2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.4函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用课

3.4 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017届江苏无锡模拟)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：令x ＝0得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B 、D 项；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C 项，故选A.答案：A2．函数y ＝sin x －cos x 的图象可由y ＝sin x ＋cos x 的图象向右平移( ) A.3π2个单位 B ．π个单位 C.π4个单位 D ．π2个单位解析：y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin x －π2＋π4. 答案：D3．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，0＜φ≤π2，且此函数的图象如图所示，则点P (ω，φ)的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2B ．⎝⎛⎭⎪⎫2，π4C.⎝⎛⎭⎪⎫4，π2D ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π4解析：∵T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫7π8－3π8＝π，∴ω＝2.∵2×3π8＋φ＝π，∴φ＝π4，∴选B.答案：B4．(2017届贵州省适应性考试)将函数f (x )＝sin2x ＋π6的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ≤π2个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则φ＝( )A.π6 B ．π4C.π3D ．π2解析：将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ≤π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋φ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0＜φ≤π2，所以φ＝π6. 答案：A5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B ．32C.22D ．1解析：由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又∵－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.而x 1＋x 2＝2×π12＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.答案：B6．如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，为了得到y ＝sin x (x ∈R )的图象，只需将函数f (x )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：由题图可知A ＝1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∵题图过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数的单调递减区间上，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴23π＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2k π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y ＝sin x 的图象，故选D.答案：D7.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝( )A ．－23B ．－12C.23D ．12解析：由图象可知所求函数的周期为23π，故ω＝3，将⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，0代入得114π＋φ＝π2＋2k π，所以φ＝－9π4＋2k π(k ∈Z )，令φ＝－π4代入解析式得f (x )＝A cos3x －π4，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－A cos π4＝－23，即A cos π4＝23，所以f (0)＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝A cos π4＝23，故选C. 答案：C8．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.解析：由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.答案：09．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝ 3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，310．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 解析：由角φ的终边经过点P (－4,3)，可得cos φ＝－45，sin φ＝35.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得周期为2πω＝2×π2，解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.答案：－4511．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)由题图得f (0)＝32，所以cos φ＝32， 因为0＜φ＜π2，故φ＝π6.由于f (x )的最小正周期等于2， 所以由题图可知1＜x 0＜2， 故7π6＜πx 0＋π6＜13π6， 由f (x 0)＝32得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，x 0＝53.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＋π6＝cos πx ＋π2＝－sin πx ，所以g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6－sin πx ＝cos πx cos π6－sin πx sin π6－sin πx ＝32cos πx －32sin πx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13时，－π6≤π6－πx ≤2π3.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－πx ≤1，故π6－πx ＝π2，即x ＝－13时，g (x )取得最大值3； 当π6－πx ＝－π6，即x ＝13时，g (x )取得最小值－32. 12．(2017届湖北百所重点学校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin x －π4cos x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ＜0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，f (x )取最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ＞1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ＞1相矛盾．综上所述，λ＝12.[能 力 提 升]1．(2017届湖北百所重点学校联考)若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π12，－2π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( )A. 2 B ．22 C.62D ．24解析：由题设可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝±1，故π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由题设可知，函数f (x )＝2sin2x＋π3的对称轴为x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，当k ＝－2时，x ＝－11π12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π12，－2π3，所以x 1＋x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝－11π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－11π6＝62，故选C.答案：C2．(2018届湖北七市(州)4月联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称解析：∵f (x )＝a sin x －b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x －φ)，其中tan φ＝b a ，由x ＝π4处取得最大值，则π4－φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即－φ＝π4＋2k π(k ∈Z )，∴f (x )＝a 2＋b 2sin(x －φ)＝a 2＋b 2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝a 2＋b 2·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π4＝a 2＋b 2cos x ，它是偶函数，且图象关于点k π＋π2，0(k ∈Z )对称，故选B.答案：B3．(2017届山东潍坊3月模拟)已知函数f (x )＝4sin ωx －π4·cos ωx 在x ＝π4处取得最值，其中ω∈(0,2)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若α为锐角，g (α)＝43－2，求cos α.解：(1)f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4·cos ωx ＝4⎝⎛⎭⎪⎫22sin ωx －22cos ωx ·cos ωx＝22sin ωx ·cos ωx －22cos 2ωx ＝2(sin2ωx －cos2ωx )－ 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4－ 2. ∵f (x )在x ＝π4处取得最值，∴2ω·π4－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝2k ＋32，k ∈Z .∵ω∈(0,2)，∴ω＝32.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－2， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π3.(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，得到h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π36－π4－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6－2， 再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－2，故g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2＝43－2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝23.∵α为锐角，∴－π6＜α－π6＜π3.因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 故cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·sin π6＝53×32－23×12＝15－26.。