4.5 函数的极值与最大(小)值

y y y
O a
bx
O a
b x
O
a
b x
1.最值可以在区间的端点或极值点取得 最值可以在区间的端点或极值点取得, 最值可以在区间的端点或极值点取得 而极值只能在区间内部取得. 而极值只能在区间内部取得 2.当函数在区间上严格单调时，其最大 当函数在区间上严格单调时， 当函数在区间上严格单调时 值和最小值必在端点取到。 值和最小值必在端点取到。
O
x x
x0 可能是 f ( x ) 的极值点 , 也可能不是 f ( x ) 的极值点 . 需要进一步判别 .
例. 求函数 y = x 3 + 3 x 2 − 24 x − 20的极值 . 解
y′ = 3 x 2 + 6 x − 24 = 3( x + 4)( x − 2)
令 y′ = 0 ,
y′′ = 6 x + 6 且
x ∈ [0, 1]
1 由于 f ( x ) 在 [0，] 上处处二阶可导 , 且
f ′( x ) = 2 x ln 2 − 2 x , f ′′( x ) = 2 x (ln 2)2 − 2 ;
f ′( 0) = ln 2 > 0 , f ′(1) = 2 ln 2 − 2 < 0
1 由 f ′( x ) 在 [0，] 上的连续性可知 f ′( x ) 在 ( 0, 1 ) 内 必有一个零点 , 即f ( x )在(0,1)内有驻点. 又由于
得驻点 x1 = −4, x2 = 2
y′′( −4) = −18 < 0 , y′′( 2) = 18 > 0
极大值 y( −4) = 60,极小值 y( 2) = −48.
二、最大值和最小值
函数f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上必有最大值和最小值. 函数f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上必有最大值和最小值. f(x) 上连续 [a,b]上必有最大值和最小值
4 . 由性质 .4(4.5)可知:求函数的极值即讨论函 数的单调性 求极值点即求单调性改 变的点 .
例、求函数 y = 33 x 2 − 2 x的极值 .
解
D( f ) = R
y′ = 2( x
−
1 3
− 1)
f ( x )有不可导点 x 1 = 0和驻点 x 2 = 1 . −∞ x (−∞ ,0)
若 x ∈ ( x 0 − δ , x 0 ) 时 , f ′( x ) < 0 ( f ′ ( x ) > 0 )
x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) 时 , f ′ ( x ) > 0 ( f ′( x ) < 0 )
的极小（ 值点； 则 x0 是 f ( x ) 的极小（大）值点；
若 f ′( x ) 在 ( x0 − δ , x0 ) U ( x0 , x0 + δ ) 内保号 , 则 x0 不是 f ( x ) 的极值点 .
f ′′( x ) = 2 x (ln 2)2 − 2 < 2[(ln 2)2 − 1] < 0,
f ′( x ) 在 [0, 1] 上严格单减 ,
x ∈ (0, 1)
从而 f ( x ) = 2 x − x 2 − 1 在 (0, 1) 内有唯一驻点 ,
且在驻点处取得极大值 , 从而在驻点处取得最大 值 ,
因边际成本为 C ′ ( x ) = 3 ax 2 − 2 bx + c
故生产 x 0单位产品的相应的边际 成本为 b b 2 b 4ac − b ) = 3a ( ) − 2b( ) + c = 2a 2a 2a 4a 可见， 于相应的边际成本。 可见，最小平均成本等 于相应的边际成本。 C ( x) d 2C 一般地， 可导， 一般地，如果平均成本 C ( x ) = 可导，且 > 0, 2 x dx 取得极小值时， 则当C ( x )取得极小值时，必有 xC ′( x ) − C ( x ) 1 ′ = (C ′( x ) − C ( x )) 0 = C ( x) = 2 x x C 的点为唯一驻点。 即满足 ′( x) = C( x)的点为唯一驻点。 故对一般成本函数， 小平均成本等于相应的 边际成本。 故对一般成本函数，最 边际成本。 C ′(
类似地可证 , f ′′( x0 ) < 0 时 , x0 为 f ( x ) 的极大值点 .
当 f ′′( x0 ) = 0 时 , 由 y = x 3 和 y = x 4 在 x = 0 点的情形,
y
y=x
3
y
f ′′(0) = 0 0不是极值点 .
O
y = x4
f ′′(0) = 0
0是极值点 .
§4.5 函数的极值与最大 (小) 值
一、极 值 二、最大值和最小值
一、极值
y
+ −
O
x0
x
性质4.4 性质
, 设 f ( x) 在 x0 点连续
若 f ( x ) 在 x0 的左邻域内单减 , 右邻域内单增 , 则 x0 是 f ( x ) 的极小值点; 若 f ( x ) 在 x0 的左邻域内单增 , 右邻域内单减 , 则 x0 是 f ( x ) 的极大值点; 若 f ( x ) 在 x0 点的左右邻域内单调性 一致 ,
Q = 10Q − − 1000 − 8Q 100 Q2 =− + 2Q − 1000 100 由L′(Q ) = −0.02Q + 2 = 0, 得唯一驻点 Q = 100. 是极大值点， 又L′′(Q ) = −0.02 < 0可知Q = 100是极大值点，即最大值 点. 故当需求量Q 个单位时， 故当需求量 为100个单位时，总利润最大 . 个单位时
2
种产品 个单位的总成本为 x个单位的总成本为 例、设某厂每批生产某 C( x) = ax3 − bx2 + cx (a > 0, b > 0,c > 0) 的产品， 问每批生产多少个单位 的产品，其平均成本最 ？ 小 相应的边际成本。 并求其最小平均成本和 相应的边际成本。 C ( x) 解: 平均成本为 C ( x) = = ax 2 − bx + c x b ′ 由C ( x ) = 2ax − b = 0 ⇒ 唯一驻点 x 0 = 2a ″ 又由C ( x0 ) = 2a > 0 b 为极小值点， 最小值点。 ⇒ 驻点 x0 = 为极小值点，同时也是 最小值点。 2a b 个单位时， 小并且为： 故当每批产量为 个单位时，平均成本最 小并且为： 2a 2 b b b 4ac − b 2 C = a − b + c = 4a 2a 2a 2a
若 f ′′( x0 ) > 0 , 则 x0 为 f ( x ) 的极小值点; 若 f ′′( x0 ) < 0 , 则 x0 为 f ( x ) 的极大值点;
若 f ′′( x0 ) = 0 , 则 x0 是否为 f ( x ) 的极值点还 需另外判别.
证明
若 f ′′( x0 ) > 0 , 则由极限性质的局部保 号性 知道 ,
[a , b] 上的最大值（或最小值 ） 上的最大值（ ,
上的最小值（ 这时 f ( x ) 在 [a , b] 上的最小值（或最大值 ）一 中的最小者（ . 定是 f (a ) 和 f (b ) 中的最小者（或最大者 ）
x 例.求 y = xe − x， ∈ [0, 2]的最值 .
解
y′ = (1 − x )e − x ,
解方程 f ′( x ) = 0, 得
x1 = −2, x2 = 1.
f ( −2) = 34;
计算
f (1) = 7;
f ( −3) = 23; f (4) = 142; 比较得： 比较得： 最大值 f (4) = 142， 最小值 f (1) = 7.
时 f 只有唯一驻点， 常常在求实际问题最值 ，可导函数 (x)只有唯一驻点，
2
最值的其它应用: 最值的其它应用:
x x x . 明 程 例证 方 1 − x + − + = 0无 根. 实 2 3 4 x2 x3 x4 证: 令f ( x ) = 1 − x + − + 2 3 4
′( x ) = −1 + x − x 2 + x 3 = ( x − 1)( x 2 + 1) = 0 则f
值点． 若验证它为极大 (小)值点, 则该点即为所求的最大 (小)值点．
推论： 推论：设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续 , 在 (a , b )内可导 ,
若 f ( x) 在(a, b)内有唯一驻点x0 , 且 f ( x0 ) 是 极大值(或极小值), 那么, f ( x0 ) 一定是 f ( x ) 在 (或极小值
这时最小值是 f (0) = f (1) = 0
因此 x ∈ [0, 1] 时 ,
f ( x) ≥ 0
即
2 x ≥ x 2 + 1,
x ∈ [0, 1]
利用最值可证明不等式. 利用最值可证明不等式
例.
设 f ( x ) 在 [a , b] 上满足 f ′′( x ) > 0 , f (a ) > f (b ) , 且有唯一的 x 0 ∈ ( a , b ) , 使得 f ′( x 0 ) = 0 . 试确定
轴无交点； 1 （）何时 y = f ( x ) 与 x 轴无交点； 轴有惟一交点； （2 何时 y = f ( x ) 与 x 轴有惟一交点； ） （3 何时 y = f ( x ) 与 x 轴有两个交点 . ）
f′
0
(0,1)
1
(1,+∞ )
f
− ↓
不存在
+