高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质自主训练北师大版必修4
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质 1.5.2 正弦函数的性质教案 北师大版必修4
1.5.2 正弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的研究,在高一必修中学生已经熟悉了.研究了幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.三维目标1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用.2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.重点难点教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图像来研究.本节可先让学生画出正弦函数的图像,从学生画图像、观察图像入手,由此展开正弦函数性质的探究.思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)?然后逐一进行探究.推进新课新知探究提出问题①回忆并画出正弦曲线,观察它的形状及在坐标系中的位置;②观察正弦曲线,说出正弦函数的定义域是什么?③观察正弦曲线,说出正弦函数的值域是什么?由值域又能得到什么?④观察正弦曲线,函数值的变化有什么特点?⑤观察正弦曲线,它有哪些对称?图1活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质. 对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它的变化趋势. 对问题②,学生很容易看出正弦函数的定义域是实数集R 〔或(-∞, +∞)〕.对问题③,学生很容易观察出正弦曲线上、下都有界,得出正弦函数的值域是［-1,1］.教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明. ∵正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度, ∴|sinx|≤1,即-1≤sinx≤1.也就是说,正弦函数的值域是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x ∈R ),1°当且仅当x=2π+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. 2°当且仅当x=-2π+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1.对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图2,通过学生充分讨论后确定,选图像上的［-2π,23π］(如图3)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选［0,2π］的道理,其他类似.图2 图3这个变化情况也可从下表中显示出来: x -2π 0 2π π 23π sinx-1↗↗1↘↘-1就是说,函数y=sinx,x ∈［-2,23］. 当x ∈［-2π,2π］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到1;当x ∈［2π,23π］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx 的值由1减小到-1. 结合正弦函数的周期性可知:正弦函数在每一个闭区间［-2π+2kπ,2π+2kπ］(k ∈Z )上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［2π+2kπ,23π+2kπ］(k ∈Z )上都是减函数,其值从1减小到-1.对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点O 对称.在R 上,y=sinx 为奇函数.教师要恰时恰点地引导,并提问学生怎样用学过的知识方法给予证明呢? 由诱导公式,∵sin(-x)=-sinx, ∴y=sinx 为奇函数.至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=2π对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔. 讨论结果:①略. ②定义域为R .③值域为［-1,1］,最大值是1,最小值是-1. ④单调性(略). ⑤奇偶性(略). 应用示例思路11.函数y=-3sin2x,x ∈R 有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.解:令z=2x,使函数y=-3sinz,z ∈R 取得最大值的z 的集合是{z|z=-2π+2kπ,k ∈Z }, 由2x=z=-2π+2kπ,得x=-4π+kπ. 因此使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最大值的x 的集合是{x|x=-4π+kπ,k∈Z }. 同理,使函数y=-3sin2x,x ∈R 取得最小值的x 的集合是{x|x=4π+kπ,k∈Z }.函数y=-3sin2x,x ∈R 的最大值是3,最小值是-3.点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但这里最值对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B 的函数,一般通过变量代换(如设z=ωx+φ化归为y=Asinz+B 的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用.2.利用三角函数的单调性,比较sin(-18π)与sin(-10π)的大小. 解:因为-2π＜-10π＜-18π＜0,正弦函数y=sinx 在区间［-2π,0］上是增函数,所以sin(-18π)＞sin(-10π).点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题.3.求函数y=sin(21x+3π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间. 活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向: 把21x+3π看成z,这样问题就转化为求y=sinz 的单调区间问题,而这就简单多了. 解:令z=21x+3π.函数y=sinz 的单调递增区间是［-2π+2kπ,2π+2kπ］. 由-2π+2kπ≤21x+3π≤+2kπ,得-35π+4kπ≤x≤3π+4kπ,k∈Z .由x ∈［-2π,2π］可知,-2π≤-35π+4kπ且3π+4kπ≤2π,于是-121≤k≤125,由于k ∈Z ,所以k=0,即-35π≤x≤3π,而［-35π,3π］⊂［-2π,2π］,因此,函数y=sin(2x +3π),x ∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-35π,3π］.点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.4.利用“五点法”画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质. 解:列表,根据表中数据画出简图(如图4所示).x 0 2π π23π 2π Sinx 0 1 0 -1y=sinx-1-1图4函数 y=sinx-1定义域 R 值域 ［-2,0］ 奇偶性 非奇非偶函数周期2π单调性当x ∈［2kπ-2π,2kπ+2π］(k ∈Z )时,函数是递增的; 当x ∈［2kπ+2π,2kπ+23π］(k ∈Z )时,函数是递减的最大值与最小值当x=2kπ+2π(k ∈Z )时,最大值为0;当x=2kπ+23π(k ∈Z )时,最小值为-2 思路2例1 求函数y=xsin 11+的定义域.活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图像,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正学生出现的一些错误或书写不规范等. 解:由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠23π+2kπ(k∈Z ). ∴原函数的定义域为{x|x≠23π+2kπ,k∈Z }. 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线直接写出结果.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.2.在下列区间中,函数y=sin(x+4π)的单调增区间是( ) A.［2π,π］ B.［0,4π］ C.［-π,0］ D.［4π,2π］活动:函数y=sin(x+4π)是一个复合函数,即y=sin ［φ(x)］,φ(x)=x+4π,欲求y=sin(x+4π)的单调增区间,因φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,故应求使y 随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+4π看成一个整体,其道理是一样的.解:∵φ(x)=x+4π在实数集上恒递增,又y=sinx 在［2kπ-2π,2kπ+2π］(k ∈Z )上是递增的,故令2kπ-2π≤x+4π≤2kπ+2π.∴2kπ-43π≤x≤2kπ+4π.∴y=sin(x+4π)的递增区间是［2kπ-43π,2kπ+4π］. 取k=-1、0、1分别得［-411π,47π］、［-43π,4π］、［45π,49π］. 答案:B点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图像变换等手段更快地解出. 解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x 的式子,并求出x 的范围;(5)得到x 的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断. 变式训练1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( )A.T=2,θ=2πB.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,θ=2π解:T=ππ2=2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使f(x)取得最大值,可取θ=2π答案:A 2.求函数y=21sin(4π-32x )的单调递减区间及单调递增区间.解:y=21sin(4π-32x )=-21sin(32x -4π).由2kπ-2π≤32x -4π≤2kπ+2π,可得3kπ-83π≤x≤3kπ+89π(k ∈Z ),为单调减区间;由2kπ+2π≤32x -4π≤2kπ+23π,可得3kπ+89π≤x≤3kπ+821π(k ∈Z ),为单调增区间.所以原函数的单调减区间为［3kπ-83π,3kπ+89π］(k ∈Z );原函数的单调增区间为［3kπ+89π,3kπ+821π］(k ∈Z ).知能训练课本本节练习2 1、2、3. 课堂小结1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对正弦函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数的图像的画法.2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点. 作业判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)=xxx sin 1cos sin 12-++-.解答:(1)函数的定义域为R ,它关于原点对称.又∵f(x)=xsin(π+x) =-xsinx, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x),∴函数为偶函数.(2)函数应满足1-sinx≠0,∴函数的定义域为{x|x ∈R 且x≠2kπ+2π,k ∈Z }. ∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.设计感想1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.2.在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,加大应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.3.学习三角函数的性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如sin(α+2π)=sinα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.备课资料一、近几年三角函数知识的变动情况三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标.1.是“三角”还是“函数”应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图像和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的观点.2.是“图像”还是“变换”现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图像和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低了对这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图像和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图像和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本. 3.国外的观点及启示下面来看一下美国和德国的观点:美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图像;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx 、cosx 、tanx 和它们的图像周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图像变换、求导、求积分、求极限.从以上罗列,我们可以看出下面的共同点: 第一,突出强调三角函数的图像和性质;第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍; 第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算; 第四,注意三角函数和其他知识的联系.这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故. 二、备用习题1.函数y=sin(3π-2x)的单调减区间是( ) A.［2kπ-12π,2kπ+125π］(k ∈Z ) B.［4kπ-35π,4kπ+311π］(k ∈Z ) C.［kπ-125π,kπ+1211π］(k ∈Z ) D.［kπ-12π,kπ+125π］(k ∈Z )2.满足sin(x-4π)≥21的x 的集合是( )A.{x|2kπ+125π≤x≤2kπ+1213π,k ∈Z }B.{x|2k π-12π≤x≤2kπ+127π,k ∈Z }C.{x|2kπ+6π≤x≤2kπ+65π,k ∈Z }D.{x|2kπ≤x≤2kπ+6π,k ∈Z }∪{x|2kπ+65π≤x≤(2k+1)π,k∈Z }3.求函数y=lgsinx 的定义域和值域.4.已知函数y=f(x)的定义域是［0,41］,求函数f(21sin 2-x )的定义域. 参考答案:1.D2.A3.解:由题意得sinx ＞0,∴2kπ＜x ＜(2k+1)π,k∈Z .又∵0＜sinx≤1,∴lgsinx≤0. 故函数的定义域为(2kπ,(2k+1)π),k∈Z ，值域为(-∞,0］.4.解:由题意得0≤21sin 2-x ≤41,∴-23≤sinx≤-22或22≤sinx≤23∴x∈［kπ+4π,kπ+3π］∪［kπ+32π,kπ+43π］,k ∈Z .。
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质学案 北师大版必修4(2021年整理)
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1.5 正弦函数的图像与性质知识梳理1。
任意角的正弦函数（1）单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.（2)定义如图1-4—1所示,单位圆与角α的终边交于P点.设P(a，b）,则P点纵坐标b是角α的函数,称为正弦函数，记为b=sinα（α∈R）。
通常用x、y表示自变量和因变量，将正弦函数表示为y=sinx（x∈R).图1—4-1（3)正弦线如图1—4-1所示,过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段MP叫做角α的正弦线。
当角α的终边在x轴上时,M与P重合，此时正弦线变成一个点.（4)正弦线所表示的正弦值可如下确定：正弦线的方向是表示正弦值的符号，同y轴一致，向上为正,向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.(5)正弦函数定义的推广如图1—4—2所示，设P（x，y）是α的终边上任意一点,图1-4—2P 到原点的距离|OP|＝r ，有r=22y x ，则sinα＝ry 。
对于每一个确定的角α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做正弦函数。
正弦函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小。
2.周期函数一般地，对于函数y=f （x)，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f （x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明,一般都是指它的最小正周期.3.任意角的正弦值的符号(1）图形表示：各象限正弦函数符号,如图1—4—3所示.图1-4-3（2）表格表示.α的终边sinα x 非负半轴0 第一象限+y非负半轴+第二象限+x非正半轴0第三象限—y非正半轴-第四象限—4.正弦函数的图像和性质(1)图像：如图1-4-4所示.图1—4—4（2)性质.函数性质y=sinx 定义域R值域［-1,1］当x=2kπ+2π（k∈Z）时，y取最大值1;当x=2kπ-2π（k∈Z)时,y取最小值-1周期2π奇偶性奇函数单调性增区间［—2π+2kπ,2π+2kπ］(k∈Z）减区间［—2π+2kπ,23π+2kπ］（k∈Z)5。
【精讲优练】高中数学北师大必修四练习：1.5 正弦函数的图像与性质(含答案解析)
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课时提升作业(七)正弦函数的图像与性质(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·南昌高一检测)函数y=sinx是()A.增函数B.减函数C.偶函数D.周期函数【解析】选D.由正弦曲线y=sinx的图像,可得函数y=sinx的增区间是[-+2kπ,+2kπ](k∈Z);减区间是(k∈Z),函数是奇函数,且是周期为2π的周期函数,故选D.2.下列区间中,使函数y=sinx为增函数的是()A.[0,π]B.C. D.[π,2π]【解析】选C.由函数的图像可知,正弦函数在[-,]上是增加的.3.方程sinx=在(0,+∞)上的根的个数是()A.3B.4C.5D.6【解题指南】作出y=sinx,y=的图像,利用两个函数交点的个数与方程根的个数相同解题. 【解析】选B.在同一坐标系内分别作出x∈(0,+∞)上y=sinx,y=的图像如图所示,,两图像有4个交点,故方程sinx=有4个根.4.下列关系式中正确的是()A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°【解析】选C.因为cos10°=sin80°,sin168°=sin12°,又因为正弦函数在上是增加的,故sin11°<sin12°<sin80°,故sin11°<sin168°<cos10°.5.(2015·六安高一检测)函数f(x)=sinx+2|sinx|(x∈[0,2π])的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是()A.[-1,1]B.(1,3)C.(-1,0)∪(0,3)D.[1,3]【解析】选B.因为f=分别作出f与y=k的图像如图:当k∈时两函数有两个交点.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=sinx,x∈的值域是__________.【解析】由函数的图像可知,函数y=sinx,x∈[-,]的值域为.答案:7.当函数f(x)=3sin x取最小值时,x=__________.【解析】令x=+2kπ,k∈Z,解得x=3π+4kπ,k∈Z.答案:3π+4kπ,k∈Z8.(2015·抚州高一检测)已知f(n)=sin,n∈Z,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=__________. 【解题指南】先计算前几项的值,利用函数值的周期性求和.【解析】因为f(1)=,f(2)=1,f(3)=,f(4)=0,f(5)=-,f(6)=-1,f(7)=-,f(8)=0,f(9)=,…,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0,因为2017=252×8+1,故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2017)=f(1)=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(1)请补充完整下面用“五点法”作y=-sinx(0≤x≤2π)的图像时的列表.①______;②______;③______;④______;⑤______.(2)请利用“五点法”画出函数y=2sinx在区间[0,2π]上的简图.【解析】(1)由诱导公式知,当x=0时,y=-sinx=0;当x=时,y=-sinx=-1;当x=π时,y=-sinx=0;当x=π时,y=-sinx=1;当x=2π时,y=-sinx=0.答案:①0②-1③π④⑤0(2)列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.10.已知函数f(x)=2sinx+1.设集合A={x|≤x≤},B={x||f(x)-m|<2},若A∪B=B,求实数m的取值范围.【解析】因为A∪B=B,所以A⊆B,因为|f(x)-m|<2,所以m-2<f(x)<m+2,因为≤x≤,所以≤sinx≤1,所以2≤f(x)≤3,所以所以1<m<4.【补偿训练】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sinx.(1)当x∈[-π,0]时,求f(x)的解析式.(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的函数简图.(3)当f(x)≥时,求x的取值范围.【解析】(1)若x∈,则-x∈.因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sinx.若x∈,则π+x∈,因为f(x)是最小正周期为π的周期函数,所以f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sinx,所以x∈[-π,0]时,f(x)=-sinx.(2)函数f(x)在[-π,π]上的函数简图如图所示:(3)x∈[0,π],sinx≥,可得≤x≤,函数周期为π,因此x的取值范围是kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.与正弦曲线y=sinx关于直线x=对称的曲线是()A.y=sinxB.y=cosxC.y=-sinxD.y=-cosx 【解析】选D.在正弦曲线y=sinx对称图像上任取一点,则该点关于x=的对称点为,由题意y=sin=-cosx.2.(2015·南阳高一检测)已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈时,f(x)=1-sinx,则当x ∈[π,3π]时,f(x)等于()A.1+sinxB.1-sinxC.-1-sinxD.-1+sinx 【解题指南】由题意,可先由函数是偶函数求出x∈时,函数解析式为f(x)=1+sinx,再利用函数是以π为周期的函数得到x∈时,f(x)的解析式即可选出正确选项. 【解析】选B.由题意,任取x∈,则-x∈,又x∈时,f(x)=1-sinx,故f(-x)=1+sinx,又f(x)是偶函数,可得f(-x)=f(x),所以x∈时,函数解析式为f(x)=1+sinx,由于f(x)是以π为周期的函数,任取x∈,则x-3π∈,所以f(x)=f(x-3π)=1+sin(x-3π)=1-sinx.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·大连高一检测)在“五点作图法”中,函数y=sinx-1的第四点是________.【解析】当x=时,y=sin-1=-1-1=-2,所以第四点为.答案:4.(2015·南通高一检测)函数在f(x)=sinx-a,x∈上有两个零点,则实数a的取值范围是______________.【解析】令f(x)=sinx-a=0,则sinx=a,分别作出函数y=sinx,x∈,y=a的图像如图所示:则当≤a<1时,两图像有两个交点,则函数有两个零点.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.作出函数y=-sinx,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:(1)观察函数图像,写出满足下列条件的x的区间:①-sinx>0;②-sinx<0.(2)直线y=与y=-sinx的图像有几个交点?【解析】列表如下:-描点,连线得图像如图所示:(1)根据图像可知,图像在x轴上方的部分-sinx>0,在x轴下方的部分-sinx<0,所以当x∈(-π,0)时,-sinx>0;当x∈(0,π)时,-sinx<0.(2)画出直线y=与y=-sinx的图像,得知有两个交点.6.(2015·宿迁高一检测)已知函数f(x)=x2+2xsinα-1,x∈,α∈[0, 2π],(1)当α=时,求f(x)的最大值和最小值,并求使函数取得最值的x的值.(2)求α的取值范围,使得f(x)在区间上是单调函数.【解析】(1)当α=时,f(x)=x2+2xsin-1=x2+x-1=-,因为x∈,所以当x=-时,f(x)取到最小值-;当x=时,f(x)取到最大值-.(2)函数f(x)=x2+2xsinα-1图像的对称轴为直线x=-sinα,当-sinα≤-,即sinα≥,即≤α≤时,函数f(x)在区间上是增函数;当-<-sin α<,即-<sin α<,即0≤α<或<α<或<α≤2π时,f(x)在区间sin α-]上为减函数,在1-sin ,2α[]上为增函数;当-sin α≥,即sin α≤-, 即≤α≤时,函数f(x)在区间是减函数. 综上所述:当≤α≤或≤α≤时,函数f(x)在区间上是单调函数.关闭Word 文档返回原板块。
高中数学 第一章 三角函数 1.5.1 正弦函数的图像学案(含解析)北师大版必修4-北师大版高二必修
§5 正弦函数的图像与性质5．1 正弦函数的图像知识点 正弦函数的图像[填一填]正弦函数的图像(1)图像：正弦函数y ＝sin x 的图像，又称为正弦曲线，如图所示．(2)画法：在平面直角坐标系中描出五个关键点： (0,0)，(π2，1)，(π，0)，(32π，－1)，(2π，0)．然后再根据正弦函数的基本形状，用光滑曲线将这五个点连接起来，得到正弦函数的简图，这种画正弦曲线的方法称为“五点法”．[答一答]怎样用五点法画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像？提示：画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像，有五个关键点，它们是(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)，因此描出这五个点后，正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像的形状基本上就确定了．在描点时，光滑的曲线是指经过最高点或最低点的连线，要保证近似“圆弧”的形状，经过位于x 轴的点时要改变“圆弧的圆心的位置”．1．y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈R 的图像间的关系(1)函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像是函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像的一部分． (2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠ 0的图像与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像形状完全一致，因此将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y ＝sin x ，x∈R 的图像．2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出正弦函数图像的方法．该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”的实质是在函数y ＝sin x 的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形状．(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的情况下常用此法，要切实掌握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常出现在高考试题中．3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点 (1)应用的前提条件是精确度要求不是太高． (2)五个点必须是确定的五点．(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般在最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”现象．(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”.类型一画正弦函数的图像【例1】用“五点法”画函数y＝－2＋sin x，x∈[0,2π]的简图．【思路探究】本题主要考查正弦型函数y＝sin x－2的图像的画法．在区间[0,2π]内找出关键的五个点，列表，并在平面直角坐标系内画出图像；也可以先画出函数y＝sin x的图像，然后向下平移2个单位长度得到函数y＝sin x－2的图像．【解】法1：按五个关键点列表：x 0π2π3π22πsin x 010－10－2＋sin x －2－1－2－3－2 利用正弦函数的性质描点，如下图的实线部分．法2：先用“五点法”画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像(如图中的虚线部分)，再将其向下平移2个单位长度即可得到函数y＝－2＋sin x，x∈[0,2π]的图像(如图中的实线部分)．规律方法函数y＝sin x＋m的图像既可以用五点法画出，也可以将函数y＝sin x的图像向上(m>0)或向下(m<0)平移|m|个单位长度得到．用“五点法”作函数y＝2sin x，x∈[0,2π]的图像．解：列表：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝2sin x2－2描点、连线，得函数y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]的图像，如图．类型二 利用正弦线求角的范围【例2】 利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)sin α＝12；(2)sin α≤－12.【思路探究】 先借助单位圆作出正弦线，然后找出符合条件的角的集合． 【解】 (1)如图(1)． 故使sin α＝12的α的集合为{α|α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z }．图(1)(2)如图(2)．在Rt △OMP 中， |OP |＝1，|MP |＝12，∴∠MOP ＝π6.故使sin α≤－12的α的集合为{α|2k π－5π6≤α≤2k π－π6，k ∈Z }．规律方法注意终边相同的角的表示方法及角的旋转方向．利用单位圆中的正弦线求满足sinα≥32的角α的集合．解：如图所示．使sinα≥32的α的集合为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z}．类型三正弦曲线的应用【例3】判断方程x＋sin x＝0的根的个数．【思路探究】转化为判断函数y＝－x和y＝sin x的图像的交点个数．【解】在同一直角坐标系中画出y＝－x和y＝sin x的图像，如图所示．由图知y＝－x和y＝sin x的图像仅有一个交点，则方程x＋sin x＝0仅有一个根．规律方法关于方程根的个数问题，往往是运用数形结合法构造函数，转化为函数图像交点的个数问题．将本例中的方程改为“x 2－sin x ＝0”，试判断根的个数．解：在同一直角坐标系中画出y ＝x 2和y ＝sin x 的图像，如图所示．由图知y ＝x 2和y ＝sin x 的图像有两个交点，则方程x 2－sin x ＝0有两个根．——易错警示—— 忽略函数的定义域致误【例4】 若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________．【错解】 (0,1]【正解】 由三角形内角和为π知，若x 为三角形中的最小角，则0<x ≤π3①，由y ＝sin x 图像(如图)知y ∈(0，32]． 【错解分析】 忽视①处x 为最小角，x 实际范围为(0，π3]，认为x 为三角形的内角，有x ∈(0，π)或x ∈(0，π2]，从而得出错误答案．【答案】 (0，32] 【防范措施】 深入挖掘题目中的条件要重视对题目条件的挖掘和充分的应用，否则会导致错误．如本例中用到了三角形中的最小角，需要在记住三角形内角和为π的基础上，推导出最小角的范围(0，π3]．函数y ＝lg(3＋2sin x )，x ∈[0,2π]有意义时，x 的取值范围是[0，43π)∪(53π，2π]．解析：由题意知，3＋2sin x >0，则sin x >－32.由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像(如图)可知x 的取值范围为[0，43π)∪(53π，2π]．一、选择题1．函数y ＝sin x 的图像与x 轴的交点有( D ) A ．0个 B ．3个 C ．6个D ．无数个2．函数y ＝sin x 在某个区间上是减函数，则该区间可以是( D ) A ．[0，π2]B ．[0，π]C ．[π，2π]D ．[π2，3π2]解析：由y ＝sin x 的图像可知4个选项中只有D 正确． 3．关于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( D ) A ．关于原点对称 B ．有最大值1 C ．与y 轴有1个交点D ．关于y 轴对称解析：由正弦函数y ＝sin x 的图像可知，它关于原点对称，有最大值1，最小值－1，并且与y 轴有一个交点，坐标为(0,0)，只有D 错误．二、填空题4．函数y ＝sin x 的图像上最低点的纵坐标等于－1. 三、解答题5．用五点法画出函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的图像．解：按五个关键点列表：x 0π2π3π22πsin x 010－10 y＝2－sin x 2123 2 在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图像，如图所示．。
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的图像与性质
§5 正弦函数的图像与性质1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)3．能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 “五点法”作正弦函数的图像阅读教材P 25～P 27“例1”以上部分，完成下列问题．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图1－5－1.图1－5－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．( ) (3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．( ) (4)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )【解析】 由函数y ＝sin x 的图像可知，y ＝sin x 的图像不关于x 轴对称，与y 轴只有一个交点，且图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间，在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，而位置不同．【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P 28～P 29“例2”以上部分，完成下列问题． 性质定义域 R 值域[－1,1]最大值 与最小值 当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性 周期函数，T ＝2π单调性 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的； 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是减少的 奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称，对称中心(k π，0)，k ∈Z ；对称轴x ＝k π＋π2，k ∈Z判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y ＝sin x 的定义域为R .( ) (2)正弦函数y ＝sin x 是单调增函数．( ) (3)正弦函数y ＝sin x 是周期函数．( )(4)正弦函数y ＝sin x 的最大值为1，最小值是－1.( )【解析】 由正弦函数性质知，(1)(3)(4)均正确，对于(2)，正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是单调增函数，在R 上不具有单调性． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]五点法作图用“五点法”画出函数y ＝3－sin x (x ∈[0,2π])的图像． 【精彩点拨】 借助于五点作图法按下列次序完成： 列表―→描点―→连线成图【自主解答】 (1)列表，如下表所示：x 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x 0 1 0 －1 0 y ＝3－sin x32343(2)描点，连线，如图所示：1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持平滑，注意凸凹方向．[再练一题]1．作出函数y ＝－1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．【解】 按五个关键点列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －1＋2sin x－11－1－3－1利用正弦函数的性质描点连线作图，如图：与正弦函数有关的定义域问题求下列函数的定义域． (1)y ＝1－2sin 2x ； (2)y ＝log 21sin x－1. 【精彩点拨】 先根据条件，求出sin x 的取值范围，再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决．【自主解答】 (1)为使函数有意义，需满足1－2sin 2x ≥0，即sin 2x ≤12，解得－22≤sin x ≤22， 结合单位圆可知，－π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π或3π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π(k ∈Z )．∴原函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．(2)为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0.正弦函数和单位圆如图所示：∴定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π<x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z.1．求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．2．求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后，要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．[再练一题]2．求函数y ＝ 2 sin x ＋3的定义域.【导学号：66470014】【解】 要使函数有意义，只需2 sin x ＋3≥0. 即sin x ≥－32，如图所示，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3(k ∈Z )．正弦函数的周期性与奇偶性求下列函数的周期，并判断其奇偶性．(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．【精彩点拨】 (1)利用代换z ＝2x ＋π3，将求原来函数的周期转化为求y ＝sin z 的周期求解，或利用公式求解．(2)作出函数图像观察求解．【自主解答】 (1)法一：令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数y ＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数y ＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π. 法二：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3中，ω＝2，∴T ＝2π|2|＝π.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3是非奇非偶函数． (2)作出y ＝|sin x |的图像如图：由图像可知，y＝|sin x|的周期为π.其图像关于y轴对称，∴y＝|sin x|是偶函数．1．利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x”增加到“x＋T”，函数值重复出现，T是函数的一个周期这一理论依据．2．常见三角函数周期的求法(1)对于形如函数y＝A sin(ωx＋φ)，ω≠0的周期求法，通常用定义T＝2π|ω|来求解；(2)对于形如y＝|A sin ωx|的周期情况，常结合图像法来解决．[再练一题]3．求下列函数的周期，并判断其奇偶性．(1)f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x2－π6；(2)f(x)＝|sin 2x|.【解】(1)在f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x2－π6中，∵ω＝12，∴T＝2π12＝4π.又f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，∴f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x2－π6是非奇非偶函数．(2)作出f(x)＝|sin 2x|的图像如图：由图知，y＝|sin 2x|的周期为π2，又其图像关于y轴对称，因而是偶函数．正弦函数的单调性(1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4； ②sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)．(2)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间．【精彩点拨】 (1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用y ＝sin x 的单调性比较大小．(2)将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 视为z ，利用y ＝sin z 的单调性求解．【自主解答】 (1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5＝－sin 2π5，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4＝－sin π4，sin 2π5>sin π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4.②因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)， 且0<π－3<π－2<π2.函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的，所以sin(π－2)>sin 1>sin(π－3)>0，即sin2>sin 1>sin 3>sin 4.(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π，k ∈Z .所以原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π，k ∈Z .1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±β后，再依据单调性进行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较． 4．在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间求原函数的单调区间．[再练一题]4．比较sin 215π与sin 42π5的大小．【解】 ∵sin 21π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π5＝sin π5，sin 42π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋2π5＝sin 2π5.∵0<π5<2π5<π2.又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增．∴sin π5<sin 2π5，即sin 21π5<sin 42π5.[探究共研型]与正弦函数有关的值域问题探究1 【提示】求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内来求值域． 探究2 对于y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 型的函数怎样求值域？ 【提示】 利用换元法转化为二次函数求最值．求下列函数的值域． (1)y ＝3－2 sin x ；(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【精彩点拨】 (1)利用|sin x |≤1即可求解． (2)配方求解，要注意|sin x |≤1这一情况． 【自主解答】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤－sin x ≤1， 1≤3－2 sin x ≤5，∴函数y ＝3－2 sin x 的值域为[1,5]． (2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，y ＝－t 2＋3t ＋54＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2， ∴当t ＝32时，y max ＝2.此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z . 当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .∴函数y ＝－sin 2x ＋ 3 sin x ＋54的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－3，2.此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程，把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题．解答过程要特别注意：内函数(本例中t ＝sin x )的值域恰好是外函数⎝⎛⎭⎪⎫本例中y ＝－t 2＋3t ＋54的定义域．[再练一题]5．求函数y ＝sin 2x －4 sin x －1的值域． 【解】 y ＝sin 2x －4 sin x －1 ＝(sin x －2)2－5.由－1≤sin x ≤1，得当sin x ＝－1时函数的最大值为4，当sin x ＝1时，函数的最小值为－4，所以函数的值域为[－4,4] .[构建·体系]1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像上的一条对称轴是( )【导学号：66470015】A ．y 轴B ．x 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π【解析】结合函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知直线x ＝π2是函数的一条对称轴． 【答案】 C2．函数f (x )＝3＋sin x 的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【解析】 由3＋sin(2π＋x )＝3＋sin x 知f (x )的最小正周期为2π.【答案】 D3．f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值为________． 【解析】 f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减少的，所以f (x )max ＝－2·sin π4＝－ 2. 【答案】 － 24．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是________．【解析】 f (－x )＝[sin(－x )]2＋1＝sin 2x ＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．【答案】 偶函数5．比较下列各组数的大小．(1)sin 2 016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53. 【解】 (1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵sin 36°<sin 70°，∴－sin 36°>－sin 70°，即sin 2 016°>cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53， 又π2<34<π2＋53<3π2， y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________。
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数例题与探究(含解析)北师大版必修4-北师大版高一必修4数
1.5 正弦函数典题精讲1.周期函数一定都有最小正周期吗？剖析：并不是所有周期函数都存在最小正周期.很多同学对此产生质疑，其突破的方法是：通过经验的积累，考虑特殊的周期函数.例如：常数函数f(x)=C（C为常数），x∈R.当x取定义域内的任意值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x+T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期.2.正弦函数线有何作用？剖析：有的同学学习了正弦线后，感到正弦线没有什么用处.其突破的路径是准确理解正弦线的定义和平时经验的积累.正弦线是当点P为终边与单位圆交点时，正弦函数值的直观表现形式.正弦线的方向和长度直观反映了正弦值的符号和绝对值.由正弦线的方向判断正弦值的正负，由正弦线的长度确定正弦值的绝对值大小.由此可见，用正弦线表示正弦函数值，反映了变换与转化、数形的结合与分离的思想方法.正弦函数在各象限的符号除从各象限点的坐标的符号结合正弦函数的定义来记忆之外，也可以根据画出的正弦线的方向记忆.正弦线的主要作用是解三角不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较三角函数式的大小，同时它也是以后学习正弦函数的图像与性质的基础.例如：求函数y=log2(sinx)的定义域.思路分析：转化为解三角不等式sinx＞0.图1-4-5解：要使函数有意义，x的取值需满足sinx＞0.如图1-4-5所示，MP是角x的正弦线，则有sinx=MP ＞0, ∴MP 的方向向上. ∴角x 的终边在x 轴的上方. ∴2kπ＜x ＜2kπ+π(k∈Z ).∴函数y=log 2(sinx)的定义域是(2kπ,2kπ+π)k∈Z .由以上可看出，利用三角函数线，数形结合，能使问题得以简化.三角函数线是利用数形结合思想解决有关三角函数问题的重要工具，通过平时经验的积累，掌握三角函数线的应用. 3.在推广了的三角函数定义中，为什么三角函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小？剖析：联系相似三角形的知识来分析.设P 0（x 0,y 0)是角α终边上的另一点，|OP 0|=r 0，由相似三角形的知识可知，只要点P 0在α终边上，总有r y =0r y .因此所得的比值都对应相等.所以角α的正弦函数值只依赖于终边的位置即α的大小，与点P 在角α终边上的位置无关. 典题精讲例1（经典回放）sin 600°的值是（ ）A.21 B.-21C.23D.-23思路解析：sin600°＝sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-sin60°=-23. 答案：D绿色通道：诱导公式选择的一般步骤：先将-α化为正角；再用2kπ+α(k∈Z )化为［0，2π)内的角;再用π+α，π-α，2π-α化为锐角的三角函数.由此看利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，也就是说：诱导公式真是好，负化正后大化小. 变式训练sin(-2 010°)的值是（ ）A.-21B.23C.21D.-23思路解析：sin(-2 010°）=sin ［(-6×360°）+150°］＝sin150°=sin(180°-30°）=sin30°=21. 答案：C例2(2005某某高考卷，理12)f(Z )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ） A.2B.3C.4D.5思路解析：∵f(x)是奇函数，∴f(0)=-f(-0)，f(-2)=-f(2)=0. ∴f(0)=0，f(2)=0.∵f(x)是以3为周期的周期函数，∴f(-2)=f(3-2)=f(1)=0,f(3)=f(0)=0,f(4)=f(1+3)=f(1)=0. ∴f(5)=f(3+2)=f(2)=0.∴在区间（0，6）内f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0. 答案：D绿色通道：高考试题中，通常不会单独考查周期函数，往往是周期函数和三角函数，和函数的奇偶性、单调性等综合考查.一般是利用周期函数的性质f(x+T)=f(x)，解决求函数值、解析式及解方程等问题.变式训练定义在R 上的偶函数f(x)满足f(3+x)=f(3-x),若当x∈(0,3)时,f(x)=2x,则当x∈(-6,-3)时,f(x)的解析式为（ ） A.2x+6B.-2x+6C.2x-6D.-2x-6思路解析：∵f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x). 又∵f(3+x)=f(3-x)，∴f(x)的图像关于直线x=3对称.∴f(x+6)=f(x+3+3)=f［3-(x+3)］=f(-x)=f(x).∴f(x)是周期函数，6是一个周期.当x∈(-6,-3)时,有0＜x+6＜3， ∴f(x)＝f(x ＋6)＝2x+6. 答案：A例3已知角α的终边经过点P （3，4），求sinα. 思路分析：分别写出x 、y 、r 的值，应用定义求解. 解：由x=3，y=4，得r=2243+=5. ∴sinα=r y =54. 绿色通道：如果已知角的终边经过的一个点求三角函数值，通常应用三角函数的定义求解. 变式训练已知角α的终边经过点P （3t ，4t ），t≠0，求sinα. 思路分析：应用三角函数的定义直接求解，注意t 的取值符号. 解：由x=3t ，y=4t ，得r=22)4()3(t t +=5|t|.当t ＞0时，r=5t ，∴sinα=54； 当t ＜0时，r=-5t ，∴sinα=-54.例4(2006某某高考卷，文8) 设a ＞0，对于函数f(x)=xx sin sin α+(0＜x ＜π)，下列结论正确的是（ ）A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值思路解析：令t=sinx,0＜x ＜π，则t∈(0,1］，那么函数f(x)= xx sin sin α+(0＜x ＜π)的值域为函数y=1+t a ,t∈(0,1］的值域，又a ＞0，可以证明y=1+ta,t∈(0,1］是一个减函数，所以函数f(x)有最小值而无最大值. 答案：B绿色通道：（1）求三角函数最值的常用方法：换元法.设sinx=t ，将三角函数转化为二次函数等其他常见的初等函数，再求最值；（2）形如“y=dx c bx a ++sin sin 的函数的最值问题，常用换元法，也可用分离变量法.变式训练1求函数y=2sin 1sin 3++x x 的值域.思路分析：此类题型可转化为分式函数的值域的求法，即分离常数法，或通过反解sinx 法，利用sinx 的值域确定函数的值域. 解法一：设t=sinx,x∈R ，则t∈［-1,1］，∴函数f(x)= 2sin 1sin 3++x x 的值域为函数y=213++t t ,t∈［-1,1］的值域，可以证明y=213++t t ,t∈［-1，1］是增函数.∴2113+-+-≤y≤2113++. ∴-2≤y≤34.∴函数的值域为［-2,34］.解法二：由y=2sin 1sin 3++x x ，得sinx=y y --312.∵|sinx|≤1， ∴|y y --312|≤1，解得-2≤y≤34. ∴函数的值域为［-2，34］. 变式训练2求函数y=(5-sinx)(2+sinx)的最大值及此时x 的集合. 思路分析：利用换元法转化为求二次函数的最大值. 解：设sinx=t ，则-1≤t≤1，y=(5-sinx)(2+sinx)=(5-t)(2+t)=-t 2+3t+10=-(t-23)2+449，则当t=1时，y 取最大值12，此时sinx=1，x=2kπ+2π(k∈Z )，所以函数y=(5-sinx)(2+sinx)最大值为1，此时x 的集合是{x|x=2kπ+2π,k∈Z }. 例5作出函数y=-s inx(0≤x≤2π)的图像.思路分析：利用“五点法”作图，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整理数据，使问题既清晰又准确. 解：列表：x 0 2π π 23π 2π sinx 0 1 0 -1 0 -sinx-11描点作图（图1-4-6）：图1-4-6绿色通道：由于正弦曲线直观地表现了正弦函数数的各种性态，因此要熟悉图像，掌握五点法作图并能应用图像解决有关问题.“五点”即y=sinx 的图像在一个最小正周期内的最高点、最低点及与x 轴的交点，一般地，观察y=sinx 的一个周期，常常作区间［0,2π］或［-2π，23π］上的图像. 变式训练1求函数y=x sin -的定义域.思路分析：转化为解不等式-sinx≥0.利用图像法解不等式.解：在平面直角坐标系中画出函数y=-sinx 的图像，如图1-4-6所示. 在［0,2π］内，当-sinx≥0，记函数的图像位于x 轴上方时，π≤x≤2π. 所以函数y=x sin -的定义域是［2kπ+π,2kπ+2π］k∈Z . 变式训练2函数y=|sinx|的周期是__________.思路解析：画函数y=|sinx|的图像，观察图像得函数周期为π. 答案：π 问题探究问题1（1）正弦曲线关于原点、(π,0)、(-π,0)成中心对称图形.结合正弦函数的图像，你发现正弦曲线还有其他对称中心吗？ （2）正弦曲线关于直线x=-2π、x=-2π、x=23π成轴对称图形.结合正弦函数的图像，你发现正弦曲线还有其他对称轴吗？导思：探究思路是由特殊到一般，利用归纳推理：先归纳，再猜想出结论，最后利用对称的定义作出证明.探究：（1）由于正弦函数是奇函数，则其图像关于原点对称. 设点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，则y 0=sinx 0. 那么点P(x 0,y 0)关于点(π,0)的对称点为M(2π-x 0,-y 0)，∵sin(2π-x 0)=-sinx 0, ∴sin(2π-x 0)=-y 0，即点M(2π-x 0,-y 0)也在正弦函数y=sinx 的图像上. 又∵点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点， ∴正弦曲线关于(π,0)成中心对称图形. 同理可证正弦曲线关于(-π,0)成中心对称图形.图1-4-7如图1-4-7所示，观察正弦函数的图像，可归纳,得原点、(±π,0)都是正弦曲线与x 轴的交点，可猜想正弦曲线与x 轴的交点(kπ,0)(k∈Z )都是正弦曲线的对称中心. 证明：设点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，则y 0=sinx 0. 则点P(x 0,y 0)关于点(kπ,0)的对称点M(2kπ-x 0,-y 0)， ∵sin(2kπ-x 0)=-sinx 0， ∴sin(2kπ-x 0)=-y 0，即点M(2kπ-x 0,-y 0)也在正弦函数y=sinx 图像上. ∵点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点， ∴正弦曲线关于(kπ,0)成中心对称图形.综上可得，正弦曲线的对称中心是正弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值为0；并且任意相邻的两个对称中心正好相差半个周期.（2）设点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，则y 0=sinx 0. 则点P(x 0,y 0)关于直线x=2的对称点为M(π-x 0,y 0)， ∵sin(π-x 0)=sinx 0， ∴sin(π-x 0)=y 0，即点M(π-x 0,y 0)也在正弦函数y=sinx 图像上.∵点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，∴正弦曲线关于直线x=2π成轴对称图形. 同理可证:正弦曲线关于直线x=-2π、x=23π成轴对称图形.观察正弦函数的图像，可归纳得：直线x=2π、x=-2π、x=23π都过正弦曲线最高或最低点，可猜想过正弦曲线最高或最低点的直线x=kπ+2π(k∈Z )都是正弦曲线的对称轴.证明：设点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点，则y 0=sinx 0， 则点P(x 0,y 0)关于直线x=kπ+2π的对称点M(2kπ+π-x 0,y 0)， ∵sin(2kπ+π-x 0)=sin(π-x 0)=sinx 0， ∴sin(2kπ-x 0)=y 0，即点M(2kπ+π-x 0,y 0)也在正弦函数y=sinx 图像上. ∵点P(x 0,y 0)是正弦函数y=sinx 图像上任意一点， ∴正弦曲线关于直线x=kπ+2π(k∈Z )成轴对称图形. 综上可得，正弦曲线的对称轴过正弦曲线的最高或最低点且垂直于x 轴的直线，即此时的正弦值为最大值或最小值；并且任意相邻的两条对称轴正好相差半个周期.。
高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的性质与图像学案北师大版必修4
1.5 正弦函数性质与图像1．正弦线及五点法(1)正弦线设任意角α终边与单位圆交于点P，过点P作x轴垂线，垂足为M，我们称线段MP为角α正弦线．(2)五点法用“五点法〞作正弦函数y＝sin x，xx轴交点与函数取最大值、最小值时点．预习交流1用“五点法〞作y＝sin x，x∈[0,2π]图像应注意哪些问题？2．正弦函数图像与性质R[－1,1]正弦曲线是中心对称图形，其对称中心坐标为(kπ，0)(k∈Z)；正弦曲线是轴对称图形，其对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z)．预习交流2(1)用五点法作函数y＝－sin x图像时，首先应描出五点横坐标是______________________．(2)函数y＝11＋sin x定义域是__________；函数y＝－3sin x＋1值域是______，单调递减区间是______．答案：1．(2)(0,0) ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，－1 (2π，0) 预习交流1：提示：(1)明确正弦曲线构造特征．由于用“五点法〞作图时准确度较差，因此画图之前要做到心中有图，明确正弦曲线变化趋势与规律．(2)弄清五个关键点意义．其中，平衡点是正弦曲线凹凸方向改变位置．最高点与最低点是正弦曲线上升或下降变化趋势改变位置． (3)熟练画图步骤．首先选取正弦函数一个周期[0,2π]，再将其四等分，确定五个关键点位置，最后用平滑曲线连接．预习交流2：(1)0，π2，π，3π2，2π(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈Z [－2,4]⎢⎢⎡⎥⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )1．正弦函数图像(1)从函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)图像来看，对应于sin x ＝12x 有( )．A ．1个值B ．2个值C ．3个值D ．4个值(2)用“五点法〞作函数y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])简图． 1．正弦函数y ＝sin x (x ∈R )图像一条对称轴是( )． A ．x 轴B ．y 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π2．用“五点法〞作出y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]简图．作函数y ＝a sin x ＋b 图像步骤2．正弦函数定义域问题 求函数y ＝log 21sin x－1定义域．思路分析：由于所求函数定义域解析式中含有根号，又含有对数，须保证被开方数大于等于0，且真数大于0，解答此题时可采用不等式组形式由里向外把使函数有意义式子罗列，然后求交集．求以下函数定义域： (1)y ＝1－2sin x ； (2)y ＝log 2sin x ； (3)y ＝log 122sin x －1.求函数定义域通常是解不等式组，在求解综合性强含三角函数复合函数定义域时，那么常利用数形结合，在函数图像或单位圆中表示，然后取各局部公共局部(即交集)．3．正弦函数值域、最值问题 求以下函数值域：(1)y ＝3－2sin 2x ；(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，3π4. 思路分析：对于(1)，直接利用y ＝sin x 值域为[－1，1]分析求解；对于(2)，利用换元法，转化为二次函数区间最值求解．求函数y ＝74＋sin x －sin 2x (x ∈R )值域．求正弦函数最值或值域常用方法是：①利用sin x 有界性，即|sin x |≤1； ②利用换元法转化为二次函数区间最值问题； ③化为sin x ＝f (y )形式，通过|f (y )|≤1求解． 4．正弦函数单调性及应用利用正弦函数单调性，比拟以下各对正弦值大小． (1)sin 190°与sin 200°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π10与sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π11； (3)sin 15π8与sin 10π9.思路分析：解答此题关键是对函数解析式恰当化简，利用y ＝sinx 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π2上是增加来判断函数值大小． 不通过求值，指出以下各式大于零还是小于零． (1)sin 135°－sin 144°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π18－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π10；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π5－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π4.解：(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数．(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2π，所以研究正弦函数单调性，只要研究一个周期内(如[0,2π])单调性即可．2．利用单调性比拟三角函数值大小步骤： (1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (3)利用函数单调性比拟大小．3．求函数单调区间时，要充分利用正弦函数递增、递减区间． 在求复合函数单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数单调性．5．三角函数奇偶性问题 判断以下函数奇偶性． (1)f (x )＝x sin(π＋x )； (2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．思路分析：解答此题要注意以下两个关键问题：(1)先判断定义域是否关于原点对称．(2)注意用诱导公式及对数运算性质变形，判断f (x )与f (－x )关系．f (x )＝ax ＋b sin 3x ＋1(a ，b 为常数)．(1)假设g (x )＝f (x )－1，试证明g (x )为奇函数；(2)假设f (5)＝7，求f (－5)．(1)判断函数奇偶性方法特别提醒：对于正弦函数要注意诱导公式sin(－x )＝－sin x 应用．(2)正弦函数奇偶性问题求解方法是：首先在所求区间上设自变量，然后转化到条件上来解决．答案：活动与探究1：(1)B解析：由图像可知，在[0,2π)内直线y ＝12与函数y ＝sin x 有两个交点，故sin x ＝12在[0,2π)内有两个解．(2)解：方法一：按五个关键点列表方法二：可先用“五点法〞画y ＝sin x (x ∈[0,2π])图像(如上图中虚线图)，再将其向下平移1个单位也可得到y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]图像．2．解：①列表：活动与探究2：解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如下图．所以函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π6或2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z . 迁移与应用：解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧1－2sin x ≥0，－1≤sin x ≤1，得－1≤sin x ≤12.由正弦函数图像可得，所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . (2)由sin x ＞0，得2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z .∴所求函数定义域是{x |2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z }．(3)由2sin x －1＞0，得2sin x －1＞0，∴sin x ＞12.由正弦函数图像可得，所求函数定义域是⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z .活动与探究3：解：(1)∵－1≤sin 2x ≤1， ∴－2≤－2sin 2x ≤2.∴1≤3－2sin 2x ≤5.∴函数值域为[1,5]．(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x －122＋34.设t ＝sin x ，∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，3π4， ∴由正弦函数图像知22≤t ≤1.而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －122＋34在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，1上单调递增，∴当t ＝22，即x ＝3π4时，y min ＝3－22，当t ＝1，即x ＝π2时，y max ＝1.∴函数值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－22，1.迁移与应用：解：设sin x ＝t ，那么t ∈[－1,1]．∴y ＝－t 2＋t ＋74＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －122＋2. ∴当t ＝－1时，y min ＝－14；当t ＝12时，y max ＝2.∴所求函数值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14，2. 活动与探究4：解：(1)sin 190°＝sin(180°＋10°)＝－sin 10°，sin 200°＝sin(180°＋20°)＝－sin 20°. ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增，∴sin 10°＜sin 20°，从而－sin 10°＞－sin 20°， ∴sin 190°＞sin 200°.(2)∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上单调递增， 且－π2＜－π10＜－π11＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π10＜sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π11. (3)sin 15π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2π－π8＝－sin π8，sin 10π9＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π9＝－sin π9，∵π2＞π8＞π9＞0，∴sin π8＞sin π9. ∴－sin π8＜－sin π9.∴sin 15π8＜sin 10π9.迁移与应用：解：(1)∵90°＜135°＜144°＜180°，且y ＝sin x 在(90°，180°)上单调递减，∴sin 135°＞sin 144°.∴sin 135°－sin 144°＞0.(2)∵0＞－π18＞－π10＞－π2，且y ＝sin x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，0上单调递增，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π18＞sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π10. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π18－sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－π10＞0. (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－235π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4π－3π5 ＝－sin 3π5＝－sin 2π5，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－174π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4π－π4＝－sin π4.∵0＜π4＜2π5＜π2，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin π4＜sin 2π5.∴－sin π4＞－sin 2π5，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－174π＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π5. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π5－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－17π4＜0. 活动与探究5：解：(1)f (x )＝－x ·sin x ，定义域为R .∵f (－x )＝x ·sin(－x )＝－x ·sin x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． 定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数． (3)∵1＋sin 2x ＞|sin x |≥－sin x ， ∴sin x ＋1＋sin 2x ＞0.∴函数定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＋f (x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＋lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝lg[(－sin x ＋1＋sin 2x )(sin x ＋1＋sin 2x )] ＝lg(1＋sin 2x －sin 2x )＝lg 1＝0， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．迁移与应用：解：(1)g (x )＝f (x )－1＝ax ＋b sin 3x ，定义域为R . ∵g (－x )＝a (－x )＋b sin 3(－x )＝－ax －b sin 3x ＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数． (2)∵f (x )＝g (x )＋1，∴f (5)＝g (5)＋1＝7，∴g (5)＝6，∴f (－5)＝g (－5)＋1＝－g (5)＋1＝－6＋1＝－5. 1．函数f (x )＝1＋sin x 最小正周期是( )．A.π2B ．πC.3π2D ．2π2．函数y ＝sin x3定义域是( )．A ．RB ．[－1,1] C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13，13D ．[－3,3]3．函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π6≤x ≤2π3值域是( )． A ．[－1,1]B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，32D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，1 4．以下两种说法：①y ＝sin x 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2k π－π2，2k π(k ∈Z )上是增函数；②y ＝sin x 在第一象限内是增函数( )．A ．均正确B ．①对②错C ．②对①错D ．都错5．令a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π18，b ＝sin 1110π，那么a 与b 大小关系是__________．6．用五点法作出函数y ＝sin x －2在x ∈[－2π，2π]上图像． 答案：1．D2．A 解析：∵y ＝sin x 定义域是R ，即x3∈R ，∴x ∈R .3．B 解析：利用函数y ＝sin x 图像易知y ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1.4．B 解析：单调性是针对某个取值区间而言，所以①对②错．5．b ＜a 解析：a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π18＝－sin π18，b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π＋π10＝－sin π10，∵sin π10＞sin π18，∴－sin π10＜－sin π18，∴b ＜a .6．解：先作y ＝sin x －2在[0,2π]上图像，列表如下：∵y ＝∴y ＝sin x －2，x ∈[0,2π]与y ＝sin x －2，x ∈[－2π，0]上图像一样，得y ＝sin x －2，x ∈[－2π，2π]图像．如以下图所示．。
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的性质与图像导学案 北师大版必修4
1.5 正弦函数的性质与图像问题导学1．正弦函数的图像活动与探究1(1)用“五点法”作y ＝2－sin x 的图像时，首先描出的五个点的纵坐标是( )． A ．0,1,0，－1,0 B ．0,2,0，－2,0 C ．2,1,2,3,2 D ．2,3,2，－3,2(2)用“五点法”作函数y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．迁移与应用1．正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图像的一条对称轴是( )． A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π2．用“五点法”作出y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．作函数y ＝a sin x ＋b 的图像的步骤2．正弦函数的定义域问题活动与探究2求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．迁移与应用求下列函数的定义域： (1)y ＝1－2sin x ； (2)y ＝log 2sin x ；(3)y ＝log 122sin x －1．含正弦函数的复合函数的定义域的求法： (1)常见的限制条件有①分式的分母不等于0；②对数的真数大于0；③二次根式的被开方数大于等于0．(2)列出含正弦函数的不等式组，化简为含sin x 的不等式，利用数形结合，在正弦曲线或单位圆中表示，然后取各部分的交集．3．正弦函数的值域、最值问题活动与探究3求下列函数的值域： (1)y ＝3－2sin 2x ；(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4．迁移与应用求函数y ＝74＋sin x －sin 2x (x ∈R )的值域．有关正弦函数的值域或最值的常见类型及求法：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的求最值或值域问题，利用正弦函数的有界性，即|sin x |≤1；(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)的函数求最值或值域问题，通过换元法转化为给定区间[m ，n ]上的二次函数的最值问题，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题求解；(3)形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d的函数求最值或值域问题，可化为sin x ＝f (y )的形式，通过|f (y )|≤1求解，或利用分离常数法求解．4．正弦函数的单调性及应用活动与探究4利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小． (1)sin 190°与sin 200°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11； (3)sin 15π8与sin 10π9．迁移与应用不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零． (1)s in 135°－sin 144°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4．1．对正弦函数单调性的理解：(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数．(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2π，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内(如[0,2π])的单调性即可．2．利用单调性比较三角函数值的大小的步骤： (1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小．3．求函数的单调区间时，要充分利用正弦函数的递增、递减区间．在求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 5．三角函数的奇偶性问题活动与探究5判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x sin(π＋x )； (2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．迁移与应用已知f (x )＝ax ＋b sin 3x ＋1(a ，b 为常数)． (1)若g (x )＝f (x )－1，试证明g (x )为奇函数； (2)若f (5)＝7，求f (－5)．(1)判断函数奇偶性的方法特别提醒：对于正弦函数要注意诱导公式sin(－x )＝－sin x 的应用．(2)正弦函数的奇偶性问题的求解方法是：首先在所求的区间上设自变量，然后转化到已知条件上来解决．当堂检测1．函数f (x )＝1＋sin x 的最小正周期是( )． A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π2．函数y ＝sin x3的定义域是( )．A ．RB ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．[－3,3] 3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是( )．A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 4．函数f (x )＝sin x －x3x是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数5．令a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，b ＝sin 1110π，则a 与b 的大小关系是__________． 6．用五点法作出函数y ＝sin x －2在x ∈[－2π，2π]上的图像．答案：课前预习导学 【预习导引】1．(2)(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2π，0) 预习交流1 略 预习交流2(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 －π2 1 π2 －1(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈Z[－2,4] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 (1)C (2)略 迁移与应用 1．C 2活动与探究2 解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π6或⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z. 迁移与应用 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z(2){x |2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z }(3)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z .活动与探究3 解：(1)∵－1≤sin 2x ≤1，∴－2≤－2sin 2x ≤2.∴1≤3－2sin 2x ≤5. ∴函数的值域为[1,5]．(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋34.设t ＝sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，∴由正弦函数的图像知22≤t ≤1. 而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1上单调递增， ∴当t ＝22，即x ＝3π4时，y min ＝3－22，当t ＝1，即x ＝π2时，y max ＝1.∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－22，1.迁移与应用 解：设sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋t ＋74＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋2.∴当t ＝－1时，y min ＝－14；当t ＝12时，y max ＝2.∴所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. 活动与探究4 解：(1)sin 190°＝sin(180°＋10°)＝－sin 10°， sin 200°＝sin(180°＋20°)＝－sin 20°. ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增， ∴sin 10°＜sin 20°，从而－sin 10°＞－sin 20°， ∴sin 190°＞sin 200°.(2)∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增， 且－π2＜－π10＜－π11＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11. (3)sin 15π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝－sin π8，sin 10π9＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π9 ＝－sin π9，∵π2＞π8＞π9＞0， ∴sin π8＞sin π9.∴－sin π8＜－sin π9.∴sin 15π8＜sin 10π9.迁移与应用 (1)＞0 (2)＞0 (3)＜0活动与探究5 解：(1)f (x )＝－x ·sin x ，定义域为R . ∵f (－x )＝x ·sin(－x )＝－x ·sin x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6 (k ∈Z )．定义域不关于原点对称， 故f (x )为非奇非偶函数．(3)∵1＋sin 2x ＞|sin x |≥－sin x ，∴sin x ＋1＋sin 2x ＞0.∴函数的定义域为R ，关于原点对称． 又f (－x )＋f (x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＋lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝lg[(－sin x ＋1＋sin 2x )(sin x ＋1＋sin 2x )]＝lg(1＋sin 2x －sin 2x ) ＝lg 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．迁移与应用 (1)略 (2)－5 【当堂检测】1．D 2．A 3．B 4．B 5．b ＜a 6．略。
高中数学 第一章 三角函数 1.5 正弦函数的性质与图像
1.5.1 正弦函数的图像备课资料一、备用习题1.用“五点法”画出下列函数的图像: (1)y=2-sinx,x ∈［0,2π］;(2)y=21+sinx,x ∈［0,2π］. 2.如图7中的曲线对应的函数解析式是( )图7A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx| 参考答案:1.解:按五个关键点列表如下:(1)如图8. (2)如图9.图8 图92.C二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也,随月盛衰”.唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水连海平,海上明月共潮生”这样的优美诗句.古人把海水白天的上涨叫作“潮”,晚上的上涨叫作“汐”.实际上,潮汐与月球、地球都有关系.在月球万有引力的作用下,就地球的海面上的每一点而言,海水会随着地球本身的自转,大约在一天里经历两次上涨、两次降落.由于潮汐与港口的水深有密切关系,任何一个港口的工作人员对此都十分重视,以便合理地加以利用.例如,某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下:观察它们的位置关系,不难发现,我们可以选用正弦型函数d=5+2.5sin 6t,t ∈［0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d 与时间t 的关系,并画出简图(如图10).图10由此图或利用科学计算器,可以得到t 取其他整数时d 的近似值,从而把上表细化.(2)利用这个函数及其简图,例如这一年农历八月初二或九月初一,假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m,安全条例规定至少要有1.5 m 的安全间隙(即船底与水底的距离),那么根据 5.5≤d≤7.5,就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久.如果此船从凌晨2时开始卸货,吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h 的速度递减,还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域.不同的日子,潮汐的时刻和大小是不同的.农历初一和十五涨的是大潮,尤以八月十五中秋为甚.以上的估算必须结合其他数据一起考虑,才能加以科学利用.。
高中数学 第一章 三角函数 1.5.2 正弦函数的性质练习 北师大版必修4
5.2 正弦函数的性质A组1.函数f(x)=的定义域是()A.RB.[0,+∞)C.(k∈Z)D.[2kπ,2kπ+π](k∈Z)解析:f(x)=,由4sin x≥0得sin x≥0.因此2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z).答案:D4.若a=sin 1,b=sin 2,c=sin 3,则()A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c解析:由于a=sin 1,b=sin 2=sin(π-2),c=sin 3=sin(π-3),且0<π-3<1<π-2<,y=sin x在上递增.所以sin(π-3)<sin 1<sin(π-2),即sin 3<sin 1<sin 2.故b>a>c.答案:D5.函数y=2sin的最小正周期是.答案:4π6江苏镇江高中月考)函数y=(sin x-a)2+1,当sin x=a时有最小值,当sin x=1时有最大值,则a的取值范围是.解析:∵函数y=(sin x-a)2+1当sin x=a时有最小值,∴-1≤a≤1.∵当sin x=1时有最大值,∴a≤0,∴-1≤a≤0.答案:[-1,0]7.设函数f(x)=sin x,x∈R,对于以下三种说法:①函数f(x)的值域是[-1,1];②当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值1;③当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0.其中说法正确的是(请将正确的序号写在横线上).解析:当f(x)<0时,应有2kπ+π<x<2kπ+2π(k∈Z),故③错误.①和②正确.答案:①②8.求函数y=的最大值、最小值,并求出相应x的集合.解:由题意知即-1≤sin x≤1.当sin x=-1,即x=2kπ+,k∈Z时,y max=,相应x的集合为;当sin x=1,即x=2kπ+,k∈Z时,y min=,相应x的集合为.9比较大小:sin与sin;(2)在锐角△ABC中,比较sin A与cos B的大小.解:(1)∵sin=sin=sin,且0<,y=sin x在上是增加的,∴sin<sin,即sin<sin.(2)∵△ABC为锐角三角形,∴A∈,且A+B>,∴A>-B,且-B∈.又y=sin x在上是增加的,∴sin A>sin,即sin A>cos B.B组1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是()A.B.C.D.解析:画出函数y=|sin x|的图像(图略),易知选C.答案:C2.定义在R上的奇函数f(x)的周期是π,当x∈时,f(x)=sin x,则f的值为()A.-B.C.-D.解析:f=f=f=-f=-sin=-.答案:C3.已知α,β∈,且cos α>sin β,则α+β与的大小关系是()A.α+β>B.α+β<C.α+β≥D.α+β≤解析:由于cos α>sin β,所以sin>sin β.而α,β∈,所以-α∈.由y=sin x的单调性,知-α>β,所以α+β<.答案:B4.若函数y=sin x在[0,a]上为增函数,则a的取值范围为.解析:由函数y=sin x的图像(图略)可知,函数y=sin x在上为增函数,∴[0,a]⊆,∴0<a≤.答案:5.对于函数f(x)=x sin x,给出下列三个命题:①f(x)是偶函数;②f(x)是周期函数;③f(x)在区间上的最大值为.其中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).解析:∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=-x sin(-x)=x sin x=f(x),∴f(x)是偶函数,故①正确;虽然函数y=sin x是周期函数,但f(x)=x sin x不具有周期性,故②错误;易知f(x)在区间上是增加的,∴f(x)在处取得最大值,最大值为sin,故③正确.答案:①③6sin x+sin y=,求M=sin x+sin2y-1的最大值与最小值.解:因为sin x+sin y=,所以sin x=-sin y.因为-1≤sin x≤1,所以解得-≤sin y≤1.又易知M=sin x+sin2y-1=,所以当sin y=-时,M max=;当sin y=时,M min=-.7f(x)=lo|sin x|.(1)求其定义域和值域;(2)判断奇偶性;(3)判断周期性,若是周期函数,求其周期;(4)写出单调区间.解:(1)由|sin x|>0,得sin x≠0,∴x≠kπ(k∈Z).∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.∵0<|sin x|≤1,∴lo|sin x|≥0.∴函数的值域为{y|y≥0}.(2)∵函数定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},关于原点对称,f(-x)=lo|sin(-x)|=lo|sin x|=f(x),∴函数f(x)是偶函数.(3)∵f(x+π)=lo|sin(x+π)|=lo|sin x|=f(x),∴函数f(x)是周期函数,且周期是π.(4)当x∈时,t=|sin x|是增加的;当x∈时,t=|sin x|是减少的.又函数y=lo t为减函数,∴函数f(x)的递增区间为(k∈Z);递减区间为(k∈Z).。
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1.5 正弦函数
自主广场
我夯基 我达标
1.(江苏高考卷，1)已知a∈R ，函数f(x)=sinx-|a|,x∈R 为奇函数，则a 等于（ ）
A.0
B.1
C.- 1
D.±1
思路解析：方法一:由题意，可知f(-x)=-f(x)，得a=0；
方法二:函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图像必过原点,即f(0)=0,所以得a=0. 答案：A
2.设f(x)(k∈R )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(1)=-1，则f(11)的值是（ ）
A.-1
B.1
C.2
D.-2
思路解析：由f(x)为奇函数，得f(-x)＝-f(x)，f(-1)＝-f(1)＝1.又f(x)的周期为3，故f(11)＝f(3³4-1)＝f(-1)＝1.
答案：B
3.若sin （π-α）=3
1-
，则sin （-5π+α）的值为（ ） A.-31 B.31 C.±3
1 D.0 思路解析：由sin （π-α）=sin α，知sin α=3
1-，sin （-5π+α）=sin （-6π+π+α）=sin （π+α）=-sin α，∴sin（-5π+α）=31. 答案：B
4.已知sin α=10
103-，且α是第三象限的角，P （m ，n ）是角α终边上一点，且|OP|=10，则m-n 等于（ ）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
思路解析：由题意，得m 2+n 2=10.
⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+,10103.102222n
m n n m 解得⎩⎨⎧-=-=3,1n m 或⎩⎨⎧==3,1n m （舍去）.m-n=-1-（-3）=2. 答案：A
5.设sinx=t-3，x∈R ，则t 的取值范围是（ ）
A.R
B.（2，4）
C.（-2，2）
D.［2，4］ 思路解析：当x∈R 时，-1≤sinx≤1，
∴-1≤t -3≤1.∴2≤t≤4.
答案：D
6.若sinx ＞2
3，则x 的取值满足（ ） A.k²360°+60°＜x ＜k²360°+120°（k∈Z ） B.60°＜x ＜120°
C.k²360°+15°＜x ＜k²360°+75°（k∈Z ）
D.k²180°+30°＜x ＜k²180°+150°
（k∈Z ）
思路解析：可借助于正弦函数图像来解决.画出正弦曲线草图，可确定满足sinx ＞23的x 应是k²360°+60°＜x ＜k²360°+120°（k∈Z ）.
答案：A
7.(安徽高考卷，理15)函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x+2)=
)(1x f ，若f(1)=-5,则f ［f(5)］=__________________.
思路解析：∵f(x+2)=)(1x f ,∴f(x+4)=)
2(1+x f =f(x). ∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期.
∴f(5)=f (1+4)=f(1)=-5.
∴f［f(5)］=f(-5)=f(-1)=)21(1+-f =5
1)1(1-=f . 答案：5
1- 8.已知角α的终边经过点P （3，4t ），t≠0，且sin α=53-
，求实数t 的值. 思路分析：应用三角函数的定义求解.
解：∵sin α=5
3-＜0， ∴α的终边在第三、四象限.
又∵点P （3，4t ）在角α的终边上，
∴t＜0.
由题意得sin α=21694t t
+， 所以有21694t t
+=5
3-， 解方程得t=16
9-. 我综合 我发展
9.(上海高考卷，理10)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图像与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______________.
思路解析：f(x)=⎩
⎨⎧∈-∈],2,[,sin );,0[,sin 3πππx x x x 图像如图1-4-8所示，由图可知，若y=f(x)与y=k 图像有且仅有两个交点，则k 的范围是1＜k ＜3.
图1-4-8
答案：1＜k ＜3
10.设x∈(0,π),则x
x sin 22sin +的最小值是__________________. 思路解析：利用换元法转化为求常见函数的最值.设sinx=t ，∵x∈(0,π),∴0＜t≤1. ∴t
t x x 22sin 22sin +=+. 可以证明当0＜t≤1时，函数y=
t
t 22+是减函数. ∴当t=1时，y 取最小值25，即x x sin 22sin +的最小值是2
5. 答案：2
5 11.判断方程sinx=10x 的根的个数. 思路分析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合，转化为函数y=
10x 的图像与函数y=sinx 的图像交点个数，借助图形直观求解.
解：如图1-4-9所示，当x≥4π时，10x ≥104π＞1≥sinx，当0＜x ＜4π时，sin 25π=1＞205π=10
x ，从而x ＞0时，有3个交点，由对称性x ＜0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.所以方程的根有7个.
图1-4-9
12.若角β的终边在经过点P(3,-1)的直线上，写出角β的集合；当β∈(-360°,360°)时，求角β.
思路分析：先求出在［0°,360°）内的角β，再扩充到任意角.
解：∵P(3,-1)， ∴x=3,y=-1,r=.222=+y x
∴sin β=r
y =-21＜0. 又∵P 在第四象限，
∴角β的终边在第二或四象限.
在［0°,360°)内，β=330°或150°，
∴角β的集合是{β|β=k²180°+150°,k∈Z ｝. 令-360°＜k²180°+150°＜360°， 得1851 ＜k ＜18
21． 又∵k∈Z ，∴k=-2,-1,0,1.
∴当β∈(-360°，360°）时，
β=-210°，-30°，150°，330°.。