2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期末考

试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合则集合（）A．B．C．D．

【答案】D

【解析】解方程组，得．故．选D．

2．若双曲线的一个焦点为，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以，故选B.

3．已知函数，则（）

A．B．C．D．1

【答案】A

【解析】根据分段函数的解析式，先求的值，从而可得的值.

【详解】

由得=＝，

则＝-1=，

故选：A．

【点睛】

本题考查求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该

段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．

4．已知且则向量在方向上的投影为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设与的夹角为

，

向量在方向上的投影为

故选

5．已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的前项和为（）A．B．C．或D．或

【答案】C

【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；然后求解等差数列的前n项和公式可得S n．

【详解】

设等差数列{a n}的公差为d，

∵a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．

∴a1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝0或4．

∴a n＝2，或a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．

当d＝0时，数列{a n}的前n项和为：2n；

当d＝4时，则数列{a n}的前n项和为：2n2n2．

故选：C．

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题．

6．函数的图像大致为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】分析：先求出函数的定义域，结合函数图象进行排除，再利用特殊值的符号得到答案．

详解：令，

得或，

故排除选项A、D，

由，故排除选项C，

故选B．

点睛：本题考查函数的图象和性质等知识，意在考查学生的识图能力．

7．设是所在平面内的一点，，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】将移项利用向量的加减法法则即可得到答案.

【详解】

移项得=,

则，

故选：B

【点睛】

本题考查向量的加减法运算，属于基础题．

8．下列命题正确的是（）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【答案】C

【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.

9．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为

常数且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的

距离为2,动点满足当不共线时，面积的最大值是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】如图，以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：设

，两边平方并整理得：

，．面积的最大值是

选A

10．已知函数，则的最小正周期和一个单调递减区间分别为（）

A．，B．，C．，D．，

【答案】C

【解析】利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将f（x）进行化简，结合正弦函数图像的性质求解即可.

【详解】

由f（x）＝2sin2x+2sin x cos x＝sin2x﹣cos2x+1＝sin（2x﹣）+1

∴f（x）的最小正周期T＝，

当时函数单调递减，

解得：，（k∈Z）

当k＝0时，得f（x）的一个单调减区间．

故选：C．

【点睛】

本题考查正余弦二倍角公式和辅助角公式的应用，考查正弦函数图像的性质，属于基础题.

11．设函数则不等式的解集为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则有f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得x的取值范围，即可得答案．

【详解】

根据题意，函数f（x）＝2x﹣2﹣x，

则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，

又由f（x）＝2x﹣2﹣x，其导数为f′（x）＝（2x+2﹣x）ln2＞0，

则函数f（x）在R上为增函数，

则

f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得：x＜1，

即不等式的解集为（﹣∞，1）；

故选：A．

【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题．

12．在底面是边长为2的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形

的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】易知P﹣ABCD为正四棱锥，内切球球心为两斜高与底面中线所成正三角形的中心，外接球半径需通过方程解得，求解过程不难．

【详解】

如图，E，F为AB，CD的中点，

由题意，P﹣ABCD为正四棱锥，

底边长为2，

∵BC∥AD，

∴∠PBC即为PB与AD所成角，

可得斜高为2，

∴△PEF为正三角形，

正四棱锥P﹣ABCD的内切球半径

即为△PEF的内切圆半径，