重庆市大学城第一中学校2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题

重庆市大一中学16-17下期高2018届半期考试
数学试题（文科）
学科：数学 命题人：向小兵 审题人：钟艳
一、选择题(本大题共12小题，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.复数)1(i i z +=（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ） A. )1,1(- B. )1,1(-- C. )1,1(- D.)1,1( 2. 曲线2
3
3x x y +-=在点）
，（21处的切线方程为 ( ) A.53-=x y B.13-=x y C.53+=x y D.x y 2=
3.已知点A 的直角坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-21,21,则它的极坐标为（ ） A.
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4,22π B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43,22π C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛47,22π D.⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛45,22π
4.运用三段论推理：复数不可以比较大小（大前提），2015和2016都是复数（小前提），2015和
2016不能比较大小（结论）.以上推理（ ）
A. 结论正确
B.小前提错误
C.推理形式错误
D. 大前提错误
5.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，可求出y 关于x 的线性回归方程35.07.0+=∧
x y ，则表中m 的值为( )
A. 15.3
B.3
C. 4
D. 5.4
6.在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2
R 如下，其中拟和效果最好的模型是（ ）
A.模型1的相关指数2
R 为0.25 B.模型2的相关指数2
R 为0.50 C.模型3的相关指数2
R 为0.98 D.模型4的相关指数2
R 为0.80
7.函数x x x x f sin cos )(-⋅=的导函数的部分图象为（）
A B C D 8．若曲线mx x x x f ++=
23
3
1)(的所有切线中，只有一条与直线03=-+y x 垂直，则实数m 的值等于（ ）
A. 2
B. 0
C. 0或2
D. 3
9.)1,1(12)(3
+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围( ） A ． 3113≥≤≤--≤k k k 或或
B ．22<<-k
C ．3113<<-<<-k k 或
D ．不存在这样的实数k
10.把数列{}n a 的各项按顺序排列成如图所示的三角形状，记),(n m A 表示第m 行的第n 个数，若
2014),(a n m A =，则=+n m （ ）
9
847
31
6
25a a a a a a a a a
A.122
B.125
C.124
D.123
11.已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)
f f 的最小值为（ ） A ．2 B ．
52 C ．3 D ．32
12.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，其导函数为)('
x f ，对任意正实数x 满足)(2)('
x f x xf ->，若)()(2
x f x x g =，则不等式)31()(x g x g -<的解集是（） A.⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 D. ),41()41,(+∞⋃-∞
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13. 已知复数i
i z +
-=331，_
z 是z 的共轭复数，则_
z 的模等于 .
14.极坐标系中，直线3
π
θ=
()R ∈ρ与圆2=
ρ的公共点个数是 ．
15.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______．
16.若定义在[]b a ,上的函数13)(2
3
+-=x x x f 的值域为[]1,3-，则a b -的最大值是______.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.( 本小题满分10分) 复数z 满足1=z ，且01
22<++z
z z ,求z .
18.(本小题满分12分)
为了了解篮球爱好者小李投篮命中率与打篮球时间之间的关系，记录了小李第i 天打篮球的时间i x （单位：小时）与当天投篮命中率
i
y 的数据，其中5,4,3,2,1=i . 算得：
∑∑∑∑========5
1
2
51
51
5
1
,55,6.7,5.2,15i i i i i i i i i
x y x y x
.
（Ⅰ）求投篮命中率y 对打篮球时间x 的线性回归方程∧
∧∧+=a x b y ；
（Ⅱ）若小李明天准备打球5.2小时，预测他的投篮命中率.
附：线性回归方程∧∧∧+=a x b y 中_
_1
2
2_
1_,x b y a x
n x
y x n y
x b n
i i
n
i i
i ∧∧==∧
-=--=
∑∑，其中_
_,y x 为样本平均数.
19.（本小题满分12分）
设函数32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围．
20.（本小题满分12分）选修54-：不等式选讲 设对于任意实数x ，不等式m x x ≥-++17恒成立． （Ⅰ）求m 的取值范围；
（Ⅱ）当m 取最大值时，解关于x 的不等式：12223-≤--m x x ．
21.( 本小题满分12分) 选修44-：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是1=ρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直
线l 的参数方程为t t y t x (23221⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+=+=为参数）。

（Ⅰ）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y
y x
x '
'
2得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为),(y x M ，求y x 32+的最小值.
22.（本小题满分12分）已知函数e x a x g e
x x f (ln 2)(,)(2
==为自然对数的底数） （Ⅰ）求)()()(x g x f x F -=的单调区间，若)(x F 有最值，请求出最值；
（Ⅱ）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由.
重庆市大一中学16-17下期高2018届半期考试
数学试题（文）答案
一、选择题(本大题共12小题，共60分) ABCDB CDACD AB
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13、1 14、2 15、33 16、4 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.解：由题意可知：ααsin cos i z += 则ααααcos sin 2sin cos 222i z +-= ααsin 2cos 22i z +=
ααsin cos 1
i z
-= ∴0)sin cos sin 2()cos 32(cos 1
22<+++=++i z
z z ααααα
∴⎩⎨
⎧=+<+0
sin cos sin 20
cos 32cos ααααα
若0sin =α则12cos =α，由0cos 32cos <+αα得1cos -=α，1-=z 若21cos -
=α，则2
1
2cos -=α0cos 32cos <+αα得i z 2321±
-= ∴1-=z 或i z 2
3
21±-
= 18.解（Ⅰ）由题意知：
于是：
故：所求回归方程为
（Ⅱ）将
带入回归方程可以预测他的投篮命中率为
19．解：（1）2
()663f x x ax b '=++，
因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．
即6630241230a b a b ++=⎧⎨
++=⎩，
．
解得3a =-，4b =．
（2）由（Ⅰ）可知，3
2
()29128f x x x x c =-++，
2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．
当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>．
所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+． 则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2
()f x c <恒成立，
所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >， 因此c 的取值范围为(1)
(9)-∞-+∞，，．
20.（1）设 ，则有 当 时 有最小值8 当 时
有最小值8 当
时
有最小值8 综上
有最
小值8 所以
（2）当 取最大值时 原不等式等价于：
等价于： 或 等价于： 或
所以原不等式的解集为
21.解：（1）
（5分）
（2） 代入C 得
设椭圆的参数方程 为参数）
则
则
的最小值为-4。

22. 解：（1）3222()()()()(0)x a x ea F x f x g x x e x ex
-'''=-=-=> ①当0,()0a F x '≤>时恒成立
()(0,)F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值
②当0a >时，2((()(0)x ea x ea F x x ex
--=>，
若0x ea <<()0,())F x F x ea '<在上单调递减；
若x ea >
()0,(),)F x F x ea '>+∞在上单调递增，
x ea ∴=当()F x 有极小值，也是最小值，
即min ()()2ln F x F ea a a ea a a ==-=- 所以当0a >时，()F x 的单调递减区间为ea
单调递增区间为(,)ea +∞，最小值为ln a a -，无最大值
（2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点
由（1）的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得
此时，2
()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥
min ()()0F x F e ==
1,()()f g f x g x ∴==∴与
的图象的唯一公共点坐标为
又
()f e g ''==
(
)()f x g x ∴与
的图象在点处有共同的切线，
其方程为1
y x -=-，即1y x =-
综上所述，存在a 1=，使
()()f x g x 与
的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切
线方程为 1.y x =
-
方法二：设()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y ，
根据题意得⎩⎨⎧==)()()()(0'
0'00x f x f x g x f 即20
0002ln 22x a x e
x a e
x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
由②得2
0x a e =，代入①得021
ln ,2x x =∴=
从而1a =
此时由（1）可知min ()
0F x F == 0x x ∴>≠
当且()0,()()F x
f x
g x >>即
因此除0x =
0x ，使00()()f x g x =
故存在1a =，使(
)()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易
求得公共点坐标为，公切线方程为1y x =-。