高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念2学案无答案新人教A版选修2_2
人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念
第一章导数及其应用1.1变化率与导数导数的观点A 级基础稳固一、选择题1． y＝ x2在 x＝ 1 处的导数为 ()A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此y＝ f(1＋x)－ f (1)＝ (1＋x)2－ 1＝ 2x＋ (x)2，所以y＝(2＋x)＝ 2.x答案： B2．一物体运动知足曲线方程s＝4t2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 () A．物体 5 秒内共走过42 米B．物体每 5 秒钟运动42 米C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是42 米/秒D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为42 米分析：由导数的物理意义知，s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在t＝ 5 秒时的刹时速度．答案： D3．设函数 f (x)在点 x0邻近有定义，且有 f(x0＋x)－ f(x0 )＝ a x＋ b(x)2，(a，b 为常数 )，则 ()A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ bC． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b分析：由于 f′(x＝f（ x0＋x）－f（x）＝0)xa x＋ b（x）2＝(a＋ b x)＝ a，因此 f′(xx0)＝a.答案： C4．已知 y＝x＋ 4，则 y′|x1＝ ________．＝555A. 2B. 10C. 5 D．－10分析：由题意知y＝1＋x＋ 4－ 1＋ 4＝5＋x－5，y＋－5＋－5所以＝5x1＝5x＝. 所以 y′|xx x＝xx＝5x （ 5＋ x ＋5） 10.答案： B5．假如某物体做运动方程为s ＝ 2(1－ t 2)的直线运动 (s 的单位为 m ， t 的单位为 s)，那么 其在 1.2 s 末的刹时速度为 ()A ．－ 4.8 m/sB ．－ 0.88 m/sC ． 0.88 m/sD ． 4.8 m/s解 析 ： 运 动 物 体 在1.2s 末 的 瞬 时 速 度 即 为 s 在 1.2 处 的 导数 ， 所 以f （ 1.2＋ t ）－ f （ 1.2）＝t222[1－（ 1.2＋t ） ]－ 2×（ 1－ 1.2 ）＝2(－ 答案： A 二、填空题6．设函数t － 2.4)＝－ 4.8(m/s)．f(x)知足f （ 1）－ f （ 1－ x ）＝－ 1，则 f ′(1)＝ ________．x分析： f （ 1）－ f （ 1－ x ） ＝ f （ 1－ x ）－ f （ 1）＝ f ′(1)＝－ 1.x－ x答案：－ 17．函数 f(x)＝ x 2＋ 1 在 x ＝ 1 处可导，在求 f ′(1)的过程中，设自变量的增量为x ，则函数的增量y ＝ ________．分析：y ＝ f(1＋ x)－ f(1) ＝－ (1 2＋ 1)＝2 x ＋ ( x)2.答案： 2 x ＋ (x)28．某物体做匀速直线运动，其运动方程是 s ＝ vt ，则该物体在运动过程中其均匀速度与任何时辰的刹时速度的大小关系是________．s （ ＋t ）－ s （ t ）分析： v 0＝＝ s t 0＝ttv （ t 0＋ t ）－ v （ t 0）＝v tt＝ v.t答案：相等三、解答题19．利用导数的定义，求函数y ＝ x 2＋ 2 在点 x ＝ 1 处的导数． 解：由于y ＝ 1 2＋2 － 1 ＝（ x ＋ x ） x 2＋ 2－ 2x x －（x ） 2，因此y ＝－ 2x － x ，（ x ＋ x ） 2· x 2 x （ x ＋ x ） 2· x 2因此 y ′＝y ＝ － 2x － x2＝－ 23，（ x ＋2xx ） · xx因此 y ′|x ＝1＝－ 2.10．在自行车竞赛中，运动员的位移与竞赛时间t 存在关系 s(t)＝ 10t ＋ 5t 2(s 的单位是 m ，t 的单位是 s)．(1)求 t ＝ 20，t ＝ 0.1 时的s 与s ；t(2)求 t ＝ 20 时的速度．解： (1) 当 t ＝ 20， t ＝ 0.1 时，s ＝ s(20＋ t)－ s(20)＝ 10(20＋ 0.1)＋ 5(20＋ 0.1)2－ (10 ×20＋ 5× 202)＝ 1＋ 20＋ 5×0.01＝21.05.因此s 21.05 ＝ 210.5.＝ 0.1ts（ ＋ t）＋（＋ t） 2－ 10t － 5t 2(2)v ＝＝10 t 5 t ＝tt5（t ） 2＋ 10 t ＋ 10tt(5 t ＋ 10＋ 10t)＝ 10＋ 10t ，t＝因此 t ＝ 20 时的速度即为10＋ 10×20＝ 210(m/s)．B 级 能力提高1．某物体运动规律是 s ＝ t 2 － 4t ＋ 5，若此物体的刹时速度为 0，则 t ＝ ()A ．3B ．2.5C ．2D ．1分析： s ＝ (t ＋ t)2－ 4(t ＋t) ＋ 5－ ( t 2－ 4t ＋ 5)＝ 2t t ＋ ( t)2－ 4 t ，由于 v ＝st＝ 2t － 4＝ 0，因此 t ＝ 2.答案： C2．婴儿从出生到第24 个月的体重变化如下图，第二年婴儿体重的均匀变化率为________kg/ 月．分析：第二年婴儿体重的均匀变化率为14.25－ 11.25＝ 0.25(kg/月 )．24－ 12答案： 0.253．若一物体运动方程是 (s 的单位是 m ， t 的单位是 s)3t 2＋ 2（ t ≥3），s ＝29＋ 3（ t － 3） 2（ 0≤t ＜ 3） .求： (1) 物体在 t ∈内的均匀速度；(2) 物体的初速度v 0；(3) 物体在 t ＝ 1 时的刹时速度．解： (1) 由于物体在 t ∈内的时间变化量为t ＝ 5－3＝ 2，物体在 t ∈内的位移变化量为：＝ × 2＋ 2－ (3 ×32＋ 2)＝ 3×(52－ 32s 3 5 )＝ 48，因此物体在 t ∈上的均匀速度为 s 48 ＝ 24(m/s)．＝ 2t (2) 求物体的初速度 v 0 即求物体在 t ＝ 0 时的刹时速度．由于物体在 t ＝ 0 邻近的均匀变化率为s （ ＋）－ （ ） ＝＝ ftftt29＋ 3[（ 0＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 0－ 3） 2＝ 3t － 18.t因此物体在 t ＝ 0 处的刹时变化率为，s (3 t － 18)＝－ 18，t ＝即物体的初速度为－ 18 m/s.(3)物体在 t ＝ 1 时的刹时速度即为函数在 t ＝ 1 处的刹时变化率．由于物体在 t ＝ 1 邻近的均匀变化率为：s （ ＋ ）－ （ ）＝ f 1 t f 1 ＝ tt29＋ 3[（ 1＋ t ）－ 3]2－ 29－ 3（ 1－ 3） 2t － 12，＝ 3t因此物体在 t ＝ 1 处的刹时变化率为：s ＝ (3 t － 12)＝－ 12.t即物体在 t ＝ 1 时的速度为－ 12 m/s.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.2 导数的概念同步课件 新人教A版选
(3)求极限，得导数 f′(x0)＝
Δy Δx.
[变式训练] (1)设 f(x)＝ax3＋2，若 f′(－1)＝3，则 a ＝( )
A．－1 B.12 C．1 D.13 (2)求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数． (1)解析： 因为 f′(－1)＝ f（－1＋ΔxΔ）x－f（－1）＝
a（ΔxΔ－x1）3＋a＝3a，所以 3a＝3，解得 a＝1. 答案：C
两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.在求解此类问题时要
严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
[正确解答] 因为
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝
[f（x0－3－Δx3） Δ－ x f（x0）·(－3)]＝－3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝－13.
归纳升华 根据已知条件，利用导数定义求函数 y＝f(x)在某一 点 x0 处的导数，关键是牢记导数定义利用已知条件拼凑 出导数定义的形式，从而得到 f′(x0)．
所以
ΔΔst＝
12Δt＋2＝2.
答案：A
类型 2 利用导数的定义求导数
[典例 2] (1)求函数 y＝3x2 在 x＝1 处的导数； (2)求函数 f(x)＝x－1x在 x＝1 处的导数． 解：(1)因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6 Δx＋3(Δx)2， 所以ΔΔxy＝6＋3Δx，
1．瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．若物体运动的 路程与时间的关系式是 s＝f(t)，当Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 之间的平均变化率f（t0＋ΔtΔ）t－f（t0） 趋近于常数，
我们就把这个常数叫做 t0 时刻的瞬时速度．即 v＝
．故瞬时速度就是位移函数对时 间的瞬时变化率．
山东省乐陵市高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 导数图象专项训练(无答案)新人教A版选修2-2
x yO （C ）（D ）x yO x y O xy O 2π44442π2π2π导数图象1. 设函数)(x f 在定义域可导，)(x f y =的图象如图， 则导函数)'的图象可能是A. B. C. D.)x 的导函数，)(x f '的图象如图所示， 则)(x f 的图象只可能是A. B. C. D. 3．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a内有极小值点（ ）A. 1个B.2个C.3个D.4个4．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）5.函数2sin 2xy x =-的图象大致是（ ）O yx)(x f y '=ab yx xy)(x f y =x x xO O O O a a a a b b b babxy)(x f y ?=OO yxy y yy x x x xO O O O6. 若函数)(x f =c bx x ++2的图象的顶点在第四象限，则其导函数)(x f '的图象可能是A. B. C. D.7.如下图，已知32()(0,0)f x ax bx cx d a c =+++>>，则()f x 的图像可以为( )8.已知函数32()f x x ax bx c=+++,下列结论中错误的是（）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B ．函数()y f x =的图像是中心对称图形 C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =9.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是10. 已知函数()y xf x '=的图象如图（1）所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（ ）y x x y )(x f y =xxxO OOO11.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()(1)y x f x '=-的图象如图所示，则关于函数()f x 的下列结论，一定成立的是（ ） A ．()f x 有极大值()2f 和极小值()1f B ．()f x 有极大值()2f -和极小值()1f C ．()f x 有极大值()2f 和极小值()2f - D ．()f x 有极大值()2f -和极小值()2f12.设28ln y x x =-, 则此函数在区间 1(0,)4 和1(,1)2内分别为 A ．单调递增，单调递增 B ．单调递增，单调递减 C ．单调递减，单调递增 D ．单调递减，单调递减 13.若a>1,则函数131)(23+-=ax x x f 在区间（0，2）上恰好有（ ）A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点14. 设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数, '()f x 为其导函数．当0>x 时, 0)(')(>⋅+x f x x f ,且0)1(=f , 则不等式0)(>⋅x f x 的解集为 A ．)1,0()0,1(⋃-B ．),1()0,1(+∞⋃-C ．),1()1,(+∞⋃--∞D ．)1,0()1,(⋃--∞15.设函数f ’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是 （A ） （B ）（C ）（D ）16. 若函数3()33f x x bx b =-+在(2,0)-内有极大值，则实数b 的取值范围是_________17.若函数4)(3+-=bx ax x f ，当2=x 时，函数)(x f 有极值34-，（1）求函数的解析式； （2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围．18.设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3（1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)练习新人教A版选修2_2
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D.y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1， 所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C.法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．(2018·郑州高二检测)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C.因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x，又x >0，所以f ′(x )>0即x－2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3 C ．－e 2D ．－e 3解析：选A.因为f ′(x )＝e x（x －2）x 3＋1x ＋2kx2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC.21－2eD.31－2e解析：选D.因为f ′(1)为常数， 所以f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， 所以f ′(1)＝31－2e.6．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________． 解析：因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝ 1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3，所以f ′(2)＝23ln 3.答案：23ln 37．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2， 所以4a ＋2b ＝2， 即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2. 法二：因为f (x )是偶函数， 所以f ′(x )是奇函数， 所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案：－28．已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________．解析：因为f ′(x )＝（e x ）′x －e x x ′x 2＝e x（x －1）x2(x ≠0)． 所以由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 得e x0（x 0－1）x 20＋e x0x 0＝0. 解得x 0＝12.答案：129．求下列函数的导数： (1)y ＝cos(1＋x 2)； (2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝ln(2x 2＋x )； (4)y ＝x ·2x －1.解：(1)设u ＝1＋x 2，y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(1＋x 2)′ ＝－sin u ·2x ＝－2x sin(1＋x 2)． (2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x 2＋x )′ ＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′. 先求t ＝2x －1的导数． 设u ＝2x －1，则t ＝u 12，t ′x ＝t ′u ·u ′x ＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1 . 所以y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)， 所以a ＋b ＋c ＝1.① 因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)， 所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.12．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″ (x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝－x e －x解析：选D.若f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝ln x －2x ，则f ″(x )＝－1x 2，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－x 3＋2x －1，则f ″(x )＝－6x ，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )<0；若f (x )＝－xe－x，则f ″(x )＝2e－x－x e－x＝(2－x )e －x，在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上，恒有f ″(x )>0，不是凸函数．13．已知曲线y ＝e 2x·cos 3x 在点(0，1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解：因为y ′＝(e 2x)′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x·cos 3x －3e 2x·sin 3x ， 所以y ′|x ＝0＝2，所以经过点(0，1)的切线方程为y －1＝2(x －0)， 即y ＝2x ＋1.设符合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. 所以符合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 14．(选做题)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )． (1)求f (1)＋f ′(1)；(2)若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f (x )＝ax 2＋ln x ， 得f ′(x )＝2ax ＋1x，所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1x存在零点，即f ′(x )＝0⇒2ax ＋1x＝0有正实数解，即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．。
高中数学第一章导数及其应用1.1.2导数的概念教案新人教A版选修2_2
§1.1.2 导数的概念
教学目标：
1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
3．会求函数在某点的导数。
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；
教学难点：导数的概念．
（一）、情景引入，激发兴趣
【教师引入】：“生活中有一些现象值得我们去研究，比如，子弹离开枪管那一瞬间的速度，奥运会上百米赛跑运动员冲向终点那一时刻的速度。
科学上对瞬时速度的研究也是非常有必要的，比如在天宫一号与神州八号的成功对接，最关键的就是它们每个瞬间的速度都相等。
(二)、探究新知，揭示概念。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题
第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。
容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二
1．1.3 导数的几何意义1.理解曲线的切线的含义．2.理解导数的几何意义．3.会求曲线在某点处的切线方程．4．理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数．1．导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P 处的切线．(2)导数的几何意义当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率．因此，函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0)．2．导函数的概念(1)定义：当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.1．此处切线定义与以前所学过的切线定义的比较(1)初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线．但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线．如图中的曲线C ，直线l 1与曲线C 有唯一的公共点M ，但l 1不是曲线C 的切线；l 2虽然与曲线C 有不止一个公共点，但l 2是曲线C 在点N 处的切线．(2)此处是通过逼近方法，将割线趋近于确定的位置的直线定义为切线，适用于各种曲线．所以这种定义才真正反映了切线的本质．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)、导函数f ′(x )之间的区别与联系区别：(1)f ′(x 0)是在x ＝x 0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量．(2)f ′(x )是函数f (x )的导数，是对某一区间内任意x 而言的，即如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每点处都有导数，此时对于每一个x ∈(a ，b )，都对应着一个确定的导数f ′(x )，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x )．联系：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．这也是求函数在x ＝x 0处的导数的方法之一．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数在一点处的导数f ′(x 0)是一个常数．( )(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．( )(3)函数f (x )＝0没有导数．( )(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝( ) A. 12 B ．3 C ．4D ．5解析：选A.根据导数的几何意义知f ′(4)是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线的斜率k ，注意到k ＝5－34－0＝12，所以f ′(4)＝12.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B.由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选 B.曲线y ＝－2x 2＋1在点(0，1)处的切线的斜率是________． 解析：因为Δy ＝－2(Δx )2，所以Δy Δx ＝－2Δx ，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(－2Δx )＝0，由导数的几何意义知切线的斜率为0.答案：0探究点1 求曲线在定点处的切线方程求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线方程． 【解】 因为y ′＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x3Δx＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.所以y ′|x ＝－1＝2－3(－1)2＝2－3＝－1.所以切线方程为y －(－1)＝－[x －(－1)]， 即x ＋y ＋2＝0.求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程．解：y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →02（x ＋Δx ）－（x ＋Δx ）3－2x ＋x 3Δx ＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2.设切点坐标为(x 0，2x 0－x 30)，则切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0)． 因为切线过点(－1，－2)，所以－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)·(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝－32.所以切点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0，0)时，切线斜率k ＝－2－0－1－0＝2，切线方程为y ＝2x ；当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率k ＝38－（－2）－32－（－1）＝－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0.解决曲线的切线问题的思路(1)求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程，即点P 的坐标既满足曲线方程，又满足切线方程时，若点P 处的切线斜率存在，则点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)；若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线斜率不存在(此时切线平行于y 轴)，则点P 处的切线方程为x ＝x 0.(2)若切点未知，则需设出切点坐标，再根据题意列出关于切点横坐标的方程，最后求出切点纵坐标及切线的方程，此时求出的切线方程往往不止一个．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由．解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1，1)． Δy Δx ＝（1＋Δx ）3－13Δx ＝3Δx ＋3（Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1，1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1，1)外，还有点(－2，－8)． 探究点2 求切点坐标在曲线y ＝x 2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．【解】 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为点P 处的切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2，4)．(2)因为点P 处的切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94. (3)因为点P 处的切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为tan 135°＝－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)． (2)求导函数f ′(x )． (3)求切线的斜率f ′(x 0)．(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0.(5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．1.已知曲线y ＝x 24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝12x ＝12， 所以x ＝1，所以切点的横坐标为 1.2．已知曲线f (x )＝x 2＋6在点P 处的切线平行于直线4x －y －3＝0，求点P 的坐标． 解：设切点P 坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋6－（x 2＋6）Δx＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .所以点P 在(x 0，y 0)处的切线的斜率为2x 0. 因为切线与直线4x －y －3＝0平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10，即切点为(2，10)． 探究点3 导数几何意义的应用我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T 内完成预期的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )【解析】 从函数图象上看，要求图象在[0，T ]上越来越陡峭，在各选项中，只有B 项中的切线斜率在不断增大，也即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．【答案】 B(1)曲线f (x )在x 0附近的变化情况可通过x 0处的切线刻画．f ′(x 0)>0说明曲线在x 0处的切线的斜率为正值，从而得出在x 0附近曲线是上升的；f ′(x 0)<0说明在x 0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．1.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选B.从图象上可以看出f (x )在x ＝2处的切线的斜率比在x ＝3处的斜率大，且均为正数，所以有0<f ′(3)<f ′(2)，过此两点的割线的斜率f （3）－f （2）3－2比f (x )在x ＝2处的切线的斜率小，比f (x )在x ＝3处的斜率大，所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选B.2．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h (t )，则函数h (t )的图象可能是( )解析：选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B 中的图象符合题意.1．下列说法中正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线解析：选C.f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率，切线斜率不存在，但其切线方程可以为x ＝x 0，所以A ，B ，D 错误．2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在解析：选B.由题意可知，f ′(x 0)＝－12.3．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)等于________．解析：易得切点P (5，3)， 所以f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.所以f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2 4．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. (1)求曲线在点P ，Q 处的切线的斜率； (2)求曲线在点P ，Q 处的切线方程． 解：将点P (2，－1)代入y ＝1t －x， 得t ＝1，所以y ＝11－x.y ′＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →011－（x ＋Δx ）－11－x Δx＝limΔx →0Δx[1－（x ＋Δx ）]（1－x ）Δx＝limΔx →01（1－x －Δx ）（1－x ）＝1（1－x ）2，(1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝2＝1（1－2）2＝1；曲线在点Q 处的切线斜率为y ′|x ＝－1＝14.(2)曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2， 即x －y －3＝0，曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]，即x －4y ＋3＝0.知识结构深化拓展导数与函数图象的关系在x ＝x 0附近各切线的斜率反映切线的升降变化情况，导数f ′(x 0)反映函数在x ＝x 0附近的增减情况，而在x ＝x 0处的切线斜率k ＝f ′(x 0)，所以反映在图形上它们的变化情况是一致的，如图．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f (x )在x ＝x 0附近切线的斜率k切线的倾斜角 f ′(x 0)>0上升k >0 锐角f ′(x 0)<0下降k <0 钝角 f ′(x 0)＝0k ＝0零角(切线与x 轴平行)[注意] 导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢.[A 基础达标]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，则f ′(1)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选B.因为二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于x 轴，即切线的斜率为0，所以f ′(1)＝0，选B.2．曲线f (x )＝9x在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )A ．45°B ．60°C ．135°D ．120°解析：选C.f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx ＝9lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝－9limΔx →01（x ＋Δx ）x＝－9x2，所以f ′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0°，180°)，所以所求倾斜角为135°.3．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B. 12 C ．－12D ．－1解析：选A.因为y ′|x ＝1＝lim Δx →0a （1＋Δx ）2－a ×12Δx＝lim Δx →02a Δx ＋a （Δx ）2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2， 所以a ＝1.4．若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －4＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.设切点为(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2－x2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，所以x 0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A.因为点(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，所以b ＝1.又y ′＝lim Δx →0（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a ，所以过点(0，b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.6．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线3x －y －2＝0平行，则y ′|x ＝2＝________．解析：因为直线3x －y －2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y ′|x ＝2＝3. 答案：37．已知f (x )＝x 2＋ax ，f ′(1)＝4，曲线f (x )在x ＝1处的切线在y 轴上的截距为－1，则实数a 的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4.又切线在y 轴上的截距为－1，所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝4x －1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f (1)＝1＋a ＝3，即a ＝2.答案：28．设f (x )存在导函数，且满足lim Δx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为________．解析：limΔx →0f （1）－f （1－2Δx ）2Δx＝lim Δx →0f （1－2Δx ）－f （1）－2Δx＝f ′(x )＝－1. 答案：－19．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，求： (1)曲线在点P 处的切线方程； (2)过点P 的曲线的切线方程．解：(1)因为函数y ＝13x 3的导函数为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →013（x ＋Δx ）3－13x 3Δx ＝13lim Δx →03x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3Δx ＝13lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝x 2， 所以y ′|x ＝2＝22＝4.所以曲线在点P 处的切线的斜率等于4.故曲线在点P 处的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)设切点为(x 0，y 0)，由(1)知y ′＝x 2，则点(x 0，y 0)处的切线斜率k ＝x 20，切线方程为y －y 0＝x 20(x －x 0)．又切线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83，且(x 0，y 0)在曲线y ＝13x 3上，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－y 0＝x 2（2－x 0），y 0＝13x 30，整理得x 30－3x 20＋4＝0，即(x 0－2)2(x 0＋1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝－1.当x 0＝2时，y 0＝83，切线斜率k ＝4，切线方程为12x －3y －16＝0；当x 0＝－1时，y 0＝－13，切线斜率k ＝1，切线方程为3x －3y ＋2＝0.故过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0.10．已知曲线f (x )＝ax－x 在x ＝4处的切线方程为5x ＋16y ＋b ＝0，求实数a 与b 的值．解：因为直线5x ＋16y ＋b ＝0的斜率k ＝－516，所以f ′(4)＝－516.而f ′(4)＝lim Δx →0（a 4＋Δx －4＋Δx ）－（a4－4）Δx＝limΔx →0（a 4＋Δx －a4）－（4＋Δx －2）Δx＝lim Δx →0[－a 4（4＋Δx ）－14＋Δx ＋2]＝－a ＋416，所以－a ＋416＝－516，解得a ＝1. 所以f (x )＝1x －x ，所以f (4)＝14－4＝－74，即切点为(4，－74)．因为(4，－74)在切线5x ＋16y ＋b ＝0上，所以5×4＋16×(－74)＋b ＝0，即b ＝8，从而a ＝1，b ＝8.[B 能力提升]11．曲线y ＝x ＋1x上任意一点P 处的切线斜率为k ，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，1)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)解析：选C.y ＝x ＋1x上任意一点P (x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0（x 0＋Δx ）＋1x 0＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0Δx＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 20＋x 0Δx ＝1－1x 20<1.即k <1.12．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，在点P 处的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________．解析：y ′＝limΔx →0ΔyΔx ＝2x －1，在点P 处切线的斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P 的横坐标是－2，所以点P 的纵坐标是6＋c ，故直线OP 的斜率为－6＋c 2，根据题意有－6＋c2＝－5，解得c ＝4.答案：413．已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， 因为f ′(x )＝limΔx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx＝lim Δx →0（x ＋Δx ）3－2（x ＋Δx ）2＋3－（x 3－2x 2＋3）Δx＝3x 2－4x ， 由题意可知k ＝4， 即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2，所以切点的坐标为(－23，4927)或(2，3)．当切点为(－23，4927)时，有4927＝4×(－23)＋a ，a ＝12127.当切点为(2，3)时，有3＝4×2＋a ，a ＝－5.所以当a ＝12127时，切点为(－23，4927)；当a ＝－5时，切点为(2，3)．14．(选做题)已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，试分别求出这两条平行的切线方程．解：对于曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[（x 0＋Δx ）2－1]－（x 20－1）Δx＝lim Δx →02x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0.对于曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[1－（x 0＋Δx ）3]－（1－x 30）Δx＝lim Δx →0－3x 20Δx －3x 0（Δx ）2－（Δx ）3Δx＝lim Δx →0[－3x 20－3x 0·Δx －(Δx )2]＝－3x 20，又y ＝1－x 3与y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线互相平行， 所以2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或x 0＝－23.(1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0， 曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)， 切线方程为y ＝－1，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. 但直线y ＝1并不是曲线的切线，不符合题意． (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x ＋9y＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x ＋27y－11＝0.综上，两曲线的切线方程分别是12x＋9y＋13＝0，36x＋27y－11＝0.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第3课时 导数的运算法则学案 新人教A版选修2-2-新人教A
1.2.2 第三课时 导数的运算法则一、课前准备 1.课时目标1. 能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；2. 能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；3. 能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。
2.基础预探1.(1)[f (x )±g (x )]′＝________. (2)[f (x )·g (x )]′＝________. (3)[f (x )g (x )]′＝________.2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y ＝f [φ(x )]是由________和________复合而成的．3．设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′x ＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u ＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数，且y ′x ＝________，或写作f ′x [φ(x )]＝________.二、学习引领1．对导数的运算法则的理解(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf (x )]′＝cf ′(x ) 即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f ′(x )g (x )减去含分母导数f (x )g ′(x )的式子。
2013-2014学年 高中数学人教A版选修2-2 第一章 导数及其应用1.1.2
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1.1.2
当 Δt→0 时，上式趋近于 100－gt.
可见 t 时刻的瞬时速度 h′(t)＝100－gt.
令 h′(t)＝100≈10.2(s)． 所以火箭熄火后约 10.2 s 向上速度变为 0.
本 课 时 栏 目 开 关
小结 瞬时速度是平均速度在 Δt→0 时的极限值．要求瞬时速 度，可以先求平均速度．
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1.1.2
问题 4 火箭向上速度变为 0，意味着什么？你能求出此 火箭熄火后上升的最大高度吗？
本 课 时 栏 目 开 关
答 火箭向上速度变为 0，意味着火箭处于上升阶段的最 高点处，即火箭达到了最大高度，由例 1 知火箭熄火后上 100 升的时间为 t＝ ，所以火箭熄火后上升的最大高度 h＝ g 100 100 1 1002 2 100× g －2g× g ＝ 2g ≈510.2(m)．
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1.1.2
探究点三
导数的实际应用
例 3 一正方形铁板在 0℃时，边长为 10 cm，加热后铁 板会膨胀．当温度为 t℃时，边长变为 10(1＋at) cm，
本 课 时 栏 目 开 关
a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率． 解 设温度的增量为 Δt，则铁板面积 S 的增量为
ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2 ＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，
ΔS 因此 Δt ＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
令 Δt→0，得 S′＝200(a＋a2t)．
所以铁板对温度的膨胀率为 200(a＋a2t)．
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推荐高中数学第一章导数及其应用1-1变化率与导数1-1-1_1-1-2导数的概念优化练习新人教A版选修2_2
1.1.1-1.1.2 导数的概念[课时作业] [A 组 基础巩固]1．自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数解析：根据平均变化率的概念知，选A. 答案：A2．函数f (x )在x 0处可导，则li m h→0＋－h ( )A ．与x 0，h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0，h 均无关解析：由导数的概念可知，li mh→0＋－h ＝f ′(x 0)，仅与x 0有关，与h 无关．故选B.答案：B3．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则li m Δx→0ΔyΔx等于( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2解析：∵邻近一点的坐标为(1＋Δx,2＋Δy )，∴2＋Δy ＝f (1＋Δx )＝(1＋Δx )2＋1＝2＋2Δx ＋(Δx )2. ∴Δy ＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx＝2＋Δx .∴li m Δx→0ΔyΔx＝li m Δx→0 (2＋Δx )＝2.故选A.答案：A4．若f ′(x 0)＝－3，则li m h→0＋－－h＝( )A ．－3B ．－6C ．－9D ．－12解析：由题意可得： li mh→0＋－－h ＝li mh→0＋－＋－－h＝li mh→0＋－h ＋li mh→0－－－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0) ＝2f ′(x 0)＝－6. 答案：B5．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．椭圆D ．直线解析：当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D. 答案：D6．已知一次函数y ＝kx ＋b ，则其在区间[m ，n ]上的平均变化率为________． 解析：Δy Δx＝－n －m＝kn ＋b －km －b n －m＝k ，∴函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为k . 答案：k7．若一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：Δs Δt＝＋Δ＋8－＋Δt＝7Δt ＋14t ，当li m Δt→0 (7Δt ＋14t )＝1时，t ＝114.答案：1148．若f ′(x 0)＝－3，则li m h→0＋－－h＝________.解析：∵f ′(x 0)＝li m h→0＋－h ＝－3.∴li mh→0＋－－h＝li mh→0＋－＋－－h＝li m h→0⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋－h ＋3·－－－3h ＝li mh→0＋－h ＋3·li mh→0－－－3h＝f ′(x 0)＋3f ′(x 0)＝4f ′(x 0)＝－12. 答案：－129．求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．解析：∵Δy ＝3(1＋Δx )2－3×12＝6Δx ＋3(Δx )2， ∴Δy Δx ＝6＋3Δx ，∴y ′|x ＝1＝li m Δx→0ΔyΔx＝li m Δx→0 (6＋3Δx )＝6. 10．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，求a 的值． 解析：因为Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝a (x ＋Δx )3＋3(x ＋Δx )2＋2－(ax 3＋3x 2＋2)＝3ax 2Δx ＋3ax (Δx )2＋a (Δx )3＋6x Δx ＋3(Δx )2，所以Δy Δx ＝3ax 2＋3ax Δx ＋a (Δx )2＋6x ＋3Δx ，所以Δx →0时，Δy Δx →3ax 2＋6x ，即f ′(x )＝3ax 2＋6x ，所以f ′(－1)＝3a －6＝4，解得a ＝103.[B 组 能力提升]1．已知点P (2,8)是曲线y ＝2x 2上一点，则P 处的瞬时变化率为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：Δy ＝2(2＋Δx )2－2×22＝8Δx ＋2(Δx )2， Δy Δx ＝8Δx ＋ΔΔx＝8＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于常数8.答案：D2．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定解析：因为k 1＝＋Δ－Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝－－ΔΔx＝2x 0－Δx ，又Δx 可正可负且不为零，所以k 1，k 2的大小关系不确定． 答案：D3．若正方体的棱长从x ＝1到x ＝a 时正方体的体积膨胀率为21，则a 的值为________． 解析：Δv ＝a 3－1，∴Δv Δx ＝a3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21，∴a 2＋a －20＝0，∴a ＝4或a ＝－5(舍去)． 答案：44．已知f ′(x 0)＝li m x→x0－x －x0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li mx→32x －3fx －3的值是________．解析：li mx→32x －x －3＝li m x→32x －＋－x －3＝li mx→32x －x －3＋li mx→3－x －3由于f (3)＝2，上式可化为li mx→3－x －3－3li mx→3－x －3＝2－3×(－2)＝8.答案：85．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ (3)求T ′(5)，并说明它的实际意义．解析：(1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为T (0)＝1200＋5＋15＝39，T (10)＝12010＋5＋15＝23，从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)平均变化率ΔT Δt ＝－10＝－1610＝ －1.6(℃)．它表示从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)T ′(5)＝li m Δt→0120＋Δ＋5＋15－1205＋5－15Δt＝－1.2，它表示T ＝5 min 时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min.6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？解析：山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∵h BC ＞h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭．。
2021学年高中数学第一章导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件新人教A版
• 3．求函数在某点处的导数的步骤：先求导函数，再代入 变量的值求导数值．
〔跟踪练习 1〕 求下列函数的导数： (1)y＝x－2； (2)y＝cosx； (3)y＝e0． [解析] 由求导公式得(1)y′＝－2·x－3＝－x23． (2)y′＝(cosx)′＝－sinx． (3)∵y＝e0＝1， ∴y′＝0．
〔跟踪练习 2〕 求下列函数的导数．
(1)y＝x·tanx； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝xx－＋11． [解析] (1)y′＝(x·tanx)′＝xcsoisnxx′ ＝xsinx′coscxo－s2xxsinxcosx′ ＝sinx＋xcocsoxsc2xosx＋xsin2x＝sinxccooss2xx＋x．
• 3．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝ f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(xB)是g(x)的导函数 ，那么g′(3)＝( )
• A．－1 B．0 • C．2 D．4
[解析] 由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－13，又 g(x)＝xf(x)，f ′(3)＝－13，∴g′(x) ＝f(x)＋xf ′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f ′(3)＝1＋3×－13＝0．
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
1．2.2 根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
高中数学 第一章 导数及其应用本章整合 新人教A版选修
高中数学第一章导数及其应用本章整合新人教A版选修2-2 知识网络专题探究专题一导数的几何意义及其应用1．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x)0)处的切线的斜率．2．导数的几何意义的应用，利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．3．围绕着切点有三个等量关系，在求解参数问题中经常用到．【例1】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．提示：切点坐标→切线斜率→点斜式求切线方程 解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率k ＝0|x x y ='＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3x 02＋4＝0. ∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0.∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0. ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝x 20＝4， ∴x 0＝±2.∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.专题二 利用导数研究函数的单调性借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x ，e x，－x 3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f ′(x )的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．【例2】若a ≥－1，求函数f (x )＝ax －(a ＋1)ln(x ＋1)的单调区间． 解：由已知得函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝ax －1x ＋1(a ≥－1)， (1)当－1≤a ≤0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减； (2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝1a.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 时，f ′(x )＜0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 上单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递增．综上所述，当－1≤a ≤0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a ＞0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a 上单调递减，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增．【例3】若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．解：函数f (x )的导数f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．当a －1＞1，即a ＞2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)内为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．依题意当x ∈(1,4)时，f ′(x )＜0， 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )＞0. 故4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. 因此a 的取值范围是[5,7]．专题三 利用导数求函数的极值和最值1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然．2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根．(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号： 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值． 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值．即导数为零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )，f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．【例4】(1)函数f (x )＝1x ＋2x 2＋1x 3，求y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12上的最值； (2)若a ＞0，求g (x )＝1x ＋2x 2＋ax3的极值点．解：(1)f ′(x )＝－(x ＋1)(x ＋3)x4， 令f ′(x )＞0，得－3＜x ＜－1，令f ′(x )＜0，得x ＜－3，或－1＜x ＜0，或x ＞0， ∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－12时，x ，f ′(x )，f (x )的变化如下表：(2)g ′(x )＝－x 2＋4x ＋3ax 4，设u ＝x 2＋4x ＋3a ，Δ＝16－12a ， 当a ≥43时，Δ≤0，即g ′(x )≤0，所以y ＝g (x )没有极值点．当0＜a ＜43时，x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a ＜0.∴g (x )的递减区间为(－∞，x 1)，(x 2,0)，递增区间为(x 1，x 2)． ∴有两个极值点x 1＝－2－4－3a ，x 2＝－2＋4－3a . 【例5】已知f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R .(1)若a ＝0，求函数y ＝f (x )在点(1，f (x ))处的切线方程； (2)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；(3)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2－ln x ， 所以f ′(x )＝2x －1x⇒f ′(1)＝1，f (1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x －y ＝0. (2)因为函数在[1,2]上是减函数，所以f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2＋ax －1x≤0在[1,2]上恒成立，令h (x )＝2x 2＋ax －1，有⎩⎪⎨⎪⎧h (1)≤0，h (2)≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ≤－72，得a ≤－72.(3)假设存在实数a ，使g (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e])有最小值3，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x.①当a ≤0时，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e]上单调递减，g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e (舍去)．②当1a≥e 时，g ′(x )＜0在(0，e]上恒成立，所以g (x )在(0，e]上单调递减．g (x )min ＝g (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)．③当0＜1a ＜e 时，令g ′(x )＜0⇒0＜x ＜1a，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上单调递增．所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e]时g (x )有最小值3. 专题四 利用导数证明不等式从近几年高考题看，利用导数证明不等式这一知识点常考到，一般出现在高考题解答题中．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．其实质是这样的：要证不等式f (x )＞g (x )，则构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，只需证φ(x )＞0即可，由此转化成求φ(x )最小值问题，借助于导数解决．【例6】已知函数f (x )＝x 2ex －1－13x 3－x 2. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设g (x )＝23x 3－x 2，试比较f (x )与g (x )的大小．解：(1)f ′(x )＝x (x ＋2)(ex －1－1)，由f ′(x )＝0得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1.当－2＜x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0； 当x ＜－2或0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的，在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．(2)f (x )－g (x )＝x 2ex －1－x 3＝x 2(ex －1－x )．因为对任意实数x 总有x 2≥0， 所以设h (x )＝ex －1－x .h ′(x )＝e x －1－1，由h ′(x )＝0得x ＝1，则当x ＜1时，h ′(x )＜0，即函数h (x )在(－∞，1)上单调递减，因此当x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＞1时，h ′(x )＞0，即函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此当x ＞1时，h (x )＞h (1)＝0.当x ＝1时，h (1)＝0.所以对任意实数x 都有h (x )≥0，即f (x )－g (x )≥0，故对任意实数x ，恒有f (x )≥g (x )． 专题五 导数的应用 解决优化问题的步骤(1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义．【例7】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3＜x ＜6)．从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 专题六 定积分的应用由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和．【例8】如图所示，求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点(1,1)，(0,0)，(3，－1)，故S ＝1⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋31⎰⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝1⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋31⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23x d x ＝3222136x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭10|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 231|＝23＋16＋6－13×9－2＋13＝136. 专题七 恒成立问题 解决恒成立问题的方法(1)若关于x 的不等式f (x )≤m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )max ≤m . (2)若关于x 的不等式f (x )≥m 在区间D 上恒成立，则转化为f (x )min ≥m . (3)导数是解决函数f (x )的最大值或最小值问题的有力工具． 【例9】已知函数f (x )＝x ln x .(1)若函数g (x )＝f (x )＋ax 在区间[e 2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意得g ′(x )＝f ′(x )＋a ＝ln x ＋a ＋1.∵函数g (x )在区间[e 2，＋∞)上为增函数， ∴当x ∈[e 2，＋∞)时，g ′(x )≥0， 即ln x ＋a ＋1≥0在[e 2，＋∞)上恒成立． ∴a ≥－1－ln x .又当x ∈[e 2，＋∞)时，ln x ∈[2，＋∞)． ∴－1－ln x ∈(－∞，－3]，∴a ≥－3.(2)∵2f (x )≥－x 2＋mx －3， 即mx ≤2x ·ln x ＋x 2＋3. 又x ＞0，∴m ≤2x ·ln x ＋x 2＋3x.令h (x )＝2x ·ln x ＋x 2＋3x，h ′(x )＝(2x ln x ＋x 2＋3)′·x －(2x ln x ＋x 2＋3)·x ′x2＝(2ln x ＋2＋2x )x －(2x ln x ＋x 2＋3)x2＝2x ＋x 2－3x2， 令h ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3(舍)．当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )在[0,1)上单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )min ＝h (1)＝4， 即m 的最大值为4.。
高中数学第一章导数及其应用1.2.2复合函数的导数及导数公式的应用习题课件新人教a选修2_2
d＝|2－40＋＋13|＝ 5， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.
答案：A
二、填空题：每小题5分，共15分． 7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂 直，则a＝________.
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
课时2 复合函数的导数及导数公式的应用
作业 ①理解复合函数的概念．②掌握复合函数求导的
目标 方法与步骤，会求一些简单的复合函数的导数．
作业 设计
限时：40分钟 满分：90分
一、选择题：每小题5分，共30分．
1．函数y＝2sin3x的导数是( )
A．2cos3x
)
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
D．ex＋e－x
解析：y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x)．
答案：A
6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离
是( )
A. 5
B．2 5
C．3 5
D．0
解析：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－ y＋3＝0平行．
B．－2cos3x
C．6sin3x
D．6cos3x
解析：y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.
答案：D
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( ) A．ln(2x＋5)－2x＋x 5 B．ln(2x＋5)＋2x2＋x 5 C．2xln(2x＋5)
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教案 新人教A版选修2-2(2021年整理)
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导数的概念本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．教学内容分析1．导数的地位、作用导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
2．本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想,这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面,函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型,并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．教学目的1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验;5．通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．教学准备1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；3．制作《数学实验记录单》及上课课件．教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．教学的主要过程设计如下：复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计5分钟1．复习准备设计意图：让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系,感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度．（1）提问：请说出函数从x1到x2的平均变化率公式．（2)提问：如果用x1与增量△x表示平均变化率的公式是怎样的？(3）高台跳水的例子中，在时间段]4965,0[里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 导数概念与运算基础知识总结素材 新人教A版选修2-2
导数概念与运算基础知识总结知识清单 1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f（x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．几种常见函数的导数:①0;C '= ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=.4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu =法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 第2课时 基本初等函数的导数公式学案 新人教A版选修22
1.2.2 第二课时 基本初等函数的导数公式一、课前准备 1.课时目标1.熟练记忆基本初等函数的导数公式;2.能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数;3.能利用基本初等函数的导数公式解决简单的综合问题。
2.基础预探1.基本初等函数的导数公式(1)若f (x )＝c ，则f ′(x )＝________.(2)若f (x )＝x n，则f ′(x )＝________. (3)若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝________. (4)若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝________.(5)若f (x )＝a x，则f ′(x )＝________.(6)若f (x )＝e x，则f ′(x )＝________. (7)若f (x )＝log a x 则f ′(x )＝________.(8)若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝________. 二、学习引领1.对基本初等函数的导数公式的理解(1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握．(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别。
(3)基本初等函数的导数公式，虽然在高考中单独考查该知识点的题目不多，但却是解决其他导数问题的重要基础，必需熟练记忆并掌握。
2.利用导数公式求曲线切线方程的步骤(1)先利用基本初等函数的导数公式求出函数的导数．(2)判断切线所经过的定点(x 0，y 0)是否在已知曲线上，当点在曲线上时，k ＝f ′(x 0)．当点不在曲线上时，应设切点为(x 1，y 1)，k ＝f ′(x 1)＝y 1－y 0x 1－x 0，求出切点．(3)利用点斜式方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)或y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0) 求得切线． 三、典例导析题型一 利用基本初等函数的公式求导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；思路导析：运用对数性质及三角变换公式，先将问题中不能直接利用公式的问题转化为基本初等函数，再求导数．解析：(1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32312x -＝32x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(35x )′＝35315x -＝3525x -。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2
导数的几何意义学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2【解析】 由导数的几何意义知f ′(1)＝2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】 依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧12＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率k ＝3，则点P 的坐标是( ) A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(2,8)或(－2，－8)【解析】 因为y ＝x 3，所以y ′＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2.由题意，知切线斜率k ＝3，令3x 2＝3，得x ＝1或x ＝－1. 当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝－1. 故点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1)． 【答案】 C4．(2016·某某高二检测)若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0【解析】 设切点为(x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .由题意可知，切线斜率k ＝4，即f ′(x 0)＝2x 0＝4，∴x 0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0，故选A.【答案】 A5．曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线的斜率为( )A ．2B ．－4C ．3 D.14【解】 因为y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0－1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2，所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2处的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.【答案】 B 二、填空题6．已知函数y ＝f (x )的图象如图115所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是__________(填序号)．图115【解析】 由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知，当x <0时f ′(x )>0，当x ＝0时f ′(x )＝0，当x >0时f ′(x )<0，故②符合．【答案】②7．曲线y ＝x 2－2x ＋3在点A (－1,6)处的切线方程是 __________.【解析】 因为y ＝x 2－2x ＋3，切点为点A (－1,6)，所以斜率k ＝y ′|x ＝－1＝limΔx →0－1＋Δx2－2－1＋Δx ＋3－1＋2＋3Δx＝lim Δx →0(Δx －4)＝－4，所以切线方程为y －6＝－4(x ＋1)，即4x ＋y －2＝0. 【答案】 4x ＋y －2＝08．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________． 【解析】 设P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝limΔx →0x 0＋Δx2＋2x 0＋Δx －x 20－2x 0Δx＝lim Δx →0(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0， 所以点P 处的切线的斜率为2，所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0,0)． 【答案】 (0,0) 三、解答题9．(2016·某某高二检测)已知抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3与直线y ＝2x ＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．【解】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋3，y ＝2x ＋2，得x 2－2x ＋1＝0，解得x ＝1，y ＝4，所以交点坐标为(1,4)，又Δx ＋12＋3－12＋3Δx＝Δx ＋2.当Δx 趋于0时Δx ＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k ＝2， 所以切线方程为y －4＝2(x －1)，即y ＝2x ＋2. 10．试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程． 【解】y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0x ＋Δx 2－x 2Δx＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20， 又∵A 是切点，∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.[能力提升]1．(2016·某某高二检测)设f (x )为可导函数，且满足lim Δx →0f 1－f 1－x2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【解析】∵limΔx →0f 1－f 1－x2x＝12lim Δx →0f 1－x －f 1－x ＝－1， ∴limΔx →0f 1－x －f 1－x ＝－2，即f ′(1)＝－2.由导数的几何意义知，曲线在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝f ′(1)＝－2，故选D. 【答案】 D2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2【解析】 依导数定义可求得y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1，选C.【答案】 C3．(2016·某某高二检测)已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________．【解析】 设切点为P (x 0，y 0)．则f ′(x 0)＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝limΔx →0a x 0＋Δx2－ax 2Δx＝lim Δx →0(2ax 0＋a Δx )＝2ax 0，即2ax 0＝1. 又y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0， 联立以上三式，得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝ax 20，x 0－y 0－1＝0，解得a ＝14.【答案】144．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公切线，求a ，b 的值．【解】 因为f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0a x ＋Δx2＋1－ax 2＋1Δx＝2ax ，所以f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a . 因为g ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx＝limΔx →0x ＋Δx3＋b x ＋Δx －x 3＋bx Δx＝3x 2＋b ，所以g ′(1)＝3＋b ，即切线的斜率k 2＝3＋b . 因为在交点(1，c )处有公切线， 所以2a ＝3＋b .①又因为c ＝a ＋1，c ＝1＋b ， 所以a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ， 代入①式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.。
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1.1.2 导数的概念（2）
【学习目标】
1．了解极限是学习导数概念的起点.
2．理解导数的概念的基本方法.
3．掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义.
4．会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度．
【重点难点】
重点：导数的概念以及求导数．
难点：导数的概念．
【学法指导】
运用变化的观点，从瞬时速度的实际背景去理解导数的概念．
【学习过程】
一．课前预习：阅读课本1.1.2节找出疑惑之处．
二．课堂学习与研讨一
探究点一 瞬时速度
问题1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态？
问题2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
问题3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？
新知1.瞬时速度定义：物体在某一时刻（ 某一位置）的速度，叫做瞬时速度． 课堂学习与研讨二
导数：
问题2：瞬时速度是平均速度s t
∆∆当t ∆趋近于0时的． 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是
0000()()lim lim x x f x x f x f x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =的导数，
记作0()f x '或0|x x y ='，即000()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆． 注意：（1）函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在．
（2）在定义导数的极限式中，x ∆趋于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0．
（3）y x
∆∆是函数()y f x =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线()y f x =上点00(,())x f x 及点00(,())x x f x x +∆+∆的割线斜率．
（4）导数000()()()lim x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆是函数()y f x =在点0x 处的瞬时变化率，它反映函数()y f x =在点0x 变化的快慢程度．
小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率．
课堂学习与研讨三
例1.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热． 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为 2
()715(08)f x x x x =-+≤≤， 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
小结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢．
例2.已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）． （1）当2,0.01t t =∆=时，求s t ∆∆；（2）2,0.001t t =∆=，求s t
∆∆；（3）求质点M 在
2t =时的瞬时速度．
动动手：一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =（位移单位：m ，时间单位：s ，求小球在5t =时的瞬时速度．
例3.利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2
＋3x 在x ＝2处的导数．
跟踪训练2 已知y ＝f (x )＝x ＋2，求f ′(2)．
【当堂检测】
1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数定义中，自变量x 在x 0处的增量Δx ( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．不等于0
2．一物体的运动方程是s ＝12
at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是 ( ) A ．at 0 B ．－at 0C ．12at 0 D ．2at 0 3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32
处的瞬时变化率是 ( ) A ．3 B ．－3C ．2 D ．－2
4．已知函数()f x =
)1(f '＝________
【课堂小结】 1．瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当Δx →0时的极
限值．
2．利用导数定义求导数的步骤：
（1）求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；
（2）求平均变化率Δy Δx
； （2）取极限得导数f ′(x 0)＝lim
Δx →0Δy Δx . 【课后作业】
1.已知物体的运动方程是s=-4t 2+16t (s 的单位为m;t 的单位为s),则物体在t=2 s 时的瞬时速度为( )
A.3 m/s
B.2 m/s
C.1 m/s
D.0 m/s 2.已知22()3f x x =
,若f'(a )=13,则a 的值等于( ) A.14-
B.14
C.49-
D.34
3．求函数1y x x
=+
在1x =处的导数．
【课后作业】
1.已知曲线y＝2x2－7，求：
（1）曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? （2）曲线过点P(3,9)的切线方程．2.课本P10页 5,6。