(江苏专用)版高考数学一轮复习第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其表面积、体积文【含答案】

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第八章立体几何8.1 空间几何体的结构及其表面积、体积文1．空间几何体的结构特征(1)多面体①棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形．②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形．(2)旋转体①圆柱可以由矩形绕其一边所在直线旋转得到．②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到．③圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．④球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到．2．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用斜二测画法，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．柱、锥、台和球的表面积和体积4.(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． ②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． (2)几个与球有关的切、接常用结论 a ．正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .b ．若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. c ．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. (3)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧ 坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝45°.( × ) (4)圆柱的侧面展开图是矩形．( √ )(5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．( √ ) (6)菱形的直观图仍是菱形．( × )1．(教材改编)下列说法正确的是________． ①相等的角在直观图中仍然相等；②相等的线段在直观图中仍然相等； ③正方形的直观图是正方形；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． 答案 ④解析 由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．故④正确． 2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________ cm. 答案 2解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)．3．(2014·陕西改编)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________． 答案 2π解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.4．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D －ABC 的体积为________． 答案212a 3解析 O 是AC 的中点，连结DO ，BO ，△ADC ，△ABC 都是等腰直角三角形．因为DO ＝BO ＝AC2＝22a ，BD ＝a ，所以△BDO 也是等腰直角三角形．又因为DO ⊥AC ，DO ⊥BO ，AC ∩BO ＝O ，所以DO ⊥平面ABC ，即DO 就是三棱锥D －ABC 的高．因为S △ABC ＝12a 2，所以三棱锥D －ABC 的体积为13×12a 2×22a ＝212a 3.5． 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是__________________________________________．答案 ①解析 平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为2，所以原平面图形为平行四边形，且位于x 轴上的边长仍为1，位于y 轴上的对角线长为2 2.题型一空间几何体的结构特征例1 (1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是________．(2)下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．其中正确结论的序号是________．(3)设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．答案(1)0 (2)③⑤(3)①④解析(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．图1 图2(2)这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错；这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面是显然成立的，③正确；如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，④错；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．(3)命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．思维升华 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体． 其中正确命题的序号是________． 答案 ②③④解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC 1中的三棱锥C 1－ABC ，四个面都是直角三角形．题型二 空间几何体的直观图例2 已知△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，求△ABC 的面积．解 建立如图所示的坐标系xOy ′，△A ′B ′C ′的顶点C ′在y ′轴上，边A ′B ′在x 轴上，把y ′轴绕原点逆时针旋转45°得y 轴，在y 轴上取点C 使OC ＝2OC ′，A ，B 点即为A ′，B ′点，长度不变． 已知A ′B ′＝A ′C ′＝a ，在△OA ′C ′中，由正弦定理得OC ′sin∠OA ′C ′＝A ′C ′sin 45°，所以OC ′＝sin 120°sin 45°a ＝62a ，所以原三角形ABC 的高OC ＝6a ， 所以S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2.引申探究1．若本例改为“已知△ABC 是边长为a 的正三角形，求其直观图△A ′B ′C ′的面积”，应如何求？解 由斜二测画法规则可知，直观图△A ′B ′C ′一底边上的高为32a ×12×22＝68a ， 故其面积S △A ′B ′C ′＝12a ×68a ＝616a 2.2.本例中的直观图若改为如图所示的直角梯形，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则原图形的面积为________．答案 2＋22解析 如图①，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°， ∴BE ＝22.而四边形AECD 为矩形，AD ＝1， ∴EC ＝AD ＝1. ∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴原图形的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.思维升华 用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中与x ′轴或y ′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，C ′D ′＝2 cm ，则原图形是________． ①正方形； ②矩形；③菱形； ④一般的平行四边形． 答案 ③解析 如图，在原图形OABC 中，应有OD ＝2O ′D ′＝2×22＝42(cm)，CD ＝C ′D ′＝2 cm.∴OC ＝OD 2＋CD 2＝22＋22＝6(cm)，∴OA ＝OC ，∴四边形OABC 是菱形． 题型三 求空间几何体的表面积例3 (1)(2014·山东)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 12解析 由题意知该六棱锥为正六棱锥，∴设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1， ∴斜高h ′＝12＋32＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.(2)如图，斜三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b ，侧棱AA ′与底面相邻两边AB 与AC 都成45°角，求此斜三棱柱的表面积． 解 如图，过A ′作A ′D ⊥平面ABC 于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，连结A ′E ，A ′F ，AD . 则由∠A ′AE ＝∠A ′AF ，AA ′＝AA ′，又由题意知A ′E ⊥AB ，A ′F ⊥AC ， 得Rt△A ′AE ≌Rt△A ′AF ， ∴A ′E ＝A ′F ，∴DE ＝DF ， ∴AD 平分∠BAC ，又∵AB ＝AC ，∴BC ⊥AD ，∴BC ⊥AA ′，而AA ′∥BB ′，∴BC ⊥BB ′， ∴四边形BCC ′B ′是矩形，∴斜三棱柱的侧面积为2×a ×b sin 45°＋ab ＝(2＋1)ab . 又∵斜三棱柱的底面积为2×34a 2＝32a 2， ∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)ab ＋32a 2. 思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积．解 (1)设O1、O 分别为正三棱台ABC —A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32，因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3， 则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32. 在Rt△D 1DE 中，D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． 故三棱台斜高为 3 cm.(2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高，S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)， S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台的侧面积为2732 cm 2，表面积为9934 cm 2.题型四 求空间几何体的体积例4 (2015·山东改编)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________． 答案42π3解析 如图，设等腰直角三角形为△ABC ，∠C ＝90°，AC ＝CB ＝2，则AB ＝2 2.设D 为AB 中点，则BD ＝AD ＝CD ＝ 2.∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V ＝2×13×π×(2)2×2＝42π3.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(2014·课标全国Ⅱ改编)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为________． 答案 1解析 在正△ABC 中，D 为BC 的中点， 则有AD ＝32AB ＝3， S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高．∴V 三棱锥A －B 1DC 1＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.题型五 与球有关的切、接问题例5 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．答案132解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线， 则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132. 引申探究1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3. 2．本例若将直三棱柱改为“正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.3．本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为22－122＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． (2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB ＝AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为________．答案 2 解析 由题意知，球心在侧面BCC 1B 1的中心O 上，BC 为△ABC 所在圆面的直径，∴∠BAC ＝90°，△ABC 的外接圆圆心N 是BC 的中点，同理△A 1B 1C 1的外心M 是B 1C 1的中点．设正方形BCC 1B 1的边长为x ，Rt△OMC 1中，OM ＝x 2，MC 1＝x 2，OC 1＝R ＝1(R 为球的半径)， ∴(x 2)2＋(x 2)2＝1，即x ＝2，则AB ＝AC ＝1， ∴S 矩形ABB 1A 1＝2×1＝ 2.15．巧用补形法解决立体几何问题典例 如图：△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5.则此几何体的体积为________．思维点拨 将所求几何体补成一个直三棱柱，利用棱柱的体积公式即可求得该几何体的体积． 解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ·AA ′＝12×24×8＝96.答案 96温馨提醒 (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．[方法与技巧]求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1)转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．(2)求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．[失误与防范]求空间几何体的表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．(2)底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．A组专项基础训练(时间：45分钟)1．给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．答案①2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________．答案10解析 如图，在五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．3．用平面α截球O 所得截面圆的半径为3，球心O 到平面α的距离为4，则此球的表面积为________________________________________________________________________． 答案 100π解析 依题意，设球半径为R ，满足R 2＝32＋42＝25，∴S 球＝4πR 2＝100π.4．(2015·课标全国Ⅰ改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛．答案 22解析 由题意知：米堆的底面半径为163(尺)，体积V ＝13×14πR 2·h ≈3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)．5.如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1＝1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________．答案 2 解析 因为AA 1⊥平面AB 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，所以AA 1⊥AB 1，又知AA 1＝1，A 1B 1＝2，所以AB 1＝22－12＝3，同理可得AC 1＝3，又知在△AB 1C 1中，B 1C 1＝2，所以△AB 1C 1的B 1C 1上的高为h ＝3－1＝2，其面积S △AB 1C 1＝12×2×2＝2，于是三棱锥A —A 1B 1C 1的体积V 三棱锥A —A 1B 1C 1＝V 三棱锥A 1—AB 1C 1＝13×S △AB 1C 1×AA 1＝23，进而可得此三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积V ＝3V 三棱锥A —A 1B 1C 1＝3×23＝ 2. 6．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________． 答案 7解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r＝7.7．(2015·课标全国Ⅱ改编)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________．答案 144π解析 如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥COAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13×S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π.8．(2015·盐城一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为________．答案 932 解析 设等边三角形的边长为2a ，球O 的半径为R ，则V 圆锥＝13·πa 2·3a ＝33πa 3. 又R 2＝a 2＋(3a －R )2，所以R ＝233a ， 故V 球＝4π3·(233a )3＝323π27a 3， 则其体积比为932. 9．(教材改编)已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20 cm 和 30 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高． 解 如图所示，三棱台ABC —A 1B 1C 1中，O 、O 1分别为两底面中心，D 、D 1分别为BC 和B 1C 1的中点，则DD 1为棱台的斜高．由题意知A 1B 1＝20，AB ＝30，则OD ＝53，O 1D 1＝1033， 由S 侧＝S 上＋S 下，得3×12×(20＋30)×DD 1＝34×(202＋302)， 解得DD 1＝1333，在直角梯形O 1ODD 1中， O 1O ＝DD 21－OD －O 1D 12＝43，所以棱台的高为4 3 cm.10.如图所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱A 1A 、CC 1的中点，求四棱锥C 1—B 1EDF 的体积．解 方法一 连结A 1C 1，B 1D 1交于点O 1，连结B 1D ，EF ，过O 1作O 1H ⊥B 1D于H .∵EF ∥A 1C 1，且A 1C 1⊄平面B 1EDF ，∴A 1C 1∥平面B 1EDF .∴C 1到平面B 1EDF 的距离就是A 1C 1到平面B 1EDF 的距离．∵平面B 1D 1D ⊥平面B 1EDF ，平面B 1D 1D ∩平面B 1EDF ＝B 1D ，∴O 1H ⊥平面B 1EDF ，即O 1H 为棱锥的高．∵△B 1O 1H ∽△B 1DD 1，∴O 1H ＝B 1O 1·DD 1B 1D ＝66a . ∴VC 1—B 1EDF ＝13S 四边形B 1EDF ·O 1H ＝13·12·EF ·B 1D ·O 1H ＝13·12·2a ·3a ·66a ＝16a 3. 方法二 连结EF ，B 1D .设B 1到平面C 1EF 的距离为h 1，D 到平面C 1EF 的距离为h 2，则h 1＋h 2＝B 1D 1＝2a . 由题意得，VC 1—B 1EDF ＝VB 1—C 1EF ＋VD —C 1EF ＝13·S △C 1EF ·(h 1＋h 2)＝16a 3. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．已知某圆锥体的底面半径r ＝3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是________．答案 36π解析 由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为2πr ＝6π，从而其母线长为l ＝6π2π3＝9，从而圆锥体的表面积为S 侧＋S 底＝12×9×6π＋9π＝36π. 12．三棱锥P —ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D —ABE 的体积为V 1，P —ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.答案 14解析 V 1＝V D —ABE ＝V E —ABD ＝12V E —ABP ＝12V A —BEP ＝12×12V A —BCP ＝12×12V P —ABC ＝14V2.13．已知圆台的母线长为4 cm ，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的12，则这个圆台的侧面积是________cm 2.答案 24π解析 如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，由题意知AC ＝4 cm ，∠ASO ＝30°，O 1C ＝12OA ，设O 1C ＝r ，则OA ＝2r ，又O 1C SC ＝OA SA ＝sin 30°，∴SC ＝2r ，SA ＝4r ，∴AC ＝SA －SC ＝2r ＝4 cm ，∴r ＝2 cm.∴圆台的侧面积为S ＝π(r ＋2r )×4＝24π cm 2.14．(2015·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥EACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积．(1)证明 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD .因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE .故AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)解 设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x2.因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE ⊥平面ABCD ，知△EBG 为直角三角形，可得BE ＝22x .由已知得，三棱锥EACD 的体积V EACD ＝13×12AC ·GD ·BE ＝624x 3＝63.故x ＝2.从而可得AE ＝EC ＝ED ＝ 6.所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5.故三棱锥EACD 的侧面积为3＋2 5.15．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝3，在三角形内挖去一个半圆(圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N )，将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；(2)求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．解 (1)如图，连结OM ，则OM ⊥AB ，设OM ＝r ，OB ＝3－r ，在△BMO 中，sin∠ABC ＝r 3－r ＝12⇒r ＝33.∴S ＝4πr 2＝43π.(2)∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC ＝3，∴AC ＝1.∴V ＝V 圆锥－V 球＝13π×AC 2×BC －43πr 3＝13π×1×3－43π×39＝5327π.。