八上第2章特殊三角形4
2022-2023学年浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》易错题精选(原卷版)
保密★启用前2022-2023学年浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》易错题精选学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项∶1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。
选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写,字体要工整,笔迹要清楚。
3.本试卷分试题卷和答题卷两部分,满分100分。
考试时间共90分钟。
一、选择题(本题有10个小题,每小题3分,共30分)1.(本题3分)(2022·浙江衢州·八年级期末)如图图案中,成轴对称图形的是( ) A . B . C . D . 2.(本题3分)(2020·浙江·模拟预测)等腰三角形的两边长为3和8则这个等腰三角形的周长是( )A .14B .19C .14或19D .203.(本题3分)(2021·浙江·八年级期末)如图,在ABC 中,,30AB AC A =∠=︒,直线//,m n 顶点C 在直线n 上,直线m 交AB 于点,D 交AC 于点E ,若1150,∠=︒则2∠的度数是( )A .45B .40C .35D .304.(本题3分)(2020·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习)有下列命题:①对顶角相等;②同位角相等,两直线平行;③若a =b ,则|a|=|b|;④全等三角形的对应角相等.它们的逆命题一定成立的有( )A .①②③④B .①④C .②④D .②5.(本题3分)(2022·浙江杭州·八年级期末)在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,分别以A 点,B 点为圆心以大于12AB 为半径画弧,两弧交于E ,F ,连接EF 交AB 于点D ,连接CD ,以C 为圆心,CD 长为半径作弧,交AC 于G 点,则:CG AB =( )A .B .1:2C .D .6.(本题3分)(2021·浙江杭州·八年级期中)在锐角ABC 中,15AB =,13AC =,高12AD =,则BC 的长度为( )A .16B .15C .14D .137.(本题3分)(2021·浙江湖州·八年级阶段练习)如图,AO ,BO 分别平分CAB ∠,CBA ∠,且点O 到AB 的距离2OD =,ABC 的周长为28,则ABC 的面积为( )A .7B .14C .21D .288.(本题3分)(2022·浙江绍兴·八年级期末)如图,斜靠在墙上的一根竹竿,AB =10m ,BC =6m ,若A 端沿垂直于地面的方向AC 下移2m ,则B 端将沿CB 方向移动的距离是( )米.A .1.6B .1.8C .2D .2.29.(本题3分)(2022·浙江宁波·八年级期末)如图,△ABC 中,90ACB ∠=,以其三边分别向外侧作正方形,然后将整个图形放置于如图所示的长方形中,若要求图中两个阴影部分面积之和,则只需知道( )A .以BC 为边的正方形面积B .以AC 为边的正方形面积 C .以AB 为边的正方形面积D .△ABC 的面积10.(本题3分)(2022·浙江绍兴·八年级期末)在Rt △ABC 中,AC =3,BC =4,∠ACB=90°,点P ,Q 分别是边AB 和BC 上的动点,始终保持AP =BQ ,连接AQ ,CP ,则AQ CP+的最小值为( )A .BC .D .6二、填空题(本题有7个小题,每小题3分,共21分)11.(本题3分)(2021·浙江宁波·八年级期中)等腰三角形的顶角是40°,则底角的度数为________°.12.(本题3分)(2019·浙江杭州·八年级期末)如图,已知O 是等边△ABC 内一点,D 是线段BO 延长线上一点,且 OD OA =,AOB ∠=120°,那么BDC ∠=_____.13.(本题3分)(2022·浙江·台州市书生中学八年级期中)已知直角三角形的两边长分别为3和4,则斜边上的中线长为______.14.(本题3分)(2021·浙江·乐清市英华学校八年级期中)课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题:如图①分别以直角三角形的三条边为边,向形外分别作正三角形,则图中的S 1,S 2,S 3满足的数量关系是S 1+S 2=S 3.现将△ABF 向上翻折,如图②,已知S 甲=9,S 乙=8,S 丙=7,则△ABC 的面积是______ .15.(本题3分)(2021·浙江·杭州英特外国语学校八年级期中)如图,在△ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,AD 平分∠CAB 交BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,且AB =8cm ,则△BED 的周长是______.16.(本题3分)(2022·浙江·浦江县实验中学八年级期中)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图,此时点A 、B 、C 在同一直线上,且∠ACD =90°,图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图,在折叠过程中,△ACD 变形为四边形ABC'D',最后折叠形成一条线段BD ''.某家装厂设计的折叠床是AB =4cm ,BC =8cm , (1)此时CD 为_________ cm ;(2)折叠时,当AB ⊥BC′时,四边形ABC′D′的面积为_______cm 2 .17.(本题3分)(2022·浙江宁波·八年级期末)如图,△ABC 中,13AB AC ==,24BC =,点D 在BC 上()BD CD >,△AED 与△ACD 关于直线AD 轴对称,点C 的对称点是点E ,AE 交BC 于点F ,连结BE ,CE . 当DE BC ⊥时,∠ADE 的度数为________,CE 的长为________.三、解答题(请写出必要的解题过程,本题共6个小题,共49分)18.(本题6分)(2019·浙江·八年级期中)如图,在△ABC 中,AB =BC ,∠ABC =90°,点E 在BC 上,点F 在AB 的延长线上,且AE =CF .(1)求证:△ABE ≌△CBF .(2)若∠ACF =70°,求∠EAC 的度数.19.(本题8分)(2022·浙江嘉兴·八年级期末)如图,在7×7的正方形网格中,A ,B 两点都在格点上,连结AB ,请完成下列作图:(1)在图1中找一个格点C,使得△ABC是等腰三角形(作一个即可);(2)在图2中找一个格点D,使得△ABD是以AB为直角边的直角三角形(作一个即可).20.(本题8分)(2022·浙江绍兴·八年级期末)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC 边上(不与A,C重合),连接BD,BD=AB.(1)设∠C=α,∠ABD=β.①当α=50°时,求β.②直接写出β与α之间的等量关系及α的取值范围.(2)若AB=5,BC=6,求AD的长.21.(本题8分)(2022·浙江宁波·八年级期末)如图,M,N分别为锐角AOB∠边OA,OB上的点,把AOB∠所在平面内的点C处.∠沿MN折叠,点O落在AOB(1)如图1,点C 在AOB ∠的内部,若20CMA ∠=︒,50CNB ∠=︒,求AOB ∠的度数.(2)如图2,若45AOB ∠=︒,ON =折叠后点C 在直线OB 上方,CM 与OB 交于点E ,且MN ME =,求折痕MN 的长.(3)如图3,若折叠后,直线MC OB ⊥,垂足为点E ,且5OM =,3ME =,求此时ON 的长.22.(本题9分)(2022·浙江杭州·八年级期末)如图,C 是线段BD 上的一点,以,BC CD 为斜边在线段BD 同侧作等腰直角三角形ABC 和CDE △,过D 作DF DE ⊥于点D ,且DF AB =,连接AF 交BD 于点G ,连接,AE EF .(1)求证:AGB FGD △≌△;(2)请判断AEF 的形状,并说明理由;(3)请写出CAG ∠与DEF ∠的数量关系,并说明理由.23.(本题10分)(2022·浙江宁波·八年级期末)如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中,最长距离的平方等于另两个距离的平方和,则称这个点为该三角形的勾股点,如图1,平面内有一点P 到△ABC 的三个顶点的距离分别为P A 、PB 、PC ,若,PC PA PC PB >>,且222PC PA PB =+,则点P 就是△ABC 的勾股点.⨯的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点在格点(小(1)如图2,在32正方形的顶点)上,格点P是△ABC的勾股点吗?请说明理由;(2)如图3,△ABC为等边三角形,过点A作AB的垂线,点E在该垂线上,以CE为边在其右侧作等边△CDE,连结AD.①求证:点A是△CDE的勾股点;②若AC=1AE=,直接写出等边△CDE的边长.。
浙教版八年级上册第2章特殊三角形全章复习课件
等腰三角形
等腰三角形的性质: 轴对称性
在同一个三角形中, 等边对等角
底边上的高、中线、 顶角平分线三线合一
特
殊
三 角
等边三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性 质和判定 直角三角形的性质
直角三角形的判定
两个锐角互余
直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半
又会有几个等腰三角形?
A
BE+CF=EF仍然成立吗?
E
OF
B
C
例2、如图,AB=AD,BC=CD,AC,BD 相交于E点,由这些条件你能推导出哪些结 论呢? 请说明理由。
D
A
E
C
B
在网格中已有两个点A、B,现要在格点上寻 找一个点C,使△ABC为等腰三角形。
① 已知BC=7cm,
D是AB的中点,CD
AD平分∠CAB,BC=10,
BD=7,求点D到
E
AB的距离为﹍3﹍﹍。
解: 过D作DE⊥AB于点E C
D
B
∵∠C= 90°, DE⊥AB ,AD平分∠CAB,
∴CD=D(E角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵ BC=10,BD=7
∴DE=CD=BC-BD=10-7=3
2 .如图,D为等腰三角形ABC底边BC
有两个角互余的三角 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平
形是直角三角形
方,那么这个三角形是直角三角形
形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形的判定方法: 在同一个三角形中,等角对等边
等边三角形的性 质和判定 直角三角形的性质
浙教版八年级数学上册第二章知识点+注意点+经典例题
八年级上册第二章《特殊三角形》2.1图形的轴对称[轴对称图形]1.如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.2.有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.3.折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.[轴对称]有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,•那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称.ﻭ[图形轴对称的性质]①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.③轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.[轴对称与轴对称图形的区别][线段的垂直平分线](1)经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.(2)线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;反过来,与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合.2。
2等腰三角形+2。
3等腰三角形性质定理+2。
4等腰三角形判定定理[等腰三角形]★1. 有两条边相等的三角形是等腰三角形。
★2。
在等腰三角形中,相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.[等腰三角形的性质]★性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)★性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一).特别的:(1)等腰三角形是轴对称图形。
(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.[等腰三角形的判定定理]★如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").特别的:(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形. (2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.(3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.[等边三角形]三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.[等边三角形的性质]★等边三角形的三个内角都相等,•并且每一个内角都等于60°[等边三角形的判定方法]★(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;★(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;★(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.2。
浙教版数学八上课件复习第二章特殊三角形
浙教版数学八上课件复习第二章特殊三角形一、教学内容本节课复习浙教版数学八上第二章特殊三角形的相关知识。
具体内容包括:1. 等腰三角形的性质与判定;2. 等边三角形的性质与判定;3. 直角三角形的性质与判定;4. 勾股定理及其应用。
二、教学目标1. 熟练掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定方法;2. 理解并掌握勾股定理,能够运用勾股定理解决实际问题;3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点:勾股定理的理解与应用;2. 教学重点:等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质与判定。
四、教具与学具准备1. 教具:三角板、量角器、直尺、圆规;2. 学具:练习本、铅笔、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入:通过展示生活中的等腰三角形、等边三角形和直角三角形实物,引导学生关注特殊三角形在实际生活中的应用。
2. 例题讲解:(1)等腰三角形的性质与判定;(2)等边三角形的性质与判定;(3)直角三角形的性质与判定;(4)勾股定理及其应用。
3. 随堂练习:(2)利用勾股定理计算给定直角三角形的斜边长度。
4. 课堂小结:六、板书设计1. 特殊三角形性质与判定;2. 勾股定理及其应用;3. 课堂练习答案及解题思路。
七、作业设计1. 作业题目:2. 答案:(1)等腰三角形、等边三角形、直角三角形;(2)斜边长度分别为:6cm、8cm、10cm。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生对特殊三角形的性质与判定掌握情况较好,但在勾股定理的应用方面还需加强练习。
2. 拓展延伸:(1)探索特殊三角形的面积计算方法;(2)了解勾股定理在其他领域的应用,如建筑、测量等。
重点和难点解析1. 勾股定理的理解与应用;2. 特殊三角形的性质与判定的深入理解;3. 教学过程中的实践情景引入;4. 作业设计中的题目难度与答案的准确性。
一、勾股定理的理解与应用勾股定理是直角三角形中的一个重要性质,它描述了直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
八年级上册数学第二章特殊三角形
八年级上册数学第二章特殊三角形示例文章篇一:《特殊三角形:八年级上册数学第二章的奇妙之旅》嘿,你知道吗?在我们八年级上册的数学里,有一个超级有趣的章节,那就是第二章特殊三角形。
这可不像我们平常看到的那些普普通通的三角形哦。
特殊三角形就像是三角形家族里的明星。
先来说说等腰三角形吧。
等腰三角形呀,就像一个对称的小房子,它有两条边是一样长的,这两条边就像是房子的两个支柱,稳稳地支撑着。
我和我的同桌就经常讨论等腰三角形呢。
我对同桌说:“你看等腰三角形,这两条相等的边多神奇呀,就像双胞胎一样。
”同桌就会回答我:“是呀,而且等腰三角形的两个底角也是相等的呢。
这就好比是双胞胎不仅长得像,连性格都有相似之处。
”有一次做数学题,题目里有一个等腰三角形,只告诉了我们顶角的度数,要我们求底角的度数。
我一开始有点懵,这可怎么求呀?我就抓耳挠腮的。
这时候,前面的学霸转过来看到我的样子,笑着说:“这还不简单嘛。
等腰三角形的两个底角相等,三角形的内角和是180度,用180度减去顶角的度数,再除以2就得到底角的度数啦。
”我听了之后,恍然大悟,就像在黑暗中突然看到了亮光一样。
我赶紧按照学霸说的方法去做,果然得出了正确的答案。
我兴奋地对同桌说:“原来等腰三角形的这个性质这么好用啊,就像一把万能钥匙,可以打开这类型题目的锁。
”再说说等边三角形吧。
等边三角形可就更厉害了,它就像一个完美的小金字塔。
等边三角形的三条边都相等,三个角也都相等,每个角都是60度呢。
这就好像是三个一模一样的小伙伴,手拉手围成了一个圈。
有一回老师在黑板上画了一个等边三角形,问我们:“这个等边三角形的角是不是都一样呀?”我们都齐声回答:“是。
”老师又问:“那这个等边三角形和等腰三角形有什么关系呢?”我马上举手说:“老师,等边三角形是特殊的等腰三角形,因为它不仅两条边相等,是三条边都相等呢。
”老师笑着点头说:“非常正确。
”这时候我可高兴了,感觉自己像个小数学家一样。
八年级上数学期末复习 第二章 特殊三角形
第二章 特殊三角形错题:1、在等腰三角形ABC 中,AB=AC,D 是AC 上一点,且AD=BD=BC,求三角形ABC 各角的度数。
2、如图,在三角形ABC 中,AB=AC,点E 在CA 的延长线上,角AEF=角AFE,求证:EF 垂直BC.3、如图所示,以△ABC 的边AB,AC 向外作正三角形,连结DC,BE ,那么BE 与CD 相等吗?为什么?4、如图1所示,已知△ABC 和△BDE 是等边三角形,AE 和CD 相等吗?请说明理由。
当△BDE 绕点B 旋转到如图2所示的位置时,AE 与CD 还相等吗?5、如图,将长方形ABCD 沿EF 对折,使顶点A ,C 重合在一起,已知AB =8 ,BC =6 。
试求出折痕EF 的长。
EAFBC6、如图,Rt △ACB 中,222h1b1a1,h b a 90=+=⊥==︒=∠试说明,且,,,CD AB CD BC AC ACBCA B 7、如图,在Rt △ABC 中,BD AD BC D C =︒=∠上一点,是,点90,若AB=8,BD=5,求CD 的长。
练习:1、已知:三角形ABC 的边AB 、AC 为边长向外作等边三角形ACE ,CD 与BE 相交于点O ,求证:AO 平分∠DOE2、已知:如图,BF ⊥AC ,AD ⊥BC ,BD=AD ,则△DCE 是等腰三角形. 请说明理由.ECB AD F……图③图②图①CBADE提高题:(1~4每题2分,5~7每题4分,共20分)1、 等边三角形的边长为2,则它的面积是2、 如下图,△MNP 中, ∠P=60°,MN=NP ,MQ ⊥PN ,垂足为Q ,延长MN 至G ,取NG=NQ ,若△MNP 的周长为12,MQ=a ,则△MGQ 周长是( ) A .8+2a B .8+a C .6+a D .6+2a3、 如图,CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高,将△BCD 沿CD 折叠,B 点恰好落在AB 的中点E 处,则∠A= 度4、 如图,△ABC 是Rt △,BC 是斜边,P 是三角形内一点,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与△ACP ′重合,如果AP=3,那么PP ′的长等于 。
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点考点及练习
浙教版数学八年级上册第二章?特殊三角形?复习一、知识构造本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、定理等知识,这些知识点之间的构造如以下图所示:等腰Rt两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回忆1.等腰三角形的性质:等腰三角形两腰;等腰三角形两底角(即在同一个三角形中,等边对);等腰三角形三线合一,这三线是指、、,也就是说一条线段充当三种身份;等腰三角形是图形,它的对称轴有条。
2.等腰三角形的判定:有边相等的三角形是等腰三角形;有相等的三角形是等腰三角形〔即在同一个三角形中,等角对〕。
注意:有两腰相等的三角形是等腰三角形,这句话对吗? 3.等边三角形的性质:等边三角形各条边,各内角,且都等于;等边三角形是图形,它有条对称轴。
4.等边三角形的判定:有边相等的三角形是等边三角形;有三个角都是的三角形是等边三角形;有两个角都是的三角形是等边三角形;有一个角是的 三角形是等边三角形。
5.直角三角形的性质:直角三角形两锐角;直角三角形斜边上的中线等于;直角三角形两直角边的平方和等于〔即勾股定理〕。
30°角所对的直角边等于斜边的6.直角三角形的判定:有一个角是的三角形是直角三角形;有两个角的三角形是直角三角形;两边的平方和等于的三角形是直角三角形。
一条边上的中线等于该边长度的一半,那么该三角形是直角三角形,但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形,但有助于解题。
7.直角三角形全等的判定:斜边和对应相等的两个直角三角形全等。
8.角平分线的性质:在角内部到角两边在这个角的平分线上。
三、重点解读1.学习特殊三角形,应重点分清性质与判定的区别,两者不能混淆。
一般而言,根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定,而根据图形形状得到边角关系那就是性质;2.等腰三角形的腰是在一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称,即先有等腰三角形,后有腰,因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形〞;3.直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系,而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线,熟练掌握可以为解题带来不少方便;4.勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系,解题时应注意分清哪条是斜边,哪条是直角边,不要一看到字母“c〞就认定是斜边。
八级数学上册(浙教版)课件:2.4 等腰三角形的判定定理 (共20张PPT)精品
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C.有两个角相等
D.腰与底边相等
8.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B= 30°.求证:△ADC是等边三角形. 证明:∵DC=DB,∴∠B=∠DCB=
30°,∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°.又
∵AD=DC,∴△ADC是等边三角形
9.给出下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的 等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形; ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形 的是 D ( ) B.①②④
知识点2:等边三角形的判定 5.在△ABC中,∠A=60°,∠C=60°,则△ABC是________三角 等边 形. 6.如图,△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′, 等边 则△ABB′是________三角形.
7.等腰三角形补充下列条件后,仍不一定成为等边三角形的是( C ) A.有一个内角是60° B.有一个外角是120°
解:△AFC是等腰三角形.理由:在△BAD与
△BCE中,∵∠BAD=∠BCE,∠B=∠B,BD= BE,∴△BAD≌△BCE(AAS),∴BA=BC, ∴∠BAC=∠BCA,∴∠BAC-∠BAD=∠BCA -∠BCE,即∠FAC=∠FCA,∴△AFC是等腰三 角形
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14.如图,一艘轮船在近海处由南向北航行,点C是灯到B处, 测得灯塔在其北偏西76°的方向上.
(1)求∠ACB的度数;
(2)轮船在B处时,到灯塔C的距离是多少?
解:(1)∠ACB=∠NBC-∠NAC=76°-38°=
38° (2)∵∠ACB=∠NAC=38°,∴AB=BC=30海里, 即轮船在B处时,到灯塔C的距离是30海里
新浙教版八年级上数学知识点汇总
D C B A 第一、二章 三角形的初步知识和特殊三角形1.三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.2.三角形的角平分线、中线、高线都是线段;三条角平分线和中线分别交于三角形内部一点;锐角三角形的三条高线交于三角形内部一点,直角三角形的三条高线交于直角顶点,钝角三角形的三条高线所在直线交于三角形外部一点.3.三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.如图:AD 是三角形ABC 的中线,则S △ABD =S △ACD = 1 2 S △ABC 4.★★★三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.两边之差<第三边<两边之和5.★三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.6.★★★三角形全等的判定定理:SSS 、SAS 、ASA 、AAS ,看清楚所用的三个条件,绝对不能用SSA 来判定. 直角三角形还可以用斜边直角边相等来判定,即HL .(注意:在直角三角形较多的图形中,往往要用同角或等角的余角相等来证明某两个角相等) 注意:像这种△ABC ≌△DEF ,两个三角形已经用全等符号(≌)表示,说明对应点已经写在了对应位置上,我们在找对应边和对应角时可以根据它们的字母顺序来找,如边AC 是△ABC 的第1和3个字母,那么它的对应边应该是△DEF 的第1和3个字母,即DF . 这种方法有利于在一些复杂图形中找对应边和角.7.★★★垂直平分线(中垂线)的性质和角平分线的性质.①垂直平分线(中垂线)的性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.几何语言:∵AD ⊥BC ,BD =CD (注意:两个条件才能表示AD 是BC 的中垂线)∴AB =AC (注意:结论不要跳步和张冠李戴,关键是理解哪两条线段是点到点的距离)②角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等.几何语言:∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,DF ⊥AC (注意:三个条件,不要漏掉后面两个垂直,那是表示点到两边的距离)∴DE =DF (注意:结论不要跳步和张冠李戴,关键是理解哪两条线段是点到两边的距离)③记忆方法:垂直平分线是点到点的距离相等. 角平分线是点到线的距离相等.④应用:如图,找一个点使得它到A 、B 、C 三点距离相等,作线段AB 、BC 、AC 中任意两条的中垂线,它们的交点即为所要作的点. (只有一个点满足条件)如图,找一个点使得它到l 1、l 2、l 3三条线的距离相等,作∠BAC 、∠BCA 、∠ABC 中任意两个角的角平分线,它们的交点(一个)即为所要作的点.还可以作三个外角的角平分线,交点有三个.所以满足条件的点总共有4个.8.在同一个三角形中,等边对等角. 在同一个三角形中,等角对等边. (注意条件)9.等腰三角形三线合一的三线是指:底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线. (注意不能笼统的说中线、高线、角平分线三线合一,一定要加上它们的条件)10.在描述某个轴对称图形的对称轴对称轴时,注意对称轴是直线,如:等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线或底边上的高线所在直线或顶角的平分线所在直线.11.★★★注意需要分类讨论的几种情况.①已知等腰三角形一个角的度数,求另外两个角时,要注意讨论已知角是顶角还是底角,底角的度数一定小于90度.②已知等腰三角形两条边的长度,求周长时,要注意讨论哪一条边作为腰,哪一条边作为底,同时注意所讨论的情况能否组成三角形.③已知直角三角形的两条边的长度,求斜边、斜边上中线、第三边、第三边上的中线时,要注意讨论已知的两边都是直角边和其中一条边是斜边这两种情况,同时一定要弄清楚求的是什么(很多同学所求的并不是所问的).④已知等腰三角形一腰上的高和底边夹角的度数,求顶角或底角度数时,画图要注意分锐角和钝角两种情况讨论.⑤已知两个定点和一个动点构成等腰三角形时,要讨论三条边两两相等3种情况. (注意并不是指3个答案,有时一种情况可能会有两个答案)如图:已知定点O 、A ,动点P 在x 轴上,当△POA 为等腰三角形时,求点P 的坐标.首先判断这样的点P 有几个,我们可以作两个圆和一条中垂线(以O 为圆心,OA 长为半径作圆;以A 为圆心,OA 长为半径作圆;作OA 的中垂线),看它们与x 轴有几个交点. 如图可知,共四种情况. 注意:每种情况都画出相应的图形,有利于在图形上分析计算.⑥已知两个定点和一个动点构成直角三角形时,要讨论三个角分别是直角3种情况. (注意并不是指3个答案,有时一种情况可能会有两个答案)例如,当△ABC 为直角三角形时,应分∠ABC 为直角时,∠ACB 为直角时,∠BAC 为直角时,这三种情况讨论.注意:每种情况都画出相应的图形,有利于在图形上分析计算.12.★★★直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.★★在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半.★★直角三角形斜边上的高线= 两条直角边的乘积 斜边. (可用等面积法证明) 13.★★★勾股定理:两条直角边的平方和等于斜边的平方.★勾股定理的逆定理:如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. (注意使用该定理证明一个三角形是直角三角形时的书写格式)第二种:当PO =P A 时,作AC ⊥x 轴,设PO =P A =t , 则PC =x A -t ,AC =y A ,由P A 2=PC 2+AC 2列出方程, 解出 t 即可知P 点的坐标.第三种:当OP =OA 时,只需求出 OA 的长度即可知P 点的坐标. 第四种:当AO =AP 时,作AC ⊥x 轴,由等腰三角形三线合一可知OP =2OC =2x A .第一种:当OP =OA 时,只需求出 OA 的长度即可知P 点的坐标.14.★★记住一些规律性的结论(注意结论成立的条件,绝不能乱套用结论).如图①,BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BOC=90°+12∠ABP 和CP分别是∠ABC和∠ACB的外角的平分线,则∠BPC=90°-12∠A如图②,BE是∠ABC的平分线,CE是∠ACB的外角的平分线,则∠E=12∠A如图③,AB=AC,AD=AE,则∠CDE=12∠BAD如图④,BA=BE,CA=CD,则∠DAE=12(180°-∠BAC)15.常用辅助线的添法.①已知角平分线,可尝试作角平分线上点到角两边的垂线段.②已知垂直平分线,可尝试连结垂直平分线上的点与线段两个端点.③已知中线,可尝试倍长中线来构造全等三角形.例如:如图,AD是△ABC的中线,可延长AD至E使得ED=AD,连结BE,则△ACD≌△EBD.④当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时:a+b=c,如直接证不出来,可采用截长法:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段;补短法:延长较短线段和较长线段相等,这两种方法放在一起叫截长补短法. 通过线段的截长补短,构造全等把分散的条件集中起来.⑤★★围绕等腰直角三角形,作如图的基本图形,记住该图形的一些结论:如△ABD≌△CAE,BD+CE=DE在证明∠ABD=∠CAE或∠BAD=∠ACE时,注意利用同角的余角相等来证.16.★★★作图,请翻阅课本36页至38页.特别是例3.17.★★★把一个命题改写成“如果……那么……”的形式或写出它的逆命题.例如:命题:等腰三角形的两个底角相等.逆命题:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(逆命题中千万不能写“两个底角”)命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.逆命题:一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.(逆命题中千万不能写“斜边上”)命题:内错角相等,两直线平行.改写成“如果……那么……”的形式:如果两条直线被第三条直线所截构成的内错角相等,那么这两条直线平行. (一般情况下,“如果”后面的主语和“那么”后面的主语一致,“那么”后面往往紧跟着“这”这个字!)①②③④18.求两条线段和或差的最值.①如图,点P为直线l上一动点,作出AP+BP的值最小时点P的位置.作点A关于直线l的对称点A1,再连结A1B,A1B与直线l的交点就是使AP+BP的值最小时的点P,此时AP+BP的最小值就是A1B的长度. 要求A1B的长度可构造如图的直角三角形求解.②如图,点P为直线l上一动点,作出|AP-BP|的值最大时点P的位置.连结BA并延长,与直线l所交的点就是使|AP-BP|的值最大时的点P,此时该最大值就是AB的长度.③如图1,已知直角△ABC中,∠BAC=90°,AC=2,BC=1,当AC在滑动时,求点B到点O的最大值.如图2,取AC的中点P,连结BP、OP、BO,BP=BC2+PC 2=2,OP=12AC=1,由三角形三边关系可知,BP+OP>BO,即BO<2+1.如图3,当BP和OP与BO重合时,BO=BP+OP=2+1,此时BO的长度最大,故最大值为2+1.第三章一元一次不等式1.★★★不等式的基本性质:①不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个数,不等号的方向不变.②不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.③不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.(注意什么时候要改变不等号的方向)2. ★★★会把用文字描述的不等关系用不等式表示.(注意看清题目,正确使用不等号!)图1 图2 图33.在数轴上表示不等式的解时,取到等号的用实心圆,取不到等号的用空心圆.学会在数轴上找不等式组的解.4.★★★解不等式时的注意点:如: x -1 2 - 3x -5 4 <1 ①去分母得:2(x -1)-(3x -5)<4②去括号得:2x -2-3x +5<4③移项得:2x -3x <4+2-5④合并同类项得:-x <1⑤两边同除以-1得:x >15.★解不等式组时记得写出最终的解,防止解完两个不等式后就结束了.6.★★对于含参数(如不等式中含有字母a )的不等式(组),求参数的取值范围时,注意利用数轴分析,同时学会用特殊值法解题.第四章 图形与坐标1.确定平面内物体位置的两种方法.①用有序数对来确定.需要两个数据.②用方向和距离(方位)来确定. 需要两个数据.2.★★★掌握各象限内及x 轴,y 轴上点的坐标的特点:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-)x 轴上的点纵坐标为0,表示为(x ,0);y 轴上的点横坐标为0,表示为(0,y )3.一个点到x 轴的距离是该点纵坐标的绝对值;一个点到y 轴的距离是该点横坐标的绝对值.4.★★★关于x 轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标互为相反数.关于y 轴对称的两点:纵坐标相同,横坐标互为相反数.5.点的平移:向左平移,是向x 轴正方向,x 坐标会增大,所以x 坐标加上平移的距离.向右平移,是向x 轴负方向,x 坐标会减少,所以x 坐标减去平移的距离.向上平移,是向y 轴正方向,y 坐标会增大,所以y 坐标加上平移的距离.向下平移,是向y 轴负方向,y 坐标会减少,所以y 坐标减去平移的距离.第五章 一次函数1.一次函数:形如y =kx +b (k ≠0,k ,b 为常数)的函数.注意自变量x 上的指数为1.当b =0时,y =kx ,y 叫x 的正比例函数.2.★★★求函数与x 轴和y 轴的交点坐标.当x =0时,y =b ,则函数于y 轴的交点坐标为(0,b );当y =0时,x =- b k ,则函数于x 轴的交点坐标为(- b k,0). 3.若直线y =k 1x +b 1和直线y =k 2x +b 2平行,则k 1=k 2;若直线y =k 1x +b 1和直线y =k 2x +b 2垂直,则k 1•k 2=-1;要求直线y =k 1x +b 1和直线y =k 2x +b 2交点坐标,只需解方程组⎩⎨⎧y =k 1x +b 1y =k 2x +b 2或k 1x +b 1=k 2x +b 2. 4.★★★一次函数y =kx +b 的图象与k ,b 的关系.①去分母时不要漏乘,同时记得分子要加上括号. 去分母时要每一项都乘以4,千万不要忘记1也要乘以4,同时分母去掉后记得3x -5加上括号. ②去括号时,注意符号. ③移项时,注意改变符号.④合并同类项时,注意符号. ⑤两边除以负数时,记得不等号要改变方向.①当k大于0时,从左到右,图象上升,y随x的增大而增大.当k小于0时,从左到右,图象下降,y随x的增大而减小.②b是图象与y轴的交点所表示的数字,所以b大于0时,图象与y轴的交点在y轴正半轴上,b小于0时,图象与y轴的交点在y轴负半轴上.5.会用待定系数法求一次函数的表达式.求一次函数的表达式时,只需知道图象上的两个点的坐标,把坐标代入一次函数表达式,列出二元一次方程组,求出k,b的值即可.6.如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l:y=-12x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点A、B,过点C(-4,-4)画平行于y轴的直线交直线AB于点D,CD=10.(1)求点D的坐标和直线l的解析式;(2)求证:△ABC是等腰直角三角形;(3)如图2,将直线l沿y轴负方向平移,当平移适当的距离时,直线l与x、y轴分别相交于点A′、B′,在直线CD上存在点P,使得△A′B′P是等腰直角三角形.请直接写出所有符合条件的点P的坐标.(共4种情况,每种各画一个图)7.模型建立:如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED 于D,过B作BE⊥ED于E.求证:△BEC≌△CDA.模型应用:(1)已知直线l1:y=43x+4与y轴交与A点,将直线l1绕着A点顺时针旋转45°至l2,如图2,求l2的函数解析式.(2)如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A、C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,设PC=m,已知点D在第一象限,且是直线y=2x-6上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△,请直接写出点D的坐标.(每种情况各画一个图)。
第二章-特殊三角形教案
2、已知等腰三角形的一边长为4cm ,另一边长为9cm ,则它的周长为 。
3、等腰三角形底边长为5cm ,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为4、在等腰三角形中,设底角为,顶角为,用含x 的代数式表示y ,得y= ;用含y 的代数式表示x ,则x= 。
3、直角三角形中线的性质:即在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。
例3、在△ABC 中, ∠ACB =90°,AB =10cm,点D 为AB 的中点,则CD =_____cm 。
分析:因为三角形ABC 是直角三角形,AB 是斜边;又因为D 是AB 的中点,则CD 是直角三角形ABC 的中线,根据直角三角形中线的性质,所以有CD=5.4、直角三角形中,30°的角所对的边是斜边的一半。
5、勾股定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于第三边的平方。
例4、若直角三角形两边分别为3与4,则第三边为____________.分析:题目中,告诉我们直角三角形的两边分别为3和4,但是没有说是两个直角边还是一个直角边、一个斜边,这里我们也得分两种情况进行分析。
第一:当3和4分别是两个直角边时,第三边的长度是5;第二:当3和4一个为直角边、一个为斜边时,那么第三边的长度为√7。
知识概括、方法总结与易错点分析1、直角三角形,斜边的中线与斜边的关系、以及30度角所对的边与斜边的关系是考试的重点,在题目中经常会运用这层关系,要学会发现题目中的条件,利用性质解决问题;2、直角三角形中,勾股定理是个难点。
要知道勾股定理的运用,并能计算正确。
针对性练习1、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(22=-+-+-a c c b b a ,那么这个三 角形是( ) A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对2、如图,AD ∥BC ,∠A=90°,E 是AB 上一点,∠1=∠2,AE=BC 。
八上第一章 认识三角形和第二章 特殊三角形-知识点
1考点一、认识三角形1、三角形中的主要线段:角平分线(角平分线+∥等腰三角形);中线;高线;2、三角形的稳定性应用:需要稳定的东西一般都制成三角形的形状;3、三角形的分类(1)三角形按边的关系分类如下:不等边三角形:三边都不相等三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形(2)三角形按角的关系分类如下:特殊的三角形:等腰直角三角形;它是两条直角边相等的直角三角形;直角三角形(有一个角为直角的三角形)三角形锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)斜三角形分类讨论:锐角,钝角△钝角三角形(有一个角为钝角的三角形)4、三角形的三边关系定理及推论(1)定理:三角形任何两边之和大于第三边;(2)推论:三角形任何两边之差小于第三边;(3)作用:判断三条已知线段能否组成三角形;当已知两边时,可确定第三边的范围;证明线段不等关系;已知最大边时,只需较小两边的和大于最大边即可;若不确定最大边时,满足两边的差<第三边<两边的和.5、三角形的内角和定理及推论(1)内角和定理:三角形三个内角的和等于180°;(2)推论:①直角三角形的两个锐角互余;②三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和;三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角;注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角;6、三角形的面积S=×底×高;;(S ,C 是△的面积,周长;r 是内切圆半径);考点二、全等三角形1、全等三角形的概念:能够重合的两个三角形叫做全等三角形;2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;3、全等三角形的表示注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上;全等用符号“≌”表示,读作“全等于”;如△ABC ≌△DEF ,读作“三角形ABC 全等于三角形DEF ”;4、三角形全等的判定:“SSS ”;“SAS ”(两边必须是夹角),“HL ”(Rt △,斜边与一直角边);“ASA ”,“AAS ”;一定不能证全等:SSA ;要特别注意:是否有公共边及公共角;6、相关知识(1)线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(SAS ).(2)角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等(AAS ).注意:角平分线性质定理的逆定理:角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.考点三、常用逻辑用语命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.一个命题分为“条件”和“结论”两部分,由条件推出结论,通常条件在前,结论在后.“若,则”形式的命题中的称为命题的条件,称为命题的结论.逆命题:一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若,则”,它的逆命题为“若,则”.2考点一、图形的轴对称1、轴对称图形的概念:如果把一个图形沿着一条直线折叠后,直线两侧的部分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形.这条直线叫做对称轴;图形中能够完全重合的两个点称为对称点.2、轴对称图形的性质:对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.3、图形的轴对称:一般地,由一个图形变成另一个图形,并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合,这样的图形改变叫做图形的轴对称,这条直线叫做对称轴.4、图形的轴对称的性质:成轴对称的两个图形是全等图形.考点二、等腰三角形1、等腰三角形的概念:有两边相等的三角形叫等腰三角形;等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.2、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(“在同一个三角形中,等边对等角”)(性质定理1).(2)等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线和高线互相重合(性质定理2).简称“等腰三角形三线合一”①AB=AC ;②BD=CD ;③∠BAD=∠CAD ;④AD ⊥CD ;四个中有两个成立,另外两个一定成立.(3)等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴.(4)等腰三角形两腰上的中线(高线)相等,等腰三角形两底角的平分线相等.3、等腰三角形的判定定理(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.简单地说,在同一个三角形中,等角对等边.(2)利用三线合一证明等腰三角形.考点三、等边三角形1、等边三角形的概念:三条边都相等的三角形叫做等边三角形.(是特殊的等腰三角形)2、等边三角形的性质:(1)等边三角形的三边相等,三个内角都相等且等于60°;(2)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴;(3)等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.3、等边三角形的判定定理:(1)三边相等的三角形是等边三角形(定义法).(2)三个角都相等的三角形是等边三角形(判定定理1).(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形(判定定理2).考点四、直角三角形1、直角三角形的概念:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形,直角三角形可以用符号“Rt △”表示.2、直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角互余.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°;(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.∵∠ACB=90°,AD=DB ,∴DA=DB=DC ;(3)∵∠ACB=90°,DB=DC ,∴DA=DB=DC ;(同角的余角相等)(推论1).(4)勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(短边为勾,长边为股,斜边为弦).3、直角三角形的判定定理:(1)有一个角是直角的三角形叫做直角三角形(定义).(2)有两个角互余的三角形是直角三角形.(3)三角形一条边上的中线等于这条边的一半,则这个三角形是直角三角形(推论2).∵DA=DB=DC ,∴∠ACB=90°;(4)勾股定理的逆定理:如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.。
苏教版八年级数学上册第二章特殊三角形(等腰三角形,,等边三角形,直角三角形及勾股定理
另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角∠BAC叫做顶角; 底边与腰的夹角∠ABC和 ∠ACB叫做底角.
只有等腰三角形才有底角和底边. B
A
顶 角
腰
底角
腰 C
底边
如图:在三角形ABC中,AB=AC,且AD=BD, 请大家数一数,这个图形中一共有多少个等腰 三角形?
△ABC(AB=AC),△ADB(AD=BD)
同步练习
填空:在△ABC中,AB=AC, D 在BC上,
1、如果AD⊥BC,那么∠BAD = ∠______, CAD
CD BD = ______ BC 2、如果∠BAD= ∠CAD,那么AD⊥___, BD = CD ____ 3、如果BD=CD,那么∠BAD =∠ _____, AD⊥___, CAD BC
作底边的高线 证明:等腰三角形的两个底角相等
A
已知: △ ABC中,AB=AC. 求证: ∠B= ∠C.
证明:作底边高线AD. B 在Rt△BAD和△RtCAD中, D C
AB=AC ( 已知 ),
AD=AD (公共边) , ∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL). ∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
等腰三角形的性质
文字叙述
等腰三角形的两底角相 等(简称等边对等角) 等腰三角形顶角的平分 线平分底边并且垂直于 底边(简称三线合一)
几何语言
A B
A 12 B D C
∵AB=AC
C
∴∠B=∠C
∵AB=AC,∠1=∠2 ∴AD⊥BC,BD=CD
小结归纳
2
通过本节课的学习,你有哪些收获?
等腰三角形
性质1:等边对等角
A
B
D
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习
浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习本章主要研究了等腰三角形、直角三角形和特殊三角形的性质和判定,其中包括了勾股定理和HL定理等知识。
等腰三角形的两腰相等,两底角也相等,三线合一,是对称图形,有一条对称轴。
等边三角形三边相等,三个内角也相等,是正多边形,有三条对称轴。
直角三角形有一个直角和两个锐角,斜边上的中线等于斜边的一半,两直角边的平方和等于斜边的平方,可以用勾股定理判断。
角平分线是指从角的顶点到对边的线段,它可以被平分线所穿过。
等腰三角形的判定方法是有两边相等或两角相等。
但需要注意的是,有两腰相等的三角形不一定是等腰三角形。
等边三角形的判定方法是三边相等或三个角都是60度。
直角三角形的判定方法是有一个角是90度或两个角相加等于90度或两直角边的平方和等于斜边的平方。
最后,需要注意的是,一条边上的中线等于该边长度的一半并不一定能直接判断某三角形是直角三角形,但可以在解题时提供帮助。
直角三角形全等的判定方法是斜边和一个锐角对应相等。
角平分线可以被平分线穿过,这个性质可以在解题时使用。
研究特殊三角形时,需要明确性质与判定的区别,不能混淆。
一般来说,根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定,而根据图形形状得到边角关系则是性质。
等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称,即先有等腰三角形,后有腰。
因此,在判定一个三角形是等腰三角形时,不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”。
直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系,而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线,熟练掌握可以为解题带来不少方便。
勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系。
解题时应注意分清哪条是斜边,哪条是直角边,不要一看到字母“c”就认定是斜边。
另外,不要一看到直角三角形两边长为3和4,就认为另一边一定是5.HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法,只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下,此方法才有效。
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B
A C
E B
A
D C
F
E
A
C
M
P
N
《特殊三角形》测试 班级 姓名
学号
一、填空题(每小题4分,共40分)
1.等腰三角形一边长为2cm ,另一边长为5cm ,它的周长是_____cm .
2.等腰直角三角形的一条直角边为1cm,则它的斜边上的高线是 cm. 3.在Rt △ABC 中,∠C=Rt ∠,∠A=3∠B+10°,则∠B=_______.
4. 已知ΔABC 的三边分别是3cm, 4cm, 5cm,则ΔABC 的面积是 。
(1) (2) (3)
5.如图(1),L 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论:(1)AD=AB ,(•2)AD=CD ,(3)AB ∥CD ,(4)AB ⊥BC ,其中正确的结论有_____________________.(只要写出正确结论的序号)
6.如图(2)所示,AC 、BC 分别平分∠BAE ,∠ABF ,如果△ABC 的高CD=8cm ,•那么点C•到AE 、BF 的距离和等于_______cm .
7.如图(3)在 △ABC 中,∠ACB=90°,CE ⊥AB ,垂足是E ,D 是AB 的中点,如果AB=10, ∠B =30°,则DE=_______.
8.等边三角形的边长为2,它的面积 .
9. 在△ABC 中,与∠A 相邻的外角是100°.若△ABC 是等腰三角形,则∠B 的度数为 。
10.如图(4)所示,△ABC 中,∠ABC=100°,AM=AN ,CN=CP ,则∠MNP 的度数为 .
(4)
二、选择题(每小题3分,共24分)
11、 三角形内到三角形各边的距离都相等的点必在三角形的 ( )
A 中线上
B 角平分线上
C 高线上
D 不能确定
12.在一个三角形中,一条边是这条边上中线的2倍,,•那么这个三角形是 ( ) (A )直角三角形 (B )钝角三角形
l
B
C
A
D
(C)可能是锐角三角形(D)以上说法都不对
13.下列图形中,不是轴对称图形的是()(A)线段(B)角(C)等腰三角形(D)直角三角形
14.有两个直角三角形,下列条件不能判定它们全等的是()(A)一锐角和一直角边相等(B)一锐角和斜边对应相等
(C)两条直角边对应相等(D)斜边和一直角边对应相等
15.△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+2ab=c+2bc,则△ABC是()
(A)等边三角形; (B)等腰三角形;(C)直角三角形;(D)等腰直角三角形
16.如图(6)所示,△ABC中,AB=AC,过AC上一点作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140°,则∠DEF 的度数为()(A)55°(B)60°(C)65°(D)70°
B
A
D
C
E A
D
C
(6) (7)
17.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则其顶角为()(A)50°(B)130°
(C)50°或130°(D)55°或130°
18.如图(7)所示,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,若AB=3,BC=5,则DC的长度是( •)
(A)8
5
(B)
4
5
(C)
16
5
(D)
22
5
三、解答题(共36分)
19.(6分)作图题:
某地附近有河流L1,公路L2和铁路L3,分布如图所示,现要选一个工厂,使得到L1,L2,L3的距离相等,请你运用数学知识帮助选择一个厂址.
l1
l3
l2
.c
B A
D
C E
20、(8分)如图,ADBC 中,∠A=∠B=90度,E 是AB 上一点,且AE=BC ,∠1=∠2 (1) Rt △ADE 与Rt △BEC 全等吗?请说明理由。
(2) △CDE 是不是直角三角形?请说明理由。
2
1E
D
C
B
A
21.(8分)如图所示,已知:Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=BC ,AD 是∠A 的平分线. 求证:AC+CD=AB .(提示:过D 作DE AB ,垂足为E)
22.(8分)如图所示,四边形ABCD 由一个∠ACB=30°的Rt △ABC 与等腰Rt △ACD 拼成,E•为斜边AC 的中点,求∠BDE 的大小.
.c
B
A
D C
23.(6分)如图所示:∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB•的相邻外角的平分线CF 相交于点F ,过F 作DF ∥BC ,交AB 于D ,交AC 于E ,则:BD ,CE ,DE 之间存在着什么数量关系?请说明理由.
B
A D
C
F
E
四、附加题:(2分+3分)
1.如图所示,已知△ABC 中,AB=6,AC=9,AD ⊥BC 于D ,M 为AD 上任一点,则 MC 2-MB 2•等于( )
(A )9 (B )35 (C )45 (D )无法计算
2.已知等边△ABC 和点P ,设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC•的距离分别是h 1,h 2,h 3,△ABC 的高为h ,,若点P 在一边BC 上(图1),此时h=0,请你探索以下问题:
(1)若点P 在一边BC 上(图1),此时h 1、h 2、h 3与h•之间有怎样的关系 , (2)若当点P 在△ABC 内(图2),此时h 1、h 2、h 3与h•之间有怎样的关系 , (3)若点P 在△ABC 外(图3),此时h 1、h 2、h 3与h•之间有怎样的关系 。
B
A D C
E P
B
A D
C
E
P
B
A
D
C
F E
(1) (2) (3)
B
A D
C
M。