长江大学08级离散试卷A答案

一 判断题(每小题1分，共 15分)1、 若图G 是自对偶的，则e=2v-2 (T)2、 “离散数学是很有趣的一门课程”，这句话是命题。

（T ）3、 函数的复合既能交换也能结合。

（F ）4、 如果A ∨C ⇔B ∨C ，则A ⇔B （F ）5、 设G=<V,E>为连通图，且e ∈E,则当e 是G 的割边时，e 才在G 的每棵生成树中。

（T ） 6、 )()(R Q P Q ∨↔→是合式公式。

（T ）7、 任何阶数为4的群都是阿贝尔群。

（T ）8、 设G 是简单连通图，且有v 个结点，e 条边，若G 是平面图，则e ≤3v-6。

（T ） 9、 一个循环群的生成元是唯一的。

（F ） 10、 有任意集合A 、B ，则f(A ∩B)⊆f(A)∩f(B)且f(A)∩f(B)⊆f(A ∩B)。

（F ） 11、 )()()()())()()((x B x x A x x B x A x ∃∧∃⇔∧∃（F ）12、对任意集合A ，B ，C ，如果A ∈B 以及B ⊆C ，则A ⊆C 。

（F ）13、 整数集上的同余类是对整数集的一个划分。

（T ） 14、 有限半群中存在等幂元。

（T ） 15、 设<A,*>是一个代数系统，且|A|>1，若该代数系统中存在幺元和零元，则幺元与零元相等。

（F ）二 、选择题(每小题2分，共 22分)1、 一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，则该树有（D ）片树叶。

B. 7 C. 8 2、图1中v 1到v 4 长度为2的路有（A ）条A. 1B. 2C. 3v 4v 13、设A={1，2，3，4}，B={a ，b ，c ，d}，f 定义为：{<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>}，则f （D ）。

A.不是函数B.仅为入射函数C.仅为满射函数D.是双射函数4、设F(x)：x 是乌鸦；G(x,y)：x 与y 一般黑，则“天下乌鸦一般黑”可以符号化为：(A)A.)),()()()()((y x G y F x F y x →∧∀∀B.)),()()()()((y x G y F x F y x →∧∃∀C.)),()()()()((y x G y F x F y x →∧∃∃D.)),()()()()((y x G y F x F y x →∧∀∃5、给定下列谓词公式，则是矛盾式的公式为（C ） A.))()()((x P x P x ⌝→⌝∀ B. )()()()(x P x x P x ∃→∀C.)()())()(()()((y Q y y Q y x P x ∀∧∀→∀⌝D.),())((),())((y x P y x y x P y x ∀∃→∃∀6、设有下列四个集合，偏序关系为整除，则是全序关系的为（D ） A. {3,5,15} B.{1,2,3,6,12} C.{3,4,12} D.{3,9,27,54}7、设集合P={x1，x2，x3，x4，x5}上的偏序关系如图2所示，则下列说法中正确的是（A ）A 、P 的最大元素为x1 ，无最小元素，极小元素为x4，x5 ，极大元为素x1B 、P 无最大元素，也无最小元素，极小元素为x4，x5 ，极大元为素x1C 、P 的最大元素为x1 ，无最小元素，也无极小元素 ，极大元为素x1D 、P 的最大元素为x1 ，最小元素为x4，x5，极小元素为x4，x5 ，极大元为素x1x 1x 4x 5x 28、集合A={a ，b ，c}，A 上的关系R={（a ，b ），（a ，c ），（b ，a ），（b ，c ），（c ，a ），（c ，b ），（c ，c ）}，则R 具有关系的（B ）性质。

A 、自反性B 、对称性C 、反对称性D 、传递性 9、下面给出的一阶逻辑等价式中，（B ）是错的。

)).(()(.));(()(.);()())()((.);()())()((.x B A x x xB A D x A x x xA C x xB x xA x B x A x B x xB x xA x B x A x A →∀=∀→⌝∃=⌝∀∀∨∀=∨∀∃∨∃=∨∃10、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（C ）。

A ．析取范式B ．合取范式C ．主析取范式D ．以上答案都不对 11、已知图G 的相邻矩阵为 A(G) 则G 有（A ）。

A. 5点，8边B. 6点，7边C. 5点，7边D. 6点，8边A(G)=三 、填空题(每空2分，共 30分)1、 n 为 奇数 时，无向完全图K n 是欧拉图。

n 为２时，无向完全图K n 仅存在欧拉通路而不存在欧拉回路。

2、 如图2，则k(G)= 2 λ(G)= 2 δ(G)= 2图23、 假设X 和Y 是有穷集合，则从X 到Y 存在入射的必要条件是|X| ≤|Y| ，且f(x 1)=f(x 2)时必有x 1=x 2。

4、 设P 表示命题“8是偶数”，Q 表示命题“糖果是甜的”，则命题P →Q 的反换式所表示的含义是如果8不是偶数，则糖果不是甜的。

5、 （P ∨Q ）∧R 的对偶式为（P ∧Q ）∨R 。

人都聪明”可以符号化为：)))()((())()((x P x M x x P x M x →∀⌝∧∧∃ 7、集合{a,{a}}的幂集为：{Φ，{a}，{{a}}，{a ，{a}}}8、令R={<1,2>,<3,4>,<2,2>}和S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}， 则=S R ο{<1,5>,<3,2>,<2,5>}9、设A={a,b,c}，R 是A 上的二元关系，且给定R={<a,b>,<b,c>,<c,a>}，则 r(R)={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}10、设I 是整数集合，R 是同余模3的关系，则I/R={[0]R ,[1]R ,[2]R }11、设谓词的定义域为},,{c b a ，将表达式))()((x Q x P x →∀中的量词消除，写成与之等价的命题公式是 ))()(())()(())()((c Q c P b Q b P a Q a P →∧→∧→ 12、设P(x)：x 是素数；E(x)：x 是偶数；O(x)：x 是奇数；N(x ，y)：x 可以整除y 。

则))),()()(()()((x y N y O y x P x ∧∃→∀可以译成自然语言为：对于任意的x ，如果x是素数，则存在一个y ，y 是奇数且y 整除x 。

四 、证明题(第1，2题各5分，第3题8分，共18分)1、如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。

所以羊不吃草。

符号化该命题，并用推理理论证明之。

解：设P ：马会飞；Q ：羊吃草；R ：母鸡是飞鸟；S ：烤熟的鸭子还会跑。

则上述语句可以符号化为：前提：.;;S S R R Q P ⌝→→∨ 结论：Q ⌝证明 采用直接证明方法 （1）S P （2）R →S P （3）R T （1），（2）I （4）P ∨Q →R P （5）（P ∨Q ） T （3），（4）I （6） P ∧Q T （5）E （7） Q T （6）I2、证明：若X ×Y=X ×Z ，且X 不为空集，则Y=Z 。

又因为X不为空集，所以有Y⊆Z，且Y⊇Z，所以Y=Z成立。

3、设<A,*>是半群，e是左幺元且对每一个x∈A，存在x’∈A，使得x’*x=e。

a)证明：对于任意的a,b,c∈A，如果a*b=a*c，则b=c。

b)通过证明e是A中的幺元，证明<A,*>是群。

证明：a)因为a*b=a*c，则a’*a*b=a’*a*c 即e*b=e*c 所以b=cb)对任一x∈A,则x’*(x*e)=x’*x*e=x’*x，由a)可得x*e=x，又e是左幺元，所以e是幺元。

即有e*x’=x’*e 则有x’*x*x’=x’*x’*x 所以有x*x’=x’*x=e 即每个元素都有逆元所以<A,*>是群。

五、应用题(第1题5分，第2题10分，共15 分)1、双射函数是密码学中的重要工具，因为在密码体制中大都会同时涉及加密和解密，假设f是由表1定义的，即f(A)=D,f(B)=E,F(C)=S,…等，试找出给定密文“ARDJYLRXBMB”对应的明文。

解：表1给出了一个双射函数f，为了求出给定密文的明文，只需要求出f的逆函数f-1，按照f-1的对应关系依次还原出对应字母的原象就可以得到该密文对应的明文。

由表1知f-1则给定密文“ARDJYLRXBMB”对应的明文为“HUANGPUYIQI”2、设按顺序排列的13张红心纸牌A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K经过1次洗牌后牌的顺序变为：3 8 K A 4 10 Q J 5 7 6 2 9问，再经过两次同样方式的洗牌后牌的顺序是怎么的为什么解：将洗牌的过程看成建立函数f的过程，即有f(A)=3,f(2)=8,f(3)=K,f(4)=A, f(5)=4,f(6)=10,f(7)=Q, f(8)=J,f(9)=5,f(10)=7,f(J)=6,f(Q)=2, f(K)=9.则求经过两次同样方式的洗牌后牌的顺序即为求f οf οf的值。

则经过两次同样方式的洗牌后牌的顺序是9 6 5 K 3 Q 8 10 A 2 7 J 43、设有a,b,c,d,e,f,g七个人，他们分别会讲如下各种语言：a会讲英语；b会讲汉语与英语；c会讲英语、西班牙语和俄语；d会讲日语和汉语；e会讲德语和西班牙语；f会讲法语、日语和俄语；g会讲法语和德语。

能否将这七个人的座位安排在圆桌旁，使得每个人均能与他身边的人交谈解：分别用a,b,c,d,e,f,g七个结点表示七个人，若两人能交谈（会讲同一钟语言），就在代表他们的结点之间连一条无向边，如图a所示，此图中存在一条汉密尔顿回路abdfgeca,于是按图b所示的顺序安排座位即可。

gceb图a图b。