矩阵力学

全空间积分就可求得。将(3. 1. 7),(3-1.8)及(3-1.9)式写成矢量式，得
p = ∫ψ * (r , t )(−ih∇)ψ (r , t )dr
（3.1.10）
记动量算符为
p = −ih∇
∧
(3 .1.11)
可将(3.1.10)式写成
p = ∫ψ * (r , t ) pψ (r , t )dr
−∞ ∞
（3.1.2）
这里已经假定，波函数ψ ( x, t ) 满足归一化条件(2. 1 .6)式。 （2）现在讨论动量算符的平均值 按 2.2 的讨论，C(p,t)由公式
C ( p, t ) =
( Er − p • r ) 1 ψ (r , t ) h dr 3/ 2 ∫ (2πh) i
（3.1.3）
§3. 1 力学量的平均值 在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就 确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，在本章中我们将看到:所谓“确定”， 是在能给出几率和求得平均值意义下说的。一般说来，当微观粒子处在某一运动 状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有定的数值， 而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状 态的波函数ψ 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。 在 §2.3 讨论薛定愕方程时曾指出，力学量动量用算符来表示的对应关系 是: p → −ih∇ ，动能是
∧
(3 .1.12)
同理，不难证实，当 n 为正整数时解的平均值可写成
n px = ∫ψ * (r , t )(−ih
∂ n ) ψ (r , t )dr ∂x
(3.1.13)
n 同理还可给出对 p y 、p zn 的平均值。 对于任何动量 p 的解析函数.f (p)， 总可将 f (p)
按 p 作泰勒展开并逐项积分，然后利用平均值公式(3.1.12)和(3.1.13)式求得它的 平均值，从而有
⎡ p2 ⎤ + U (ih∇ p ⎥C ( p ) = EC ( p ) ⎢ ⎣ 2m ⎦
(3.1.23)
§3.2 算符的运算规则 1．算符的定义
若某一运算将函数 υ 二变为函数 u ，记作
u = Fυ
∧
（3.2.1）
∧
则表示这一运算的符号 F 称为算符。若算符 F 满足
ˆ = (C υ C υ ) = C F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 υ 1 + C 2 Fυ 2
给出，动量 p 的平均值可表示为
p = ∫ C * ( p, t ) pC ( p, t )dp
（3.1.4）
这里已经用了若ψ ( x, t ) 归一，则 C(P,t)也归一的结论。 （3）我们先计算动量p在x方向的分量px的平均值。 由(3.1.4)式得
px
i i p•r − p•r ' ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ * h h = ∫ dp ⎢ ψ (r ' , t )dr '⎥ e ψ (r , t )dr ⎥ p x ⎢ e 3/ 2 ∫ 3/ 2 ∫ ⎣ (2πh) ⎦ ⎣ (2πh) ⎦ *
(3.1.16)
（4）任意理学量的平均值 综合上述我们得出，在求平均值的意义下，力学量可以用算符来代替。在 用坐标表象中的波函数ψ ( x, t ) 计算动量平均值时，需要引进动量算符。除动量算 符 p = −ih∇ 外，能量算符和角动量算符分别为
∧
∧
H =−
∧ ∧
h2 2 ∇ + U (r , t ) 2m
第三章
矩阵力学基础(I) —力学量和算符
一、教学目的 掌握力学量平均值的计算；厄密算符的定义和性质；不确定关系；不确定 原理 二、 教学方法：讲授、讨论 三 、教学手段： 主讲+实验 四、学时分配：8 学时 五、重点、难点：掌握力学量平均值的计算；厄密算符的定义和性质；不确 定关系 六、作业布置：二次 七、 辅导安排：二次 八、教学内容：力学量平均值；算符的运算规则；厄米算符的本征值和本征 函数；量子力学中力学量的测量值；不确定原理
第三章 矩阵力学基础(I) —力学量和算符
引言：波动力学的着眼点是波函数。薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数描 述粒子的运动状态。矩阵力学引入一种新的量子化方法，其着眼点是力学量和 力学量的测量，由海森伯(Heisenberg)、玻恩、约丹(Jordan)、狄拉克（Dirac） 提出和实现。主要思想是将力学量看成算符，通过将经典力学运动方程中的坐 标和动量都当作算符的方法实现量子化。在选定了一定的表象后算符用矩阵表 示，算符的运算归结为矩阵的运算。 本章首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示及证明量子力学中的力学量 必须用线性厄米算符表示。然后讨论力学量的测量，它的可能值、平均值和具 有确定值的条件。
∧
∧
∧
∧
（2）算符之积 算符 A 和 B 之积 A B ，定义为
∧ ∧ ⎛∧ ∧⎞ ⎛ ⎞ ⎜ A B ⎟ψ = A⎜ Bψ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∧ ∧ ∧ ∧
(3.2.5)
一般说来，算符之积与算符的前后次序有关，不满足交换律
AB ≠ B A
∧ ∧ ∧ ∧
(3 .2.6)
比如，取 A = x ； B = p x = −ih
∧
∧
（3.2.2）
其中 υ1 、υ 2 是任意函数，C1、C2是常数，则 F 称为线性算符。动量算符、积分 算符等均为线性算符。若算符 I 满足
ˆυ = υ I
∧
（3.2.3）
υ 为任意函数，则称 I 为单位算符。
ˆ ，将集合 F 中的元素 x ( x ⊂ F ) ,映照到集合 F 之 在数学上，若存在映照 F 1 1 1 1 2 ˆ ：x → x 或F ˆx = x 。若集合 F 和 F 均为数集， 中的元素 x 2 ( x 2 ⊂ F2 ) ，记作 F 1 2 1 2 1 2 ˆ 为函数;若 F 是一般的集合而 F 是数集，则称 F ˆ 为泛函；若 F 和 F 均为 则称 F 1 2 1 2 ˆ 为算子或算符。 一般集合，则称 F
f ( p ) = ∫ψ * (r , t ) f ( p )ψ (r , t )dr
∧
(3. 1.14)
比方，动能的平均值是
T = h2 2 p2 = ∫ψ * ( − ∇ )ψdr 2m 2m
(3.1.15)
角动量 L 的平均值是
L = r × p) = ∫ψ * [r × (−ih∇)] ψdr
∂ )ψ (r , t )dr ∂y
∂ )ψ (r , t )dr ∂z
(3.1.8)
p y = ∫ψ * (r , t )(−ih
(3.1.9)
由此得出结论：要在状态ψ ( x, t ) 中求动量px 、py 、pz的平均值，只需以相 应的微分算符 − ih
∂ ∂ ∂ 、 − ih 、 − ih ，作用在ψ ( x, t ) 上，然后乘以厂(r,t),再对 ∂z ∂x ∂y
∧
∧
∧
∂ ，则 ∂x x p x ψ = −ihx
∧
∂ψ ∂x
但
p x xψ = −ih
∧
∂ (xψ ) = −ihψ − ihx ∂ψ ∂x ∂x
因此有
∧ ⎛ ∧ ⎞ ⎜ x p x − p x x ⎟ψ = ihψ ⎝ ⎠
(3.2.7)
由于ψ 是任意函数，从(3.2.7)式得
x p x − p x x = ih
⎡ 1 = ∫ drψ (r , t ) ∫ dr 'ψ (r ' , t ) ⎢ 3 ⎣ 2πh
∫p e
x
i p • ( r − r ') h
⎤ dp ⎥ ⎦
(3.1.5)
利用公式
1 (2πh) 3
∫p e
x
i p • ( r − r ') h
p •( r − r ') 1 ∂ ∂ h − dp = ( i h ) e dp = −ih δ 3 (r − r ' ) 3 ∫ ∂x ∂x (2πh)
L = r × (−ih∇)
(3.1.18)
体系的任何一个力学量 O 的平均值总可以表示为
O = ∫ψ * Oψdr
∧
(3.1.19)
ˆ 是与力学量 O 相应的算符。在本章中，算符在它的顶上用“ ∧ ”表示。 o
在§2.2 中曾指出，同一量子态既可用坐标表象中的波函数ψ ( x, t ) 表示，也可 用动量表象中的波函数 C ( p, t ) 表示。与在坐标表象中，动量用算符来表示相似， 在动量表象中，坐标也必须用算符来表示。可以证明，在动量表象中的坐标算符 是
2
t 时刻在 r → r + dr 中找到粒子的概率，因此坐标 r 的平均值显然是
r = ∫ ψ (r , t ) rdr = ∫ ψ * (r , t）rψ (r , t )dr
−∞ −∞
∞
2
∞
(3. 1. 1)
坐标 r 的函数 f (r)的平均值是
f (r ) = ∫ ψ * (r , t )ψ (r , t )dr
⎡∧ ∧⎤ ⎡∧ ∧⎤ = − A , B B, A⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∧
∧
⎡∧ ∧⎤ A, A⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦ ⎡∧ ⎤ A, C ⎥ = 0 ⎢ ⎣ ⎦ ⎡∧ ∧ ∧⎤ ⎡∧ ∧⎤ ⎡∧ ∧⎤ A, B + C ⎥ = ⎢ A, B ⎥ + ⎢ A, C ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡∧ ∧ ∧⎤ ∧⎡∧ ∧⎤ ⎡∧ ∧⎤ ∧ A, B C ⎥ = B ⎢ A, C ⎥ + ⎢ A, C ⎥ B ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡∧ ∧ ∧⎤ ∧⎡∧ ∧⎤ ⎡∧ ∧⎤ ∧ A B, C ⎥ = B ⎢ A, C ⎥ + ⎢ A, B ⎥ C ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ∧ ⎡ ∧ ∧ ⎤⎤ ⎡ ∧ ⎡ ∧ ∧ ⎤⎤ ⎡ ∧ ⎡ ∧ ∧ ⎤⎤ ⎢ A, ⎢ B C ⎥ ⎥ = ⎢ B ⎢C , A⎥ ⎥ + ⎢C ⎢ A, B ⎥ ⎥ = 0 ⎦⎦ ⎣ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎣ ⎦⎦ ⎣ ⎣ (3.2.10)