高中数知识讲解_函数的极值与最值提高
高中数学中的函数的极值与最值分析
高中数学中的函数的极值与最值分析在高中数学中，函数的极值与最值是一个重要的概念。
理解和分析函数的极值与最值对于解决数学问题、优化模型以及应用实例都是至关重要的。
首先，我们需要了解什么是函数的极值与最值。
函数的极值指的是函数在某一区间内的最大值和最小值，可以分为极大值和极小值。
而最值则是指函数在整个定义域内的最大值和最小值。
接下来，让我们看一下如何分析函数的极值与最值。
第一步是寻找函数的驻点。
驻点是函数图像上的拐点，对应于导数为零或不存在的点。
通过求解函数的导数等于零的方程，我们可以找到驻点的横坐标。
第二步是寻找函数的不可导点。
不可导点通常出现在函数图像的尖点、长尾等特殊点上。
对于这些点，我们需要进一步研究函数在该点的极值情况。
第三步是分析函数的极值。
通过求解导数的二阶导数等于零的方程，我们可以确定函数在驻点和不可导点处的极值情况。
通过计算得出的极值可以判断函数的相对最值。
第四步是研究函数的端点。
函数的端点是定义域的边界，可能包含函数的最值。
通过计算函数的极限，我们可以确定函数在端点处的值，进而确定函数的最大值和最小值。
最后，进行整体分析。
将以上步骤得出的极值和最值进行比较，找出函数在整个定义域上的最大值和最小值。
在这一过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性等前提条件。
除了以上方法，还可以利用数学软件进行函数的图像绘制和分析。
数学软件可以快速计算导数和二阶导数，帮助我们找到函数的极值点，并进一步分析最值。
函数的极值与最值分析在数学问题和实际应用中扮演着重要的角色。
例如，在优化问题中，我们可以通过分析函数的极值来确定最优解。
在经济学、物理学等领域，函数的极值和最值也都有着广泛的应用。
总结而言，函数的极值与最值分析是高中数学中的重要内容。
通过寻找驻点、不可导点以及端点，我们可以确定函数的极值和最值。
这对于解决问题、优化模型以及应用实例都有着重要的意义。
通过合理的方法和工具，我们能够更好地理解和应用函数的极值与最值。
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题
高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
高中数学知识点总结及公式大全导数与函数的极值与最值
高中数学知识点总结及公式大全导数与函数的极值与最值高中数学知识点总结及公式大全：导数与函数的极值与最值数学作为一门基础学科，是中学阶段学习中的重要科目之一。
其中，数学的知识点及公式涵盖了广泛的内容，为学生的数学学习和应用提供了基础。
导数与函数的极值与最值是高中数学中的一个重要知识点，本文将对该知识点进行总结，并提供相应的公式大全，以帮助学生更好地理解和掌握。
一、导数导数是函数求取变化率的数学工具，它描述了函数在某一点上的斜率或变化速率。
导数的概念和运算规则对理解函数的性质及相关应用都具有重要意义。
1. 导数的定义导数的定义是函数在某一点处的极限，表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)((f(x+Δx)-f(x))/Δx)其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
根据上述定义，导数可解释为函数在该点上的切线与x轴正方向之间的夹角的正切值，即斜率。
2. 常见函数的导数公式为了更方便地计算函数的导数，在高中数学中，有一些常见函数的导数公式需要记忆。
这些公式如下：常数函数：(C)' = 0幂函数：(x^n)' = n*x^(n-1)指数函数：(a^x)' = a^x*ln(a)，其中a为常数对数函数：(log┬a(x))' = 1/(x*ln(a))，其中a为常数三角函数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)反三角函数：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)和、差、积、商的导数公式：(u±v)' = u'±v'，(u*v)' = u'*v+v'*u，(u/v)' = (u'*v-v'*u)/v^2复合函数的导数公式：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)二、函数的极值与最值函数的极值与最值是指函数在定义域内的局部最大值和最小值。
高中数学《函数的极值》知识点讲解及重点练习
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时 函数的极值学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一 函数极值的定义1．极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．知识点二 函数极值的求法与步骤1．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)列表；(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．1．导数为0的点一定是极值点．( × )2．函数的极大值一定大于极小值．( × )3．函数y＝f(x)一定有极大值和极小值．( × )4．函数的极值点是自变量的值，极值是函数值．( √ )一、求函数的极值例1 求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋5；(2)f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x －9，令f ′(x )＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－1时，函数y ＝f (x )有极大值，且f (－1)＝10；当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22.(2) f (x )＝x －a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0，知①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况．跟踪训练1 (1)求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值．解 函数f (x )的定义域为R .f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f ′(x )－0＋0－f (x )↘极小值↗极大值↘由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1.(2)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋1，a ∈R .求此函数的极值．解 函数的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝1－ax 2＝x 2－ax2.当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时函数f (x )在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－a )－a (－a ，0)(0，a )a (a ，＋∞)f ′(x )＋0－－0＋f (x )↗极大值↘↘极小值↗由上表可知，当x ＝－a 时，函数取得极大值f (－a )＝－2a ＋1.当x ＝a 时，函数取得极小值f (a )＝2a ＋1.综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝－a 处取得极大值－2a ＋1，在x ＝a 处取得极小值2a ＋1.二、由极值求参数的值或取值范围例2 (1)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________.答案 4 －11解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得Error!即Error!解得Error!或Error!但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以Error!不符合题意，应舍去．而当a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.(2)已知函数f (x )＝13x 3－12(m ＋3)x 2＋(m ＋6)x (x ∈R ，m 为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m 的取值范围．解 f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6.因为函数f (x )在(1，＋∞)内有两个极值点，所以f ′(x )＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6在(1，＋∞)内与x 轴有两个不同的交点，如图所示．所以Error!解得m >3.故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．反思感悟 已知函数的极值求参数的方法(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．跟踪训练2 (1)若函数f (x )＝ax －ln x 在x ＝22处取得极值，则实数a 的值为( )A.2B.22C ．2 D.12答案 A解析 因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(22)＝0，即a －122＝0，解得a ＝2.(2)已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1.①若函数的极大值点是－1，求a 的值；②若函数f (x )有一正一负两个极值点，求a 的取值范围．解 ①f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意得，f ′(－1)＝1＋2＋a ＝0，解得a ＝－3，则f ′(x )＝x 2－2x －3，经验证可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值，故a ＝－3.②由题意得，方程x 2－2x ＋a ＝0有一正一负两个根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝a <0，故a 的取值范围是(－∞，0)．三、利用函数极值解决函数零点(方程根)问题例3 已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝13f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 由f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，可得f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，13 f ′(x )＋5x ＋m ＝13(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m .则由题意可得x 3－6x 2＋9x ＋3＝x 2＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根，即g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点．∵g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，∴令g ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝4.当x 变化时，g (x )，g ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，23)23(23，4)4(4，＋∞)g ′(x )＋0－0＋g (x )↗极大值↘极小值↗则函数g (x )的极大值为g (23)＝6827－m ，极小值为g (4)＝－16－m .由g (x )的图象与x 轴有三个不同的交点，得Error!解得－16<m <6827.∴实数m 的取值范围为(－16，6827).反思感悟 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．(2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．跟踪训练3 若函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象与直线y ＝a 恰有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．答案 (－43，283)解析 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－43<a <283.1．(多选)函数f (x )的定义域为R ，它的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，则下面结论正确的是( )A．在(1,2)上函数f(x)单调递增B．在(3,4)上函数f(x)单调递减C．在(1,3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点答案 ABC解析 由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当2＜x＜4时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当4＜x＜5时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．2．(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)答案 AB解析 ∵f′(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，∴f′(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，由f′(x)＞0得x＜2或x＞3.3．设函数f(x)＝x e x，则( )A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点答案 D解析 令f′(x)＝e x＋x·e x＝(1＋x)e x＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故x＝－1为f(x)的极小值点．4．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．答案 2解析 由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x ＝2.列表如下：x (－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f ′(x )＋0－0＋f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝2时，f (x )取得极小值．5．已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是y ＝f (x )的极值点，则a ＝___________，b ＝________.答案 2 －4解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意知Error!即Error!解得Error!经验证知符合题意．1．知识清单：(1)函数极值的定义．(2)函数极值的判定及求法．(3)函数极值的应用．2．方法归纳：方程思想、分类讨论．3．常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件．1．下列函数中存在极值的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝2D ．y ＝x 3答案 B解析 对于y ＝x －e x ，y ′＝1－e x ，令y ′＝0，得x ＝0.在区间(－∞，0)上，y ′>0；在区间(0，＋∞)上，y ′<0.故当x ＝0时，函数y ＝x －e x 取得极大值．2．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)答案 D解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．3．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e)上的极大值为( )A ．－e B ．－1C ．1－e D ．0答案 B解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，e)时，f ′(x )<0，故f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.4．已知a 是函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( )A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.5．(多选)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的值可以是( )A ．－4 B ．－3 C ．6 D ．8答案 AD解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)＝0有两个不相等的根，所以Δ＝4a 2－12(a ＋6)>0，解得a >6或a <－3.6．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．答案 －12解析 f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1；令f ′(x )>0，得－2<x <1.所以f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增，所以f (x )极小值 ＝f (－2)＝－12.7．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点，则常数a ＝________.答案 －23解析 因为f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1，由题意得Error!所以a ＝－23.8．已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，如果函数f (x )在x ＝1处取得极值－43，则b ＝________，c ＝________.答案 －1 3解析 f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由Error!解得Error!或Error!若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值；若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)，当－3<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43.故b ＝－1，c ＝3即为所求．9.设函数f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．解 (1)f ′(x )＝a x －12x 2＋32(x >0)．由题意知，曲线在x ＝1处的切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上单调递增．故f (x )在x ＝1处取得极小值，极小值为f (1)＝3，无极大值．10．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .(1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1.令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－13)－13(－13，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值 ↗∴f(x)的极大值是f (－13)＝527＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f (－13)＝527＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即527＋a<0或a－1>0，∴a<－527或a>1，∴当a∈(－∞，－527)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．11．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )答案 C解析 因为f(x)在x＝－2处取得极小值，所以当x＜－2时，f(x)单调递减，即f ′(x )＜0；当x ＞－2时，f (x )单调递增，即f ′(x )＞0.所以当x ＜－2时，y ＝xf ′(x )＞0；当x ＝－2时，y ＝xf ′(x )＝0；当－2＜x ＜0时，y ＝xf ′(x )＜0；当x ＝0时，y ＝xf ′(x )＝0；当x ＞0时，y ＝xf ′(x )＞0.结合选项中的图象知选C.12．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为________．答案 y ＝－1e解析 由题意知y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为(－1，－1e )，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e.13．若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．答案 [1,5)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ，函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点，即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根．又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足Error!∴Error!∴1≤a <5.14．若函数f (x )＝x 3－3ax ＋1在区间(0,1)内有极小值，则a 的取值范围为________．答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a .当a ≤0时，在区间 (0,1)上无极值．当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a 或x <－a .令f ′(x )<0，解得－a <x <a .若f (x )在(0,1)内有极小值，则0<a <1.15．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，且f (x )在x ＝x 0与x ＝2处取得极值，则f (1)＋f (－1)的值一定( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于0答案 B解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .令f ′(x )＝0，则x 0和2是该方程的根．∴x 0＋2＝－2b 3a <0，即b a>0.由题图知，f ′(x )<0的解集为(x 0,2)，∴3a >0，则b >0，∵f (1)＋f (－1)＝2b ，∴f (1)＋f (－1)>0.16．设函数f (x )＝x 33－(a ＋1)x 2＋4ax ＋b ，其中a ，b ∈R .(1)若函数f (x )在x ＝3处取得极小值12，求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间；(3)若函数f (x )在(－1,1)上只有一个极值点，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ，所以f ′(3)＝9－6(a ＋1)＋4a ＝0，得a ＝32.由f (3)＝13×27－52×9＋4×32×3＋b ＝12，解得b ＝－4.(2)因为f ′(x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋4a ＝(x －2a )(x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝2.当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2)，(2a ，＋∞)；当a ＝1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，2a )，(2，＋∞)．(3)由题意可得Error!即Error!解得－12<a<12，所以实数a的取值范围是(－12，12).。
高考数学导数：极值与最值问题解析
高考数学导数：极值与最值问题解析在高考数学中，导数部分的极值与最值问题一直是重点和难点，也是许多同学感到头疼的知识点。
但其实，只要我们掌握了正确的方法和思路，这类问题也并非不可攻克。
接下来，让我们一起深入探讨一下高考数学中导数的极值与最值问题。
一、极值与最值的基本概念首先，我们要明确极值和最值的定义。
极值是指函数在某个局部范围内的最大值或最小值。
也就是说，在函数的某个区间内，如果在某一点处的函数值比它附近其他点的函数值都大（小），那么这个点对应的函数值就是极大值（极小值）。
而最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
需要注意的是，极值不一定是最值，最值也不一定是极值。
例如，函数在一个区间内可能有多个极值，但只有一个最大值和一个最小值。
二、求极值的方法1、求导数这是解决极值问题的关键步骤。
对于给定的函数，我们先对其求导，得到导函数。
2、令导数为 0求出导函数后，令其等于 0，解出这些方程的根。
这些根就是可能的极值点。
3、判断极值点通过导数的正负来判断极值点的类型。
如果在极值点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是极大值点；反之，如果在极值点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是极小值点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x³ 3x²＋ 2，其导函数为 f'（x) ＝ 3x² 6x。
令 f'（x) ＝ 0，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2。
当 x ＜ 0 时，f'（x) ＞ 0；当 0 ＜x ＜ 2 时，f'（x) ＜ 0；当 x ＞ 2 时，f'（x) ＞ 0。
所以，x ＝ 0 是极大值点，极大值为 f(0) ＝ 2；x ＝ 2 是极小值点，极小值为 f(2) ＝－2。
三、求最值的方法1、求出函数在区间内的极值按照前面提到的求极值的方法，找出函数在给定区间内的所有极值。
2、求出区间端点处的函数值将区间的端点代入函数，得到相应的函数值。
高中数学备课教案函数的极值与最值
高中数学备课教案函数的极值与最值高中数学备课教案：函数的极值与最值一、引言函数是数学中的重要概念之一，而函数的极值与最值是函数的重要特性之一。
本备课教案将介绍函数的极值与最值的概念及求解方法，以帮助高中数学教师有效备课和教学。
二、函数的极值1. 极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为函数的极值。
极值分为最大值和最小值两种。
2. 极值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，首先求出其导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，求出使f'(x)=0的所有x的值，将这些值带入原函数f(x)中，求出相应的y值，即为函数的极值点。
（2）二次函数法：对于二次函数y=ax^2+bx+c，若a>0，则函数的最小值为顶点的纵坐标；若a<0，则函数的最大值为顶点的纵坐标。
（3）边界法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
三、函数的最值1. 最大值与最小值的定义函数的最大值指的是函数在定义域内取得的最大的函数值；最小值则是函数在定义域内取得的最小的函数值。
2. 最值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，求出其导函数f'(x)，然后找出导函数的零点，这些点即为函数的驻点。
并将定义域内的驻点与端点的函数值进行比较，即可得到函数的最大值和最小值。
（2）闭区间法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。
四、综合例题考虑一道综合例题来练习函数的极值和最值的求解：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+2，请求其极值与最值。
解：首先求导得到导函数y'=6x^2-6x-12，令y'=0，解得x=2和x=-1。
将x=2和x=-1代入原函数y=2x^3-3x^2-12x+2中，得到y=2和y=-16，因此函数的极小值为（2，-16），极大值为（-1，2）。
函数的极值与最值知识点
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。
函数的极值与最值知识点总结
函数的极值与最值知识点总结函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们对于函数的图像和性质有着重要的影响。
本文将对函数的极值和最值进行详细总结。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
在函数图像上就是曲线的顶点或谷底。
1.1 极大值和极小值函数在区间内取得最大值的点称为极大值点，函数在区间内取得最小值的点称为极小值点。
极大值点和极小值点合称为极值点。
1.2 极值的必要条件函数的极值一定是函数的驻点（即函数的导数为0）或者是函数定义域的端点，这是极值的必要条件。
1.3 极值判定的充分条件若函数在某点的导数由正变负，则该点是函数的极大值点；若函数在某点的导数由负变正，则该点是函数的极小值点。
这是极值判定的充分条件。
2. 函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
2.1 最大值和最小值函数在定义域内取得的最大值称为最大值，函数在定义域内取得的最小值称为最小值。
2.2 最值的存在性当函数在闭区间上连续时，函数一定存在最大值和最小值。
但是当函数在开区间上连续时，函数不一定存在最大值和最小值。
2.3 最值的求解方法求函数的最值主要通过导数的方法进行。
首先求出函数的导数，然后求出导数的零点，即函数的极值点。
从这些极值点中选取函数值最大的点，即为函数的最大值；选取函数值最小的点，即为函数的最小值。
3. 案例分析接下来通过一个具体的案例来说明函数的极值和最值的求解过程。
3.1 求函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值。
首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 或 x = 2。
当 x = 0 时，f''(0) = 0，无法判断极值情况；当 x = 2 时，f''(2) = 6 > 0，说明 x = 2 是极小值点。
计算 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = -4，可知函数的极小值为 -4。
高一数学求最值的知识点
高一数学求最值的知识点在高一数学中，求解最值问题是一个重要的内容，它涵盖了函数的极值、二次函数的最值、等差数列的最值等多个知识点。
本文将就这些知识点进行详细阐述，帮助同学们更好地理解和应用。
1. 函数的极值函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
要求函数的极值，一般需要找出函数的驻点和端点，并进行比较。
1）驻点：对于函数f(x)，如果f'(x)=0，那么点(x, f(x))就是函数的一个驻点。
通过求导数来得到驻点，并根据二阶导数的符号来判断驻点的类型。
当f''(x)>0时，该驻点为极小值点；当f''(x)<0时，该驻点为极大值点。
2）端点：对于函数f(x)，若定义域存在边界a和b，那么点(a,f(a))和点(b, f(b))就是函数的端点。
通过将端点代入函数，求出函数值，并与驻点的值进行比较，得出函数的最值。
综合考虑驻点和端点的情况，就可以求得函数的最值。
二次函数是高中数学中较为常见的函数类型，其最值的求解方法也有一定规律。
对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），要求最值，可以通过以下步骤进行：1）求导数f'(x) = 2ax + b。
2）令f'(x) = 0，解得x = -b / (2a)。
将x代入原函数f(x)，求得对应的y值。
通过求解一次函数f'(x) = 0的根，可以得到二次函数的对称轴x = -b / (2a)。
将对称轴的x值代入原函数，就可以求得对称轴上的最值点。
3）比较端点。
若二次函数存在定义域的两个端点，则将这两个端点代入原函数，求得对应的函数值。
将对称轴上的最值点与端点的函数值进行比较，即可确定二次函数的最值。
等差数列是数学中经常遇到的数列类型，求解等差数列的最大值和最小值的方法较为简单。
对于等差数列：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。
高中数学教案学习函数的极值与最值
高中数学教案学习函数的极值与最值高中数学教案：学习函数的极值与最值前言：函数是数学中非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
学习函数的极值与最值是高中数学中的重要内容。
通过本教案的学习，学生将会掌握如何求函数的极值与最值，培养分析和解决实际问题的能力。
一、极值的概念在学习函数的极值之前，我们先来了解什么是极值。
极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
它分为两种类型：极大值和极小值。
1.1 极大值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较小的函数值，则该函数值被称为极大值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值小，则该点处的函数值是极大值。
1.2 极小值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较大的函数值，则该函数值被称为极小值。
换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值大，则该点处的函数值是极小值。
二、求极值的方法接下来，我们学习如何求函数的极值。
常用的方法有以下几种：2.1 导数法通过求函数的导数，可以得到函数的增减性和极值点的位置。
对于凸函数，导数大于0的区间为函数增加的区间，导数小于0的区间为函数减少的区间。
而对于凹函数，导数大于0的区间为函数减少的区间，导数小于0的区间为函数增加的区间。
2.2 零点法当我们求出函数的导数为零的解时，我们可以通过进一步的分析判断该点是否为极值点。
如果导数为零的点处于增减性变化的位置，那么该点就是函数的极值点。
2.3 边界法在求解函数的极值时，我们还需要考虑到函数定义域的边界。
如果函数的定义域是一个有限区间，那么我们需要判断区间端点处的函数值是否为极值。
三、最值的概念在了解了极值的求解方法之后，我们来学习最值的概念。
最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
3.1 最大值最大值是函数在定义域内取得的最大函数值。
在图像上来看，最大值对应着函数图像的最高点。
3.2 最小值最小值是函数在定义域内取得的最小函数值。
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法
高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。
在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。
本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。
第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。
函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。
函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。
第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。
另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。
求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。
2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。
另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。
还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。
总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。
第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。
1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。
解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。
另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。
专题3.2.2 重难点之导数与函数的极值最值(重难点突破)(解析版)
专题3.2.2 重难点之导数与函数极值、最值重难点突破一、考情分析1、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，3、会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．二、经验分享三、考点梳理知识点1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．知识点3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．三、题型分析重难点题型突破1 求函数的极大值与极小值例1、 （1）函数f(x)＝13x 3－4x ＋13的极大值是____，极小值是____．【答案】173，－5【解析】 f′(x)＝x 2－4，令f′(x)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：因此，当x ＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝173；当x ＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－5.（2）、f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．【答案】－12【解析】f ′(x )＝2222(2)2(21)(2)x x x x +-++＝222(2)(1)(2)x x x -+-+. 令f ′(x )<0，得x <－2或x >1；令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数，∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.【变式训练1】、(一题两空)(2019·甘肃兰州一中期末改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 的极值点，则f ′(－2)＝________，f (x )的极小值为________． 【答案】：0 －e【解析】由函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x ，因为x ＝－2是函数f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝(－4＋a )e －2＋(4－2a －1)e －2＝0，即－4＋a ＋3－2a ＝0，解得a ＝－1.所以f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x .令f ′(x )＝0可得x ＝－2或x ＝1.当x ＜－2或x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )为增函数，当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数，所以当x ＝1时函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝(12－1－1)×e 1＝－e. 【变式训练2】、已知函数f(x)＝1x＋ln x ，求函数f(x)的极值．【解析】 ∵f(x)＝1x ＋ln x ，∴f′(x)＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f(x)＝0，得x ＝1，列表：∴x ＝1是f(x)的极小值点，f(x)的极小值为1，无极大值． 重难点题型突破2 已知函数的极(最)值求参数的取值范围例2、. 已知函数f(x)＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是(B )A . (－1，2)B . (－∞，－3)∪(6，＋∞)C . (－3，6)D . (－∞，－1)∪(2，＋∞) 【答案】B【解析】 ∵f(x)＝x 3＋mx 2＋()m ＋6x ＋1，∴f′(x)＝3x 2＋2mx ＋()m ＋6， 由于函数y ＝f(x)既有极大值，又有最小值，则导函数y ＝f′(x)有两个零点， ∴Δ＝4m 2－12()m ＋6>0，即m 2－3m －18>0，解得m<－3或m>6. ∴实数m 的取值范围是()－∞，－3∪()6，＋∞.故选B .【变式训练1】、(2020·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)令g (x )＝f (x )－(ax －1)，求函数g (x )的极值．【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，所以切点为(1，1)， 又f ′(x )＝1x ＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. (2)g (x )＝f (x )－(ax －1)＝ln x －12ax 2＋(1－a )x ＋1，则g ′(x )＝1x －ax ＋(1－a )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x ，当a ≤0时，因为x ＞0，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在(0，＋∞)上是增函数，函数g (x )无极值点．当a ＞0时，g ′(x )＝－ax 2＋（1－a ）x ＋1x＝－a （x －1a）（x ＋1）x，令g ′(x )＝0得x ＝1a .所以当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛a1,0时，g ′(x )＞0；当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 时，g ′(x )＜0. 因为g (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上是减函数．所以x ＝1a 时，g (x )有极大值⎪⎭⎫⎝⎛ag 1＝ln 1a －a 2×1a 2＋(1－a )·1a ＋1＝12a －ln a .综上，当a ≤0时，函数g (x )无极值；当a ＞0时，函数g (x )有极大值12a －ln a ，无极小值．【变式训练2】、设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求实数a 的值； (2)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求实数a 的取值范围． 【解析】 (1)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x .f ′(2)＝(2a －1)e 2. 由题设知f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛1,1a 时，f ′(x )<0; 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1<0，所以f ′(x )>0. 所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． 重难点题型突破3 利用导数研究函数的最值 例3、函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为( )A ．1＋ln 2B ．1－ln 2 C.1＋ln 22D.1－ln 22【答案】C【解析】 因为f (x )＝x 2－ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －1x ，令2x －1x ＝0得x ＝22，令f ′(x )>0，则 x >22；令f ′(x )<0，则0<x <22.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增，所以f (x )的极小值(也是最小值)为⎝⎛⎭⎫222－ln22＝1＋ln 22，故选C. 例4、已知函数f(x)＝x －ax －ln x ，a>0.(1)求函数f(x)的单调区间和极值点；(2)若f(x)>x －x 2在(1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】 (1)函数f(x)＝x －a x －ln x ，a>0的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋a x 2－1x ＝x 2－x ＋ax 2，①Δ＝1－4a≤0，即a≥14时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点；②Δ＝1－4a>0，即0<a<14时，令f′(x)＝0，解得x 1＝1－1－4a 2，x 2＝1＋1－4a 2，列表，x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴函数f(x)的增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2，＋∞，减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2，1＋1－4a 2，极大值点是x 1＝1－1－4a 2，极小值点是x 2＝1＋1－4a2.(2)f(x)>x －x 2，即x 2－ax －ln x>0，∵x ∈(1，＋∞)，∴a<x 3－x ln x ，令g(x)＝x 3－x ln x ，则h(x)＝g′(x)＝3x 2－ln x －1，h′(x)＝6x －1x ＝6x 2－1x>0在(1，＋∞)上恒成立， ∴h(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)>h(1)＝2，即g′(x)>0，故g(x)＝x 3－x ln x 在(1，＋∞)上为增函数，g(x)>g(1)＝1，∴0<a≤1.【变式训练1】、已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x(a >0)的导函数f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 【解析】(1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x (e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －ce x .令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ，因为e x >0，所以f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点，且f ′(x )与g (x )符号相同． 又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＝9a －3b ＋ce －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5，所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x .由(1)可知当x ＝0时f (x )取得极大值f (0)＝5，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者．而f (－5)＝5e－5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5. 重难点题型突破4 利用导数求解最优化问题 例5、(2020·贵阳市检测)已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最大值和最小值(其中e 是自然对数的底数)．【解析】 (1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x－ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx 2，所以f ′(x )＞0⇒0<x <1，f ′(x )<0⇒x ＞1，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e 上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的极大值为f (1)＝1－11－ln 1＝0.又⎪⎭⎫ ⎝⎛e f 1＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e，且⎪⎭⎫⎝⎛e f 1<f(e)．所以f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1上的最大值为0，最小值为2－e.【变式训练1】、设直线x t = 与函数2()f x x =，()ln g x x = 的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到 最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12 C 5 D 2【答案】D【解析】由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1'()2h x x x=-，令'()0h x =解得2x =，因2x ∈时，'()0h x <，当2()x ∈+∞时，'()0h x >，所以当2x =即2t =||MN 达到最小．【变式训练2】、设函数())ln 2(2x xk x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数）．（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞242221()()x x e x xe f x k x x x ⋅-'=--+3(2)()(0)x x e kx x x --=>由0k ≤可得0x e kx ->所以当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减， 所以当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增， 所以 ()f x 的单调递减区间为(0,2)，()f x 的单调递增区间为(2,)+∞ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，0k ≤时，()f x 在(0,2)内单调递减， 故()f x 在(0,2)内不存在极值点；当0k >时，设函数()xg x e kx =-，[0,)x ∈+∞，因此ln ()x x k g x e k e e =-=-．当01k <≤时，(0,2)x ∈时()0x g x e k '=->，函数()y g x =单调递增 故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点； 当1k >时，函数在(0,2)内存在两个极值点当且仅当(0)0(ln )0(2)00ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，解得22e e k <<，综上函数()f x 在()0,2内存在两个极值点时，k 的取值范围为2(,)2e e ．四、迁移应用1、若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是______． 【答案】16【解析】由()f x 图像关于直线x =－2对称，则0=(1)(3)f f -=-=22[1(3)][(3)3]a b ----+，0=(1)(5)f f =-=22[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15， ∴()f x =22(1)(815)x x x -++，∴()f x '=222(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=324(672)x x x -++- =4(2)(25)(25)x x x -++++-当x ∈(－∞，25--)∪(－2， 25-+)时，()f x '＞0， 当x ∈(25--，－2)∪(25-+，+∞)时，()f x '＜0，∴()f x 在（－∞，25--）单调递增，在（25-2）单调递减，在（－2，25-在（25-+∞）单调递减，故当x =25-x =25-+(25)f -=(25)f -=16． 2、(I)讨论函数2()e 2xx f x x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20x x x -++>； (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【解析】（I ）证明：()2e 2x x f x x -=+()()()22224e e 222x xx x f x x x x ⎛⎫-'⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '>∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增∴0x >时，()2e 0=12xx f x ->-+∴()2e 20x x x -++> （Ⅱ）33(2)(2)2()(())x x e a x x g x f x a x x-+++'==+， 由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意的[)01a ∈，，(0)10f a a +=-<， (2)0f a a+=，因此，存在唯一(0,2]a x ∈，使得()0a f x a +=，即()0a g x '=当0a x x <<时，()0f x a +<，()0g x '<，()g x 单调递减； 当a x x >时，()0f x a +>，()0g x '>，()g x 单调递增． 因此()g x 在a x x =处取得最小值，最小值为22(1)()(1)()2a a ax x x a a a a a a a e a x e f x x e g x x x x -+-+===+． 于是()2ax a e h a x =+，由2(1)()02(2)x x e x e x x +'=>++，得2x e x +单调递增．所以，由(0,2]a x ∈，得0221()2022224ax a e e e e h a x =<==+++， 因为2x e x +单调递增，对任意的21(,]24e λ∈，存在唯一的(0,2]a x ∈，()[0,1)a a f x =-∈，使得()h a λ=，所以()h a 的值域为21e 24⎛⎤ ⎥⎝⎦，．综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有最小值()h a ，()h a 的值域为21e 24⎛⎤⎥⎝⎦，．3． 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>， 记|()|f x 的最大值为A ． （Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．【解析】（Ⅰ）()2sin 2(1)sin f x a x a x '=---． （Ⅱ）当1a时，|()||sin2(1)(cos 1)|f x a x a x '=+-+2(1)a a +-32a =-(0)f =因此，32A a =-．当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--． 令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14at a-=时，()g t 取得极小值， 极小值为221(1)61()1488a a a a g a a a--++=--=-． 令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >． （ⅰ）当105a<时，()g t 在[1,1]-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-．（ⅱ）当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4a g g g a-->>． 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a --+--=>，所以2161|()|48a a a A g a a-++==．综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-⎪⎪⎩． （Ⅲ）由（Ⅰ）得|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a '=---+-．当105a<时，|()|1242(23)2f x a a a A '+-<-=． 当115a <<时，131884a A a =++，所以|()|12f x a A '+<．当1a 时，|()|31642f x a a A '--=，所以|()|2f x A '．4、已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数.(1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值.【解析】(1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数.∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a ； 令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a<x ≤e. 从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上为增函数，在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上为减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e，∴a ＝－e 2为所求. 故实数a 的值为－e 2.5、已知函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax ＋a (a ∈R )． (1)若函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处取得极值，且x 2≥ e x 1(e 为自然对数的底数)，求f (x 2)－f (x 1)的最大值．【解析】(1)∵f ′(x )＝1x＋x －a (x >0)， 又f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴恒有f ′(x )≥0，即1x＋x －a ≥0恒成立，∴a ≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ， 而x ＋1x≥2 x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”， ∴a ≤2.即函数f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数时，a 的取值范围是(－∞，2]．(2)∵f (x )在x ＝x 1和x ＝x 2处取得极值，且f ′(x )＝1x ＋x －a ＝x 2－ax ＋1x(x >0)， ∴x 1，x 2是方程x 2－ax ＋1＝0的两个实根，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝1，∴f (x 2)－f (x 1)＝ln x 2x 1＋12(x 22－x 21)－a (x 2－x 1)＝ln x 2x 1－12(x 22－x 21)＝ln x 2x 1－12(x 22－x 21)1x 1x 2＝ln x 2x 1－12⎝⎛⎭⎫x 2x 1－x 1x 2， 设t ＝x 2x 1(t ≥ e)，令h (t )＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t (t ≥ e)， 则h ′(t )＝1t －12⎝⎛⎭⎫1＋1t 2＝－(t －1)22t 2<0， ∴h (t )在[e ，＋∞)上是减函数，∴h (t )≤h (e)＝12⎝⎛⎭⎫1－ e ＋e e ， 故f (x 2)－f (x 1) 的最大值为12⎝⎛⎭⎫1－ e ＋e e .。
高中函数的极值与最值问题
高中函数的极值与最值问题函数是数学中的重要概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
在高中数学学习中，我们经常遇到关于函数的极值与最值问题，这是一类常见且重要的问题。
本文将详细介绍高中函数的极值与最值问题，以帮助读者更好地理解和解决这类题目。
一、函数的极值与最值概念函数的极值包括极大值和极小值，统称为极值。
极大值对应函数的最大值，极小值对应函数的最小值。
最值问题是要求在一定条件下找到函数的最大值或最小值。
1. 极值的定义设函数y=f(x)在点x0处取得极大值，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的极大值。
类似地，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的极小值。
2. 最值的定义给定一个函数，如果在其定义域上存在一个点x1，使得对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数的最大值。
类似地，如果对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数的最小值。
二、求解函数的极值与最值的方法在高中数学中，求解函数的极值与最值可以采用以下方法：1. 导数法当函数的导数存在时，可以通过求导数的方法来找到函数的极值。
具体步骤如下：（1）求出函数的导数f'(x)；（2）令f'(x)=0，求出导数为零的临界点；（3）将临界点和函数的端点代入原函数，并比较函数值，找到最大值与最小值。
2. 函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地找到函数的极值与最值。
具体步骤如下：（1）绘制函数的图像；（2）观察图像的极值点和最值点，标出对应的坐标。
3. 区间端点法当函数在特定区间上连续且可导时，可以通过将函数在区间两个端点处的值进行比较来找到函数的最值。
具体步骤如下：（1）计算函数在区间的两个端点处的函数值；（2）比较函数值，找出最大值与最小值。
三、应用举例下面通过两个例子来说明如何求解函数的极值与最值问题。
函数的极值和最值提高。知识梳理
函数的极值和最值【考纲要求】1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】【考点梳理】要点一、函数的极值 函数的极值的定义一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点二、函数的最值1.函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。
如何应对高考数学中的函数极值和最值问题
如何应对高考数学中的函数极值和最值问题函数极值和最值问题是高考数学中一个重要的考点，也是很多同学容易遇到困难的地方。
为了帮助同学们更好地应对这类问题，本文将从解题技巧和常见方法两方面进行探讨。
一、解题技巧1. 熟悉函数的性质要解决函数极值和最值问题，首先需要对函数的性质有一定的了解。
比如，了解函数在定义域上的单调性、奇偶性、周期性等特点，这些特点有助于我们判断函数的极值和最值。
2. 求导数对于函数极值和最值问题，求导数是一种常见的解题方法。
通过对函数进行求导，我们可以得到函数的导数，然后通过导数的零点和不连续点来确定函数的极值点和最值点。
3. 利用辅助图形在解决函数极值和最值问题时，可以绘制函数的图像。
通过观察函数图像的特点，我们可以得到一些有关函数极值和最值的信息，从而更好地解决问题。
二、常见方法1. 寻找零点对于一些简单的函数，我们可以通过寻找函数的零点来确定函数的极值和最值。
首先通过求根公式或者其他方法求得函数的零点，然后将这些零点和函数的端点进行比较，从而确定函数的极值和最值。
2. 求导数寻找极值点对于一些复杂的函数，我们可以通过求导数来寻找函数的极值点。
首先求出函数的导数，然后将导数的零点和不连续点作为函数的可能极值点，再通过一些条件进行筛选，就可以找到函数的极值点。
3. 线性规划法线性规划法是一种在最优化问题中常用的方法，也可以应用到函数极值和最值问题中。
通过建立合适的约束条件和目标函数，将函数极值和最值问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划的方法求解，得到函数的极值和最值。
总结：函数极值和最值问题是高考数学中的一个重要考点，掌握解题技巧和常见方法对于提高解题效率和准确率非常有帮助。
通过熟悉函数的性质，掌握求导数的方法，运用辅助图形等技巧，我们可以更好地应对高考数学中的函数极值和最值问题。
希望同学们能够在备考过程中认真学习、不断实践，顺利应对高考数学中的各个挑战。
高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数与函数的极值与最值导数与函数的极值与最值是高中数学中的重要知识点，也是数学分析中的基础内容。
导数可以帮助我们分析函数的变化趋势，而极值与最值则能帮助我们找到函数的局部极大值和最大值。
本文将对导数与函数的极值与最值进行总结和介绍。
一、导数的定义与求法1.导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率，可以理解为函数图像在该点的斜率。
若函数f(x)在点x处可导，则函数在该点的导数表示为f'(x)，可以用极限的形式来定义，即：f'(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h2.导数的求法常见函数的导数求法有以下几种方法：（1）利用导数定义进行求解，使用极限的性质来计算；（2）使用基本导数公式，如常数函数导数为0，幂函数导数为幂次减1等；（3）使用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等；（4）利用复合函数、反函数和参数方程的求导法则；（5）利用隐函数求导法则，将函数的表达式转化为关于x和y的方程，然后进行求导等。
二、函数的极值与最值1.极值的定义函数f(x)在点x=a处的极值，指的是函数在该点的函数值最大或最小。
如果存在f(a) > f(x)（或f(a) < f(x)）对于x在a的某个邻域内成立，则称f(a)是函数的极大值（或极小值）。
2.函数极值的判定条件对于函数f(x)，有以下判定条件可以帮助我们确定其极值：（1）一阶导数的零点：若f'(x) = 0，则该点可能为函数的极值点；（2）二阶导数的符号：若f''(x) > 0，则该点为函数的极小值点；若f''(x) < 0，则该点为函数的极大值点；（3）导数的单调性：若f'(x)在某个区间上始终保持正（或负）号，则该区间上的极值点为极小值（或极大值）点；（4）端点：函数在区间的端点上也可能存在极值。
3.最值的定义与求法函数f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值称为最值。
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
高中数学必修课教案函数的极值与最优化问题的求解
高中数学必修课教案函数的极值与最优化问题的求解高中数学必修课教案-函数的极值与最优化问题的求解一、引言函数的极值与最优化问题是高中数学中重要的概念和解题方法，在实际生活和科学研究中有广泛应用。
通过学习本课，学生将能够理解函数的极值和最优化问题的基本概念，熟练掌握求解相关问题的方法和技巧。
二、知识概述1. 函数的极值函数的极值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在某一点附近值较大的情况，极小值则相反。
数学中使用导数概念来求解函数的极值。
2. 最优化问题最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使某一确定量达到最大或最小的解决方案。
最优化问题可以通过函数的极值来解决，也可以通过约束条件和拉格朗日乘数法来求解。
三、教学目标1. 理解并能够准确运用函数的极值和最优化问题的基本概念；2. 掌握求解函数的极值的方法，包括使用导数法和分段函数法；3. 了解最优化问题的解题思路，并能够应用拉格朗日乘数法解决相关的问题；4. 培养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。
四、教学内容与方法1. 函数的极值的求解(1) 方法一：使用导数法求解- 掌握函数的导数概念和导数的几何意义；- 通过导数的符号和变化来判断函数的极值；- 运用导数法求解函数的极值问题。
(2) 方法二：使用分段函数求解- 了解和掌握分段函数的概念；- 分段函数法求解函数的极值问题。
2. 最优化问题的求解(1) 线性规划问题- 了解线性规划问题的基本概念和解题思路；- 运用线性规划的基本方法解答问题。
(2) 使用拉格朗日乘数法求解约束问题- 了解拉格朗日乘数法的概念和基本原理；- 运用拉格朗日乘数法解决带有约束条件的最优化问题。
五、课堂实践与教学设计1. 引发兴趣：通过引入具体生活中的最优化问题，激发学生对于函数的极值和最优化问题的兴趣，如最优化生产成本、最大化利润等。
2. 理论学习：系统讲解函数的极值和最优化问题的基本概念，引导学生理解相关定义和方法，例如导数法、分段函数法和拉格朗日乘数法。
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值
高中数学知识点总结导数的应用之函数的极值与最值高中数学知识点总结：导数的应用之函数的极值与最值在高中数学中，导数是一个重要的概念和工具，它被广泛应用于各个数学领域。
其中的一个应用就是求解函数的极值与最值。
本文将针对这一知识点进行总结和讨论。
I. 导数和极值函数的极值指的是函数在某个区间上的最大值或最小值。
在求解极值问题时，我们可以利用导数的性质来进行分析和计算。
下面是一些常见的求解函数极值的方法：1. 极值的必要条件若函数f(x)在x=a处取得极值，那么导数f'(a)存在，且f'(a)=0，或者导数不存在（函数在该点有间断点或者不可导）。
2. 极值的充分条件若函数f(x)在x=a点的左右两侧导数符号相反，即f'(a-)和f'(a+)异号，那么f(x)在x=a处取得极值。
- 若f'(a-)>0且f'(a+)<0，那么极值为极大值；- 若f'(a-)<0且f'(a+)>0，那么极值为极小值。
3. 临界点和拐点临界点是指导数为零或不存在的点，对于一元函数来说，临界点多对应于函数的极值点。
拐点是指在函数图像上出现凹凸性突变的点，即曲线的凸度方向改变的点。
II. 求解函数的极值步骤在应用导数求解函数极值时，一般需要按照以下步骤进行：1. 求取函数f(x)的导数f'(x)。
2. 解方程f'(x)=0，求得导数为零的临界点。
3. 利用极值的充分条件，对临界点进行分析判断。
4. 若需要，进一步计算临界点处的函数值和边界点处的函数值进行比较。
5. 得到函数的极值。
III. 求解函数的最值函数的最大值和最小值称为最值，求解最值问题需要考虑函数的定义域和导数的变化情况。
下面是一些常见的求解函数最值的方法：1. 函数在开区间内求最值若函数f(x)在开区间(a, b)内进行求最大值，我们需要进行以下步骤：- 求取函数f(x)的导数f'(x)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数的应用二------函数的极值与最值【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。
2. 会用导数求函数的极大值、极小值。
3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。
4. 掌握函数极值与最值的简单应用。
【要点梳理】 要点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作)(0x f y =极大值；（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)要点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即0()0f x '=是可导函数)(x f 在点0x 取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x 3，在x=0处，'(0)0f =，但x=0不是函数的极值点.②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
要点二、函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1()(0)f x x x=>. 要点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
（二）求函数最值的的基本步骤：若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。
②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. （三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。
最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值. 要点三、函数极值与最值的简单应用1. 不等式恒成立，求参数范围问题。
一些含参不等式，一般形如(,)0f x m >，若能隔离参数，即可化为：()()m g x m g x ><（或）的形式。
若其恒成立，则可转化成max max ()()m g x m g x ≥≤（或），从而转化为求函数()g x 的最值问题。
若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥。
所以仍为求函数()g x 的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。
2. 证不等式问题。
当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为()()f x g x >，则可化为()()0f x g x ->，一般设()()()F x f x g x =-，然后求()F x 的最小值min ()F x ，证min ()0F x >即可。
所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。
3. 两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程()()f x g x =的问题，即()()0f x g x -=的解的个数问题，我们可以设()()()F x f x g x =-，然后求出()F x 的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。
所以此类问题可转化为求函数的极值问题。
【典型例题】类型一： 求函数的极值 例1. 下列函数的极值。
（1）.)(23a x x x x f +--= （2）22()21xf x x =-+。
【解析】(I)'()f x =32x －2x －1若'()f x =0，则x ==－13，x =1 当x 变化时，'()f x ，()f x 变化情况如下表：∴()f x 的极大值是()327f a -=+，极小值是(1)1f a =-（2）函数的定义域为R 。
2222222(1)42(1)(1)'()(1)(1)x x x x f x x x +--+==-++。
令'()0f x =，得x=―1或x=1。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，当x=―1时，函数有极小值，且(1)232f -=-=-， 当x=时，函数有极大值，且2(1)212f =-=-。
【总结升华】 解答本题时应注意0'()0f x =只是函数()f x 在x 0处有极值的必要条件，如果再加上x 0左右导数的符号相反，方能断定函数在x 0处取得极值，反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的失误。
举一反三：【变式1】 求下列函数的极值：（1）3()126f x x x =-++；（2）322()2(1)x f x x -=-。
【答案】（1）2'()3123(2)(2)f x x x x =-+=-+-。
令'()0f x =，解得x 1=―2，x 2=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：当x=―2时，()f x 有极小值，并且，()(2)10f x f =-=-极小值， 而当x=2时，()f x 有极大值，并且，()(2)22f x f ==极大值。
（2）函数定义域为（－∞，1）∪（1，+∞）。
∵23(2)(1)'()2(1)x x f x x -+=-，令'()0f x =得x 1=―1，x 2=2。
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：故当x=―1时，8y =-最大值。
【变式2】 讨论函数43210()213f x x x x =-++（x ∈R ）的单调性并求极值．【答案】32'()41042(21)(2)f x x x x x x x =-+=--令'()0f x =，解得x 1=0， x 2=12, x 3=2 。
当x 变化时，'()f x ，()f x 变化状态如下表：由上表可以看出，()f x 在（－∞，0）和（2，2）上为减函数，在（0，2）和（2，+∞）上 为增函数。
当x=0时，函数有极小值(0)1f =; 当x=2时，函数有极小值5(2)3f =-。
当x=12时，函数有极大值155()248f=。
【变式3】函数()f x的定义域为区间（a，b），导函数'()f x在（a，b）内的图如图所示，则函数()f x在（a，b）内的极小值有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】由极小值的定义，只有点B是函数()f x的极小值点，故选A。
类型二：函数极值的逆向应用例 2.已知函数32()f x ax bx cx=++在点x0处取得极大值5，其导函数'()y f x=的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。
求：（1）x0的值；（2）a，b，c的值。
【思路点拨】观察图像的正负和零点。
【解析】（1）由图象可知，在（―∞，1）上'()0f x>，在（1，2）上'()0f x<，在（2，+∞）上'()0f x>，故()f x在（－∞，1）和（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减。
因此()f x在x=1处取得极大值，所以x0=1。
（2）方法一：2'()32f x ax bx c=++，由'(1)0f=，'(2)0f=，(1)5f=，得32012405a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得2912abc=⎧⎪=-⎨⎪=⎩。
方法二：设2'()(1)(2)32f x m x x mx mx m=--=-+。
又2'()32f x ax bx c=++，所以3ma=，32b m=-，c=2m，323()232m f x x mx mx =-+， 由(1)5f =，即22533m m m -+=，得m=6，所以a=2，b=―9，c=12。
【总结升华】（1）由导函数的图象求极值点，先看图象与x 轴的交点，其次看这点左右两侧的导数值的正负。