3.2.3互斥事件(二)(第九课时) 教案(高中数学北师大版必修3)
高中数学第三章概率2.3互斥事件学案北师大版必修3(2021学年)
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２．３互斥事件学习目标 1。
通过实例了解互斥事件、事件A＋B及对立事件的概念和实际意义.２。
能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立．3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率．知识点一互斥事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，“抽到红桃＂与“抽到方块”能否同时发生?梳理在一个随机试验中，我们把一次试验下___＿________＿___的两个事件A与B称作互斥事件.知识点二事件A+Ｂ思考在知识点一的思考中,“抽到红色牌”包括哪些情形?梳理给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件,事件A＋B发生是指事件Ａ和事件Ｂ_______＿____＿___。
知识点三互斥事件概率加法公式思考一粒均匀的骰子抽一次，记事件A=“向上的点数大于2”；Ｂ＝“向上的点数大于３”;则P(A+B）是否等于P（Ａ)＋P(B）?梳理互斥事件概率加法公式(1）在一个随机试验中，如果随机事件Ａ和事件B是互斥事件,那么有P（A＋B)=____＿_＿＿_____＿_＿;(2)如果随机事件Ａ1,A２,…，A n中任意两个是互斥事件，那么有P(A1+A2＋…+A n）=＿___＿__＿＿_＿_______＿___＿_.知识点四对立事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张,记A=“抽到红色牌”;B=“抽到黑色牌”,则A,B 的关系与知识点一思考中两事件关系有何异同？梳理在同一次试验中，__＿_＿_______＿___且_＿__＿__＿＿＿＿＿___＿的两个事件叫作互为对立事件,事件A的对立事件记作__＿_;对立事件概率公式P(错误!)=______.类型一事件的关系与判断例1 判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:(1)“恰有1名男生”和“恰有２名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(３)“至少有1名男生”和“全是男生”；（4)“至少有１名男生"和“全是女生”．反思与感悟如果A、Ｂ是两个互斥事件,反映在集合上,是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交.跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件？事件A :命中环数大于7环; 事件B :命中环数为10环；事件C :命中环数小于6环；事件D :命中环数为6、７、８、9、1０环．类型二概率的加法公式例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品",事件Ｂ＝“抽到的是二等品”,事件C=“抽到的是三等品”,且P(Ａ)=0．７，P（B)=0。
高中数学第三章概率2_3互斥事件教案北师大版必修3
互斥事件整体设计教学分析教科书通过实例定义了互斥事件、对立事件的概念.教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述,没有给出严格的定义,严格的定义,要到大学里的概率统计课程中才能给出.三维目标(1)正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.(2)概率的几个基本性质：①必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1；②当事件A 与B 互斥时,满足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；③若事件A 与B 为对立事件,则A∪B 为必然事件,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).(3)正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣.重点难点教学重点：概率的加法公式及其应用.教学难点：事件的关系与运算.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考优85分及以上 9人 良75—84分 15人 中60—74分 21人 不及格 60分以下 5人在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”(优或良)的概率是多少？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题.思路2.(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4} {2,3,4,5}等；(2)在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C 1={出现1点},C 2={出现2点},C 3={出现1点或2点},C 4={出现的点数为偶数},….师生共同讨论：观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质.思路 3.全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是72和51,则该省夺取该次冠军的概率是72+51,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质.推进新课新知探究提出问题在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点},C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于1},D2={出现的点数大于3},D3={出现的点数小于5},E={出现的点数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出现的点数为奇数},….类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？(4)事件D3与事件F能同时发生吗？(5)事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案.讨论结果：(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.(4)事件D3与事件F不能同时发生.(5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.由此我们得到事件A,B的关系和运算如下：①如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A(或事件A包含于事件B),记为B⊇A(或A⊆B),不可能事件记为∅,任何事件都包含不可能事件.②如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,(若B⊇A同时B⊆A),我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.③如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件(或和事件),记为A∪B或A+B.④如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件(或积事件),记为A∩B或AB.⑤如果A∩B为不可能事件(A∩B=∅),那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.⑥如果A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A 与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.继续依次提出以下问题：(1)概率的取值范围是多少?(2)必然事件的概率是多少?(3)不可能事件的概率是多少?(4)互斥事件的概率应怎样计算?(5)对立事件的概率应怎样计算?活动：学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义：(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在0—1之间,因而概率的取值范围也在0—1之间.(2)必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.(3)不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.(4)当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和.(5)事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则A∪B的频率为1,因而概率是1,由(4)可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差.讨论结果：(1)概率的取值范围是0—1之间,即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E={出现的点数小于7},因此P(E)=1.(3)不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F={出现的点数大于6},因此P(F)=0.(4)当事件A与事件B互斥时,A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(A∪B)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式,也称互斥事件的概率的加法公式.(5)事件A与事件B互为对立事件,A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,P(A∪B)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G={出现的点数为偶数}与H={出现的点数为奇数}互为对立事件,因此P(G)=1-P(H).上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它们的应用. 应用示例思路1例1 在课本§2古典概型的例1中,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,下面的事件A和事件B是否是互斥事件?(1)事件A=“总质量为20 kg”,事件B=“总质量为30 kg”;(2)事件A=“总质量为7.5 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”;(3)事件A=“总质量不超过10 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”;(4)事件A=“总质量为20 kg”,事件B=“总质量超过10 kg”.解：在(1)(2)(3)中,事件A与事件B不能同时发生,因此事件A与事件B是互斥事件.对于(4)中的事件A和事件B,随机地从2个箱子中各取1个质量盘,当总质量为20 kg时,事件A与事件B同时发生,因此,事件A与事件B不是互斥事件.点评：判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.变式训练1.一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.活动：教师指导学生,要判断所给事件是对立事件还是互斥事件,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.解：A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件(至少一个发生).2.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；(2)至少有1件次品和全是次品；(3)至少有1件正品和至少有1件次品；(4)至少有1件次品和全是正品.解：依据互斥事件的定义,即事件A 与事件B 在一定试验中不会同时发生,知(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们的并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断：(2)中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件;(3)中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件;(4)中的2个事件既互斥又对立.例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C =“抽到的是三等品”,且已知P(A)=,P(B)=,P(C)=.求下列事件的概率：(1)事件D=“抽到的是一等品或三等品”;(2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”.解：(1)事件D 即事件A+C,因为事件A=“抽到的是一等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,得P(D)=P(A+C)=P(A)+P(C)=+=.(2)事件E 即事件B+C,因为事件B=“抽到的是二等品”和事件C=“抽到的是三等品”是互斥事件,由互斥事件的概率加法公式,得P(E)=P(B+C)=P(B)+P(C)=+=.点评：容易看出,事件D+E 表示“抽到的产品是一等品或二等品或三等品”.事件D 和事件E 不是互斥事件,因此不满足互斥事件的概率加法公式.事实上,P(D+E)=P(A)+P(B)+P(C)=,而P(D)+P(E)=［P(A)+P(C)］+［P(B)+P(C)］=,“抽到的是三等品”的概率P(C)在P(D)和P(E)中各算了一次,因此,事件D+E 的概率P(D+E)不等于P(D)+P(E).例3 某地政府准备对当地的农村产业结构进行调整,为此政府进行了一次民意调查.100个人接受了调查,他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如下表所示：男 女 总计 赞成 18 9 27 反对12 25 37 不发表看法20 16 36 总计 50 50 100解：用A 表示事件“对这次调整表示反对”,B 表示事件“对这次调整不发表看法”,则A 和B 是互斥事件,并且A+B 就表示事件“对这次调整表示反对或不发表看法”,由互斥事件的概率加法公式,得P(A+B)=P(A)+P(B)=100731003610037=+=, 因此,随机选取的一个被调查者对这次调整表示反对或不发表看法的概率是.点评：若事件C=“对这次调整表示赞成”,则其对立事件C=“对这次调整表示反对或不发表看法”,因此,随机选取一个被调查者,他对这次调整表示反对或不发表看法的概率还可以按如下方法计算：P(C )=1-P(C)=11007310027=-=. 变式训练1.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止1个小组,具体情况如图1所示.随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少?(2)他参加不超过2个小组的概率是多少?图1 解：(1)从图1中可以看出,3个课外兴趣小组总人数为60.用A 表示事件“选取的成员只参加1个小组”,则A 就表示“选取的成员至少参加2个小组”,于是,P(A )=1-P(A)=153601086=++-=. 因此,随机选取的1个成员至少参加2个小组的概率是.(2)用B 表示事件“选取的成员参加3个小组”,则B 就表示“选取的成员参加不超过2个小组”,于是,P(B )=1-P(B)=15136081=-≈. 所以,随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率约等于.2.小明的自行车用的是密码锁,密码锁的四位数密码由4个数字2,4,6,8按一定顺序构成.小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序,试问：随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不能打开锁的概率是多少?解：用A 表示事件“输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不是密码”,A 比较复杂,可考虑它的对立事件,即“输入由2,4,6,8组成的一个四位数,恰是密码”,它只有一种结果.利用树状图可以列出输入由2,4,6,8组成的一个四位数的所有可能结果(如图2).从图中可以看出,所有可能结果数为24,并且每一种结果出现的可能性是相同的,这是一个古典概型.P(A )=241,因此,图2P(A)=1-P(A )=2423≈, 即小明随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不能打开锁的概率约为.思路2例1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A 为“出现奇数点”,B 为“出现偶数点”,已知P(A)= 21,P(B)= 21,求出“出现奇数点或偶数点”的概率. 活动：学生思考或讨论,教师引导,抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,并且是相互独立事件,可以运用概率的加法公式求解.解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A 、B 是互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=21+21=1. 出现奇数点或偶数点的概率为1.变式训练抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A 为出现奇数,事件B 为出现2点,已知P(A)= 21,P(B)=61,求出现奇数点或2点的概率之和. 解：“出现奇数点”的概率是事件A,“出现2点”的概率是事件B,“出现奇数点或2点”的概率之和为P(C)=P(A)+P(B)=326121=+. 例2 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为31,得到黑球或黄球的概率是125,得到黄球或绿球的概率也是125,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？活动：学生阅读题目,交流讨论,教师点拨,利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.解：从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A 、B 、C 、D,则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=125,P(C∪D)=P(C)+P(D)=125,P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-31=32,解得P(B)=41,P(C)=61,P(D)= 41, 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是41、61、41. 变式训练已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是71,从中取出2粒都是白子的概率是3512,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？答案：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为3517351271=+. 知能训练1.下列说法中正确的是( )A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案：D2.课本练习1—4.拓展提升1.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21,求男女生相差几名? 解：设男生有x 名,则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(⨯-x x , 选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(⨯--x x . 以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于21, 得3536)35)(36(3536)1(⨯--+⨯-x x x x =21. 解得x=15或x=21,即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.总之,男女生相差6名. 血型A B AB O 该血型的人所占比/% 28 29 8 35AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血,若小明因病需要输血,问：(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O 型血的事件分别记为A′,B′,C′,D′,它们是互斥的. 由已知,有P(A′)=,P(B′)=,P(C′)=,P(D′)=.因为B,O 型血可以输给B 型血的人,故“可以输给B 型血的人”为事件B′+D′.根据互斥事件的加法公式,有P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=+=.(2)由于A,AB 型血不能输给B 型血的人,故“不能输给B 型血的人”为事件A′+C′,且P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=+=,即任找一人,其血可以输给小明的概率为,其血不能输给小明的概率为.注：第(2)问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B 型血的人”与事件“其血不能输给B 型血的人”是对立事件,故由对立事件的概率公式,有P(''D B +)=1-P(B′+D′)==. 课堂小结1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A 与事件B 互斥时,A∪B 发生的概率等于A 发生的概率与B 发生的概率的和,从而有公式P(A∪B)=P(A)+P(B)；对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生.2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A 与事件B 在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：(1)事件A 发生且事件B 不发生；(2)事件A 不发生且事件B 发生；(3)事件A 与事件B 同时不发生.而对立事件是指事件A 与事件B 有且仅有一个发生,其包括两种情形：(1)事件A 发生B 不发生；(2)事件B 发生事件A 不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.作业习题3—2 A 组 3.设计感想本堂课通过掷骰子试验,定义了许多事件,并根据集合的运算定义了事件的运算,给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式,在运用时要切实注意它们的使用条件,不可模棱两可,搞清互斥事件和对立事件的关系,思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练,对刚学的知识是一个巩固和加强,同学们要反复训练,安排的题目既有层次性,又有趣味性,适合不同基础的学生,因此本节课授完后,同学们肯定受益匪浅.。
高中数学 3.2.3 互斥事件教学设计 北师大版必修3
3.2.3 互斥事件一、教学目标：1、知识与技能：(1)理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。
（2）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（3）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（4）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。
通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。
3、情感、态度与价值观：通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。
重点：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。
难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。
二、教学过程:问题引入：一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球．从中任取 1个小球.求:(1)得到红球的概率;(2)得到绿球的概率;(3)得到红球或绿球的概率.设问：“得到红球”和“得到绿球”这两个事件之间有什么关系,可以同时发生吗?事件得到“红球或绿球”与上两个事件又有什么关系?它们的概率间的关系如何?我们把“从中摸出 1个球，得到红球”叫做事件A，“从中摸出1个球，得到绿球”叫做事件B，“从中摸出1个球，得到黄球”叫做事件C．三、新课讲解1.互斥事件的定义如果从盒中摸出的1个球是红球，即事件A发生，那么事件B就不发生；如果从盒中摸出的1个球是绿球，即事件B发生，那么事件A就不发生．就是说，事件A与B不可能同时发生。
北师大版高中数学必修3《三章 概率 2 古典概型 2.3互斥事件》优质课教案_24
教学流程
教师活动
学生活动
设计意图
情境引入
多媒体展现图片：“向左还是向右”、“今天去书店还是不去”，要求学生思考，这两个事件能不能同时发生？
要求学生举出生活中一些类似的例子。
学生思考后回答，两个事件不能同时发生。
学生讨论并举例。
通过观察事件的特点，引发学生关于“不能同时发生的两个事件”的思考，为学习互斥事件作铺垫，培养学生观察分析、总结和归纳的能力。
学情
分析
本节课的授课对象是本校高一(7)班全体同学，本班学生水平处于中等偏上，学生具有善于动手，踊跃交流的良好学习习惯，学习热情高涨，所以这节课的主要任务是让多数同学在积极参与课堂的过程中掌握概念及公式的使用。
学法指导
在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法为思考问题、共同探讨、解决问题、简单应用，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的自主学习.
课标要求：通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式。
考纲要求：了解两个互斥事件的概率加法公式。
教学设计编写人杨蓉
课题
互斥事件
课型
新授
课时
1
教材
分析
在本节课之前，学生已经学习了随机事件和古典概型，教材这一节主要是针对事件A、B是互斥事件时，研究事件A+B的概率。教材中直接引用了前面课文中有关质量盘的例题，再对互斥事件进行讲解，我个人认为质量盘的例题比较冗长且不够直观，因此，我对教材内容作了一点调整，从学生生活中掷骰子事件出发，使学生既有兴趣又能很轻松的理解互斥事件，为下面的学习打好基础。
课堂练习
教师多媒体展示练习题，学生自主完成。
教师抽取学生的学习卡进行展示，共同解决问题。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修3 2.3互斥事件》
以及措施
教学重点：通过实例，了解互斥事件及对立事件的概念及概率加法公式；〔重点〕
教学难点：根据事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习；〔难点〕
根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循“直观认知――操作体会――感悟知识特征――应用知识〞的认知过程，设计出包括：观察、操作、思考、交流等内容的教学流程。
教学目标
1知识与技能：
〔1〕通过实例，了解互斥事件及对立事件的概念及概率加法公式；
〔2〕根据事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习；
2过程与方法：
通过自主探索、合作交流培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，体会类比与归纳、特殊与一般的数学思想
3情感态度与价值观；
感知数学和生活的联系，体验学习数学的乐趣，体会数学的严谨性，培养团队合作精神
学习者分析
学生已学习了古典概型，初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题高一学生语言表达能力和数学应用意识依然有所欠缺，处理实际数学建模问题的能力还有待进一步提高但思维较活泼，能较好地解决实际问题
教法设计
问题情境引入法启发式教学法讲授法
学法指导
自主学习法练习稳固法讨论交流法
教学准备
t课件导学案
通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质
例题讲解
当堂训练
1从一箱产品中随机地抽取一件产品,设事件A=“抽到的是一等品〞,事件B=“抽到的是二等品〞,事件C=“抽到的是三等品〞,且PA=,PB=,PC=
求以下事件的概率:
(1)事件D=“抽到的是一等品或三等品〞;
(2)事件E=“抽到的是二等品或三等品〞
1他至少参加2个小组的生建立相应的数学模型，分析问题
高中数学第三章概率3.2.3互斥事件学案北师大版必修3
3.2.3 互斥事件1．了解互斥事件的概念及概率加法公式． 2．理解互斥事件和对立事件的区别和联系．3．掌握对立事件的概率及概率的计算公式．(难点) 4．能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概率的计算问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 互斥事件 阅读教材P 138～P 140“例5”以上部分，完成下列问题． 1．互斥事件的定义 称作互斥事件．B 和A 的两个事件不能同时发生在一个随机试验中，我们把一次试验下 2．事件A 与B 至少有一个发生至少有B 和事件A 发生是指事件B ＋A 件，事件为一个事B ＋A ，我们规定B ，A 给定事件．一个发生 ，事件1A 事件表示在一次随机试验中，n A ＋…＋2A ＋1A 根据上述定义推广可得：事件中至少有一个发生．nA ，事件…，2A 3．互斥事件的概率加法公式 一般地，如果事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中至少有一个发生)的概率等．这个公式称为互斥事件的概率)B (P ＋)A (P ＝)B ＋A (P 分别发生的概率的和，即B ，A 于事件加法公式．如果事件A 1，A 2，…，A n 彼此互斥，那么事件A 1＋A 2＋…＋A n 发生(即A 1，A 2，…，An 中＝)n _A ＋…＋2A ＋1A (P 个事件分别发生的概率的和，即n 于这的概率，等)至少有一个发生．)n A (P ＋…＋)2A (P ＋)1A (P判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知事件A 与B ，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．( ) (2)若三个事件A ，B ，C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.( )(3)袋子中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，“恰有一个白球”和“全是白球”是互斥事件．( )【解析】 (1)×，A 与B 互斥时P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． (2)×，P (A )＋P (B )＋P (C )的值不确定． (3)√，恰有一个白球与全是白球是互斥事件． 【答案】 (1)× (2)× (3)√ 教材整理2 对立事件及其概率的求法公式 阅读教材P 140“例5”至P 143“练习”以上部分，完成下列问题． 1．定义，那么事件发生，并且一定有一个同时发生不能B 与A 在每一次试验中，如果两个事件A 与B 称作是对立事件，事件A 的对立事件记为A .2．性质P (A )＋P (A )＝1，即P (A )＝1－P (A )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A 与事件B 互斥，则事件A 与B 互为对立事件．( ) (2)事件A 与B 若满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件．( ) (3)若事件A 与B 互为对立事件，则A 与B 互斥．( ) 【解析】 (1)×，A 与B 不一定对立．(2)×，例如a ，b ，c ，d 四个球，选中每个球的概率相同，事件A 为选中a ，b 两个球，则P (A )＝12；事件B 为选中b ，c 两个球，则P (B )＝12，则P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．(3)√，对立事件一定是互斥事件． 【答案】 (1)× (2)× (3)√[小组合作型]对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；。
高中数学 3.2 互斥事件(2)学案 北师大版必修3
学案必修三第三章第2节互斥事件（2）一、学习目标1、进一步理解互斥事件与对立事件的概念；2、会用枚举法与树状图计算一些随机事件所含的基本事件数；3、掌握较复杂事件概率的求法。
二、重点与难点重点：互斥事件与对立事件概率公式的进一步应用难点：复杂事件概率的求法三、课前预习1、设A、B为两个事件，当事件A、B至少有一个发生，我们把这个事件记作；2、若A、B是互斥事件，那么P（A+B）= ；3、对立事件A与A必有一个发生，故A+A为①事件，从而P（A+A）= ②，又A与A互斥，所以有P（A+A）= ③，故P（A）+P（A）= ④，即P（A）=1- ⑤。
四、堂中互动教师点拔1：（1）O型血与B型血可以输给小明，其概率求为用这两种血型的人数之和比上总人数就可得出结果；（2）因为事件“血不能输给小明”与（1）中事件“血可以输给小明”是对立事件，其概率就可以利用对立事件的概率求法公式来求得。
例1、黄种人群中各种血型的人所占的比如表所示：已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？点评：在求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求此事件的对立事件的概率，进而再求所求事件的概率。
教师点拔2：用枚举法算出所有的可能结果数，其中能打开锁的只有一种结果，设其概率为P（A），则不能打开锁的概率为1- P（A）。
例2、小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数密码由4个数字2，4，6，8按一定顺序构成。
小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，试问：随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是多少？点评：求概率时采用迂回的策略，不直接求有关事件的概率，转而求其对立事件的概率，从而达到求有关事件概率的目的，体现了数学中“正难则反”的数学思想。
3.2.3互斥事件 教案(高中数学北师大版必修3)
2．3互斥事件●三维目标1．知识与技能使学生理解互斥事件和对立事件的概念；能利用公式解决简单的概率问题．2．过程与方法通过知识迁移，与集合中相关概念的对比；培养学生用对立统一思想分析问题并解决问题．3．情感、态度与价值观通过学生独立思考、分组讨论，培养学生自主学习的习惯、与人合作的团队精神．●重点难点重点：理解互斥事件和对立事件概念的区别和联系．难点：灵活运用P(A＋B)＝P(A)＋P(B)和P(A)＝1－P(A)两个公式来解决问题．●教学建议以问题为主线，引导发现法，教师可以从学生生活掷骰子事件出发，逐步导出互斥事件，使学生既有兴趣又很轻松的理解互斥事件，为下面的学习打好理论基础．●教学流程创设情境，引入新课，以课本上的掷骰子为例探究各事件间的关系⇒总结出互斥和对立事件的概念并展现它们之间的区别与联系，给出概率加法公式⇒通过例1及变式训练，使学生明确，互斥和对立事件的关系掌握判断事件的方法⇒通过例2及变式训练，使学生掌握互斥事件概率的运算⇒通过对互斥事件和对立事件的理解完成例3及变式训练进一步体会概率加法公式⇒归纳总结，知识升华，使学生从整体上把握本节知识⇒完成当堂双基达标，巩固本节知识并进行反馈、矫正在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，D1＝{出现的点数不大于1}，D2＝{出现的点数大于4}，D3＝{出现的点数小于6}，E＝{出现的点数小于7}，F＝{出现的点数大于6}，G＝{出现的点数为偶数}，H＝{出现的点数为奇数}．1．事件D3与事件F能同时发生吗？【提示】不能．2．如果事件“C2发生或C4发生或C6发生”，就意味着哪个事件发生？【提示】意味着事件G发生．3．事件D2与事件H同时发生，意味着哪个事件发生？【提示】C5发生．1．互斥事件的定义在一个随机试验中，我们把一次试验中不能同时发生的两个事件A和B称作互斥事件．2．事件A与B至少有一个发生给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．根据上述定义推广可得：事件A1＋A2＋…＋A n表示在一次随机试验中，事件A1，事件A2，…，事件A n中至少有一个发生．一般地，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这个公式称为互斥事件的概率加法公式．如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋A n发生(即A1，A2，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋A_n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．在知识1的问题导思中，事件G与事件H能同时发生吗？这两个事件有什么关系？【提示】事件G与事件H不能同时发生，但必有一个发生．1．定义在每一次试验中，如果两个事件A与B不能同时发生，并且一定有一个发生，那么事件A与B称作是对立事件，事件A的对立事件记为A.2．性质P(A)＋P(A)＝1，即P(A)＝1－P(A).判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球．”【思路探究】根据对立事件和互斥事件的定义来判断．【自主解答】从袋中任意取出3只球有4种结果：3只白球；2只白球1只红球；1只白球2只红球；3只红球．(1)因为“取出2只红球1只白球”与“取出1只红球2只白球”不能同时发生，所以它们是互斥事件．当“取出3只白球”时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)“取出3只球中至少有1只白球”包括三种结果：1只白球2只红球，2只白球1只红球，3只白球．因此它与“取出3只红球”不能同时发生，它们是互斥事件，且它们中必有一个发生，所以又是对立事件．(3)当取出的3只球都是红球时，它们同时发生，所以它们不是互斥事件，也不是对立事件．1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，若不能同时发生，则为互斥事件，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件．2．判断事件的关系，尤其是互斥事件和对立事件在求概率时非常重要，它直接决定了求解是否正确．应注意互斥事件不能同时发生，对立事件除不能同时发生外，其和事件为必然事件，这些也可类比集合进行理解．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明道理．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数为1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．【解】 (1)是互斥事件，不是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们是对立事件，(3)不是互斥事件，也不是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生．因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112. 求(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．【思路探究】 从12球中任取一球，取到红球、黑球、白球互斥，所以可用互斥事件概率的加法公式求解．【自主解答】 法一 (1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝512＋13＝34. (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋13＋16＝1112. 法二 (1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A ＋B 的对立事件为C ＋D ，故“取出1球为红球或黑球”的概率为P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－(P (C )＋P (D ))＝1－(16＋112)＝34. (2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112.1．解决本题的关键是明确取到不同颜色球不可能同时发生，即互斥．由此可知用概率加法公式．2．若随机试验中，涉及多个事件，应先分析判断这几个事件是否互斥(或对立)，若是，可利用互斥事件概率的加法公式求解．当某一事件包含几个互斥的事件时，求该事件发生的概率也有上述规律．在数学考试中，小明的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07.(1)求小明在数学考试中，取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)求小明考试及格的概率．【解】分别记小明的成绩“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”为事件事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)小明考试及格的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中7环以下的概率．【思路探究】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．【自主解答】(1)记“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B.由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.(2)记“射中7环以下”为事件E，E的对立事件为E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”．由“射中7环”、“射中8环”、“射中9环”、“射中10环”是彼此互斥事件，故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.所以射中10环或7环的概率为0.49，射中7环以下的概率为0.03.1．必须分析清楚事件A，B是否互斥，只有互斥事件才可以用概率的加法公式．2．当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数及相应概率如下：(1)(2)至少1人排队等候的概率是多少？【解】记事件“在窗口等候的人数为0,1,2,3,4,5人及以上”的事件分别为A，B，C，D，E，F，则它们彼此互斥．(1)至多2人排队等候的概率是：法一P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.法二P(A＋B＋C)＝1－P(D＋E＋F)＝0.56.(2)至少1人排队等候的概率是：法一 P (B ＋C ＋D ＋E ＋F )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.16＋0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.9.法二P (B ＋C ＋D ＋E ＋F )＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.对互斥事件概念理解有误抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P (A ＋B )．【错解】 P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1.【错因分析】 误认为事件A 、B 是互斥事件，所以错误地得出P (A )＝12，P (B )＝12，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1. 【防范措施】 运用公式时，要明确公式所使用的范围，否则容易出错．【正解】 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1、A 2、A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．故P (A ＋B )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝16＋16＋16＋16＝23.1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式，如果事件不互斥，那么公式就不能使用！3．求复杂事件的概率通常有两种方法方法一：将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；方法二：先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．1．事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.6，则P (B )等于( )A ．0.4B ．0.6C ．0.5D ．1【解析】 由对立事件的性质知P (A )＋P (B )＝1，∴P (B )＝1－0.6＝0.4.【答案】 A2．某产品分甲、乙、丙三级，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到甲级品的概率为( )A ．0.09B ．0.97C ．0.99D ．0.96【解析】 产品共分三个等级，出现乙级品和丙级品的概率分别为0.03和0.01，则出现甲级品的概率为1－0.03－0.01＝0.96.【答案】 D3．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]克的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【解析】 设“重量小于200克”为事件A ，“重量在[200,300]克之间”为事件B ，“重量超过300克”为事件C ，则P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.2－0.5＝0.3.故选B.【答案】 B4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．【解】 甲、乙两人下棋，其结果有甲胜、和棋、乙胜三种，它们是互斥事件，“甲获胜”可看做是“和棋或乙胜”的对立事件．“甲不输”可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，亦可看做“乙胜”的对立事件．于是，(1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16，即甲获胜的概率是16. (2)法一 设事件A 为“甲不输”，它可看做是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P (A )＝16＋12＝23.。
【教学设计】《互斥事件》(数学北师大必修3)
《互斥事件》互斥事件与对立事件是北师大版数学必修3第三章第2节的内容，新课标的要求是：理解互斥事件概念，掌握互斥事件和对立事件的区别和联系，为以后学习相互独立事件和次独立重复试验做好铺垫，因此这节课有着深化知识层面，拓展能力范围的作用，是本章的重要内容。
之 【知识与能力目标】理解互斥事件和对立事件的概念，并根据概率计算公式的应用范围和具体运算法则解决简单的概率问题。
【过程与方法目标】通过引导学生判断互斥事件和互为对立事件两个概念的对比学习，提高学生的类比、归纳、探寻事物的能力。
通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造的历程，提高学生的合作能力和创造的历程，提高学生的合作解题能力和利用数学知识解决实际应用问题的能力。
【情感与态度目标】通过课堂上学生独立思考、合作讨论，有意识、有目的的培养学生自主学习的学习习惯与协作共进的团队精神；让学生体验成功，激发其求知欲，树立求真知的信心；培养学生的辩证唯物主义观点。
◆ 教材分析◆教学目标【教学重点】：互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的概率计算公式。
【教学难点】：互斥事件与对立事件的区别与联系。
多媒体课件一、互斥事件1．互斥事件的定义：不能同时发生的两个事件称为互斥事件例如，在一个盒子里放有大小相同的10个小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球.从盒中摸出1个小球得到的结果可能是红球，也可能是绿球或黄球，并且只能是其中一种情况.我们把“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A ，“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B ，“从盒中摸出1个小球，得到黄球”叫做事件C ，那么这里的事件A 、事件B 、事件C 中的任何两个是不可能同时发生的.事件A 与事件B 、事件B 与事件C 都是互斥事件.从集合的角度来看，事件A 与事件B 是互斥事件，则事件A 所包含的基本事件构成的集合与事件B 所包含的基本事件构成的集合的交集是空集.2．互斥事件有一个发生的概率设A 、B 为互斥事件，当事件A 、B 有一个发生时，我们把这个事件记作A+B ．事件A+B 发生的概率等于事件A 、B 分别发生的概率的和,即P （A+B ）=P （A ）+P （B ），此公式也称概率和公式.例如上例中“从盒中摸出1个小球，得到红球”叫做事件A ，则P （A ）=0.7；“从盒中摸出1个小球，得到绿球”叫做事件B ，则P （B ）=0.2．若记“从盒中摸出1个小球，得到红球或绿球”为事件D ，则D=A+B ，此时P （D ）=P （A +P （B ）=0.7+0.2=0.9.3．一般地，如果事件A1，A2，…，An 中的任何两个都是互斥事件，就说事件A1，A2，…，An 彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此没有公共元素，即两两交集都是空集.一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n 两两互斥，则P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）◆ 教学重难点 ◆ ◆ 课前准备◆◆ 教学过程+…+P （A n ）.二、对立事件对立事件的定义：两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件.事件A 的对立事件记为A ．从集合的角度看，由事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.此时，事件A 和它对立事件的交集为空集，而并集为全集.若对立事件A 与必有一个发生，则A+是必然事件，从而P （A ）+P （）= P （A+）=1 .由此我们可以得到一个重要公式： P （）= 1- P （A ）.由此可知，当从正面求一个事件的概率比较困难时，可以通过求其对立事件的概率来求解.例如，一枚硬币连掷3次，则出现正面的概率是多少？此题若从正面分析则有以下三种情况：三次都是正面；二次正面一次反面；一次正面二次反面.虽然它们是互斥事件，可以利用互斥事件有一个发生的概率公式来求解，但解题比较复杂.如果考虑其反面利用对立事件的概率来求解，则简单得多.解：出现正面的对立事件是出现的三次都是反面，由于三次都是反面的概率为 ，则出现正面的概率为1- =.三、互斥事件和对立事件的区别与联系两个事件若对立则必然互斥，且必有一个事件发生.因此，两个事件是对立事件需满足两个条件：①互斥，②两个事件中必有一个发生.两个事件若是对立事件则一定是互斥事件，但若是互斥事件则不一定是对立事件.四、互斥事件有一个发生的概率的求解步骤（1）确定这些事件是互斥事件；（2）这些事件有一个发生；（3）分别求每一个事件的概率，再相加.前两条是使用互斥事件有一个发生的概率的概率和公式的前提条件，如果不符合这一点就不能用概率和公式.三、布置作业 A A A A AP143【练习1】，P147【练习2】◆教学反思略。
2020_2021学年高中数学第三章概率3.2.3互斥事件学案含解析北师大版必修3.doc
考纲定位重难突破1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断.重点：1.互斥事件与对立事件的定义.2.两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的应用.难点：互斥事件与对立事件的关系.授课提示：对应学生用书第46页[自主梳理]1．互斥事件与对立事件定义公式互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不可能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件(1)若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(2)若A1，A2，…，A n中任意两个事件互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)对立事件事件“A不发生”称为A的对立事件，记作A－__，对立事件也称为逆事件，在每一次试验中，相互对立的事件A与A－不会同时发生，并且一定有一个发生P(A－)＝1－P(A)给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．[双基自测]1．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶解析：“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件．答案：C2．抽查10件产品，设A＝{至多有1件次品}，则事件A的对立事件是()A．至多有2件正品B．至多有1件次品C．至少有1件正品D．至少有2件次品解析：“至多有1件次品”与“至少有2件次品”不能同时发生，但必有一个发生．答案：D3．一种计算机芯片可以正常使用的概率为0.994，则它不能正常使用的概率是() A．0.994 B．0.006C．0 D．1解析：“计算机芯片可以正常使用”(设为事件A)和“计算机芯片不能正常使用”(设为事件B)是对立事件，且P(A)＝0.994，则P(B)＝1－0.994＝0.006.答案：B授课提示：对应学生用书第46页探究一互斥事件、对立事件的判断[典例1]某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少1名男生与全是男生；(3)至少1名男生与全是女生；(4)至少1名男生与至少1名女生．[解析]从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类结果；两男或两女或一男一女．(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是1名男生1名女生时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件．1．判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们能否同时发生，若能同时发生则这两个事件不是互斥事件，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件．2．判断两个事件是否为对立事件．主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生．这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件．1．已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生，从中任选2名去参加医德培训．下列各对事件是否为互斥事件？是否为对立事件？并说明理由．(1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”；(2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”；(3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”；(4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”．解析：(1)是互斥事件，但不是对立事件．理由：所选的2名医生中，“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”，它与“恰有2名男医生”不可能同时发生，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能选出“恰有2名女医生”，因此二者不对立．(2)不是互斥事件，也不是对立事件．理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”，它们共同含有“1名男医生和1名女医生”，能够同时发生，因此不互斥也不对立．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，这与“全是男医生”能够同时发生，因此不互斥也不对立．(4)是互斥事件，也是对立事件．理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，它与“全是女医生”不可能同时发生，但其中必有一个发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件．探究二 互斥事件与对立事件的概率公式的应用[典例2] 围棋是一种策略性两人棋类游戏，已知围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，从中随机取出2粒，都是黑子的概率是13，都是白子的概率是1330. (1)求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率；(2)求从中任意取出2粒恰好是不同色的概率．[解析] (1)设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝13＋1330＝2330， 即任意取出2粒恰好是同一色的概率是2330. (2)设“从中任意取出2粒恰好是不同色”为事件D ，由(1)，知事件D 与事件C 是对立事件，且P (C )＝2330， 所以任意取出2粒恰好是不同色的概率P (D )＝1－P (C )＝1－2330＝730. 互斥事件与对立事件的概率计算的方法解决此类问题，首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定使用哪一公式．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是直接法：即将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是间接法：即先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．2．向假设的三个相邻的军火库投掷一颗炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中其余两个军火库的概率各为0.1，只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．解析：设A 、B 、C 分别表示“炸中第一、第二、第三个军火库”这三个事件，则P (A )＝0.025，P (B )＝P (C )＝0.1.又设D 表示“军火库爆炸”这个事件，则有D ＝A ＋B ＋C ，其中A 、B 、C 是彼此互斥的事件．所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.探究三 互斥、对立事件与古典概型的综合应用[典例3] 某市各种血型的人所占比例如下：血型 A B AB O该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35相输血，小明是B 型血，若小明因病需要输血，则：(1)在该市任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)在该市任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[解析] (1)对任一个人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别记为A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的．由已知，得P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输血给小明”为事件B ′＋D ′，根据互斥事件的概率加法公式，有P (B ′＋D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一：由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输血给小明”为事件A ′＋C ′，并且P (A ′＋C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二：因为任找一个人，其血要么可以输给小明，要么不可以输给小明，两者为对立事件，所以不能输血给小明的概率为1－P (B ′＋D ′)＝1－0.64＝0.36.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．3．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A 1被选中的概率；(2)求B 1和C 1中恰有1人被选中的概率．解析：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}，所以P (M )＝618＝13. (2)法一：设“B 1和C 1恰有1人被选中”这一事件为N ，则该事件有两种情况，B 1被选中，C 1没被选中和B 1没被选中，C 1被选中．用A 表示“B 1被选中，C 1没被选中”这一事件，B 表示“B 1没被选中，C 1被选中”这一事件，则A ＝{(A 1，B 1，C 2)，(A 2，B 1，C 2)，(A 3，B 1，C 2)}，B ＝{(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}所以P (N )＝P (A )＋P (B )＝318＋618＝12. 法二：设“B 1和C 1中恰有1人被选中”这一事件为N ，“B 1和C 1都被选中”这一事件为A ′，“B 1和C 1都没被选中”这一事件为B ′，则P (A ′)＝318＝16，P (B ′)＝618＝13. 所以P (N )＝1－P (A ′)－P (B ′)＝1－16－13＝12.转化与化归思想在概率中的应用[典例] 玻璃盒中装有各色球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，记事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．(1)求“取出1球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．[解析]由题意知P(A)＝512，P(B)＝13，P(C)＝16，P(D)＝112.法一：(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝34.(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋13＋16＝1112.法二：(1)“取出1球为红球或黑球”的对立事件为“取出1球为白球或绿球”，即A＋B的对立事件为C＋D，所以P(A＋B)＝1－P(C＋D)＝1－P(C)－P(D)＝1－16－112＝34，即“取出1球为红球或黑球”的概率为34.(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D，所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－112＝1112，即“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为1112.[感悟提高]当一个事件的概率较难求解，而对立事件的概率易求时，应用对立事件公式转化成求对立事件的概率，或是转化成几个易求解的互斥事件的和去求解．转化与化归思想的核心是把陌生问题转化为熟悉的问题，事实上解题过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程.[随堂训练]对应学生用书第48页1．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对解析：两个事件不会同时发生但有可能均不发生，所以是互斥但不对立事件．答案：C2．打靶3次，事件A i表示“击中i发”，i＝0，1，2，3，那么事件A＝A1＋A2＋A3表示() A．全部击中B．至少有1发击中C．必然击中D．击中3发解析：A1表示击中1发，A2表示击中2发，A3表示击中3发，则A＝A1＋A2＋A3表示至少击中1发．答案：B3．从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200 g的概率为0.2，质量在200～300 g内的概率为0.5，那么质量超过300 g的概率为()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8解析：质量超过300 g的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：B(2)求年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率．解析：记这个地区的年降水量在[100，150)(mm)、[150，200)(mm)、[200，250)(mm)、[250，300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.(2)年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.。
北师大版高中必修32.3互斥事件教学设计
北师大版高中必修32.3互斥事件教学设计
一、教学目标
•理解互斥事件及其概率公式的基本概念；
•掌握互斥事件的概率计算方法；
•培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点和难点
教学重点
•互斥事件的基本概念；
•互斥事件的概率计算方法。
教学难点
•互斥事件的概率计算方法。
三、教学过程设计
第一步：引入
教师通过展示某个事件发生的概率，引出互斥事件的概率计算方法，激发学生的兴趣和好奇心。
第二步：讲解
•互斥事件的基本概念；
•互斥事件的概率计算方法。
第三步：概率计算方法的练习
将学生分成小组，在教师指导下进行互斥事件的概率计算方法的练习。
第四步：现实应用探究
教师引导学生探究互斥事件在现实生活中的应用，例如红绿灯的亮灭、上下楼梯的方式等，让学生深刻理解互斥事件的实际应用。
第五步：总结
教师带领学生总结所学内容，回答学生的问题，解决疑惑。
四、教学小贴士
•在解题过程中，要注意把握互斥事件的特征，及时求出概率。
•在应用中，要注意区分互斥事件和不互斥事件，正确应用互斥事件的概率计算方法。
五、教学反思
通过这节课的教学，学生更加深入地理解了互斥事件及其概率公式的基本概念和计算方法，培养了分析问题和解决问题的能力。
但是，在练习中发现部分学生没有掌握好互斥事件的计算方法，需要在后续教学中加强练习。
同时，应用探究中的案例可以再丰富一些，让学生更好的理解互斥事件在现实生活中的应用。
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（4）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件 A 与 B 为对立事件， 则 A∪B 为必然事件，所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1—P(B)． 3、 例题分析： 例 1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件 A：命中环数大于 7 环； 事件 C：命中环数小于 6 环； 事件 B：命中环数为 10 环； 事件 D：命中环数为 6、7、8、9、10 环.
1 ， 3
5 5 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，试求得到黑球、得到黄球、得 12 12
某射手在一次射击训练中，射中 10 环、8 环、7 环的概率分别为 0.21，0.23，0.25，0.28，计 算该射手在一次射击中： （1）射中 10 环或 9 环的概率；
（2）少于 7 环的概率。 5、课堂小结：概率的基本性质： （1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，因此 0≤P(A)≤1； （2）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； （3）若事件 A 与 B 为对立事件，则 P(A)=1—P(B)； （4）互斥事件与对立事件的区别与联系：对立事件互斥事件的特殊情形。 1．从一堆产品（其中正品与次品都多于 2 件）中任取 2 件，观察正品件数与次品件 课 后 学 习 数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。 （1）恰好有 1 件次品恰好有 2 件次品； （2）至少有 1 件次品和全是次品； （3）至少有 1 件正品和至少有 1 件次品； （4）至少有 1 件次品和全是正品； 2．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件 A 为出现奇数，事件 B 为出现 2 点，已 知 P（A）=
教 学 内 容 分 析
教学 重点
概率的加法公式及其应用，
教学 难点
事件的关系与运算。
教 学 流 程 与 教 学 内
容
1、 创设情境： （1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С {2，3，4，5}等； （2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现 1 点}，C2={出现 2 点}，C3={出现 1 点或 2 点}，C4={出现的点数为偶数}„„ 师生共同讨论：观察上例，类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？ 2、 基本概念： （1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本 P115； （2）若 A∩B 为不可能事件，即 A∩B=ф ，那么称事件 A 与事件 B 互斥； （3）若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件；
1 1 ，P（B）= ，求出现奇数点或 2 点的概率之和。 2 6
P150 B 组 1，2 教 学 反 思 本课中概念多，学生易混淆。可多举生活上的实例，结合韦恩图，重点突出对立事件 互斥事件的概念的理解、概率公式及其关系。
1 ， 2
1 ，求出“出现奇数点或偶数点” ． 2
分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公 式求解． 例 3 如果从不包括大小王的 52 张扑克牌中随机抽取一张， 那么取到红心 （事件 A） 的概率是 取到方块（事件 B）的概率是
1 ， 4
1 ，问： 4
（1）取到红色牌（事件 C）的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件 D）的概率是多少？ 分析：事件 C 是事件 A 与事件 B 的并，且 A 与 B 互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解， 事件 C 与事件 D 是对立事件，因此 P(D)=1—P(C)． 例 4 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为 得到黑球或黄球的概率是 到绿球的概率各是多少？ 分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解． 4、巩固练习：P145 练习 1，2，4 P149 习题 3.1 A 组 1
第九课时 课题 知识与 三 维 教 学 目 标 能力
§3.2.3 互斥事件（二）
3.1.3 概率的基本性质 （1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、 对立事件的概念； （2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0， 因此 0≤P(A)≤1； 2） 当事件 A 与 B 互斥时， 满足加法公式： P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件 A 与 B 为对立事件，则 A∪B 为必然事件，所以 P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1—P(B) （AB 层）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与 联系. 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类 化与归纳的数学思想。 通过数学活动， 了解教学与实际生活的密切联系， 感受数学知识应用于现 实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。