圆的一般方程ppt课件
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联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 4)2 ( y 3)2 25.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
圆的方程.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
解得D 8, E 6, F 0.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
则
a 2 b2 r 2
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
x
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
定点： B(4,3) ，
定圆：( x 1) 2 y 2 4 .
A (主动点)
M (从动点)
x0 4
y0 3
x
,y
.
2
2
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
而方程 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 配方后得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，
方程无意义，不表示任何图形.
形成概念
一般地，把方程 x 2 y 2 Dx Fy E 0 配方可得：
2
2
D
E
D 2 E 2 4F
2
2
1
D2 E 2 4F
2
2.一般方程
配方
标准方程
展开
3.用待定系数法求圆的一般方程.
4. 类比：类比直线的一般式方程的获得过程，由圆的标准方程
得到圆的一般式方程.
作业
1. 求下列各圆的方程，并画出图形：
（1）圆心为点C（8，-3），且过点A（5，1）；
（2）过A（－1，5），B（5，5），C（6，－2）三点．
圆的方程.
解 (法1：待定系数法)
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将P,Q的坐标分别代入上式,
得
4 -2 +
+ 20 = 0,
-3 - -10 = 0.
令 x=0,得 y2+Ey+F=0,
①
②
③
由已知得|y1-y2|=4 3,其中 y1,y2 是方程③的根,
∴|y1-y2|2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2 -4F=48.
x y
2
2
4
D
E
1
2
2
(1)当 D E 4 F 0 时，方程表示以 ， 为圆心， D 2 E 2 4 F
2
2
2
为半径的圆；
D
E
2
2
(2)当 D E 4 F 0 时，方程表示一个点 ， ；
2
2
(3)当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程无解，不表示任何图形.
圆的一般方程
从上面的分析可知，任何一个圆的方程都可以写成
x 2 y 2 Dx Ey F 0
的形式；反过来，当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程才表示一个圆，我们把它
叫做圆的一般方程.
y
A(x0,y0)
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
2
2
(
x
1)
y
由于A在圆上，则 0
0 4.
(2 x 4 1) 2 （2 y 3）2 4，
3 2
3 2
( x ) （y ） 1.
2
2
x
相关点法步骤：
（1）设动点坐标为（，）（求谁设谁）
（2）用动点坐标把相关点的坐标表示出来
4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(
√)
×)
例
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径.
解
由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
1
－∞，
1
解得 m< ，即实数 m 的取值范围为
5.
5
法二：将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m
4
y
(2)求 的取值范围．
x
2.4.2 圆的一般方程
问题 直线方程有哪些形式？
直线的倾斜角和斜率
过两点的直线斜率公式
直线的两
点式方程
直线的点斜式方程
直线的一般式方程
斜截式方程
截距式方程
课堂导入
将圆的标准方程
展开得
( x 1)2 ( y 2)2 4
x y 2 x 4 y 1 0
成圆的标准方程？ 一般地，方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 中的D，E，F
满足什么条件时，这个方程表示圆？
分析：对于方程
x 2 y 2 2x 4 y 1 0
将其配方可得
( x 1)2 ( y 2)2 4
方程表示以(1，-2)为圆心，半径为2的圆；
注：圆的一般式突出了代数方程的形式结构：
(1) x2 和y2 系数相同，都不等于0；
(2) 没有xy 这样的二次项.
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
方程
标准方程
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
x 2 y 2 Dx Ey F 0
代数特征
平方和
(*)
由已知得圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3,而圆心 C 到 y 轴的距离为|a|,
∴r =a
2
4 3 2
+( ) ,代入(*)式整理得 a2-6a+5=1,a2=5,∴r1= 13,r2= 37.
故圆的方程为(x-1)2+y2=13 或(x-5)2+(y-4)2=37.
故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解1：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
F 0
则 D E F 2 0 ，
4 D 2 E F 20 0
2. 平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），
D（-1，2）四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？
3. 已知等腰三角形ABC的顶点为A（4，2），端点为B（3，5），求
另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形．
④
联立①②④解得
= -2,
= 0, 或
= -12
= -10,
2
2
2
2
故圆的方程为
x
+y
-2x-12=0
或
x
+y
-10x-8y+4=0.
= -8,
= 4.
(方法2 几何法)
由题意得线段PQ的垂直平分线的方程为x-y-1=0,
∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上,
设其坐标为(a,a-1).
又圆 C 的半径长 r=|CP|= ( -4)2 + ( + 1)2 .
＝2，可知 C 正确.
4－3
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
追问：什么是轨迹和轨迹方程？
直线：在平面直角坐标系中，与定点连线
的倾斜角为定值的点的集合；
圆： 在平面直角坐标系中，到定点的距离
等于定长的点的集合.
y
A(x0,y0)
特殊的二元二次方程
系数
圆心
半径
r2 0
（a,b）
D2 E 2 4F 0
r
一般方程
D E
,- ）
2
2
1
2
2
D E 4F
2
（-
思考辨析 判断正误
1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.(
×)
2.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(
√)
3.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(
2
2
2
(1
a
)
(1
b
)
r
，
2
2
2
(4
a
)
(2
b
)
r
解得a 4, b 3, r 5.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解3：(几何方法)
线段OM 1的垂直平分线方程为
y
1
1
( x ),即x y 1 0.
2
2
y
l
l′
•
M2(4,2)
M1(1,1)
•
•
x
O(0,
0)
•
线段OM 2的垂直平分线方程为
y 1 2( x 2),即2 x y 5 0.
x y 1 0
2
2
x y D x E y F 0
2
2
由上可知，任何一个圆的标准方程都可变形成二元二次方程，反过来，
二元二次方程一定能变形成圆的标准方程吗？
课堂导入
思考：方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 和 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 能不能变形
（3）把相关点的坐标代入已知的轨迹
（4）整理化简，得到动点的轨迹方程.
课堂小结
2
2
1.任何一个圆的方程可以写成 x y Dx Ey F 0（1）的形式，但方程（1）
表示的不一定是圆，只有 D E 4 F 0时，方程表示圆心为
2
为r
2
D E
，半径
，
练习.（1）已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求
最大值与最小值.
+1
2
+ + 1 2的
（2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到
直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
思考： 已知 x 和 y
(1)求
1
2
2
满足(x＋1) ＋y ＝ ，
x2＋y2 的最值．
练习：若点 M(3,0)是圆 x2＋y2－8x－4y＋10＝0 内一点，则过点 M(3,0)的最长的弦
所在的直线方程是(
A.x＋y－3＝0
)
B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0
D.2x＋y－6＝0
C
解析：圆 x2＋y2－8x－4y＋10＝0 的圆心坐标为(4,2)，则过点 M(3,0)
2－0
且过圆心(4,2)的弦最长.由 k＝
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 4)2 ( y 3)2 25.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
圆的方程.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
解得D 8, E 6, F 0.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
则
a 2 b2 r 2
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
x
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
定点： B(4,3) ，
定圆：( x 1) 2 y 2 4 .
A (主动点)
M (从动点)
x0 4
y0 3
x
,y
.
2
2
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
而方程 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 配方后得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，
方程无意义，不表示任何图形.
形成概念
一般地，把方程 x 2 y 2 Dx Fy E 0 配方可得：
2
2
D
E
D 2 E 2 4F
2
2
1
D2 E 2 4F
2
2.一般方程
配方
标准方程
展开
3.用待定系数法求圆的一般方程.
4. 类比：类比直线的一般式方程的获得过程，由圆的标准方程
得到圆的一般式方程.
作业
1. 求下列各圆的方程，并画出图形：
（1）圆心为点C（8，-3），且过点A（5，1）；
（2）过A（－1，5），B（5，5），C（6，－2）三点．
圆的方程.
解 (法1：待定系数法)
设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
将P,Q的坐标分别代入上式,
得
4 -2 +
+ 20 = 0,
-3 - -10 = 0.
令 x=0,得 y2+Ey+F=0,
①
②
③
由已知得|y1-y2|=4 3,其中 y1,y2 是方程③的根,
∴|y1-y2|2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2 -4F=48.
x y
2
2
4
D
E
1
2
2
(1)当 D E 4 F 0 时，方程表示以 ， 为圆心， D 2 E 2 4 F
2
2
2
为半径的圆；
D
E
2
2
(2)当 D E 4 F 0 时，方程表示一个点 ， ；
2
2
(3)当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程无解，不表示任何图形.
圆的一般方程
从上面的分析可知，任何一个圆的方程都可以写成
x 2 y 2 Dx Ey F 0
的形式；反过来，当 D 2 E 2 4 F 0 时，方程才表示一个圆，我们把它
叫做圆的一般方程.
y
A(x0,y0)
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
2
2
(
x
1)
y
由于A在圆上，则 0
0 4.
(2 x 4 1) 2 （2 y 3）2 4，
3 2
3 2
( x ) （y ） 1.
2
2
x
相关点法步骤：
（1）设动点坐标为（，）（求谁设谁）
（2）用动点坐标把相关点的坐标表示出来
4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(
√)
×)
例
若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.
(1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径.
解
由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
1
－∞，
1
解得 m< ，即实数 m 的取值范围为
5.
5
法二：将方程 x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m
4
y
(2)求 的取值范围．
x
2.4.2 圆的一般方程
问题 直线方程有哪些形式？
直线的倾斜角和斜率
过两点的直线斜率公式
直线的两
点式方程
直线的点斜式方程
直线的一般式方程
斜截式方程
截距式方程
课堂导入
将圆的标准方程
展开得
( x 1)2 ( y 2)2 4
x y 2 x 4 y 1 0
成圆的标准方程？ 一般地，方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 中的D，E，F
满足什么条件时，这个方程表示圆？
分析：对于方程
x 2 y 2 2x 4 y 1 0
将其配方可得
( x 1)2 ( y 2)2 4
方程表示以(1，-2)为圆心，半径为2的圆；
注：圆的一般式突出了代数方程的形式结构：
(1) x2 和y2 系数相同，都不等于0；
(2) 没有xy 这样的二次项.
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？
方程
标准方程
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
x 2 y 2 Dx Ey F 0
代数特征
平方和
(*)
由已知得圆 C 截 y 轴所得的线段长为 4 3,而圆心 C 到 y 轴的距离为|a|,
∴r =a
2
4 3 2
+( ) ,代入(*)式整理得 a2-6a+5=1,a2=5,∴r1= 13,r2= 37.
故圆的方程为(x-1)2+y2=13 或(x-5)2+(y-4)2=37.
故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解1：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
F 0
则 D E F 2 0 ，
4 D 2 E F 20 0
2. 平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），
D（-1，2）四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？
3. 已知等腰三角形ABC的顶点为A（4，2），端点为B（3，5），求
另一个端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形．
④
联立①②④解得
= -2,
= 0, 或
= -12
= -10,
2
2
2
2
故圆的方程为
x
+y
-2x-12=0
或
x
+y
-10x-8y+4=0.
= -8,
= 4.
(方法2 几何法)
由题意得线段PQ的垂直平分线的方程为x-y-1=0,
∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上,
设其坐标为(a,a-1).
又圆 C 的半径长 r=|CP|= ( -4)2 + ( + 1)2 .
＝2，可知 C 正确.
4－3
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
追问：什么是轨迹和轨迹方程？
直线：在平面直角坐标系中，与定点连线
的倾斜角为定值的点的集合；
圆： 在平面直角坐标系中，到定点的距离
等于定长的点的集合.
y
A(x0,y0)
特殊的二元二次方程
系数
圆心
半径
r2 0
（a,b）
D2 E 2 4F 0
r
一般方程
D E
,- ）
2
2
1
2
2
D E 4F
2
（-
思考辨析 判断正误
1.方程x2＋y2＋x＋1＝0表示一个圆.(
×)
2.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(
√)
3.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(
2
2
2
(1
a
)
(1
b
)
r
，
2
2
2
(4
a
)
(2
b
)
r
解得a 4, b 3, r 5.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解3：(几何方法)
线段OM 1的垂直平分线方程为
y
1
1
( x ),即x y 1 0.
2
2
y
l
l′
•
M2(4,2)
M1(1,1)
•
•
x
O(0,
0)
•
线段OM 2的垂直平分线方程为
y 1 2( x 2),即2 x y 5 0.
x y 1 0
2
2
x y D x E y F 0
2
2
由上可知，任何一个圆的标准方程都可变形成二元二次方程，反过来，
二元二次方程一定能变形成圆的标准方程吗？
课堂导入
思考：方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 和 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 能不能变形
（3）把相关点的坐标代入已知的轨迹
（4）整理化简，得到动点的轨迹方程.
课堂小结
2
2
1.任何一个圆的方程可以写成 x y Dx Ey F 0（1）的形式，但方程（1）
表示的不一定是圆，只有 D E 4 F 0时，方程表示圆心为
2
为r
2
D E
，半径
，
练习.（1）已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求
最大值与最小值.
+1
2
+ + 1 2的
（2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到
直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
思考： 已知 x 和 y
(1)求
1
2
2
满足(x＋1) ＋y ＝ ，
x2＋y2 的最值．
练习：若点 M(3,0)是圆 x2＋y2－8x－4y＋10＝0 内一点，则过点 M(3,0)的最长的弦
所在的直线方程是(
A.x＋y－3＝0
)
B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0
D.2x＋y－6＝0
C
解析：圆 x2＋y2－8x－4y＋10＝0 的圆心坐标为(4,2)，则过点 M(3,0)
2－0
且过圆心(4,2)的弦最长.由 k＝