现代控制理论习题解答(第四章)
现代控制理论第四章答案
G T PG P Q 1 3 1 P11 3 2 0 P 12 0 3 0 P13 P12 P22 P23 P13 1 3 0 P11 P23 3 2 3 P12 P33 1 0 0 13
P 12 P22 P23
19 1 0, 2 0, 3 0 78
19 78 P 13 10 P23 39 P33 1 2
10 39 49 78 19 13
0 0 0 P11 P12 P13 1 0 0 0 P P k P k 2 / 4 P P k / 2 P P P 0 0 0 11 13 33 12 23 12 22 23 0 P13 P23 P33 0 0 0 P12 P23 k / 2 P22
P 12 P22
P 1 1 1 0 12 2 3 0 1 P22
7 P 11 4 5 P 12 8 9 P22 24
2 P 4 P 1 11 12 P 4 P 2 P22 0 11 12 2 P 6 P 1 22 12
1 2 19 13 123 76
故:矩阵P是负定的,所以系统的平衡状态是不稳定的
【习题4－8 】设线性离散系统的状态方程为
0 1 0 x(k 1) 0 0 1 x(k ) 0 k / 2 0
1 Q 0 0 0 0 0 P 11 P P 12 P 13
I A
a11
a12
a21 a22 (a22 a11 a12 a21 ) 1 2 0 2 (a11 a22 ) 1 2 0 2
现代控制理论课后习题答案
精心整理绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。
我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。
2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。
3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。
我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。
在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！2014年6月2日第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)
第一章习题答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：阿令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-3参考例子1-3（P19）.1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。
（2）A=解：第一种方法：令则，即。
求解得到，当时，特征矢量由，得即，可令当时，特征矢量由，得即，可令则，第二种方法，即拉氏反变换法：第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知，2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论课后习题答案
现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解：()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ； ()3r 2,1,2E -：223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???；()3r 2,3,3E ：223051s s s s s ??++ ?- ? ???；()3r 1,3,2E s --：01051s s ?? ?- ? ；()3r 2,1,5E s -：01001s ?? ?；()3r 3,1,1E -：01000s ?? ? ? ???；()1r 2,3E ：01000s ?? ? ? ???；()1r 1,2E ：00100s ?? ?；所以⼀个gcrd 为001s ??；取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。
1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ，根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。
(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ，根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解：(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -，得1,233,1λλ== 对1,23λ=，可以计算1,2()2rank λ=A I -，所以该特征值的⼏何重数为1。
《现代控制理论》第三版_.习题答案
1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ； 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1－5. 根据微分方程， 写状态方程， 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法： 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
《现代控制理论》课后习题答案4
ε 和初始时刻 t0 有关)， 使得从球域 S (δ ) 内任一初始状态出发的状态轨线始终都保持在球域 则平衡状态 xe = 0 称为是李雅普诺夫意义下稳定的。 进一步， 如果平衡状态 xe = 0 S (ε ) 内，
是李雅普诺夫意义下稳定的，并且当 t → ∞ 时，始于原点邻域中的轨线 x (t ) → 0 ，则平衡 状态 xe = 0 称为在李雅普诺夫意义下是渐近稳定的。 它既适用于线性系统， 也适用于非线性系统， 既适用于时变系统， 也适用于时不变系统， 既适用于连续系统，也适用于离散系统。 4.4 怎样判别二次型函数的正定、负定、半正定、半负定？ 答：二次型函数的一般表达式为：
2 2 2
（2） V ( x ) = − x12 − 10 x 2 2 − 4 x3 2 + 6 x1 x2 + 2 x3 x2 ； （3） V ( x ) = 10 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x1 x2 − 2 x3 x2 − 4 x1 x3
2 2 2
2 2 答： （1） V ( x ) = x12 + 4 x2 + x3 + 2 x1 x2 − 6 x2 x3 − 2 x1 x3
⎛ ⎡10 1 −2 ⎤ ⎞
由于矩阵 P 的三个顺序主子式分别是
⎛ ⎡10 1 ⎤ ⎞ ⎜⎢ ⎥⎟ Δ1 = 10 > 0 ， Δ 2 = det ⎜ ⎢ ⎟ = 39 > 0 ， Δ 3 = det ⎜ ⎢ 1 4 −1⎥ ⎟ = 17 > 0 ⎥ ⎝ ⎣ 1 4⎦ ⎠ ⎜ ⎢ −2 − 1 1 ⎥ ⎟ ⎦⎠ ⎝⎣
AT P + PA = −Q
其中，未知对称矩阵具有以下形式
⎡P P = ⎢ 11 ⎣P 12
《现代控制理论》第三版 第四章.习题答案
a11 a22 0
4-3（1）选 v( x ) x1 x2 ，平衡点 xe 0 v( x ) 0 ( x ) 2 x12 6 x2 2 6 x1 x2 x T Px v
2 3 P 3 6 2 3 0
1 P 11 0
4-2 法一： 系统的特征方程为：
I A 2 a11 a22 a11a22 a12 a21
系统大范围渐近稳定等价于方程有两个 负实部的共轭复特征值或两个负实特征 值，于是可以得到 1 2 a11 a22 0 12 a11a22 a12 a21 0 法二： P11 P12 设对称阵 P = ，设 Q I P12 P22
2
2
因为 i 为奇数 i 0 i 为偶数 i 0 ，所以
P 负定。
( x ) 0 渐近稳定 v 当 x 近稳定 或按
AT P PA Q
v( x ) 所以大范围渐
取Q I
7 4 P 5 8
稳定
5 8 3 8
1 0 2 0 所以 P 渐近
（2） v( x ) x1 x2
2
2
( x ) 2( x12 x2 2 ) 0 v
当
x v( x ) 所以大范围渐近稳定 1 2 P 0 0 1 2
2 2
或按 AT P PA Q
问题： 4-2 讨论对取 v( x ) x1 x2 ，
1 1 0
3 17.75 0 ，所以 Q( x )
是负定的
2） Q( x ) x T Px
1 1 1 P 1 4 3 1 3 1 1 1 0 2 3 0 所以 Q( x ) 不定符号
现代控制工程基础第四章习题解答
jω
0
σ
jω
0
σ
6
4.3 设单位负反馈开环传递函数如下，试概略绘出响 应的闭环根轨迹
(2) 解：
G ( s ) = K ( s + 1) s (2 s + 1)
G(s) = K *(s +1) , K * = 0.5K s(s + 0.5)
开环零点： z1 = −1, m = 1
开环极点： p1
= 0,
+1)π
θpx =19.48D
10
jω
19.48o
σ
0
11
4.6 设系统开环传递函数如下，试画出b从零到无穷变 化时的根轨迹。
(1)
G(s) =
20
(s + 4)(s + b)
解： 闭环系统特征方程： D(s) = s2 + 4s + 20 + b(s + 4) = 0
等效单位负反馈开环传递函数：G* (s)
K −1.1ω2 + ⎣⎡ω − 0.1ω3 ⎦⎤ j = 0
令实部、虚部等于零，可得：
⎧ω = 0
⎨⎩K = 0 ,
⎧⎪ω = ± 10
⎨ ⎪⎩K
=
11
显然产生开环虚根的开环增益K=11. 9
4.5 设试绘制下列多项式方程的根轨迹。
(1) s 3 + 2 s 2 + 3 s + K s + 2 K = 0
=
b(s + 4) s2 + 4s + 20
jω
开环零点：z1 = −4, m = 1
开环极点：p1,2 = −2 ± 4 j, n = 2
现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法
【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2
x1 x2
x14
x12
2
x22
2
x1
x2
0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T
现代控制理论习题解答(第四章)
第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P 二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b a a 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
现代控制理论第四章习题答案
第4章“线性系统的能控性与能观性”习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001342100010u u x x x x xx3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 10030013u u x x x x xx解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab 从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C 显然有[]n Ab bU C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
2)由于该系统控制矩阵为100111B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=342100010A 则有，0101001001 01112431117AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 20100111001 111724317115A B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而系统的能控性矩阵为21001110111171117115C U BABA B -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==--⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦有n U C ==3rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
3)由于该系统控制矩阵为110020B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10030013A 则有，3101133030 00000012020AB ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 23103399030 0000012020A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦于是，系统的能控性矩阵为21133990000002220C U BABA B ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦可知n U C <=2rank不满足能控性的充要条件，所以该系统不完全能控。
现代控制理论第4章测验参考答案
第4章测验题（共3题，时间：30分钟）1、若系统的齐次状态方程为),(t x f x= ，若存在状态矢量x e ，对于所有t ，都使x e 称为系统的平衡状态。
2、若二次型标量函数V (X )=V (x 1，x 2)=22212125x x x x ++, 若写成V (X )= X T PX 的形式（P 为对称阵），则PP 的符号性质为：。
3、系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=013502 ，[]x y 11-=， （1）判断系统在平衡状态处的稳定性。
（2）分析系统的输出稳定性。
解：（1）令0=x ，易知该系统具有唯一一个平衡点为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00e x 。
设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121211p p p p P ，取Q=I ，解李亚普诺夫方程PA+A T P=－I ，可得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=61656537P 易知矩阵P 的符号性质为不定，所以系统在平衡点处不是渐近稳定的。
也可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000Q 为半正定阵，则22)(x Qx x x V T =-= ，易证明仅当x=0时0)(≡x V，因此Q 的选取合理。
解李亚普诺夫方程PA+A T P= －Q 求出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=6165651225P ，P 阵符号也为不定，故系统在平衡点处不是渐近稳定的，但无法判断系统是李亚普诺夫意义稳定还是不稳定。
说明：通过第一方法可求得系统的特征值为2和－3，存在具有正实部的特征值，因此系统是不稳定的。
此外，通过求解该系统的自由解可知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-t t te x x e x e x t x 31020210210)()(，易知系统的状态是发散的，故系统是不稳定的。
（2）对于系统的输入输出稳定性分析：系统传递函数为31)3)(2()2()()(1+=+--=-=-s s s s B A sI C s G ， 唯一极点为-3，位于s 平面左半平面，因此系统为输出稳定。
《现代控制理论》习题解答 2016-5-18
2s 7 ( s 3)( s 4) 1-13 G ( s ) 1 s3
1 0 0 x 1 0 x 1-14 2 x 3 a2 0 4 a4 0 x y( z) 2( z 1) 2 1-15 u ( z ) ( z 3z 1)
10 s 26 ( s 2)( s 3)( s 4) 。 2s 10 ( s 2)( s 3)
0 x1 0 u1 y1 1 0 0 0 x2 ； 。 0 u2 y2 0 1 0 0 x3 b2 x4
x1 x2 x3 。 u ； (0 0 0 0 0 1) x4 x 5 x 6
1-04 设状态变量为 x1 i1 ， x2 i2 ， x3 uC ，状态方程， ： x1 i1 , x2 i2 , x3 uC ，状态方程
2( s 2) ( s 1)( s 3) 并联 G ( s ) W1 ( s ) W2 ( s ) 1 s 1
2( s 3) ( s 2)( s 4) 。 s 1 s2
第二章习题解答
1 0 0 A 2-01 (1) 注意 A 0 1 0 1 0 1 2 1 0 A1t 1 1 t ，其中 A1 1 ， A2 ，而 e L [( sI A1 ) ] e ， 1 2 A2
1 ( s 1)( s 3) 1-18 串联 G ( s ) W2 ( s )W1 ( s ) 1 ( s 1)2 s 2 5s 7 ( s 2)( s 3)( s 4) ； 1 ( s 1)( s 2)
现代控制理论第4章参考答案_作业
分
析
•
：V(
x
)
x
T(
GTP
G
P
)
x
xT
Q
x
x12，
要
•
使V(
x
)
0
，
需
x1(
k
)
0
，
由 状 态 方 程 x1(k 1) x2(k)得 x2(k) 0， 又 由 x2(k 1) x3(k)得
•
x3(k) 0， 可 知V(x)仅 在 平 衡 状 态 处恒 为 0， 因 此 Q选 取 合适 。
• 对于本题，利用某个V函数方法得到满足系统渐近稳定 的k解集，但不一定是使系统渐近稳定的k值完整解集 (因判据充分非必要)，选取另一个V函数可能会得到另 一个k解集。例：可尝试以下两个V函数
v ( x ) x12 x22和v ( x ) x12 2x22
• 完整解集应为所有V函数对应k解集之并集(难以实现);
2 p12x1x2
p2 2x22
4 x12
2 p12x1x2
8 x22；
显 然 p11 4，p12 1，p22 8；即
P
4
1
18；Δ1
4
0，Δ2
•
0，故 V(x)负定。
•
x1
2 x1
(2)
•
x2 x2
;
x• 3 x1 x3
方 法1： 易 求 得
1 0
系 统 有 唯 一 的，选 Q 0 1
渐
近
稳
定。
因
系
统
为
线
性
系 统 且 仅 有 一 个 平 衡 状态 ，故 系 统 在x 0处大 范 围 渐 近 稳 定。
【现代控制理论与方法概述-各章节习题及答案】op_ti4
第四章作业：4-6， 4-17习 题 4-1 试判断下列系统的能控性（1）u x x xx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡5220012121 (2)u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡022******* (3)u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001400101123321321 （4） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212120112110u u x x x x(5)u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110112121 （6）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110011211u u x x x x(7)u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡340200010011321321 (8)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321030024200010011u u x x x x x x(9)u x x x x x x x x x x⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0312450000150000020000120000125432154321(10)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21543215432112000300105000015000002000012000012u u x x x x x x x x x x4-2 设系统的方程为u c b a x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321001001λλλ 试确定满足状态完全能控的a ，b 和c 。
大连理工大学 现代控制理论 王金城 第四、五章 答案
第四章习题参考答案4-1(1)211P 130101-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,123212061506132013-∆=>∆==-=>∆=--=>-∴V(x)为正定的（2）841P 421111-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,,12380020∆=>∆=∆-<∴V(x)为不定的4-2 ∵12x x 0==，∴e x 是系统的唯一平衡状态()3112211V x 4x x 2x x 42=⋅⋅+⋅⋅⋅ 31122x x x x =⋅+⋅ 22x =- 半负定 ∴系统在原点处的平衡状态是稳定的 ∴()421211V x x x 42=+可成为系统的李氏函数。
4-3（1）1122xx 21xx 04--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,1212xx 0x 0x 0==⇒== ∴e x 是系统的平衡状态 设李氏函数为()T V x x Px =，TA P PA I +=-1112111212221222P P P P 202110P P P P 140401----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得11424P 1132496⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,()2121113100449624∆=>∆=⋅-> ∴P 是正定的，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。
李氏函数为()T221253V x x Px x x 2432==+用李氏第一方法校核,21221I A 67303004λλλλλλλ+-==++⇒=-+<=-+ ∴系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的（2）112233x200x x 010x x 101x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦设李氏函数为()T V x x Px =，T A P PA I +=-111213111213122223122223132333132333201P P P P P P 200100010P P P P P P 010010001P P P P P P 101001---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴110361P 00211062⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,1235110003672∆=>∆=>∆=>∴P 阵是正定阵，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。
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第四章 控制系统的稳定性3-4-1 试确定下列二次型是否正定。
(1)3123212322212624)(x x x x x x x x x x v --+++= (2)232123222126410)(x x x x x x x x v ++---= (3)312321232221422410)(x x x x x x x x x x v --+++= 【解】： （1）04131341111,034111,01,131341111<-=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数不定。
(2)034101103031,0110331,01,4101103031<-=--->=--<-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=P二次型函数为负定。
(3)017112141211003941110,010,1121412110>=---->=>⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 二次型函数正定。
3-4-2 试确定下列二次型为正定时，待定常数的取值范围。
312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=【解】：312321231221211242)(x x x x x x x c x b x a x v --+++=x c b a x T ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=1112121110212111,011,0111111>---->>c b a b aa 满足正定的条件为：⎪⎩⎪⎨⎧++>+>>1111111114410ca b c b a b a a3-4-3 试用李亚普诺夫第二法判断下列线性系统的稳定性。
;1001)4(;1111)3(;3211)2(;1110)1(x x x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=【解】： （1）设22215.05.0)(x x x v +=⎩⎨⎧≠≤==-=--=+=)0(0)0(0222221212211)(x x x x x x x x x x x x x v为半负定。
又因为0)(≡x v时，有02≡x , 则02≡x，代入状态方程得：01≡x . 所以系统在0≠x 时，)(x v不恒为零。
则系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
（2）设22215.05.0)(x x x v +=212221************)32()()(x x x x x x x x x x x x x x x v+--=-++-=+= 035.15.11,0135.15.11>--<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⇒=x x T Px x T =P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
（3）22215.05.0)(x x x v +=22212122112211)()()(x x x x x x x x x x x x x v--=--++-=+= x x T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1001Px x T =P 负定，系统渐近稳定，又因为是线性系统，所以该系统是大范围渐近稳定。
（4）两个状态变量相互独立，所以可以单独分析各变量的稳定性。
()()⎩⎨⎧==≠≥==⇒==0000)(5.0)(2111121111x x x x x x v x x v x x()()⎩⎨⎧==≠≤-==⇒=-=0000)(5.0)(2222222222x x x x x x v x x v x x所以系统不稳定。
3-4-4 试确定下列系统平衡状态的稳定性。
)(001323031)1(k x k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
001323031)(=-+--=-=zz z A zI z f1.23462.6974i - 0.11732.6974i+ 0.1173321-===z z z 特征多项式对应的特征值均在单位圆外，所以系统不稳定。
方法二：采用第二方法，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=001323031G 。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=105.0015.05.05.01P因为1>0，075.015.05.01>=，05.0105.0015.05.05.01>=，所以P 正定。
Px x x v T =)(正定。
)())(()(k x P PG G k x k v T T -=∆⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-001323031001323031105.0015.05.05.010********P PG G T⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=85.175.165.475.48因为8>0，075.2765.45.48>=，05.485.175.165.475.48>=，所以P 正定。
)(k v ∆为正定，所以系统在原点不稳定。
【解】：方法一：采用第一方法，确定特征多项式对应的特征值是否在单位圆内。
02/01001)(=---=-=zk z z A zI z f02k -0.52k 0.5321===z z z 2012k 0.5<<⇒<±k 时平衡点渐近稳定。
方法二：Px x x v T =)(正定。
)())(()(k x P PG G k x k v T T -=∆)()()(k Qx k x k v T =∆令I Q -=P PG G Q T -=，设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332313232212131211P P P P P P P P P P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211P P P P P P P P P kP P P P P P P P P k P PG G T 0,0,0,123131211====⇒P P P P233222412,1412kP kP -=--=所以⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=224120001412001k kP P 为正定，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<⇒>->--2004120141222k kk 时系统渐近稳定。
3-4-6 设系统的状态方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21215.1210x x x x，试求这个系统的李亚普诺夫函数，然后再求从封闭曲线100)(=x v 边界上的一点到封闭曲线05.0)(=x v 内一点的响应时间上限。
【解】：令I Q = I PA P A T -=+求矩阵P ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10015.12105.11202221121122211211P P P P P P P P ⇒ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21414145.5P 所以李氏函数为：2221215.05.045.5)(x x x x x v ++=)()(2221x x x v+-= 011=-=---I P I QP λλ0=-P I λ则3062.21=λ，6938.02=λ955.1010005.0ln 1),(),(ln1200min0=-=-=-ληt x v t x v t t 3-4-7 试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。
⎪⎩⎪⎨⎧++--=+++-=⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=)()()2()1(22212212222112113221231211x x x x x x x x x x x xx x x xx x x x【解】：（1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂====1111311131022210221221110x x x Tx x x f x f x f x f x f A 02211112=+-=---=-s s s s A sI系统的两个特征值均在右半平面，则系统在平衡点附近不稳定。
（2）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂====11113121213102221212122210221221110x x x Tx x x x x x x x x f x f x f x f x f A02211112=++=+-+=-s s s s A sI系统的两个特征值都在左半平面，则系统在平衡点附近渐近稳定。
3-4-8 试确定下列非线性系统在原点处稳定时的参数a 、b 的取值范围（其中二者均大于或等于零，但二者不同时为零）。
⎪⎩⎪⎨⎧---==3221221bx ax x x x x【解】：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂====a bx a x f x f x f x f x f A x x x T11031100220221221111112++=+-=-as s as s A sI结论：系统在原点渐近稳定的充要条件是a 大于0, b 任意（同时还需满足题目要求）。
3-4-9 试证明系统⎪⎩⎪⎨⎧--==221211221x x a x a x x x在0,021>>a a 时是全局渐近稳定的。
【解】：求平衡点:⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--===000021221211221e e x x x x a x a xx x设222115.05.0)(x x a x v +=)(221221*********)(x x a x a x x x a x x x x a x v--+=+= 022212)(<-=x x a x v结论01>a ，)(x v 正定；02>a ，)(x v负定，系统渐近稳定。
因为∞⇒x 时，∞⇒+=222115.05.0)(x x a x v ，所以系统又是大范围渐近稳定。
3-4-10 试用克拉索夫斯基法确定非线性系统在原点0=e x 处为大范围渐近稳定时，参数a 和b 的取值范围。
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=32212211bx x x x x ax x【解】：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=22221221113111bx a x f x f x f x f xfJ T 令I P = )()()(x f x f x v T =)(3111)(2)(])[()(22x f bx a x f x f J J x f x v T T T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=系统在0=e x 处渐近稳定的条件是)(x v负定。