 x0 为极小 值点， f (x0) 为 f (x) 的极小值.
证 设所述邻域为 N (x0, ) ，且 x N(x0, )，
x 0, 2 时, f ( x) 0, 所以 f ( x) 在 (,0) 和 5
2 , 内 单 调 递 增,
在
0,
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内单调递减
.
5
5
亦可如例 1 那样，以下表表示 f (x) 的单调性：
x f (x)
( , 0)
0, 2 5
－
2 , 5
f (x)
二、函数的极值及其求法