1961年全国统一高考数学试卷
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试61
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。
1949-1961年普通高等学校招生全国统一考试数学试题
1949年北大清华联合招生数学试题 一、（5分）有连续三自然数，其平方和为50，求此三数．二、（5分）解方程：6640x +=． 三、（15分）求适合sin 2cos 2x x +x =的根（02x π≤≤）． 四、（15分）,,PA PB PC 为过圆周上P 点之三弦，PT 为圆周之切线．设一直线平行于PT ，交,,PA PB PC 于,,A B C '''之三点，证明：PA PA PB PB PC PC '''⋅=⋅=⋅． 五、（10分）已知A ∠及角内部一点P ，求作通过P 点的直线，使其在A ∠之内部分被点P 所平分． 六、（5分）用数学归纳法证明：3333221123(1)4n n n ++++=+． 七、（10分）某人在高处望见正东海面上一船只，其俯角为30︒．当该船向正南航行a 里后，其船只的俯角为15︒．求此人视点高出海平面若干垂足 八、（15分）自ABC ∆之顶点A 至对边作垂线AD ，自垂足D 作边,AB AC 之垂线， 其垂足为,E F ．求证：,,,B E F C 在同一圆上． 九、（10分）一平面内有10点，除其中4点在同一直线上外，其余各点无3点在一直线上．问连接各点之所有直线共若干条． 十、（10分）下列做法对吗？不对的请改正．16==对吗？为什么？2．(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+对吗？为什么？3．log log 1a b b a ⋅=对吗？为什么？1950年全国统一高考数学试题 一、（5分）k 为何值时，二次方程22(1)520x k x k --+-=有等根，并求其根． 二、（20分）有等长两竹杆直立在地上，皆被风吹折．折处距地面两者不同，其差为3尺．顶着地之处与竹杆足相距一个为8尺，另一个为16尺．求竹杆之长． 三、（10分）绳长40丈，围一矩形之地．问其面积最大时，其边长若干？ 四、（5分）求国旗上五角星每一角之度数． 五、（10分）过梯形上底一点作直线，分梯形为两个等面积梯形． 六、（20分）从塔之正南面一点A ，测得塔顶仰角为45︒，又从塔之正东面一点B 测得塔的仰角为30︒．若AB =100尺，求塔高． 七、（10分）试证： 1．22cos()cos()cos sin A B A B A B +-==-． 2．22sin()sin()sin sin A B A B A B +-=-． 八、（20分）分别指出下列正误，并加以改正：1．011,1a a ==．2．,mnmnmnm na a a a a a+⋅=+=．3==． 4．lg11,lg00=-=．5．lg()lg lg ,lg lg lg a b a b ab a b +=+=． 6．11sin sinsin()x y x y --+=+．7．在ABC ∆及A B C '''∆中，若,,AB A B BC B C A A '''''==∠=∠，则两三角形全等．8．若,,,A B C D 在同一个圆上，则恒有ACB ADB ∠=∠．1950年华北高考数学试题甲组 第一部分一、将下列各题正确的答案填入括号内： 1．322240x x x --+=的一个根为2，其他两根为A ．两个0B ．一个0，一个实数C ．两个实数D ．一个实数根，一个虚数根E ．两个虚数根2．已知lgsin 26201.6470'︒=，lgsin 26301.6495'︒=．若 lgsin 1.6486x =，则x 的近似值为A ．2623'︒B ．2624'︒C ．2625'︒D ．2626'︒E ．2627'︒3．若(,)ρθ为一点之极坐标，则20cos ρθ=的图形为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线E ．二平行直线4．22220x xy y x y ++++-=之图形为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 E ．二平行直线5．展开二项式17()a b +，其第15项为 A ．152238a b B ．314680a bC ．143736a bD ．15()a b +E ．87a b二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．二直线40x y ++=及5210x y -=相交之锐角之正切为 ．2．设,x y 都是实数，且()(84)x yi i +-+()(1)x yi i =++，则x = ．3．555ad a dbe b e cfc f++=+ ． 4．已知x 在第四象限内，而21sin 9x =，则tan x 之值至第二位小数为 ． 5．参数方程12,(1)x t y t t =+⎧⎨=+⎩之直角坐标方程为 ．甲组 第二部分 1．证明21sin (tan sec )1sin xx x x+=+-．2．设t 及s 为实数，已知方程3250x x tx s -++=之一根为23i -，求t及s 之值．3．用数学归纳法证明：122334(1)n n ⨯+⨯+⨯+++1(1)(2)3n n n =++． 4．设1P 及222(,)P x y 为二定点，过1P 作直线交y 轴于B （如图），过2P 作直线与过1P 之直线垂直，并交轴x 于A ，求AB 中点Q 之轨迹．5．如图，N 第一部分．a c e c eb d f d f +++=+++ ．ac ebd f= 内，若1:2;3:4，则︒︒︒ ︒a = ．1n R-．1n R+lg 2.190.3404=，ABA ．0.5770B ．1.1038C ．6.1038D ．264.06 E．416.745．2sin tan 5AA A ===，1sin tan 2B B B ===，则t a n ()A B +=A ．112-B ．34C ．18-D ．98E ．18二、将下列各题正确的答案填在虚线上： 1．sin 330︒之值为 ． 2．32452x x x -+-的因子是 ． 3．书一本，定价元p ．因为有折扣，实价较定价少d 元，则该书实价是定价的百分之 ．4．若一个多边形之每一外角各为45︒，则此多边形有 边． 5．a 年前，弟年龄是兄年龄的1n，今年弟年龄是兄年龄的1m，兄今年 岁． 乙、丙组 第二部分1．设AB 是一圆的直径，过,A B 作AC 及BD 二弦相交于E ，则2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=．2．若,,A B C 为ABC ∆之内角，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=．3．分解因式：（1）32221x x x +++．（2）22282143x xy y x y +-++-． （3）444222222222x y z x y y z z x ++---．4．设s 为ABC ∆三边和的一半，r 为内切圆半径，又tan2A=求证：r =5．设一调和级数第p 项为a ，第q 项为b ，第r 项为c ，则()()()0q r bc r p ca p q ab -+-+-=．γC /B /A /βαC B A 1951年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分1．设有方程组8,27x y x y +=-=，求,x y .2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？4．若x y z a b b c c a ==---，而,,a b c 各不相等，则?x y z ++=5．试题10道，选答8道，则选法有几种？ 6．若一点P 的极坐标是(,)x θ，则它的直角坐标如何？7．若方程220x x k ++=的两根相等，则k =？8．列举两种证明两个三角形相似的方法9．当(1)(2)0x x +-<时，x 的值的范围如何？10．若一直线通过原点且垂直于直线0ax by c ++=，求直线的方程．11．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项如何？12．02cos =θ的通解是什么？13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？14．245505543--=？15．2241x y -=的渐近线的方程如何？16．三平行平面与一直线交于,,A B C 三点，又与另一直线交于,,A B C '''三点，已知3,7AB BC ==及9A B ''=，求A C '17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积18．已知lg2=0.3010,求lg5.19．二抛物线212y x =与223x y =的公共弦的长度是多少？20．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？第二部分1． ,,P Q R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行．2．设ABC ∆的三边4BC pq =，223CA p q =+，2232AB p pq q =+-,求B ∠，并证明B ∠为A ∠及C ∠的等差中项．3．（1）求证，若方程320x ax bx c +++=的三根可排成等比数列，则33a cb =.（2）已知方程32721270x x x +--=的三根可以排成等比数列，求三根．4．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线．1952年普通高等学校招生全国统一考试数学 第一部分 1.因式分解44x y -=？2.若lg(2)21lg x x =，问x =？3.若方程320x bx cx d +++=的三根为1,-1,21,则c =？4.40=，求x ．5. 123450?321=6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？9.祖冲之的圆周率π=？10.球的面积等于大圆面积的多少倍？11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？12.正多面体有几种？其名称是什么？13.已知 1sin 3θ=,求cos 2θ=？14.方程21tg x =的通解x =？15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？17.已知一直线经过(2,3)，其斜率为-1，则此直线方程如何？18.若原点在一圆上，而此圆的圆心为(3,4)，则此圆的方程如何？19.原点至3410x y ++=的距离是什么？20.抛物线286170y x y -++=的顶点坐标是什么？第二部分 1.解方程432578120x x x x +---=．2.△ABC 中，∠A 的外角平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP CP =．3.设三角形的边长为4,5,6a b c ===，其对角依次为,,A B C ，求cos C ，sin C ，sin B ，sin A ．问,,A B C 三角为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(1,4)-两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．1953年普通高等学校招生全国统一考试数学1.甲、解1110113x x x x +-+=-+.乙、23120x kx ++=的两根相等，求k 值.丙、求311246?705-=丁、求300700lg lg lg173++.戊、求tg870︒=？已、若1cos2x 2=，求x 之值.庚、三角形相似的条件为何？（把你知道的都写出来）辛、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长.壬、垂直三棱柱之高为6寸，底面三边之长为3寸、4寸、5寸，求体积.2.解方程组2222239, (1)45630.(2)x xy y x xy y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩3..乙、求123)12(xx +之展开式中的常数项.4.锐角△ABC ∆的三高线为AD ，BE ，CF ，垂心为H ，求证HD 平分EDF ∠.5.已知△ABC ∆的两个角为450，600，而其夹边之长为1尺，求最小边的长及三角形的面积.1954年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简131121373222[()()()]a b ab b ---． 乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++=．丙、用二项式定理计算43.02，使误差小于千分之一．丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和． 戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积．己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式．2.描绘2371y x x =--的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围：①0y >； ②0y <．3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切4．试由11sin 21tgxx tgx+=+-，试求x 的通值．5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a '是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值．1955年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、以二次方程2310x x --=的两根的平方为两根，作一个二次方程．乙、等腰三角形的一腰的长是底边的4倍，求这三角形各角的余弦．丙、已知正四棱锥底边的长为a ，侧棱与底面的交角为450，求这棱锥的高．丁、写出二面角的平面角的定义．2．求,,b c d 的值，使多项式32x bx cx d +++适合于下列三条件： （1）被1x -整除， （2）被3x -除时余2，（3）被2x +除时与被2x -除时的余数相等．3．由直角△ABC 勾上一点D 作弦AB 的垂线交弦于E ，交股的延长线于F ，交外接圆于G 求证：EG 为EA 和EB 的比例中项，又为ED 和EF 的比例中项． 4．解方程x x x sin cos 2cos +=,求x 的通值．5．一个三角形三边长成等差数列，其周长为12尺，面积为6平方尺，求证这个三角形为一个直角三角形．B C F B C EM A B C DD //1956年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、利用对数性质计算2lg 5lg5lg50+⋅.乙、设m 是实数，求证方程222(41)0x m x m m ----=的两根必定都是实数． 丙、设M 是ABC ∆的边AC 的中点，过M 作直线交AB 于E ，过B 作直线平行于ME 交AC 于F AEF ∆的面积等于ABC ∆的面积的一半．丁、一个三角形三边长分别为3尺，4尺及37尺，求这个三角形的最大角的度数．戊、设tan ,tan αβ是方程2670x x ++=的两根求证：)cos()sin(β+α=β+α．2．解方程组12,(1)136.(2)x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ 3．设P 为等边ABC ∆外接圆的点，求证：22PA AB PB PC =+⋅．4．有一个四棱柱，底面是菱形ABCD ，A AB A AD ''∠=∠A ACC''垂直于底面ABCD ．5．若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是600;若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是600，试证明之．1957年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、化简1223271020.12927--⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围.丙、求证cot 22301'︒=丁、在四面体A B C D 中，AC BD =，,,,P Q R S 依次为棱,,,AB BC CD DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形.戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分.2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x3．设ABC ∆的内切圆半径为r ，求证BC边上的高.2sin2cos 2cos2A C B r AD ⋅⋅=4．设ABC ∆为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE AD =，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证：（1）AE :AB =AC :AF . （2）ABC ∆的面积=AEF ∆的面积.5．求证：方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1.设这个方程的三个根是ABC ∆的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求,,A B C 的度数以及Q 的值.AC AB1958年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数．乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为 的中点，E 为 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证： AM AN =．丁、求证:正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．戊、求解.cos 3sin x x =2．解方程组4,(1)1229. (2)x y y =⎪++=⎪⎩3．设有二同心圆，半径为,()R r R r >，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A '，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D ;由A '作直线A E '垂直AD ，并交AD 于E ，已知OAD α∠=，求OE 的长 4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切．5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根043sin 231sin 2=++-x x ．321O G F ED C BA cb a A B CDαO 1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg 20.3010,lg 70.8451==,求lg35乙、求ii +-1)1(3的值.丙、解不等式.3522<-x x丁、求︒165cos 的值 戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，,A B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积2．已知△ABC 中，∠B =600，4AC =，面积为3，求,AB BC .3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数．4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥BC 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF =FG .5．已知,,A B C 为直线l 上三点，且A B B C a ==;P 为l 外一点，且90,APB ∠=︒45BPC ∠=︒，求 （1）PBA ∠的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.O DC B A 1960年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、解方程.075522=---x x （限定在实数范围内）乙、有5组蓝球队，每组6队，首先每组中各队进行单循环赛（每两队赛一次），然后各组冠军再进行单循环赛，问先后比赛多少场？.丙、求证等比数列各项的对数组成等差数列（等比数列各项均为正数）.丁、求使等式2cos 2sin12xx =-成立的x 值的范围（x 是00~7200的角）.戊、如图，用钢球测量机体上一小孔的直径，所用钢球的中心是O ，直径是12mm,钢球放在小孔上测得钢球上端与机件平面的距离CD 是9mm ，求这小孔的直径AB 的长.己、四棱锥P ABCD -的底面是一个正方形，PA 与底面垂直，已知3PA =cm ，P 到BC 的距离是5cm ，求PC 的长.2．有一直圆柱高是20cm ，底面半径是5cm,它的一个内接长方体的体积是80cm 3，求这长方体底面的长与宽.3．从一船上看到在它的南300东的海面上有一灯塔，船以30里/小时的速度向东南方向航行，半小时后，看到这个灯塔在船的正西，问这时船与灯塔的距离（精确到0.1里）4．要在墙上开一个矩形的玻璃窗，周长限定为６米.（1）求以矩形的一边长x 表示窗户的面积y 的函数;（2）求这函数图像的顶点坐标及对称轴方程;（3）画出这函数的图像，并求出x 的允许值范围.5．甲、已知方程0cos 3sin 422=θ+θ⋅-x x 的两个根相等，且θ为锐角，求θ和这个方程的两个根．乙、a 为何值时，下列方程组的解是正数？⎩⎨⎧=+=+8442y x ay x ．O CBA 1961年普通高等学校招生全国统一考试数学 1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数.乙、解方程2lg lg(12)x x =+.丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值. 丁、求125sin 12sinπ⋅π的值.戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π）.己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是1A .设 △ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：1cos A BC S S α∆=.2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ 3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面.求这水4．在平地上有,A B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）.5．两题任选一题.甲、k 是什么实数时，方程22(23)310x k x k -+++=有实数根？乙、设方程28(8sin )2cos2x x αα-++0=的两个根相等，求α.。
1962年全国统一高考数学试卷
1962年全国统一高考数学试卷一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）2．（10分）求（1﹣2i）5的实部．3．（10分）解方程lg（x﹣5）+lg（x+3）﹣2lg2=lg（2x﹣9）．4．（10分）求的值．5．（10分）如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=_________度．6．（10分）解方程组并讨论a取哪些实数时，方程组（1）有不同的两实数解；（2）有相同的两实数解；（3）没有实数解．7．（10分）已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC （精确到小数点后两位，sin27°=0.4540）．8．（10分）已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA 分为m：n，设AB=1．（1）求A'B'C'D'的面积；（2）求证A'B'C'D'的面积不小于．9．（10分）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E：EC=1：2．10．（10分）求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内．1962年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：先设平均每年增长x%，则得（1+x%）2=1+21%，求得x的值，再计算第一年的产量是第三年的产量的百分之几即得结果．解答：解：设平均每年增长x%，则得（1+x%）2=1+21%，x=10．又，故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．2．（10分）求（1﹣2i）5的实部．考点：复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．分析：因为所给的代数式次数比较高，所以题目不会让我们直接展开运算，要用二项式定理来整理，又有i的特点知它的偶次方为实数，得到结果．解答：解：∵（1﹣2i）5的实部是由包含i的零次方及包含i的偶次方的各项所组成，由二项式定理知所求之实部为C50+C52（﹣2i）2+C54（﹣2i）4=41．点评：复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．3．（10分）解方程lg（x﹣5）+lg（x+3）﹣2lg2=lg（2x﹣9）．考点：对数的运算性质．分析：先根据对数运算性质求出x，再根据对数的真数一定大于0检验即可．解答：解：，，x2﹣10x+21=0，x=3，x=7．当x=3时，使x﹣5＜0，2x﹣9＜0无意义，故不是原方程的解，原方程的解为x=7．点评：本题主要考查对数的运算性质和对数函数的定义域问题．属基础题．4．（10分）求的值．考点：反三角函数的运用；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：根据题意，设arcsin=α，可得α的范围，由反三角函数的定义，可得sinα=，根据同角三角函数的基本关系，可得cosα=；而sin（2arcsin）=sin2α，由二倍角公式，计算可得答案．解答：解：设arcsin=α，（0°＜α＜90°），则sinα=，根据同角三角函数的基本关系，可得cosα=；则sin（2arcsin）=sin2α=2sinαcosα=．点评：本题考查反三角函数的运用，这类题目的易错点是反三角函数的范围，应特别注意．5．（10分）如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=20度．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题．分析：由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线．利用内角和定理先求得∠OBC+∠OCB=80°，所以可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入此关系式即可求得∠BAC的值．解答：解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=180°﹣100°=80°，而∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=80°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∴∠BAC=180°﹣160°=20°．故答案为20．点评：本题通过三角形内切圆，考查切线的性质．属于基础题．6．（10分）解方程组并讨论a取哪些实数时，方程组（1）有不同的两实数解；（2）有相同的两实数解；（3）没有实数解．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：综合题．分析：（1）将第二个方程代入第一个方程得到关于y的二次方程，利用二次方程的求根公式求出两个根，将求出的根代入第二个方程求出方程组的解．（2）由（1）当通过代入消元得到的二次方程有两个不等实根即判别式大于0时，方程组有两个实数解；当判别式等于0时，方程组有相等的两实数解；（3）当判别式小于0时，方程组无解．解答：解：由②得x=y﹣a③将③代入①得y2﹣4（（y﹣a）﹣2y+1=0，y2﹣6y（4a+1）=0，，．即方程组的解为即：（1）当2﹣a＞0，即a＜2时，方程组有不同的两实数解；（2）当2﹣a=0，即a=2时，方程组有相同的两实数解；（3）当2﹣a＜0，即a＞2时，方程组没有实数解．点评：本题考查代入消元求方程组组的解的方法、考查将方程组的解的问题转化为二次方程解的问题．7．（10分）已知D为△ABC内的一点，AB=AC=1，∠BAC=63°，∠BAD=33°，∠ABD=27°，求DC（精确到小数点后两位，sin27°=0.4540）．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：结合题意，在△ADC中，若AD可求，则DC可求，而AD可在△ABD中利用正弦定理求得．解答：解：∠ADB=180°﹣（33°+27°）=120°，根据正弦定理，得，又∠CAD=63°﹣33°=30°，由余弦定理可得DC2=AD2+AC2﹣AD•AC•cos30°==．∴．点评：此题在求解过程中，先用正弦定理求边，再用余弦定理求边，体现了正、余弦定理的综合运用．8．（10分）已知ABCD，A'B'C'D'都是正方形（如图），而A'、B'、C'、D'分别把AB、BC、CD、DA分为m：n，设AB=1．（1）求A'B'C'D'的面积；（2）求证A'B'C'D'的面积不小于．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题．分析：（1）由题意设AA'=mt，A'B=nt，通过．推出A'B'C'D'的面积的表达式；（2）利用配方把（1）的面积转化为，从而证明A'B'C'D'的面积不小于．解答：解（1）：设AA'=mt，A'B=nt又．在直角△D'AA'中，D'A'2=D'A2+AA'2=m2t2+n2t2=（m2+n2）t2而正方形A'B'C'D'的面积=．（2）证明：∵∴．点评：本题是基础题，考查平面几何的知识点，正方形的面积的求法，作差法证明A'B'C'D'的面积不小于．是本题的难点，注意把握．9．（10分）由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作这正方体的对角线A1C的垂线，垂足为E，证明A1E：EC=1：2．考点：棱柱的结构特征．专题：证明题．分析：设正方体的棱长为1，连接AC，求出AC，利用A1E•A1C=AA12，EC•A1C=AC2，可求A1E：EC，进而可证命题．解答：证明：设正方体的棱长为1，连接AC，则AC=，∵为直角△A1AC的斜边A1C上的高，∴A1E•A1C=AA12，EC•A1C=AC2，两式相除，得，∴A1E：EC=1：2．点评：本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．10．（10分）求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内．考点：平面的基本性质及推论．专题：证明题；分类讨论．分析：解决此题，先要画出图形，前三条线只能画成“两两相交，且不交于同一点”，这样才能保证第四条线与前三条全相交，这样的话图形一共可以分为两类．然后，我们可以根据推论1或者推论2，先把平面确定好，然后再根据公理1，进一步证明其余的直线也在这个平面里．解答：证明：第一种情形（如图1）：四条直线l1，l2，l3，l4没有三条直线过同一点，这时它们共有六个交点A、B、C、D、E、F，它们各不相同，因直线l1，l2相交于点A，可决定一平面α；因点B、C、D、E均在平面α内，所以直线l3，l4也在平面α内，故直线l1，l2，l3，l4同在平面α内．第二种情形（如图2）：四条直线l1，l2，l3，l4中有三条，例如l1，l2，l3，过同一点A，因直线l4不过点A，故由点A及直线l4可决定一平面α，因直线l4与直线l1，l2，l3，相交，设交点为B、C、D，则点B、C、D在直线l4上，从而在平面α内，因此，直线l1，l2，l3，各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线l1，l2，l3，l4在同一平内．点评：此题难度系数不大，关键在于画对图形．重点考查了推论1、2与公理1，这些都是很简单的道理，但是能够运用起来，却不是那么容易，做题时不要烦躁，理清线条，定理运用其实很简单!。
1952-1966年高考数学试题全国卷
1952年试题数学试题分两部分第一部分注意:第一部分共二十题,均答在题纸上,每题的中间印着一道横线,将正确的答案就填写在横线上.例题:若2x-1=x+3,则x= 4 .本题的正确答案是4,所以在横线上填写4.1.分解因式:x4-y4= .2.若log102x=2log10x,问x= .5.6.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆通过另一圆的圆心,则这两个圆的公共弦之长是寸.7.三角形△ABC的面积是60平方寸,M是AB的中点,N是AC的中点,则△AMN的面积是平方寸.8.正十边形的一内角是度.9.祖冲之的圆周率π= .10.球的面积等于大圆面积的倍.11.直圆锥之底之半径为3尺,斜高为5尺,则其体积为立方尺.12.正多面体有种,其名称为 .14.方程式tan2x=1的通解为x= .15.太阳仰角为30°时塔影长5丈,求塔高= .16.三角形△ABC之b边为3寸,c边为4寸,A角为30°,则△ABC的面积为平方寸.17.已知一直线经过点(2,-3),其斜率为-１,则此直线之方程式为 .18.若原点在一圆上,而此圆的圆心为点(3,4),则此圆的方程式为 .19.原点至3x+4y+1=0之距离= .20.抛物线y2-8x+6y+17=0之顶点之坐标为 .第二部分注意:第二部分共四题,均答在后面白纸上.1.解方程式x4+5x3-7x2-8x-12=0.2.△ABC中,∠A的外分角线与此三角形的外接圆相交于D,求证:BD=CD.3.设三角形的边长为a=4,b=5,c=6,其对角依次为A,B,C.(1)求cosC.(2)求sinC,sinB,sinA.(3)问A,B,C三个角各为锐角或钝角？4.一椭圆通过(2,3)及(-1,4)两点,中心为原点,长短轴重合于坐标轴,试求其长短轴及焦点.1952年试题答案第一部分1. (x-y)(x+y)(x2+y2).2. 2.3. -1.4. ±3.5. -247. 15.8. 144°10. 4.11. 12π.12. 5,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体.16. 3.17. x+y+1=0.18. x2+y2-6x-8y=020. (1,-3)第二部分1. 2,-6,ω,ω2.A,B,C皆为锐角。
1951年以来历年全国高考数学试卷全试题答案解析
1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y.解略：⎩⎨⎧==35y x2．假设一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O 〔图1〕∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R 〔R 为外接圆半径〕，所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形3．当太阳的仰角是600时，假设旗杆影长为1丈，则旗杆长为假设干丈？ 解略：3丈0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t ac zc b y b a x z y x c b a a c zc b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？解略：45810=c 6．假设一点P 的极坐标是〔r,θ〕，则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r sin7．假设方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=18．列举两种证明两个三角形相似的方法答：略9．当〔x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜210．假设一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略：bx-ay=011．〔x +x1)6展开式中的常数项如何？ 解：由通项公式可求得是T 4=2012．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4为整数k k π±π=θ13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14．解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？ 解略：02=±y x?345505542=--16．三平行平面与一直线交于A ，B ，C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇C ＇解：如图易证:3011=''∴''''==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积略：6立方尺18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：19．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为〔0，0〕及〔3，6〕故其公共弦长为：5320．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？ 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：B 1γ C C ＇C 1EB1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行证：如图：由AD 是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3， 由QP ∥AB ，可得：∠3=∠4由PE 是小圆的切线， 可得： ∠4=∠5由RP ∥AC ，可得：∠5=∠6综上可得：∠1=∠6，故AD ∥PE2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项解：由余弦定理可得：.C A B A,-B 60)180(60B 214)23(2)3()4()23(2cos 222222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠-∠︒=∠∴=⋅-+--+-+=⋅-+=A B B A B C pqq pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．〔1〕求证，假设方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列， 则a 3c=b 3.证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-aαβ+βγ+γα=b αβγ=-c又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ33333233a )()()(bc c a b ==αβγ-=β-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβγ+β+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβ+βγ+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+α-γα+βγ+αβ=⎪⎭⎫⎝⎛此即 〔2〕已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3+β+γ=-7可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9，故可得方程组：⎩⎨⎧--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,910或或可得解之 于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-94．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②直线OB 的方程为：x k y 1-=③ 设点A 〔x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得： .2,2121k p y k p x ==由①，③可得：·P 〔x,y)O XBx 2=2pk 2, y 2=-2pk设P 〔x ，y 〕为AB 的中点，由上可得： ④ ⑤ 由⑤可得： ⑥ 由④可知：px 2222k p kp +=,代入⑥,2p -px y 22222222222=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1.因式分解x 4 – y 4 =？解：x 4 – y 4 =(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2.假设lg2x=21lgx ，问x=？ 解：2x=x 21，x ≠0，∴=X 3.假设方程x 3+bx 2+cx+d=0的三根为1,-1,21,则c=？解：由根与系数的关系可知：c=1·〔-1〕+〔-1〕·21+21·1=1pk kpy y y pk kp x x x -=+=+=+=222122212222222k p p kp y +-=4.假设x 求,0472=-+解：两边平方，得：x 2 +7=16，∴3±=x5.解:原式=-246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？解：设两圆O 1及O 2之公共弦为AB O 1O 2交AB 于点C ，则AB垂直平分O 1O 2∴O 1C=21O 1O 2=2〔寸〕).(342),(3224222121寸寸==∴=-=-=AC AB C O AO AC连结AO 1，则△ACO 1为直角三角形， 7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？ 解：∵MN ∥BC ，∴41ABC AMN 22==∆∆ANAM 的面积的面积， △AMN 的面积=41△ABC 的面积=15〔平方寸〕8.正十边形的一个内角是多少度？ 解：由公式,)2(180nn -︒此处n=10于是一个内角为：︒144A2CB?123054321=π=？答：22/7，355/13310.球的面积等于大圆面积的多少倍？ 解：球的面积4πR 2为大圆面积πR 2的4倍11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？ 解：圆锥高h=4〔尺〕，故此直圆锥的体积：V 锥 =31πR 2h=12π〔立方尺〕 12.正多面体有几种？其名称是什么？答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体13.已知 sin θ=31,求cos2θ=？ 解：cos2θ=1-2sin 2θ9tg2x=1的通解x=？ 解：).(82为整数k k x π+π=时，塔影长为5丈，求塔高是多少？解：塔高=5×tg300=335〔寸〕 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？解：).(330sin 4321sin 21平方寸的面积=︒⋅⋅⋅==∆A bc ABC17.已知一直线经过〔2，3〕，其斜率为-1，则此直线方程如何？ 解：即x+y –5=018.假设原点在一圆上，而此圆的圆心为〔3，4〕则此圆的方程如何？解：圆的半径.54322=+=R所以，圆的方程为：(x-3)2+(y-4)2=25，也即：x 2+y 2-6x-8y=03x+4y+1=0的距离是什么？ 解：.51431040322=++⋅+⋅=d 20.抛物线y 2-8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？ 解：原方程可变形为：(y+3)2=8(x-1), 故顶点坐标为〔1，-3〕第二部分： x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0解：左式=(x 4+5x 3-6x 2〕-〔x 2+8x+12〕=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)] =(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0 可得原方程的四根为：.231,231,2,64321ix i x x x --=+-==-= 2.△ABC 中，∠A 外角的平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP=CP 证：如图，∠CBP=∠CAP=∠PAD 又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP =∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP ，∴BP=CP 3.设三角形的边长为a =4，b=5，c=6，其对角依次为A ，B ，C 求A B C C sin ,sin ,sin ,cos .问A ，B ，C 三角为锐角或钝角？ 解：应用余弦定理，可得： .812cos 222=-+=ab c b a C由此可知C 为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式a ＜b ＜c ，从而可知∠A ＜∠B ＜∠C 由于C 为锐角，故A ，B 亦为锐角.741c asinC sinA .7165sin sin ,.783)81(-1sinC cos -1sinC 22=======c C b B C 可得应用正弦定理可得由 4.一椭圆通过〔2，3〕及〔-1，4〕两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点解：由于椭圆过〔2，3〕及〔-1，4〕两点，所以将此两点代入标准方程可得：C2D A B.75522,35522,355,755,1161194222222==∴==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+a b b a b ab a 短轴长轴解之 .2155221220,22222==-=∴-=a b c a b c 又 ).21552,0(),21552,0(21F F -故焦点坐标为1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b ab b a --- 解：原式=.)()(32310231272321223a b a b b a b a ==--乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++= 解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算〔3.02〕4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r 假设设内接正方体的边长为a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r a r a =⎪⎭⎫⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按以下条件分别求x 的值所在的范围： 1〕y ＞0， 2〕y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解 ).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x yM O N X3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21〔O 1A 1+O 2A 2〕=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx+=-+ )(0sin 4,1,0sin cos ,0sin )sin (cos 20)sin cos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x x x x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ .2)2(),()(2,).()(222222222ah L a h L a a L h L a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由O 1 O O 2,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以L h a a L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lha a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫⎝⎛'+'-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1958年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数解：设求的项为.802,32)2(333354551x x C T r x C x C T r r r r r r ==∴===+今乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅ 证：x x x 4cos 4sin 28sin =xx x x xx x 4cos 2cos cos sin 84cos 2cos 2sin 4=.sin88sin4cos2coscosxxxxx=⋅⋅∴丙、设AB，AC为一个圆的两弦，D E为作直线DE交AB于M，交AC于N，求证：AM=AN证：联结AD与AE〔如图〕∵∠AMN=∠DAM+∠MDA，EAN+∠NEA，DAB=∠AED，AE=EC，∠ADE=∠EAC，∴∠AMN=∠ANM，AM=AN.丁、求证正四面体ABCD中相对的两棱〔即异面的两棱〕互相垂直证：因ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，过A作AE⊥BC，联结DE，则DE⊥BC，∴BC垂直平面AED，而AD在此平面内，∴BC⊥AD同理可证AB⊥DC，AC⊥DB戊、求解.cos3sin xx=解：,cos3sin xx=AENBCDCA EB).(3,3为整数k k x tgx π+π==∴ 2．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+++)2(9122)1(4121 y y x y x y x v y x u yx y x y x =-+=+=-+++12,1,8)12()1()2(:设式变形为由解则原方程变形为⎩⎨⎧=+=+)4(8)3(422 v u v u 解方程组，可得.2,2==v u 将v u ,的值代回所设，可得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧====-==∴=--=--⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+.21,6;1,3.6,3),5(.21,1,01,112)5()6()6(412)5(41,21221221121212y x y x x x y y y y y y y x y x y x y x 由检验可知代入即得得两边平方都是原方程组的解3．设有二同心圆，半径为R ，r(R>r 〕，今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A ＇，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D;由A ＇作直线A ＇E 垂直AD ，并交AD 于E ，已知∠OAD= α，求OE 的长解：在直角△OAD 中， OD=Rsin α，AD=Rcos α 在直角△A ＇AE 中， AE=〔R-r 〕cos α∴DE=AD-AE=Rcos α-〔R-r 〕cos α=rcos α. OE=.cos sin 222222α+α=+r R DE OD4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切已知：M 为△ABC 的AB 的中点.求作：一个经过A 、M 两点且与BC 直线相切的圆.EB O D C分析：设⊙O 即为合于要求的圆〔如图〕因⊙O 经过A 、M 两点且与直线BC 相切于点P ，这样，BP 为⊙O 的切线，BA 为⊙O 的割线，所以，应有 BP 2=BM ·BA而BM ，BA 均为已知，因此，BP 的长度可以作出，由此可得点P ，于是过A 、M 、P 三点就可确定所求之圆作法：1〕作线段A ＇B ＇M ＇， 使A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM2〕以A ＇M ＇为直径作半圆3〕过B ＇作A ＇M ＇的垂线B ＇P ＇交半圆于点P ＇ 4〕在△ABC 的边BC 上截取BP=B ＇P ＇ 5〕经过A 、M 、P 三点作⊙O 即为所求证明：由作图可知B ＇P ＇2= A ＇B ＇·B ＇M ＇，A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM ，所以BP 2=BM ·BA ，即BP 为⊙O 的切线，BMA 为其割线，且⊙O 经过A 、M 、P 三点，故⊙O 适合所要求的条件5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是以下三角方程的根CA BP ＇A ＇B ＇ M ＇043sin 231sin 2=++-x x 证：设AD=k 〔如图〕 ∵AB=2，∴DB=2-k. 由CD 2=AD ·DB ，.2123,0432),2()23(22或==+--=∴k k k k k在直角△ACD 中， 当23==k AD 时，,332323===AD CD tgA ∴A=300，B=600.当21==k AD 时，,32123===AD CD tgA ∴A=600，B=300. 总之，两锐角一为300，一为600. 当x=300时，代入原方程中得;04321231)21(4330sin 23130sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 当x=600时，代入原方程中得.04323231)23(4360sin 23160sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根CA D B1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35解：原式=2lg 10lg 7lg 2107lg 270lg-+=⨯= =+1-0.3010=1.5441.乙、求ii +-1)1(3的值.解：.21)1(21221331133132-=++-=+--=++--=+-+-=ii i i i i i i i i i 原式 丙、解不等式.3522<-x x 解：原式移项得,03522<--x x ∴原不等式的解为.321<<-x 丁、求︒165cos 的值解：)3045cos(15cos )15180cos(165cos ︒-︒-=︒-=︒-︒=︒.426)21222322()30sin 45sin 30cos 45(cos +-=⋅+⋅-=︒︒+︒︒-=戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，A 、B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值证：因为A 、B 为直线b 上两定点，而直线b ∥直线c ，所以，不管点C 在直线c 的什么位置上，△ABC 的面积均为一定值〔同底等高的三角形等积〕又因直线a 平行于直线 c b ,，所以，直线a ∥平面α〔已知c b a ,,不在同一平面内〕，因此，不管点D 在直线a 的什么位置上，从点D 到平面α的距离h 为一定值，故四面体ABCD 的体积=定值高底面积=⋅⋅=⨯⨯∆h S ABC 3131己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积解：设此圆台上底半径为r ，下底半径为R ，由已知条件,252π=πr 所以r=5(cm).又下底半径R=10cm ，母线,10cm l =圆台侧面积=πl 〔R+r)=π·10·〔10+5〕=150π〔cm 2). 2．已知△ABC 中，∠B=600，AC=4，面积为3，求AB 和BC. 解：设AB=c ，BC=a ，则有⎪⎩⎪⎨⎧︒-+==︒),(60cos 24)(360sin 21222余弦定理两边夹角求面积公式ac c a ac D aA B bOα cC.37,37.32,12)(,72,28)(,,1642222=±=∴±=-∴=-=+∴=+⎩⎨⎧=-+=c a c a c a c a c a ac c a ac 由由解之即故所求AB ，BC 之长为⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.37,37;37,37BC AB BC AB 3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数解：设所求之三数为d a a d a +-,,则根据题意有⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+-=-+=+-.45;1,45:4454).)(()2(),(2])[(3221122d a d a d a d a d a d a a d a a d a 解得化简后得 故所求三数为.9,5,149,45,41或4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥CB 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF=FG. 证：∵FG 为⊙O 的切线，而FDA 为⊙O 的割线，∴FG 2=FD ·FA …………① 又∵EF ∥CB ，∴∠1=∠2.而∠2=∠3， ∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE 为公共角 ∴△EFD ∽△AFE ，,FAEF EF FD =即EF 2=FD ·FA …………②由①，②可得EF 2=FG 2 ∴EF=FG.5．已知A 、B 、C 为直线l 上三点，且AB=BC=a ;P 为l 外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求〔1〕∠PBA 的正弦、余弦、正切; 〔2〕PB 的长; 〔3〕P 点到l 的距离.解：过P 点作PD ⊥AB 交AB 于点D 〔如图〕 〔1〕过点B 作BE ∥AP 交PC 于点E 则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE. ∵△CPA ∽△CEB ∴,22==a aBE PA 因PB=BE ， ∴.2,2=∠=PBA tg PBPA C G F O D1A 3 EBP450 EA a DB a C又∵,sec 122PBA PBA tg ∠=∠+∠PBA 为锐角， ∴,51sec 2=∠+=∠PBA tg PBA.552cos sin ,5551cos =∠⋅∠=∠==∠PBA PBA tg PBA PBA〔2〕.55cos a PBA AB PB =∠⋅= 〔3〕,552sin ,55=∠=PBA a PB ∴.52sin a PBA PB PD =∠⋅= 综上，所求为〔1〕∠PBA 的正弦、余弦、正切分别是2,551,552 〔2〕PB 的长为;551a 〔3〕P 点到l 的距离为.52a1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α〔如图〕过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aA D C bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由〔1〕可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由〔2〕可得)4( y x xy +=将〔4〕代入〔3〕可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将〔5〕代入〔4〕可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入〔5〕.6145173212±=+=x y此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以〔1〕式无意义〔负数无对数〕，故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AbOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： 〔1〕AE:AB=AC:AF.〔2〕△ABC 的面积=△AEF 的面积.证〔1〕：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证〔2〕：由〔1〕AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGDB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件〔即有一个根为1，不妨设1sin =C 〕及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由〔1〕可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入〔2〕得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α〔如图〕 过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aA D C bN F βA 、D∵点A 是EF 的中点， 又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由〔1〕可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由〔2〕可得)4( y x xy +=将〔4〕代入〔3〕可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将〔5〕代入〔4〕可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x将x 值代入〔5〕.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以〔1〕式无意义〔负数无对数〕，故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos 2sin2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅= 另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AbOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： 〔1〕AE:AB=AC:AF.〔2〕△ABC 的面积=△AEF 的面积.证〔1〕：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证〔2〕：由〔1〕AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGDB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件〔即有一个根为1，不妨设1sin =C 〕及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由〔1〕可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入〔2〕得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α〔如图〕 过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aA D C bN F βA 、D∵点A 是EF 的中点， 又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由〔1〕可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由〔2〕可得)4( y x xy +=将〔4〕代入〔3〕可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将〔5〕代入〔4〕可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x将x 值代入〔5〕.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以〔1〕式无意义〔负数无对数〕，故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos 2sin2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅= 另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AbOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： 〔1〕AE:AB=AC:AF.〔2〕△ABC 的面积=△AEF 的面积.证〔1〕：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证〔2〕：由〔1〕AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGDB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件〔即有一个根为1，不妨设1sin =C 〕及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由〔1〕可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入〔2〕得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α〔如图〕过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aA D C bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由〔1〕可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由〔2〕可得)4( y x xy +=将〔4〕代入〔3〕可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将〔5〕代入〔4〕可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入〔5〕.6145173212±=+=x y此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以〔1〕式无意义〔负数无对数〕，故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AbOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： 〔1〕AE:AB=AC:AF.〔2〕△ABC 的面积=△AEF 的面积.证〔1〕：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证〔2〕：由〔1〕AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGDB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件〔即有一个根为1，不妨设1sin =C 〕及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由〔1〕可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入〔2〕得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为b a ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN被平面α二等分证：过直线b 作平面β//α〔如图〕 过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aA D C bN F βA 、D∵点A 是EF 的中点， 又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由〔1〕可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由〔2〕可得)4( y x xy +=将〔4〕代入〔3〕可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将〔5〕代入〔4〕可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x。
1959年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知 lg2=0.3010,lg7=0.8451,求 lg35 解：原式= lg70= lg 7 ⨯10 = lg 7 + lg10 - lg 2 2 2=0.8451+1-0.3010=1.5441.乙、求(1 - i )3 的值.1 + i解：原式 =1 - 3i + 3i2 - i3 1 + i= 1 - 3i - 3 + i 1 + i = - 2 - 2i 1 + i = - 2(1 + i )1 + i = -2.丙、解不等式2x 2 - 5x < 3.解：原式移项得2x 2 - 5x - 3 < 0, ∴原不等式的解为- 1< x < 3.2 丁、求cos165︒ 的值解： cos165︒ = cos(180︒ - 15︒) = - cos15︒ = - cos(45︒ - 30︒)= -(cos 45︒ cos 30︒ + sin 45︒sin 30︒)= -( 2 ⋅ 3+ 2 ⋅ 1 ) = - 6 + 2 .2 2 2 2 4戊、不在同一平面的三条直线a , b , c 互相平行，A 、B 为b 上两定点， 求证另两顶点分别在a 及c 上的四面体体积为定值 证：因为 A 、B 为直线b 上 Da两定点，而直线b ∥直线c ，所以，不论点 C 在直线c 的什么位置上，△ABC 的面积均为一定ChAB bOαc2⎩值（同底等高的三角形等积） 又因直线a 平行于直线b ,c ，所以，直线a ∥平面α （已知a , b , c 不在同一平面内），因此，不论点 D 在直线a 的什么位置上，从点 D 到平面α 的距离h 为一定值， 故四面体 ABCD 的体积= 1⨯ 底面积⨯ 高 = 1⋅ S⋅ h = 定值3 3∆ABC己、圆台上底面积为25πcm 2 ，下底直径为20cm ，母线为10cm ，求圆台的侧面积解：设此圆台上底半径为 r ，下底半径为 R ，由已知条件πr 2 = 25π, 所以 r=5(cm).又下底半径 R=10cm ，母线l = 10cm ,圆台侧面积=π l （R+r )=π·10·（10+5）=150π（cm 2). 2．已知△ABC 中，∠B=600，AC=4，面积为 3 ，求 AB 和 BC. 解：设 AB= c ，BC= a ，则有⎧⎪1ac sin 60︒ = ⎨ 23(两边夹角求面积公式) ⎩⎪ 42 = a 2 + c 2 - 2ac cos 60︒(余弦定理),⎧ac = 4 即⎨a 2 + c 2- ac = 16, 解之,由(a + c )2 = 28,∴ a + c = 2 7,由(a - c )2 = 12,∴ a - c = ±2 3. ∴ a = 7 ± 3, c = 7 3.故所求 AB ，BC 之长为⎧ AB = ⎨ ⎩BC = 7 + 3,⎧ AB = ⎨7 - 3;⎩BC = 7 - 3, 7 + 3.3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的 3 倍等于第三3⎩个数的 2 倍，如果第二个数减去 2，则成等比数列，求这三个数解：设所求之三数为a - d , a , a + d 则根据题意有⎧3 [(a - d ) + a ] = 2(a + d ), ⎨(a - 2)2 = (a - d )(a + d ). ⎧ 4a = 5d ⎧⎪a = 5 ⎧ a = 5 化简后得⎨4a - 4 = d 2 解得 : ⎨ 1 4, ⎨d= 4. 1 5 9⎪⎩ d 1 = 1; ⎩ 2故所求三数为 , , 4 4 4或1,5,9.4．已知圆 O 的两弦 AB 和 CD 延长相交于 E ，过 E 点引 EF∥CB 交AD 的延长线于 F ，过 F 点作圆 O 的切线 FG ，求证：EF=FG. 证：∵FG 为⊙O 的切线，而 FDA 为⊙O 的割线， ∴FG 2=FD·FA…………① 又∵EF∥CB，∴∠1=∠2.而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE 为公共角∴△EFD∽△AFE，CG2 FO D1A3E BFD =EF EF ,即 EF 2=FD·FA…………② FA由①，②可得 EF 2=FG 2 ∴EF=FG.5．已知 A 、B 、C 为直线l 上三点，且 AB=BC= a ;P 为l 外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切;⎩ 241 + tg2 ∠PBA （2）PB 的长;（3）P 点到l 的距离.解：过 P 点作 PD⊥AB 交 AB 于点 D （如图）（1）过点 B 作 BE∥AP 交 PC 于点 E则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE. ∵△CPA∽△CEB∴PA = 2a= 2,因 PB=BE ， PADB CBE a ∴ PA= 2, tg ∠PBA = 2. PB又∵1 + tg 2∠PBA = sec 2 ∠PBA , ∠PBA 为锐角，∴ sec ∠PBA = = 5,cos ∠PBA =1 =5 ,55sin ∠PBA = tg ∠PBA ⋅ cos ∠PBA =2 5 .5（2） PB = AB ⋅ cos ∠PBA =5 a .5（3） PB = 5a , sin ∠PBA = 2 5 5 , ∴ PD = PB ⋅ sin ∠PBA = 2a . 5 5综上，所求为（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切分别是 255, 1 5 5,2（2）PB 的长为155a ;（3）P 点到l 的距离为 2a .5450E。
1978年全国统一高考数学试卷(附加题)
1978年全国统一高考数学试卷（附加题）一、解答题（共7小题，满分100分）1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．（2）求，（3）求函数y=的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．（5）计算：的值．2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件：（1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项；（2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和．求根为的方程．3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N 点，且∠BDM=α．求证：．，．5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0．6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=07．（16分）已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．1978年全国统一高考数学试卷（附加题）参考答案与试题解析一、解答题（共7小题，满分100分）1．（14分）（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．（2）求，（3）求函数y=的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．（5）计算：的值．考点：对数函数的定义域；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）把（x﹣y）看做一个整体，整式即：（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3（2）应用特殊角的三角函数值．（3）分母不为0，对数的真数大于0．（4）先求出圆锥的高，代入体积公式计算．（5）使用分数指数幂的运算法则化简每一项，然后合并同类项．解答：解：（1）原式=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3=（x﹣y﹣1）（x﹣y+3）（2）原式=﹣0+1﹣=（3）∵25﹣5x＞0，且x+1≠0．∴x＜2且x≠﹣1，∴所求定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．（4）（5）原式=10•（﹣2 ）﹣+30•=10﹣20﹣10+30=﹣20+30•=﹣20+点评：（1）体现整体的数学思想．（2）记住特殊角的三角函数值．（3）分式的分母不为0，对数的真数大于0．（4）直接使用圆锥的体积公式．（5）分数指数幂的运算法则的使用．本题的最后一项可能不对．2．（14分）已知两数x1，x2满足下列条件：（1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项；（2）它们的积是等比数列2，﹣6，…的前4项和．求根为的方程．考点：利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根的分布与系数的关系．分析：1由等差数列通项公式求出第二十项2由等比数列求前n项和求出前四项和3接下来可以求解x1，x2．也可利用技巧直接求出两根之和两根之积．解答：解：x+x2=39 ①，x1x2=﹣40 ②，故得：1/x1+1/x2=1由②式得.=由初中所学一元二次函数根与系数关系得所求方程为：40x2+39x﹣1=0．点评：本题考查数列通项公式和前n项和公式以及一元二次方程根与系数关系3．（14分）已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：．考点：相似三角形的判定．专题：证明题．分析：由AD是△ABC的外接圆的切线得到角相等进而得两个三角形相似，可得三角形的面积比与相似比的平方的关系，再结合三角形面积公式即可证得．解答：证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD∴作AE⊥BD于点E，则故得证．点评：本题主要考查相似三角形的判定，在圆中找相等的角，依据是弦切角和同弧所对的圆周角相等相等，再根据相似三角形的判定即可得到．4．（14分）（如图）CD是BC的延长线，AB=BC=CA=CD=a，DM与AB，AC分别交于M点和N点，且∠BDM=α．求证：．，．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由题意及图形作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中利用正切的定义即可；同理，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中也可求得CN．解答：证明：证作ME⊥DC于E，由△ABC是等边三角形，在直角△MBE中，，∴，∴．类似地，过N作NF⊥BC于F，在直角△NFC中，可证：点评：此题考查了学生的识图能力，还考查了解三角形及正切函数定义，还考查了学生的计算能力．5．（14分）设有f（x）=4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）x+（m+1）2．（p≠0）求证：（1）如果f（x）的系数满足p2﹣4q﹣4（m+1）=0，那么f（x）恰好是一个二次三项式的平方．（2）如果f（x）与F（x）=（2x2+ax+b）2表示同一个多项式，那么p2﹣4q﹣4（m+1）=0．考点：函数与方程的综合运用．专题：证明题．分析：（1）利用配方法和因式分解法的方法将该函数表达式进行因式分解．（2）利用多项式相等建立各项系数的相等关系，将无关的系数消掉，建立起字母p，q，m的关系．解答：证明：（1）∵，∴===∴f（x）等于一个二次三项式的平方（2）∵4x4﹣4px3+4qx2+2p（m+1）+（m+1）2=（2x2+ax+b）2=4x4﹣4ax3+（a2+4b）x2+2abx+b2，∴由（1）可得a=﹣p代入（2）得将a，b的表达式代入（3）得，∴p[p2﹣4q﹣4（m+1）]=0．∵p≠0，∴p2﹣4q﹣4（m+1）=0．点评：本题考查多项式的因式分解，考查待定系数法．注意配方法和分组分解因式的方法．注意多项式相等的转化方法．6．（14分）已知：asinx+bcosx=0 ①，Asin2x+Bcos2x=C ②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0考点：三角函数恒等式的证明．专题：证明题．分析：可先，通过①可得x=y+kπ，进而可求出sin2x和cos2x代入②即可得证．解答：证明：则①可写成cosysinx﹣sinycosx=0，∴sin（x﹣y）=0∴x﹣y=kπ（k为整数），∴x=y+kπ又sin2x=sin2（y+kπ）=sin2y=2sinycosy=cos2x=cos2y=cos2y﹣sin2y=代入②，得，∴2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C=0．点评：本题主要考查三角函数恒等式的证明．证明此类问题时应考虑：异名化同名，异角化同角，公式的正用、逆用、变形用．7．（16分）已知L为过点P且倾斜角为30°的直线，圆C为圆心是坐标原点且半径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点是的抛物线，设A为L和C在第三象限的交点，B为C和Q在第四象限的交点．（1）写出直线L、圆C和抛物线Q的方程，并作草图．（2）写出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式．（3）设P′、B′依次为从P、B到x轴的垂足，求由圆弧AB和直线段BB′、B′P′、P′P、PA所包含的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；数形结合．分析：（1）由题意代入点斜式求直线方程，代入标准式求圆的方程和抛物线的方程；（2）分别联立直线、圆和抛物线的方程，求出交点的横坐标，再通过图形表示出线段PA、圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式，注意范围；（3）先作出图形再把图形进行分割，再由（2）求的点A、B的坐标求每一部分的面积，最后再求和．解答：解：（1）由题意知，直线L的方程为y+=（x+），即y=x；圆C的方程为x2+y2=1，抛物线Q的方程为草图为：（2）由，解得A点横坐标．∴线段PA的函数表达式为：由，解得B点横坐标．∴圆弧AB的函数表达式为：∴抛物线上OB一段的函数表达式为：．（3）如下图所求的面积为图中阴影部分，由（2）和题意知，P'点的横坐标为﹣和点P，∴∵A点横坐标，B点横坐标，∴∠AOB==，∴扇形OAB的面积为∴所求面积（图中阴影部分）．点评：本题涉及的内容多且层次分明，考查了求直线方程、圆的方程和抛物线的方程，还把几何图形和函数联系在一起，是一道新颖的直线与圆锥曲线综合强的题．。
1957年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解:原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解:原式为022<-+x x 解为:-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证:.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中,AC=BD,P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA的中点,求证:PQRS 为一个菱形证:由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点,根据三角形两边中点连线的性质可得 .////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设,AC=BD, ∴PQ=QR=RS=SP, 故 PQRS 为一个菱形ASPDRC BQ戊、设b a ,为异面直线,EF 为b a ,的公垂线,α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面,M 为a 上任一点,N 为b 上任一点求证线段MN被平面α二等分证:过直线b 作平面β//α（如图） 过直线a 及公垂线EF 作一平面,在此平面内作MC ∥EF,且与平面α,β分别交于B 、C 两点 设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D ∵点A 是EF 的中点, 又ME ∥BA ∥CF, ∴点B 是MC 的中点 又∵DB ∥NC, ∴D 是MN 的中点另法:如图,连接EN,AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解:由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xyM E a由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简,得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数）,故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r,求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证:在直角△ABC 中,2cos 2sin2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅= 另外,EB AE c +=AC a D)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+= .2sin2cos2cos 22cos 2sin 2sin2sin 2cos22sin2sin 2cosA CB r B B B AC r AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅=4．设△ABC 为锐角三角形,以BC 为直径作圆,并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点,由在AB 边上取AE=AD,并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F,求证: （1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）:设AB 与⊙O 相交于点G,联结EC,CG,BF. ∵EF ⊥AB,CG ⊥AB,∴GC ∥EF, AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线, ∴AD 2=AG ·AB, 也即AG:AD=AD:AB 但∵AD=AE,∴AG:AE=AE:AB ……………②A G F由①、②可得 AE:AB=AC:AF证（2）:由（1）AE:AB=AC:AF,则EC ∥BF, △EBC 的面积=△EFC 的面积∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1 设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值 解:将x=1代入这个方程式, 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q , 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根,所以方程左边能被x-1整除用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1,不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900,于是A+B=900,B=900-A,代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即。
1962-1966年普通高等学校招生全国统一考试数学试题参考答案
AD=BC,AB=CD D CBA D /C /B /A /A B D =半圆周 2（A B +A D ）=圆周27°1962年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1．解：设平均每年增长%x ，则有2(1%)121%x +=+， 解得10x =.又第一年产量/第三年产量 =110083%121%121=≈+∴该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%. 2．解：5)21(i -的实部是由包含i 的偶次方的各项所组成， ∴所求之实部为.41)2()2(44522505=-+-+i C i C C3．解：由已知方程得),92lg(4)3)(5(lg-=+-x x x 即(5)(3)294x x x -+=-，∴210210x x -+=， ∴3,7x x ==，当3x =时，方程无意义， ∴原方程的解为7x =．4．解：4sin(2arcsin )5442sin arcsin cos arcsin 55⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭432425525=⨯⨯=．5．证：（1）设ABCD 为圆的内接平行四边形（如图），由于两平行 弦所夹的弧相等，∴又∵ ∴∴∠C=900，∴ABCD 为矩形. （2）设ABCD 为圆外切平行四边形（如图）． ∵圆的外切四边形的每 组对边的和相等，∴AD BC AB +=+ 但,AD BC AB CD ==，∴22,AD AB AB AD ==∴ABCD 为菱形.6．解：由②得 a y x -=③ 将③代入①得24(()210y y a y ---+=，即26(41)0y y a -++=，……………④ 2(6)4(41)16(2)a a ∆=--+=--.（1）当0∆>，即2a <时，方程组有不同的两实数解，且3y ==±，3xa =±，即 113,3x a y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或 223,3x a y ⎧=-⎪⎨=+-⎪⎩ （2）当0∆=，即2a =时，方程组有相同的两实数解1,3.x y =⎧⎨=⎩（3）当0∆<，即2a >时，方程组没有实数解.7．解：∠ADB =1800-（330+270）=1200根据正弦定理，得sin 27sin120AB AD ⋅︒==︒第7题图 第8题图D1C1B1A1ED CBADCBA又∠CAD=630-330=300，由余弦定理可得222cos30 CD AD AC AD AC=+-⋅⋅︒，24sin271232︒=+-24(0.4540)120.45400.3668.3=+-⨯=∴0.61.CD≈8．解（1）：设AA'mt=，A B'nt=.又1mt nt+=，∴1tm n=+.在直角△D AA''中，222D A D A AA''''=+2222222()m t n t m n t=+=+，而正方形A B C D''''的面积=2222222()()m nD A m n tm n+''=+=+.证（2）：∵2221()2m nm n+-+22222()()2()m n m nm n+-+=+22()2()m nm n-=≥+，∴2221()2m nm n+≥+.9．证：设正方体的棱长为1，连接AC，则AC=2.∵AE为直角△1A AC的斜边1AC上的高，∴1A E·1AC=21AA，CE·1AC=AC2.两式相除，得,21)2(122211===ACAAECEA∴1A E:CE=1:2.10．证：第一种情形：四条直线4321,,,llll没有三条直线过同一点，这时它们共有六个交点,,,,,A B C D E F，它们各不相同.令直线21,ll相交于点A，可决定一平面α.∵点,,B C D均在平面α内，∴直线43,ll也在平面α内，∴直线4321,,,llll同在平面α内.第二种情形：四条直线4321,,,llll中有三条，例如,,,321lll过同一点A.∵直线4l不过点A，∴由点A及直线4l可决定一平面α.∵直线4l与直线,,,321lll相交，设交点为,,B C D，则点,,B C D在直线4l上，从而在平面α内，因此，直线,,,321lll各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线4321,,,llll在同一平内.βP E D C B A D C BA1963年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案 1．解：tan cos 0θθ=∴≠ ， ∴cos sin 1tan cos sin 1tan θθθθθθ--=++3==-+. 2．解：（1）2)3(1|31|22=+=+i ，tan θ=3πθ=.（2）由图可知，复数i 31+沿反时针方向转1500后，得到的复数为2(cos210sin 210)i i ︒+︒=.3．解：∵AD :BD =4:1， ∴AD =54AB ，BD =51AB ， 又∵AB =1，∴AD =54，BD =51.在直角△ACD 中， ∵CD ⊥AB ，∴CD 2=AD ·BD =,254 ∴CD =52.4．证：如图，点P 是二面角CD αβ--内一点，PA ⊥平面α于点A ，PB ⊥平面β于点B ，∴PA ⊥CD ，PB ⊥CD .∴CD 垂直于由PA ， PB 所决定的平面． 5．解：101lg23.28101lg23.28-=-101 1.3670=-⨯____138.067013910.0670=-=+-____139.9330=，lg 0.9330,8.570x x ==，∴10113923.28108.570--=⨯1398.57010-=⨯.6．解：由sin 3sin cos 20x x x -+=得， 2cos 2sin cos 20x x x ⋅+=，即 cos 2(2sin 1)0x x +=．由cos 20x =得，222x k ππ=±，即4x k ππ=±（k Z ∈）；由2sin 10x +=，得1sin 2x =-，即 1(1)()(1)66k k x k k ππππ+=+--=+-（k Z ∈）．7．解：由2(1)3(2)⨯+得222530x xy y --=，即 (3)(2)0x y x y -+=，∴3x y =，或2yx =-．将3x y =代入（1）得2y x =±= 将2yx =-代入（1）得2,1y x =±= ，经检验得原方程组的解为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或221,2.x y =⎧⎨=-⎩ 8．解：（1）没有重复数字的五位数共有72056=P （个）． （2）由这六个数组成的五位数要为偶数，其末位数字只能是2和4，故末位数的取法有12C 种，当末位数字取定后，其余四位数字的取法只有4445P C ⋅种偶数的个数为240444512=⋅⋅P C C （个）． （3）五位数要为3的倍数，必须组成它的数字的和是3的倍数，这里只有1，3，4，7，9五个数字的和是3的倍数，故共有 120!555==P （个）． 9．证：由图可知AE 2=AC ·AD ，BF 2=BD ·BC ，∵AC =BD ，AD =BC ，∴AE 2=BF 2，AE =BF又OE OF =，90AEO BFO ∠=∠=︒， ∴△AOE ≌△BOF . 10． 证：（1）如图，过球心O 与直圆锥底面的中心1O 作一平面与圆锥和球的截面，则△SAB 为等腰三角形． 联OB ，则1OBO θ∠=． 设圆锥母线长为l ， 底面半径为R ，则 cos 2l R θ⋅=，即θ=2cos Rl ．又11tan OBO R ∠=，即1tan R θ=， ∴1tan cos 2l θθ=⋅，∴11tan cos 2tan l R θθθ+=+⋅11(1)tan cos 2θθ=+ 11cos 2tan cos 2θθθ+=⋅22212cos tan cos sin θθθθ=⋅- 22122tan 1tan tan (1tan )g θθθθ=⋅=--． （2）由条件及（1）得圆锥的全面积()S R l R π=+212tan tan (1tan )πθθθ=⋅⋅- 222tan (1tan )πθθ=-． （3）由（2）得222tan (1tan )S πθθ=-22228tan (1tan )2ππθθ≥=⎛⎫+- ⎪⎝⎭，当且仅当arctan 2θ=，即tan 2θ=（舍去负值），∴arctan2θ= ∴当θ取值22arctg=θ时，圆锥的全面积最小.注：本题可用配方法等方法求解.βPDBA1964年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1．解：原式=32==．2．解：设乙的速度为v ，则甲的速度为v a +．在直角PBD ∆中，10cot PD v β=⋅； 在直角PAD ∆中，10()cot PD v a α=+， ∴10cot 10()cot v v a βα⋅=+，∴cot cot cot a v αβα=-∴cot cot 10cot cot cot a PD v αβββα==-10cos cos .sin()αβαβ=-3．解方程,014=+x 并证明它的四个根为一个正方形的四个顶点解：,sin cos 14ππi x +=-= ∴22cossin44k k x i ππππ++=+，0,1,2,3.k=1cossin44x i ππ=+=233cos sin44x i ππ=+=，355cos sin44x i ππ=+=，477cossin 4422x i iππ=+=-． 在复平面内（x 为实轴，y 为虚轴）分别用,,,A B C D 四点来表示四个根1234,,,x x x x （如图）即22A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，22B ⎛- ⎝⎭，22C ⎛-- ⎝⎭，22D ⎛- ⎝⎭. ∵,A B 关于y 轴对称，,A D 关于x 轴对称，∴∠A =900，同理，90B C D ∠=∠=∠=︒，且|AB |=|BC |=|CD |=|DA |=.2 ∴ABCD 是正方形，而,,,A B C D 是顶点． 4．证：设R 为△ABC 的外接圆的半径，则由正弦定理得，2sin ,2sin ,2sin a R b R c R αβγ===，∴由余弦定理得222cos 2b c a bcα+-=222224(sin sin sin )42sin sin R R βγαβγ+-=⋅⋅ 222sin sin sin 2sin sin βγαβγ+-=⋅. 5．解：设方程的三根为,,αββ，且0β>，则由根与系数的关系及题设有22222, (1)23,(2), (3)2 6. (4)m n αβαββαβαβ+=-⎧⎪+=-⎪⎨=-⎪⎪+=⎩ 由（4）-2·（2）得2412,(5)ααβ-=（1）式平方得22244,(6)m ααββ++=（5）+（6）得2222(2)12m αβ+=+,即22612m ⋅=+， ∴0m =.由（1）得02=+βα，即2αβ=-，代入（4）得266β=，1β=，或1β≠-（舍去），2α=-. 由（3）得2(2)12n αβ=-=--⋅=，∴0,2m n ==.6．解：将圆台补成圆锥体（如图）.设其顶点为S ，SD x =，则103015x r x R ==+，即)(60cm x =. 又因AB 弧的长为 230()l R cm ππ==， 而90()l SA cm θθ=⋅=，∴,3090πθ=3πθ=，∴△SAB 为等边三角形，AB =90（cm ），即AB 间的距离为90cm.7．证：1）先证,,,A B C D 四点共面.设通过直线1111A B C D 而垂直于平面M 的平面为P .则因1AA ⊥平面M ，而1A 又在直线1111A B C D上，所以点A 在平面 P 内，同理点,,B C D 均在平面P 内，即 ,,,A B C D 四点共面.2）证ABCD 是一个平行四边形.若AB 与CD 相交于E ，则其在平面N 内的射影22A B 与22C D 也相交于2E ，此与22A B ∥22C D 的假设相违，∴AB ∥CD ，同理AD ∥BC . ∴ABCD 是一个平行四边形. 8．解：（1）设圆1O ，圆2O 的半径分别为1R ，2R ，则由图知 190CEO ∠=︒， 22CE O E R ==∴.211R CO =同理.222R AO =∴2211AC AO O O CO =++1212)()R R R R =+++121)()R R =+.又∵AB =1，∴AC =2.∴121)()R R +=∴122R R +== （2）两圆面积之和22221212()S R R R R πππ=+=+2211[(2)]R R π=+2211[22(2(2]R R π=-+2132(2R π⎛=-+ ⎝，∴当122R -=，即12R R =时S 取小. ∵1R 的最大值为1R =21，这时2R 为最小值，其值为2R=13(222-= 又当2R =21时，1R 有最小值1R =223-， ∴当1R =21（此时2R =223-）或1R =223-（此时2R =21）时，S 有最大值. 机动题 解：（1）如图，ABCD 为矩形.设AB =a ，AD b =. 作直角△12O O G ，则有()212R R +[][]221212()()b R R a R R =-++-+，解得12R R +=（a +b ）.2ab ± ∵12R R a b +<+ ,∴12R R +=（a +b ）.2ab - ∴两圆面积之和2212S R R ππ=+212(R π⎡=⎢⎣⎦∴当1R =，即12R R =时，S有最小值；当1R 或212R =min(b a ,)时,S 有最大值. (2)如图，球1O 和球2O 外切，球1O 和以1C 为顶点的三面角的三个面相切，球2O 和以A 为顶点的三面角的三个面相切（设棱长为1）.同前类似可计算出：22AO =111C O =，1232R R +=. 两球的体积和33331212444()333V R R R R πππ=+=+22213)R ⎫⎡⎤⎪--⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭2213R ⎤⎛⎥=+ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当1R =，即12R R =时V 有最小值；当2111,22R R ===，或121,2R R ==V 有最大值.注：在（1）中的b a ,必须限制为,2b a b ≤<否则在矩形内之二圆无法相切.C B AAB 1965年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1.解：二视图表示的是一 个正六棱锥，其棱长为a 2， 底面边长为a ，∴底面积2323a S = 棱锥的高,3a h =∴正六棱锥的体积23113332V Sh a ===.2.解：设经过x 小时后， 甲船在C 处追上以船， 则22BC x =（里） 26AC x =（里）由正弦定理得sin sin BC ACCAB ABC=∠∠，即2226sin(4948)sin(1804948)x xα=''︒-︒-︒，∴22sin 4948sin(4948)26α'⋅︒'︒-=，两边取对数得lgsin(4948)α'︒-lg22lgsin 4948lg26 1.8104'=+︒-=，9484015α''︒-=︒，∴49484015933α'''=︒-︒=︒. 3. 解：A ，B 两地之间的球面距离为过A ，B 所作的大圆的圆弧的长，设其长为l ，且设θ=∠AOB ， 过A ，B 作平面1O AB NS ⊥（极轴）， 此平面与球面交成圆1O . 设其半径为r ，由已知， 1AO B β∠=.设C ，D 分别为赤道平面上与点A ，B 同经度之两点，则由已知得， AOC BOD α∠=∠=. 在过A ，B 的大圆上有180R l πθ=.由此可知，只需求出θ即可.在圆1O 中，线段AB=2sin 2AB r β=.又在过A ，C 的大圆中，1190,OO A OAO α∠=︒∠=， ∴αcos R r =，代入上式，可得线段2cos sin2AB R βα=.在AOB ∆中，线段2sin ,2AB R θ=∴2sin2θR =,2sincos 2βαR∴2arcsin(cos sin)2βθα=.由此可得A ，B 两地之间的球面距离为2arcsin(cos sin ).1802R l πβα=此处之角度以度为单位. 4.证：（1）|sin 2||2sin cos |x x x =⋅2|sin ||cos |x x =⋅．∵|cos |1x ≤，∴|sin 2|2|sin |x x ≤． （2）当n =1时，结论显然成立. 假设当(1)n k k =>时结论成立，即 .|sin ||sin |x k kx ≤ 当1n k =+时，|sin(1)||sin cos cos sin |k x kx x kx x +=⋅+⋅ |sin cos ||cos sin |kx x kx x ≤⋅+⋅ |sin ||cos ||cos ||sin |kx x kx x =⋅+⋅ |sin ||sin |(1)|sin |k x x k x ≤+=+， 这就是说当1n k =+时，结论成立， ∴当n 为任意正整数时，结论均成立. 5.解：曲线C 是椭圆，中心在(1,1)-，其长轴平行于y 轴，短轴平行于x 轴（如图）．设直线1l 过点P (4,2)-且垂直于直线l ，与曲线C 相交于点A ，B ，1l 的方程为2(4)y x +=--，即2y x =-+.解方程组22(1)(1)1,242,x y y x ⎧+-+=⎪⎨⎪=-+⎩得 12211,1,3 3.5;3x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩∴直线1l 与曲线C 的交点为 15(,),(1,3)33A B -. 6.解：设α是它们的公共根，则2230, (1)4(1)0.(2)a p a p αα⎧+-=⎨---=⎩由（1）+3⨯（2）得241230p p ααα+--=，即 (4)(3)0p αα+-=，解得3α=或4pα=-.当3α=时，将3α=代入（1）得2p =-；当4p α=-时，将4pα=-代入（1）得210p +=，p 不存在.∴当p =-2时，方程032=-+px x 与方程x x 42-0)1(=--p 有一公共根3.7.解：（1） ∵111222(,),(,)P x y P x y ， ∴12PP 的中点为)2,2(21211y y x x M ++， ∴点3P 的横坐标,8)(22212y y y x +== 纵坐标221y y y +=.123PP P S ∆=1122212121112()182x y x y y y y y ++211221121|()22x x x y x y y y -=-++ 21212()|8y y y y -++2222121221121|()2222y y y y y y y y -=-++ 21212()|8y y y y -++22121212121|||42()()|16y y y y y y y y =-⋅-+++ |)(|||16122121y y y y --⋅-=3121||16y y =-. （2）∵1P 的坐标为11(,)x y ， 3P 的坐标为)2,8)((21221y y y y ++， ∴13PP 的中点为)43,1625(212221212y y y y y y M +++，点1Q 的横坐标,32)3(22212y y y x +== 纵坐标.4321y y y +=同理，点2Q 的横坐标212(3)32y y x +=，纵坐标.4321y y y += ∴131PPQ ∆的面积+232P PQ ∆的面积=128)(14332)3(121212212122111y y y y y y y y y x ++++的绝对值+114332)3(128)(21222122121221y x y y y y y y y y ++++的绝对值2212121|[2()(3)]16y y y y y =+-+ 12121212()(3)[2()(3)]8y y y y y y y y ++++-+2221212[(3)4()]|4y y y y y ++-+ 2212121|[2()(3)]16y y y y y ++-+ 12121212()(3)[2()(3)]8y y y y y y y y ++++-+2221212[(3)4()]|4y y y y y ++-+ 222112122111|||()||||()|128128y y y y y y y y =-⋅-+-⋅- 3121||64y y =-. （3）线段12PP 与抛物线所围成的图形的面积123131232()PP P PP Q P P Q S S S S ∆∆∆=+++ 333121212111||||||1664256y y y y y y =-+-+-+ 3123121||116||11214y y y y -==--.8.附加题（1）已知c b a ,,为实数，证明c b a ,,均为正整数的充要条件是0,0,0.a b c ab bc ca abc ++>⎧⎪++>⎨⎪>⎩（2）已知方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,都是实数，证明γβα,,是一个三角形的三边的充要条件是30,0,048.p q r p pq r <><⎧⎨>-⎩证明：（1）条件的必要性是显然的. ∵,0,0,0>>>c b a∴0>++c b a ，0>++ca bc ab ， .0>abc .下面证明条件的充分性：设c b a ,,是三次方程320x px qx r +++=的三个根，则由根与系数的关系及已知条件有0,0,0,p a b c q ab bc ca r abc -=++>⎧⎪=++>⎨⎪-=>⎩即 .0,0,0<><r q p∴三次方程023=+++r qx px x 的系数正负相间，∴方程无负根，即方程的根均非负; 又由0>abc 可知，方程无零根， ∴0,0,0a b c >>>.（2）由（1）的证明可知，γβα,,均为正数的充要条件是0,0,0p q r <><， ∴问题转化为证明γβα,,为三角形三条边的充要条件为r pq p 843->. 条件的必要性：若γβα,,为三角形的三边，则由三角形的性质必有,,αβγβγαγαβ+>+>+>， ∴0,0αβγβγα+->+->，0γαβ+->，∴))()((βαγαγβγβα-+-+-+ (2)(2)(2)p p p αβγ=------ (2)(2)(2)p p p αβγ=-+++a 32[2()p p αβγ=-+++ 4()8]p βγγααβαβγ++++33(248)p p pq r =--+- 3480p pq r =-+>， 即r pq p 843->.条件的充分性：若r pq p 843->，则 ,0843>+-r pq p 3()αβγ-+++4()()80αβγαββγγααβγ++++->， ()(222αβγαββγγα++++222)80αβγαβγ---->， 2[()][()αβγβγ++--22()]80αβγααβγ++-->， 322()()ααβγαβγ-+++- 2()()0βγβγ-+->，22()()()0ααβγβγαβγ-+++--->， 22()[()]0αβγαβγ-++-->，()()()0αβγαβγαβγ-+++--+>．此式中至少有一因式大于0，今设,0>++-γβα则必有()()0αβγαβγ+--+>．如果,0,0<+-<-+γβαγβα 两式相加得02<a ，即0<α， 此与0>α相矛盾． ∴,0>++-γβα,0,0>+->-+γβαγβα 即⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+,,,βγαγβααγβ 即γβα,,可作为一个三角形的三条边．综上所证可知，方程023=+++r qx px x 的三根γβα,,为一个三角形的三条边的充要条件是⎩⎨⎧-><><.840,0,03r pq p r q p1966年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案1.解:从12只灯泡中,选5只,如果其中有1只绿灯泡,4只红灯泡,那么,选法的种数为1457175C C =.如果其中有2只绿灯泡,3只红灯泡,那么,选法的种数为2357350C C =.∴一共有175+350=525种选法. 2.解:如图,已知8AD =， 10,6BC CD ==. 用1,O O 表示上、下 底面的中心,,E F 表 示,AD BC 的中点.连接11,,,OO EF OE O F ,则1OO FE 为直角梯形.从E 点作1O F 的垂线,垂足为G ，EG 就是正四棱台的高.EF ==EG ==，∴110080)3V =++=. 3.解法一:如图,在ABD ∆中，,,AB a BAD BDA θααβ=∠=-∠=-，由正弦定理得sin()sin()BD aθααβ=--，即asin()sin()a BD θααβ-=-.在BCD ∆中，,CBD BCD θβπθ∠=-∠=-， 由正弦定理,得sin()sin()CD BDθβπθ=--，即 sin()sin BD CD θβθ-=，∴sin()sin()sin sin()a CD θαθβθαβ--=-..解法二:如图, 从D 点作AC 的垂线与AC 的延长线交于点E ，设DE h =.在直角三角形ADE 中，tan()ha BEθα=-+，即tan()hBE a θα=--.在直角三角形BDE 中, tan()h BE θβ=- ，即tan()tan()hh a θβθα⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴tan()tan()tan()tan()a h θβθαθβθα--=---.在直角三角形CDE 中,[]tan()tan()sin sin tan()tan()h a CD θβθαθθθβθα--==--- ．4.已知双曲线的方程为221696418890x y x y -++-=.(1)求它的两个焦点的坐标.(2)一个圆通过这两个焦点并且与x 轴交于两点,这两点的距离是8.求这个圆的方程.解:(1)已知方程变形得2216(2)9(1)144x y +--=，即22(2)(1)1916x y +--=．令2,1x x y y ''+=-=,得221916x y ''-=， ∴这条双曲线的两个焦点在新坐标系中的坐标分别为(5,0),(5,0)-，且双曲线的两个焦点在旧坐标系中的坐标分别为 12(7,1),(3,1)F F -.(2)如图, 12,F F 为双曲线的两个焦点,为圆与x 轴的两个交点, C 为圆心.因为过C 点与x 轴垂直的直线必平分线段12F F ,且平分线段AB ,所以C 点的横坐标为7322-+=-，且4AM BM ==. 设圆心坐标为(2,)C t -，半径为r ，则在AMC Rt ∆中，2216r t =+. 由圆C 经过焦点12,F F 得()2222(7)(1)r t =---+-，即22226r t t =-+，∴2216226t t t +=-+， ∴5t =，∴r =∴圆的方程为22(2)(5)41x y ++-=.5. 解:设0,0u v ，则221,1x u y v =-=-， ∴原方程组可转化为22223, (1)2()180.(2)u v u v u v +=⎧⎨-++=⎩ 由（2）得2222()4180u v u v u v -+++=，即2240u v uv +=，0uv =，或40uv =-<（舍去）.解方程组3,0u v uv +=⎧⎨=⎩得0,3u v ==，或3,0u v ==，即1,8,x y =-⎧⎨=⎩或9,1.x y =⎧⎨=-⎩检验知原方程组的解是1,8,x y =-⎧⎨=⎩9,1.x y =⎧⎨=-⎩ 注：本题的解法较多，在此不一一列举. 6.解: （1）为边长可这三个数中，任意两个数的和大于第三个数即可.∵,,a b c 是三角形是△ABC 的三边， ∴b c a +>，∴2b c b c a =++>+>，>同理可证>>∴以为边长可以作一个三角形.（2）∵是三角形A B C '''∆的三边长，∴cos A '=.(3)不失一般性可以认为a b c ≥≥,并且至少有一个不等号成立.由于较大的数的算术≥ 如果△ABC 与A B C '∆相似，那么△ABC 中的大边与A B C '''∆中的大边必为对应边，由相似三角形对应边成比例得==a b c ==. 这与△ABC 不是正三角形相矛盾.。
1963年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试数学1．已知θ+θθ-θ=θsin cos sin cos ,2求tg 的值解：θ≠θ∴=θcos ,0cos ,2以将原式分子与分母同除tg.223212111sin cos sin cos +-=+-=θ+θ-=θ+θθ-θtg tg 则2．已知复数求i 31+ （1）求它的模及辐角;（2）作出图，把这图反时针方向转1500，求这时的复数解：（1）2)3(1|31|22=+=+i.3,3π=θ∴=θtg （2）由图可知，复数i 31+沿反时针方向转1500后，得到的复数为.3i --3．如图，AB 为半圆的直径， CD ⊥AB ，AB=1，AD:BD=4:1，求CD解：∵AD:BD=4:1， ∴AD=54AB ，BD=51AB 又∵AB=1，∴AD=54，BD=51 在直角△ACD 中，∵CD ⊥AB ， ∴CD 2=AD ·BD=,254 ∴CD=52A B4．在一个二面角内有一点，过这点分别作两个平面的垂线，求证棱垂直于这两条垂线所决定的平面证：∵PA ⊥平面α，∴PA ⊥CD PB ⊥平面β，∴PB ⊥CD故 CD 垂直于由PA ，PB 所决定的平面5．根据对数表求10128.23-的值解：3670.110128.23lg 10128.23lg 101⨯-=-=-570.8,9330.0lg 9330.1390670.011390670.138________===-+=-=x x .10570.8570.81028.23139139101---⨯=⨯=∴6．解方程.02cos sin 3sin =+-x x x 解：,02cos sin 3sin =+-x x x).(6)1()6()1(,21sin ,01sin 2).(4,222,02cos ,0)1sin 2(2cos ,02cos sin 2cos 21为整数由为整数由k k k x x x k k x k x x x x x x x k k π-+π=π--+π=-==+π±π=π±π===+=+⋅+ 7．在实数范围内解⎩⎨⎧=+=--)2(3)1(1222 x xy y xy x 解：,0352)2(3)1(222=--+⨯y xy x 得A P D α E Bβ C⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===±=-=±=±==-==∴=+-∴.2,1;22,223.1,2),1(2.223,22),1(3.2,3,0)2)(3(2211y x y x x y yx x y y x yx y x y x y x 为经检验可得方程组的解解得代入将解得代入将8．已知1、2、3、4、7、9六个数， （1）可以组成多少没有重复数字的五位数; （2）其中有多少个是偶数; （3）其中有多少个是3的倍数解：（1）没有重复数字的五位数共有72056=P （个）（2）由这六个数组成的五位数要为偶数，其末位数字只能是2和4，故末位数的取法有12C 种，当末位数字取定后，其余四位数字的取法只有4445P C ⋅种由此可得组成的偶数的个数为240444512=⋅⋅P C C （个）（3）五位数要为3的倍数，必须组成它的数字的和是3的倍数，这里只有1、3、4、7、9五个数字的和是3的倍数，故共有120!555==P （个）9．已知AB 与圆O 相交于C 、D ，AC=DB ，AE ，BF 为圆O 的切线 求证：△AOE ≌△BOF证：由图可知AE 2=AC ·AD ，BF 2=BD ·BC ，∵AC=DB ，AD=BC ，∴AE 2=BF 2，AE=BF又EO=OF ，∠AEO=∠BFO=900， ∴△AOE ≌△BOF10．半径为1的球内切于圆锥（直圆锥），已知圆锥母线与底面夹角为θ2（1）求证：圆锥的母线与底面半径的和是;)1(22θ-θtg tg（2）求证：圆锥全面积是;)1(22θ-θπtg tg （3）当θ是什么值时，圆锥的全面积最小？ 证（1）过球心O 与直圆锥底面的中心O 1作一平面与圆锥和球的截面如图因此，△SAB 为等腰三角形联OB ，则∠OBO 1=θ设圆锥母线长为l ，底面半径为R ， 则,2cos R l =θ⋅θ=2cos Rl 又,1,11θ==∠tg R R OBO tg 即BC DSA O 1 B.)1(2121sin cos cos 212cos 2cos 11)2cos 11(112cos 1,2cos 122222θ-θ=θ-⋅θ=θ-θθ⋅θ=θθ+⋅θ=θ+θ=θ+θ⋅θ=+∴θ⋅θ=∴tg tg tg tg tg tg tg tg tg R l tg l（2）圆锥的全面积=)(R l R +π.)1(2)1(21222θ-θπ=θ-θ⋅θ⋅π=tg tg tg tg tg（3）在圆锥全面积的表达式中，因其分子为常数，所以欲使全面积最小，必须使其分母最大.22),(,22,012,)1(,.)12(4141)1(2222222arctg tg tg tg tg tg tg tg =θ=θ=-θθ-θ-θ-=θ-θ所以仅取正号因必为锐必须最大欲使因此 故当θ取值22arctg =θ时，圆锥的全面积最小。
数学试卷62年普通高等国统一考数学试题及答案
1962年普通高等学校招生全国统一考试数学1．某工厂第三年产量比第一年增长21%，问平均每年比上一年增长百分之几？又第一年的产量是第三年的产量的百分之几？（精确到1%）解：设平均每年增长%x ，则得.10%,211%)1(2=+=+x x又%,83121100%2111≈=+=第二年产量第一年产量故该工厂平均每年比上一年增长10%，第一年的产量是第三年的产量的83%2．求5)21(i -的实部解：显然，5)21(i -的实部是由包含i 的零次方及包含i 的偶次方的各项所组成，故所求之实部为.41)2()2(44522505=-+-+i C i C C3．解方程).92lg(2lg 2)3lg()5lg(-=-++-x x x 解：),92lg(4)3)(5(lg-=+-x x x .7,,092,05,3.7,3,02110,924)3)(5(2=<-<-====+--=+-x x x x x x x x x x x 原方程的解为故不是原方程的解无意义使时当4．求)54arcsin 2sin(的值解：设),900(54arcsin ︒<α<︒α=则.53)54(1sin 1cos ,54sin 22=-=α-=α=α.252453542cos sin 22sin 54arcsin 2sin(=⨯⨯=αα=α=∴5．求证：（1）圆内接平行四边形就是矩形;（2）圆外切平行四边形就是菱形证：（1）设ABCD 为圆的内接平行四弧相等， ∴AB=DCAD+AB ）=圆周， AD+AB=半圆周， ∠C=900， ∴ABCD 为矩形（2）设ABCD 为圆外切平行四边形（如图） 由于圆的外切四边形的每组对边的和相等，∴AD+BC=AB+DC但AD=BC ，AB=DC ， ∴2AD=2AB ，AD=AB 故ABCD 为菱形6．解方程组⎩⎨⎧+==+--a x y y x y 01242并讨论a 取哪些实数时，方程组BDC B（1）有不同的两实数解; （2）有相同的两实数解; （3）没有实数解解：由②得 a y x -=③ 将③代入①得⎩⎨⎧--+=---=⎩⎨⎧-+=--+=--±=-±=+-±==+-=+---.223,223:223,223.223,2232)14(4366,0)14(6,012)((4221122a y a a x a y a a x a a x a a y a y y y a y y 即方程组的解为讨论：（1）当2,02<>-a a 即时，方程组有不同的两实数解;（2）当2,02==-a a 即时，方程组有相同的两实数解; （3）当2,02><-a a 即时，方程组没有实数解7．已知D 为△ABC 内的一点，AB=AC=1，∠BAC=630，∠BAD=270，求DC （精确到小数点后两位，4540.027sin =︒）解：∠ADB=1800-（330+270）=1200 根据正弦定理，得,327sin 2120sin 27sin ︒⋅=︒︒⋅=AB AD又∠CAD=630-330=300， 由余弦定理可得A330 D 270 B C.61.036668.0.3668.04540.0213)4540.0(423327sin 221327sin 430cos 22222≈=∴=⨯-+=⋅︒⋅-+︒=︒⋅⋅-+=DC AC AD AC AD DC8．已知ABCD ，A ＇B ＇C ＇D ＇都是正方形（如图），而A ＇、B ＇、C ＇、D ＇分别把AB 、BC 、CD 、DA 分为m:n ，设AB=1（1）求A ＇B ＇C ＇D ＇的面积; （2）求证A ＇B ＇C ＇D ＇的面积不小于.21解（1）：设AA ＇mt =，A ＇B nt = 又.1,1nm t nt mt +=∴=+ 在直角△D ＇AA ＇中，2222222222)(tn m t n t m A A A D A D +=+='+'=''而正方形A ＇B ＇C ＇D ＇的面积=.)()(2222222n m n m t n m A D ++=+=''证（2）：0)(2)()(2)()(221)(222222222≥+-=++-+=-++n m n m n m n m n m n m n m .21)(222≥++∴n m n m 9．由正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 作这正方体的对角线A 1C 的垂线，垂足为E ，证明A 1E:EC=1:2证：设正方体的棱长为1，连接AC ，则AC=2D C ＇ CD B ＇ A A ＇ B∵为直角△A 1AC 的斜边A 1C 上的高，∴A 1E ·A 1C=AA 12， EC ·A 1C=AC 2两式相除，得,21)2(122211===AC AA EC E A ∴A 1E:EC=1:2.10．求证两两相交而不过同一点的四条直线必在同一个平面内证：第一种情形：四条直线一点，这时4321,,,l l l l 没有三条直线过同它们共有六个交点A 、B 、C 、D 、E 、F ，它于点A ，可决们各不相同因直线21,l l 相交定一平面α;因点B 、C 、D 、E 均在平面α内，所以直线43,l l 也在平面α内，故直线4321,,,l l l l 同在平面α内第二种情形：四条直线4321,,,l l l l 中有三条，例如,,,321l l l 过同一点A 线4l 不过点A ，故由点A 及直线4l 可决定一平面α因直线4l 与直线,,,321l l l 相交，设交点为B 、C 、D ，则点B 、C D 在直线4l 上，从而在平面α内，因此，直线,,,321l l l 各有两点在平面α内，即这三条直线在平面α内，故四直线4321,,,l l l l 在同一平内D 1 C 1 A 1 B 1E D C A B123古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
四十年前高考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共20分）1. 若方程 \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) 的两个根分别为 \( x_1 \) 和 \( x_2 \)，则 \( x_1 + x_2 \) 等于：A. 2B. 4C. 3D. 12. 下列函数中，在其定义域内单调递减的是：A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = 2x \)C. \( f(x) = -x^2 \)D. \( f(x) = x^3 \)3. 若 \( \sin A = \frac{3}{5} \)，且 \( A \) 为锐角，则 \( \cos A \) 等于：A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{5} \)C. \( \frac{5}{4} \)D. \( \frac{5}{3} \)4. 若 \( a, b, c \) 为等差数列，且 \( a + b + c = 18 \)，则 \( 3a + 3b + 3c \) 等于：A. 54B. 27C. 18D. 95. 下列不等式中，恒成立的是：A. \( x^2 + 1 > 0 \)B. \( x^2 - 1 < 0 \)C. \( x^2 + 1 < 0 \)D. \( x^2 - 1 > 0 \)二、填空题（每小题4分，共16分）6. 若 \( \sqrt{3} + \sqrt{2} = a \)，则 \( a^2 - 2\sqrt{3} \) 等于______。
7. 若 \( \sin A = \frac{1}{2} \)，且 \( A \) 为锐角，则 \( \tan A \) 等于______。
8. 已知等比数列 \( a_1, a_2, a_3, \ldots \) 的公比为 \( q \)，若 \( a_1 = 2 \)，\( a_3 = 8 \)，则 \( q \) 等于______。
9. 若 \( \triangle ABC \) 中，\( \sin A = \frac{1}{2} \)，\( \sin B =\frac{\sqrt{3}}{2} \)，则 \( \sin C \) 等于______。
1961年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案
1961年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数解：设所求的项是第r+1项，则.9602,7.)(2773710810101x x C T r x C T r rr r -=-=∴=-=-+今故在求二项式10)2(x -展开式里含7x 项的系数为-960乙、解方程),12lg(lg 2+=x x解：原方程即,12),12lg(lg 22+=+=x x x x 即.3,4:,012212-===--x x x x 解得但32-=x 使原对数方程无意义，应舍去，故方程的解为x=4丙、求函数51--=x x y 的自变量x 的允许值解：要使函数y 有意义，必须,0501≠-≥-x x 及 故自变量的允许值为.5,51><≤x x丁、求125sin12sinπ⋅π的值 解：)122sin(12sin 125sin 12sin π-π⋅π=π⋅π.416sin 2112cos 12sin =π=ππ=戊、一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm ，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含1500（如图），求这个截面上有水部分的面积（取14.3=π） 解：⊙O 的面积=)(14422cm OA π=⋅π 扇形OACB 的面积C=)(601443601502cm π=π⋅ △OAB 的面积=︒⋅⋅⋅150sin 21OB OA)(36211212212cm =⋅⋅⋅= ∴弓形ACB 的面积)(4.1523614.36036602cm =-⨯≈-π= 故截面有水部分的面积为24.152cm己、已知△ABC 的一边BC 在平面M 内，从A 作平面M 的垂线，垂足是A 1设△ABC 的面积是S ，它与平面M 组成的二面角等于)900(︒<α<︒α，求证：△A 1BC 的面积=⋅cos S证：在△ABC 中，作AD ⊥BC ， 垂足为D ，联结A 1D ，A 1B ，A 1C 因AD ⊥BC ，由三垂线定理可得A 1D ⊥BC ，所以∠ADA 1为平面ABC 与平面M 所构成的二面角的平面角，∴∠ADA 1=α在△AA 1D 中，A 1D=AD ·αcos∴△A 1BC 的面积=α⋅⋅⋅=⋅⋅cos 21211BC AD BC D A=△ABC 的面积·αcos =S ·αcos2．一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？ACB解：设原计划第一年生产x 千台，第二年生产x+y 千台， 第二年生产x+2y 千台，根据题意可得如下方程组：)(1,2,2)1()2()2(2)1()]2()([2112)()12()(2122不合题意得代入将-==∴+=⎩⎨⎧+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++-++=-+y y y y y x x y y x y x x y x yx y x y x x x y x ΛΛΛΛΛΛΛ将y=2代入（2）得x=4.故原计划生产机器的台数为：第一年4000台，第二年6000台，第三年8000台3．有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面容积是多少立方厘米？解：圆台上底周长=)(1845251cm π=⋅π⋅ 圆台下底周长=)(3075251cm π=⋅π⋅圆台上底半径)(9218cm r =ππ=圆台下底半径)(15230cm r =ππ=圆台的母线长)(3045751cm A A l =-==圆台的高)(612)915(3022cm h =--=圆台体积)(322rR R r h V ++π=A 1 O 1B 1A B C O)(61764)135159(3612322cm π=++⋅π=故水桶的容积是61764cm π4．在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的650南300米的地方，在A 测得山顶的仰角是300，求山高（精确到10米，94.070sin =︒）解：设山高MN=h ∠ABN=1800-（650+450）=700 由正弦定理得.294.030045sin 70sin ⨯⨯=︒︒⋅=AB AN在直角△ANM 中，)(2304495.29469433294.030030米≈⨯≈=⨯⨯⨯=︒⋅=tg AN h故山高约为230米5．两题任选一题甲、k 是什么实数时，方程x 2-(2k+3)x+3k 2+1=0有实数根？ 解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式.41,043,0)13(4)]3(2[,042222≤≤-∴≤--≥+-+-≥-=∆k k k k k ac b 即所以 故当41≤≤-k 时，原方程有实数根乙、设方程02cos 2)sin 8(82=α++α-x x 的两个根相等，求解：根据一元二次方程有等根的条件，判别式M 300 N 450 600 A B).(3.23sin ,43sin ,022cos sin 2,02cos 3264sin 64,0)2cos 2(84)sin 8(,0422222为整数由此得所以k k ac b π±π=α±=α=α=-α-α=α--α=α+⋅⋅-α-=-=∆。
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1961年全国统一高考数学试卷一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）（1961•全国）求二项式（2﹣x）10展开式里含x7项的系数．2．（10分）（1961•全国）解方程2lgx=lg（x+12）．3．（10分）（1961•全国）求函数y=的自变量x的允许值．4．（10分）（1961•全国）求sin的值．5．（10分）（1961•全国）一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含150°（如图），求这个截面上有水部分的面积（取π=3.14）．6．（10分）（1961•全国）已知△ABC的一边BC在平面M内，从A作平面M的垂线，垂足是A1，设△ABC的面积是S，它与平面M组成的二面角等于α（0°＜α＜90°），求证：△A1BC的面积=S•cosα．7．（10分）（1961•全国）一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？8．（10分）（1961•全国）有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面，求这水桶的容积是多少立方厘米？9．（10分）（1961•全国）在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高（精确到10米，sin70°=0.94）．10．（10分）（1961•全国）两题任选一题：（1）k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？（2）设方程8x2﹣（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．1961年全国统一高考数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，共100分）1．（10分）（1961•全国）求二项式（2﹣x）10展开式里含x7项的系数．【考点】DA：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为7得展开式里含x7项的系数【解答】解：设所求的项是第r+1项，则T r=C10r210﹣r（﹣x）r．+1今r=7，∴T8=﹣C10723x7=﹣960x7．故在求二项式（2﹣x）10展开式里含x7项的系数为﹣960．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．2．（10分）（1961•全国）解方程2lgx=lg（x+12）．【考点】4H：对数的运算性质．【专题】11 ：计算题．【分析】由对数函数的运算法则，把原式转化为lgx2=lg（x+12），由此得到x2﹣x ﹣12=0，解出的根要进行检验，由此可得到原方程的解．【解答】解：原方程即lgx2=lg（x+12），即x2=x+12，x2﹣x﹣12=0，解得：x1=4，x2=﹣3，但x2=﹣3使原对数方程无意义，应舍去，故方程的解为：x=4．【点评】本题考查对数的运算性质和应用，解题时要注意验根．3．（10分）（1961•全国）求函数y=的自变量x的允许值．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11 ：计算题．【分析】根据二次根式被开方数要为非负数及分母不为0可得x的范围．【解答】解：要使函数y有意义，必须x﹣1≥0及x﹣5≠0，故自变量的允许值为[1，5）∪（5，+∞）【点评】考查学生理解函数定义域及掌握求法的能力．4．（10分）（1961•全国）求sin的值．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GO：运用诱导公式化简求值．【专题】11 ：计算题．【分析】先利用诱导公式把sin转换才cos进而用倍角公式化简整理，利用特殊角的三角函数值求得结果．【解答】解：=．【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值和倍角公式的应用．在运用诱导公式的时候要注意三角函数值的正负．5．（10分）（1961•全国）一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含150°（如图），求这个截面上有水部分的面积（取π=3.14）．【考点】G8：扇形面积公式．【专题】11 ：计算题．【分析】先求截面圆的面积，再求扇形的面积，再解三角形面积，最后解弓形面积即可．【解答】解：⊙O的面积=π•OA2=144π（cm2）扇形OACB的面积=△OAB的面积==∴弓形ACB的面积=60π﹣36≈60×3.14﹣36=152.4（cm2）故截面有水部分的面积为152.4cm2【点评】本题考查扇形的面积公式，是基础题．6．（10分）（1961•全国）已知△ABC的一边BC在平面M内，从A作平面M的垂线，垂足是A1，设△ABC的面积是S，它与平面M组成的二面角等于α（0°＜α＜90°），求证：△A1BC的面积=S•cosα．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；L#：三垂线定理．【专题】14 ：证明题．【分析】由题意及所给的图形，利用三垂线定理及二面角平面角的概念和三角形的面积公式即可得证．【解答】证明：在△ABC中，作AD⊥BC，垂足为D，连接A1D，A1B，A1C，因AD⊥BC，由三垂线定理可得A1D⊥BC，所以∠ADA1为平面ABC与平面M所构成的二面角的平面角，∴∠ADA1=α在△AA1D中，A1D=AD•cosα∴△A1BC的面积=•AD•BC•cosα=△ABC的面积•cosα=S•cosα．【点评】此题重点考查了利用三垂线定理，借助二面角平面角的概念及三角形的面积公式得到以后常用的利用投影面积法求解二面角的大小这一常用的方法．7．（10分）（1961•全国）一机器制造厂的三年生产计划每年比上一年增产的机器台数相同，如果第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分率相同，而且第三年生产的台数恰等于原计划三年生产总台数的一半，原计划每年生产机器多少台？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】12 ：应用题．【分析】先设出第一年的台数x，第二年的台数x+y，则第三年的台数为x+2y．找出原题中的两个等量关系，列出两个方程，求出解可得．【解答】解：设原计划第一年生产x千台，第二年生产x+y千台，第二年生产x+2y千台，根据题意可得如下方程组：将（2）代入（1）得y2=y+2，∴y1=2，y2=﹣1（不合题意）将y=2代入（2）得x=4．故原计划生产机器的台数为：第一年4000台，第二年6000台，第三年8000台．【点评】考查学生列方程及解方程的能力8．（10分）（1961•全国）有一块环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，用它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面，求这水桶的容积是多少立方厘米？【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11 ：计算题．【分析】本题考查的知识点是圆台的体积与表面积计算，由环形铁皮，它的内半径是45厘米，外半径是75厘米，我们可以求出它的五分之一（如图中阴影部分）作圆台形水桶的侧面时，对应圆台的上下底面半径及母线长，进行求出圆台的高，代入圆台的体积公式即可求解．【解答】解：圆台上底周长=圆台下底周长=圆台上底半径圆台下底半径圆台的母线长l=A1A=75﹣45=30（cm）圆台的高圆台体积=故水桶的容积是．【点评】圆台体积，当r=0时，它可以变形为圆椎的体积公式，当r=R时，它可以变形为圆柱的体积公式．9．（10分）（1961•全国）在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的西偏南65°距离为300米的地方，在A测得山顶的仰角是30°，求山高（精确到10米，sin70°=0.94）．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．【分析】先设山高MN=h，依题意可得∠ABN，由正弦定理可求得AN，在直角△ANM中，h=AN•tan30°答案可得．【解答】解：设山高MN=h，∠ABN=180°﹣（65°+45°）=70°，由正弦定理得．在直角△ANM中，h=AN•tan30°=300×0.94×=≈94×2.4495≈230（米）故山高约为230米．【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．属基础题．10．（10分）（1961•全国）两题任选一题：（1）k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？（2）设方程8x2﹣（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】16 ：压轴题．【分析】根据一元二次方程的根的情况取决于△的取值．【解答】（1）解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式△=b2﹣4ac≥0，所以[﹣（2k+3）]2﹣4（3k2+1）≥0，即8k2﹣12k﹣5≤0，∴≤k≤．故当≤k≤时，原方程有实数根．（2）解：根据一元二次方程有等根的条件，判别式△=b2﹣4ac=0，所以（﹣8sinα）2﹣4•8•（2+cos2α）=0，64sin2α﹣64﹣32cos2α=0，2sin2α﹣cos2α﹣2=0，．【点评】二次方程仍是高中研究的一个重点，本题中就有和三角函数衔接的综合考查．考点卡片1．函数的定义域及其求法【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．2．对数的运算性质【知识点的认识】对数的性质：①=N；②log a a N=N（a＞0且a≠1）．log a（MN）=log a M+log a N；log a=log a M﹣log a N；log a M n=nlog a M；log a=log a M．3．根据实际问题选择函数类型【知识点的知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题（1）数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．（2）常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y=kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y=kx（k＞0）．②反比例函数模型：y=（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y=a•b x+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y=m log a x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y=a•x n+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y=ax2+bx+c （a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．（2）过程：如下图所示．【典型例题分析】典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y=0.025x B．y=1.003x C．y=l+log7x D．y=x2分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%=x，A中，函数y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；B中，函数y=1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；C中，函数y=l+log7x，易知满足①，当x=1000时，y取最大值l+log71000=4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故满足公司要求；D中，函数y=x2，易知满足①，当x=400时，y＞5不满足公司要求；故选C点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x=（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润=销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本=固定费用+生产费用）分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．解答：解：（1）由题意：3﹣x=，且当t=0时，x=1．所以k=2，所以3﹣x=，…（1分）生产成本为32x+3，每件售价，…（2分）所以，y=…（3分）=16x﹣=，（t≥50）；…（2分）（2）因为当且仅当，即t=7时取等号，…（4分）所以y≤50﹣8=42，…（1分）答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．【解题方法点拨】用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：（1）解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y=f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y=f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．（2）解函数关系未知的应用题①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．4．一元二次不等式及其应用【概念】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0 或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【特征】当△=b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△=b2﹣4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△=b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c=0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【实例解析】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c ＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【一元二次不等式的常见应用类型】①一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．②分式不等式问题：＞0⇔f（x）•g（x）＞0；＜0⇔f（x）•g（x）＜0；≥0⇔；≤0⇔．5．二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n=C n i a i•b n﹣i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．例1：用二项式定理估算1.0110= 1.105．（精确到0.001）解：1.0110=（1+0.01）10=110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．解：由题意T8=C107×=120×3i=360i．故答案为：360i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．【性质】1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：①；②；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C n r；（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n．3、二项式系数的性质．（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．6．扇形面积公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l=rα，扇形的面积为S=lr=r2α．【命题方向】扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α=1或α=4．选C．【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l=αR；②S=lR；③S=αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．7．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α=1．（2）商数关系：=tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）=sin α，cos（α+2kπ）=cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）=﹣sin_α，cos（π+α）=﹣cos_α，tan（π+α）=tan α．公式三：sin（﹣α）=﹣sin_α，cos（﹣α）=cos_α．公式四：sin（π﹣α）=sin α，cos（π﹣α）=﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）=cosα，cos（﹣α）=sinα．公式六：sin（+α）=cosα，cos（+α）=﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C：cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；（α﹣β）：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ；（2）C（α+β）：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：tan（α+β）=．（5）T（α+β）（6）T：tan（α﹣β）=．（α﹣β）4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α=2sin_αcos_α；（2）C2α：cos 2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α=．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．8．运用诱导公式化简求值【知识点的认识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．9．三角形中的几何计算【知识点的知识】1、几何中的长度计算：（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：①已知两角和任一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判断三角形的形状；③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．2、与面积有关的问题：（1）三角形常用面积公式①S=a•h a（h a表示边a上的高）；②S=ab sin C=ac sin B=bc sin A．③S=r（a+b+c）（r为内切圆半径）．（2）面积问题的解法：①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．3、几何计算最值问题：（1）常见的求函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：①当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．②当角度在90°～180°间变化时，正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．10．三垂线定理【知识点的认识】射影：自一点P向平面α引垂线，垂足P1叫做P在平面α内的正射影（简称射影）．如果图形F上所有的点在一平面内的射影构成图形F1，则F1叫作图形F在这个平面内的射影．1．三垂线定理及其逆定理（1）三垂线定理：在平面内的一条直线（a），如果和这个平面的一条斜线（PO）的射影垂直，那么它也和这条斜线（PO）垂直．推理过程：（2）三垂线逆定理：在平面内的一条直线（a），如果和这个平面内的一条斜线（PO）垂直，那么它也和这条斜线的射影（AO）垂直．⇒a⊥AO2．三垂线定理实质三垂线定理实质是空间两条直线垂直的判定，把空间垂直转化为相交垂直，起到“降维”作用．3．三垂线定理包含的垂直关系（1）线面垂直：直线和平面垂直；（2）线射垂直：平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直；（3）线斜垂直：平面内的直线和平面的一条斜线垂直．【解题思路点拨】运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影，而确定射影的关键又是“垂足”，如果“垂足”定了，那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影．用三垂线定理证明a⊥b的步骤：一垂，二射，三证．（1）找平面（基准面）及平面垂线；（2）找射影线，这时a、b成平面上的一条直线与一条斜线；（3）证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直．【命题方向】三垂线定理和三垂线逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．11．棱柱、棱锥、棱台的体积【知识点的知识】柱体、锥体、台体的体积公式：V柱=sh，V锥=Sh．12．二面角的平面角及求法【知识点的知识】1、二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l 上的点O．3、二面角的平面角求法：（1）定义；（2）三垂线定理及其逆定理；①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延长（展）线（面）法；（5）射影公式；。