2010中考数学专题复习特殊平行四边形

中考数学专题复习——特殊平行四边形
一、选择题
1.(08山东省日照市）只用下列图形不能镶嵌的是 （ ）
A ．三角形
B ．四边形
C ．正五边形
D ．正六边形
2、(2008浙江义乌)下列命题中，真命题是 ( )
A ．两条对角线垂直的四边形是菱形
B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C ．两条对角线相等的四边形是矩形
D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形
3、（2008山东威海）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
4．（2008年山东省临沂市）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD
的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ） A ． 32 B ． 33 C ． 34 D ． 3
5. （2008年山东省潍坊市）如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=( )
A.80°
B.70°
C.75°
D.60°
D
6.(2008年辽宁省十二市)下列命题中正确的是（ ） A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B ．两条对角线相等的四边形是矩形
C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
D ．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
7.(2008年浙江省绍兴市)如图，沿虚线E F 将A B C D 剪开，则得到的四边形ABFE 是（ ） A ．梯形
B ．平行四边形
C ．矩形
D ．菱形
A
E
A
B
F
A
D
E
B
C
8.(2008年天津市)在平面直角坐标系中，已知点A （0，2），B （32-，0），C （0，2-），D （32，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD 是（ ） A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．梯形
9(2008年沈阳市)如图所示，正方形A B C D 中，点E 是C D 边上一点，连接A E ，交对角线B D 于点F ，连接C F ，则图中全等三角形共有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对
D ．4对
10.（2008年四川巴中市如图2．在A B C D 中，对角线A C 和B D 相交于点O ，则下面条件能判定A B C D 是矩形的是（ ） A ．A C B D =
B ．A
C B
D ⊥
C ．A C B
D =且A C B D ⊥
D ．AB AD =
11.（2008年江苏省南通市）下列命题正确的是（ ） A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D ．对角线相等的四边形是等腰梯形
12.（2008年江苏省无锡市）如图，E F G H ，，，分别为正方形A B C D 的边A B ，B C ，
C D ，D A 上的点，且13
A E
B F
C G
D H A B ====，则图中阴影部分的面积与正方形
A B C D 的面积之比为（ ）
Ａ．25
Ｂ．
49
Ｃ．
1
2
Ｄ．
35
D C
F B
A
E
A
D
C
E F
B
13.（2008广州市）如图2，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ）
14.(2008云南省)菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ） A ．24 B ．20
C ．10
D ．5
15.(2008宁夏)平行四边形ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ） A ． AB=BC B ．AC=BD C ． AC ⊥BD D ．AB ⊥BD
16．（2008年江苏省连云港市）已知A C 为矩形A B C D 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 17..（2008山东东营）如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运
A
C
B D
B
C
1
2
B A
D C B
A
C 1
2
D 1
2
B
A
D C 图2
动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ）
A ．10
B ．16
C ．18
D ．20
18..（2008泰安）如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①A C B D ⊥ ②90BAD ∠= ③A B B C = ④A C B D = A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①②③
19.（2008年湖南省邵阳市）如图（二），将A B C D 沿A E 翻折，使点B 恰好落在A D 上的点F 处，则下列结论不一定成立．．．．．的是（ ） A ．AF EF = B ．A B E F =
C ．AE AF =
D ．A F B
E =
20．（2008年上海市）如图2，在平行四边形A B C D 中，如果AB a = ，AD b =
， 那么a b +
等于（ ）
A ．BD
B ．A C
C ．DB
D ．C A
21．（2008年山东省威海市）将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为
A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
A
D
F C
E B
图（二）
A
B C
D
C
B
图2
22.(2008广东深圳)下列命题中错误．．
的是 （ ） Ａ．平行四边形的对边相等Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形
23.（2008湖北襄樊）顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ ）
A.菱形
B.正方形
C.矩形
D.等腰梯形
24.(2008黑龙江哈尔滨)如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm
二、填空题
1. （08浙江温州） 如图，菱形A B C D 中，60A ∠= ，对角线8B D =，则菱形A B C D 的周长等于 ．
2、(2008浙江义乌)如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB=8， AD=CD=4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折， 点A 的落点记为P ．
（1）当AE=5，P 落在线段CD 上时，PD= ▲ ；
（2）当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ▲ ．
3、(2008山东烟台)红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______2
.cm
4．（2008年山东省临沂市）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________.
A
C
B D
5、（2008浙江杭州）如图，一个42⨯的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个53⨯的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是 ．
6（2008浙江宁波）如图，菱形O A B C 中，120A = ∠，1O A =，将菱形O A B C 绕点O 按
顺时针方向旋转90 ，则图中由 BB '，B A ''， A C '，C B 围成的阴影部分的面积是 ．
7.(2008年天津市)如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1=AG ，2=BF ，︒=∠90GEF ，则GF 的长为 ．
8 .(2008年沈阳市)如图所示，菱形A B C D 中，对角线A C B D ，相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形A B C D 成为正方形，则这个条件 是 （只填一个条件即可）．
9.（2008年四川省南充市）如图，四边形A B C D 中，E F G
H ，，，分别是边A B B C C D
D A ，，
，的中点．请你添加一个条件，使四边形
E F G H 为菱形，应添加的条件是 ．
A D H
G F
B
E
或
或
?
A D
C
B
O
' '
F
A
D
O E B
C
A
D
C B
F
G E
10.(2008新疆乌鲁木齐市)如图3，在四边形A B C D 中，A D B C ∥，90D ∠= ，若再添加一个条件，就能推出四边形A B C D 是矩形，你所添加的条件是 ．（写出一种情况即可）
11.(2008黑龙江黑河)如图，矩形A B C D 中，3A B =cm ，6A D =cm ，点E 为A B 边上的任意一点，四边形E F G B 也是矩形，且
2EF BE =，则
AFC S =△
2
cm ．
12.（2008桂林市）如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＤ＝6,ＢＣ＝8,则梯形的高为 。

13.（2008桂林市）如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形
2222ＡＢＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡＢＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求
四边形n n n n ＡＢＣＤ的面积是 。

D
图3
A D
C
E
F G
B
14.（2008福建省泉州市）四边形ABCD 为边长为1的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH （四边形EFGH 称为原四边形ABCD 的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH 的各边中点组成第二个中点四边形，……，则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于____________。

15．（2008年陕西省）如图，梯形A B C D 中，A B D C ∥，90ADC BCD ∠+∠= ，且
2D C A B =，分别以D A A B B C ，，为边向梯形外作正方形，其面积分别为123S S S ，，，
则123S S S ，，之间的关系 是 ．
16．（2008年陕西省）如图，菱形A B C D 的边长为2，45ABC ∠=
，则点D 的坐标为 ．
17．（2008年山东省青岛市）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC,BD 相交于点O ，若∠AOB ＝60°，AB ＝4cm ，则AC 的长为________cm ．
18．（08莆田市）如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD = 2AB ，若沿过点D 的折痕DE
C
将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 1处，则∠EA 1B=______________度
.
19.（2008佛山12）如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，
则∠ACP 度数是 ° ．
20.（2008佳木斯市9）下列各图中， 不是正方体的展开图（填序号）．
21.(2008泰安) 若等腰梯形A B C D 的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60
，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）．
22.（2008山西太原）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC 的长为 。

23.（2008湖北孝感）四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部 分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）。

如果小正方形 面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小锐角为θ，那么sin θ= 。

。

A B C D B C
D
A
P
①
② ③ ④
24.（2008江苏盐城）将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形，试写出其中一种四边形的名称 ．
25.（2008四川内江）如图，在34⨯的矩形方格图中，不包含阴影部分的矩形个数是 个．
26.(2008黑龙江哈尔滨)己知菱形ABCD 的边长是6，点E 在直线AD 上，DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则
AM
MC 的值是 。

27. (2008 河南实验区)某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地(如图)，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线
AC= cm
28.(2008 河南实验区)如图，矩形ABCD 的两条线段交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE,已知CDE ∆的周长为24cm ，则矩形ABCD 的周长是
cm
29.（2008山西太原）在梯形ABCD 中，AD BC ，AB=DC=3，沿对角线BD 翻折梯形ABCD ，
若点A 恰好落在下底BC 的中点E 处，则梯形的周长为 。

30.（2008江苏盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ． 三、简答题 1.（2008年四川省宜宾市） 已知:如图,菱形ABCD 中, E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且
BE=DF.
(1)求证:AE=AF.
(2)若∠B=60°,点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，求证:△AEF 为等边三角形
.
2.（2008年浙江省衢州市）如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，但AD CD ，我们称这样的四边形为“半菱形”。

小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”。

他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。

3.（08山东省日照市） 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=90°， AB=2，BC=3，CD=1，E 是AD 中点．
求证：CE ⊥BE ．
4.（08浙江温州）如图，方格纸中有三个点A B C ，，，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． （注：图甲、图乙、图丙在答题纸上）
5、（2008山东威海）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝7，CD ＝1，AD ＝BC ＝5．点M ，N
A
C
B
D
E
A
C
D
B
分别在边AD ，BC 上运动，并保持MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ． （1）求梯形ABCD 的面积；
（2）求四边形MEFN 面积的最大值．
（3）试判断四边形MEFN 能否为正方形，若能， 求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．
6.（2008年山东省潍坊市）如图,矩形纸片ABCD 中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B 落在边AD 的E 点上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时,如图(1).求△EFG 的面积.
(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时,如图(2).证明四边形BGEF 为菱形,并求出折痕GF 的长.
7.（2008年四川巴中市）已知：如图9，梯形A B C D 中，A D B C ∥，点E 是C D 的中点，B E 的延长线与A D 的延长线相交于点F ． （1）求证：B C D F D E △≌△．
（2）连结B D C F ，，判断四边形B C F D 的形状，并证明你的结论．
8.(2008年成都市) 已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，E 、F 分别是AB 和BC 边上的点. （1）如图①，以EF 为对称轴翻折梯形ABCD ，使点B 与点D 重合，且DF ⊥BC.若AD =4，BC=8，求梯形ABCD 的面积ABCD S 梯形的值；
（2）如图②，连接EF 并延长与DC 的延长线交于点G ，如果FG=k ·EF （k 为正数），试猜想BE 与CG 有何数量关系？写出你的结论并证明之.
图（2）
B
C
D
E F
G H (A)(B)B
C
D
E
F G
图（1）
C D A
B
E
F
N
M
9.(2008年乐山市)如图（11），E 、F 分别是等腰△ABC 的腰AB 、AC 的中点。

（1）用尺规在BC 边上求作一点M ，使四边形AEMF 为菱形； （不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB ＝5cm ，BC ＝8cm ，求菱形AEMF 的面积
10.(2008年乐山市)题甲：如图（13），梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是边AD 的中点，连结BE 交AC 于点F ，BE 的延长线交CD 的延长线于点G 。

（1） 求证：
G E A E G B
B C
（2）若GE ＝2，BF ＝3，求线段BF 的长
11．（2008年山东省青岛市）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：△BCG ≌△DCE ；
（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由．
G
A
B
F
D
C
E
12.（2008年江苏省无锡市）如图，已知E 是矩形A B C D 的边C D 上一点，BF AE ⊥于F ，试说明：A B F E A D △∽△．
13.（2008年江苏省无锡市）如图，四边形A B C D 中，A B C D ∥，A C 平分B A D ∠，
C E A
D ∥交A B 于
E ．
（1）求证：四边形A E C D 是菱形；
（2）若点E 是A B 的中点，试判断A B C △的形状，并说明理由．
14. （2008年江苏省苏州市）如图，在等腰梯形A B C D 中，A D B C ∥，5AB D C ==，
6A D =，12B C =．动点P 从D 点出发沿D C 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动
点Q 从C 点出发沿C B 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动．
（1）梯形A B C D 的面积等于 ；
（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒； （3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？
A
B
C
D
E
F E '
G
15.（2008年江苏省连云港市）如图，在直角梯形纸片A B C D 中，A B D C ∥，90A ∠= ，
C D AD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边C D 上的点E 处，折痕为D F ．连
接E F 并展开纸片．
（1）求证：四边形AD EF 是正方形；
（2）取线段A F 的中点G ，连接E G ，如果B G C D =，试说明四边形G B C E 是等腰梯形．
16.．（2008湖北咸宁）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．
B C
E
F M
N
O (第19题图）
（1）求证：EO=FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．
17．（08莆田市）已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：2222
PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的
位置时，
2
2
2
2
PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论。

答：对图（2）的探究结论为____________________________________.
对图（3）的探究结论为_____________________________________. 证明：如图（2）
C Q
E
C
B
D
A G F
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图12
G
F
E
D
C B
A
18．（08厦门市）已知：如图所示的一张矩形纸片A B C D （AD AB >），将纸片折叠一次，使点A 与C 重合，再展开，折痕E F 交A D 边于E ，交B C 边于F ，分别连结A F 和C E ． （1）求证：四边形A F C E 是菱形；
（2）若10cm A E =，A B F △的面积为224cm ，求A B F △的周长； （3）在线段A C 上是否存在一点P ，使得22AE AC AP = ？ 若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
19.（2008佳木斯市）有一底角为60 的直角梯形，上底长为10cm ，与底垂直的腰长为10cm ，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm ，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积．
20.（2008湖北襄樊）如图12，B 、C 、E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG
是都是正方形.连接BG 、DE.
（1）观察猜想BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论. （2）在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由.
21.（2008
湖北孝感）宽与长的比是
12
的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感。

现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）： 第一步：作一个任意正方形ABCD ；
第二步：分别取AD 、BC 的中点M 、N ，连接MN ；
第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E ； 第四步：过E 作EF AD ⊥交AD 的延长线于F ，
请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形，（可取AB=2）。

22.（.2008资阳市）如图7，在△ABC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D ，DE ∥AC 交BC 于点
A
E
D
C
F
B
E ，D
F ∥BC 交AC 于点F ．
（1）点D 是△ABC 的________心； （2）求证：四边形DECF 为菱形．
23．（2008泰州市）在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3．
（1）在边CD 上找．一点E ，使EB 平分∠AEC ，并加以说明；（3分） （2）若P 为BC 边上一点，且BP=2CP ，连接EP 并延长交AB 的延长线于F ．
①求证：点B 平分线段AF ；（3分）
②△PAE 能否由△PFB 绕P 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由．（4分）
24.(2008 河南实验区)如图,已知:在四边形ABFC 中，ACB ∠=90BC ,︒的垂直平分线EF 交BC 于点D,交AB 于点E,且CF=AE
(1) 试探究,四边形BECF 是什么特殊的四边形;
(2) 当A ∠的大小满足什么条件时,四边形BECF 是正方形?请回答并证明你的结论. (特别提醒:表示角最好用数字
)
25.(2008 山东 聊城)如图，矩形A B C D 中，O 是A C 与B D 的交点，过O 点的直线E F 与A B C D ，的延长线分别交于E F ，．
（1）求证：B O E D O F △≌△； （2）当E F 与A C 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
图7
26.(2008广东深圳)如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．
（2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．
图 5
E
D
C
B
A
27.（2008贵州贵阳)如图8，在A B C D 中，E F ，分别为边A B C D ，的中点，连接
D E BF BD ，，．
（1）求证：A D E C B F △≌△．（5分）
（2）若A D B D ⊥，则四边形BFD E 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）
28.（2008湖北黄冈）已知：如图，点E 是正方形A B C D 的边A B 上任意一点，过点D 作D F D E ⊥交B C 的延长线于点F ．求证：D E D F =．
29. (2008黑龙江哈尔滨)在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE ，且∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接BD ．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ． (1) 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋
3
3PQ ；
（2）若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与 x
A E
B
C
F
D 1
2
3
F
D
O
B E
A
（图8）
A
B
C
D
E
F
的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；
（3）在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段PG 的长。

30.（2008年湖南省邵阳市）学生在讨论命题：“如图（十二），梯形A B C D 中，A D B C ∥，
B C ∠=∠，则A B D C =．”的证明方法时，提出了如下三种思路．
思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形； 思路2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形； 思路3：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形． 请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题．
31.（2008年四川省南充市）如图，A B C D 的对角线相交于点O ，过点O 任引直线交A D 于E ，交B C 于F ，则O E O F （填“>”“=”“<”），说明理由．
32.（2008江苏淮安）已知；如图．矩形ABCD
的对角线AC 与BD 相交于点O ，点O 关于直线AD 的对称点是E ，
连结AE 、DE ．
(1)试判断四边形AODE 的形状,不必说明理由； (2)请你连结EB 、EC ．并证明EB=EC ．
33. (2008黑龙江黑河)已知：正方形A B C D 中，45MAN ∠=
，M A N ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交C B D C ，（或它们的延长线）于点M N ，．
当M A N ∠绕点A 旋转到B M D N =时（如图1），易证BM D N M N +=．
（1）当M A N ∠绕点A 旋转到B M D N ≠时（如图2），线段B M D N ，和M N 之间有怎
A
D
C B
图（十二）
A E
D O
C
B
样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当M A N 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM D N ，和M N 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
34.（2008广东肇庆市）如图5，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，正方形DEFG 的顶点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上.
（1）求证AE=BF ；
（2）若BC=2cm ，求正方形DEFG 的边长.
35.（2008广州市）如图7，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，过点C 作CE ⊥AC 且与AB 的延长线交于点E ，求证：四边形AECD 是等腰梯形
36.（2008湖南益阳市） △ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上. Ⅰ.证明：△BDG ≌△CEF ；
B
B
M B
C
N
C
N
M C
N
图1
图2
图3
A
A A D
D D A
F
G
图7
Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.
小聪和小明各给出了一种想法，请你在．．．Ⅱ．a ．和Ⅱ．．b ．的两个问题中选择一个你喜欢的．．．．．．．．．．．．．．问题解答．．．．. ．如果两题都解，只以．．．．．．．．．Ⅱ．a ．的解答记分．．．．．
. Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE
的长，从而确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了.
设△ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .
Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB 边上任取一点G ’，如图作正方形G ’D ’E ’F ’；
②连结BF ’并延长交AC 于F ；
③作FE ∥F ’E ’交BC 于E ，FG ∥F ′G ′交AB 于G ，GD ∥G ’D ’交BC 于D ，则四边形DEFG 即为所求. 你认为小明的作法正确吗？说明理由.
38．（2008年上海市）如图11，已知平行四边形A B C D 中，对角线A C B D ，交于点O ，
E 是B D 延长线上的点，且A C E △是等边三角形．
（1）求证：四边形A B C D 是菱形；
（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形A B C D 是正方形．
A
B
C
D E
F
G 图10(3)
G ′
F ′
E ′ D ′ A
B
D
E
F
G
图
10(2)
E
C
B
A
图11
特殊平行四边形答案
一.选择题
1.C
2.D
3.D
4.B
5.C
6.A
7.A
8.B
9.C 10.A 11.C 12.A 13.C 14.B 15.B 16.D 17.D 18.A 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.A 二.填空题
1.32；.
2. （1）2 （2）8；
3. 3
；4.613
；5. 4或9或15个小正方形；
6. 2π32-
；7. 3 ；8. 90
BAD ∠=
（或A D A B ⊥
，A C B D =等）；9.
A C
B D =或EG H F ⊥或E F F G =等（任填一个满足题意的均可）；10. 90A ∠=
或A D B C =或AB C D ∥；11. 9；12. 7；13. 14
2n -；14. 1
4；15. 213
S S S =+；16.
(2+；17. 8cm ；18. 60；19. 22.5 20. ③；21.
22. 5；23. 0.6；
24. 平行四边形（或矩形或菱形）；25.14；26. 2或2
3；27.20；28.48；29.15；30.6； 三.解答题
1. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=AD,B D ∠=∠, 又∵BE=DF
∴ABE ∆≌A D F ∆ ∴AE=AF (2)连接AC
∵AB=BC,60B ∠=︒ ∴A B C ∆是等边三角形， E 是BC 的中点
∴AE ⊥BC, ∴906030BAE ︒
∠=︒-=︒,同理
30D A F ∠=︒
∵120B A D ∠=︒
∴60EAF BAD BAE D AF ∠=∠-∠-∠=︒ 又∵AE=AF
∴AEF ∆是等边三角形。

2. 解：正确。

证明如下：
方法一：设AC ，BD 交于O ，∵AB=AD ，BC=DC ，AC=AC ， ∴△ABC ≌△ADE ， ∴∠BAC=∠DAC AB=AD ，∴AO ⊥BD
AO
BD 2
1S ABD ⋅=
∆，CO
BD 2
1S BCD ⋅=
∆
CO
BD 2
1AO BD 2
1S S S BCD ABD ABCD
⋅+⋅=+=∴∆∆四边形
AC
BD 2
1)CO AO (BD 2
1⋅=
+=
方法二：∵AB=AD ，
∴点A 在线段BD 的中垂线上。

又∵CB=CD ，∴点C 与在线段BD 的中垂线上，
∴AC 所在的直线是线段BD 的中垂线，即BD ⊥AC ；
设AC ，BD 交于O ，∵
AO
BD 2
1S ABD ⋅=
∆，
CO
BD 2
1S BCD ⋅=∆
CO
BD 2
1AO BD 2
1S S S BCD ABD ABCD
⋅+⋅=
+=∴∆∆四边形
AC
BD 2
1)CO AO (BD 2
1⋅=
+=
3. 证明: 过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ．……………… 1分 ∵ 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=90°， ∴ ∠D ＝∠A ＝∠CFA ＝90°． ∴四边形AFCD 是矩形．
AD=CF, BF=AB-AF=1．……………………………… 3分 在Rt △BCF 中， CF2=BC2-BF2=8， ∴ CF=22．
∴ AD=CF=22．………………………………………………………… 5分 ∵ E 是AD 中点，
∴ DE=AE=21
AD=2．……………………………………………… 6分 在Rt △ABE 和 Rt △DEC 中， EB2=AE2+AB2=6， EC2= DE2+CD2=3，
A
B
C
D O
A
C
B
D E
F
EB2+ EC2=9=BC2．
∴ ∠CEB ＝90°．……………………………………………………… 9分 ∴ EB ⊥EC ． …………………………………………………………… 10分 4. 答案：（本题答案不唯一）
5. 解：（1）分别过D ，C 两点作DG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AB 于点H ． ……………1分 ∵ AB ∥CD ，
∴ DG ＝CH ，DG ∥CH ．
∴ 四边形DGHC 为矩形，GH ＝CD ＝1．
∵ DG ＝CH ，AD ＝BC ，∠AGD ＝∠BHC ＝90°， ∴ △AGD ≌△BHC （HL ）．
∴ AG ＝BH ＝
21
72-=-GH
AB ＝3． ………2分 ∵ 在Rt △AGD 中，AG ＝3，AD ＝5，
∴ DG ＝4．
∴ ()174
16
2
ABCD S +⨯=
=梯形． ………………………………………………3分
（2）∵ MN ∥AB ，ME ⊥AB ，NF ⊥AB ， ∴ ME ＝NF ，ME ∥NF ． ∴ 四边形MEFN 为矩形．
∵ AB ∥CD ，AD ＝BC ， ∴ ∠A ＝∠B ．
∵ ME ＝NF ，∠MEA ＝∠NFB ＝90°， ∴ △MEA ≌△NFB （AAS ）．
∴ AE ＝BF ． ……………………4分 设AE ＝x ，则EF ＝7－2x ． ……………5分 ∵ ∠A ＝∠A ，∠MEA ＝∠DGA ＝90°， ∴ △MEA ∽△DGA ．
∴ DG
ME AG AE
=
．
∴ ME ＝
x
3
4． ……………………………………………………6分
∴
6
49
4738)2(734
2
+
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅=x x x EF ME S MEFN
矩形． ……………………8分
当x ＝47时，ME ＝37
＜4，∴四边形MEFN 面积的最大值为
6
49．……………9分
图甲（是中心对称图形 但不是轴对称图形）
图乙（是轴对称图形但 不是中心对称图形）
图丙（既是轴对称图形 又是中心对称图形）
A
B
E F G H A B
E F G H
（3）能． …………………………………………………………………10分
由（2）可知，设AE ＝x ，则
EF ＝7－2x ，ME ＝x
3
4
．
若四边形MEFN 为正方形，则ME ＝EF ．
即 =
3
4x
7－2x ．解，得
10
21=
x ． ………………………………………11分
∴ EF ＝
2114
727210
5x -=-⨯
=
＜4．
∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为
251965142
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛=MEFN
S 正方形
．
6. 解:(1)过点G 作GH ⊥AD,则四边形ABGH 为矩形,∴GH=AB=8,AH=BG=10,由图形的折叠可知
△BFG ≌△EFG,∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,∵∠AEF+∠
AFE=90°,∴∠HEG=∠AFE,又∵∠EHG=∠A=90°,∴△EAF ∽△EHG,∴E F
A E
E G
G H =,∴EF=5,∴
S △EFG=1
2EF ·EG=1
2×5×10=25.
(2)由图形的折叠可知四边形ABGF ≌四边形HEGF,∴BG=EG,AB=EH,
∠BGF=∠EGF,∵EF ∥BG ，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,
∴BG=EF,∴四边形BGEF 为平行四边形,又∵EF=EG,∴平行四边形BGEF 为菱形； 连结BE ，BE 、FG 互相垂直平分，在Rt △EFH 中,EF=BG=10,EH=AB=8,由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，∴
7.（1）证明： 点E 是D C 中点
D E C E ∴= 1分
又A D B C ∥，F 在A D 延长线上， D FE EBC ∴∠=∠，FD E EC B ∠=∠ 3分
在B C E △与F D E △中错误！不能通过编辑域代码创建对象。

5分
B
C
D
E
F
G 图（1）
A D
E F 图（2）
(AAS)BCE FDE ∴△≌△
6分
（2）四边形B C F D 是平行四边形．理由如下： 7分
BC E FD E △≌△
D E C E ∴=，FE BE = 9分
∴四边形B C F D 是平行四边形．
10分
8. （1）解：由题意，有△BEF ≌△DEF. ∴BF=DF. ……1分
如图，过点A 作AG ⊥BG 于点G. 则四边形AGFD 是矩形。

∴AG=DF,GF=AD=4.
在Rt △ABG 和Rt △DCF 种， ∵AB=DC,AG=DF,
∴Rt △ABG ≌Rt △DCF.(HL)
∴BG=CF. ……2分
∴BG=1
()
2B C G F -=1(84)
2
-=2.
∴DF=BF=BG+GF=2+4=6. ……2分
∴S 梯形ABCD=1
1()(48)636
2
2
AD BC D F +=
⨯+⨯= . ……1分
(2)猜想：CG=k B E (或
1B E C G
k
=
). ……1分
证明：如图，过点E 作EH ∥CG,交BC 于点H. 则∠FEH=∠FGC. 又∠EFH=∠GFC, ∴△EFH ∽△GFC.
∴,
E F
E H
G F G C = 而FG=k EF,即G F
k
E F
=.
∴1
E H
G C k = 即.C G k E H = ……1分
∵EH ∥CG, ∴∠EHB=∠DCB.
而ABCD 是等腰梯形，∴∠B=∠DCB.
∴∠B=∠EHB.∴BE=EH. ∴CG=k B E ……1分
9. 解：（1）作图（略）． 3分
注：本题作法较多，如：方法一，作B C 的中垂线：方法二，以E 为圆心，E A 为半径画弧，交B C 于点M ．等等．
（2）如图（1），AEM F 为菱形，
AM ∴平分B A C ∠， 5分
又A B A C A M B C M B M C =∴⊥= ，
，， ∴在R t A B M △中，54A B B M ==，，
则3A M =， 6分
又E F ，分别是A B 、A C 的中点，
14
2E F B C ∴=
=， 7分
故菱形的面积1346
2
S =
⨯⨯=（cm2）． 9分
（我感觉此题不正确,这样能保证以E.F 为圆心,以AE 的长为半径的弧交点一定在BC 上吗）
10. ．甲题：
（1）证明：A D B C ∥G E D G B C ∴△∽△， 2分
G E ED
G B
BC ∴=， 3分
又AE ED = ，
G E AE G B
BC ∴=．
4分
（2）解：A D B C A E F C B F ∴ ∥，△∽△ AE EF
BC
BF ∴=
， 5分 由（1）知G E
A E G B
B C =，
EF G E
BF
G B ∴=， 6分
图（1）
M
设E F x =，则5G B x =+，
则有2
3
5x
x =
+， 8分
即2
560x x +-=， 解得：1x =或6x =-，
经检验，1x =或6x =-都是原方程的根，但6x =-不合题意，舍去． 故E F 的长为1． 9分
11. 解：（1）证明：∵四边形为正方形，∴BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE ＝90° 2分 ∵CG ＝CE ，∴△BCG ≌△DCE. ………………4分 （2）答：四边形E ′BGD 是平行四边形
理由：∵△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′
∴CE ＝AE ′，∵CG ＝CE ，∴CG ＝AE ′，∵AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴BE ′＝DG ，BE ′∥DG ，………………6分
∴四边形E ′BGD 是平行四边形 ………………8分
12. 解法一： 矩形A B C D 中，AB C D ∥，90D ∠=
， （2分）
BAF AED ∴∠=∠． （4分）
BF AE ⊥ ，90AFB ∴∠=
，AFB D ∴∠=∠．
（5分）
ABF EAD ∴△∽△．
（6分）
解法二： 矩形A B C D 中，90BAD D ∠=∠=
．
（2分）
90BAF EAD ∴∠+∠=
，90EAD AED ∠+∠=
，BAF AED ∴∠=∠． （4分）
13. （1）A B C D ∥，即AE CD ∥，又CE AD ∥，∴四边形A E C D 是平行四边形．
（2分）
A C 平分
B A D ∠，
C AE C A
D ∴∠=∠， （3分）
又A D C E ∥，AC E C AD ∴∠=∠，A C E C A E ∴∠=∠，AE C E ∴=，
∴四边形A E C D 是菱形． （4分）
（2）证法一：E 是A B 中点，AE BE ∴=．
又AE C E = ，BE C E ∴=，B BC E ∴∠=∠， （5分）
180B BCA BAC ∠+∠+∠=
， （6分）
22180BCE ACE ∴∠+∠=
，90BCE ACE ∴∠+∠=
．
即90ACB ∠=
，A B C ∴△是直角三角形． （7分） 证法二：连D E ，则D E A C ⊥，且平分A C ， （5分） 设D E 交A C 于F ．
E 是A B 的中点，E
F B C ∴∥． （6分）
B C A C ∴⊥，A B C ∴△是直角三角形．
（7分）
14. 解：（1）36；（2）15
8秒；
（3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，有两种情况： ①当PQ BC ⊥时，设P 点离开D 点x 秒， 作D E B C ⊥于E ，PQ DE ∴∥．
C P C Q C D
C E ∴=，
525
3x x -=，
1513x ∴=
．
∴当PQ BC ⊥时，P 点离开D 点15
13秒．
②当QP CD ⊥时，设P 点离开D 点x 秒，
90
Q PC D EC ∠=∠=
，C C ∠=∠．
QPC DEC ∴△∽△．
PC C Q EC
C D ∴=
．
523
5x x -=．
2511x ∴=
．
∴当QP CD ⊥时，点P 离开点D 25
11秒．
由①②知，当P Q C ，，三点构成直角三角形时，点P 离开点D 15
13秒或25
11秒．
C
Q
E C
Q E
15. 证明：（1）90A ∠= ，AB D C ∥，90ADE ∴∠=
．
由沿D F 折叠后D A F △与D EF △重合，知AD D E =，90DEF ∠=
．
∴四边形AD EF 是矩形，且邻边A D A E ，相等． ∴四边形AD EF 是正方形． 3分
（2）C E B G ∥，且C E B G ≠，∴四边形G B C E 是梯形． 4分
四边形AD EF 是正方形，AD FE ∴=，90A GFE ∠=∠=
．
又点G 为A F 的中点，A G F G ∴=．连接D G ．
在A G D △与F G E △中，AD FE = ，A G F E ∠=∠，AG FG =，
AG D FG E ∴△≌△，D G A EG B ∴∠=∠．
6分
B G
C
D = ，B G C D ∥，∴四边形B C D G 是平行四边形． D G C D ∴∥．D G A B ∴∠=∠．
E G B B ∴∠=∠．
∴四边形G B C E 是等腰梯形． 8分
注：第（2）小题也可过点C 作C H A B ⊥，垂足为点H ，证E G F C B H △≌△ 16. 解（1）证明： ∵CE 平分BAC ∠，∴12∠=∠， 又∵MN ∥BC ，∴13∠=∠，∴32∠=∠，∴EO CO =． 同理，FO CO =．∴ EO FO =． （2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形. ∵EO
FO =，点
O 是AC 的中点．∴四边形AECF 是平行四边形.
又∵12∠=∠，45∠=∠．∴124180902
∠+∠=
⨯︒=︒
，即90ECF ∠=︒．∴四边形
AECF 是矩
形．
17.结论均是PA2+PC2=PB2+PD2（图2 2分，图3 1分） 证明：如图2过点P 作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N ， 因为AD ∥BC ，MN ⊥AD ，所以MN ⊥BC
E
C
B
D
A G F
在Rt △AMP 中，PA2=PM2+MA2 在Rt △BNP 中，PB2=PN2+BN2 在Rt △DMP 中，PD2=DM2+PM2 在Rt △CNP 中，PC2=PN2+NC2
所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2 PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2
因为MN ⊥AD ，MN ⊥NC ，DC ⊥BC ，所以四边形MNCD 是矩形 所以MD=NC ，同理AM = BN ，
所以PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2 即PA2+PC2=PB2+PD2
18. 解：（1）连结E F 交A C 于O ，
当顶点A 与C 重合时，折痕E F 垂直平分A C ，
O A O C ∴=，90AOE COF ∠=∠= 1分
在平行四边形A B C D 中，A D B C ∥， EAO FC O ∴∠=∠， A O E C O F ∴△∽△． O E O F ∴= 2分
∴四边形A F C E 是菱形． 3分
（2）四边形A F C E 是菱形，10AF AE ∴==． 设A B x =，BF y =，90B ∠= ，
2
2
100
x y ∴+= 4分
2
()2100
x y xy ∴+-= ①
又
12424
2
A B F S xy =∴
= △，，则48xy =． ② 5分
由①、②得：
2
()196
x y += 6分
14
x y ∴+=±，14x y +=-（不合题意舍去）
A B F ∴△的周长为141024x y AF ++=+=． 7分
（3）过E 作EP AD ⊥交A C 于P ，则P 就是所求的点． 9分
A
E D
C
F
B
P
O
证明：由作法，90AEP ∠=
，
由（1）得：90AOE ∠=
，又E A O E A P ∠=∠，
AO E AEP ∴△∽△， A E A O
A P
A E ∴=
，则2
AE AO AP = 10分
四边形A F C E 是菱形，
12
A O A C ∴=，2
12
A E A C A P
∴=
． 11分
2
2AE AC AP ∴= 12分
19. 解：解：当15B E =cm 时，A B E △的面积是2
50cm ；
当15C F =cm 时，B C F △的面积是2
75cm ；
当15B E =cm 时，B C E △的面积是2
cm ．
（每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6 20. 解：（1）BG=DE
∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形， ∴GC=CE ，BC=CD ，∠BCG=∠DCE=90°） ∴△BCG ≌△DCE
∴BG=DE
（2）存在. △BCG 和△DCE
△BCG 绕点C 顺时针方向旋转90°与△DCE 重合 21. 证明：在正方形ABCD 中，取AB=2 ∵N 为BC 的中点，
∴NC=11
2
B C =
在R t D N C 中，DN ==
=
又∵NE=ND ，
∴CE=NE-NC=1,
2
C E C D
∴=
,
故矩形DCEF 为黄金矩形。

22. 解：(1) 内. 2分
图7
(2) 证法一：连接CD ， 3分
∵ DE ∥AC ，DF ∥BC ，
∴ 四边形DECF 为平行四边形， 4分 又∵ 点D 是△ABC 的内心，
∴ CD 平分∠ACB ，即∠FCD ＝∠ECD ， 5分 又∠FDC ＝∠ECD ，∴ ∠FCD ＝∠FDC ∴ FC ＝FD ， 6分
∴ □DECF 为菱形． 7分 证法二：
过D 分别作DG ⊥AB 于G ，DH ⊥BC 于H ，DI ⊥AC 于I ． 3分 ∵AD 、BD 分别平分∠CAB 、∠ABC ， ∴DI=DG ， DG=DH ． ∴DH=DI ．
4分
∵DE ∥AC ，DF ∥BC ，
∴四边形DECF 为平行四边形， 5分 ∴S □DECF=CE ·DH =CF ·DI ， ∴CE=CF ． 6分
∴□DECF 为菱形． 7分
23. （1）当E 为CD 中点时，EB 平分∠AEC 。

………………………1分
由∠D=900 ，DE=1，AD=3，推得DEA=600，同理，∠CEB=600 ，从而∠AEB=∠CEB=600 ，即EB 平分∠AEC 。

……………………………3分
（2）①∵CE ∥BF ，∴BF CE
=BP CP =21
∴BF=2CE 。

…………………5分 ∵AB=2CE ，∴点B 平分线段AF ………………………………………6分 ②能。

……………………………………………………………………7分
证明：∵CP=3
1
3，CE=1，∠C=900 ，∴EP=32
3。

在Rt △ADE 中，AE=
()
2
2
1
3+ =2，∴AE=BF ，
又∵PB=3
3
2
，∴PB=PE
∵∠AEP=∠BP=900 ，∴△PAS ≌△PFB 。

…………………………9分 ∴△PAE 可以△PFB 按照顺时针方向绕P 点旋转而得到。

旋转度数为1200 且是 …………………………………………………10分
24. （1）四边形BECF 是菱形。

· 证明：EF 垂直平分BC ， ∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2 ∵∠ACB=90°。