北京市东城区2015届高三二模数学理试题_Word版含答案

北京市东城区学年度第二学期综合练习（二）
高三数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
（1）
（A ） （B ） （C ） （D ）
（2）设，，，则，，的大小关系是
（A ） （B ） （C ） （D ）
（3）已知为各项都是正数的等比数列，若，则
（A ） （B ） （C ） （D ）
（4）甲、乙两名同学次数学测验成绩如茎叶图所示，分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的平均数，
分别表示甲、乙两名同学次数学测验成绩的标准差，则有
（A ），
（B ），
（C ），
（D ），
（5）已知，是简单命题，那么“是真命题”是“是真命题”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（6）若实数满足不等式组则的取值范围是
（A ） （B ） （C ） （D ）
（7）定义在上的函数满足.当时，,当时，，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=
（A ） （B ） （C ） （D ）
（8）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定
原信息为，其中（），传输信息为，，，运算规则为：，，，．例如原信息为，则传输信息为．传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是
（A ） （B ） （C ） （D ）
第二部分（非选择题 共110分）
二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是，则 ，展开式中的常数项为 ．（用
数字作答）
（10）已知正数满足，那么的最小值为 ．
（11）若直线为参数与曲线为参数，有且只有一个公共点，则．
（12）若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，则．
（13）已知非零向量满足，与的夹角为，则的取值范围是．
（14）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”．
给出下列四个命题：
①若，则“距离坐标”为的点有且仅有个．
②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有个．
③若，则“距离坐标”为的点有且仅有个．
④若，则点的轨迹是一条过点的直线．
其中所有正确命题的序号为．
三、解答题（共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（15）（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的定义域及其最大值；
（Ⅱ）求在上的单调递增区间．
（16）（本小题共13分）
某校高一年级开设，，，，五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选课程，不选课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．
（Ⅰ）求甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率；
（Ⅱ）用表示甲、乙、丙选中课程的人数之和，求的分布列和数学期望．
（17）（本小题共14分）
如图，三棱柱的侧面是边长为的正方形，侧面侧面，，，是的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由．
（18）（本小题共13分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求在区间上的最小值；
（Ⅱ）求证：存在实数，有.
（19）（本小题共13分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为．（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，过原点与平行的直线与椭圆交于点．证明：．
（20）（本小题共14分）
已知数列的前项和为，且满足，，设，．
(Ⅰ)求证：数列是等比数列；
(Ⅱ)若，，求实数的最小值；
（Ⅲ）当时，给出一个新数列，其中设这个新数列的前项和为，若可以写成(且)的形式，则称为“指数型和”．问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．
北京市东城区学年度第二学期综合练习（二）
高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）D （3）B （4）B
（5）D （6）D （7）A （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）（10）
（11）（12）
（13）（14）（1）（2）（3）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）由，得．
所以的定义域为．…………………2分
因为，
，…………………6分
所以的最大值为．…………………7分（Ⅱ）函数的单调递增区间为（）
由，，且，
所以在上的单调递增区间为．……13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件为“甲同学选中课程”，事件为“乙同学选中课程”．
则，．
因为事件与相互独立，
所以甲同学选中课程且乙同学未选中课程的概率为
224
()()()()[1()]3515
P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分
（Ⅱ）设事件为“丙同学选中课程”． 则．
的可能取值为：．
1224
(0)()35575
P X P ABC ===
⨯⨯=． (1)()()()
P X P ABC P ABC P ABC ==++
2221321232035535535575
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++
2322231333335535535575
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575
P X P ABC ===
⨯⨯=． 为分布列为：
420331814028
()0123757575757515
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==．………13分 （17）（共14分）
（Ⅰ）证明：连接与相交于，则为的中点，连接．
因为为的中点， 所以∥．
因为平面，平面，
所以∥平面． ………4分
（Ⅱ）证明：，，在△中，，．
因为， 所以． 因为侧面侧面，
侧面侧面， 平面，
所以平面． ………8分
（Ⅲ）解：两两互相垂直，建立空间直角坐标系．
假设在线段上存在一点，使二面角为．
平面的法向量，设．
．
所以，．
设平面的法向量为，则
所以
令，得，，
所以的法向量为．
因为，
所以，解得，故．
因此在线段上存在一点，使二面角为，
且.………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）当时，，.
因为，
由，.
则，，关系如下：
↘极小值↗
所以当时，有最小值为.………5分
（Ⅱ）“存在实数，有”等价于的最大值大于.
因为，
所以当时，，，在上单调递增，
所以的最大值为.
所以当时命题成立.
当时，由得.
则时，，，关系如下：
（1）当时，，在上单调递减，
↘极小值↗所以的最大值.
所以当时命题成立.
（2）当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以的最大值为或. 且与必有一成立，
所以当时命题成立.
（3） 当时 ，，
所以在上单调递增， 所以的最大值为.
所以当时命题成立.
综上：对任意实数都存在使成立. ……13分 （19）（共13分）
解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，
由题意知解得，．
所以椭圆的标准方程为．……………………………5分
（Ⅱ）设直线的方程为：，则．
由得2222(1+4)161640k x k x k ++-=（*）．
设，，则，是方程（*）的两个根， 所以． 所以．
222222
28284||()()1414k k k AM k k
-++=+++． ．
22222
41218(1)
||||1414k k k AM AN k k +⋅++==
++． 设直线的方程为：．
由得． 设，则，． 所以，．
所以． ……………13分
（20）（共14分）
解：(Ⅰ) 因为1
1113
2332n n n n n n n b S S b ++++=-=+-=，
，且， 所以是首项为，公比为等比数列．
所以． ………4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得，
．
12
,123(3)2,2
n n n a n a a n --=⎧
=⎨⨯+-⨯≥⎩ 因为，
所以，且．
所以的最小值为． ………9分 （Ⅲ）由(Ⅰ)当时，
当时，，，
所以对正整数都有． 由，，(且)，只能是不小于3的奇数． ① 当为偶数时，，
因为和都是大于1的正整数， 所以存在正整数，使得，， ,，所以且，
相应的，即有，为“指数型和”； ② 当为奇数时，)1)(1(112-++++-=-p p t t t t t ， 由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数， 所以n p t t t t 2)1)(1(12=++++-- 不成立，
此时没有“指数型和”． ………14分。