最新5广义矩估计汇总
广义矩估计61页PPT
yi h(Xi,)i i 1,n
n
xji i 0
i1
j1,2, ,k
n
xji(yih (X i, ) )0 j1 ,2 , ,k
i 1
• 一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。
yi h(Xi,)i i 1,n
n
zji i 0
i1
of GMM Estimation, Econometrica 50, p1029-1054 • 关于GMM 的总结 A. Pagan and M. Wickens, 1989: A Survey of Some Recent Economertic Methods, Economic Journal 99, p962-1025
• 关于GMM发展的讨论
R. Davidson and J. MacKinnon, 1993: Estimation and Inference in Econometrics, New York Oxford Univ. Press
一、广义矩估计的概念
⒈几个重要的性质
• 从方法论角度
– 变量设定的相对性：直接与间接、内生与外生、随机 与确定。
• 如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)0 yix1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x1i 0 yix2i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x2i 0
• 如果x2为随机变量，z1为它的工具变量，IV的正 规方程组为：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)0 yix1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x1i 0 yiz1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)z1i 0
系统广义矩估计公式
系统广义矩估计公式一、基本概念。
1. 矩估计（Method of Moments）- 矩估计是基于样本矩来估计总体矩的一种方法。
设总体X的分布函数为F(x;θ)，其中θ = (θ_1,θ_2,·s,θ_k)是未知参数向量。
总体的r阶矩μ_r = E(X^r)，样本的r阶矩为m_r=(1)/(n)∑_i = 1^nX_i^r。
通过令μ_r=m_r（r = 1,2,·s,k）得到关于θ的方程组，解这个方程组就得到θ的矩估计量。
2. 广义矩估计（Generalized Method of Moments，GMM）- 广义矩估计是矩估计的推广。
它是基于一些矩条件来估计模型参数的方法。
假设存在q个矩条件E[g(X_i,θ)] = 0，其中g(X_i,θ)是X_i和参数θ的函数向量，g(X_i,θ)=(g_1(X_i,θ),g_2(X_i,θ),·s,g_q(X_i,θ))'。
- GMM的目标函数是Q(θ)=n[g_n(θ)]'W_n[g_n(θ)]，其中g_n(θ)=(1)/(n)∑_i =1^ng(X_i,θ)，W_n是一个正定权重矩阵。
通过最小化Q(θ)得到θ的GMM估计量θ̂。
1. 动态面板数据模型中的应用。
- 考虑动态面板数据模型y_it=α y_i,t - 1+x_it'β+μ_i+ε_it，i = 1,·s,N，t = 1,·s,T，其中y_it是被解释变量，x_it是解释变量向量，μ_i是个体固定效应，ε_it是随机误差项。
- 对于这个模型，一阶差分可以消除个体固定效应μ_i，得到Δ y_it=αΔ y_i,t - 1+Δ x_it'β+Δε_it。
- 系统广义矩估计将水平方程y_it=α y_i,t - 1+x_it'β+μ_i+ε_it和差分方程Δy_it=αΔ y_i,t - 1+Δ x_it'β+Δε_it结合起来进行估计。
5广义矩估计
第1章 广义矩估计1.1矩估计1.1.1 总体矩与样本矩设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθ=θ是待估计的未知参数。
假定总体分布的m 阶矩存在，则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为()(),1kkk EX x dF x k m α+∝-∝=≤≤⎰θθ 1()[()]()[()],1kk k E X E x x E x dF x k m μ+∝-∝-=-≤≤⎰θθ 2两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩：()E X μ= 3 2222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。
对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是：11n kk i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5当k =1时，m 1表示X 的样本均值。
X 的k 阶中心矩是：()11nk ki i B X X n =-∑（1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。
1.1.2 矩估计方法矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ的函数。
根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。
因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令：()12,,,1,2,,k K km k K αθθθ==即：()11,1,2,,n kki i x dF x X k K n +∝-∝= = =∑∑θ 7上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ的K 个方程式，求解上式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ的一组解()12ˆˆˆˆ,,,k θθθ=⋯θ。
因为m k 是随机变量，故解得的ˆθ也是随机变量。
广义矩估计原理(一)
广义矩估计原理(一)广义矩估计1. 引言•矩估计是一种经典的参数估计方法，广义矩估计是其一种推广形式。
•广义矩估计是在总体矩的等式约束下，使用样本矩来估计参数的一种方法。
2. 矩估计回顾•矩估计是利用样本的矩来估计总体的矩。
•给定样本X1,X2,...,X n，我们可以计算出样本的前r阶原点矩m r以及样本的前r阶中心矩c r。
•假设总体的矩为M r，则矩估计的思想是找到参数的值，使得样本的矩与总体的矩尽可能接近。
•通常，矩估计中参数的选择可以通过求解样本矩与总体矩的差的最小二乘解得到。
3. 广义矩估计的基本思想•广义矩估计是在矩估计的基础上，加入了总体矩的约束条件。
•假设我们有k个未知参数θ1,θ2,...,θk，总共有r个矩约束条件。
•广义矩估计的目标是找到参数的值，使得样本的矩与总体的矩在满足约束条件下尽可能接近。
4. 广义矩估计的步骤1.设定参数的初值θ(0)。
2.根据θ(0)计算样本的矩m r。
3.根据θ(0)计算总体的矩M r。
4.构造一个r维的约束方程组，使得样本的矩与总体的矩在约束条件下尽可能接近。
5.求解约束方程组，得到参数的估计值θ(1)。
6.如果θ(1)收敛到θ(0)，则停止；否则，继续迭代，将θ(1)作为新的初值，重复步骤2到5，直到收敛。
5. 广义矩估计的性质•广义矩估计是一种相对于矩估计更为一般的估计方法，能够在矩约束条件下更灵活地估计参数。
•广义矩估计在样本充分大时具有渐近无偏性和渐近正态性。
•广义矩估计的效率较矩估计更高，但一般需要计算更复杂的方程组。
6. 总结•广义矩估计是在总体矩的约束下，使用样本矩来估计参数的一种方法。
•广义矩估计在矩估计的基础上，加入了总体矩的约束条件，能够更灵活地估计参数。
•广义矩估计具有渐近无偏性和渐近正态性，效率一般较矩估计更高。
•在实际应用中，广义矩估计是一种重要的参数估计方法，能够解决一些特定的参数估计问题。
7. 示例应用：广义矩估计的实际应用案例在实际应用中，广义矩估计是一种重要的参数估计方法，可以解决一些特定的参数估计问题。
广义矩估计PPT
j1,2, ,k
n
zj(iyih(X i, ) )0 j1 ,2 , ,k
i 1
• 一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。
e (y i,X i; )y i h (X i, )
1
1
m () ni
Z ie (y i,X i;
)Z 'e (y,X ; ) n
1
m
(
)
m1 m2
§2.2 广义矩估计
（GMM, Generalized Method of Moments）
一、广义矩估计的概念 二、广义矩估计及其性质 三、正交性条件和过度识别限制的检验 四、关于2SLS与GMM关系的讨论
关于GMM的主要文献
• 关于GMM最早的系统的描述 L. Hansen, 1982: Large Sample Properties of GMM
• 参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。
– 用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。 – 用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。 – 从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）
矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计 算总体参数（期望和方差）的估计量。
X(1)
1n ni1yi
X(2) 1 ni n1yi2
yix3i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆ3x3i)x3i 0
4个等于0 的矩条件， 求解4个
参数
为什么将x2 换为z1？
该方程组是如 何得到的？
如何求 解该方 程组？
y i 0 1 x 1 i 2 x 2 i 3 x 3 i i i 1 , 2 , , n
• 如果x2为随机变量，z1、z2 为它的工具变量， GMM关于参数估计量的矩条件为：
广义矩估计
1 广义矩估计1.1 基本知识矩方法是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
在严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样()12,,,n X X X =X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数。
1.2 基本定义：统计量 11n i i m X n νν=∑为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11ni i B X X n νν=-∑为子样的ν阶中心矩。
1.3 子样矩的均值与方差EX μ()()()2222Var X E X E X μμο=-=-kk EX α()kk E X μμ-约定，我们用到k α或k μ时假定它是存在的。
1.4 基本做法：设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθθ=是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()()12,,,,1k xdF x k νναθθθθν∞-∞=≤≤⎰是()12,,,k θθθθ=的函数。
对于子样()12,,,n X X X =X ，其ν阶子样矩是11nii m X nνν==∑，1k ν≤≤。
现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()()1211,,,1,2,,1n k ii m X kn ννναθθθν====∑（1）式确定了包含k 个未知参数()12,,,k θθθθ=的k 个方程式。
求解（1）式就可以得到()12,,,k θθθθ=的一组解()12,,,k θθθθ=⋯。
因为m ν是随机变量，故解得的θ也是随机变量。
将12,,,k θθθ⋯分别作为12,,,k θθθ的估计称为矩方法的估计，这种求估计量的方法称为矩方法。
定理 若()F x 存在2ν阶矩，则对子样的ν阶原点矩m ν，有[][]()221Em Var m nνννννααα==-。
广义矩估计
Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中 选择Bartlett，然后在Bandwidth selection中 选择 Fixed，再填写NW即为该情况。 其中Kernel options选择Bartlett，即是：
• Arg , Argument, 自变量、宗数
• W矩阵的阶数：J×J
以多元线性模型为例
yi 0 1 x1i 2 x2i 3 x3i i i 1,2,, n
• 如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：
ˆ ˆ x ˆ x ˆ x )0 yi ( 0 1 1i 2 2i 3 3i ˆ ˆ x ˆ x ˆ x )x 0 yi x1i ( 0 1 1i 2 2i 3 3i 1i ˆ ˆ x ˆ x ˆ x )x 0 y x ( i 2 i 0 1 1 i 2 2 i 3 3i 2i ˆ ˆ x ˆ x ˆ x )x 0 yi x3i ( 0 1 1i 2 2i 3 3i 3i
该方程组是如何 得到的？
0 0 0 0
5个等于0的 矩条件，求 解4个参数
如何求 解该方 程组？
⒉ GMM估计量
• min Q(β)=[(1/n)Z’(Y-Xβ)]’W[(1/n)Z’(Y-Xβ)]的1 阶极值条件（偏导为0）： -2X’ZWZ’Y+2X’ZWZ’Xβ=0 X’ZWZ’Xβ=X’ZWZ’Y 这是一个有K个未知参数，K个方程的线性方程组。 • 当lK时，Z’X是一个列满秩于K的矩阵。从而 (X’ZWZ’X)KK非奇异，于是有： β=(X’ZWZ’X)-1X’ZWZ’Y 即为原模型Y=X+的一个广义矩估计量。
广义矩估计公式
广义矩估计公式广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称 GMM）公式是计量经济学中一种重要的估计方法。
这玩意儿可不像咱们平时做算术题那么简单，它有着一套复杂但又有趣的逻辑。
我记得有一次给学生们讲解广义矩估计公式的时候，那场面真是“热闹非凡”。
当时我在黑板上写下了一堆复杂的符号和公式，看着他们一脸懵的表情，我就知道这是一场“硬仗”。
有个学生怯生生地举起手问我：“老师，这东西到底有啥用啊？感觉好抽象。
”我笑着回答：“别着急，咱们慢慢捋捋。
”广义矩估计公式的核心思想呢，就是利用样本矩来估计总体矩。
比如说，我们有一组数据，通过对这些数据的某些运算和处理，找到一种规律，从而推测出整个总体的情况。
咱们来具体说说这个公式。
它通常可以写成这样：\[\hat{\theta} = \underset{\theta}{\arg\min} \left[ g(X, \theta)'\cdot W\cdot g(X, \theta) \right]\]这里面的 \( \theta \) 就是我们要估计的参数， \( X \) 是观测到的数据， \( g(X, \theta) \) 是矩条件， \( W \) 是权重矩阵。
为了让大家更好地理解，我给大家举个例子。
假设我们要研究一个城市居民的收入水平和他们的教育程度之间的关系。
我们收集了很多居民的收入和教育程度的数据，然后通过广义矩估计公式，找到一个最合适的模型来描述这种关系。
比如说，我们设定 \( \theta \) 包括了教育程度对收入影响的系数等等参数。
\( g(X, \theta) \) 可能就是实际观测到的收入和根据模型预测的收入之间的差距。
在实际应用中，广义矩估计公式有很多优点。
它不需要对误差项的分布做出很强的假设，适用范围比较广。
而且，通过巧妙地选择权重矩阵 \( W \) ，可以提高估计的效率。
但是呢，这也不是完美无缺的。
极大似然估计和广义矩估计
05
案例分析
极大似然估计的案例
线性回归模型
在回归分析中，极大似然估计常用于估计线性回归模型的参数。通过最大化似然 函数，可以得到最佳线性无偏估计，使得预测值与实际观测值之间的误差最小。
正态分布参数估计
极大似然估计在正态分布的参数估计中也有广泛应用。例如，假设一组数据来自 正态分布，我们可以通过极大似然估计来估计均值和方差。
极大似然估计和广义矩估 计
• 引言 • 极大似然估计 • 广义矩估计 • 极大似然估计与广义矩估计的比较 • 案例分析 • 总结与展望
01
引言
主题简介
极大似然估计
极大似然估计是一种参数估计方 法，基于观测数据的概率分布模 型，通过最大化似然函数来估计 未知参数。
广义矩估计
广义矩估计是一种非参数估计方 法，通过最小化一系列矩（如一 阶矩、二阶矩等）的离差来估计 未知参数。
唯一性
在某些条件下，极大似然估计具有唯一性，即真实参 数值是极大似然函数的唯一最大值。
极大似然估计的步骤和实现
1 2
定义似然函数
根据数据分布和模型假设，定义似然函数。
求导并求解
对似然函数求导，并使用优化算法求解导数为零 的点，得到参数的极大似然估计值。
3
验证估计值
使用验证数据集验证估计值的准确性和有效性。
3. 优化目标函数
实现
使用优化算法（如牛顿法、拟牛顿法等） 最小化目标函数，以找到最优的模型参数 。
在编程语言（如Python、R等）中，可以 使用相应的统计库（如statsmodels、 EMMA等）来方便地实现广义矩估计。
04
极大似然估计与广义矩估计的比较
相似之处
理论基础
01
两阶段最小二乘 法和广义矩估计法
文章标题：深度解析两阶段最小二乘法和广义矩估计法近年来，随着数据分析和统计学的发展，两阶段最小二乘法和广义矩估计法逐渐成为了研究中不可或缺的重要工具。
它们在经济学、社会科学和金融领域都得到了广泛的应用。
在本文中，我们将深度探讨这两种方法的原理、应用和优劣势，以帮助读者更好地理解和运用这些工具。
一、两阶段最小二乘法的原理与应用1. 两阶段最小二乘法的概念和基本原理2. 两阶段最小二乘法在实际问题中的应用3. 两阶段最小二乘法的优劣势分析4. 个人观点和理解二、广义矩估计法的原理与应用1. 广义矩估计法的基本概念和原理2. 广义矩估计法在实际问题中的应用3. 广义矩估计法的优劣势对比4. 个人观点和理解总结与回顾在本文中，我们深入探讨了两阶段最小二乘法和广义矩估计法的原理、应用和优劣势。
我们了解到，两种方法都有各自的特点和适用范围，在实际问题中需要根据具体情况来选择合适的方法。
个人认为，在使用这两种方法时，需要对问题有深入的理解，结合实际情况进行灵活的运用才能取得更好的效果。
在本文中，我们对两阶段最小二乘法和广义矩估计法进行了深入的探讨，希望读者能够从中受益，更好地理解和运用这些方法。
也希望本文能够激发更多的讨论和思考，推动统计学和数据分析领域的发展。
以上便是我为您撰写的有关两阶段最小二乘法和广义矩估计法的文章，希望对您有所帮助。
如有任何问题或进一步需求，请随时告诉我。
在经济学、社会科学和金融领域，数据分析和统计学的发展带来了两阶段最小二乘法和广义矩估计法的广泛应用。
这两种方法在处理线性模型和复杂数据时非常有用，它们可以帮助研究人员从数据中提取有用的信息，理解变量之间的关系，并进行有效的预测和决策。
让我们更深入地了解两阶段最小二乘法。
这种方法的基本原理是通过两个阶段的线性回归来估计模型参数。
在第一阶段，利用外生变量对内生变量进行回归，得到内生变量的预测值。
在第二阶段，将内生变量的预测值作为解释变量，与其他外生变量一起进行线性回归，得到最终的参数估计值。
矩估计法的公式
矩估计法的公式摘要：一、矩估计法简介1.矩估计法的概念2.矩估计法在统计学中的应用二、矩估计法公式1.矩的定义2.矩估计法的推导过程3.常见矩估计量及其公式三、矩估计法的性质与特点1.矩估计量的性质2.矩估计法的优点与局限性四、矩估计法在实际问题中的应用1.参数估计问题2.假设检验问题正文：一、矩估计法简介矩估计法是一种常用的参数估计方法，它基于样本数据对未知参数进行估计。
矩估计法的核心思想是通过样本数据的矩（如均值、方差等）来估计总体的矩，从而得到参数的估计值。
矩估计法在统计学中有着广泛的应用，例如在区间估计、假设检验等问题中都有涉及。
二、矩估计法公式1.矩的定义矩是描述数据分布特征的一个量，它反映了数据围绕均值分布的情况。
对于连续型随机变量，其矩的定义如下：μk = E(X^k) = ∫x^kf(x)dx，k∈N其中，E(X^k) 表示随机变量X 的k 阶矩，f(x) 表示X 的概率密度函数，∫表示积分。
2.矩估计法的推导过程设总体分布为F(x)，参数为θ，根据矩的定义，我们有：E(X) = ∫xf(x;θ)dx = μθ其中，μθ表示总体均值，μ表示样本均值，θ表示参数。
根据样本数据，我们可以得到n 个样本观测值x1, x2, ..., xn，对应的样本矩为：S_n = (x1^2 + x2^2 + ...+ xn^2) / n对S_n 求导，可得：dS_n/dθ = 2(x1 + x2 + ...+ xn) / n令dS_n/dθ = 0，解得：θ= μ = (x1 + x2 + ...+ xn) / n因此，我们可以用样本均值μ作为参数θ的估计值。
3.常见矩估计量及其公式除了均值，还有其他一些常见的矩估计量，如方差、协方差等。
这里列举一些常见的矩估计量及其公式：- 样本均值：μ = (x1 + x2 + ...+ xn) / n- 样本方差：s^2 = (Σ(xi - μ)^2) / (n - 1)- 样本标准差：s = √s^2- 样本相关系数：r = Σ(xi - μ)(yi - μ) / (s * s")三、矩估计法的性质与特点1.矩估计量的性质矩估计量具有良好的性质，如无偏性、有效性、一致性等。
hansen 广义矩估计
hansen 广义矩估计
韩森广义矩估计
韩森广义矩估计是一种有效的数据拟合方法，它可以更好地拟合复杂的数据。
该方法基于广义矩的概念建立，并结合了参数估计原理，在不需要额外先验知识的前提下，对于含有多个变量和参数的数据集进行拟合。
它的基本思想是，在给定的参数空间中，对样本数据进行探索，并找出能使误差最小的参数组。
广义矩是指用于估计参数的误差函数，其基本形式类似于矩，但有一个额外的参数，用来给出更多的参数空间选择和参数优化能力。
它的优势在于可以拟合复杂的数据，而不需要太多的先验信息，因此它可用于估计多元变量函数及时间序列模型参数。
另外，它也可以用于添加或删除变量来改变这些模型的形式，从而让计算更加简单，更易于理解。
韩森广义矩估计方法也有一定的缺点，主要体现在估计结果可能受到数据噪声的影响，通常在需要处理离散数据时，会产生结果偏差。
在实际应用中，应当尽量避免在噪声数据中使用韩森广义矩估计方法。
- 1 -。
广义矩估计
广义矩估计一、背景我们前面学了OLS 估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。
矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。
那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。
本章详细介绍矩估计方法。
矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS 估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。
二、知识要点1，应用背景2，矩估计存在的问题（识别）3，矩正交方程和矩条件4，矩估计的属性三、要点细纲1、应用背景其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量（在一个严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样1的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数）将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程（包含总体的未知参数），利用这些方程求得总体的未知参数。
基本定义统计量 11n m X i n i νν∑=为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11n B X X i n i νν∑-=为子样的ν阶中心矩。
子样矩的均值与方差()()()()2222EX Var X E X E X k k EX E X k k μμμοαμμ=-=--我们用到k k αμ或时假定它是存在的。
基本做法设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中属于参数空间Θ的(),,,12k θθθθ=是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩 ()(),,,,112x dF x k k ναθθθθνν∞=≤≤⎰-∞ 是(),,,12k θθθθ=的函数。
对于子样(),,,12X X X n =X ，其ν阶子样矩是1,11n m X k i n i ννν=≤≤∑= 现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()1,,,1,2,,121n m X k i k n i ναθθθννν===∑= （1）（1）式确定了包含k 个未知参数(),,,12k θθθθ=的k 个方程式。
广义矩估计讲义
广义矩估计基本知识：矩方法是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
在严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样()12,,,n X X X = X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数。
基本定义：统计量 11n i i m X n νν=∑ 为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）；统计量 ()11ni i B X X n νν=-∑ 为子样的ν阶中心矩。
子样矩的均值与方差EX μ()()()2222Var X E X E X μμο=-=-k k EX α()kk E X μμ-约定，我们用到k k αμ或时假定它是存在的。
基本做法：设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθθ= 是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()()12,,,,1k x dF x k νναθθθθν∞-∞=≤≤⎰是()12,,,k θθθθ= 的函数。
对于子样()12,,,n X X X = X ，其ν阶子样矩是11,1n i i m X k n ννν==≤≤∑现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()()1211,,,1,2,,1n k ii m X kn ννναθθθν====∑（1）式确定了包含k 个未知参数()12,,,k θθθθ= 的k 个方程式。
求解（1）式就可以得到()12,,,k θθθθ= 的一组解()12,,,k θθθθ=⋯。
因为m ν是随机变量，故解得的θ 也是随机变量。
将12,,,k θθθ⋯分别作为12,,,k θθθ 的估计称为矩方法的估计，这种求估计量的方法称为矩方法。
定理 若()F x 存在2ν阶矩，则对子样的ν阶原点矩m ν，有 [][]()221E m V a r m nνννννααα==-。
证明：[]111111n n n i i i i i E m E X E X n n n ννννναα===⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑ []()22Var m Em Em ννν=-2211ni i E X nννα=⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 2222111n i i j i i j E X X X n n ννννα=≠⎛⎫⎪=+- ⎪⎝⎭∑∑∑ 2222111ni i j i i jE X E X X nn ννννα=≠⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦∑∑∑2222111ni j i i jE X E X nn νννναα=≠⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦∑∑∑ ()2222111n n n nνννααα=+-- 2211n nνναα=-。
广义矩方法
1、广义矩方法（GMM）广义矩方法是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是聚集方法的一般化。
GMM的优点：仅需要知道一些矩条件，而不需要知道随机变量的分布密度（如极大似然估计）。
这可能是一个缺陷，因为GMM经常不能对样本中的全部信息进行有效利用。
并且如果如果模型的设定是正确的, 则总能找到该模型实际参数满足的若干矩条件而采用GMM。
广义矩估计选择的矩估计方程个数多于待估参数的个数时, 必须选择参数使它尽可能地与各个矩估计方程配合, 来调和将出现在过度识别系统中的互相冲突的估计。
一种办法就是最小化准则函数。
令θ为参数向量, m(θ)为样本矩条件。
最小化准则函数即使J T = m (θ)′m (θ)最小。
考虑到不同的矩条件所起的作用不同, 人们希望某些矩条件的作用大些、某些矩条件的作用小些, 因此引入了加权矩阵, 它反映了各阶矩在GMM 中的重要程度。
由此问题转化成了使J T = m (θ)′w(θ)m (θ)最小。
这里W (θ) 是一个正定权重矩阵, 它反映了与每一个矩条件相配合的重要性。
GMM 估计量就是使J T最小化时的参数估计量θ, 即θ= argmin [m (θ)′w(θ)m (θ) ]。
其中, m (θ) 为样本矩条件, 是m * 1 维的正交条件。
权重矩阵W (θ) 为m * m 维的正定对称矩阵, θ为L* 1 维向量,L≤m。
为使J T 极小化, 对J T关于θ求导, 得到一阶条件m (θ)′W (θ) m (θ) = 0其中, m (θ) 是m (θ) 关于θ的Jacobian 矩阵。
GMM 估计的核心问题是对加权矩阵的选择问题。
如果选取的矩条件个数恰好等于待估参数的个数, 就属于“恰好识别”( just -ident ified) 的类型, 无论权重矩阵如何选取, 都有最小值0。
如果选取的矩条件个数多于待估参数的个数, 就属于“过度识别”(over-identified)的类型, 这时并不是每个矩条件都能得到满足, 而权重矩阵W决定了各个矩条件的相对重要性。
广义矩估计 中介效应
广义矩估计中介效应1 简介广义矩估计是一种用于统计分析的方法，通常用于确定数据的概率分布和参数。
中介效应（mediation effect）是指在两个变量之间存在实际的关系，并由第三个变量作为中介传递这种关系。
在统计分析中，中介效应常常与广义矩估计一起使用。
2 中介效应的定义中介效应是指在两个变量之间存在一个中介变量，这个中介变量对两个变量之间的关系起到了一定的作用，从而在两个变量之间产生了中介效应。
简单来说，如果变量A与变量B之间有直接关系，但变量C在这两个变量之间起到了调节的作用，那么变量C就是中介变量，变量A与变量B之间的关系就产生了中介效应。
3 广义矩估计的定义广义矩估计是一种基于样本数据概率分布的估计方法。
这种方法通常用于确定数据的分布形式及其参数，以便进一步分析和测量数据的特征。
广义矩估计的实现过程比较复杂，需要选取合适的模型，并根据模型进行参数估计。
这种方法通常被用于随机过程、金融分析和自然科学等领域。
4 广义矩估计的应用广义矩估计在统计分析中有着广泛的应用，特别是在金融分析领域。
它可以用于确定股票价格、利率、汇率等变量的概率分布和参数值，从而更好地预测未来市场的行情。
此外，广义矩估计还可以用于研究自然界的现象，如天气、地质构造等。
5 广义矩估计和中介效应的关系在统计分析中，广义矩估计和中介效应常常一起使用。
广义矩估计可以用于确定变量之间概率分布和参数，而中介效应则可以用于确定变量之间的关系。
当变量之间有中介关系时，我们可以使用广义矩估计来估计中介效应的大小，并确定中介变量对两个变量之间关系的作用程度。
6 结论广义矩估计和中介效应是在统计分析中常用的两个概念。
它们之间有密切的关系，广义矩估计可以用于确定变量之间的概率分布和参数，从而更好地分析和预测变量之间的关系；中介效应可以用于确定变量之间的中介关系，并估计中介变量的作用程度。
在实际应用中，我们可以综合使用这两种方法，得到更准确的分析结果。
两阶段系统广义矩估计方法
两阶段系统广义矩估计方法引言：广义矩估计方法是一种常用的统计推断方法，广泛应用于参数估计问题。
在许多实际问题中，参数估计是非常重要的，因为它可以帮助我们了解数据背后的规律和模式。
本文将介绍一种基于两阶段系统的广义矩估计方法，该方法在参数估计中具有一定的优势。
一、两阶段系统简介两阶段系统是一种常见的统计模型，它由两个随机变量组成。
第一阶段生成观测数据，第二阶段生成辅助数据。
两阶段系统的参数估计问题可以通过广义矩估计方法来解决。
二、广义矩估计方法广义矩估计方法是一种基于矩的参数估计方法。
在参数估计中，我们通常希望通过观测数据来估计未知参数的值。
广义矩估计方法通过设定一组矩条件来确定参数的估计值。
1. 第一阶段矩条件在两阶段系统中，第一阶段生成了观测数据。
我们可以利用观测数据的矩条件来确定参数的估计值。
矩条件是指参数的矩的函数等于相应观测数据的矩。
通过求解矩条件方程组，我们可以得到第一阶段参数的估计值。
2. 第二阶段矩条件在两阶段系统中，第二阶段生成了辅助数据。
我们可以利用辅助数据的矩条件来确定参数的估计值。
与第一阶段类似，通过求解矩条件方程组，我们可以得到第二阶段参数的估计值。
3. 综合估计通过第一阶段和第二阶段的参数估计值，我们可以得到整个两阶段系统的参数估计值。
这个估计值是基于广义矩估计方法得到的，可以用于解决参数估计问题。
三、两阶段系统广义矩估计方法的优势两阶段系统广义矩估计方法在参数估计中具有一定的优势，主要体现在以下几个方面。
1. 数据利用率高两阶段系统广义矩估计方法可以充分利用观测数据和辅助数据。
通过设定矩条件方程组，我们可以利用所有可用的数据来估计参数的值，提高了数据的利用率。
2. 参数估计精度高广义矩估计方法可以通过设定合适的矩条件来提高参数估计的精度。
通过求解矩条件方程组，我们可以得到参数的最优估计值，从而提高了参数估计的精度。
3. 模型适应性强两阶段系统广义矩估计方法可以适用于不同的统计模型和数据类型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5广义矩估计第1章 广义矩估计1.1 矩估计1.1.1 总体矩与样本矩设总体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中来自参数空间Θ的()12,,,k θθθ=θ是待估计的未知参数。
假定总体分布的m 阶矩存在，则总体分布的k 阶原点矩和k 阶中心矩为()(),1kkk EX x dF x k m α+∝-∝=≤≤⎰θθ 1()[()]()[()],1kk k E X E x x E x dF x k m μ+∝-∝-=-≤≤⎰θθ 2两种常见的情况是一阶原点矩和二阶中心矩：()E X μ= 32222()[()]()Var X E X E X μμσ=-=- 4一阶原点矩表示变量的期望值，二阶中心矩表示变量的方差。
对于样本12(,,,)n X X X =X ，其k 阶原点矩是：11n kk i i m X n ==∑（1k m ≤≤） 5当k =1时，m 1表示X 的样本均值。
X 的k 阶中心矩是：()11nk kii B X X n =-∑（1k m ≤≤） 6 当k =2时，B 2表示X 的样本方差。
1.1.2 矩估计方法矩方法（moment method ）是一种古老的估计方法。
其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
总体分布的k 阶矩为()12,,,K θθθ=θ的函数。
根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩。
因此，可以用样本矩作为总体矩的估计，即令：()12,,,1,2,,k K km k K αθθθ==即：()11,1,2,,n kki i x dF x X k K n +∝-∝= = =∑∑θ 7上式确定了包含K 个未知参数()12,,,K θθθ=θ的K 个方程式，求解上式所构成的方程组就可以得到()12,,,K θθθ=θ的一组解()12ˆˆˆˆ,,,k θθθ=⋯θ。
因为m k 是随机变量，故解得的ˆθ也是随机变量。
这种参数估计方法称为矩方法，()12ˆˆˆˆ,,,kθθθ=⋯θ即是()12,,,K θθθ=θ的矩估计量。
定理：X 的分布函数F (X )存在2ν阶矩，则对样本的ν阶原点矩m v ，则矩的期望和方差为：[]E m ννα=，[]()221Var m nννναα=- 8 证明：[]111111n n n i i i i i E m E X E X n n n ννννναα===⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑[]()22Var m Em Em ννν=-2211n i i E X n ννα=⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭∑ 2222111n i ij i i j E X X X n n ννννα=≠⎛⎫⎪=+- ⎪⎝⎭∑∑∑ 2222111ni i j i i jE X E X X n n ννννα=≠⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦∑∑∑2222111ni j i i jE X E X n n νννναα=≠⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦∑∑∑ ()2222111n n nnνννααα=+-- 2211nnνναα=-。
矩方法的一般步骤：Step1：总体矩条件（population moment condition ）：(),t =m w θ0。
一般情况下，矩条件可以写为：[(,)]t E f =w θ0。
给定观测样本12(,,,)T y y y ，总体矩无法计算。
但可以计算总体矩条件对应的样本矩条件。
Step2：样本矩条件（sample moment condition ）：()ˆ,t =mw θ0。
一般情况下，矩条件可以写为：11(,)Tt t f T ==∑w θ0 根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即()()prˆ,,t t −−→m w θm w θStep3：令样本矩=总体矩，得到矩方程，解方程（组）得到未知参数的矩估计量。
在很多情况下，我们可以根据矩条件构建矩方程，然后求解未知参数。
一般情况下，这些矩条件都是可以直接观察到（或假定）的。
例 1.1 假定随机变量 y t 的均值()t E y μ=存在但未知，利用矩方法进行估计。
Step1：总体矩：令(),t t f y y μμ=-，则(),0t E f y μ⎡⎤=⎣⎦Step2：样本矩为：()()()1111ˆ,,0T Tt t t t t my f y y T T μμμ====-=∑∑ 根据大数定理，样本矩依概率收敛于总体矩，即()()prˆ,,t t m y E f y μμ⎡⎤−−→⎣⎦解上述方程即可得到μ的矩估计量11ˆTMM t t y T μ==∑1.1.3 矩方法的几个特例很多估计方法（比如OLS 、TSLS 等）都是矩估计的特殊形式。
1．OLS 估计例2：在回归方程中，t t t y u =+x β ，其中12(,,,)t t t Kt x x x =x ，12(,,,)'K βββ=β。
假定t u 的条件均值()|t t E u x 为0，则()()||t t t t t E y E u =+x x βx()()||t t t t E E u =+x βx x t =x β由()|0t t E u =x 和迭代期望公式可以得出：(')['()]0t t t t t E u E y =-=x x x β其对应的样本矩条件为：()()()(1)111ˆ,''T t t t t K t y T T⨯=⎡⎤=-=-=⎣⎦∑m x βx x βx y x β0 解上述方程可以得到MM 估计量：1111ˆˆ''(')T TMMt t t t OLS t t y --==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑βx x x x x xy β2． IV 估计考虑如下回归模型：1122t t t t y u =++x βx β 9其中，()121,t t t K ⨯=x x x ，x 1t 包括K 1个外生变量，但2t x 包括K 2个内生变量，即()1'0t t E u =x 10 ()2'0t t E u ≠x 11设x 2的工具变量为z 2，z 2包括K 2个工具变量，z 2满足()22,0t t Corr ≠z x 12()2,0t t Corr u =z 13（10）（13）共同构成了新的矩条件，定义()121,t t t K ⨯=z x zz 为工具变量，其中x 1t 仍然作为自身的工具变量，而z 2t 作为x 2t 的工具变量。
K=K 1+K 2个总体矩条件为：()()()1,''t t t t t t K E u E y ⨯⎡⎤= =-=⎣⎦m w θz z x β0 14相应的样本矩为：()()()(1)111ˆ,''T t t t t K t y T T⨯=⎡⎤=-=-=⎣⎦∑m w θz x βz y x β0 15 MM 估计量为：1111ˆˆ''(')T TMMt t t t IVt t y --==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑βz x z z x zy β 161.2 广义矩广义矩（Generalized Moment Method ）是由矩方法发展而来，其奠基之作是Hansen （1982）。
1.2.1 GMM 方法的引入设模型设定为：t t t y u =+x β其中，12(,,,)t t t Kt x x x =x ，12(,,,)'K βββ=β，z t 为工具变量（1⨯L ）。
令(),,t t t t y =w x z ，则L 个矩条件为：()()()1,''t t t t t t L E u E y ⨯⎡⎤==-=⎣⎦m w θz z x β0 17即：()()''E E =z x βz y对应的样本矩条件为：()()()1111ˆ,''T t t t t L t y T T ⨯=⎡⎤=-=-=⎣⎦∑m w θz x βz y x β0 18 从上式可以看出，(1) L < K ，即工具变量的个数小于未知参数的个数时，矩条件方程()ˆ,0t =mw θ无解，参数不能识别。
(2) L = K ，即工具变量的个数等于未知参数的个数时，矩条件方程()ˆ,0t =mw θ唯一解，参数恰好识别。
估计量为：1111ˆ''(')T Tt t t t t t y --==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑βz x z z x zy 19如前所述，OLS 估计量和IV 估计都是这种情况下的特殊形式。
(3) L > K ，即工具变量的个数大于未知参数的个数时，采用不同的矩方程可以得到不同的解，因此，矩方程具有多个解。
1.2.2 秩条件与阶条件从（17）式得到的矩条件方程为： [(')](')E E =z x βz y可以看出，要使得β有解，[(')][('')]Rank E Rank E =z x z x z y 。
如果[(')]Rank E K =z x ，则存在唯一解；如果[(')]Rank E K <z x ，则无解；[(')]Rank E K >z x ，则存在多个解。
要得到β的唯一解，矩阵(')z x 的转置必须存在。
而(')z x 为L K ⨯阶矩阵，因此，β有唯一解的充分条件是[(')]Rank E K =z x ，称之为工具变量的秩条件。
秩条件(')Rank K =z x 暗含的另外一个假定是L ≥K ，即工具变量的个数大于内生解释变量的个数。
称之为工具变量的阶条件。
如果L>K ，称为过度识别；如果L=K ，则称为恰好识别。
1.2.3 GMM 估计及渐进特征当L > K 时，秩条件不成立，MM 方法存在多个解。
这时，可以采用两种方法。
其一，将多个工具变量组合成为K 个工具变量。
这即是2SLS 。
在2SLS 中的第一阶段，用每一个内生变量对L 个工具变量回归，得到K 个拟合值；然后，用这K 个拟合值作为工具变量进行LS 回归。
第二种方法即是GMM 估计。
后面将会看到，TSLS 方法是GMM 方法在同方差假定下的特例。
GMM 方法即是解决L > K 情况下的一般方法。
GMM 方法完全是根据矩条件来估计参数，因此对扰动项的分布形式没有任何假定，这一点使GMM 估计成为稳健性分析中的重要应用。
1．GMM 估计广义矩方法即是处理过度识别情况的一般方法。
首先来看一下如何将MM 估计推广到GMM 估计。
设模型为y =f(x, β)+ux 中包含K 个变量，L 个工具变量表示为z 。