(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试(含答案解析)(4)

一、选择题
1．已知2
3cos sin
2αβ+=，1sin sin cos 3
αββ+=，则)os(c 2αβ+=（ ）
A ．49
B ．5
9 C ．536
D ．5
18
-
2．已知tan 2α=，则
sin cos 2sin cos αα
αα
+=-（ ） A ．1 B ．1- C ．2
D ．2-
3．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫
>
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B ．()5π2f x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
C ．π4f x ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
是奇函数 4．已知0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,2παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）
A ．0,
3πβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭ B ．,32ππβ⎛⎫∈
⎪⎝⎭ C ．2,23
ππβ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
D ．2,3πβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
5．设等差数列{}n a 满足：
()
222222222727
18sin cos cos cos sin sin 1sin a a a a a a a a -+-=+，公差()1,0d ∈-．若当且仅当11n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取
值范围是（ ） A ．9,10ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．11,
10ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
C ．9,10ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．11,
10
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
6．已知(
)2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．
2020
π B ．
1010
π C ．
505
π D ．
4040
π 7．在ABC 中三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且222b c a +=
，
2bc =，则角C 的大小是（ ）
A ．
6π
或
23
π B ．
3
π
C ．
23
π D ．
6
π 8．已知角α满足1
cos()63π
α+
=，则sin(2)6
πα-=（ ）
A
．9
-
B
．
9
C ．79
-
D ．
79
9．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．
1
7 B ．7
C ．17
-
D ．-7
10．
若
11sin cos αα
+=sin cos αα=（ ） A ．13-
B ．
13
C ．13
-或1
D ．
1
3
或1- 11．设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜
2
π
）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （ ）
A ．在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减 B ．在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减 C ．在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增 D ．在3,44
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 12．已知函数(
)()()()2
1cos cos 02f x x x x ωωωω=+-
>，若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．(]0,2
B ．(]0,1
C ．2,13⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．20,3
⎛
⎤ ⎥⎝⎦
二、填空题
13．给出下列命题：
①存在实数α使得sin cos 1αα=； ②存在实数α使得3sin cos 2
αα+=； ③5sin 22y x π⎛⎫ ⎪⎝=⎭
-是偶函数； ④8
x π=
是函数5sin 24
y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象的一条对称轴方程； ⑤若α、β是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>， 其中正确命题的序号是______.
14．设a ，b 是非零实数，且满足
sin
cos
107
7tan 21cos sin 77
a b a b π
π
πππ+=-，则b a ＝_______．
15．若
1tan 20201tan α
α+=-，则1tan 2cos 2αα
+=____________.
16．求值：
sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒
︒-︒︒
=_______
17．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2
π
<，则sinβ=_____.
18．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-
，π3sin 35β⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则
πsin 3α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭______.
19．已知
()()
sin 2sin 223cos cos 2πθπθπθπθ⎛
⎫--- ⎪
⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭
，则22sin 2sin cos cos θθθθ+-=___________.
20．
已知sin 4πθ⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭sin 2θ=___________． 三、解答题
21．已知函数()sin()1g x ax b
π
=-++，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b 的
值，并解答后面的问题. ①已知函数f (x )＝2sin(x ＋
6π
)·sin(x －3
π)＋2的最小值为a ，最大值为b ； ②已知0,0a b >>，且4a b +=，当19
a b
+取到最小值时对应的a ，b ； ③已知函数3
()f x b x a
=+
-，满足(1)(1)6f x f x -++=. （1）选择条件________，确定,a b 的值；
（2）求函数()g x 的单调递增区间和对称中心.
22．在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①函数1()cos sin (0)22
64f x x x ωω
πω⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
②
函数1
()sin +cos()(0)224
f x x x x ωωωω⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③函数()1()sin 0,||22f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
成立；
已知_______（填所选条件序号），函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2
π． （1）求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间和对称中心､对称轴． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
23．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式. （2）若3()5
f x =-，且3
6
x π
π
-<<
，求cos2x 的值.
24．求值：
（1）cos540tan 225cos(330)sin(240)︒︒︒︒
+--+-；
（2）1cos201sin10tan 52sin 20tan 5︒︒︒︒︒+⎛⎫-- ⎪⎝⎭
25．在直角坐标系xOy 中，已知锐角α和β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴非负半轴重合，且终边与单位圆分别交于点5,13P m ⎛⎫
⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求()sin αβ-的值. 26．已知函数3
()sin (cos 3)2
f x x x x =+-. （1）求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值及函数()f x 的单调增区间； （2）若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合.
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一、选择题
1．C 解析：C 【分析】
将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=，22sin sin 23
αβ+=，然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由2
3cos sin
2αβ+=知2cos cos22αβ-=①，在1sin sin cos 3
αββ+=两边同时乘以
2得2
2sin sin 23
αβ+=
②，将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+，解得()5
cos 236
αβ+=.
故选：C. 【点睛】
思路点睛：出现两个角的三角函数的和差，求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减，化简计算可得到两角和或差的三角函数值.
2．A
解析：A 【分析】
已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】
原式分子分母同除以cos α得 原=
tan 121
12tan 141
αα++==--
故选：A. 【点睛】
已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：
一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解； 二是利用sin tan cos α
αα
=
得sin tan cos ααα=代入消元即可. 3．B
解析：B 【分析】
利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=
+，又()π4f x f ⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对一切x ∈R 恒成
立知π422f a ⎛⎫=+=
⎪
⎝⎭
a b =，整理得()
sin 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数
的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】
由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，
利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan b
a
ϕ=
， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的最值，
所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪
⎭
， 即
22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2
102
a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4
π
ϕ=，
所以()sin 4f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，
对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 5
sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，
当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选项A 不正确； 对于选项B ：
sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎭
()ππ
4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
--+，故选项B 正确；
对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝
⎭是奇函数，故选项C 不正确；
对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+
++ ⎪⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对一切x ∈R 恒成立，知
π
4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
，从而得
()
sin 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，属于中档题.
4．C
解析：C 【分析】 由0,
2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,2παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同
角三角函数关系可得1
cos (,0)2
β=-，从而得解. 【详解】 由0,2πα⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，,2παβπ⎛⎫
+∈
⎪⎝⎭
，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈.
又4cos 5α=
，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
所以3sin 5α==
，cos()αβ+==. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++
4236(0353515
-=-
⨯+⨯=<.
10
2+=>，所以1cos (,0)2β∈- 所以2,2
3ππβ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.
5．D
解析：D 【解析】
因为
222222222727
18sin cos cos cos sin sin 1sin()
a a a a a a a a -+-=+，所以由余弦二倍角公式、平方差公式及两角和与差的余弦公式可得
2272718cos 2cos()cos()
1sin()
a a a a a a a -+-+=+，再运用
积化和差公式可得227181cos 2[cos 2cos 2]21sin()a a a a a -++=+，即72181
[cos 2cos 2]
21sin()a a a a -=+，再
由差化积公式可得
727218sin()sin()
1sin()
a a a a a a --+=+．由于{}n a 是等差数列，因此1827a a a a +=+，即1827sin()sin()a a a a +=+，所以72sin()1a a -=-即sin51d =-注
意到()1,0d ∈-，则()55,0d ∈-，所以52
10
d d π
π
=-⇒=-
，故对称轴方程故等差数
列的前n 项和是1(1)2n n n S na d -=+，即221()()222020
n d d S n a n n a n ππ
=+-=-++，其对称轴是1202a n ππ+=，由题设可得1202123222a ππ+<<，即11110
a π
π<<，应选答案
D ．
点睛：解答本题的关键是先借助三角变换中的两角和差的余弦公式、余弦二倍角公式、积化和差与和差化积公式等三角变换公式进行化简，再借助差数列的定义和性质求出等差数列的公差10
d π
=-
，然后将等差数列的前n 项和公式1(1)
2
n n n S na d -=+
变形为221()()222020
n d d S n a n n a n ππ
=
+-=-++，借助对称轴11n =的位置建立不等式组1202123222a ππ+<<，进而求得数列首项的取值范围是11110
a ππ<<． 6．B
解析：B 【分析】
化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有
()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．
【详解】
(
)2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
则220201010
T ππ
=
=，2A = 1212210101010
A x x ππ
-≥⨯⨯=
故选：B
【点睛】
本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．
7．A
解析：A 【分析】
由222b c a +=可得cosA =2bc =可得
2A =C 值. 【详解】
∵
222b c a +=，
∴cos A 2222b c a bc +-===
， 由0＜A ＜π，可得A 6
π
=，
∵
2bc =，∴2A =
∴5sin 64C sinC π⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
，即()1sinCcosC 12244cos C +-=
解得50C 6
π
<< ∴2C=
3π或43π，即C=6π或23π 故选A 【点睛】
本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和差的正弦公式和内角和定理，属于中档题．
8．D
解析：D 【分析】
由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，再由二倍角
公式化简，即可得结果． 【详解】
1
62633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
22171212()339sin πα⎛⎫
=--=-⨯= ⎪⎝⎭
．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
9．A
解析：A 【分析】
根据角的范围以及平方关系求出4
cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4
α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，3sin 5α=，
所以4cos ,5
α==-
sin 3
tan cos 4
ααα=
=-， tan tan
4tan 41tan tan 4
π
απαπα+⎛⎫+=
= ⎪⎝
⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】
本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.
10．A
解析：A 【分析】
将已知式同分之后，两边平方，再根据22sin cos 1αα+=可化简得方程
23(sin cos )2sin cos 10αααα--=，解出1sin cos 3
αα=-或1，根据111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦
，得出1
sin cos 3αα=-.
【详解】
由
11sin cos sin cos sin cos αααααα++== 两边平方得
2
2(sin cos )(sin cos )
αααα+ 222
sin cos 2sin cos (sin cos )αααα
αα++=
2
12sin cos 3(sin cos )αα
αα+=
=
23(sin cos )2sin cos 10αααα∴--=，
1
sin cos 3
αα∴=-或1，
111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤
=∈-⎢⎥⎣⎦
，
1
sin cos 3
αα∴=-.
故选：A. 【点睛】
本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于中档题，要注意对sin cos αα范围的判断.
11．A
解析：A 【分析】
由题意结合三角恒等变换得()+4f x x πωϕ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，由三角函数的性质可得ω、
ϕ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
由题意()sin()cos()+4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫=+++=+ ⎪⎝
⎭，
因为函数()f x 的最小正周期为π，且()f x -=()f x ， 所以
2π
πω
=，且+
4
π
ϕ=,2
k k Z π
π+
∈，解得ω=2，ϕ=,4
k k Z π
π+
∈，
又||ϕ<
2π
，所以ϕ=4
π，
所以()f x =2+
2x π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
2x ，
当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()20,x π∈，故()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，故A 正确，C 错误； 当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，故
()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上不单调，故B 、D 错误. 故选：A. 【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题.
12．D
解析：D 【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()f x ，根据()f x 在,64ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上单调递增，建立不等关系，解出ω的取值范围． 【详解】 因为(
)1cos 21sin 2sin 22226x f x x x ωπωω+⎛
⎫=
+-=+ ⎪⎝
⎭，由题意得,362
,
2
62ωππ
πωπππ⎧-+≥-⎪⎪⎨
⎪+≤⎪⎩解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤. 故选：D 【点睛】
本题考查正弦函数单调性的应用，考查三角恒等变换，属于中档题．
二、填空题
13．③④【分析】利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；
解析：③④ 【分析】
利用二倍角的降幂公式结合正弦函数的有界性可判断①的正误；利用辅助角公式结合正弦函数的有界性可判断②的正误；化简函数解析式，结合余弦函数的奇偶性可判断③的正误；利用代入检验法可判断④的正误；利用特殊值法可判断⑤的正误. 【详解】
对于命题①，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=
∈-⎢⎥⎣⎦
， 所以，不存在实数α使得sin cos 1αα=，①错误； 对于命题②
，sin cos 4πααα⎛
⎫⎡+=
+∈ ⎪⎣⎝⎭
， 所以，不存在实数α使得3
sin cos 2
αα+=，②错误； 对于命题③，si o 5s 2n c 2i s n 222x y x x ππ⎛⎫⎛⎫
== ⎪
⎪⎝-⎭
-⎭
=⎝， ()cos 2cos2x x -=，所以，函数5sin 22y x π⎛⎫
⎪⎝=⎭
-是偶函数，③正确；
对于命题④，当8
x π=
时，min 53sin 2sin 18
4
2y y π
ππ⎛
⎫=⨯
+
==-= ⎪
⎝
⎭
， 所以，8
x π=
是函数5sin 24
y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象的一条对称轴方程，命题④正确； 对于命题⑤，取9244
π
αππ=
+=，4π
β=，αβ>，但tan 1tan αβ==，⑤错误.
因此，正确命题的序号为③④. 故答案为：③④. 【点睛】
本题考查有关三角函数命题真假的判断，考查了三角函数的有界性、正弦型函数的奇偶性、对称性以及正切值大小的比较，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
14．【分析】先把已知条件转化为利用正切函数的周期性求出即可求得结论【详解】因为（tanθ）∴∴tanθ＝tan （kπ）∴故答案为【点睛】本题主要考查三角函数中的恒等变换应用考查了两角和的正切公式属于中档题
【分析】
先把已知条件转化为10721717
b
tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-．利用正切函数的周期性求出3
k π
θπ=+，即可求得结论．
【详解】
因为10721717
b
tan
a tan tan
b tan a π
ππθπ+
⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
-，（tanθb a =）
∴
107
21
k π
π
θπ+=+
∴3
k π
θπ=+．tanθ＝tan （k π3
π
+
）=
∴
b
a
=
． 【点睛】
本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，考查了两角和的正切公式，属于中档题．
15．2020【分析】由条件求出化简待求式为的形式即可求解【详解】因为解得所以故答案为：2020【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系考查了运算能力属于中档题
解析：2020 【分析】
由条件求出tan α，化简待求式为tan α的形式即可求解. 【详解】 因为
1tan 20201tan α
α
+=-，
解得2019
tan 2021
α=
， 所以22222222
1cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan αααααααααααα
+++=+=+---- 2
220191(1tan )1tan 2021=20202019
1tan 1tan 12021
αααα+
++===---， 故答案为：2020 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.
16．【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题
【分析】
根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】
()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒
︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒
sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒
=︒︒+︒︒-︒︒
sin 60cos10
tan 60cos60cos10︒︒
=
=︒=︒︒
【点睛】
本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.
17．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02
π
βα<<<
，则02
π
β>->-
，所以02
π
αβ<-<
，所以
sin α==
，()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---
131147=
-==
故答案为：2
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
18．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查 解析：3365
-
【分析】
先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+
⎪⎝
⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】 由题意，可知0,πα
β
，则()
sin 1213
αβ+===，
又π31sin 352β⎛⎛⎫+
=∈ ⎪ ⎝
⎭⎝⎭
，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.
故
()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣
⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛
⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.
故答案为：3365
-. 【点睛】
本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
19．【分析】利用诱导公式结合弦化切的思想求出的值然后在代数式上除以并在所得分式的分子和分母中同时除以可得出关于的分式代值计算即可【详解】解得因此故答案为：【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系 解析：75
【分析】
利用诱导公式结合弦化切的思想求出tan θ的值，然后在代数式
22sin 2sin cos cos θθθθ+-上除以22sin cos θθ+，并在所得分式的分子和分母中同时
除以2cos θ可得出关于tan θ的分式，代值计算即可. 【详解】
()()sin 2sin sin cos tan 1223sin cos tan 1cos cos 2πθπθθθθπθθθθπθ⎛
⎫--- ⎪
++⎝⎭===--⎛⎫
+++ ⎪⎝⎭
，解得tan 3θ=.
因此，
2222
2
22
2sin 2sin cos cos tan 2tan 1
sin 2sin cos cos sin os tan 1
θθθθθθθθθθθθθ+-+-+-==++22
32317315
+⨯-==+. 故答案为：75
.
【点睛】
本题考查诱导公式和同角三角函数的商数关系化简求值，解题的关键就是求出tan θ的值，考查运算求解能力，属于中等题.
20．【分析】根据可得的值将平方结合正弦的二倍角公式即可计算出的值【详解】因为所以所以所以且所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过展开得到的值再根据与之间的关系：去完成求解
解析：2
3
【分析】
根据sin 4πθ⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭可得sin cos θθ-的值，将sin cos θθ-平方结合正弦的二倍角公式即可计算出sin 2θ的值. 【详解】
因为sin 46πθ⎛⎫
-
= ⎪
⎝
⎭)sin cos θθ-=sin cos θθ-=， 所以()2
1
sin cos 3
θθ-=且22sin cos 1θθ+=， 所以1
12sin cos 3θθ-=，所以2sin 23
θ=， 故答案为：2
3
. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过展开sin 4πθ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
得到sin cos θθ-的值，再根据sin cos θθ-与sin 2θ之间的关系：()2
sin cos 1sin 2θθθ-=-去完成求解. 三、解答题
21．（1）1,3a b ==；（2）递增区间为7[
2,
2]()6
6
k k k Z π
π
ππ++∈，对称中心为,13k ππ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
()k Z ∈. 【分析】
（1）选择条件①，利用两角和与差的公式，二倍角公式和辅助角公式整理函数()f x ，利用最值即求得参数,a b ；选择条件②，妙用“1”代入，使用基本不等式，计算取等号条件，即求得参数,a b ；根据分式函数对称中心和已知条件对照，即求得参数,a b ； （2）先利用参数,a b 得()sin()13
g x x π
=-++，再利用整体代入法求函数单调增区间和
对称中心即可. 【详解】
解：（1）选择条件①，
()2sin()sin()263
f x x x ππ
=+-+，
故111()=2cos sin 2sin 222222f x x x x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫++=-++⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()sin(2)23
f x x π
∴=-++，
当sin(2)13
x π
+=-时，max ()3f x =；
当sin(2)13
x π
+
=时，min ()1f x =.
故1,3a b ==；
选择条件②，0,0a b >>，4a b +=，则
19119191()()(19)(104444b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=，当且仅当9b a a b
=时，等号成立，即3b a =代入4a b +=，得1,3a b ==； 选择条件③，函数3
()f x b x a
=+
-的定义域{}x x a ≠，值域为{}y y b ≠，即该分式函数对称中心为(),a b ，又(1)(1)6f x f x -++=得()f x 对称中心为()13，
， 故1,3a b ==；
（2）由（1）知1,3a b ==， 得()sin()13g x x π
=-++，要使()g x 递增，只需sin()3
x π
+递减，
故令322,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+≤
+∈， 解得
722,66
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， 所以()g x 递增区间为72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
，
令3
x k π
π+
=，解得：3
x k π
π=-
+，k Z ∈，
所以()g x 的对称中心为,13k ππ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
()k Z ∈.
【点睛】 方法点睛：
求三角函数性质问题时，通常先利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式()()sin f x A x b ωϕ=++，再利用整体代入法求解单调性、对称性等性质.
22．条件性选择见解析，（1）14；（2）单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦； 对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
；对称轴为直线26k x ππ=+，k Z ∈. 【分析】 选择条件①：
()f x 11
cos cos
2
2224x x x ω
ωω⎫⎛⎫=+-⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
11cos sin 4426x x x πωωω⎛⎫
=
+=+ ⎪⎝⎭
，再根据相邻两对称轴之间距离为2π，可得ω
从而求出()f x ；
选择条件②：()f x 11cos sin 426x x x πωωω⎛⎫
=
+=+ ⎪⎝⎭
，相邻两对称轴之间距离为2
π
，可得ω，从而求出()f x ； 选择条件③：()f x 相邻两对称轴之间距离为
2
π
，求出ω，对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭成立，则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称，可求出ϕ，从而得出
()f x ；
（1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭，代入3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
可得答案. （2）分别根据正弦函数的单调递增区间、对称中心、对称轴可得答案. 【详解】
选择条件①：依题意，()1cos sin 22
64f x x x ωω
π⎛⎫⎛⎫=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即有：()11
cos cos
2
2224f x x x x ωωω⎫⎛⎫=+-⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
化简得：2
11
()cos cos 22224
f x x x x ωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，
即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫=
+=+ ⎪⎝⎭
， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2
π
，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭ ；
选择条件②：依题意，()1
cos cos 224
f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即有：11()cos sin 4426f x x x x πωωω⎛⎫
=
+=+ ⎪⎝⎭
， 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为2
π
，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin 226f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭； 选择条件③：依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为2
π
，则周期为π，从而2ω=， 对任意x ∈R 都有5()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
成立， 则()f x 的图象关于5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则5212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，由||2ϕπ<知6π=ϕ，
从而1()sin 226f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭； （1）由于选择哪种情况，都有1()sin 226f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，所以11
sin 233264f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
（2）1()sin 226f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭， 单调递增区间为2222
62
1
,k x k k z π
π
πππ-
≤+
≤+∈， 解得,,36x k k k Z ππππ⎡
⎤∈-+∈⎢⎥⎣
⎦，
从而()f x 的单调增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦ 又由2,6x k k Z π
π+=∈，所以212
k x k Z ππ=-∈，， 得()f x 的对称中心的坐标为,0,212k k Z ππ⎛⎫-∈
⎪⎝⎭， ()f x 的对称轴为直线2,62x k k Z π
π
π+=+∈，即
26
k x ππ=
+，k Z ∈. 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三角函数解析式的化简，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
23．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭；（2）310. 【分析】
（1）根据最大值求出A ，根据周期求出ω，根据极大值点求出ϕ
（2）根据角的范围求出4cos 265
x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，利用两角和与差的余弦公式展开，求解即可. 【详解】
（1）由图知1
21,,2362
A T πππ==-= ,2πω∴==T 又22,,62k k Z π
π
ϕπ⨯+=+∈
26k πϕπ∴=+ 又||2π
ϕ<，
,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴=
=+ ⎪⎝⎭ （2）3()5
f x =- 所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，
,236
262x x π
π
πππ-<<-<+<， 又因为34sin 2,cos 26565
x x ππ⎛
⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦ cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
431552=-⨯=【点睛】
已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝
2T
π即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
24．（1）0（2
）
2
【分析】
（1）利用诱导公式化简，即可求解； （2）先利用二倍角公式化简1cos 202sin 20
︒︒+，由切化弦化1tan 5tan 5︒︒-， 通分后利用两角差的正弦公式展开即可化简求值.
【详解】
利用
（1
）原式cos(3180)tan 45cos30sin 60110;22
︒︒︒=⨯︒+-+=-+-+= （2）原式=22cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5︒︒︒=-︒-︒︒︒︒ 22cos10cos 5sin 5cos10cos10cos10sin10sin102cos1012sin10sin 5cos52sin102sin10sin102
︒︒-︒︒︒︒=-︒=-︒⋅=-︒︒︒︒︒︒︒
cos102sin 20cos102sin(3010)2sin102sin10︒-︒︒-︒-︒==︒︒
1cos102(cos10)222sin10︒︒︒︒-=== 【点睛】
关键点点睛：三角函数化简求值，需要根据式子的结构特征选择合适的公式，并且要注意公式的正用、逆用，特别是复杂式子的灵活运用，属于难题.
25．3365
- 【分析】 利用已知求出1213m =和45n =，再利用差角的正弦公式求解. 【详解】
锐角α和β的顶点都在坐标原点始边都与x 轴非负半轴重合， 且终边与单位圆交于点5,13P m ⎛⎫
⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， cos 0m α∴=>，5sin 13α=，2251169m +=，3cos 5
β=，sin 0n β=>，29125n +=， 求得1213
m =，45n =， 5312433sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ∴-=-=
⨯-⨯=-． 【点睛】
结论点睛：三角函数的坐标定义：点(,)P x y 是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r
代表点到原点的距离，r =
sin α=y r ， cos α=x r ，tan α=y x . 26．（1
）
2，单调增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】
（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭，用整体代换法求单调递增区间； （2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.
【详解】
解：（1
）)21()sin (cos )sin 22sin 1222
f x x x x x x =+-=+-
1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭
所以sin 2s 3in 333f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z π
π
πππ-≤-≤+
∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z π
πππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣
⎦不等式()2m f x m <<+恒成立 所以1112212
m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩ 所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫--
⎪⎝⎭. 【点睛】
求三角函数单调区间的2种方法:
（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；
（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.。