2017_2018学年高中数学第三章统计案例3.2独立性检验的基本思想及其初步应用学案含解析新人教A版选

3.2 立性检验的基本思想及其初步应用问题1：患色盲与性别有关系吗？提示：有．问题2：通过怎样比较看出患色盲与性别有关系？提示：通过患色盲的人数占性别类型的比例．1．分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为：3.K2统计量为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝n ad－bc 2a＋b c＋d a＋c b＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．4．独立性检验利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．1．2×2列联表的特征2．在列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.因此|ad－bc|越小，说明两个分类变量之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个分类变量之间的关系越强.吸烟与患肺癌“列联表”中，事件A表示不吸烟，B表示不患肺癌．问题1：事件A，B发生的频率可求吗？提示：可以．问题2：通常情况下，为研究问题方便，常用什么近似于概率？提示：频率．问题3：事件A，B无关有怎样的概率公式？提示：P(AB)＝P(A)P(B)．独立性检验的思想：要确定“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．在该假设下我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2观测值k很大，那么在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过可信度表评价该假设不合理的程度，即“两个分类变量有关系”的可信程度．1．P(K2≥6.635)≈0.01表明H0成立的概率很小，是小概率事件，可以判断H0不成立，也就是“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过0.01，也可以理解为“有99%的把握认为两个分类变量之间有关系”．2．利用独立性检验解决问题的基本步骤：(1)根据相关数据作列联表；(2)求K2的观测值；(3)与临界值作比较，得出结论．426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．作列联表如下：相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．进行独立性检验的前提是根据题中数据获得2×2列联表，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，即将aa ＋b 与cc ＋d(或ba ＋b 与dc ＋d)的值相比，由此能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但是此方法较粗劣．为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：解：等高条形图如下：由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．将2×2列联表中的数据代入公式计算，得k＝n ad－bc 2a＋b c＋d a＋c b＋d＝100× 60×10－20×10 270×30×80×20＝10021≈4.762.由于4.762>3.841，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．根据题意列出2×2列联表，计算K2的观测值，如果K2的观测值很大，说明两个分类变量有关系的可能性很大；如果K2的观测值比较小，则认为没有充分的证据显示两个分类变量有关系．这需要给出正确的计算，避免计算失误．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？解：根据题意，列出2×2列联表如下：由公式可得K2的观测值k＝n ad－bc 2a＋b c＋d a＋c b＋d＝89 24×26－31×8 255×34×32×57≈3.689>2.706，故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”.4.独立性检验与统计的综合应用(12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．表1 A类工人生产能力的频数分布表表2 B类工人生产能力的频数分布表(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系.(1)∵从该工厂的工人中抽取100名工人，且该工厂中有250名A 类工人，750名B 类工人，∴要从A 类工人中抽取25名，从B 类工人中抽取75名，(2分)∴x ＝25－8－3－2＝12，y ＝75－6－27－18＝24.(4分)(2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：6分由列联表中的数据，得K 2的观测值为k ＝100× 20×45－5×30 225×75×50×50＝12＞10.828.(10分)因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系．(12分)要确定x ，y 的值，应先确定A 类工人及B 类工人中应各抽取多少人，此处易误认为x ＝25，y ＝75，从而导致解题错误.此处易犯错误有两点：①计算失误；②将公式中的数据搞错.某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下面2×2列联表：(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？请写出简要分析．解：(1)2×2列联表如下：(2)因为K 2＝30× 8－128212×18×20×10＝10>6.635，P (K 2>6.635)＝0.01.所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．1．下面是一个2×2列联表：则表中a ，b A ．94,96 B ．52,50 C ．52,54D ．54,52解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋21＝73，a ＋2＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝54.2．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：文化程度与月收入列联表(单位：人)由上表中数据计算得K 2的观测值k ＝105× 10×30－45×20255×50×30×75≈6.109，请估计有多少把握认为文化程度与月收入有关系( )A ．1%B ．99%C ．2.5%D ．97.5%解析：选D 由于6.109>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，即有97.5%的把握认为文化程度与月收入有关系．3．独立性检验所采用的思路是：要研究A ，B 两类型变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此无关，在此假设下构造随机变量K 2，如果K 2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设不成立．4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：①若K 2的观测值k >6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．(填序号)解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．答案：③5．下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表(单位：分)的一部分，试分析实验效果.附：解：根据列联表中的数据，由公式得K2的观测值k＝n ad－bc 2a＋b c＋d a＋c b＋d＝100 32×38－18×12 250×50×44×56≈16.234.因为16.234＞6.635，所以，在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为高二年级统计案例的测试成绩与高一年级数学教学中增加统计思想的渗透有联系．一、选择题1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是( ) A．2×2列联表B．独立性检验C．等高条形图 D．其他解析：选B A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度；独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．2．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．3．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是( )A．k≥6.635 B．k＜6.635C．k≥7.879 D．k＜7.879解析：选C 有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表2表3表4A ．成绩B ．视力C ．智商D ．阅读量解析：选D 根据列联表中的数据，由公式得K 2的观测值： k 1＝52× 6×22－14×10 216×36×32×20＝52×8216×36×32×20，k 2＝52× 4×20－16×12 216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，k 3＝52× 8×24－12×8 216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，k 4＝52× 14×30－6×2 216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有k 4>k 2>k 3>k 1，所以阅读量与性别关联的可能性最大．5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d算得，观测值k ＝110× 40×30－20×20 260×50×60×50≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析：选A 由k ≈7.8及P (K 2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．二、填空题6．下列关于K 2的说法中，正确的有________． ①K 2的值越大，两个分类变量的相关性越大； ②K 2的计算公式是K 2＝n ad －bca ＋bc ＋d a ＋c b ＋d；③若求出K 2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；④独立性检验就是选取一个假设H 0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H 0的推断．解析：对于①，K 2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad －bc )应为(ad －bc )2，故②错；③④对．答案：③④7．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的观众抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示.填“是”或“否”)．解析：因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba ＋b ＝1858，dc ＋d ＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．答案：是8．某班主任对全班30名男生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表：不超过________．解析：计算得K2的观测值为k＝30× 12×8－2×8 214×16×20×10≈4.286＞3.841，则推断犯错误的概率不超过0.050.答案：0.050三、解答题9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表：附：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系？解：通过计算K2＝n ad－bc 2a＋b c＋d a＋c b＋d≈113.184 6.而查表可知，因为P(K2≥10.828)≈0.001，而113.184 6远大于10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．10．某校在两个班进行教学方式对比实验，两个月后进行了一次检测，实验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人).(1)求m ，n .(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的情况下认为教学方式与成绩有关系？ 解：(1)m ＝45－15＝30，n ＝50＋50＝100. (2)由表中的数据，得K 2的观测值为 k ＝100× 35×30－15×20 250×50×55×45≈9.091.因为9.091>7.879，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为教学方式与成绩有关系．11．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：(1)有关．(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．解：(1)由公式K 2＝55× 20×20－10×5230×25×25×30≈11.978>7.8709，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．(2)设所抽样本中有m 个“大于40岁”市民，则m 20＝630，得m ＝4人， 所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作B 1，B 2，B 3，B 4，C 1，C 2，从中任选2人的基本事件有(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，B 4)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，(C 1，C 2)，共15个，其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(B 4，C 1)，(B 4，C 2)，共8个，所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为P ＝815.。