广义矩估计
广义矩估计
广义矩估计一、背景我们前面学了OLS 估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。
矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。
那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。
本章详细介绍矩估计方法。
矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS 估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。
二、知识要点1，应用背景2，矩估计存在的问题（识别）3，矩正交方程和矩条件4，矩估计的属性三、要点细纲1、应用背景其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量（在一个严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样1的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数）将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程（包含总体的未知参数），利用这些方程求得总体的未知参数。
基本定义统计量 11n m X i n i νν∑=为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11n B X X i n i νν∑-=为子样的ν阶中心矩。
子样矩的均值与方差()()()()2222EX Var X E X E X k k EX E X k k μμμοαμμ=-=--我们用到k k αμ或时假定它是存在的。
基本做法设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中属于参数空间Θ的(),,,12k θθθθ=是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩 ()(),,,,112x dF x k k ναθθθθνν∞=≤≤⎰-∞ 是(),,,12k θθθθ=的函数。
对于子样(),,,12X X X n =X ，其ν阶子样矩是1,11n m X k i n i ννν=≤≤∑= 现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()1,,,1,2,,121n m X k i k n i ναθθθννν===∑= （1）（1）式确定了包含k 个未知参数(),,,12k θθθθ=的k 个方程式。
广义矩估计stata命令
广义矩估计stata命令一、引言在统计学中，矩估计是一种常用的参数估计方法。
它的基本思想是利用样本矩去估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
广义矩估计是矩估计的一种扩展形式，它可以通过更多的矩条件来估计参数。
在实际应用中，广义矩估计可以更好地适应不同的数据分布和模型。
二、广义矩估计的基本原理广义矩估计的基本原理是利用样本矩和总体矩之间的关系，通过最小化样本矩与总体矩之间的差异来估计参数。
在实际应用中，广义矩估计可以通过不同的矩条件来估计参数，从而适应不同的数据分布和模型。
三、广义矩估计在Stata中的应用Stata是一种常用的统计软件，它提供了广义矩估计的命令。
在Stata中，广义矩估计的命令为gmm。
该命令可以通过指定不同的矩条件来估计参数。
例如，可以通过指定一阶矩条件来估计线性回归模型的参数，也可以通过指定高阶矩条件来估计非线性模型的参数。
四、广义矩估计在实际应用中的例子广义矩估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在金融领域中，广义矩估计可以用于估计股票价格的波动率。
在医学领域中，广义矩估计可以用于估计药物的剂量反应关系。
在经济学领域中，广义矩估计可以用于估计劳动力市场的供求关系。
五、总结广义矩估计是一种常用的参数估计方法，它可以通过更多的矩条件来估计参数，从而适应不同的数据分布和模型。
在Stata中，广义矩估计的命令为gmm，可以通过指定不同的矩条件来估计参数。
在实际应用中，广义矩估计有着广泛的应用，可以用于估计股票价格的波动率、药物的剂量反应关系以及劳动力市场的供求关系等。
系统广义矩估计公式
系统广义矩估计公式一、基本概念。
1. 矩估计（Method of Moments）- 矩估计是基于样本矩来估计总体矩的一种方法。
设总体X的分布函数为F(x;θ)，其中θ = (θ_1,θ_2,·s,θ_k)是未知参数向量。
总体的r阶矩μ_r = E(X^r)，样本的r阶矩为m_r=(1)/(n)∑_i = 1^nX_i^r。
通过令μ_r=m_r（r = 1,2,·s,k）得到关于θ的方程组，解这个方程组就得到θ的矩估计量。
2. 广义矩估计（Generalized Method of Moments，GMM）- 广义矩估计是矩估计的推广。
它是基于一些矩条件来估计模型参数的方法。
假设存在q个矩条件E[g(X_i,θ)] = 0，其中g(X_i,θ)是X_i和参数θ的函数向量，g(X_i,θ)=(g_1(X_i,θ),g_2(X_i,θ),·s,g_q(X_i,θ))'。
- GMM的目标函数是Q(θ)=n[g_n(θ)]'W_n[g_n(θ)]，其中g_n(θ)=(1)/(n)∑_i =1^ng(X_i,θ)，W_n是一个正定权重矩阵。
通过最小化Q(θ)得到θ的GMM估计量θ̂。
1. 动态面板数据模型中的应用。
- 考虑动态面板数据模型y_it=α y_i,t - 1+x_it'β+μ_i+ε_it，i = 1,·s,N，t = 1,·s,T，其中y_it是被解释变量，x_it是解释变量向量，μ_i是个体固定效应，ε_it是随机误差项。
- 对于这个模型，一阶差分可以消除个体固定效应μ_i，得到Δ y_it=αΔ y_i,t - 1+Δ x_it'β+Δε_it。
- 系统广义矩估计将水平方程y_it=α y_i,t - 1+x_it'β+μ_i+ε_it和差分方程Δy_it=αΔ y_i,t - 1+Δ x_it'β+Δε_it结合起来进行估计。
22广义矩估计
• GMM估计包容了许多常用的估计方法，普通最小 二乘法、工具变量法、最大似然法，甚至二阶段 最小二乘法都是它的特例。
• 技术方面的优越性
– 无须要求正规方程组中方程数目与待估参数数目相等。 – 方便地处理违背基本假设的问题，例如异方差和序列
相关。 – 无须进行高阶矩阵的求逆运算。
⒉参数的矩估计（补充）
Wn12 i
Co [Zv ii,Zjj]
j
• 如此构造权矩阵体现了上述设置权矩阵的原则。 • 权矩阵调整的是J个矩条件之间的关系，而不是n
个样本点之间的关系。 • W应是[(1/n)Var(Z’)]-1的一致估计。 • 权矩阵的阶
ˆ am rg m ( i) ( n 1 J )W ( ( J 1 J )m () (J 1 ))
⒊参数的广义矩估计
X (1) M (1) (1, 2 ,, r ) 0 X (2) M (2) (1, 2 ,, r ) 0
X (r) M (r) (1, 2 ,, r ) 0
矩条件数等于待 估参数数目
• 如果选择的矩估计方程个数多于待估参数个数。 使得欧氏距离函数 达到最小：
yix3i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x3i 0
该方程组 是如何得
到的？
如何从矩条 件出发得到 该方程组？
如何求 解该方 程组？
y i 0 1 x 1 i 2 x 2 i 3 x 3 i i i 1 , 2 , ,n
yix3i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x3i 0
4个等于0 的矩条件， 求解4个
参数
为什么将x2 换为z1？
该方程组是如 何得到的？
《广义矩估计》课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 广义矩估计的基本理论 • 广义矩估计的算法 • 广义矩估计的实例分析 • 广义矩估计的扩展和改进 • 结论与展望
01 引言
广义矩估计的定义
广义矩估计是一种统计估计方法，它 通过使用样本矩来估计未知参数。这 种方法基于样本矩和总体分布之间的 关系，通过最小化误差函数来求解参 数的估计值。
实例三：时间序列模型的广义矩估计
总结词
时间序列模型是用于描述时间序列数据之间 关系的模型，常见的有ARMA模型、 ARIMA模型等。广义矩估计也可以用于时 间序列模型的参数估计。
详细描述
在实例三中，我们将介绍如何使用广义矩估 计对时间序列模型的参数进行估计。我们将 首先介绍时间序列模型的基本概念和假设， 然后介绍如何利用广义矩估计方法对模型参 数进行估计，并给出具体的计算步骤和实例 分析。
03 广义矩估计的算法
算法的基本步骤
确定模型
根据数据特征和问题背景选择合适的概率模 型。
估计参数
利用样本数据和所选矩，通过优化算法求解 模型参数。
确定矩
根据所选模型，确定需要使用的矩（如一阶 矩、二阶矩等）。
验证估计
使用统计方法验证估计的参数是否符合所选 模型。
算法的实现细节
数据预处理
对原始数据进行清洗、去噪、标准化等处理 ，确保数据质量。
参数矩估计的步骤
首先计算样本数据的矩，然后利用这些矩和已知的总体分布关系来估计未知参 数。
广义矩估计的原理
广义矩估计的定义
广义矩估计是一种基于样本数据的矩来估计未知参数的统计方法，它不仅利用了 样本数据的矩信息，还利用了已知的总体分布信息。
广义矩估计的步骤
广义矩估计原理(一)
广义矩估计原理(一)广义矩估计1. 引言•矩估计是一种经典的参数估计方法，广义矩估计是其一种推广形式。
•广义矩估计是在总体矩的等式约束下，使用样本矩来估计参数的一种方法。
2. 矩估计回顾•矩估计是利用样本的矩来估计总体的矩。
•给定样本X1,X2,...,X n，我们可以计算出样本的前r阶原点矩m r以及样本的前r阶中心矩c r。
•假设总体的矩为M r，则矩估计的思想是找到参数的值，使得样本的矩与总体的矩尽可能接近。
•通常，矩估计中参数的选择可以通过求解样本矩与总体矩的差的最小二乘解得到。
3. 广义矩估计的基本思想•广义矩估计是在矩估计的基础上，加入了总体矩的约束条件。
•假设我们有k个未知参数θ1,θ2,...,θk，总共有r个矩约束条件。
•广义矩估计的目标是找到参数的值，使得样本的矩与总体的矩在满足约束条件下尽可能接近。
4. 广义矩估计的步骤1.设定参数的初值θ(0)。
2.根据θ(0)计算样本的矩m r。
3.根据θ(0)计算总体的矩M r。
4.构造一个r维的约束方程组，使得样本的矩与总体的矩在约束条件下尽可能接近。
5.求解约束方程组，得到参数的估计值θ(1)。
6.如果θ(1)收敛到θ(0)，则停止；否则，继续迭代，将θ(1)作为新的初值，重复步骤2到5，直到收敛。
5. 广义矩估计的性质•广义矩估计是一种相对于矩估计更为一般的估计方法，能够在矩约束条件下更灵活地估计参数。
•广义矩估计在样本充分大时具有渐近无偏性和渐近正态性。
•广义矩估计的效率较矩估计更高，但一般需要计算更复杂的方程组。
6. 总结•广义矩估计是在总体矩的约束下，使用样本矩来估计参数的一种方法。
•广义矩估计在矩估计的基础上，加入了总体矩的约束条件，能够更灵活地估计参数。
•广义矩估计具有渐近无偏性和渐近正态性，效率一般较矩估计更高。
•在实际应用中，广义矩估计是一种重要的参数估计方法，能够解决一些特定的参数估计问题。
7. 示例应用：广义矩估计的实际应用案例在实际应用中，广义矩估计是一种重要的参数估计方法，可以解决一些特定的参数估计问题。
gmm广义矩估计
gmm广义矩估计GMM（广义矩估计）是一种用于参数估计的统计方法。
它是基于矩的概念发展而来的，通过对观测数据的矩估计，来估计未知参数的值。
GMM广义矩估计在统计学和经济学等领域得到了广泛应用。
在GMM中，我们首先定义一个经验矩，即从观测数据中得到的样本矩。
然后，我们根据理论模型中的矩表达式，得到理论矩。
接下来，我们通过最小化经验矩与理论矩之间的差异，来估计未知参数的值。
GMM广义矩估计的步骤如下：1. 确定理论模型：首先，我们需要确定一个理论模型，该模型描述了观测数据的分布特征。
在经济学中，通常使用概率分布函数来描述变量的分布特征。
2. 确定矩条件：接下来，我们需要确定一组矩条件，即理论模型中的矩表达式。
矩条件是基于理论模型中的变量和参数之间的关系得到的。
3. 计算经验矩：然后，我们从观测数据中计算一组经验矩。
经验矩是观测数据中的样本矩，用于估计理论矩的值。
4. 估计未知参数：通过最小化经验矩与理论矩之间的差异，我们可以得到未知参数的估计值。
这个过程可以使用最小二乘法或其他优化算法来实现。
GMM广义矩估计在经济学中得到了广泛应用。
例如，在计量经济学中，GMM广义矩估计被用于估计经济模型中的参数。
在金融学中，GMM广义矩估计被用于估计资产定价模型中的参数。
在其他领域，GMM广义矩估计也被用于估计其他类型的模型。
GMM广义矩估计具有一些优点。
首先，它是一种非参数估计方法，不需要对概率分布函数做出任何假设。
这使得GMM广义矩估计在处理复杂的数据分布时具有灵活性。
其次，GMM广义矩估计可以处理具有多个未知参数的模型，这使得它在估计复杂模型时具有优势。
此外，GMM广义矩估计还可以通过引入工具变量来解决内生性问题。
然而，GMM广义矩估计也存在一些限制。
首先，它对初始参数值敏感，可能会收敛到局部最优解。
因此，在实际应用中，选择合适的初始参数值非常重要。
其次，GMM广义矩估计对观测数据的分布特征要求较高，如果数据不符合理论模型的假设，估计结果可能不准确。
广义矩估计PPT
j1,2, ,k
n
zj(iyih(X i, ) )0 j1 ,2 , ,k
i 1
• 一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。
e (y i,X i; )y i h (X i, )
1
1
m () ni
Z ie (y i,X i;
)Z 'e (y,X ; ) n
1
m
(
)
m1 m2
§2.2 广义矩估计
（GMM, Generalized Method of Moments）
一、广义矩估计的概念 二、广义矩估计及其性质 三、正交性条件和过度识别限制的检验 四、关于2SLS与GMM关系的讨论
关于GMM的主要文献
• 关于GMM最早的系统的描述 L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM
• 参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。
– 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。 – 用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。 – 从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）
矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计 算总体参数（期望和方差）的估计量。
X(1)
1n ni1yi
X(2) 1 ni n1yi2
yix3i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x3i 0
4个等于0 的矩条件， 求解4个
参数
为什么将x2 换为z1？
该方程组是如 何得到的？
如何求 解该方 程组？
y i 0 1 x 1 i 2 x 2 i 3 x 3 i i i 1 , 2 , , n
• 如果x2为随机变量，z1、z2 为它的工具变量， GMM关于参数估计量的矩条件为：
广义矩估计
1 广义矩估计1.1 基本知识矩方法是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
在严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样()12,,,n X X X =X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数。
1.2 基本定义：统计量 11n i i m X n νν=∑为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11ni i B X X n νν=-∑为子样的ν阶中心矩。
1.3 子样矩的均值与方差EX μ()()()2222Var X E X E X μμο=-=-kk EX α()kk E X μμ-约定，我们用到k α或k μ时假定它是存在的。
1.4 基本做法：设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθθ=是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()()12,,,,1k xdF x k νναθθθθν∞-∞=≤≤⎰是()12,,,k θθθθ=的函数。
对于子样()12,,,n X X X =X ，其ν阶子样矩是11nii m X nνν==∑，1k ν≤≤。
现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()()1211,,,1,2,,1n k ii m X kn ννναθθθν====∑（1）式确定了包含k 个未知参数()12,,,k θθθθ=的k 个方程式。
求解（1）式就可以得到()12,,,k θθθθ=的一组解()12,,,k θθθθ=⋯。
因为m ν是随机变量，故解得的θ也是随机变量。
将12,,,k θθθ⋯分别作为12,,,k θθθ的估计称为矩方法的估计，这种求估计量的方法称为矩方法。
定理 若()F x 存在2ν阶矩，则对子样的ν阶原点矩m ν，有[][]()221Em Var m nνννννααα==-。
广义矩估计原理
广义矩估计原理广义矩估计是数理统计学中一种重要的参数估计方法，广义矩估计法的优势在于可以估计非正态分布或未知分布的参数，对于实际问题的解决具有很高的灵活性和适应性。
广义矩估计法的核心思想是通过使用样本矩来估计总体的矩。
在实际应用中，我们通常很难获取到完整的总体数据，而只能通过抽样得到有限的样本数据，因此需要通过合理的估计方法来推断出总体参数的值。
广义矩估计法的基本步骤如下：首先，我们要确定所需估计的参数个数，通常可以通过问题的数学模型或实际应用的需求来确定。
接着，我们选择一组合适的矩函数作为用于估计参数的函数。
在估计的过程中，我们将样本的矩函数与总体的矩函数进行等式的匹配，通过求解估计方程组得到参数的估计值。
由于总体的矩函数与样本的矩函数之间不一定完全匹配，因此我们需要通过最小化估计方程组的离差来寻找最优的估计值。
广义矩估计法的优势在于它可以适用于各种分布形态，包括正态分布、对数正态分布、伽马分布等等。
因此，在实际应用中，我们不需要对总体分布作出过多的假设，而是能够更好地适应实际数据的特点。
此外，广义矩估计法还可以通过引入更高阶的矩函数来提高估计的精度和稳定性。
根据需要，我们可以选择一阶矩、二阶矩甚至更高阶的矩函数，提高参数估计的准确性。
然而，广义矩估计法在实际操作中也存在一些困难。
首先，由于参数估计是通过样本数据进行的，因此需要保证样本的代表性和随机性。
其次，当参数个数较多时，估计方程组会变得复杂，求解的过程可能会比较繁琐。
在实际应用中，我们可以根据问题的具体特点和数据的分布情况选择合适的估计方法。
如果我们对数据的分布形态有明确的假设，可以选择最大似然估计法或贝叶斯估计法。
如果对数据的分布形态没有明确的假设，可以选择广义矩估计法进行参数估计。
总之，广义矩估计法是一种灵活、适应性强的参数估计方法，可以应用于不同分布形态的数据。
在实际应用中，我们根据问题的特点选择合适的估计方法，并注意保证样本的代表性和随机性，以获得准确可靠的参数估计结果。
2.2 广义矩估计-高级应用计量经济学课件
W Asy.Var[m( )]
1 n2
i
Cov[Zi i , Z j j ]
j
1
n2 i
j
ij
Zi
Z
' j
1 n2
Z ' Z
L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054
• 参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。
– 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。 – 用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。 – 从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）
矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计 算总体参数（期望和方差）的估计量。
X
(1)
1 n
n i 1
yi
X
(2)
min (m( )'m( ))
一阶极值条件的解。
• 如果工具变量J>k，并且对不同的矩条件加权， 考虑随机项存在异方差和序列相关
ˆ arg min (m( )'W 1m( ))
1
m(
)
m1 m2
mJ
( (
(
) )
)
n 1 n
1 n
z1iei
i
z 2i ei
i
i zJiei
总体参数（期 望和方差）的
估计量
⒊参数的广义矩估计
X (1) M (1) (1 , 2 , , r ) 0 X (2) M (2) (1, 2 , , r ) 0
X (r) M (r) (1, 2 , , r ) 0
矩条件数等于待 估参数数目
gmm(广义矩估计
gmm(广义矩估计
广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称GMM）是一种参数估计方法，广泛应用于经济、金融和统计学领域。
GMM方法通过最大化样本的矩条件函数来估计模型的参数。
在GMM中，我们首先根据理论模型确定一组矩条件。
矩条件是指
在理论模型中，根据参数估计出来的值，样本中的矩要满足的条件。
然后，我们根据样本数据计算这组矩条件的样本矩，然后使用样本矩
和理论矩条件之间的差异构建一个目标函数。
最终，我们使用最小二
乘法或其他优化算法来最大化（或最小化）该目标函数，从而得到参
数的估计值。
GMM方法有许多优点。
首先，它是一种比最小二乘法更一般化的
方法，因为在GMM中我们不需要对错误项的分布做任何假设。
其次，GMM方法不需要估计误差项的方差-协方差矩阵，因此可以避免由于估
计误差项方差不正确而导致的参数估计偏误。
此外，GMM方法也可以处理非线性模型和异方差数据。
总之，广义矩估计方法是一种强大的参数估计方法，可以应用于
各种领域和模型。
它通过最大化样本的矩条件函数来估计模型的参数，不需要对误差项的分布做任何假设，具有广泛的应用前景。
Chapter5 广义矩估计
第1章 广义矩估计1.1矩估计1.1.1 总体矩与样本矩设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθ=θ 是待估计的未知参数。
假定总体分布的m 阶矩存在，则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为()(),1k k k EX x dF x k m α+∝-∝=≤≤⎰θθ 1()[()]()[()],1k k k E X E x x E x dF x k m μ+∝-∝-=-≤≤⎰θθ 2两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩：()E X μ= 32222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。
对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是：11n kk i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5当k =1时，m 1表示X 的样本均值。
X 的k 阶中心矩是：()11nk k i i B X X n =-∑ （1k m ≤≤） 6当k =2时，B 2表示X 的样本方差。
1.1.2 矩估计方法矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ 的函数。
根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。
因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令：()12,,,1,2,,k K km k K αθθθ==即：()11,1,2,,n kki i x dF x X k K n +∝-∝= = =∑∑ θ 7上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ 的K 个方程式，求解上式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ 的一组解()12ˆˆˆˆ,,,k θθθ=⋯θ。
因为m k 是随机变量，故解得的ˆθ也是随机变量。
广义矩估计
• 如果l=K，这时Z’X为KK方阵且可逆。于是： β=(Z’X)-1W-1(X’Z)-1X’ZWZ’Y =(Z’X)-1Z’Y 可见，βGMM=βIV, 这时W的选择对结果无影响。 • 如果l>K，这时根据W选取的不同，有不同的解 βGMM，但只要W是对称正定矩阵，估计结果都满 足一致性。 • 尽管不同的权矩阵W都可得到的一致估计量，但 估计量的方差矩阵可能是不同的。因此，可以选 择最佳的W，以使估计量更有效(有小的方差)。
§3.3 计量经济学模型的广义矩估计
（GMM, Generalized Method of Moments）
（教材§3.6）
一、广义矩估计的概念 二、计量经济学模型的广义矩估计 三、OLS和ML估计是GMM估计的特例 四、假设检验
关于GMM的主要文献
• 关于GMM最早的系统的描述 L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054 • 关于GMM 的总结 A. Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, Economic Journal 99, p962-1025
m( ) 0
工具变量估计的 正规方程组。
• 工具变量估计正规方程组的解就是
min (m( )' m( ))
一阶极值条件的解。
• 如果工具变量J>k，并且考虑随机项存在异方差 和序列相关
1 ˆ arg min (m( )'W m( ))
1 z1i ei m1 ( ) n i 1 m ( ) 2 z 2i ei m( ) n i m ( ) 1 J n z Jiei i
广义矩估计方法
C、权矩阵的选择
关于权矩阵 W 的选择，是GMM估计方法的
一个核心问题。Hansen’s(1982)提出最佳
的权矩阵为：
W = Asy.Var[m(β )]
=
1 n2
∑ ∑Cov[Ziεi , Z jε
ij
j]
∑∑ = 1 n2 i
j
ω
ij
Z
i
Z
' j
=
1 n2
Z 'ΩZ
D、估计方法的步骤
3、GMM估计的特例 ：OLS和ML估计
J=k，则为k×1阶向量。即
∑∑∑ m(β
)
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
m1 m2
mk
(β (β
M
(β
) )
)
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
1 n 1 n
1 n
z1i ei ⎟⎞
i
⎟
z2i ei
⎟ ⎟
i
M
⎟ ⎟
i zkiei ⎟⎟⎠
显然矩条件 m(β ) = 0 得出的参数估计量，就 是我们熟知的工具变量法。同时方程组 m(β ) = 0
∑ X (1)
=
1 n
n i =1
yi
∑ X
(2)
=
1 n
n i =1
y
2 i
分别为样本的一阶矩和二阶矩，于是总体一 阶矩和总体二阶矩的估计量为：
∑ Mˆ (1)
=
E(Y )
=
X (1)
=
1 n
n i =1
yi
由于
∑ Mˆ
(2) =
E(Y 2 )
=
广义矩估计GMM
广义矩估计（Generalized Method of Moments ，即GMM ）一、解释变量内生性检验首先检验解释变量内生性（解释变量内生性的Hausman 检验：使用工具变量法的前提是存在内生解释变量。
Hausman 检验的原假设为：所有解释变量均为外生变量，如果拒绝，则认为存在内生解释变量，要用IV ；反之，如果接受，则认为不存在内生解释变量，应该使用OLS 。
reg ldi lofdiestimates store olsxtivreg ldi (lofdi=l.lofdi ldep lexr)estimates store iv hausman iv ols（在面板数据中使用工具变量，Stata 提供了如下命令来执行2SLS:xtivreg depvar[varlist1] (varlist_2=varlist_iv) （选择项可以为fe ，re 等，表示固定效应、随机效应等。
详见help xtivreg ）如果存在内生解释变量，则应该选用工具变量，工具变量个数不少于方程中内生解释变量的个数。
“恰好识别”时用2SLS 。
2SLS 的实质是把内生解释变量分成两部分，即由工具变量所造成的外生的变动部分，以及与扰动项相关的其他部分；然后，把被解释变量对中的这个外生部分进行回归，从而满足OLS 前定变量的要求而得到一致估计量。
t p t q t p 二、异方差与自相关检验在球型扰动项的假定下，2SLS 是最有效的。
但如果扰动项存在异方差或自相关，面板异方差检验：xtgls enc invs exp imp esc mrl,igls panel(het)estimates store heteroxtgls enc invs exp imp esc mrl,iglsestimates store homolocal df = e(N_g) - 1lrtest hetero homo, df(`df')面板自相关：xtserial enc invs exp imp esc mrl则存在一种更有效的方法，即GMM 。
广义矩估计
广义矩估计一、背景我们前面学了OLS 估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。
矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。
那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。
本章详细介绍矩估计方法。
矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS 估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。
二、知识要点 1，应用背景2，矩估计存在的问题（识别） 3，矩正交方程和矩条件 4，矩估计的属性 三、要点细纲 1、应用背景其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量（在一个严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样(),,,12X X X n =X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数）将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程（包含总体的未知参数），利用这些方程求得总体的未知参数。
基本定义 统计量 11n m X i n i νν∑=为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）； 统计量 ()11n B X X i n i νν∑-=为子样的ν阶中心矩。
子样矩的均值与方差()()()()2222EXVar X E X E X kkEX E X kkμμμοαμμ=-=--我们用到k k αμ或时假定它是存在的。
基本做法设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中属于参数空间Θ的(),,,12k θθθθ=是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()(),,,,112x dF x k k ναθθθθνν∞=≤≤⎰-∞是(),,,12k θθθθ=的函数。
对于子样(),,,12X X X n =X ，其ν阶子样矩是1,11n m X k i n i ννν=≤≤∑=现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()1,,,1,2,,121n m X k ik n i ναθθθννν===∑= （1）（1）式确定了包含k 个未知参数(),,,12k θθθθ=的k 个方程式。
广义矩估计原理
广义矩估计原理
广义矩估计原理（Generalized Method of Moments，GMM）是
一种统计推断方法，用于估计具有多个未知参数的经济模型。
广义矩估计原理基于矩条件，在矩条件下，模型中的理论矩与实际观测到的矩之间存在一个关系。
通过最大化理论矩与实际矩之间的差异，可以估计模型的未知参数。
具体而言，广义矩估计原理可以通过以下步骤进行推断：
1. 确定一个合适的经济模型，包含多个未知参数。
2. 根据经济理论，得到模型中的理论矩。
3. 收集实际观测数据，并计算实际观测到的矩。
4. 定义一个矩条件，即理论矩与实际矩之间的差异。
这个差异被称为矩条件方程。
5. 通过最小化矩条件方程，可以得到未知参数的估计值。
6. 使用估计的参数值，可以进行经济模型的预测、推断等分析。
广义矩估计原理在实际应用中广泛使用，特别是在经济学、金融学等领域。
它可以用于估计各种经济模型，包括线性模型、非线性模型、计量经济模型等。
同时，GMM方法还可以处理
存在内生性、测量误差等问题的模型估计。
generalized method of moments
generalized method of moments
广义矩估计，即GMM（Generalized method of moments），是基于模型实际参数满足一定矩条件而形成的一种参数估计方法，是矩估计方法的一般化。
只要模型设定正确，则总能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用GMM 估计。
在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程（包含总体的未知参数），利用这些方程求得总体的未知参数。
广义矩估计是统计学和计量经济学中常用的一种半参数估计方法，Lars Peter Hansen1982年根据Karl Pearson1894年发明的矩
估计（method of moments）发展而来。
GMM的发明是Hansen得到2013年诺贝尔经济学奖的原因之一。
GMM的产生主要使用时机是最小二乘法的严格假设条件不成立时（例：解释变数与误差项有相关性），并且不知道资料的机率分布，以致不能使用最大似然估计时，GMM方法的宽松假设使得它在计量经济学（Econometrics）中得到广泛应用。
GMM估计法具有一致性、渐近正态分布，有效率等性质。