解题思维7圆锥曲线解答题的提分策略ppt
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第(2)问或第(3)问中伴有较为复杂的数学运算,对考生解决问题的能力要
求较高.
示例1
2 2
2
[2020山东,12分]已知椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且
2
过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得
解题思维7 高考中圆锥曲线
解答题的提分策略
考情解读
高考中圆锥曲线解答题常考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的
几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,定点、定值、最值、取值范围、
存在性、探索性问题,综合考查各种数学思想方法和技能、数学学科核
心素养.这类试题的命制有一个共同特点:起点低.一般第(1)问较为简单,
|DQ|为定值.
思维导引 (1)由题意求得a2,b2,即可确定椭圆方程.
(2)首先对直线MN的斜率分存在和不存在两种情况讨论,当斜率存在时,设
直线MN的方程为y=kx+m,联立直线与椭圆的方程,结合·=0及根
2 1
与系数的关系,求得直线MN的方程为y=k(x- )- (k≠1),当斜率不存在时,
4
2
5
题设可得x1+x2= .
2
=
……………………………………………………………....…...②
3
2
+ ,
由ቐ
可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, …………...……………………...③
2 = 3
1
12(−1)
12(−1) 5
2
2
则Δ=(12t-12) -144t >0,所以t< ,所以x1+x2=.从而- 9 =2,
6
3
3
2 1
此时直线MN过点P( ,- ).
3 3
………………………………………………..…...(10分)
41
令Q为AP的中点,即Q( , ).
33
若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,
1
2 2
故|DQ|= |AP|= .
2
3
(直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半)
1
若D与P重合,则|DQ|= |AP|.
相关量的取值范围问题等等,这一问综合性较强,可通过巧设“点”“线
”,应用设而不求法解题.在具体求解时,可将整个解题过程分成程序化
的三步:
提分 第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式和根与系数的关系正
策略 确写出;
第二步,用两个交点的同一类坐标的和与积,来表示题目中涉及的数量关
系;
第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中,在求
解时,要根据题目特征,恰当的设点、设线,以简化运算.
示例2 [2019全国卷Ⅰ,
3
2
12分]已知抛物线C:y =3x的焦点为F,斜率为 的
2
直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
思维导引
3
(1)设出直线l的方程:y= x+t,与抛物线方程联立,由焦半径公式
2
……………………………………………..…...(11分)
41
综上,存在点Q( , ),使得|DQ|为定值.
33
…………………………………..…...(12分)
感悟升华
素养
探源
思想
素养
考查途径
数学运算
椭圆方程的求解.
直观想象
点与椭圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系.
方程思想
方法
分类讨
1.对于直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论.
2
2 2
所以C的方程为 + =1.
6
3
…………….(2分)
……………………………………………..….............(3分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
2 2
若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入 + =1得
6
3
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0. ……………………………………………..…...(5分)
3 3
2 1
所以直线MN过点P( ,- ).
3 3
……………………………………………..…........ (9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-
y1-1)=0.
12 12
2
2
又 + =1,可得31 -8x1+4=0.解得x1=2(舍去),或x1= .
论思想
2.对D与P是否重合分情况讨论.
1.解决圆锥曲线解答题重在“设”——设点,设线
提分
策略
2.求解圆锥曲线问题的策略
圆锥曲线解答题的常见类型:第(1)问通常是根据已知条件,求曲线方程
或离心率,一般比较简单;第(2)问通常是通过方程研究曲线的性质——
弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、
2
2+4=0.
将①代入上式可得(k +1)
(
km-k2)
+(
m1)
1+2 2
1+2 2
整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0. ……………………………………………(8分)
因为A(2,1)不在直线MN上,
所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1.
2 1
于是MN的方程为y=k(x- )- (k≠1).
3 3
2
可求得直线MN的方程为x= ,所以由以上两种情况可知直线MN恒过定点
3
2 1
P(3,-3).设Q为AP的中点,当D与P不重合时,由△ADP为直角三角形,易得
1
1
|DQ|= |AP|;当D与P重合时,易得|DQ|= |AP|,综上即可得结果.
2
2
规范解答
4
1
2 − 2 1
(1)由题设得 2 + 2=1, 2 = ,解得a2=6,b2=3.
4
22 −6
于是x1+x2=,x1x2=
.
①
2
2
1+2
1+2
……………………………………………..(6分)
由AM⊥AN知·=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得
(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.
2 −6
2
4
2
9
7
得t=- .
8
3 7
2
及根与系数的关系,求出t值,即得直线l的方程.(2)先通过方程思想及向量
运算求出A,B两点的纵坐标,进而得A,B两点的横坐标,再利用两点间的距
离公式求得|AB|.
规范解答
3
设直线l:y= x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
2
………..……………….….....①
3
3
(1)由题设得F( ,0),根据抛物线的焦半径公式可知|AF|+|BF|=x1+x2+ ,由
求较高.
示例1
2 2
2
[2020山东,12分]已知椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且
2
过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得
解题思维7 高考中圆锥曲线
解答题的提分策略
考情解读
高考中圆锥曲线解答题常考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的
几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,定点、定值、最值、取值范围、
存在性、探索性问题,综合考查各种数学思想方法和技能、数学学科核
心素养.这类试题的命制有一个共同特点:起点低.一般第(1)问较为简单,
|DQ|为定值.
思维导引 (1)由题意求得a2,b2,即可确定椭圆方程.
(2)首先对直线MN的斜率分存在和不存在两种情况讨论,当斜率存在时,设
直线MN的方程为y=kx+m,联立直线与椭圆的方程,结合·=0及根
2 1
与系数的关系,求得直线MN的方程为y=k(x- )- (k≠1),当斜率不存在时,
4
2
5
题设可得x1+x2= .
2
=
……………………………………………………………....…...②
3
2
+ ,
由ቐ
可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, …………...……………………...③
2 = 3
1
12(−1)
12(−1) 5
2
2
则Δ=(12t-12) -144t >0,所以t< ,所以x1+x2=.从而- 9 =2,
6
3
3
2 1
此时直线MN过点P( ,- ).
3 3
………………………………………………..…...(10分)
41
令Q为AP的中点,即Q( , ).
33
若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,
1
2 2
故|DQ|= |AP|= .
2
3
(直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半)
1
若D与P重合,则|DQ|= |AP|.
相关量的取值范围问题等等,这一问综合性较强,可通过巧设“点”“线
”,应用设而不求法解题.在具体求解时,可将整个解题过程分成程序化
的三步:
提分 第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式和根与系数的关系正
策略 确写出;
第二步,用两个交点的同一类坐标的和与积,来表示题目中涉及的数量关
系;
第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中,在求
解时,要根据题目特征,恰当的设点、设线,以简化运算.
示例2 [2019全国卷Ⅰ,
3
2
12分]已知抛物线C:y =3x的焦点为F,斜率为 的
2
直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
思维导引
3
(1)设出直线l的方程:y= x+t,与抛物线方程联立,由焦半径公式
2
……………………………………………..…...(11分)
41
综上,存在点Q( , ),使得|DQ|为定值.
33
…………………………………..…...(12分)
感悟升华
素养
探源
思想
素养
考查途径
数学运算
椭圆方程的求解.
直观想象
点与椭圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系.
方程思想
方法
分类讨
1.对于直线的斜率分存在和不存在两种情况讨论.
2
2 2
所以C的方程为 + =1.
6
3
…………….(2分)
……………………………………………..….............(3分)
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).
2 2
若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入 + =1得
6
3
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0. ……………………………………………..…...(5分)
3 3
2 1
所以直线MN过点P( ,- ).
3 3
……………………………………………..…........ (9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-
y1-1)=0.
12 12
2
2
又 + =1,可得31 -8x1+4=0.解得x1=2(舍去),或x1= .
论思想
2.对D与P是否重合分情况讨论.
1.解决圆锥曲线解答题重在“设”——设点,设线
提分
策略
2.求解圆锥曲线问题的策略
圆锥曲线解答题的常见类型:第(1)问通常是根据已知条件,求曲线方程
或离心率,一般比较简单;第(2)问通常是通过方程研究曲线的性质——
弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、
2
2+4=0.
将①代入上式可得(k +1)
(
km-k2)
+(
m1)
1+2 2
1+2 2
整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0. ……………………………………………(8分)
因为A(2,1)不在直线MN上,
所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1.
2 1
于是MN的方程为y=k(x- )- (k≠1).
3 3
2
可求得直线MN的方程为x= ,所以由以上两种情况可知直线MN恒过定点
3
2 1
P(3,-3).设Q为AP的中点,当D与P不重合时,由△ADP为直角三角形,易得
1
1
|DQ|= |AP|;当D与P重合时,易得|DQ|= |AP|,综上即可得结果.
2
2
规范解答
4
1
2 − 2 1
(1)由题设得 2 + 2=1, 2 = ,解得a2=6,b2=3.
4
22 −6
于是x1+x2=,x1x2=
.
①
2
2
1+2
1+2
……………………………………………..(6分)
由AM⊥AN知·=0,故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得
(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.
2 −6
2
4
2
9
7
得t=- .
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3 7
2
及根与系数的关系,求出t值,即得直线l的方程.(2)先通过方程思想及向量
运算求出A,B两点的纵坐标,进而得A,B两点的横坐标,再利用两点间的距
离公式求得|AB|.
规范解答
3
设直线l:y= x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
2
………..……………….….....①
3
3
(1)由题设得F( ,0),根据抛物线的焦半径公式可知|AF|+|BF|=x1+x2+ ,由