数模作业

最后, 将该模型的第十二个月的销量代入线性方程中，计算出 s(12) 。求出其相对误差， 然后进行评估。 根据问题的条件假设,得到了商品销售速度随时间的变化情况,即商品销售速度的变 化=销售速度的增长—自然衰减。通过对题目问题的分析,运用微分方程进行求解，建立 如下模型： 首先，广告宣传会给销售量增加一个增长速度，它与广告费成正比，但是广告只能 影响这种商品在市场上尚未饱和的部分，根据假设条件，我们设 函数，则有
1500 750 600 1000 1500 3500 2500 4000 ]; 250 750 700 100 200 1500 4500 4000];
x=lsqnonneg(D,S1') P=x(1) M=P/x(2) b=(1-x(3))
Untitled
x=
0.6553 0.0001 0.9286
r ( s ) 为 s (t ) 的线性减
r ( s) P(1
s(t ) ) M
ds s(t ) P(1 ) A(t ) b s(t ) dt M
(1)
因此，建立如下微分方程模型：
(2)
为了求解该模型，我们选择如下简单的广告策略：
A(常量) s (t ) 0
0 t t1 ; t t1 ;
S :商品的销售速度。
S (t ) ： t 时刻的销售速度。
A :广告水平（以费用表示） 。
A(t ) ： t 时刻的广告水平（以费用表示） 。
M ：商品销售的饱和水平，即市场对于商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极
限。
b :衰退因子（常数） ，即广告随时间增长而自然衰退的速度。
3
r ( s ) :为 s (t ) 的线性减函数。
//运用最小二乘法求参数
format short S1=[500 1500 750 S2=[300 500 A=[750 250 X=S2.*A; D=[A',-X',S2']; % % x=pinv(D)*S1'; x=D\S1'; 600 1000 1500 3500 2500 4000 4500];
有关广告策略的数学模型
摘要 广告已经成为新产品上市的一种重要的宣传方式，如何使广告取得最 好的经济效益，是许多商家一直在探讨的问题。本文从经济学的角度出发， 考虑产品的销售速度、商品市场的饱和度、广告费用等影响商品销售的因 素，建立微分方程模型。在处理具体问题时，将数据做离散化处理，运用 最小二乘法与相对误差分析等方法求解，进而进行广告策略模型的评估。 基于所建立的微分方程模型，我们选取了一种简单的广告策略，即从 开始广告到广告结束，每个时期投入的广告力度相同，我们发现在系统反 应系数、衰退因子、最大市场容量相同的情况下，销售水平比较低时，每 增加单位广告产生的效果比销售速度接近极限速度水平时，增加广告所取 得的效果更显著。 根据表中的数据，基于所建立的模型，将数据离散化，通过最小二乘 法，估计出商品的最大市场容量、衰退因子以及系统响应系数等重要参数， 得到了一个具体的商品销售的实例模型。通过相对误差分析，计算出该模 型的误差仅为 6.098%， 表明该模型在短期内对商品的销售有很好的预测效 果。
关键字:微分方程 参数估计 最小二乘法 相对误差
1
一、问题重述
广告策略的优劣直接决定着商品销售的经济效益和长远发展策略， 通过建立模型来 探讨广告与商品销售之间有什么关系、存在怎样的内在联系，进而评价该模型的广告效 果,这就是本题所要解决的关键。 以下为独家销售商商品广告的例子，有关商品销售与广告之间做出如下假设: 1、商品的销售速度与广告有关，但是增加有一定的限度，当商品在市场上趋于饱 和时，销售速度将趋于它的极限值，无论再用何种形式做广告，销售速度减慢。 2、自然衰退是销售速度的性质，即商品销售速度随商品的销售率增加而减少。 3、令 S 是 t 时刻的销售速度， A 为 t 时刻广告水平（以费用表示）； M 为销售的 饱和水平，即市场对于商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限； b 为衰退因 子(常数)，即广告随时间增长而自然衰退的速度。 表 1：有关广告费与销量的关系
二、问题分析
本文就广告策略问题，通过探讨广告与商品销售之间有什么关系、存在怎样的内在 联系，考虑产品的销售速度、商品市场的饱和度、广告费用等影响商品销售的因素，用 微分方程模型进行求解。
2
基于所建立的模型，我们选取了一种简单的广告策略，即从开始广告到广告结束， 每个时期投入的广告力度相同，我们发现在系统反应系数、衰退因子、最大市场容量相 同的情况下，销售水平比较低时，每增加单位广告产生的效果比销售速度接近极限速度 水平时，增加广告所取得的效果更显著。 根据表中的数据，将数据离散化，通过最小二乘法，估计出商品的最大市场容量、 衰退因子以及系统响应系数等重要参数， 得到了一个具体的商品销售的实例模型。 最后， 通过相对误差分析，来检验与评估该模型的广告效果。
6
水平时，增加广告所取得的效果更显著。 五、模型评价 1、模型的优点： （1）本文的模型简单，从简单出发，建立微分方程，进而解决实际问题。 （2）本文求解借助于matlab软件，其算法直观，容易编程实现。 （3）本文模型比较注重数据的处理和相对误差分析，大大提高了模型的实际性。 2、 模型的缺点： 在建模的过程中，我们没有根据所建的微分模型求出产品销售的最大速度的时间， 而这对于商家而言是非常重要的。 同时该模型只考虑了广告这种大众媒体对商品销售产 生的推动作用，没有考虑到其他的因素的影响，比如内部模仿系数、其他同类产品的制 约或者促进作用，此外，我们也没有为商品的销售提供最佳广告力度，以及最佳广告时 间的建议。 3、改进的方法： 我们可以通过建立广告策略的动态随机模型 ，并确立了控制目标函数 ．目标是使 广告费用投入的要适当，既不能因广告费用的过多投入影响净收入 ，同时又要保持公 司足够的商誉使公司的销售收入最大．根据条件假设，建立求最优广告策略模型 ，并 研究了本模型最优广告策略的存在性。
（6）
s(t )
k (1 e ct ) s0e ct c
0 t t1 t t1
（7）
因此，得到如下关系式：
k - ct - ct (1 e ) s0e s(t ) b s(t )eb (t1 -t ) 1
(8)
由（2）可得，生产企业若保持稳定销售，我们可以根据模型估计采用广告水平。
P :响应系数，即 A(t ) 对 S (t ) 的影响能力,为常数。
a ：为广告总费用。
四、模型的建立与求解
本文主要利用微分方程模型进行求解。 为了估计参数,将其离散化,得到有关参数 P 、
M 、b 是线性方程,然后利用最小二乘法计算得到 P 0.6553 , M 5109.2 , b 0.0714 。
(3)
在时间段（0， t1 ）内，用于广告的总费用为 a ，则
A a t1
（4）
将（4）代入到（2）中，得：
4
ds P a a (b ) s P dt M t1 t1
（5）
b
令
P a c M t1
P
,
a k t1
则可将（5）简化为
ds cs k dt
其解为
附件
//画图——有关广告费、销量随时间的变化情况 t=[2 S=[300 A=[750 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]; 1500 3500 4500 2500 4000 4000 600]; 4500];
500 1500
750 600 1000
250 250 750 700 100 200 1500
参考文献
[1]王兵团， 数学建模基础， /p-691154906436.html， 2013-8-25。 [2]理工数学实验， http://202.115.138.30/2005/mathlab/kj/05.ppt，2013-8-25。 [3]/view/c3d26b24192e45361066f5f9.html [4] /view/c3d26b24192e45361066f5f9.html?qq-pf-to=pcqq.c2c
时间 t 销量 S 广告 费A 1 2 300 500 750 3 500 250 4 1500 250 5 750 750 6 600 700 7 1000 100 8 1500 200 9 3500 1500 10 2500 4500 11 4000 4000 12 4500 600
试问广告与销售之间有什么关系、存在怎样的内在联系？如何评价广告效果？ 要求： 1、解决问题描述中所提出的问题。 2、利用表中数据，估计你认为重要或者可以引入的其他参数。 3、如果假定广告策略公式是一个具体的简单函数关系式，如何得到广告策略公式。
(12) 这是表 1 中所提供广告策略，为了评估该模型的将第十二个月的销量代入该式子，
4500 4225 100 0 0 6.098 0 0 4500 计算结果为 4225.58。其相对误差为 。说明对参数的
估计比较准确，该模型与实际情况比较符合，因此对未来产品的销售量的估计还是比较 有效的。 在销售水平比较低的情况下， 每增加单位广告产生的效果比销售速度接近极限速度
PA(t )(1
s(t ) ) b s(t ) 0 M
(9)
A(t )
从而得出：
bs P(1 S ) M
(10)
根据前面所建立的微分方程模型(2),利用表 1 中的数据来说明参数估计，未购买 该商品的人对广告的响应系数 P，商品的最大容量 M 以及衰退因子 b 是需要估计的重 要参数。
8
P=
0.6553
M=
5.1092e+03
b=
0.0714
9
5
4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 广告费A 销量S