数学建模期末作业

院系：计算机与信息工程学院专业：计算机科学与技术
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学习数学建模心得
我很高兴选了这门课，虽然老师讲的知识与我当初想的有些出入，但我学到了更有价值更有意义的知识。

第一次听说数学建模是暑假的时候，有一室友参加了暑期数学建模竞赛的培训，当时并不清楚到底是干什么的，觉得应该是很抽象的东西。

后来老师从生活中简单的实际问题入手，比如包饺子、渡河等问题，为我们讲解了数学建模的意义。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

数学建模可以培养我们的创新意识和创造能力；训练我们快速获取信息和资料的能力；锻炼我们快速了解和掌握新知识的技能；培养我们团队合作意识和团队合作精神；增强我们的写作技能和排版技术；更重要的是训练我们的逻辑思维和开放性思考方式。

所以我很高兴老师为我们讲数学建模的知识，让我的思维更加开阔，也懂得了“学以致用”的道理。

研究数学问题需要缜密的思维，数学建模中进一步体现了这一点。

数学建模需要有清晰地思路。

建立模型需要几个步骤：
模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。

用数学语言来描述问题。

模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

（尽量用简单的数学工具）
模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。

模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。

模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。

如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。

如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。

模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。

用一个数学建模实例来具体说明一下吧：
一、问题重述
在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。

区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。

当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的其它飞机发生相撞。

如果发生相撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机的飞行方向角，以避免碰撞。

现假设条件如下：
(1)不相撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；
(2)飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；
(3)所有飞机的飞行速度均为每小时800公里；
(4)进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里
以上；
(5)最多需考虑6架飞机；
(6)不必考虑飞机离开此区域后的情况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

设该区域4个顶点的坐标为（0，0），（160，0），（160，160），（0，160）。

记录数据为：
二、问题分析
此问题很容易想到以飞机调整的飞行角度平方和作为目标函数，而以每两架飞机之间的最小距离不超过8km ，各飞机飞行角度调整的值不超过30°为约束条件。

如此得出的是一个非线性模型，在计算上可能会复杂些，但一目了然。

三、符号说明
t 表示表示时间；
,i i x y 分别表示第i 架飞机的横纵坐标（问题中已给出）；
i θ表示第i 架飞机的飞行方向角（问题中已给出）；
()
ij d t 表示t 时刻第i 架飞机与第j 架飞机间的距离；
v 表示飞机的飞行高度（800v =）。

四、模型的建立
由题意可知，目标函数是
6
21
i
i f θ==
∆∑
约束条件为
2
m in 64ij ij t D d ≥=> 和 ,,1,2,,6,6
i i j i j
π
θ∆≤
=≠
其中
22()((cos()cos()))ij i j i i j j d t x x vt θθθθ=-++∆-+∆
2
((sin()sin()))i j i i j j y y vt θθθθ+-++∆-+∆
利用微积分的知识可求出ij D ，由
2
()0ij d d a t dt
b
=⇒=-
这里
()(cos()cos())
i j i i j j a x x θθθθ=-+∆-+∆
()(sin()sin())i j i i j j y y θθθθ+-+∆-+∆
2
[(cos()cos())i i j j b v θθθθ=+∆-+∆
2
(s i n ()s i n ())]
i i
j j
θθθθ++∆-
+∆ 将t 代入即可求出ij D 。

于是本问题的一个数学模型为
6
2
1
m in ..64,1,,6,6
i
i ij i
f s t D i j i j
θ
πθ=⎧
=∆⎪⎪⎪
>⎨⎪⎪∆≤
=≠⎪⎩
∑
引入记号：
()
16,,T
θθθ∆=∆∆ ，115(,,)T
g g g = ，（g 是由64ij D -按,1,2,,6,i j i j =≠ 构
成的向量，在下面的程序中计算），则模型变为
m in ..0T
f s t
g vlb
vub
θθ
θ
⎧=⎪
<⎨⎪≤≤
⎩
其中()1,1,1,1,1,16
T
vlb π
=-
，()1,1,1,1,1,16
T
vub
π
=。

五、模型的求解
调用Matlab 命令fmincon 求解，先写两个M 函数airfun.m 和airfunco.m 如下：
M 函数 airfun.m
function f=airfun(delta) f=delta*delta';
M 函数 airfunco.m
function [c,ceq]=airfunco(delta)
x0=[150 85 150 145 130 0];y0=[140,85,155,50,150,0]; alpha0=[243 236 220.5 159 230 52]*pi/180;v=800; co=cos(alpha0+delta);si=sin(alpha0+delta); for i=2:6
for j=1:i-1
t(i,j)=(x0(i)-x0(j))*(co(i)-co(j)); t(i,j)=t(i,j)+(y0(i)-y0(j))*(si(i)-si(j));
t(i,j)=-t(i,j)/v;
t(i,j)=t(i,j)/((co(i)-co(j))^2+(si(i)-si(j))^2);
if t(i,j)<0,d(i,j)=1000;
else
d(i,j)=(x0(i)-x0(j)+v*t(i,j)*(co(i)-co(j)))^2;
d(i,j)=d(i,j)+(y0(i)-y0(j)+v*t(i,j)*(si(i)-si(j)))^2;
end
end
end
c=64-[d(2,1),d(3,1:2),d(4,1:3),d(5,1:4),d(6,1:5)];ceq=[];
在Matlab命令窗口计算如下：
>> deltaini=zeros(1,6);
>> vlb=-pi*ones(1,6)/6;vub=pi*ones(1,6)/6;
>> options=optimset('LargeScale','off');
>> [dt,fval]=fmincon(@airfun,deltaini,[],[],[],[],vlb,vub,@airfunco,options); >> d1=dt*180/pi,fval=d1*d1'
d1 =
0.0000 0.0000 2.0683 -0.4896 -0.0055 1.5611
fval =
6.9547
六、模型的检验及推广（略）
数学建模带给我的是现在的指示,发散性思维,各种研究方法和手段.特别是对我们未来人生的奠基作用,毫不夸张地说,我们将在以后的人生享受它的思慧!通过数学建模,我学会了"我们",培养了"三人同心,其利断金"的团队精神,数学建模教会了我顽强和忍耐,教会我做事谨慎,言如其实,教会我凡事要有自己的创新,不能局限于俗套,它还教会我踏踏实实做人,认认真真做事.。