Lim an=a,lim bn=b, solve lim (a1bn+…+anb1)n
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
浅谈极限对数学的意义
浅谈极限对数学的意义第一篇：浅谈极限对数学的意义浅谈极限对数学的意义极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限的思想由来已久.公元前三世纪,古代伟大的科学家阿基米德，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，而公元前五世纪，我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。
这其中就用到了极限思想。
这些早期的极限思想还很原始与朴素，但为其后极限的发展奠定了基础。
说到极限的作用，就不得不提到微积分。
可以说极限就是微积分的基础，而微积分的发展是建立在极限理论发展之上的。
而微积分对现代文明的贡献之大毋庸置疑。
由此极限的重要性可见一斑。
现在任何一所大学的数学系的学生都会先学极限，之后再学微积分。
但历史上微积分却比极限产生的早，可以说微积分是一个早产儿。
这个早产儿在实际中应用的非常好，但是在理论上却是模糊不清。
由此还引发了第二次数学危机。
拯救危机的方法就是清晰的定义极限。
十七世纪，微积分出现了。
领军人物是两个伟大的智者。
一个家伙叫牛顿，而另一个叫莱布尼茨。
牛顿通过对力的研究发明了微积分，虽然现在看来这样的微积分还很原始，仅仅涉及一重，只有一个变量。
但是它的意义是无可估量的。
而莱布尼茨则通过对切线的研究，得到了微积分。
他不仅发明了微积分，而且现代微积分很多符号都是他定义的，他在理论方面的研究价值巨大。
可是无论是牛顿，还是莱布尼茨，都有一些基本的理论问题无法解决。
而这些问题也困扰了他们一生。
到底是什么样的问题呢？首先我们要来了解微积分是什么。
微积分分为微分和积分。
微分的定义为：设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。
极限证明(精选多篇)
极限证明(精选多篇)第一篇：极限证明极限证明1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x???2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。
6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。
an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。
证明：函数f在?a,b?上有界。
10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。
12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。
?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。
证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0???r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。
第二章数列极限
(1解：(1 )对知=0.1, a n -0 =<-：0.1 取 N =20 n(2)对 名2 = 0.01, a n —0 兰一£ 0.01， (3) £3=0.0014-0 n2< —n：：取 N 2 =200取 N 3=2000必有n+12n 3n5n 2n 2_5_ _ 2n芒(n 1)nVs >0,取NT1,3｝，一n N ，有3n 2 n 3 2n 2-12 3< —<z n。
所以 第二章数列极限§ 1•数列极限概念1•设 an=^1；n"2,…，a"n对下列；分别求出极限定义中相应的N , ；1 =0.1,辽=0.01, ；3 =0.001；对1, ；2, 3可找到相应的 N ,这是否证明了 a n 趋于0?应该怎样做才对:对给定的；是否只能找到一个 N ?2•按；-N 定义证明:(1)lim 」1n¥ n +13n 2+n(2) lim 2 ------------i2 n -1证：因为3n 2+ n lim 2---------------------------------n—'2n -1证：因J-11 —:::-以一；• 0,取 Nn2(n 2n 2-1)n!(3)n my0；n!n (n -1)川 2 1n nn 「川 n n 证: n! n n 1 1 _ 一，- ； • 0,取N =[ 一]当 n ；n • N 时，有1 n! 订」代y 0n ‘： n (4) lim sin — =0. n Y nJI sin — -0 ___JI sin — 证：因为 n n JI< —nN是一；•0,取71；,_ n ■ N ,必有Jisin — -0 nTt <—< Sn 兀lim sin — = 0。
所以n厂 n(5) lim 冷=0(a 1). n Y a n 证：：a h 令宀0）,…八1 n 咛）・2 ＞咛2(n -1)' 2 2 ::;,n 1 2，一 ； 0,取N =[1 亍]，当 n N 时, 8/L 8/L (n -1)，2； ■ lim 2 =0 n .；：a n 3•根据例 2,例4和例5的结果求出下列极限，并指出那些是无穷小数列: (1)lim(2)lim n 3 (3)i im V (4)n im :?n— n(5) lim — !- n *(6) lim n 10n L :(7)lim -15昭1 lim - n厂.n 1=lim —r =0 n —■1 a —— （用例2的结果，2 ），无穷小数列。
数学分析课本习题及02
第二章 数列极限习题§ 1 数列极限观点1、 a n =1( 1)n， n=1， 2，⋯，a=0。
n（ 1） 以下ε分 求出极限制 中相 的N ：1=，2=， 3=；（ 2） 1 ， 2 ， 3 可找到相 的N ， 能否 了然a n 于 0 怎 做才 ；（ 3） 定的ε能否只好找到一个N2、按ε— N 定 明：23；（ 3） limn!n；（ 1） limn =1；（2） lim3n 2nnn 1n2n12nn（ 4） lim sinn=0；（ 5） limn n =0（ a>0）。
nna3、依据例 2，例 4 和例 5 的 果求出以下极限，并指出哪些是无 小数列：（ 1） lim1 ；（ 2） limn 3 ；（ 3） lim13 ；（4） lim 1n；n n n n n n3（ 5） lim1 n ；（ 6） limn10 ；（ 7） limn 1 。
n2 nn24、 明：若 lim a n = a ， 任一正整数k ，有 lim a nk = a 。
nn5、 用定 1 明：（ 1）数列 {1}不以 1 极限；（ 2）数列 { n (1) n} 散。
n6、 明定理，并 用它 明数列( 1) n} 的极限是 1。
{ 1n7、 明：若 lim a n = a ， lim |a n |= |a| 。
当且 当 a 何 反之也建立nn8、按ε— N 定 明：（ 1）lim ( n 1n ) =0 ；n（ 2） lim12 3 3 n=0；nnn1, n为偶数，（ 3）lim a n =1，此中nna n=n2n， n 为奇数。
n§ 2 收敛数列的性质1、求以下极限：（ 1）lim n33n 21 1 2n3）lim( 2) n3n 3；（ 2）lim2；（(2)n 13n 1；n4n2n3n n n（ 4）lim( n2n n) ；（5） lim (n1n 2n 10) ；n n111（ 6）lim2 2 22n。
复变函数与积分变换 级数和序列的基本性质
f ( z) 或序列 { f n ( z )}在E上
( z )，那么f(z)或 ( z ) 在E上
定理2.2 设在简单曲线C上{fn(n)}(n=1,2,…), 连续，并且级数 f n ( z ) 或序列 {fn(n)} 在 C 上一 致收敛于f(z)或 ( z ) ，那么
是一个收敛的正项级数。设在E上，
那么级数
f ( z) 在E上一致收敛。
n
| f n ( z ) | an
(n 1,2,...),
定理1、2：
哈 尔 滨 工 程 大 学
定理2.1 设复平面点集E表示区域、闭区域或简 单曲线。设在集E上{fn(n)}(n=1,2,…),
n
连续，并且级数 一致收敛于f(z)或 连续。 复
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
第四章 级 数
§1 级数和序列的基本性质
学习要点
掌握复数项级数和复变函数项级 数的概念和性质
一、 复数列和复数项级数
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
1. 复数列
复数列: { zn } an ibn ( n 1,2,...), 这里an Re zn , bn Im zn
n n n
例 1 下列数列是否收敛？若收敛，求出其极限.
1 1. zn (1 )e n
i
n
i n 2. zn (1 ) 2
3. zn n cos in
2. 复数项级数
哈 尔 滨 工 程 大 学 复 变 函 数
设{ zn } an bn i为一复数列，表达式
C n n n C n
因为根据莫勒拉定理，可见 ( z )在U内解析。再 由于z0是D内任意一点，因此 ( z )在D内解析。 其次，设U的边界即圆K也在D内，于是
收敛数列的性质(6)
an
1 bn
,因此我们只须证明
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b,则对
0, 分别存在正数N1与N2 , 使得
当n N1时, an a ,当n N2时, bn b ,
取N max{N1,N2},则当n N时,上述两不等式同时成立,从而有
1. (an bn ) (a b) an a bn b 2 lnim(an bn ) a b.
a an cn bn a .
从而 cn a ,
即证得
lim
n
cn
a.
11
例2 求数列{n n}的极限.
解 记an n n 1 hn,这里hn 0(n 1),则有
n
(1
hn )n
n(n 1) 2
hn2.
有上式得 0 hn
2 (n 1),从而有 n 1
1 an 1 hn 1
,
其中m
k,
am
0,bk
0
解 以nk同乘分子分母后,所求极限式化为
lim
n
amnmk
a nm1k m1
...
a1n1k
a0nk
bk
bk
n1
1
... b1n1k
b0nk
,
有前面知识可知,当 0时有lim n 0. 于是,当m k时,上式除了 n
分子分母的第一项为am与bk外,其余各项的极限皆为0, 故此时所
24
性质 对于数列 {xn} 若x2k a(k )
x2k1 a(k ) 则xn a(n )
证
0
由lim k
x2k
a知
K1,使当k K1时，有 | x2k a |
在线性代数、计算几何中,向量点积是一种十分重要的运算。给定两个n维向量a=(a1,a2
在线性代数、计算几何中,向量点积是一种十分重要的运算。
给定两个n维向量a=(a1,a2
向量点积是线性代数和计算几何中的一种重要的运算，它的计算
结果比像是从空间到实数的转换，也就是在n维向量a和b的点乘中，a=(a1,a2,…an）,b=(b1,b2,…bn)，它的点乘结果便是：
a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。
向量点积的定义表明它是一种数乘关系，其结果是一个实数而非
向量，它也是一种线性对应关系，也就是说点乘的结果只与向量的分
量有关，而和向量的大小无关，即其结果只需要依赖两个向量的方向
和各自的比例即可确定。
根据向量点乘的定义，它能提供一些十分重
要的性质：
（1）当两个向量都为零向量时，它们的点积也为零。
（2）当两个向量正交时（即当它们的夹角为90度），它们的
点积为零。
（3）当两个向量为单位向量时（即其二范数均为1），它们的点积等于它们之间的夹角余弦。
（4）两个向量之间的夹角大小与其点积绝对值有关，仅由点乘
的结果可以判断向量之间的关系（如相反、相似、正交等）。
（5）点乘的结果可以用于计算向量a,b在某坐标系z中的投影
长度。
从以上定义及性质得知，向量点积十分重要，它可以帮助我们理
解空间、提供向量关系信息，也可用于向量分析等。
另外，在矩阵计
算中，向量点积也可以用来计算矩阵的迹（Trace 零阶迹）、矩阵的
行列式（Determinant n阶行列式）以及特征值（Characteristic Value n元线性方程组的根）。
数学分析练习题
第二章 数列极限一、填空题1．∑=∞→=++++Nn n n1 (3211)lim_________；2．-+∞→3(lim n n n3．=++++++++∞→n nn 31913112141211lim； 4．已知 2235lim2=-++∞→n bn an n ，则 =a ， =b ；5．=-+∞→nnn nn 3535lim；6．已知2003)1(lim=--∞→bban n n n，则 =a ， =b ；7．=+++++++++∞→)12111(lim 222nn n n n n n n ；8． =-∙∙--∞→)11()311)(211(lim 222nn ；二、选择填空1． “对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时恒有ε2||≤-a a n ”是数列}{n a 收敛于a 的A 充分条件但非必要条件。
B 必要条件但非充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件又非必要条件。
2．数列}{n a 不收敛于a 的充要条件是A 对于任给 0>ε，满足ε<-||a a n 的项只有有限项。
B 对于任给 0>ε，总有相应的项n a ，ε≥-||a a n 。
C 存在某个正数0ε，除有限项外，都有0||ε≥-a a nD 存在某个正数0ε，有无穷多项满足0||ε≥-a a n3． 设数列n x 与n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是A 若n x 发散，则n y 必发散。
B 若n x 无界，则n y 必有界。
C 若n x 有界，则n y 必为无穷小。
D 若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。
4． 设}{n a 收敛，}{n b 发散，则A }{n n b a 必收敛。
B }{n n b a 必发散。
C }{n n b a +必收敛。
D }{n n b a +必发散。
5． 设数列}{n a 无上界且 ,2,1,0=≠n a n ，则A }{1-n a 必有上界B 对于任给定的M>0，必有无穷多项M a n >。
数学分析习题答案(陈纪修第二版)
⒋ 用集合符号表示下列数集： (1) 满足
x−3 ≤ 0 的实数全体； x+2
(2) 平面上第一象限的点的全体； (3) 大于 0 并且小于 1 的有理数全体； (4) 方程 sin x cot x = 0 的实数解全体。 解（1） {x | −2 < x ≤ 3} 。 （2） {( x, y) | x > 0 且 y > 0}。 （3） {x | 0 < x < 1且 x ∈ Q}。
x ∈ [0,1] x ∈ (1,3] 。 x ∈ (3,4]
y
(1, 1 )
O
x
2
x 图 1.2.9
图 1.2.8
11.
设 f ( x ) 表示图1.2.8中阴影部分面积，写出函数 y = f ( x ) , x ∈[ 0, 2 ] 的表达式。
⎧1 2 x x ∈ [ 0,1] ⎪ ⎪ y = ⎨2 。 1 2 ⎪− x + 2 x − 1 x ∈ (1, 2] ⎪ ⎩ 2
x −1 。 x +1
解（1） y = log a ( x 2 − 3) ，定义域： (− ∞,− 3 ) ∪ ( 3 ,+∞ )，值域： (−∞,+∞ ) ；
π⎤ （2） y = arcsin 3 x ，定义域： (− ∞,0] ，值域： ⎛ ⎜ 0, ⎥ ；
⎝ 2⎦
π π⎞ （3） y = tan x ，定义域： ∪ ⎛ ⎜ kπ − , kπ + ⎟ ，值域： [0,+∞) ；
一玻璃杯装有汞水煤油三种液体比重分别为136108克厘米图129上层煤油液体高度为5厘米中层水液体高度为4厘米下层汞液体高度为2厘米试求压强p与液体深度x之间的函数关系
第2节 收敛数列的性质
设 a > 0, 求证 : lim a = 1
n→ ∞
1 n
先设a ≥ 1, 当 n > a 时, 有
1≤ a ≤ n 1 n 由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
1 n
1 n
1 n
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
再设a ∈ (0, 1), 这时a −1 > 1, 于是
3 设{an }为无穷小 , {cn }为有界数列, 那么{cn an }为无穷小;
o
4o 设 0 ≤ an ≤ bn , n ∈ N * , 如果{bn }为无穷小 , 那么 {an }也是无穷小 ; 5o lim an = a的充要条件是 {an − a }为无穷小 .
n→ ∞
六、小结
1、收敛数列的性质: 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、不等式性质 唯一性、有界性、 2、极限的四则运算 3、夹逼准则 (两边夹法则) 逼准则 两边夹法则) 4、子列极限 5、无穷小
1 1 (3) 先证 lim = n→∞ b b n
对于 > 0, ∃N 1 , s .t 当n > N 1时,
|b| 2
|b| |b| | bn − b |< , 且此时 | bn |> > 0. 2 2
所以当n > N1时, 有
1 1 | bn − b | 2 | − |= ≤ 2 | bn − b | . bn b | bnb | b
n→ ∞
( 2) lim[an ⋅ bn ] = a ⋅ b;
n→ ∞
an a (3) 如果b ≠ 0，则lim = . n→∞ b b n
证 (1) 由 绝对值的三角不等式可 得;
微积分B(1)第2次习题课题
n
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作者：闫浩
2013 年 9 月
7. 设 x1 x2 0 , xn 2 二、极限的存在性证明 8．已知当 lim a n 0
k k
均存在。 15. 证 明 ： 有 界 数 列 a n 若 不 收 敛 ， 则 必 存 在 两 个 子 列 ank
、 a ， 使 得
mk
lim ank a, lim amk b 且 a b 。
k k
16.（1）利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛； （2）利用区间套定理证明单调有界数列收敛。
n
n 1 n 1 1 5 F 1 1 5 ，求 lim n ； 2． （1）已知数列 Fn n F 5 2 n 1 2
（2）己知 2 3．求下列极限
2 n
2
n
An Bn 2 , 求 lim
*
n
（2） 0 , N ,只要 n N ,就有 | an aN |
*
（3） 0 , N 以及 A ,只要 n N ,就有 | an A |
*
14.设数列 a n 和 bn 有界,证明： 存在正整数列 nk ,满足 nk 1 nk ， 使得 lim ank , lim bnk
An ； n B n
2
（1） lim sin n 1
2
极限的四则运算(3)
.
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数,这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同. (2)混循环小数化为分数,这个分数的分子是小数点 后及第二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分 数字所组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数 字是0,其中9的个数与一个循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同.
1 2 4 2 (7) lim( n n n n ) n 2 2 2 2
2
1 an 的 前n项 和Sn n ， 若Pn 3.设 数 列 a1a2
2
1 1 ， 求limPn . n a2a3 an a n1
练习：4.求下列极限： 2 2 n 34 n 2n 3 ( 2) lim 3 (1) li m 2 2 n n 2n 3n 7 n 2n 3n 4
n 1 ( 3) l im 2 n 2n 3n 7
3
(5) lim (1 a )(1 a )(1 a )(1 a )
2 4 2n n
2 3 ( 4) l i m n 1 n n 2 3
n
n 1
( a 1)
1 1 1 1 (6) lim n 1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3n 1) n
3 4 7 3n 1 (2) lim [ ] n n( n 1) n(n 1) n(n 1) 2
1 1 1 1 (3) lim [ ] n 1 4 47 (3n 2)(3n 1) 3
an2 2n 1 ( 2n ) 1 ，求常数 例3.已知 lim n bn 2
§2.2 收敛数列2 运算法则
| bn | | an a | | a | | bn b | 2 ,
由 的任意性, 证得
n
lim anbn a b lim an lim bn .
n n
an lim lim an lim bn . (3) n b n n n an 1 an , 由 (2), 只要证明 证明 (3) 因为 bn bn 1 1 lim . n b lim bn n
n
由于 b 0, 据保号性, N1 , 当 n N1 时 , | b| | bn | . 2 又因为 lim bn b, N 2 , 当 n N 2 时, n 2 b bn b , 2
an lim lim an lim bn . (3) n b n n n
取 N max{ N1 , N 2 }, 当 n N 时，
bn b 1 1 bn b bnb
2 b
2
bn b ，
lim a a n n n 1 1 . . 所以 lim 即 lim n b n b lim bn b n n
n
n n n
n
n
n
a (3) 若 bn 0, lim bn 0 , 则 n 也收敛，且 n bn an lim lim an lim bn . n b n n n
n
lim c bn c lim bn ;
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 { bn } 有界, 设 | bn | M . 对于任意 0, 当n N时, 有
| an a |
M 1
, | bn b |
数列极限的几种求解方法
数列极限的几种求解方法张宇（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要在髙等数学中极限是一个重要的基本概念。
高等数学中其他的一些重要概念，如微分、积分、级数等都是用极限来定义的。
本文主要研究了求极限问题的若干种方法。
在纷繁众多的求极限方法中，同学们往往在求解极限时不知如何下手。
文章内容包括对求解简单极限问题的各种常用方法的总结：利用迫敛性：利用单调有界定理；利用柯西准则证明数列极限：这些方法对解决一般数列极限问题都很适用。
还包括在此基础上探索出来的解决各种复杂极限问题的特姝方法，例如：利用数列的构造和性质求数列的极限：利用定积分定义求数列极限以及利用压缩映射原理等特殊方法求数列极限，这些特殊方法对解决复杂极限有很重要的意义，而且还比较方便。
在实际求解过程中，要灵活运用以上各种方法。
关键词：数列，极限，槪念，泄理。
Solution of the limitAbstract : In the higher mathematics limit is an important basic concepts・ In the higher mathematics, some important concepts of other, such as the differential and integration. series are used to define the limit. This paper mainly studies the problem of several limit .In the numerous and numerous limit method. students often in solving limit doesn't know how to start. Tlie contents include the limit for solving all kinds of simple method using the summary: popularizes forced convergence property. Monotone have defined Daniel, Using the proof of cauchy criterion sequence limit. These methods of solving problems are generally sequence limit. Also included on the basis of exploring the problem solving complex limit methods, such as special stnictures and properties of invariable; the sequence limit, Using the integral definition for sequence limit and use the banach cotraction principle as a special method. these special method sequence limit to solve complex limit is important, but also more convenient. In the actual solving process, using various above methods・Key words: Series, limit, the concept, the theorem.引言极限的概念与运算贯穿了高等数学的始终。
对Topelitz定理的简单认识及其定理的应用
例 3：设 pk 0, k 1, 2,
pk n p p 1 2
pn
0, lim an a ，证明：
n
n
lim
p1an p2 an 1 pn a1 0 p1 p2 pn pnk 1 , k 1, 2, p1 p2 pn 1
1 (k 1, 2, n
, n) ，即得
例 2：设数列 {an } 与 {bn } 满足： （1） bn 0, b0 b1 （2） lim
an s； bn
bn (n ) ；
n
则 lim
a0 a1 n b b 0 1
an s bn
n
2
N2 N * ，当 n N 2 时，有 tnk
2 N1M
, k 1, 2,
, N1
令 N max{N1 , N2 } ，当 n N 时，有
tnk ak a
k 1
n
tnk ak tnk a
k 1 k 1
n
n
tnk ak a M (tn1 tn 2
n n
yn yn 1 y y yn 1 a。 a ，则 lim n lim n n x n x x n x x n n n 1 n n 1 lim
证明：令 an yn yn1 , bn xn xn1 ，其中 y0 0 xo ，则 bn 0 再令 tnk
pn p1 p2 pnk 1
证明：设 tnk
n
, n, n 1, 2,
则 tnk 0 且
t
k 1
nk
级数乘法
2005／12／29§9.6 级数的乘法)?)(( .,1111∑∑∑∑∞=∞=∞=∞===n n n n n n n n b a B b A a 求设一、如何取乘法？⒈)(1n n n a a A n a ++=∑ 项和前记)(1m mnb b Bm b ++=∑ 项和前⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==mj j ni i m n b a B A 11排成方阵,其和与顺序无关.,项共m n ⨯---11b a 21b a 31b a m b a 112b a 22b a 32b a m b a 213b a 23b a 33b a m b a 31b a n 2b a n 3b a n mn b a 1b 2b 3b m b1a 2a 3a na⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11j j i i b a 其和可能与顺序有关.——其项也可排成方阵, 无穷多项.⒉规定顺序：①对角线法（柯西乘积）++++++)()(132231122111b a b a b a b a b a b a ∑∑∑∞=∞==+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12k k k k j i j i c b a ∑∑=-++=+==ki ik i jk j i i k ba b a c 111其中11b a 21b a 31b a m b a 112b a 22b a 32b a m b a 213b a 23b a 33b a m b a 31b a n 2b a n 3b a n mn b a 1b 2b 3b m b1a 2a 3a na②矩形法+11b a++++++)(1323333231b a b a b a b a b a )(122221b a b a b a ++例1.绝对收敛，时，已知xx x n n -=<∑∞=-11111柯西乘积：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∑∑∞=-∞=-11112)1(1n n n n x x x+++++=nnx x x 2321∑∞=-=11n n nx二、柯西定理：1.定理：,,,,B A b a n n 其和分别为绝对收敛设∑∑按任意方式相加那么把),2,1,( =j i b a j i 证明：①,1∑∞=k k j i b a ω按任序构成的级数记为把.,AB 且其和等于敛的所得的级数都是绝对收.k k m n k b a =ω其中考虑,1∑∞=k kω部分和∑∑====nk m n n k k n kk b a S 11ω{}n n m m m n n n N ,,,,,max 2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=∑∑∑∑∑∞=∞====11111j j i i N j j Ni i nk m n n b a b a b a S kk !1绝对收敛∑∞=∴k k ω②k ω任意改变的次序,其和不变.选择矩形排法,σσ→n 设部分和,112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==nj j ni i n b a σ ,lim 2AB n n ==∴∞→σσ.11AB b a n n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=即⒉Mertens 定理：.11AB b a Cauchy n j n j i i =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∞=+=+乘积则其,,,且至少一个绝对收敛设B b A a n n ==∑∑证明：,绝对收敛设∑n a ,,11n n n n b b B a a A ++=++= .21n n c c c C +++= )()(132231122111b a b a b a b a b a b a C n +++++=)(11b a b a n n ++++ 易见1112211)()(b a b b a b b b a n n n ++++++++=- 1121B a B a B a n n n +++=- BB n n =∞→lim 由于.0→-=∴n n B B β1121B a B a B a C n n n n +++=∴- )()(11211βββn n n n a a a B a a +++-++=- n n B A γ∆-=)( ,01121∞→→+++=-n a a a n n n n βββγ 往证εβε<>∃>∀n N n N ,,,0时1121+--+++≤∴N N n n n n a a a βββγ 11ββn N N n a a +++-11ββεn N N n a a M +++≤+- )(1∑∞==n n a M 其中.sup lim ,M n n n N εγ≤−−−−→−∞→∞→固定.lim ,0lim AB C n n n n ==∴∞→∞→γ⒊.,,结论无保证都是条件收敛如∑∑n n b a例2..,1)1(1∑--=条件收敛n n n a n a ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛121 n n n n c Cauchy a 和11221111≥+=+≥⋅=∑∑+=++=+n n j i j i c n j i n j i n .1发散∑∞=∴n n c总结：绝×绝——任意方式相乘=AB绝×条——Cauchy乘积=AB条×条——不一定收敛。
微积分(4)无穷小数列
n n
3
n
2
n
，
3
n n n
3
2
又因为
所以
3
n3 n
n
2
n
n3 n n 2
n 1 ， 2 n nn n 3n
2
0 an
1 ， 3n
由 lim 0 0 ， lim
n
n
1 0 ，根据夹逼原理，可得 3n
lim an 0 。
（3） （1） ： 由于数列 {an } 是无穷小，根据无穷小数列的定义，可得： 对 0 ， N
*
，当 n N 时，有
n ，
又因为 an a n ，解出 n an a ，代入上式，可得
an a ，
因此，数列 {an } 以 a 为极限，即 lim an a 。
*
）都是无பைடு நூலகம்
穷小数列。因此，当 n 充分大时，应有
loga n nk a n n! nn 。
根据无穷小数列的定义， 我们知道： 无穷小数列就是以 0 为极限的特殊数列。 那么，它与以 a （ a 0 ）为极限的数列是否可以转化？其关系如何？
经过分析，我们得到一个很有用的结论： 定理：设 {an } 为一数列， a 是一个实常数，则以下三条等价： （1）数列 {an } 以 a 为极限，即 lim an a ；
k 1, 2,
，则 an ( k ) o(1) ； , K0 （ K 0 为有限正整数）
n 1
K0
性质 4：有限个无穷小数列的积还是无穷小数列，即：若数列 an ( k ) o(1) ，
k 1, 2,