高二数学分类计数原理和分步计数原理2

①
②
③
④ ⑤
3 × 2 × 1× 1× 2 = 12
例題講解 例3．甲、乙两个正整数的最大公约数为60，求甲、 乙两数的公约数共有多个？
例4．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不 同的数作为抛物线方程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数， 如果抛物线过原点，且顶点在第一象限，这样的抛物 线共有多少条？
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4．72含有 12 个正约数，在这些约数中，正偶数有 9 个。
5．用五种不同的颜色给图中四个区域涂色，如果每一区域涂 一种颜色，相邻的区域不能同色，那末涂色的方法有 240 种。
6．由数字1，2，3，4，5，6中取若干个数相加，其和是偶 数的取法有 种。
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7．由壹元币3张，伍元币1张，拾元币2张，可以组成 23 种 不同的币值。
9．事件A发生导致事件B发生，若A发生的方式有m种，B 发生的方式有n种，则A、B相继发生的方式有 mn 种。
例題講解 例1 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球， 所有这些小球的颜色互不相同． (1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
5．A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，则从A到B的映射有 81 个。 _____
6．某镇有三家旅店，现有5名旅客住店，则不同的投宿方法 有243种。 7．三位正整数全部印出，“0”这个铅字需要用 180 个。
8．直线l上有7个点，直线m上有8个点，则通过这些点中的 两点最多有 58 条直线。
解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是 从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种 方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可以从4个小球中 任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种 数是N＝m1＋m2＝5＋4＝9． 答： 从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法． (2)从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第 一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步从第二个 口袋内取1个小球，有4种方法，根据分步计数原理，得到不同 的取法的种数是N＝m1×m2＝5×4＝20 答： 从两个口袋内各取1个小球，有2年级四个班学生34人，其中一、二、三、四 班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小 组． （1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？ （2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？ （3）推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有 多少种不同的选法？
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A C
B D
；
/ 助孕
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父亲的脸由晴转阴，深深的皱纹间流露出内心的愁思，“是啊，她的阿爹过世了，只靠一个女人支撑着这个家，也不知道她们的日子 究竟怎么过，你也该去看看她们把荷花领回家了„„” 深秋，走在较为宽阔的川道上，这里的沟壑不再深险，各种农作物在这儿茁壮成长，为广袤的黄土高原披上了五彩缤纷的盛装。玉米 长的似牛角，山坳那片高粱像团火，黄橙橙的谷子在微风里向你弯腰致意，土豆花、荞麦花、葵花点缀着整个山坡。 在一片荞麦地边，一户农家正在喂养着羊群，一个小男孩手拿皮鞭帮他的父亲看护着，顽皮的脸上流露着自然的满足和幸福。 “老乡——，借问一下去和川镇怎么走？”隔着这片荞麦地我大声地向他们喊了起来。小孩的父亲指了指山坡的另一边，“翻过这个 岭再走二里地就到了。”他的声音很洪亮，“你到谁家去？” “我是从山东来的，要到一个叫苏荷花的女孩家去。” “客人，你走错路了，我们村没有一家是姓苏的。”他站在山坡上毫不犹豫 地回答。 “老乡，十多年前我来过这儿，他家就住在附近山坡的窑洞里，也是从山东来的„„他家有七个姑娘一个儿子，有个叫五妮子六丫头 的„„” “我知道了，他家不姓苏姓刘，刘荷花是他家的第七个女儿„„”他看着我们笑了，红红的面色露出庄稼人特有的憨厚与质朴。 “现在的条件好了，农村实行了房屋规划，他家已搬到镇上的村子里去了。”他一边说一边吩咐身边的小男孩，“让我家的狗娃带你 们去吧。” 小男孩听了他父亲的话一蹦一跳地向我们跑来„„在小男孩地带领下，我们来到了一所爱心小学。院子不大，房屋很陈旧，高高升起 的五星红旗迎风飘扬。 我们悄悄地凑到教室门前，透过玻璃门窗依稀地可以看到教室里的摆设十分简陋。从背影我看得出来，教师是一个女孩，她一手扶着 讲桌一手用教鞭指着黑板，背对着我们有声有色地读着，“母亲，祖国，祖国就是母亲，母亲养育了我们，我爱我的祖国„„” 孩子们异口同声地朗诵起来，“母亲，祖国，祖国就是母亲，母亲养育了我们，我爱我的祖国„„” “同学们，我们每个人都爱自己 的母亲，热爱我们的祖国，下面请你们每个人说出一句赞美母亲热爱祖国的话。” 孩子们争先恐后地举起手来。 “世上只有妈妈好！”一个男孩喊了起来 。紧接着是一个女孩的声音：“咱们的祖国像花园。” “祖 国妈妈，我爱你！” “祖国万岁！”„„„„ “报告老师，小石头没有了妈妈，他该说些什么？”教室的气氛宁静下来，所有的目光投向了最前排墙角 处的男孩身上。 后来，我才知道，他是一个不幸的弃儿，几年前，他的父母离异，没有人领养他。他只能与他那年过半百的爷爷奶奶生活在一起，失 去了母爱父爱的他从此变得性格内向，不愿意和其他小朋友在一起玩耍。 “老师„„我想妈妈了„„”小石头哭了起来。 “小石头„„你的遭遇使我想起了一个女孩儿的经历，老师给你们讲一个鲜为人知 的故事好吗？” 孩子们点点头聚精会神地听起来。 “故事„„就从这儿讲起吧。”她整理了一下思绪讲了起来。
9．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对 数的底数和真数，可得到 17 个不同的对数值．
10．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边 形有公共边的有_______ 40 个． 11．某班宣传小组要出一期向英雄 学习的专刊，现有红、黄、白、绿 、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求 在黑板中A、B、C、D每一部分只 写一种颜色，如图所示，相邻两块 颜色不同，则不同颜色的书写方法 共有180 种．
例題講解 例2、 用红、黄、蓝3种颜色给下图中① ② ③ ④ ⑤五 个区域涂色，要求相邻两个区域的颜色不同，有多少种 不同的涂法？ 解：涂色可分5步进行： 第一步：涂区域①，有3种选择；
第二步：涂区域② ，有2种选择；
第三步：涂区域③ ，有1种选择； 第四步：涂区域④ ，有1种选择； 第五步：涂区域⑤ ，有2种选择； 由分步计数原理得，涂法数为
例題講解 例5．电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱， 其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信， 甲信箱中有30封，乙信箱中有20封．现由主持人 抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再 从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多 少种不同的结果？
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1．已知集合A={x| －2≤x≤10，x∈Z}，m, n∈A，方程
前課複習
１．分类计数原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在 第一类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种 不同的方法，… …，在第n类办法中有mn种不同的方法。那 麽完成这件事共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。 2.分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …， 做第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 3.分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完 备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可， 就用分步计数原理。
課前练习
1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数 是( C ) A. 12 B.64 C.81 D.7 2、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可 能方式有 （ A ）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
x2 y 2 1 表示长轴在x轴上的椭圆，则这样的椭圆共有 m n
（A）45个
（B）55个
（C）78个
（D）91个
2．某赛季足球比赛的计分规则是，胜一场得3分，平一场 得1分，负一场得0分，一球队打完15场，积33分，若不考 虑顺序，则该队胜、平、负的情况可能有 3 种。 3．（1）若x, y∈N且x+y≤6，则有序自然数对(x, y)有 28 个； （2）若1≤x≤4, 1≤y≤5，以有序整数对(x, y)为坐标的点有 个。 20
3．如图：甲 乙，在儿童公园中有四个圆圈组成的 连环道路，从甲走到乙，不同的路线的走法有（ D ）。 （A）2种 （B）8种 （C）12种 （D）16种 4．5个高中应届毕业生报考3所重点院校，每人报且仅报一 所院校，则不同的报名方法共有（ A ）种。 （A）35 （B）53 （C）15 （D）6
課前练习