北京市西城区2018届高三4月统一测试(一模)数学理(word版有答案)

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北京市西城区2018届高三4月统一测试(一模)理科综合试卷

西城区高三统一测试理科综合2018.4本试卷共17页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

1．下列关于高中生物实验的表述，正确的是A．鉴定还原糖与蛋白质所用试剂及操作相同B．可以用平板划线法测定土壤中微生物数量C．光合色素分离和花生子叶中脂肪鉴定均需显微观察D．测定亚硝酸盐含量需配制标准溶液显色后进行比色2．叶绿体内绝大多数蛋白质由核基因编码，少数由叶绿体基因编码，其合成、加工与转运过程如右图所示。

下列说法错误．．的是A．甲、乙蛋白通过类似胞吞过程从细胞质进入叶绿体B．甲蛋白可能和碳（暗）反应有关，乙蛋白可能和光反应有关C．类囊体蛋白质由细胞质和叶绿体中的核糖体合成D．运至叶绿体不同部位的甲、乙蛋白都需经过加工3．某研究小组观察运动对糖尿病大鼠部分生理指标的影响。

糖尿病大鼠经过6～7周运动训练后，测得数据如下。

下列分析错误．．的是A．患糖尿病可导致大鼠生长缓慢，运动训练能促进糖尿病大鼠生长B．与正常组相比，糖尿病非运动组大鼠吸收利用转化葡萄糖效率高C．糖尿病非运动组大鼠胰岛素受体数量增加与胰岛素含量降低有关D．运动训练能促进糖尿病大鼠胰岛素的分泌，并显著降低血糖浓度4．被捕食者在开始逃逸之前，容许捕食者靠近到一定距离，称为“逃逸开始距离”（简称FID）。

无铠甲及背刺的米诺鱼和长有铠甲及背刺的粘背鱼生活在同一区域。

利用这两种小型鱼与其共同天敌黑鲈鱼在水族箱中进行实验，结果如下图，据此实验结果推测合理的是A．群体活动的米诺鱼比单独活动时推迟了对捕食者的反应B．粘背鱼体长以及是否进行群体活动与F I D无明显的关系C．粘背鱼体长与F I D有关，说明其体长越大运动能力越差D．粘背鱼的F I D相对较小，与其有铠甲和背刺有一定关系5．为研究与植物生长相关的基因及其作用，科学家获得了基因A、B、C失活的多种突变体，电泳分析各植株中蛋白m和蛋白n的表达情况，结果如下图。

2018年北京市高考数学试卷(理科) word版含参考答案及解析

2018年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．D．4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）A． f B． f C． f D．f5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=．11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．14．（5分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．三、解答题共6小题，共80分。

2018-2019北京市西城区一模数学理科试题及答案

北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =ð（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（A ）4 （B ）5（C ）7 （D ）94．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是（A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A）7-（B）-（C ）7，-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（A（B ）3（C ）（D ）4第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图正(主)视图俯视图2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由；（Ⅱ）若1m =-，b =4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，AB（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）DABCE F18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W : 2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时，求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t（s t ¹），都有0st p =，则称数表A 为完美数表.（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n --10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=，20β= 14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， (3)分得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于 3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-，所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC中，由正弦定理sin sina bA B=， (11)分得sinsin14a BAb===. (13)分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，知//AB CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以//AB平面CDE. ………………2分同理//AF平面CDE，又因为AB AF A=，所以平面//ABF平面CDE. ………………3分又因为BF⊂平面ABF，所以//BF平面CDE. ………………4分（Ⅱ）连接BD,因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD AD=，D E AD⊥，所以DE⊥平面ABCD. 则D E D B⊥.又因为D E AD⊥，AD BE⊥，DE BE E=，所以AD⊥平面BDE，则AD BD⊥.故,,DA DB DE两两垂直，所以以,,DA DB DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，………………6分则(0,0,0)D，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C-，(0,0,2)E，(1,0,1)F，所以(0,1,2)BE=-,(1,0,1)EF=-，(0,1,0)=n为平面DEF的一个法向量.设平面BEF的一个法向量为(,,)x y z=m，由0BE⋅=m，0EF⋅=m，得20,0,y zx z-+=⎧⎨-=⎩令1z=，得(1,2,1)=m. ………………8分所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --………………10分（Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩ (12)分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， (13)分解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. …… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. (2)分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分故图中a 的取值为0或1. ……………… 4分（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. (5)分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. …… 8分所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）222102s s s <<. ……………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分X对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-，所以当4132e em -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()e x x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==，解得1m =. ……………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B . 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. …… 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得C ，(1,D ，易得CB 的方程为2)y x =-.则(4,M ,(6,AM =,(3,AD =, 所以2AM AD =，即,,A D M 三点共线. ……………… 7分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立方程22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. ……… 9分由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. …………… 10分直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ……………… 11分又因为(2,0)A -，22(,)D x y ，则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， …………… 12分所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+ 121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=，所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ……………… 14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）答案不唯一. 如：……………… 3分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……………… 5分完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示），则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. ……………… 8分（Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和12222la a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，所以12k X X X l ====. (9)分又因为对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=. (11)分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ……………… 13分。

2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学(理)附答案

2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学（理）附答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知圆的方程为．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（）A．B．C．D．4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（）A ．B ．C ．D ．5．已知是正方形的中心．若，其中，，则（）A ．B ．C ．D ．6．设函数．则“有两个不同的零点”是“，使”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数，则的图象上关于原点对称的点共有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务，，，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：）依次为，，，其中．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（） A ．B ．C ．D ．U V W s U V W →→V W U →→W U V →→U W V→→第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数的实部与虚部相等，则实数____．10．设等差数列的前项和为，若，，则____；____．11．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；双曲线的渐近线方程是____________．12．设，若函数的最小正周期为，则____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△中，已知．（1）求的大小；（2）若，，求△的面积．16．（13分）某企业2017年招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（1 （2）从应聘岗位的6人中随机选择2人．记为这2人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；（3）表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）A B C D E E A B C D E17．（14分）如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．（1）求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（13分）已知函数，其中．（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）当时，证明：存在极小值．19．（14分）已知圆和椭圆，是椭圆的左焦点．（1）求椭圆的离心率和点的坐标；（2）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．20．（13分）数列：满足：．记的前项和为，并规定．定义集合．（1）对数列：，，，，，求集合；（2）若集合，证明：；（3）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学（理）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1-5．DCBDB 6-8．CCA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．10．6，11．，12．213．30 14．注：第10，11题第一空3分，第二空2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．15．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）因为，所以．在△中，由正弦定理得，所以．因为，所以．（2）在△中，由余弦定理得，所以，整理得，解得，或，均适合题意．当时，△的面积为．当时，△的面积为．16．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）、、、．【解析】（1）因为表中所有应聘人员总数为，被该企业录用的人数为，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（2）X 可能的取值为0，1，2．因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：．（3）这四种岗位是：、、、．17．【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，．【解析】（1）因为在△中，，分别为，的中点，()43E X =B C DE B C D E所以，．所以，又为的中点，所以．因为平面平面，且平面，所以平面，所以．（2）取的中点，连接，所以．由（1）得，．如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．设直线和平面所成的角为，则．所以直线和平面所成角的正弦值为．（3）线段上存在点适合题意．设，其中．设，则有，所以，从而，所以，又，所以．令，整理得．解得，舍去．所以线段上存在点适合题意，且．18．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）的导函数为．依题意，有，解得．（2）由及知，与同号．令，则．所以对任意，有，故在单调递增．因为，所以，，故存在，使得．与在区间上的情况如下：↘极小值↗所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以存在极小值．19．【答案】（1），；（2）相切，证明见解析．【解析】（1）由题意，椭圆的标准方程为．所以，，从而．因此，．故椭圆的离心率，椭圆的左焦点的坐标为．（2）直线与圆相切．证明如下：设，其中，则，依题意可设，则．直线的方程为，整理为．所以圆的圆心到直线的距离．因为．所以，e =()F即，所以直线与圆相切．20．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】（1）因为，，，，，，所以．（2）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，所以．又因为，所以，所以．（3）因为，所以非空．设集合，不妨设，则由（2）可知，同理，且．所以．因为，所以的元素个数．取常数数列：，并令，则，适合题意，且，其元素个数恰为．综上，的元素个数的最小值为．。

北京市西城区2018届高三4月统一测试(一模)数学(理)试卷

西城区高三统一测试数学（理科）注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）（B（C ）6+ （D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）12-（B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有（A ）0对（B ）1对（C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A ）U →V →W（B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a =b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1AC 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC 出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ；（Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7- 10．6，2n n+110x =12．2 13．30 14注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以sin 2sin cos C A A =．[ 1分]在△ABC 中，由正弦定理得sin 2sin cos C A A =． [3分]所以 cos A =． [ 4分]因为 0πA <<， [ 5分]所以 π6A =． [ 6分]（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，所以 222c c =+-⋅， [ 8分]整理得 2650c c -+=， [ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意． [11分]当1c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A == [12分]当5c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A ==． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[ 3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， [ 5分]所以 2226C 1(0)C 15P X ===； 112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===． [ 8分]所以 X 的分布列为：1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥． [ 1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 3分]所以 1A O BD ⊥． [ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以 OE OG ⊥．由（Ⅰ）得 1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以 1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-．设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则 110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以 (1,2,1)=-n ． [ 7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n 所以直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦． [ 9分]（Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设 11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． [10分]设 111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-，所以 1112,2,22x y z λλλ===-，从而 (2,2,22)F λλλ-，所以 (2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==[12分]令，整理得 23720λλ-+=． [13分]解得 13λ=，舍去2λ=．所以线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x '=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=， [ 4分]解得0a =． [ 5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号．令 221()ln g x a x x x=+-+，[ 6分]则223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==． [ 8分] 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增． [ 9分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得 0()0g x =． [11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 ()f x 存在极小值0()f x ． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． [ 1分] 所以 24a =，22b =，从而 2222c a b =-=．因此 2a =，c = 故椭圆C 的离心率c e a ==． [ 3分] 椭圆C 的左焦点F的坐标为(． [ 4分]（Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下： [ 5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=， [6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=． [ 7分]直线l 的方程为 0101()x y y x x y -=--，整理为 0140x x y y +-=．[ 9分]所以圆F的圆心F 到直线l 的距离02|d =+． [11分] 因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++． [13分]所以 22||PF d =，即 ||PF d =，所以直线l与圆F相切． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以 5{2,4,5}E =． [ 3分] （Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以 11i i k k S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k k k S S a +++-=+ [ 6分]1.i k S <+ 所以11i i k k S S +-<． [ 8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理 101k S S -<，且 m n k S S ≤．所以 12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥．[11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且 {1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。

北京市西城区2018年4月九年级统一测试(一模)数学试卷(纯WORD版,含解析)

北京市西城区2018年4月九年级统一测试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000本书籍，将58000000000用科学记数法表示应为（）．A．105.810⨯C．9⨯B．115.8100.5810⨯⨯D．115810【答案】A【解析】用科学记数法表示为105.810⨯．2．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】中心对称绕中心转180︒与自身重合．3．将34b b-分解因式，所得结果正确的是（）． A ．2(4)b b -B ．2(4)b b- C ．2(2)b b- D ．(2)(2)b b b +-【答案】D 【解析】324(4)(2)(2)b b b b b b b -=-=+-．4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）． A ．三棱柱 B ．圆柱 C ．六棱柱 D ．圆锥【答案】C【解析】由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分析可知为六棱柱．5．若实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）． A ．5a<- B ．0b d +< C ．0a c -<D ．c d<【答案】D 【解析】①5a >-，故A 错．②0b d +>，故B 错． ③a c ->，故C 错．④01c <<，42d ==，故选D ．6．如果一个正多边形的内角和等于720︒，那么该正多边形的一个外角等于（）． A ．45︒ B ．60︒ C ．72︒ D ．90︒【答案】B【解析】多边形内角和(2)180720n -⨯︒=︒，∴6n =．正多边形的一个外角360360606n︒︒===︒．俯视图左视图主视图d c ba 0-1-2-3-4-5123457．空气质量指数（简称为A Q I ）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示．A Q I 数据 0~50 51~100101~150151~200 201~300 301以上A Q I 类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某同学查阅资料，制作了近五年月份北京市A Q I 各类别天数的统计图如下图所示．根据以上信息，下列推断不合理的是A ．A Q I 类别为“优”的天数最多的是2018年月B ．A Q I 数据在0~100之间的天数最少的是2014年月C ．这五年的月里，6个A Q I 类别中，类别“优”的天数波动最大D ．2018年月的A Q I 数据的月均值会达到“中度污染”类别【答案】D【解析】①A Q I 为“优”最多的天数是14天，对应为2018年月，故A 对． ②A Q I20142015201620172018~5064121451~10071010912~1001314221726A Q I 在0~100之间天数最少的为2014年月，故B 对．③观察折线图，类别为“优”的波动最大，故①对．④2018年月的A Q I 在“中度污染”的天数为天，其他天A Q I 均在“中度污染”之上，因此D 推断不合理．8．将A ，B 两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：246810121416优良轻度污染中度污染重度污染严重污染2014年1月2015年1月2016年1月2017年1月2018年1月时间天数123446789610121032134691141210投篮次数1020 30 40 50 60 70 80 90 100A投中次数 7152330384553606875投中频率0.7000.7500.7670.7500.7600.7500.7570.7500.7560.750B投中次数14233235435261 7080投中频率0.8000.7000.7670.8000.7000.7170.7430.7630.7780.800下面有三个推断：①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．②随着投篮次数的增加，A 运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A 运动员投中的概率是0.750．④投篮达到200次时，B 运动员投中次数一定为160次．其中合理的是（）． A ．① B ．② C ．①③ D ．②③【答案】B【解析】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．②随着投篮次数增加，A 运动员投中的概率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理． ③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮次时，只能估计投中200次数，而不能确定一定是160次，故③不合理．二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9．若代数式11x x -+的值为0，则实数x 的值为__________．【答案】1x =【解析】101x x -=+，10x -=，1x =．10．化简：()()42(1)a a a a +--+=__________．【答案】8a -【解析】22421288()()()a a a a a a aa a +--+=+---=-．11．如图，在A B C △中，D E A B ∥，D E 分别与A C ，B C 交于D ，E 两点．若49D E C A B CS S =△△，3A C=，则D C=__________．【答案】2【解析】∵D E A B ∥， ∴249D E C A B CS C D S A C ⎛⎫==⎪⎝⎭△△，∴23C D A C=．∵3A C =， ∴2C D =．12．从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁G 20次约用5h 到达．从2018年4月10日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了“杭京高铁复兴号”，它的运行速度比原来的G 20次的运行速度快35km /h，约用4.5h 到达。

西城区高考一模数学(理)试题及答案

北京市西城区 2018年高三一模试卷数学（理科）2018.4一、选择题：本大题共 8小题，每题5分，共 40分.在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项.1.已知会合A{x Zx5}，B{xx2 0}，则AB 等于（A ）(2,5)（B ）[2,5)（C ）{2,3,4}（D ）{3,4,5}2．以下给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A ） y 2 x 23Byx x Cy2xDyx（）（）（）3.设alog 23，b log 43 ，c 0.5，则（A ）cba（B ）bca（C ）ba c（D ）cab4．设向量a(1,sin )，b (3sin,1)，且a//b ，则cos2等于（A ）3（B ）3（C ）（D ）331，35.阅读右边程序框图，为使输出的数据为开始则①处应填的数字为（A ）4 S 1,i1（B ）5否i①（ C ）6是（D ）7S S i 输出S2ii1结束6.已知函数①ysinxcosx ，②y22sinxcosx ，则以下结论正确的选项是（A ）两个函数的图象均对于点 ( ,0)成中心对称4（B ）两个函数的图象均对于直线x 成中心对称（ 4 （（C ）两个函数在区间(,)上都是单一递加函数（ 4（ D ）两个函数的最小正周期同样7 ．已知曲线C:y1(x0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2 ,0)，此中x 2x 10.过A 1，A 2分x别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么（A ）x 1,x3,x 2成等差数列（B ）x 1 ,x3,x 2成等比数列22（C ）x 1,x 3,x 2成等差数列（D ）x 1,x 3,x 2成等比数列8．如图，四周体OABC的三条棱OA,OB,OC两两垂直，OAOB2,OC3，D为四周体OABC外一点.给出以下命题.①不存在点D,使四周体ABCD有三个面是直角三角形②不存在点D,使四周体ABCD是正三棱锥C③存在点D,使CD与AB垂直而且相等D④存在无数个点D,使点O在四周体ABCD的外接球面上OB 此中真命题的序号是A（A）①②（B）②③（C）③（D）③④二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9.在复平面内，复数2i对应的点到原点的距离为_____.1i C B P10.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA22，O?PC4，圆心O到BC的距离为3，则圆O的半径为_____.Ax cos,1)，则m______，离心11.已知椭圆C:(R)经过点(m,率y2sin2e______.12.一个棱锥的三视图如下图，则这个棱锥的体积为_____.13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品单独占用1个且3件展品所采用的展台既不在两头又不相邻，则不一样的展出方法有3343展台，并正(主)视图侧(左)视图______3种；假如进一步要求3件展品所采用的展台之间间隔不超出两个展位，则展出方法有____种.不一样的4俯视图已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n1,2,3,，有3a n5,a n 为奇数，an1a n,当a111时，a100______；a n为偶数.此中k为使a n1为奇数的正整数2k若存在m N*，当nm且a n为奇数时，a n恒为常数p，则p的值为______.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（本小题满分13分）设ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB4,b2.55（Ⅰ）当a ABC面积的最大值.时，求角A的度数；（Ⅱ）求316．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1,1,p.且他们能否破译出231密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.4（Ⅰ）求甲乙二人中起码有一人破译出密码的概率；（Ⅱ）求p的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的散布列和数学希望EX.（本小题满分13分）如图,ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AF//DE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为600.E(Ⅰ)求证：AC平面BDE；(Ⅱ)求二面角F BE D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确立点M的地点，使得AM//平面BEF，并证明你的结论.FD CA B（本小题满分14分）已知函数f(x)a(x1)0.x2，此中a（Ⅰ）求函数f(x)的单一区间；（Ⅱ）若直线x y10是曲线y f(x)的切线，务实数a的值；（Ⅲ）设g(x)xlnx x2f(x)，求g(x)在区间[1,e]上的最大值.（此中e为自然对数的底数）（本小题满分14分）已知抛物线y22px(p 0)的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点P，交抛物线于A,B 两点，此中点A在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA为直径的圆与y轴相切；（Ⅱ）若FA1AP,BF2FA,12[1,1]，求2的取值范围. 42（本小题满分13分）定义(a1,a2,,a n)|a1a2||a2a3||a n1a n|为有限项数列{a n}的颠簸强度.（Ⅰ）当a n(1)n时，求(a1,a2,,a100)；（Ⅱ）若数列a,b,c,d知足(ab)(b c)0，求证：(a,b,c,d)(a,c,b,d)；（Ⅲ）设{a n}各项均不相等，且互换数列{a n}中任何相邻两项的地点，都会使数列的颠簸强度增添，求证：数列{a n}必定是递加数列或递减数列.北京市西城区2018年高三一模卷参照答案及分准数学（理科）2018.4一、：本大共8小，每小5分，共 40分.号 1 23 4 56 7 8答案CB ADBCAD二、填空：本大共6小，每小5分，共 30分.9.210.211.15， 34212.1213.60，4814.62；1或 5注：11，13，14第一2分，第二3分.三、解答：本大共 6小，共80分.若考生的解法与本解答不一样，正确者可参照分准分.15.（本小分13分）解：（Ⅰ）因cosB43 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分，因此sinB55因a5ab可得sinA1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分，b2，由正弦定理sinA23sinB因a b ，因此A 是角，因此A 30o .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（Ⅱ）因ABC 的面S1acsinB3ac ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分210因此当ac 最大， ABC 的面最大.8因b 2a 2 c 22accosB ，因此4a 2c 2 ac .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分85因a 2c 2 2ac ，因此2acac4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分5因此ac 10 ，（当ac 10等号成立）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因此ABC 面的最大3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分（本小分13分）解：“甲、乙、丙三人各自破出密”分事件A 1,A 2,A 3，依意有P(A 1)1,P(A 2)1,P(A 3) p,且A 1,A 2,A 3互相独立.23（Ⅰ）甲、乙二人中起码有一人破出密的概率1P(A 1A 2)11 2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分23 3B ，有（Ⅱ）“三人中只有甲破出密”事件P(B) P(A 1A 2A 3)＝ 1 2 (1p)1p ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2 33yA Bx因此1p 1 ，p 1 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分3 4 4（Ⅲ）X 的全部可能取0,1,2,3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因此P(X0)1，4P(X1)P (A 1A 2A 3)P (A 1A 2A 3)P (A 1A 2A 3)1 1 1 3 12 1114 234 23 4，24P(X2)P (A 1A 2A 3)P (A 1A 2A 3)P (A 1A 2A 3)1 1 3 1 21 1 11 12 3 42 34 2 3 4 ，4P(X3) =P (A 1 A 2 A 3)＝ 1 1 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分2 3 4 .X 散布列：24X123P111 1 1424424⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因此，E(X)0 11 112 13 1 13 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分424 4 24 1217.（本小分13分）z (Ⅰ)明：因DE 平面ABCD ，E因此DEAC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分因ABCD 是正方形，因此AC BD ，进而AC平面BDE .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分D(Ⅱ)解：因DA,DC,DE 两两垂直，FCy因此成立空直角坐系D xyz 如所示.AMBx因BE 与平面ABCD 所成角600，即DBE 60⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分，因此ED3.DB由AD3可知DE 36，AF 6.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分A(3,0,0)，F(3,0,6)，E(0,0,3 6)，B(3,3,0) ，C(0,3,0) ，因此BF(0,3,6) ，EF(3,0, 26)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分平面BEF 的法向量n(x,y,z) nBF0 3y 6z 0，，即，nEF 03x26z 0令z6，n (4,2, 6).⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分因AC平面BDE ，因此CA 平面BDE 的法向量，CA(3,3,0)，因此cosn,CAnCA 3 62613. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分nCA213因二面角角，因此二面角F BED 的余弦13. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分13(Ⅲ)解：点M 是段BD 上一个点，M(t,t,0).AM (t3,t,0)，因AM//平面BEF ，因此AM n 0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分即4(t3)2t0，解得t2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分此，点M 坐(2,2,0)，BM1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分BD ，切合意.3（本小分14分）解：（Ⅰ）f(x)a(2 x)x 0），⋯⋯⋯⋯⋯3分x 3 ，（在区( ,0)和(2, )上，f (x)0；在区(0,2)上，f(x)0.因此，f(x)的减区是( ,0)和(2,)，增区是(0,2).⋯⋯⋯4分y 0a(x 0 1)x 0 2（Ⅱ）切点坐(x 0,y 0)，x 0 y 01 0⋯⋯⋯⋯⋯7分（1个方程1分）a(2 x 0)1x 0 3解得x 0 1，a1.⋯⋯⋯⋯⋯8分（Ⅲ）g(x)xlnx a(x 1)，g(x)lnx1 a ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分解g(x)0，得xe a1，因此，在区(0,e a1)上，g(x)减函数，在区(e a1,)上，g(x)增函数.⋯⋯⋯⋯⋯10分当e a11，即0a 1，在区 [1,e]上，g(x)增函数，因此g(x)最大g(e)e aae .⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分当e a1e ，即a2，在区[1,e]上，g(x)减函数，因此g(x)最大g(1)0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分当1<e a1<e ，即1a2，g(x)的最大g(e)和g(1)中大者；g(e)g(1)a eae0，解得ae ，e 1因此，1a e，g(x)最大e 1e2，g(x)最大e a1g(e) eaae ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分g(1) 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分上所述，当0ae，g(x)最大g(e)eaae ，当ae，g(x)的最大g(1)0.e 1e1（本小分14分）解：（Ⅰ）由已知F(p,0),A(x 1,y 1)，y 122px 1，2心坐(2x 1p ,y 1)，心到y 的距离2x 1 p ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分4 24的半径FA 1 x 1(p2x 1 p⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分22 )4 ，2因此，以段FA 直径的与y 相切.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（Ⅱ）解法一：P(0,y 0),B(x 2,y 2)，由FA 1AP ,BF2FA ,得(x 1p,y 1)1(x 1,y 0y 1)，(px 2, y 2)2(x1p,y 1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分222因此x 1p 1x 1,y11(yy 1)，2ppx 2(x 1 ), y 22y 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分222由y 2 2y 1，得y 2222y 12.又y 122px 1，y 222px 2，因此 x 2 22x 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分代入px 22(x 1p)，得p22x 12(x 1p )，p(12)x 12(12)，22222整理得x 1p，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22代入x 1p1x 1，得pp 1p，222222因此111， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分22因1 [1,1]，因此2的取范是[4,2].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分24 23解法二：A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB:xpmy，2将x myp代入y 22px ，得y 22pmy p 20，2因此y 1y 2p 2 （*），⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分精选文档11由FA 1AP ，BF2FA ，得(x 1p ,y 1)1(x 1,y 0y 1)，(px 2, y 2)2(x 1p,y 1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分222因此，x 1p 1x 1,y11(yy 1)，2p x 22(x1p),y 22y 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分22将y 22p 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2y 1代入（*）式，得y 1，2p 2p⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分因此2px 1，x 12 .22代入xp 1 x ，得 111.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分12122因1 [1,1]，因此2的取范是[ 4 ,2].⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分24 2320．（本小分 13分）（Ⅰ）解：(a 1,a 2,,a 100) |a 1 a 2| |a 2 a 3||a 99a 100|⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分22 2 2 99 198 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（Ⅱ）明：因(a,b,c,d) |a b| |b c| |c d|，(a,c,b,d) |a c| |c b| |bd|，因此 (a,b,c,d)(a,c,b,d) |a b| |c d| |a c| |b d|.⋯⋯⋯⋯⋯4分因(a b)(b c) 0，因此a bc ，或a b c .若a b c ， (a,b,c,d)(a,c,b,d) a b |c d| ac |b d|cb|cd||bd|当bc d ，上式 c b cd (b d) 2(c b) 0 ，当b d c ，上式 c b d c (b d)2(d b) 0 ，当d b c ，上式 c b d c (d b) 0，即当ab c ，(a,b,c,d)(a,c,b,d) 0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分若abc ，(a,b,c,d) (a,c,b,d) b a |c d| c a |b d|，b c |c d| |b d| 0.（同前）因此，当(a b )(b c) 0， (a,b,c,d) (a,c,b,d)成立. ⋯⋯⋯⋯⋯7分（Ⅲ）明：由（Ⅱ）易知于四个数的数列，若第三的介于前两的之，交第二与第三的地点将使数列波度减小或不.（将此作引理）下边来明当a 1 a 2，{a n }减数列.（ⅰ）明a 2a 3.若a 1 a 3 a 2，由引理知交 a 2,a 3的地点将使波度减小或不，与已知矛盾.若 a ３a a 2 ，(a 1 ,a 2,a ３) |a 1 a 2||a 2a ３||a 1 a 2||a 1a ３| (a 2,a 1,a ３) ，与已知矛盾.１因此，a 1 a 2 a 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分（ⅱ）a 1 若a i1 a i1 若a i1ai1a 2a i (3in 2)，明a i a i1. a i ，由引理知交 a i ,a i1的地点将使波度减小或不，与已知矛盾.a i ，(a i2,a i1,a i ,a i1)(a i2,a i ,a i1,a i1)，与已知矛盾.因此，a ia i1.⋯⋯⋯⋯11分精选文档12（ⅲ）a 1 a 2a n1，明a n1a n .若a n a n1，考数列a n ,a n1,,a 2,a 1，由前方推理可得 a na n1an2a 2，与a 1a 2a n1矛盾.因此，a n1 a n .⋯⋯⋯⋯⋯12分上，得.同理可：当a 1a 2 ，有{a n }增数列.⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分精选文档激烈介绍精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有精选介绍强力介绍值得拥有。

2017-2018届北京市西城区高三4月一模理科数学试题及答案

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必要的文字说
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于 2，它的俯视图是一个边长为 2 的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是 ________.
12．若不等式组
x≥1,
y≥0,
表示的平面区域是一个四边形，则实数 a 的
2x y ≤ 6,
x y≤a
取值范围是 _______.
13. 科技活动后， 3 名辅导教师和他们所指导的 3 名获奖学生合影留
（ D）既不充分也不必要条件
7．某企业为节能减排，用 9 万元购进一台新设备用于生产 . 第一年需
运营费用 2 万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加 2 万元，
该设备每年生产的收入均为 11 万元 . 设该设备使用了 n(n N ) 年后，
年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则 n 等于（）
（ A） f ( x) sin x （ C） f ( x) cos x
（ B） f ( x) sin xcos x （ D） f ( x) cos2 x sin2 x
6． “ m 8 ”是“方程 x2
y2 1表示双曲线”的（
）
m 10 m 8
（A）充分而不必要条件
（ B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
北京市西城区 2017-2018 年高三一模试卷
数学（理科）
4
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设全集 U R ，集合 A { x | 0 x≤2} ， B { x | x 1} ，则集合 eU ( A B )

2018.4北京西城一模理科数学

西城区高三统一测试数学（理科） 2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =I（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2（B ）3（C ）4（D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）（B（C ）6 （D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）12- （B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有（A ）0对（B ）1对（C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A ）U →V →W（B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC？若存在，求出11A F A C的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n L ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=L ．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-L ．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ；（Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>L ，12)m k k k <<<L ，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-L ；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7- 10．6，2n n+110x =12．2 13．30 14注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以sin 2sin cos C A A =． [1分]在△ABC 中，由正弦定理得sin 2sin cos C A A =． [3分]所以 cos A =． [ 4分] 因为 0πA <<， [ 5分]所以 π6A =． [ 6分] （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，所以 222c c =+-⋅ [ 8分] 整理得 2650c c -+=， [ 9分]解得1c=，或5c=，均适合题意．[11分]当1c=时，△ABC的面积为1sin2S bc A== [12分]当5c=时，△ABC的面积为1sin2S bc A== [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P=．[ 3分]（Ⅱ）X可能的取值为0,1,2．[ 4分]因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[ 5分]所以2226C1(0)C15P X===；112426C C8(1)C15P X===；2426C2(2)C5P X===．[ 8分]所以X的分布列为：()012151553E X=⨯+⨯+⨯=．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B、C、D、E． [13分] 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥． [ 1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 3分] 所以 1A O BD ⊥． [ 4分] （Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以 OE OG ⊥．由（Ⅰ）得 1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以 1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-．设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则 110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以 (1,2,1)=-n ． [ 7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．所以直线1A C 和平面1A BD[ 9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设 11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． [10分] 设 111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-，所以 1112,2,22x y z λλλ===-，从而 (2,2,22)F λλλ-，所以 (2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==． [12分]令整理得 23720λλ-+=． [13分] 解得 13λ=，舍去2λ=．所以线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x '=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+． [ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=， [ 4分]解得 0a =． [ 5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号．令 221()ln g x a x x x =+-+， [ 6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==． [ 8分] 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增． [ 9分] 因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得 0()0g x =． [11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 ()f x 存在极小值0()f x ． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． [ 1分]所以 24a =，22b =，从而 2222c a b =-=．因此 2a =，c =故椭圆C 的离心率 c e a ==． [ 3分]椭圆C 的左焦点F 的坐标为(． [ 4分]（Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下： [ 5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=， [ 6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=． [ 7分]直线l 的方程为 0101()x y y x x y -=--，整理为 0140x x y y +-=． [ 9分]所以圆F 的圆心F 到直线l 的距离02|d ==+．[11分] 因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++． [13分]所以 22||PF d =，即 ||PF d =，所以直线l 与圆F 相切． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以 5{2,4,5}E =． [ 3分]（Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以 11i i k k S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k kk S S a +++-=+ [ 6分]1.i k S <+所以 11i i k k S S +-<． [ 8分]（Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =L ，不妨设12m k k k <<<L ，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-L ，同理 101k S S -<，且 m n k S S ≤．所以 12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-L101111m m <+++++=L 1442443个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥．[11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++L ，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且 {1,2,,1}n E C =+L ，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。

2018年高考全国1卷理科数学试题及答案详细解析(word版_精校版)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．22．已知集合2{|20}A x x x =-->，则A =RA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5aA ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+. 若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+11．已知双曲线2213x C y ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N . 若OMN △为直角三角形，则||MN A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A ．334B ．233C ．324D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018北京市西城区高三一模理科数学试题(卷)与参考答案解析

西城区高三统一测试数学（理科）2018.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ）B（C ）6+D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=（A ）12-（B ）2- （C ）（D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有（A ）0对（B ）1对（C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（A ）U →V →W （B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅．（Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD⊥；（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC ？若存在，求出11A F A C 的值；若不存在，说明理由．图1图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ；（Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i ik k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7-10．6，2n n +110x ±=12．213．3014注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以 sin 2sin cosC A A =．[ 1分] 在△ABCsin 2sin cos C A A =．[ 3分]所以cos A =．[ 4分] 因为 0πA <<， [ 5分] 所以 π6A =．[ 6分] （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以222c c =+-⋅[ 8分] 整理得 2650c c -+=，[ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意．[11分]当1c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[12分]当5c =时，△ABC的面积为1sin 2S bc A ==[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为5334671000+=，被该企业录用的人数为264169433+=，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2．[4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，[5分]所以2226C 1(0)C 15P X ===；112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===．[8分] 所以X 的分布列为：()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．[10分] （Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ．[13分] 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以 //DE BC ，AD AE =．所以11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥．[1分]因为平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ，[3分] 所以 1A O BD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE OG ⊥．由（Ⅰ）得1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -．所以1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-．设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以(1,2,1)=-n ．[7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ，则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n ．所以直线1A C 和平面1A BD．[9分] （Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．[10分]设111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-，所以1112,2,22x y z λλλ===-，从而(2,2,22)F λλλ-，所以(2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=，所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==．[12分]令整理得23720λλ-+=．[13分]解得13λ=，舍去2λ=．所以线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =．[14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x'=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=，[4分]解得0a =．[5分] （Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号．令221()ln g x a x x x=+-+，[6分] 则 223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==．[8分] 所以对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增．[9分] 因为(0,ln 2)a ∈，所以(1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故存在01(,1)2x ∈，使得0()0g x =．[11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以()f x 在区间0(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以()f x 存在极小值0()f x ．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=．[1分]所以24a =，22b =，从而2222c a b =-=．因此2a =，c =故椭圆C 的离心率c e a ==．[3分] 椭圆C 的左焦点F 的坐标为(．[4分] （Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下：[5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则22024x y +=，[6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=．[7分]直线l 的方程为0101()x y y x x y -=--，整理为 0140x x y y +-=．[9分] 所以圆F 的圆心F 到直线l的距离02|d ==+．[11分]因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++．[13分]所以22||PF d =，即 ||PF d =，所以直线l 与圆F 相切．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =，[2分]所以5{2,4,5}E =．[3分]（Ⅱ）由集合n E 的定义知1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以11i i k k S S +-≤. [5分]又因为 11i k a +<，所以1111i i i k k k S S a +++-=+[6分] 1.i k S <+所以11i i k k S S +-<．[8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理101k S S -<，且m n k S S ≤．所以12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为n S C >，所以n E 的元素个数1m C +≥． [11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且{1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。

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