函数的最大值与最小值

=f(x0)，x0是极小值点。
极大值与极小值统称为极值.
注
意
1 、在定义中，取得极值的点称为极值
点，极值点是自变量 (x) 的值，极值指
的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念，极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大
或最小,并不意味着它在函数的整个的定义
域内最大或最小。
3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一 个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x1 是极大值点，x4是极小值点，而 f ( x4 ) f ( x1 )
2、求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (x为极值点.) (2)求方程f′(x)=0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间，并 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的
值的符号，求出极大值和极小值. 注意: 如果函数f(x)在x0处取得极值,
一个为最小值． 注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大
值(或极小值)，则该极大值(或极小值)即为函数
f(x)在区间[a,b]内的最大值(或最小值)．
三、数学应用 例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5] 内的最大值和最小值
解: f′(x)=2x- 4 令f′(x)=0，即2x–4=0，得x=2 x
就意味着 f ( x0 ) 0
'
二、新课讲授 1、最值的概念(最大值与最小值) 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函 数f(x)在定义域上的最大值； 如果在函数定义域I内存在x0,使得对任 意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函 数f(x)在定义域上的最小值. 最值是相对函数定义域整体而言的.
解： 函数f(x)的最大值 是π,
最小值是0.
a, b
f ( x)
注意:
1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
2.最大值一定比最小值大.
2、如何求函数的最值?
(1)利用函数的单调性;
如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.
(2)利用函数的图象; 如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值. (3)利用函数的导数;
3、利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值 的步骤: (1)求f(x)在区间[a,b]内极值； (极大值或极小值) (2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的
函数的最大值与最小值
一wk.baidu.com知识回顾：
1、函数极值的定义
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我 们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值=f(x0)， x0是极大值点。 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，
我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值
f ( x)
1 （1，2） 2 /
（2 ，5 ）
5 /
11
-
0
2
+
f ( x) 3
故函数f(x)在区间[1，5]内的最大值为11， 最小值为2．
练 习
1 4 1 3 1 2 函数 y x x x ，在 4 3 2
［－1，1］上的最小值为(
A.0 B.－2 C.－1
A
)
D.13/12
1 求f(x) x sinx在区间 例 2、 2 [0，2π]上的最值 .