二次根式的运算Microsoft Word 文档
二次根式的加减法 Microsoft Word 文档
§7.2二次根式的加减法数学 学科 八 年级 下 册 诸城市辛兴初中 臧运建 学习目标：1、理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则2、会进行简单的二次根式的加减运算3、经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程，体验类比、猜想的思想方法。
课前延伸计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3 教学过程一、自主探究 计算下列各式．（先自主学习，然后小组合作交流） （1）3233-；（2）a a a 423+-．规律总结：与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32-，a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为 ．归纳：是同类二次根式二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是 ．例1计算：(1)2454+(2)43932aa +二．合作探究（独立完成后小组合作交流并纠错）计算：54520290+-归纳二次根式的加减法则：三．应用提升（1）451227+-；（2）x x x916425-+．（3）)12)(12(-+； （4）)2)(2(b a b a -+四．谈一谈谈一谈本节课的收获和体会五．比一比（独立完成后组长批阅并指导纠错）当堂小测验1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）122，27；（2）50，83； ；（3）nmn m 2,2； （4）yxx y 2527,43． （5）ab 2，ab 83； （6）b a 23，227ab ．2．计算： （1）433332+-； （2）75335-．（3）245253-+-；（4）12273752+-；（5）2231872-+．3．计算：（1）)23)(23(-+；（2）)32)(32(-+a a ．六．课后拓展．已知二次根式12+a 与7是同类二次根式，试写出三个a 的可能取值．。
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二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式a b ab a 0, b 0③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项．⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。
常言道：“兵无常势，水无常形。
”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。
二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。
现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
一、巧用公式法a 2 bab a b例 1.计算a b a b分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与b成立，且分式也成立，故有 a 0, b 0, ( a b 0) 而同时公式：a b 2 a 2 2 ab b 2 , a 2 b 2( a b )( a b ),可以帮助我们将a 2 ab b和 a b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解：原式a2(a b)(a b) ba b a b( a b)(a b)2 a 2 b二、适当配方法。
例 2．计算：3 2 236123分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有12 3 其分子必有含 1 2 3 的因式，于是可以发现23 1 2 ，3 2 2 1 2 ，且36通过因式分解，分子所含的 1 2 3 的因式就出来了。
(word完整版)二次根式乘除法(含答案),推荐文档
一、知识聚焦：1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
5．最简二次根式：符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”二、经典例题：例1．化简(0x≥y,0≥例2．计算25⋅315⨯2例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：=例4．化简：,0x)0≥yx≥y(>>b)0(>(≥,0,0a)0（4例5．计算：例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)b a 23 (2)23ab(3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8例7. 把下列各式化为最简二次根式：(1)12 (2)b a 245 (3)xyx 2例8. 把下列各式分母有理化例9. 比较3223和两个实数的大小答案： 例例2. （1（2）303 （3） （4）6例3. (1)不正确． ×3=6(2) 例4.（1）83 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）yx 135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22 例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x 例8. (1)21144-(2) b a b a a ++2 例9. 3223>三、基础演练：1. ②×2.化简3.把下列各式化为最简二次根式：(1)3)(8y x + (2)2114 (3)mn 382334. 把下列各式分母有理化 （1）403 （2）xyy 422（x ＞0，y ＞0）5.比较大小(1)76与67 (2)--答案：1.①=82 ②=1215 ③=y a 2.25；32；62； 32ab 3.(1) )(2)(2y x y x ++ (2) 62 (3)m mn n 6 4.(1)2030(2) x xy y5.解：(1) 76<67 (2) --四、能力提升：1，•那么此直角三角形斜边长是（ ）．A ．．3．9cm D ．27cm 2．下列各等式成立的是（ ）．A ．．C ．．×3 ）．A ．27．27C ．74.二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④x1；⑤75.0中最简二次根式是（ ） A 、①② B 、③④⑤ C 、②③ D 、只有④5=6．分母有理化=______.答案：1． B 2． D 3． A 4. A 5．6136．=6263=22五、个性天地：（LJJ00002）（1=_________；（2）=___________；=_________；（2=__________．(SHY00002)已知x=3，y=4，z=5_______．答案：（LJJ00002）（1）4；（2）15；(ZZY00002)57；（2）24x (SHY00002)315。
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二次根式复习【知识回忆】1. 二次根式： 式子 a 〔 a ≥ 0〕叫做二次根式。
2. 最简二次根式： 必定同时满足以下条件：⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ； ⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。
3. 同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
4. 二次根式的性质：〔1〕〔2〔 a ≥ 0〕；〔2〕a 〕 = a 2aa 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，尔后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：a 〔 a ＞0〕0 〔 a =0〕；a 〔 a ＜ 0〕① ab =a ?b 〔 a ≥ 0,b ≥ 0〕；②aaba 0,b 0b【例题讲解】例 1 计算：〔1〕 (3)2 ；〔2〕 (2 ) 2 ； 〔3〕 ( a b )2〔a+b ≥ 0〕3解析：依照二次根式的性质可直接获取结论。
例 2 计算：⑴6·15⑵ 1 ·24⑶ a 3 · ab 〔 a ≥ 0，b ≥ 0〕2解析：本例先利用二次根式的乘法法那么计算， 再利用积的算术平方根的意义进行化简得出计算结果。
例 3计算：〔1〕32+23－22+3〔 2〕12 +18 － 8 －32〔 3〕40 －1 +10510【基础训练】1．化简：〔 1〕72____ ；〔2〕252242___ __；〔3〕612 18 ____；〔4〕75x3 y2 (x0, y0) ____；〔5〕204_______ 。
2.(08 ，安徽 ) 化简42=_________。
3. 〔 08，武汉〕计算 4 的结果是Ａ .2Ｂ．± 2Ｃ． -2Ｄ． 44. 化简：〔1〕〔 08，泰安〕9 的结果是；〔 2〕〔 08，南京〕12 3 的结果是；〔3〕(08 ，宁夏 ) 528 =；〔 4〕〔 08，黄冈〕 5 x -2x =_____ _；5．〔 08，重庆〕计算82的结果是A、 6B、 6C、 2D、 26．〔 08，广州〕 3 的倒数是。
二次根式计算(可编辑修改word版)
二次根式计算匚已知呼S 埠荼’求值：材(20M •南漳县模拟)已知 . b=^(V5-V3> -求 a= - ab+b=的值.如图所示的RtAABC 中，ZB=90° •点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/秒的速度向 点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动.问：几秒 后△FBQ 的而枳为35平方厘米？ PQ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)5. (1)已知*=迈 求x^+3x-l 的值:(2)已知0 = —2—历，h = y/3-2. (« + /?)- + (a-b)(2a + b)-3a" ®.{14-2 +艺6.若X, y 为实数，且y=71_4x +厶x_l+ 2求兀的值.7.已知 a=2+ 73 » b=2-73 •试求一一一的值• b a&已知大一 1 = 求代数式(x + l)--4(x + l) + 4的值. 9.求值:(1)已知, bj.,求丽-丽的值.2 4 y/~~Ct —yfu + y/h2. 3. 已知X = J5 + 1, y =试求的值. 4.⑵已知-戸*J+皿值.如果，一4JC +『2十 6y + Jz + 2 +13 = 0,求(xy)：的值.{a + /?)" + (</ - /7)(2« + h)- 3«"» 其中 J a = 2 + JJ, b = y/3 - 2.13. 13.X 兀 2 — 4% + 4 yL先化简，再求值：（卡-一^"即其中-圧14. 计算：（1）伍亦•洽）+^^-|一81|-«^ + （-1円'（2）已知:10 + A/2=x+y,其中X 是整数，且0 VyVl,求兀-y 的柑反数.15. 已知X M T • v "+l •求下列代数式的值2 2(1) x'y+xy"(2) x'-xy+y'10. 11. 12. 先化简再求值:(1) 解方程：16 (x+1) - -1=0(2) -(X-3) '=27(3) (4) 实数b 在数轴上的位脊^如图所示，请化简:，其中 <7 = 30 = 2化简求值:16.化简：(1) V2(A ^-A /2) (2)皿七护-怎-评17- （本题10分〉根据题目条件，求代数式的值:(1) 已知_=3，求X y 5x + XV — 5 y 「亠• •的值.(2) y=』0二/L 求代数式x=-xy+y=的值.218- （本小题6分）(1) 计算J (—5/3)" — Vl6 + J(-2)2(2) 当ac 时，化陆Ji+ 4a-- 2aIZV3 (2) （5分） 先化简，再求值：（竺 站｝亠7 ,其中甘邑 b=-l 5a-b 10肿 2cPb~ 2 23h 20-化简讣算:（本题满分题6分〉 (1) 275-(75 + 3/) (2)菸倉+ J(・3)2 •屁221. （8分）已知A- = 5^ + l,y = ^/3-b 求下列各式的值.(1)(2) X- +xy + y-22.在实数范帀内分解因式:(1) /-9；(2) 4x2-32；A /3（1）求ZAPB 的度数:(2)如果 AD=5cm, AP=8cm,求A APB 的周长.C 3) x~ — + 3 :(4) 3a^—2b^.23- （6分）先化简，再求值: L 壬.丄,其中"_2. «- +4« + 4 « +2 a +324.已知 0<x<l,化简：|（牙一»2+4_（兀+1）2-425.已知 11 X(-^5 +5/3),y=—( y[5~yf3)，求 x^-xy+y •和一+ —的值•2 2 3' X 26.如图, ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分ZDAB 和ZCBA ・Cb 385【解析】Ax - y=8>/3i xy=b •I 原式=2(X - y) ■xy=385・考点：二次根式的化简求值：代数式求值.2- 3.5【解析】解 5 a' - ab-rb'.=(a " b) '+abr 7a= g (^\/5H /3) , b= g (・ A /S) »厶 厶/- a' - ab+b'.=c-| (V B -H /S ) r+[£ (V B -H /S ) X £(V^-V^)],=3.5考点：二次根式的化简求值.【解析】参考备案试题分析：先化简X, y 的值，成最简形式, 这样计算简单•再变换2s" - 3xy+2y"使它符合完全平方公式, (2+仞 2解：(2-V5)"(2+V5) （2-仞 2 尸(2+7^) (2-V5)h -试题分析：本题需先把a= - ab+b ：进行整理, 求出结果•化成（a-b ） =+ab 的形式，再把得数代入即可试题分析：首先将所求的分式进行化简，然后将X和y的值代入化简后的式子进行讣算.试题解析：根据题意可得：品2» X—y=2r xy=l卄二竺出d"考点：分式化简求值.【解析】试题分析：首先设X秒后面积为35.然后得出BP=x, BQ=2x,根据题意列岀方程求出x的值. 然后根据RtABPQ的勾股;^理得出距离• 试题解析：设X后△PBQ的而积为35平方厘米.则有PB=x, BQ=2x依题意，得：_x・2x=35 X匚35 解得：X二后2J寿秒后△PBQ的而枳为35平方厘米.FQ= J PB^ + BQ・=y/ x~ + A-x~ = = J5*35 =5答：后秒后△PBQ的面枳为35平方厘米，PQ的距离为5jy厘米.考点：（1）勾股定理：（2）二次根式.5. (1)、-1：(2)、1.【解析】试题分析：（1）将X的值代入代数式进行计算：（2）首先将多项式进行化简计算，然后将a、b 的值代入化简后的式子进行讣算.试题解析：(1)当x=>/2-1 时，x2+3x-l=(.y/2-iy 2+3 (y/2-1)-1 =2—2 运+1 + 3 运—3 — 1= 5^—1(2)原式=<r +2ab+ Ir +2<r — ab — Ir —3a~ =ab当 a=—2—yl3 » — 2 •:原式=ab= (— 2 — -\/3 ) (-73—2) =4—3=1. 考点：代数式的化简求值.【解析】 试题分析：先利用二次根式意义求出X 值，进而求出y 值，代入后而的式子中计算结果即可.试题解析：由二次根式意义可得：l-4x>0. 4s-l>0.综合可得：x=4所以y=0+0+2 3X 41 y2 C 「 所以 2 , 4 ,所求式子=Y2 -V2考点：1.二次根式有意义的条件；2-二次根式的化简求值.【解析】 试题分析：首先根据题意求出a+b.a-b 和ab 的值，然后将所求的分式进行通分和因式分解, 然后利用整体代入的思想进行求解，得出答案- 试题解拆•••a+b=2+>/5+2-75=4, a-b=2+73 - (2 — 丁5)=2厲，ab=(2+75) (2-A /3 ) =1a 二 Q' -b- _ (a - b}{a +/?) _ 4 x _ %羽b a ab考点：(1)分式的化简；(2)二次根式的加数8. 3ab3V2羽 〒■丁=【解析】 试题分析：首先根据题意得出X 的值，然后将代数式进行化简，将X 的值代入化简后的式子 进行计算• 试题解析：由x-l = V3得.1・=丿^ + 1化 简 原 式 =X- +2x + \-4x-4 + 4 = x^ -2x + [ = (yf3+ 1)--2(73 + 1)+1 = 3 + 2\/3 +1 — 2A /3 — 2 + 1=3考点：代数式化简求值9- (1) 2： (2) 7+4>/5【解析】 试题分析：（1）首先根据二次根式的讣算法则将所求的二次根式进行化简，然后将a 和b 的值代入化简后的式子进行计算：（2）首先根据二次根式的化简法则将X 进行化简，然后 将X 的值代入所求的代数式进行计算•试题解析J （1）原式=丽（&^ 必：b 血 JK ）『 二+ + - 2ba-hA=X =-S +75=(75+2) '一(75+2) +75=5+4-75+4-75-2+75=7+475 -考点：化简求值10.—36【解析】当 a=\ b= 2 肌原式=1^1=2.41 1 (2) 7x=-试题分析把原方程可化为（工-2尸+ 0 + 3）2+后㊁=0,利用非负数的性质得出x、y、z 的值•然后代入计算即可.试题解析：原方程可化为a - 2尸+ {y + 3尸+ = 0,X = 2^ y =—3* z=—2, /. (xy)j = (-6)"- = _36考点：1.完全平方公式2.非负数的性质3.幕的运算.11. — 2,^/3 .【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，然后再把a、b的值代入即可.一y/b j- -/ab = £' yfab一丘-Jab = 一Jab，= y/h -b-Ja,把a=3, b=2代入上式得：原爲.考点：二次根式的化简求值.12 - ab f 一【解析】试题分析：先按照整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a. b的值代入进行让算即可・试题解析：原式=fl" +2ab + lr +2, -ab-b~ -3a~ =ab :当a = 2+氐h = yf3-2时，原^(2 + 73)(73-2)=-!考点：整式的混合运算一化简求值.13. <1) x = 或一2. (2) x=0 (3) 724 4【解析】(4) -b试题解析：原式=试题分析：(1)根据平方根解方程即可:(2) 根据立方根解方程即可:(3) 根摒分式的通分约分进行计算，化简即可，然后代入求值:(4) 根据二次根式的性质和数轴的特点，化简即可. 试题解析：解：(1)16 (x+1) = -1 = 0X+l=± -r(2) -(X-3) '=27x-3=-3 x=O(—2)2 1L X + 2(X + 2)(x - 2) ■X x-2\x+2=2 .x + 2 x+2(4)根据数轴可知a<0<b,因此可知-妒=_a- (-a) -b=-b・考点：平方根，立方根•分式的混合运算.数轴与二次根式的性质33314. (1) ----- : (2) 5/1-124【解析】试题分析：（1）将所给各式的值代入或化简，然后计算即可.（2）先确过出S、y 的值，然后代入计算即可.试题解析：（1）•吉）+也齐^一|一81卜』^ + （-1严' = 5-1-4-81』4333⑵ 因为\Q + y/2=x+y.且X是整数，所以Eh所以7=10 + 72-11=72-1 ,所以x- y=ll-(迈-1 ) =12-72 .所以—y的相反数为y-xM-12 考点：实数的计算.15-(1) 5/5 ：(2) 2,【解析】试题分析：先求得x+y=JJ, sy=l・（1）把所求的代数式转化为xy （x+y）,然后将英代入求值即可:（2）把所求的代数式转化为（x+y） =-3xy,然后将克代入求值即可・试题解析J (1) x'y+xy0y (x+^=(2) x"-xy+y'= (s+y) '-3x7=4^" -3x1 =5-3=2 -考点：二次根式的化简求值.16- (1) 2； <2) 4.【解析】 试题分析：（1〉先把化简，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算;（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的除法法则和零指数幕的意义 进行计算.试题解析：（1）原式=40 H 逅）=2：（2）原式二诟+严 =5-1 =4.考点：1•二次根式的混合运算：2•零指数幕.17- (1) 3・ 5； (2) 8,【解析】(2)由 X 和 y 的值求得 x+y= JTT • xy=b 整体代入 x^—xy+y"=(x+-3xy^ 求值.（2）由题意得，x+y=7n , xy=b试题分析：（1〉由=3得x-y= -3xy,整体代入求值;试题解析：解：（1）由J-1 X V3 得 x-y= -3xy»所以 5K +XV _5丫 _5(x-y)+xv xn {x-y)-xyg □占=土—3.5：-3xy - xy -4xy试题分析：根据实数的计算法则进行汁算就可以得到答案.试题解析：（1）原雁2循一4亦=-2(2)原式=-2+3+JJ-2=JJ-l考点：实数的计算.21. (1) 4^3 ： (2) 10-【解析】试题分析：（1）先代入分别求出x+y, s-y的值，根据平方差公式分解因式，代入求出即可: （2）先代入分别求出x+y, xy的值，根据完全平方公式代入求出即可;试题解析J x = A^ + l , y = y/3 -1» :. x + y = 2© > xy = 2, x-y = 2(1) X- - y- =(X + y}(x - y) = 2^3 X 2 = 4>/3 :（2）“ +小+严=（兀+刃2一小=（昉）2-2 = 10・考点：二次根式的化简求值.22.解J (1)(犬2 + 3)Cv + — J^):(2 ) 4Cv + — 2->/y :(3)(X(4)(宓 + 迈b)(五-^/5初.【解析】解：（1）x4—9= （*2+3〉（x2-3） =(%" + 3)(x + J?)(x - JJ)：(2) 4x- - 32 = 4(x- - 8) = 4(x V8)(x(3) A" - 2/3x + 3 = F - Mi + (3? =(X-沖厂(4) 3«" 一2/?" = + 忑b)(五一迈b)・23. ],迺.a + 2 5【解析】试题分析：先分解因式，再把除法运算转化为乘法运算，约去分子分母中的公因式，化为展简形式，再把a的值代入求解.试题解析：原式二（3严（；；0）^二（4+2）2 3 — " a+3 a + 2当2时，原式二是h护晳考点：分式的化简求值.24 - 2x・［解析］卜|（4一4 二卜+土2 一卜+$2 二卜+> -因为OVxVl.所以原式=x+—-（亠x〉=x+X X —--*x=2s ・. • 7 X y25 - x'-sy+y'=〒_ + —=8・【解析】由已知有x+y=V5,xy=-（4X V (x+y)- -2xy -+- = =&y X26. (1) ZAPB=90^ (2) △APB 的周长是【解析】 试题分析：(1)根据平行四边形性质得出AD 〃CB ・ AB 〃CD,推出ZDAB+ZCBA=180\求 出 ZPAB+ZPBA=90% 在A A PB 中求出 ZAPB 即可：(2)求出AD=DP=5» BC=PC=5,求出DC=10=AB,即可求出答案•A ZDAB+ZCBA=180\又TAP 和BP 分别平分ZDAB 和ZCBA, 「•ZPAB+ZPBA 号 ZDAB+ZCBA)知,在AAPB 中,A ZAPB=180"- (ZPAB+Z PBA) =90°；(2) TAP 平分ZDAB,A ZDAP=Z PAB ・VAB//CD, •••ZP AB=ZD PA ••• Z DAP 二 Z DPA •••△ADP 是等腰三角形• /. AD=DP=5cm 同理：PC=CB=5cm即 AB=DC=DP+PC=10cm.在 RtAAPB 中，AB=10cm» AP=8cm>BP^VlO? - 8 乙6 (cm •••△APB 的周长是 6+8+10=24 (cm)考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质：勾股定理.6+8+10=24 (cm)・解：(1) 7四边形ABCD 是平行四边形,C。
§7.3二次根式的除法 Microsoft Word 文档
第 7 章 §7.3二次根式的除法 学案教学目标1、理解二次根式的除法公式及其逆用，并能利用他们进行计算理解最简二次根式的概念并运用它进行化简。
2、培养学生归纳总结能力，应用数学知识解决实际问题的能力3、培养学生团结合作互助的精神，激发学习数学的学习兴趣。
重难点：理解二次根式除法法则，最简二次根式的运用。
教学过程：一、自主学习计算下列各题，观察计算结果：（1（2（3 （4二、合作学习 两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．三、概括一般地，有=b a________（a ≥0，b ＞0）． 文字语言叙述：两个二次根式相除，___________________________．四、用一用（1）315； （2）624．解 （1）315； （2）624． 小题（2）还有别的解法吗？624五、知识拓展上面得到的等式，也可以写成=b a______（a ≥0，b ＞0）． 文字叙述：商的算术平方根，等于__________________．利用这个性质可以进行二次根式的化简．六、用一用 化简21．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）解 2222222221212122===⨯⨯==．思考 ：1、二次根式的被开方数中含有分母，怎样把它开方出来？2、二次根式的除法，还可以采用是么方法来进行？=21．七、练一练1．化简：（1）31（2）52．2．计算：（1）208 （2） a a 3965课堂小结：１、通过今天的学习你有什么收获？２、化简二次根式的方法以及公式的准确运用。
当 堂 检 测1．化简：（1）714（2）65． 2．计算：（1）9840 （2）5120（3）x x 823．3．现有一张边长为5cm 的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01）。
二次根式的计算
二次根式的计算一、引言二次根式是数学中的重要概念，它涉及到数的开方运算。
本文将介绍如何进行二次根式的计算，并给出相关例题进行解答。
二、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
在二次根式中，a 被称为被开方数，√a被称为二次根式号。
三、二次根式的基本运算1. 同底数的二次根式相加减当二次根式的底数相同时，可以进行相应的加减运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
2. 同底数的二次根式相乘当二次根式的底数相同时，可以进行相应的乘法运算。
例如，√3 × √3 = 3。
3. 同底数的二次根式相除当二次根式的底数相同时，可以进行相应的除法运算。
例如，√5 ÷ √5 = 1。
4. 不同底数的二次根式运算当二次根式的底数不同时，无法进行运算，需要化简或变形。
例如，√2 × √3无法进行运算，但可以化简为√6。
五、例题解答1. 计算√8 + √18。
首先，将底数进行分解，得到√(2 × 2 × 2) + √(2 × 3 × 3)。
然后，按照同底数相加的规则，得到2√2 + 3√2，再合并同类项，得到5√2。
2. 计算√12 - √3。
首先，将底数进行分解，得到√(2 × 2 × 3) - √3。
然后，按照同底数相减的规则，得到2√3 - √3，再合并同类项，得到√3。
3. 计算(2√5 + √10) × √2。
首先，按照分配率展开括号，得到2√(5 × 2) + √(10 × 2)。
然后，按照同底数相乘的规则，得到2√10 + 2√20，再合并同类项，得到2√10 +4√5。
4. 计算√15 ÷ (√3 + √5)。
首先，按照有理化分母的原则，将分母进行乘积形式变形，得到√15 ÷ (√3 + √5) × (√3 - √5)。
然后，按照差的平方公式展开，得到(√15 ×√3 - √15 × √5) ÷ (3 - 5)。
13、二次根式的运算
二次根式的运算知识点1、二次根式的乘除法1、乘法法则：两个二次根式相乘，就是把被开方数相乘作为积的被开方数将被开方数，根指数不变。
如果ab b a b a =⋅≥≥那么有,0,0反之ab =b a ⋅0,0≥≥b a 即两个非负数的算术平方根的积，等于这两个非负数积的算术平方根注：①这里的b a ,即可以是数，也可以是代数式，但都必须满足0,0≥≥b a ；②二次根式与二次根式相乘时，可类比单项式与单项式相乘，把系数与系数相乘，被开方数与被开方数相乘．最后结果要化为最简二次根式，计算时要注意积的符号．2、除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除作为商的被开方数将被开方数，根指数不变。
如果b a ba b a =>≥那么有,0,0反之bab a =0,0≥≥b a 即两个非负数（除数不为0）的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
例2、二次根式除法计算知识点2、二次根式的化简1、最简二次根式的条件①根号内不含有开得尽方的因数或因式；②被开方的因数是整数，因式是整式：被开方数不含分母。
例3、最简二次根式的识别2、分母有理化（1）定义：二次根式除法的运算，通常采用把分子、分母同乘一个式子化去分母中的根号的方法来进行。
把分母去根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称作这两个代数式互为有理化因式.（3）常见的有理化因式的形式a a 和，b a b a +-和，bn a m b n a m -+和注意：分母有理化的关键是确定分母的有理化因式。
（4）分母有理化方法1）直接对ba分母有理化：法一：化为ba，然后分母有理化为b ab 法二：根据分式的性质，bab b ab ba==22）利用平方差公式法：()()aa a a+-+=111-11()()ba b a b a ba +-+=-1注：一个二次根式的有理化因式不唯一的，一般情况找最简单的。
二次根式讲义 Word
二次根式及其运算概述：二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法。
知识盘点：1、二次根式的性质：2、二次根式的运算法则：（5）3、设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅4、当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．典典例精析：例1 化简：点评：若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：点评：两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：点评：（1）将被开方数的化成分母是2的分数就可以按例3的方法解决了，还要注意开方时考虑符号；(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简。
例5：(2010湖北省荆门市)已知a ＝2b ＝2a b -的值． 点评：由于a+b 和ab 都是有理数，所以整体代人较为简便。
点评：考虑到被开方数的平方差特点待定系数法设原式为x ，两边平方可以使原式简化。
例7：化简441296222+--+-+++x x x x x x点评：本题的解法叫零点法，也叫分段讨论法，是解决绝对值题型的基本方法。
例8：设154-=a ，试求a a a 4223--的值。
点评：原式=a(a 2-2a-4)=a(a 2-2a+1)-5a ….通过配方巧妙解答，流畅自然。
例9：计算10121011101144++-++点评：设10,10,10424===a a a 则达到化繁为简之妙。
例10：已知a 、b 都是有理数，且347-是方程02=++b ax x 的解，求a+b 。
二次根式Microsoft Word 文档
（3）、 （4）
（5）、 （6）、
教学目标：
1.理解二次根式的概念及实际意义，了解被开方数必须是非负数的理由。运用二次根式知识解决相关问题。
2.学生经历运用已有知识解决问题的过程，抽象、概括二次根式的概念。
3.在探究二次根式相关知识的过程中，调动学生积极、主动的参与学习，提高学生探究与概括的能力，认识到数学知识来源于现实生活的思想意识。
一、自主学习：
运用已学知识和经验，完成下列各题.
1.面积为9m2的正方形的边长是＿＿m，面积，为S的正方形的边长是＿＿。 2.要修一个面积为18.84 m2圆形养鱼池，它的半径是＿＿m。（π取3.14）
3.一个物体从高出自由下落，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始下落时的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=＿
下面请大家讨论一下，下面式子中a的取值范围是什么
通过讨论大家很容易理解，很容易的知道a的取值范围a≥0.
因此，式子 成立的条件是： （a≥0.）
课后反思：
八年级数学学科导学案基地：五中基地主备人：于泽建
课题
16.1.1二次根式
例1当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：因为x-2≥0，所以x≥2；
所以当x≥2时， 在实数范围内有意义。
三、当堂检验：
1、填空
（1）、若 有意义，则x的取值范围是＿＿＿。
（2）若 有意义，则a的取值范围是＿＿＿。
2、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
4.如果一个正数的平方等于a，那么这个正数可表示为＿＿。
通过对上面各题答案的观察、归纳、概括，于是得出：
新知：形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。“a”称为被开方数。“ ” 是“ ”的简写，“2”称为根指数，这里省略不写。
二次根式的运算公式.docx
二次根式的运算公式二次根式是高中数学中一个重要的概念，它涉及到了根号的运算和二次方程的解法。
在这篇文章中，我们将探讨二次根式的运算公式，并说明其在实际生活和学习中的应用。
首先，让我们回顾一下二次根式的定义。
二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个实数，且a大于等于0。
在二次根式的运算中，我们必须熟练掌握以下两个重要的运算公式：乘法公式和化简公式。
乘法公式用于计算两个二次根式的乘积。
设√a和√b是两个二次根式，其中a和b都是实数且大于等于0。
根据乘法公式，它们的乘积可以表示为√(a*b)。
例如，√2 * √3 = √(2*3) = √6。
这个公式在实际生活中的应用很广泛，比如在计算几何中，当我们需要求解两个边长相乘得到的面积时，就可以利用这个公式来简化计算过程。
化简公式用于简化复杂的二次根式。
举个例子，如果我们要化简√(4*√3)，根据化简公式，可以得到√4 * √√3 = 2 * √√3。
这个化简公式在求解数学问题中非常有用，它可以帮助我们将复杂的根式转换成更简单的形式，以便于进一步运算或解题。
除了乘法公式和化简公式，还有一些其他的二次根式运算公式，比如加减法公式和有理化公式，它们在高中数学的学习中也是非常重要的。
加减法公式主要用于计算带有二次根式的加减法运算，有理化公式则用于将分母中含有二次根式的有理数转化为分母没有二次根式的形式。
在实际应用中，我们可以看到二次根式的运算公式在各个科学领域都起到了重要的作用。
比如在物理学中，当我们需要计算一些特定形状的物体的体积或表面积时，常常会遇到二次根式的运算。
此时，我们可以利用二次根式的运算公式来简化计算过程，并得到准确的结果。
总结起来，二次根式的运算公式是高中数学中一个重要的知识点。
通过学习乘法公式、化简公式以及其他相关的运算公式，我们可以更加灵活地进行二次根式的运算，并在实际生活和学习中应用这些知识。
无论是在解决几何问题、物理计算还是其他领域中，二次根式的运算公式都是我们不可或缺的工具，为我们解决复杂的数学问题提供了便利。
(完整word)二次根式的运算
二次根式的运算编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1。
学习目标（1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；（2）了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3）理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4）会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算。
2.重点(1)理解，及利用它们进行计算和化简；（2)理解,及利用它们进行计算和化简；（3）最简二次根式的运用；（4)合并同类二次根式；(5）二次根式的混合运算.3。
难点（1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；（2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则:，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。
要点诠释：(1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)（2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简,如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
要点诠释：（1）在这个性质中,a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数,还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则:,即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中,因为b在分母上，故b不能为0.（2）运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。
(完整word版)二次根式知识结构
(完整word版)二次根式知识结构1、定义:一般的，式子a( a≥0 ) 叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a叫做被开方数。
（根号下的a可以是任意代数式,必须被看做一个整体。
）只有当a是一个非负数时，a才有意义。
2、性质：非负性：（1）根号下的a必须是非负数,表示为a≥0；（2）a（a≥0）本身是一个非负数．表示为a≥03、基本运算：(1）a（a≥0）的平方根是±a，a（a≥0)的算术平方根是a（2）2a＝│a│= 要特别注意:绝对值内代数式的正负性，绝对值内是一个整体。
（3)(a)2＝a（a≥0)(4）a·b＝ab（a≥0，b≥0）反过来：ab=a·b(a≥0，b≥0）(5）ab=ab（a≥0，b>0）反过来，ab=ab（a≥0,b>0）a (a≥0)-a (a＜0)二次根式4、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式;(2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式5、化简最简二次根式的方法：(1）把被开方数(或根号下的代数式）化成积的形式，即分解因式；(2) 化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；基本概念运算1、加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式）进行合并。
（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。
2、乘法:a·b＝ab（a≥0,b≥0），结果要化为最简二次根式。
3、除法：二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后把分母的根号化去。
把分母的根号化去，叫做分母有理化。
方法为：（1）分子、分母可以约分；（2）分子、分母都乘以分母的有理化因式。
常见的互为有理化因式有如下几类: ①与；②与;③与；④与．。
(完整word版)二次根式重点内容
次
1. 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时,才有意义．
2。
二次根式的性质：
①②
③④
3。
二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．
（1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数．
（2）二次根式的乘法：
（3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
(4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．
（5）有理化因式:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与；②与；
③与；④与．
说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化．。
二次根式的化简及计算精编WORD版
二次根式的化简及计算精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】二次根式的化简及计算一、学习准备：1、平方根：如果 x2 = a，那么x叫做a的平方根。
若0a≥, 则a的平方根记为．2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
若0a≥, 则a的算术平方根记为_____．3100的_______，结果为_______．②表示4964的_______，结果为_____．③ 0.81的算术平方根记为___________，结果为_________．__________，__________．二、阅读理解4、二次根式的概念：”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。
在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。
5、积的算术平方根= = . =× = ，所以一般地a b = (0,0)a b ≥≥（注意：公式中,a b 必须都是非负数）积的算术平方根，等于 ．=例1、化简:（1 （2 （3 （4）0,0)a b ≥≥即时练习：计算（1 （2（3（4）6、二次根式的乘法=(0,0)a b ≥≥0,0)a b =≥≥．即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。
例2、计算 （1 （2）即时练习：计算（1（2 （3）(-7、商的算术平方根== ，23= == (0,0)a b ≥> 商的算术平方根，等于 。
化简（1 （2（3即时练习：化简（1 （2（3课堂检测1、计算:（1 （2 （3（42、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c.（1）如果6,9,a b c ==求； （2）如果4,12,a c b ==求； （3）如果15,10,c b a ==求3、计算：（1 （2）（3 （44、化简（1 （2（38．根式分母有理化例1：把下列各式化为最简二次根式（1（2（3）即时练习：把下列和各式化为最简二次根式（1（2（3（4）x（2例2、把下列各式分母有理化:（1（3（2即时练习：把下列各式分母有理化课堂检测1、下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由（1（2（3）32、把下列各式化为最简二次根式（1）（2）（3（4（23、把下列各式分母有理化:（19.同类二次根式概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注意：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须将不是最简二次根式的式子化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同。
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二次根式的运算
知识点总结
一、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，
就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面.反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。
二、有理化因式与分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们
的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
三、二次根式运算法则：(1)加法法则(合并同类二次根式);(2)乘、除法法则。
四、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的
分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
常见考法
二次根式的运算是中考命题的热点，二次根式的运算在中考中多以混合运
算为主，解决时，我们还要与分母有理化以及各运算法则，公式相结合。
题型
既有选择填空，也有计算解答。
误区提醒。
精选-小学生二次根式的运算-word文档
小学生二次根式的运算
如何把小学各门基础学科学好大概是很多学生都发愁的问题，查字典数学网为大家提供了二次根式的运算，希望同学们多多积累，不断进步!
1.积的算术平方根的性质： (a0，b 积的算术平方根等于每个因式的算术平方根的积
2. 乘法法则： (a0，b0) 二
次根式的乘法运算法则：两个二次根式相乘，等于把被开方数相乘，根指数不变。
3、商的算数平方根的性质 (a0，b0)
4、除法法则 (a0，b0)
二次根式的除法运算法则：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，根指数不变。
5、有理化因式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
如：的有理化因式为 ; 的有理化因式也是
的有理化因式为 ;
6、同类二次根式：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
7、合并同类二次根式 :把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
8、合并同类二次根式方法：二次根式的系数相加减，二次根式的被开放数及指数不变。
9、二次根式加减方法：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
为大家整理的二次根式的运算就到这里，更多小学生辅导相关内容请随时关注查字典数学网小学频道!。
(完整word版)二次根式加减
21。
3二次根式的加减一、学习目标1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算.二、学习重点、难点重点:二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。
三、学习过程（一）自主学习自学课本第10—11页内容，完成下面的题目:1、试观察下列各组二次根式，哪些是同类二次根式:（1）2322与 （2)x 9x 4与 （3)205与 （4)1218与从中你得到：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式2、自学课本例1，例2后，仿例计算：(1（2+363（3）通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应化为 最简二次根式 ，再将其中的同类二次根式合并。
(三)合作交流(1） )27131(12-- (2) )512()2048(-++(3） yy x y x x1241+-+ （4）)461(9322x x x x x x --(四)展示交流：计算：（1）()()532532+- （2)()23223-(五）达标测评:1 )． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2、下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．A ．12与27 C ．m 9m 18与3、已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式,则满足条件的 a ，b 的值为 。
4、计算：（1）38550 （2）xx x x 1246932-+（3)214540 （4）232282xy x x +-(0,0)x y >>(5)(2ax —5bx ）（2ax +5bx ） （6)()26210-。
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二次根式强化训练与复习巩固自测试题
一、填空题：（每小题2分，共 20分）
1．化简：______；_________．
2．当______时，．
3．等式成立的条件是______．
4．当，化简_______．
5．比较与的大小：_______．
6．分母有理化：
（1）__________；（2）__________；（3）__________．7．已知，，，那么________．
8．计算_________．
9．如果，那么的值为___________．
10．若有意义，则的取值范围是___________．
二、选择题：（每小题2分，共 20分）
1．下式中不是二次根式的为（）
A．； B．； C．； D．
2．计算得（）
A．； B． C． D．17 3．若，则化简等于（）
A． B． C． D．1
4．化简的结果是（）
A． B． C． D．5．计算的结果是（）
A． B． C． D．
6．化简的结果是（）
A．2 B． C． D．以上答案都不对 7．把式子中根号外的移到根号内，得（）
A． B． C． D．
8．等式成立的条件是（）
A． B． C． D．9．的值为（）
A． B． C． D．
10．若代数式有意义，则的取值范围是（）
A．且 B． C．且 D．且三、计算与化简：（每小题2分，共 16分）
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
四、求值题：（每小题4分，共 16分）
1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．
4．求的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
五、解答题：（每小题4分，共 16分）
1．解方程：
2．在△ABC中，三边分别为，且满足，，试探求△ABC的形状．
3．有一种房梁的截面积是一个矩形，•且矩形的长与宽之比为：1，现用直径
为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大截面积是多少？
答案与提示：
一、填空题：
1． 8； 2．； 3．，
； 4．； 5．；6．（1）（2）（3）
7．； 8．； 9．4； 10．；
二、选择题：
1．B； 2．B； 3．C； 4．A； 5．A； 6．C； 7．C； 8．A； 9．B； 10．C；
三、计算与化简：
（1）96 （2）（3）（4）（5）（6）
（7）（8）（9）
（10）思路点拨：由于，因此对代数式的化简，可
先将分母有理化，•再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入化简得结果即可．
解：原式
．
四、求值题：
1．由于，所以；
2．解：∵，∴
∴，∴，∴
∴原式．
3．提示：由，得：，即：
，所以，；再化简，即：
．
4．提示：由于
，而，所以
．
5．提示：由，可知的取值范围：，则；
则．
五、解答题：
1．原方程可化为：，
∴∴
2．∵，∴，
又∵，∴，∴，∴；
∵，，，∴，，，∴，∴△ABC是等边三角形．
3．设：矩形房梁的宽为，则长为，依题意，
得：，，，
所以．
答：加工后的房梁的最大截面积是。