2019年江苏省常州市中考数学试题+解析
2019年江苏常州中考数学试卷及答案
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中考所⽤的2B铅笔、0.5mm⿊⾊墨⽔签字笔、橡⽪、垫板、圆规、尺⼦以及准考证等，都应归纳在⼀起，在前⼀天晚上就准备好，放⼊⼀个透明的塑料袋或⽂件袋中。
涂答题卡的2B铅笔要提前削好（如果是⾃动笔，要防⽌买到假冒产品）。
不要⾃⼰夹带草稿纸，不要把⼿机、⼩灵通等通讯⼯具带⼊考场，如果带了的话⼀定要关机（以免对⾃⼰造成影响）。
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数学真题/答案[解析]专题推荐参加2019中考的考⽣可直接查阅各科2019年江苏常州中考试题及答案信息！考试须知⼀、考⽣凭《准考证》(社会⼈员须持准考证及⾝份证)提前15分钟进⼊指定试室（英语科提前20分钟）对号⼊座，并将《准考证》放在桌⼦左上⾓，以便查对。
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2019年江苏省常州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
常州市2019年二〇一九年初中学业水平考试数学试题（全卷满分120分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．﹣3的相反数是（）A．B．C．3 D．﹣32．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠33．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD5．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：46．下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2 C．D．2﹣7．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．﹣C．0 D．8．随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程）9．计算：a3÷a＝．10．4的算术平方根是．11．分解因式：ax2﹣4a＝．12．如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．17．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
2019年江苏省常州市中考数学试卷含答案解析
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似
三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分
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线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
6．（2 分）下列各数中与 2+ 的积是有理数的是（ ）
A．圆柱
B．正方体
C．圆锥
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D．球
【考点】U3：由三视图判断几何体． 菁优网版权所有
【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为 圆锥． 【解答】解：该几何体是圆柱． 故选：A． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据 主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体 形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助． 4．（2 分）如图，在线段 PA、PB、PC、PD 中，长度最小的是（ ）
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日益密切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m3）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2 表示 0 时到 t 时 PM2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则 y2 与 t 的函 数关系大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。不需写出解答过程，请把答案直接
A．﹣2
B．﹣
C．0
D．
【考点】O1：命题与定理． 菁优网版权所有
【分析】反例中的 n 满足 n＜1，使 n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断． 【解答】解：当 n＝﹣2 时，满足 n＜1，但 n2﹣1＝3＞0， 所以判断命题“如果 n＜1，那么 n2﹣1＜0”是假命题，举出 n＝﹣2． 故选：A． 【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题 非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只 需举出一个反例即可． 8．（2 分）随着时代的进步，人们对 PM2.5（空气中直径小于等于 2.5 微米的颗粒）的关注 日益密切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m3）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2 表示 0 时到 t 时 PM2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM2.5 的最大值与最小值的差），则 y2 与 t 的函 数关系大致是（ ）
2019年江苏常州中考数学真题--含解析
2019年江苏省常州市初中毕业、升学考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2019·江苏常州，1，2）－3的相反数是（）A．13B．－13C．3 D．－3【答案】C．【解析】本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于－3＋3＝0，从而－3的相反数是3，因此本题选C．【知识点】实数的概念；相反数2．（2019·江苏常州，2，2）若代数式13xx+-有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝－1 B．x＝3 C．x≠－1 D．x≠3【答案】D．【解析】本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x－3≠0得x≠3，因此本题选D．【知识点】分式有意义的条件3．（2019·江苏常州，3，2）下图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．3圆柱 B．正方体 C．圆锥 D．球【答案】A【解析】本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A．【知识点】三视图4．（2019·江苏常州，4，2）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD【答案】B第4题图DCBAP第3题图【解析】本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是PB，因此本题选B．【知识点】垂线的性质；点到直线的距离5．（2019·江苏常州，5，2）若△ABC∽△A B C'''，相似比为1﹕2，则△ABC与△A B C'''的周长的比为（）A．2﹕1 B．1﹕2 C．4﹕1 D．1﹕4【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC与△A B C'''的周长的比为1﹕2，因此本题选B．【知识点】相似三角形的性质6．（2019·江苏常州，6，2）下列各数中与2）A．2．2 C．2【答案】D【解析】本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2)(2)＝1，因此本题选D．【知识点】分母有理化；二次根式的乘法法则7．（2019·江苏常州，7，2）判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．－2 B．－12C．0 D．12【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n可以为－2，因此本题选A．【知识点】命题与证明；反证法；举反例8．（2019·江苏常州，8，2）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随着时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）ABC．2 D第8题图【答案】B【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t ≤10、10≤t ≤20、20≤t ≤24，在0≤t ≤10，y 2随t 的增大而增大；在10≤t ≤20，y 2随t 的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t ≤24，y 2随t 的增大而增大，因此本题选B ． 【知识点】极差的意义；函数图像的应用二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．（2019·江苏常州，9，2）计算：a 3÷a ＝__________． 【答案】a 2【解析】本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a 3÷a ＝a 3－1＝a 2，因此本题答案为a 2．【知识点】同底幂的除法法则 10．（2019·江苏常州，10，2）4的算术平方根是__________． 【答案】2 【解析】本题考查了算术平方根的定义，因为22＝4，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2． 【知识点】算术平方根的定义 11．（2019·江苏常州，11，2）分解因式：ax 2－4a ＝__________． 【答案】a (x ＋2)(x ＋2)【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax 2－4a ＝a (x 2－4)＝a (x ＋2)(x ＋2)，因此本题答案为a (x ＋2)(x ＋2)． 【知识点】因式分解 12．（2019·江苏常州，12，2）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°． 【答案】55°【解析】本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，∵35°＋55°＝90°，∴∠α的余角等于55°，因此本题答案为55°． 【知识点】余角的定义 13．（2019·江苏常州，13，2）如果a －b －2＝0，那么代数式1＋2a －2b 的值是__________． 【答案】5【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a －b －2＝0，∴a －b ＝2．∴1＋2a －2b ＝1＋2(a －b )＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5． 【知识点】整式的求值问题；整体思想 14．（2019·江苏常州，14，2）平面直角坐标系中，点P (－3，4)到原点的距离是__________． 【答案】5 【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，A ．B ．C ．D ．可求得点P(－3，4)5，因此本题答案为5．【知识点】平面内两点间的距离公式；勾股定理15．（2019·江苏常州，15，2）若12xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的二元一次方程ax＋y＝3的解，则a＝__________．【答案】1【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将12xy=⎧⎨=⎩代入方程ax＋y＝3，得a＋2＝3，a＝1，因此本题答案为1．【知识点】二元一次方程的解的定义16．（2019·江苏常州，16，2）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝__________°．【答案】30【解析】本题考查了圆周角定理，∵AB是⊙O的直径，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝60°．∴∠CDB ＝30°．因此本题答案为30．【知识点】圆周角定理17．（2019·江苏常州，17，2O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切．连接OC，则tan∠OCB＝__________．【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O与BC边相切于点D，连接OB、OD．由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，再由切线长定理易求∠OBC＝30°，而ODtan∠OBD＝ODBD，得BD＝3，于是CD＝BC－BD＝8－3＝5．在Rt△OCD第17题图第16题图BA中，由正切函数定义，得tan ∠OCB ＝OD CD．【知识点】切线长定理；等边三角形的性质；锐角三角函数18．（2019·江苏常州，18，2）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝P 是AD 的中点，点E在BC 上，CE ＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN＝__________．【答案】6．【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD ＝10，然后由“AD ＝3AB ＝P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ”，求得PD＝2，CE ＝tan ∠DEC ＝12DC EC =；第四步过点P 作PH ⊥BD 于点H ，在BD 上依次取点M 、N ，使MH ＝NH ＝2PH ，于是因此△PMN 是所求符合条件的图形；第五步由△DPH ∽△DBA ，得PH PD BA BD =，即210=，得PH ＝32，于是MN ＝4PH ＝6，本题答案为6．【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数；压轴题三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应HNMP EDC BA第18题答图第18题图第17题答图写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（2019·江苏常州，19，8）计算：（1）0121()(3)2π-+-；（2）(x －1)(x ＋1)－x (x －1) ．【思路分析】本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可． 【解题过程】解：（1）原式＝1＋2－3＝0；（2）原式＝x 2－1－x 2＋x ＝x －1． 【知识点】实数的运算；整式的加减乘除法运算20．（2019·江苏常州，20，6）解不等式组1038x x x+>⎧⎨-≤-⎩并把解集在数轴上表示出来．【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来． 【解题过程】解：不等式①的解集为x ＞－1；不等式②的解集为：3x ＋x ≤8，4x ≤8， x ≤2．∴原不等式组的解集为－1＜x ≤2，在数轴上表示如下：【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式的解集在数轴上表示法 21．（2019·江苏常州，21，8）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在C '处，BC '与AD 相交于点E ．（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是_________； （2）EB 与ED 相等吗?证明你的结论．【思路分析】本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接AC '，从图形上容易看出并证明四边形ABDC '是等腰梯形，故AC '∥BD ．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB ＝ED ．【解题过程】解：（1）AC '∥BD ；第21题答图第21题图第20题答图-4-3-2-143210（2）EB ＝ED ．理由如下：由折叠可知∠CBD ＝∠EBD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．∴∠CBD ＝∠EDB ． ∴∠EBD ＝∠EDB ． ∴EB ＝ED ．【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定 22．（2019·江苏常州，22，8）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图． （1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【思路分析】本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想．将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数． 【解题过程】解：（1）30，10；（2）x ＝56101115820530⨯+⨯+⨯+⨯＝36030＝12（元）；（3）∵12×600＝7200（元），∴估计该校学生的捐款总数为7200元．【知识点】统计中的条形图的应用；众数、平均数的求法；用样本估计总体 23．（2019·江苏常州，23，8）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．根据以上信息，解决下列问题：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）第22题图/元【思路分析】本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决．【解题过程】解：（1）23；（2）现画树状图如下：由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P (拼成的图形是轴对称图形)＝26＝13．【知识点】概率的求法 24．（2019·江苏常州，24，8）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？【思路分析】本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等． 【解题过程】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(30－x )个零件，根据题意，得18012030x x=-，解得x ＝18． 经检验，x ＝18是原方程的解，则30－x ＝12． 答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件． 【知识点】分式方程的应用25．（2019·江苏常州，25，8）如图，在□ABCD 中，OA ＝，∠AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ．（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．第23题答图(C,B)(C,A)(B,C)(B,A)(A,C)(A,B)结果：第二次：第一次：开始ABC ABC CB A 第23题图111C BA【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点．（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ．由OA ＝，∠AOC ＝45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k ＝4．（2）由中点公式，易求点E 的坐标，从而D 点的横坐标与E 点相同，在y ＝4x，将点E 的横坐标代入可求y 的值，从而求出点D 的坐标． 【解题过程】解：（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ，则AF ⊥x 轴于点F ． 在Rt △AOF 中，OA ＝，∠AOC ＝45°，可得OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)． ∵反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ， ∴k ＝2×2＝4．（2）∵O (0，0)，A (2，2)，∴线段OA 的中点E 的坐标为 (1，1)．∵在y ＝kx中，当x ＝1，y ＝4，∴点D 的坐标为(1，4)．【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；反比例函数 26．（2019·江苏常州，26，10）【阅读】数学中，常对同一个量．．．．（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n 2＝___________________________．【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(m ＋n )点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7．①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝______；当n ＝5，m ＝_______时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳思想，可得y ＝__________（用含m 、n 的代数式表示）．请对同．一个量．．．用算两次的方法说明你的猜想成立．【思路分析】本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点．（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a 、b 、c 的数量关系：a 2＋b 2＝c 2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）根据图2中n 行n 列个点的计算方式，得到n 2＝1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）．（3）先观察图3和图4，不难解决第①问；②利用多边形的内角和公式，得到在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即可得到y 与m 、n 的数量关系式． 【解题过程】解：（1）∵S 梯形＝12(a ＋b )(a ＋b )＝12(a 2＋2ab ＋b 2)，又∵S 梯形＝2×12ab ＋12c 2，∴12(a 2＋2ab ＋b 2)＝2×12ab ＋12c 2． ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2． ∴a 2＋b 2＝c 2．结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）． （3）①6，3；图26—3 图26—4图26—1abc cba图26—2②n ＋2m －2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即180°•(n －2)＋m •360°，故180y ＝180(n －2)＋360 m ，故y ＝n ＋2m －2．【知识点】勾股定理的验证；数列的求和公式推导；规律探究；阅读理解题 27．（2019·江苏常州，27，10）如图，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像与x 轴交于点A 、B ，与y轴交于点C ，点A 坐标为(－1，0)，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b ＝_____；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ，求点P 的坐标．【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A 坐标代入抛物线解析式，得到关于b 的一元一次方程，解之即可；（2）先求直线BC 、BD 的解析式，然后令P (m ，－m 2＋2m ＋3)，则M (m ，－m ＋3)、N (m ，－12m ＋32)，再利用PM ＝MN ＝NH ，得到m 的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P 坐标；（3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P 的纵坐标为点Q 纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P 的坐标． 【解题过程】解：（1）∵二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像过点A (－1，0)，∴0＝－(－1)2－b ＋3． ∴b ＝2．（2）如答图1，连接BD 、BC ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交BC 、BD 分别于点M 、N ．第27题图 第27题备用图第26题答图∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3交x 轴于点A (－1，0)、B (3，0)，交y 轴于点C (0，3)，且点D 为OC 的中点，∴D (0，32)．易求直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，直线BD 的解析式为y ＝－12x ＋32．假设存在符合条件点P (m ，－m 2＋2m ＋3)，则M (m ，－m ＋3)、N (m ，－12m ＋32)．∵PM ＝MN ＝NH ，∴－12m ＋32＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)．整理，得2m 2－7m ＋3＝0，解得m 1＝12，m 2＝3（不合题意，舍去）．∴P (12，154)即为所求的符合条件的点．（3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ．∵过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ， ∴PQ ＝2QR ，从而PR ＝3QR ． ∵PK ∥QJ ，∴△RQJ ∽△RPK ． ∴13QJ RQ PK RP ==． ∴PK ＝3QJ ．设P (n ，－n 2＋2n ＋3)，由BD 的解析式为y ＝－12x ＋32，且直线PQ ⊥BD ，可令直线PQ 的解析式为y ＝2x ＋t ，则－n 2＋2n ＋3＝2n ＋t ，解得t ＝3－n 2，于是，PQ ：y ＝2x ＋3－n 2．由2132223y x y x n ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得2223551955x n y n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，从而Q (22355n -，21955n -+)．由PK ＝3QJ ，得－n 2＋2n ＋3＝3(21955n -+)，整理，得n 2－5n ＋6＝0，解得n 1＝2，n 2＝3（舍去）．当n ＝2时，－n 2＋2n ＋3＝3，故P (2，3)即为所求的点．【知识点】二次函数的综合应用；用待定系数法求函数解析式；一元二次方程的解法；相似三角形的性质与判定；压轴题28．（2019·江苏常州，28，10）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：________；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)、B(1，0)，C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点(0，2)且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上的任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【思路分析】本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可．【解题过程】解：（1）①2（直径是圆的宽距）；1．（如答图1，点A与半圆圆心的连线与半圆相交于点D，则AD的长最大）（2）①如答图2所示，分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域．S阴影＝2(21202360π⋅－112⋅)＝83π-．②1≤x≤1或1－≤x≤1－．CBA第28题答图1图28—2图28—1【知识点】新定义问题；点到圆的最大距离；扇形的面积；尺规作图；动态问题；探究问题；压轴题第28题答图3 第28题答图4。
江苏省常州市中考数学真题试题(含解析)
江苏省常州市2019年中考数学试卷、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1 3的相反数是（）3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（A.线段PAB.线段PBC.线段PCD.线段PD5.若△ ABC-A A BC'，相似比为1: 2,则厶ABC W^ AB' C的周长的比为（）A. 2: 1B. 1 : 2C.4: 1D.1: 46.下列各数中与2+ 的积是有理数的是（)A. 2+ :B. 2C.D.2——7.判断命题“如果nv 1,那么n2—1 v 0”是假命题, 只需举出一个反例反例中的n可以为（)11A.- 2B-— < C.0 D.&随着时代的进步，人们对PM.5 （空气中直径小于等于 2.5微米的颗粒）的关注日益密切.某市一天中PM2.5的值y1 （ug/m i）随时间t （h）的变化如图所示，设中表示0时到t时PM.5的值A. B. C. 3 D.—32.若代数式有意义, 则实数x的取值范围是（A. x =—1B. x = 3C. X M— 1D. X M 3C.圆锥D.球A.圆柱B.正方体的极差（即0时到t 时PM.5的最大值与最小值的差），则y2与t 的函数关系大致是（二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在 答题卡相应位置上）9. ____________________ 计算：a 3+ a = .10. _______________________ 4的算术平方根是 . 11 .分解因式：ax 2 - 4a = _________ .12. 如果/ a = 35°，那么/ a 的余角等于 _____________ ° . 13. 如果a - b -2= 0，那么代数式1+2a- 2b 的值是 ____________ . 14 .平面直角坐标系中，点P （- 3, 4）到原点的距离是 ________ .卜二15. ______________________________________________________________ 若是关于x 、y 的二元一次方程 ax +y = 3的解，则a = ___________________________________________ .16. _________________________________________________________________________ 如图，AB 是O O 的直径，C 、D 是O O 上的两点，/ AOC= 120°,则/ CDB= ___________________17. 如图，半径为讥的O O 与边长为8的等边三角形 ABC 的两边AB BC 都相切，连接 OC 则Z OCB= ______A.O 1020 24tan22.18.如图，在矩形 ABCDK AD= 3AB= 3^1 C ,点P 是AD 的中点，点 E 在BC 上，CE= 2BE 点MN三、解答题(本大题共 10小题，共84分。
江苏省常州市2019年中考数学试卷(含解析)
江苏省常州市2019年中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣32．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠33．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD5．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：46．下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣7．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．8．随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．计算：a3÷a＝．10．4的算术平方根是．11．分解因式：ax2﹣4a＝．12．如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．17．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
2019年江苏省常州市中考数学试题(Word版,含解析)
2019年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣32．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠33．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．（2分）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：46．（2分）下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：a3÷a＝．10．（2分）4的算术平方根是．11．（2分）分解因式：ax2﹣4a＝．12．（2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．（2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．（2分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．（2分）若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB ＝°．17．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
2019江苏省常州市中考数学试题(含解析)
2019年江苏省常州市中考试题解析（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8题，每小题2分，共16分）1．（2019江苏常州，1，2分） ﹣3的相反数是（ ）A ．13B ．−13C ．3D ．﹣3【答案】C【解析】解：（﹣3）+3＝0．故选：C ．【知识点】相反数2. （2019江苏常州，2，2分）若代数式x+1x−3有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝3C ．x ≠﹣1D ．x ≠3【答案】D【解析】解：∵代数式x+1x−3有意义，∴x ﹣3≠0，∴x ≠3．故选：D ．【知识点】分式有意义的条件3. （2019江苏常州，3，2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆柱B ．正方体C ．圆锥D ．球【答案】A【解析】解：该几何体是圆柱．故选：A ．【知识点】由三视图判断几何体4. （2019江苏常州，4，2分）如图，在线段P A 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（）A ．线段P AB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD【答案】B【解析】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B ．故选：B ．【知识点】垂线段最短5.（2019江苏常州，5，2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【答案】B【解析】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．【知识点】相似三角形的性质6.（2019江苏常州，6，2分）下列各数中与2+√3的积是有理数的是（）A．2+√3B．2 C．√3D．2−√3【答案】D【解析】解：∵（2+√3）（2−√3）＝4﹣3＝1，故选：D．【知识点】分母有理化7.（2019江苏常州，7，2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2 B．−12C．0 D．12【答案】A【解析】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【知识点】命题与定理8.（2019江苏常州，8，2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）【答案】B【解析】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．【知识点】函数的图象；极差二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）9.（2019江苏常州，9，2分）计算：a3÷a＝．【答案】a 2【解析】解：a 3÷a ＝a 2．故答案为：a 2．【知识点】同底数幂的除法10. （2019江苏常州，10，2分） 4的算术平方根是 ．【答案】2【解析】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【知识点】算术平方根11. （2019江苏常州，11，2分）分解因式：ax 2﹣4a ＝ ．【答案】a （x +2）（x ﹣2）【解析】解：ax 2﹣4a ＝a （x 2﹣4）＝a （x +2）（x ﹣2）．【知识点】提公因式法与公式法的综合运用12. （2019江苏常州，12，2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．【答案】55【解析】解：∵∠α＝35°，∴∠α的余角等于90°﹣35°＝55°故答案为：55．【知识点】余角和补角13. （2019江苏常州，13，2分）如果a ﹣b ﹣2＝0，那么代数式1+2a ﹣2b 的值是 ．【答案】5【解析】解：∵a ﹣b ﹣2＝0，∴a ﹣b ＝2，∴1+2a ﹣2b ＝1+2（a ﹣b ）＝1+4＝5；故答案为5．【知识点】代数式求值14. （2019江苏常州，14，2分）平面直角坐标系中，点P （﹣3，4）到原点的距离是 ．【答案】5【解析】解：作P A ⊥x 轴于A ，则P A ＝4，OA ＝3．则根据勾股定理，得OP ＝5．故答案为5．【知识点】坐标与图形性质；勾股定理15. （2019江苏常州，15，2分）若{x =1，y =2是关于x 、y 的二元一次方程ax +y ＝3的解，则a ＝ ． 【答案】1【解析】解：把{x =1y =2代入二元一次方程ax +y ＝3中， a +2＝3，解得a ＝1．故答案是：1．【知识点】二元一次方程的解16.（2019江苏常州，16，2分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝ °．【答案】30【解析】解：∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB =12∠BOC ＝30°．故答案为30．【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理17. （2019江苏常州，17，2分）如图，半径为√3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，连接OC ，则tan ∠OCB ＝ ．【答案】√35【解析】解：连接OB ，作OD ⊥BC 于D ，∵⊙O 与等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切，∴∠OBC ＝∠OBA =12∠ABC ＝30°，∴tan ∠OBC =OD BD ，∴BD =OD tan30°=√333=3， ∴CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣3＝5，∴tan ∠OCB =OD CD =√35． 故答案为√35．【知识点】等边三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；解直角三角形18.（2019江苏常州，18，2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3√10，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．【答案】6【解析】解：作PF⊥MN于F，如图所示：则∠PFM＝∠PFN＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3√10，∠A＝∠C＝90°，∴AB＝CD=√10，BD=√AB2+AD2=10，∵点P是AD的中点，∴PD=12AD=3√102，∵∠PDF＝∠BDA，∴△PDF∽△BDA，∴PFAB=PDBD，即√10=3√10210，解得：PF=3 2，∵CE＝2BE，∴BC＝AD＝3BE，∴BE＝CD，∴CE＝2CD，∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，∵∠PFN＝∠C＝90°，∴△PNF∽△DEC，∴NFPF=CECD=2，∴NF＝2PF＝3，∴MN＝2NF＝6；故答案为：6．【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理三、解答题（本大题共10小题，满分84分，各小题都必须写出解答过程）19.（2019江苏常州，19，8分）计算：（1）π0+（12）﹣1﹣（√3）2； （2）（x ﹣1）（x +1）﹣x （x ﹣1）．【思路分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可；【解题过程】解：（1）π0+（12）﹣1﹣（√3）2＝1+2﹣3＝0； （2）（x ﹣1）（x +1）﹣x （x ﹣1）＝x 2﹣1﹣x 2+x ＝x ﹣1；【知识点】实数的运算；整式的运算；零指数幂；负指数幂；多项式乘以多项式（单项式）的运算法则20. （2019江苏常州，20，6分）解不等式组{x +1＞0，3x −8≤−x ，并把解集在数轴上表示出来． 【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解题过程】解：解不等式x +1＞0，得：x ＞﹣1，解不等式3x ﹣8≤﹣x ，得：x ≤2，∴不等式组的解集为﹣1＜x ≤2，将解集表示在数轴上如下：【知识点】解一元一次不等式组21. （2019江苏常州，21，8分）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C ′处，BC ′与AD 相交于点E ．（1）连接AC ′，则AC ′与BD 的位置关系是 ；（2）EB 与ED 相等吗？证明你的结论．【思路分析】（1）根据AD＝C'B，ED＝EB，即可得到AE＝C'E，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'＝∠EC'A＝∠EBD＝∠EDB，进而得出AC'∥BD；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB＝∠EBD，进而得出BE＝DE．【解题过程】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）22.（2019江苏常州，22，8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．【思路分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．【解题过程】解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为6×5+11×10+8×15+5×2030=12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；算术平均数；众数23. （2019江苏常州，23，8分）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【思路分析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．【解题过程】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A 型（正方形）、B 型（菱形）或C 型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23； 故答案为：23； （2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A 和C ，C 和A ，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为26=13． 【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案；概率公式；列表法与树状图法24. （2019江苏常州，24，8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？【思路分析】设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30﹣x ）个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．【解题过程】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做（30﹣x ）个零件，由题意得：180x =12030−x ，解得：x ＝18，经检验：x ＝18是原分式方程的解，则30﹣18＝12（个）．答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．【知识点】分式方程的应用25.（2019江苏常州，25，8分）如图，在▱OABC 中，OA ＝2√2，∠AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过点A 、D ．（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．【思路分析】（1）根据已知条件求出A 点坐标即可；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，则有AB ⊥x 轴，可知B 的横纵标为2，D 点的横坐标为1，结合解析式即可求解；【解题过程】解：（1）∵OA ＝2√2，∠AOC ＝45°，∴A （2，2），∴k ＝4，∴y =4x ；（2）四边形OABC 是平行四边形OABC ，∴AB ⊥x 轴，∴B 的横纵标为2，∵点D 是BC 的中点，∴D 点的横坐标为1，∴D （1，4）；【知识点】反比例函数的性质；反比例函数的图象；平行四边形的性质26. （2019江苏常州，26，10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n 2＝ ；【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以（m +n ）个点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7． ①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝ ；当n ＝5，m ＝ 时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳猜想，可得y ＝ （用含m 、n 的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．【思路分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．（2）由图可知n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为n 2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n ﹣1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论．【解题过程】解：（1）有三个Rt △其面积分别为ab ，12ab 和12c 2． 直角梯形的面积为12（a +b ）（a +b ）． 由图形可知：12（a +b ）（a +b ）=12ab +12ab +12c 2 整理得（a +b ）2＝2ab +c 2，a 2+b 2+2ab ＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2．故结论为：直角长分别为a 、b 斜边为c 的直角三角形中a 2+b 2＝c 2．（2）n 行n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为n 2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n ﹣1．由图形可知：n 2＝1+3+5+7+…+2n ﹣1．故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m ﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n 边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．【知识点】图形的变化规律27.（2019江苏常州，27，10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．【思路分析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值．（2）求点B 、C 、D 坐标，求直线BC 、BD 解析式．设点P 横坐标为t ，则能用t 表示点P 、M 、N 、H 的坐标，进而用含t 的式子表示PM 、MN 、NH 的长．以PM ＝MN 为等量关系列得关于t 的方程，求得t 的值合理（满足P 在第一象限），故存在满足条件的点P ，且求得点P 坐标．（3）过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E ，根据同角的余角相等易证∠EPQ ＝∠OBD ，所以cos ∠EPQ ＝cos ∠OBD =2√55，即在Rt △PQE 中，cos ∠EPQ =PQ PE =2√55；在Rt △PFR 中，cos ∠RPF =PF PR =2√55，进而得PQ =2√55PE ，PR =√52PF ．设点P 横坐标为t ，可用t 表示PE 、PF ，即得到用t 表示PQ 、PR ．又由S △PQB ＝2S △QRB 易得PQ ＝2QR ．要对点P 位置进行分类讨论得到PQ 与PR 的关系，即列得关于t 的方程．求得t 的值要注意是否符合各种情况下t 的取值范围．【解题过程】解：（1）∵二次函数y ＝﹣x 2+bx +3的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）∴﹣1﹣b +3＝解得：b ＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ．∵二次函数解析式为y ＝﹣x 2+2x +3当x ＝0时y ＝3，∴C （0，3）当y ＝0时，﹣x 2+2x +3＝0解得：x 1＝﹣1，x 2＝3∴A （﹣1，0），B （3，0）∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3∵点D 为OC 的中点，∴D （0，32） ∴直线BD 的解析式为y =−12x +32，设P （t ，﹣t 2+2t +3）（0＜t ＜3），则M （t ，﹣t +3），N （t ，−12t +32），H （t ，0）∴PM ＝﹣t 2+2t +3﹣（﹣t +3）＝﹣t 2+3t ，MN ＝﹣t +3﹣（−12x +32）=−12t +32，NH =−12t +32∴MN ＝NH∵PM ＝MN∴﹣t 2+3t =−12t +32解得：t 1=12，t 2＝3（舍去）∴P （12，154）∴P 的坐标为（12，154），使得PM ＝MN ＝NH ．（3）过点P 作PF ⊥x 轴于F ，交直线BD 于E∵OB ＝3，OD =32，∠BOD ＝90°∴BD =√OB 2+OD 2=3√52 ∴cos ∠OBD =OB BD =3√52=2√55 ∵PQ ⊥BD 于点Q ，PF ⊥x 轴于点F∴∠PQE ＝∠BQR ＝∠PFR ＝90°∴∠PRF +∠OBD ＝∠PRF +∠EPQ ＝90°∴∠EPQ ＝∠OBD ，即cos ∠EPQ ＝cos ∠OBD =2√55在Rt △PQE 中，cos ∠EPQ =PQ PE =2√55 ∴PQ =2√55PE在Rt △PFR 中，cos ∠RPF =PF PR =2√55 ∴PR =255=√52PF∵S △PQB ＝2S △QRB ，S △PQB =12BQ •PQ ，S △QRB =12BQ •QR∴PQ ＝2QR设直线BD 与抛物线交于点G∵−12x +32=−x 2+2x +3，解得：x 1＝3（即点B 横坐标），x 2=−12 ∴点G 横坐标为−12设P （t ，﹣t 2+2t +3）（t ＜3），则E （t ，−12t +32）∴PF ＝|﹣t 2+2t +3|，PE ＝|﹣t 2+2t +3﹣（−12t +32）|＝|﹣t 2+52t +32|①若−12＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+52t+32∵PQ＝2QR∴PQ=23PR∴2√55PE=23•√52PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2+52t+32）＝5（﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去）∴P（2，3）②若﹣1＜t＜−12，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE=−12t+32−（﹣t2+2t+3）＝t2−52t−32∵PQ＝2QR ∴PQ＝2PR∴2√55PE＝2•√52PF，即2PE＝5PF∴2（t2−52t−32）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t1=−43，t2＝3（舍去）∴P（−43，−139）综上所述，点P坐标为（2，3）或（−43，−139）．【知识点】二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；解一元二次方程；同角的余角相等；三角函数的应用28.（2019江苏常州，28，10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．【思路分析】（1）①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解决问题．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．求出d＝5或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．【解题过程】解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．在Rt△ODC中，OC=√CD2+OD2=√12+22=√5∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+√5，∴这个“窗户形“的宽距为1+√5．故答案为1+√5．（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，∴当d＝5时．AM＝4，∴AT=√AM2−MT2=2√3，此时M（2√3−1，2），当d＝8时．AM＝7，∴AT=√82−22=2√15，此时M（2√15−1，2），∴满足条件的点M的横坐标的范围为2√3−1≤x≤2√15−1．当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2√15+1≤x﹣2√3+1．【知识点】圆综合题；平面图形S的“宽距”的定义；正方形的判定和性质；三角形的三边关系。
2019年江苏省常州市中考数学试卷附分析答案
2019年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A． B． C．3D．﹣3 2．（2分）若代数式 㔲 有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠33．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．（2分）如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段PA B．线段PB C．线段PC D．线段PD 5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：46．（2分）下列各数中与2㔲 的积是有理数的是（）A．2㔲 B．2C． D．27．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B． C．0D．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：a3÷a＝．10．（2分）4的算术平方根是．11．（2分）分解因式：ax2﹣4a＝．12．（2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．（2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．（2分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．（2分）若 t ， t 是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB ＝°．17．（2分）如图，半径为 的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3 ，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
2019江苏常州中考数学试题解析答案
2019年江苏省常州市初中毕业、升学考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的） 1．（2019·江苏常州，1，2）－3的相反数是（ ）A ．13 B ．－13C ．3D ．－3 【答案】C ．【解析】本题考查了相反数的定义，和为0的两个数互为相反数，由于－3＋3＝0，从而－3的相反数是3，因此本题选C ．【知识点】实数的概念；相反数2．（2019·江苏常州，2，2）若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ≠－1 D ．x ≠3【答案】D ．【解析】本题考查了分式有意义的条件，只要分母不为0，分式就有意义，由x －3≠0得x ≠3，因此本题选D ． 【知识点】分式有意义的条件 3．（2019·江苏常州，3，2）下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．3圆柱B ．正方体C ．圆锥D ．球【答案】A【解析】本题考查了由几何体的三视图认识几何体，因为该几何体的主视图与左视图都是矩形，所以该几何体是柱体；又因为该几何体的俯视图是圆，所以该几何体是圆柱，因此本题选A ． 【知识点】三视图 4．（2019·江苏常州，4，2）如图，在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是（ ）A ．线段PAB ．线段PBC ．线段PCD ．线段PD【答案】B【解析】本题考查了垂线的性质及点到直线的距离，根据“垂线段最短”，易知在线段PA 、PB 、PC 、PD 中，长度最小的是PB ，因此本题选B ．【知识点】垂线的性质；点到直线的距离第3题图第4题图DC B AP5．（2019·江苏常州，5，2）若△ABC ∽△A B C '''，相似比为1﹕2，则△ABC 与△A B C '''的周长的比为（ ）A ．2﹕1B ．1﹕2C ．4﹕1D ．1﹕4【答案】B【解析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，知△ABC 与△A B C '''的周长的比为1﹕2，因此本题选B ． 【知识点】相似三角形的性质6．（2019·江苏常州，6，2）下列各数中与2＋3的积是有理数的是（ ）A ．2＋3B ．2C ．3D ．2－3 【答案】D【解析】本题考查了分母有理化及二次根式的乘法法则，因数(2＋3)(2－3)＝1，因此本题选D ．【知识点】分母有理化；二次根式的乘法法则 7．（2019·江苏常州，7，2）判断命题“如果n ＜1，那么n 2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ）A ．－2B ．－12 C ．0 D ．12【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n 可以为－2，因此本题选A ． 【知识点】命题与证明；反证法；举反例 8．（2019·江苏常州，8，2）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y 1（ug/m 3）随着时间t （h ）的变化如图所示，设y 2表示0到t 时PM2.5的值的极 差（即0时到t 时PM2.5的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数关系大致是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】B【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t ≤10、10≤t ≤20、20≤t ≤24，在0≤t ≤10，y 2随t 的增大而增大；在10≤t ≤20，y 2随t 的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t ≤24，y 2随t 的增大而增大，因此本题选B ． 【知识点】极差的意义；函数图像的应用y 1t1020244285140第8题图A ．B ．C ．D ．98024y 2t98024y 2t 98024y 2t t y 224098二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9．（2019·江苏常州，9，2）计算：a3÷a＝__________．【答案】a2【解析】本题考查了同底幂的除法法则：同底幂相除，底数不变，指数相减，而a3÷a＝a3－1＝a2，因此本题答案为a2．【知识点】同底幂的除法法则10．（2019·江苏常州，10，2）4的算术平方根是__________．【答案】2【解析】本题考查了算术平方根的定义，因为22＝4，所以4的算术平方根为2，因此本题答案为2．【知识点】算术平方根的定义11．（2019·江苏常州，11，2）分解因式：ax2－4a＝__________．【答案】a(x＋2)(x＋2)【解析】本题考查了因式分解的常用方法，根据因式分解的步骤，先提公因式，再运用公式法进行分解，ax2－4a ＝a(x2－4)＝a(x＋2)(x＋2)，因此本题答案为a(x＋2)(x＋2)．【知识点】因式分解12．（2019·江苏常州，12，2）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于__________°．【答案】55°【解析】本题考查了余角的定义，根据和为90°的两个角称为互为余角，∵35°＋55°＝90°，∴∠α的余角等于55°，因此本题答案为55°．【知识点】余角的定义13．（2019·江苏常州，13，2）如果a－b－2＝0，那么代数式1＋2a－2b的值是__________．【答案】5【解析】本题考查了整式的求值问题，将条件进行转化，然后利用整体代入的方法进行求值．∵a－b－2＝0，∴a－b＝2．∴1＋2a－2b＝1＋2(a－b)＝1＋2×2＝5，因此本题答案为5．【知识点】整式的求值问题；整体思想14．（2019·江苏常州，14，2）平面直角坐标系中，点P(－3，4)到原点的距离是__________．【答案】5【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求得点P(－3，4)5，因此本题答案为5．【知识点】平面内两点间的距离公式；勾股定理15．（2019·江苏常州，15，2）若12xy=⎧⎨=⎩是关于x、y的二元一次方程ax＋y＝3的解，则a＝__________．【答案】1【解析】本题考查了二元一次方程的解的定义，将12xy=⎧⎨=⎩代入方程ax＋y＝3，得a＋2＝3，a＝1，因此本题答案为1．【知识点】二元一次方程的解的定义16．（2019·江苏常州，16，2）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠AOC ＝120°，则∠CDB ＝__________°．【答案】30【解析】本题考查了圆周角定理，∵AB 是⊙O 的直径，∠AOC ＝120°，∴∠BOC ＝60°．∴∠CDB ＝30°．因此本题答案为30．【知识点】圆周角定理17．（2019·江苏常州，17，2）如图，半径为3的⊙O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切．连接OC ，则tan⊙OCB ＝__________．【答案】35． 【解析】本题考查了切线长定理、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识．设⊙O 与BC 边相切于点D ，连接OB 、OD ．由等边三角形的性质得∠ABC ＝60°，再由切线长定理易求∠OBC ＝30°，而OD ＝3，从而由tan⊙OBD＝ODBD，得BD ＝3tan 30 ＝3，于是CD ＝BC －BD ＝8－3＝5．在Rt △OCD 中，由正切函数定义，得tan⊙OCB ＝ODCD＝35．因此本题答案为35．【知识点】切线长定理；等边三角形的性质；锐角三角函数第16题图O D CBA第17题图O CBAO C BAD第17题答图18．（2019·江苏常州，18，2）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝3AB ＝310．点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE ＝2BE ，点M 、N 在线段BD 上．若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等，则MN ＝__________．【答案】6．【解析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等几何知识点．首先由勾股定理，求得BD ＝10，然后由“AD ＝3AB ＝310．点P 是AD 的中点，点E 在BC 上，CE＝2BE ”，求得PD ＝3102，CE ＝210，这样由tan ∠DEC ＝12DC EC =；第四步过点P 作PH ⊥BD 于点H ，在BD 上依次取点M 、N ，使MH ＝NH ＝2PH ，于是因此△PMN 是所求符合条件的图形；第五步由△DPH ∽△DBA ，得PH PD BA BD =，即31021010PH =，得PH ＝32，于是MN ＝4PH ＝6，本题答案为6．【知识点】矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数；压轴题三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（2019·江苏常州，19，8）计算：（1）0121()(3)2π-+-；（2）(x －1)(x ＋1)－x (x －1) ．【思路分析】本题考查了实数的运算、整式的加减乘除法运算，解题的关键是按实数的运算法则与运算顺序、整式的乘法法则及加减法法则进行计算即可． 【解题过程】解：（1）原式＝1＋2－3＝0；（2）原式＝x 2－1－x 2＋x ＝x －1． 【知识点】实数的运算；整式的加减乘除法运算 20．（2019·江苏常州，20，6）解不等式组1038x x x+>⎧⎨-≤-⎩并把解集在数轴上表示出来．【思路分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及在数轴上表示法，解题先分别求每一个不等式的解集，然后借助数轴找它们解集的公共部分即为原不等式组的解集，另外，画出数轴按相关要求将其解集表示出来． 【解题过程】解：不等式①的解集为x ＞－1；第18题图PEDBA HNMP EDCBA第18题答图不等式②的解集为：3x ＋x ≤8，4x ≤8， x ≤2．∴原不等式组的解集为－1＜x ≤2，在数轴上表示如下：【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式的解集在数轴上表示法 21．（2019·江苏常州，21，8）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在C '处，BC '与AD 相交于点E ．（1）连接AC '，则AC '与BD 的位置关系是_________； （2）EB 与ED 相等吗?证明你的结论．【思路分析】本题考查了折叠、平行四边形的性质、平行线的判定、等腰三角形的判定等知识点，连接AC '，从图形上容易看出并证明四边形ABDC '是等腰梯形，故AC '∥BD ．由折叠（轴对称性质）及平行四边形的性质、等角对等边可证明EB ＝ED ．【解题过程】解：（1）AC '∥BD ；（2）EB ＝ED ．理由如下：由折叠可知∠CBD ＝∠EBD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ．∴∠CBD ＝∠EDB ． ∴∠EBD ＝∠EDB ． ∴EB ＝ED ．【知识点】折叠；平行四边形的性质；平行线的判定；等腰三角形的判定22．（2019·江苏常州，22，8）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．第20题答图-4-3-2-143210第21题图第21题答图【思路分析】本题考查了统计中的条形图的应用，众数、平均数的求法及用样本估计总体的统计核心思想．将条形图的四组数据相加即可样本容量；由图可知这组数据的众数为10元；利用加权平均数计算公式即可求出这组数据的平均数；最后用样本平均数去乘数据总个数即可计该校学生的捐款总数． 【解题过程】解：（1）30，10； （2）x ＝56101115820530⨯+⨯+⨯+⨯＝36030＝12（元）；（3）∵12×600＝7200（元），∴估计该校学生的捐款总数为7200元．【知识点】统计中的条形图的应用；众数、平均数的求法；用样本估计总体 23．（2019·江苏常州，23，8）将图中的A 型（正方形）、B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中． 根据以上信息，解决下列问题：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【思路分析】本题考查了概率的求法，第（1）问用简单枚举法及概率的意义较易求出；第（2）问用列表法或画树状图法可以解决． 【解题过程】解：（1）23； （2）现画树状图如下：由图可知共有6种等可能的结果，其中“拼成的图形是轴对称图形”的结果有2种，故P (拼成第22题图1186520151050捐款数/元人数第23题图111C BA第23题答图(C,B)(C,A)(B,C)(B,A)(A,C)(A,B)结果：第二次：第一次：开始ABC C CB A的图形是轴对称图形)＝26＝13． 【知识点】概率的求法24．（2019·江苏常州，24，8）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 【思路分析】本题考查了分式方程的应用，解题时按列分式方程解应用的步骤进行操作即可，本题的等量关系是：甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等． 【解题过程】解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(30－x )个零件，根据题意，得18012030x x=-，解得x ＝18． 经检验，x ＝18是原方程的解，则30－x ＝12．答：甲、乙两人每小时分别做18个和12个零件． 【知识点】分式方程的应用25．（2019·江苏常州，25，8）如图，在□ABCD 中，OA ＝22，⊙AOC ＝45°，点C 在y 轴上，点D 是BC 的中点，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ． （1）求k 的值；（2）求点D 的坐标．【思路分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、反比例函数等知识点．（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ．由OA ＝22，⊙AOC ＝45°，利用等腰直角三角形的边角关系易求OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)，并代入双曲线的解析式即可得k ＝4．（2）由中点公式，易求点E 的坐标，从而D 点的横坐标与E 点相同，在y ＝4x，将点E 的横坐标代入可求y 的值，从而求出点D 的坐标． 【解题过程】解：（1）如答图，延长BA 交x 轴于点F ，取OA 的中点E ，连接DE ，则AF ⊥x 轴于点F ． 在Rt △AOF 中，OA ＝22，⊙AOC ＝45°，可得OF ＝AF ＝2，从而A (2，2)． ∵反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图像经过点A 、D ， ∴k ＝2×2＝4．（2）∵O (0，0)，A (2，2)，∴线段OA 的中点E 的坐标为 (1，1)．yxO DCB A∵在y ＝kx中，当x ＝1，y ＝4， ∴点D 的坐标为(1，4)．【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形的性质；反比例函数26．（2019·江苏常州，26，10）【阅读】数学中，常对同一个量．．．．（图形的面积、点的个数、三角形内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称为富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】（1）如图1，两个边长分别为a 、b 、c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n 行n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得到等式：n 2＝___________________________．【运用】（3）n 边形有n 个顶点，在它的内部再画m 个点，以(m ＋n )点为顶点，把n 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y 个这样的三角形．当n ＝3，m ＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y ＝7．①当n ＝4，m ＝2时，如图4，y ＝______；当n ＝5，m ＝_______时，y ＝9；②对于一般的情形，在n 边形内画m 个点，通过归纳思想，可得y ＝__________（用含m 、n 的代数式表示）．请对同一个量．．．．用算两次的方法说明你的猜想成立． 第25题答图FE yxOD CBA图26—1abc cba图26—2【思路分析】本题考查了勾股定理的验证、数列的求和公式推导、规律探究等知识点．（1）利用梯形面积的两种不同的计算方式，得到关于直角三角形三边a 、b 、c 的数量关系：a 2＋b 2＝c 2，从而得到结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）根据图2中n 行n 列个点的计算方式，得到n 2＝1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）．（3）先观察图3和图4，不难解决第①问；②利用多边形的内角和公式，得到在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即可得到y 与m 、n 的数量关系式． 【解题过程】解：（1）∵S 梯形＝12(a ＋b )(a ＋b )＝12(a 2＋2ab ＋b 2)， 又∵S 梯形＝2×12ab ＋12c 2，⊙12(a 2＋2ab ＋b 2)＝2×12ab ＋12c 2． ∴a 2＋2ab ＋b 2＝2ab ＋c 2． ∴a 2＋b 2＝c 2．结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）1＋3＋5＋…＋2n －1（n 为正整数）． （3）①6，3；②n ＋2m －2，理由如下：如答图，在n 边形内有不共线的m 个点，最多能剪出y 个三角形，这些y 个三角形的内角和的总和为(180y )°，也等于n 边形的内角和与m 个周角的和，即180°•(n －2)＋m •360°，故180y ＝180(n －2)＋360 m ，故y ＝n ＋2m －2．【知识点】勾股定理的验证；数列的求和公式推导；规律探究；阅读理解题 27．（2019·江苏常州，27，10）如图，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图像与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 坐标为(－1，0)，点D 为OC 的中点，点P 在抛物线上． （1）b ＝_____；（2）若点P 在第一象限，过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，PH 与BC 、BD 分别交于点M 、N ．是否存在这样的点P ，使得PM ＝MN ＝NH ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 的横坐标小于3，过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ，求点P 的坐标．图26—3 图26—4第26题答图【思路分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到的知识点有：用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、相似三角形的性质与判定等．（1）直接将点A坐标代入抛物线解析式，得到关于b的一元一次方程，解之即可；（2）先求直线BC、BD的解析式，然后令P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－12m＋32)，再利用PM＝MN＝NH，得到m的一元二次方程解之即可锁定符合条件的点P坐标；（3）如答图2，过点P作PK ⊥AB于点K，过点Q作QJ⊥AB于点J，则PK∥QJ．通过面积关系及相似三角形知识，将问题转化为点P的纵坐标为点Q纵坐标3倍关系，最后利用坐标法仿照（2）得到符合条件的点P的坐标．【解题过程】解：（1）∵二次函数y＝－x2＋bx＋3的图像过点A(－1，0)，∴0＝－(－1)2－b＋3．∴b＝2．（2）如答图1，连接BD、BC，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC、BD分别于点M、N．∵抛物线y＝－x2＋2x＋3交x轴于点A(－1，0)、B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，且点D为OC的中点，∴D(0，32 )．易求直线BC的解析式为y＝－x＋3，直线BD的解析式为y＝－12x＋32．假设存在符合条件点P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)、N(m，－12m＋32)．∵PM＝MN＝NH，∴－12m＋32＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)．第27题图第27题备用图xODCBAyxODCBAyJ KRQPxODCBAy第27题答图2HNMPxODCBAy第27题答图1整理，得2m 2－7m ＋3＝0，解得m 1＝12，m 2＝3（不合题意，舍去）． ∴P (12，154)即为所求的符合条件的点． （3）如答图2，过点P 作PK ⊥AB 于点K ，过点Q 作QJ ⊥AB 于点J ，则PK ∥QJ ． ∵过点P 作PQ ⊥BD ，垂足为Q ，直线PQ 与x 轴交于点R ，且S △PQB ＝2S △QRB ， ∴PQ ＝2QR ，从而PR ＝3QR ． ∵PK ∥QJ ，∴△RQJ ∽△RPK ．∴13QJ RQ PK RP ==． ∴PK ＝3QJ ．设P (n ，－n 2＋2n ＋3)，由BD 的解析式为y ＝－12x ＋32，且直线PQ ⊙BD ，可令直线PQ 的解析式为y ＝2x ＋t ，则－n 2＋2n ＋3＝2n ＋t ，解得t ＝3－n 2，于是，PQ ：y ＝2x ＋3－n 2．由2132223y x y x n ⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩，解得2223551955x n y n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，从而Q (22355n -，21955n -+)．由PK ＝3QJ ，得－n 2＋2n ＋3＝3(21955n -+)，整理，得n 2－5n ＋6＝0，解得n 1＝2，n 2＝3（舍去）． 当n ＝2时，－n 2＋2n ＋3＝3，故P (2，3)即为所求的点． 【知识点】二次函数的综合应用；用待定系数法求函数解析式；一元二次方程的解法；相似三角形的性质与判定；压轴题28．（2019·江苏常州，28，10）已知平面图形S ，点P 、Q 是S 上任意两点，我们把线段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：________；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形”：________；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A (－1，0)、B (1，0)，C 是坐标平面内的点，连接AB 、BC 、CA 所形成的图形为S ，记S 的宽距为d ．①若d ＝2，用直尺和圆规画出点C 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为1，圆心M 在过点(0，2)且与y 轴垂直的直线上．对于⊙M上的任意点C ，都有5≤d ≤8，直接写出圆心M 的横坐标x 的取值范围．【思路分析】本题考查了新定义问题、点到圆的最大距离、扇形的面积、尺规作图、动态问题、探究问题等内容．（1）易知直径是圆有最大的弦；在“窗户形”图形中，中利用点到圆的最大距离的线段在点与圆心的连心线上找，据B Axy O1-11-1图28—2图28—1此可求该图形的宽距．（2）解答本问的两个问题都遵循“一找二求”原则：找出符合条件的图形，再根据条件求相应结论．具体思路参照答图2至答图4，充分利用数形结合思想与分类思想，并利用勾股定理进行求解即可． 【解题过程】解：（1）①2（直径是圆的宽距）；②5＋1．（如答图1，点A 与半圆圆心的连线与半圆相交于点D ，则AD 的长最大）（2）①如答图2所示，分别以A 、B 为圆心，以AB 为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C 所在的区域．S 阴影＝2(21202360π⋅－12312⋅⋅)＝8233π-．②23－1≤x ≤35－1或1－35≤x ≤1－23．【知识点】新定义问题；点到圆的最大距离；扇形的面积；尺规作图；动态问题；探究问题；压轴题ODCBA第28题答图1B A xyO 1-11-1第28题答图3 第28题答图4AB OxyMCN N CMyxOBA。
2019年常州市中考数学试题、答案(解析版)
WOED 格式219年常州市中考数学试题、答案（） (120分考：12) (本大题共8小题,每小题2分,共16分.在每小题给出的项中,只有一项是正 确的)1.3的相反数是() A. 1 3 B. 1 3C.3D.32.若代数式x x 1 3 有意义,则实数x 的取值范围是() A.x1B.x3C.x1D.x3 3.下图是某几何体的三视图,该几何体是() A.圆柱B .正方体C.圆锥D .球 (第3题)(第4题) 4.如图,在线段P A 、PB 、PC 、PD 中,长度最小的是() A.线段P AB.线段P BC.线段P CD.线段P D5.若△ABC ∽△ABC,相似比为1:2,则△ABC ∽△ABC 的周长的比为()A.2:1B.1:2C.4:1D.1:46.下列各数中与23的积是有理数的是()A.23B.2C.3D.237.判断命题“如果n ＜1,那么210n ＜”是假命题,只需举出一个反例.反例中的n 可以为()A.2B.1 2C.0D.1 28.随着2.5米 )的关注日益密切.某市一天中P M 的值2.53y 1ug/m 随时间t (h)的变化如图所示,设 y 表示0时到t 时PM 2.5的值的2极 差(即0时到t 时 P M 的最大值与最小值的差),则y 2与t 的2.5函 数关系大致是()ABWOED 格式CD二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)9.计算： 3aa. 10.4的算术平方根是. 11.分解因式： 24axa.12.如果35,那么的余角等于.13.如果ab20,那么代数式12a2b 的值是. 14.平面直角坐标系中,点P3,4到原点的距离是.15.若x y 1 2是关于x 、y 的二元一次方程axy3的解,则a. 16.如图,AB 是O 的直径,C 、D 是O 上的两点,AOC ＝120,则CDB ＝.(第16题)(第17题)(第18题)17.如图,半径为3的O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、BC 都相切,连接OC,则tanOCB.18.如图,在矩形ABCD 中,AD3AB310,点P 是AD 的中点,点E 在BC 上,CE2BE,点M 、N 在线段BD 上.若△PMN 是等腰三角形且底角与DEC 相等,则 MN.三、解答题(本大题共10小题,共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本题满分8分)计算：(1) 1012(3)2； (2)(x1)(x1)x(x1).20.(本题满分6分)解不等式组x 10 3x8,x并把解集在数轴上表示出来.21.(本题满分8分)如图,把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠,点C 落在点C 处,BC 与AD相交于点E.(1)连接AC,则AC 与BD 的位置关系是； (2)EB 与ED 相等吗？证明你的结论.WOED格式22.(本题满分8分)在“慈善一日捐”活动中,为了解某校学生的捐款情况,抽样调查了该校部分学生的捐款数(单位：元),并绘制成下面的统计图.(1)本次调查的样本容量是,这组数据的众数为元；(2)求这组数据的平均数；(3)该校共有600名学生参与捐款,请你估计该校学生的捐款总数.23.(本题满分8分)将图中的A型(正方形)、B型(菱形)、C型(等腰直角三角形)纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.(1)搅匀后从中摸出1个盒子,盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的2个盒子中摸出1个盒子,把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起,求拼成的图形是轴对称图形的概率.(不重叠无缝隙拼接)24.(本题满分8分)甲、乙两人每小时共做30个零件,甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等.甲、乙两人每小时各做多少个零件？25.(本题满分8分)如图,在□OABC中,OA22,AOC45,点C在y轴上,点D是BCk的中点,反比例函数(＞0)的图像经过点A、D.yxx(1)求k的值；(2)求点D的坐标.26.(本题满分10分)【阅读】数学中,常对同．一．个．量．(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种_____________重要的数学思想._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _图1图2【理解】2n；(1)如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论；(2)如图2,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式：【运用】(3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以mn个点为顶点,把n边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y个这样的三角形.当n3,m3时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y7.①当n4,m2时,如图4,y；当n5,m时,y9；图3图4②对于一般的情形,在n边形内画m个点,通过归纳猜想,可得y(用含m、n的代数式表示).请对同．一．个．量．用算两次的方法说明你的猜想成立.27.(本小题满分10分)如图,二次函数23yxbx的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为1,0,点D为OC的中点,点P在抛物线上.(1)b；WOED 格式(2)若点P 在第一象限,过点P 作PHx 轴,垂足为H,PH 与BC 、BD 分别交于点M 、 N.是否存在这样的点P,使得PMMNNH ？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请 说明理由； (3)若点P 的横坐标小于3,过点P 作P Q B D ,垂足为Q PQ 与x 轴交于点R ,且 S △2S △,求点P 的坐标. PQBQRB 28.(分10分)已知平面图形S ,点P 、Q 是S 上任意两点,我段PQ 的长度的最大值称为平面图形S 的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的的长度. (1)写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆：； ②如图1,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形”：； (2)如图2,在平面直角坐已知点A1，0、B1，0,C 是坐标平面内的点,连接AB 、 B C 、C A 所形成的图形为S 的宽距为d. ①若d 2,用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它(所在区域用阴影表示)； ②若点C 在,M 的半径为1M在过点0，2且与y 轴垂直上.对于M 上任意点C,都有5≤d ≤8,直接写M的横坐标x的围. 图1图2WOED 格式2019年常州市中考数学答案解析 一、选择题29.【答案】C【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反. 解：330. 【考点】相反数的意义 30.【答案】D 【解析】分式有意义的条件是分母不为0. 解：代数式x1 x3 有意义，x30， x3. 故选：D. 【考点】分式有意义的条件 31.【答案】A 【解析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆 锥. 解：该几何体是圆柱. 故选：A.【考点】由三视图判断几何体32.【答案】B【解析】由垂线段最短可解.解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B. 故选：B.【考点】直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短.33.【答案】B【解析】直接利用相似三角形的性质求解 解：△ABC ∽△ABC ，相似比为1:2， △ABC ∽△ABC 的周长的比为1:2. 故选B.【考点】相似三角形的性质34.【答案】D【解析】利用平方差公式可知与23的积是有理数的为23；WOED 格式解：2323431； 故选：D.【考点】二次根式的有理化以及平方差公式35.【答案】A【解析】反例中的n 满足n ＜1，使 210n ≥，从而对各选项进行判断. 解：当n2时，满足n ＜1，但 2130 n ＞， 所以判断命题“如果n ＜1，那么 210n ≥”是假命题，举出n2.故选：A.【考点】命题与定理36.【答案】B【解析】根据极差的定义，分别从t0、0＜t ≤10、10＜t ≤20及20＜t ≤24时，极差y 随t 的 2变化而变化的情况，从而得出答案. 解：当t0时，极差y 285850，当0＜t ≤10时，极差 y 随t 的增大而增大，最大值为43；2当10＜t ≤20时，极差 y 随t 的增大保持43不变；2当20＜t ≤24时，极差 y 随t 的增大而增大，最大值为98；2 故选：B. 【考点】函数图象 二、填空题 37.【答案】 2 a【解析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案. 解：32aaa. 故答案为： 2a.【考点】同底数幂的除法38.【答案】2【解析】根据算术平方根的含义和求解：4的算术平方根是2. 故答案为：2. 【考点】算术平方根的概念 39.【答案】ax2x2 【解析】先提取公因式a ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 【解答】解： 24 axaWOED格式24axax2x2.【考点】提公因式法与公式法的综合运用40.【答案】55【解析】若两角互余，则两角和为90，从而可知的余角为90减去，从而可解. 【解答】解：35，的余角等于903555，故答案为：55.【考点】余角41.【答案】5【解析】将所求式子化简后再将已知条件中a﹣b=2整体代入即可求值；【解答】解：ab20，ab2，12a2b12ab145；故答案为5.【考点】求代数式的值42.【答案】5【解析】作PAx轴于A，则PA4，OA3，再根据勾股定理求解.【解答】解：作PAx轴于A，则PA4，OA3.则根据勾股定理，得OP5.故答案为5.【考点】点到原点的距离求法43.【答案】1【解析】把xy12代入二元一次方程axy3中即可求a的值.【解答】解：把xy12代入二元一次方程axy3中，a23，解得a1.故答案是：1.【考点】二元一次方程的解44.【答案】30【解析】先利用邻补角计算出BOC，然后根据圆周角定理得到CDB的度数. 【解答】解：BOC180AOC18012060，WOED格式CDBBOC30.故答案为30.【考点】圆周角定理45.【答案】3 5【解析】根据切线长定理得出1OBCOBAABC30，解直角三角形求得BD，即可2求得CD，然后解直角三角形OCD即可求得tanOCB的值. 【解答】解：连接OB，作ODBC于D，O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，1OBCOBAABC30，2tanOCB O D BD，OD3BD3，tan3033 CDBCBD835，tanOCB O DCD35.故答案为3 5.【考点】切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形46.【答案】6或15 8【解析】AD3AB310，AB310，四边形ABCD是矩形，ADBC310，ABCD10，AC90，2210BDABAD，CE2BE，CE210，BE10，DE52，tanDEC C DCE1012210，点P是AD的中点，1310 PDAD.221，当MN PMPN ，PMNPNMDEC ， 过点P 作PQMN ，则M QNQ ，MN2MQ ， APQD90，ADBPDQ ， △BAD ∽△PQD ， PQPD ABBD2，PQ 103 2 10 10， 解得3 PQ ；2 在Rt △PMQ 中，PQ tanPMNtanDECMQ1 2， 3PQ MQ1 2 ，即 2 MQ1 2， MQ3， MN2MQ6.②如图2，当MN 为腰时，则P MMN ，MPNMNPDEC ， 过点M 作MQPN 于点Q ，则P QNQ ，MNPDEC ，PNDDEB ， 又AD ∥BC ，PDNDBE ， △PND ∽△DEB ，PDPN BDDE， 3 10PN21052， 解得3 PN5，23 NQ5，4 在Rt △MNQ 中，M Q tanMNPtanDEC NQ1 2， MQ NQ1 2，即MQ1 32 5 4，3 MQ5，82215MNMQNQ. 8综上所15 8.WOED 格式【考点】矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质定理三、解答题 47.【答案】（1） 1 012 (3)1230 2 ； （2） 22 (x1)(x1)x(x1)x1xxx1.【解析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算即可； 【考点】实数的运算 48.【答案】解：解不等式x1＞0，得：x ＞1， 解不等式3x8≤x ，得：x ≤2， 不等式组的解集为1＜x ≤2， 将解集表示在数轴上如下： 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、 大大小小无解了确定不等式组的解集.【考点】不等式组的解法及在数轴上表示不等式的解集49.【答案】（1）AC ∥BD（2）EB 与ED 相等.证明：由折叠可得，CBDC'BD ， AD ∥BC ， ADBCBD ， EDBEBD ， BEDE.【解析】（1）根据ADC'B ，EDEB ，即可得到AEC'E ，再根据三角形内角和定理，WOED格式即可得到EAC'EC'AEBDEDB，进而得出AC'∥BD；（2）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到EDBEBD，进而得出BEDE.【考点】折叠变换的性质，平行四边形的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质50.【答案】（1）30,10（2）这组数据的平均数为65111081552012（元）；30（3）估计该校学生的捐款总数为600127200（元）.【解析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530，由众数的定义即可得出结果；（2）由加权平均数公式即可得出结果；（3）由总人数乘以平均数即可得出答案.【考点】条形统计图的综合运用，平均数，众数的求法以及利用样本估计总体的思想51.【答案】（1）23 ；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，拼成的图形是轴对称图形的概率为21=63.【解析】（1）依据搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；（2）依据共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C 和A，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率.解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是23 ；2故答案为：；3 （2）画树状图为：WOED格式共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，拼成的图形是轴对称图形的概率为21=63.【考点】用列表法或画树状图求事件的概率以及轴对称图形和中心对称图形的识别52.【答案】解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做30x个零件，由题意得：180120x30x，解得：x18，经检验：x18是原分式方程的解，则301812（个）.答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件.【解析】设甲每小时做x个零件，则乙每小时做30x个零件，根据关键语句“甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可.【考点】分式方程的应用53.【答案】解：（1）OA22，AOC45，A2，2k4，y 4x；（2）四边形OABC是平行四边形OABC，ABx轴，B的横纵标为2，点D是BC的中点，D点的横坐标为1，D1，4.【解析】（1）根据已知条件求出A点坐标即可；（2）四边形OABC是平行四边形OABC，则有ABx轴，可知B的横纵标为2，D点的横坐标为1，结合解析式即可求解.【考点】平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图像上点的坐标特点及用待定系数法求反比例函数的解析式WOED格式54.【答案】解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab，12ab，122c.直角梯形的面积为12(ab)(ab).由图形可知：1111(ab)(ab)ababc22222整理得22222(ab)2abc,ab2ab2abc，222abc.故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中222abc.（2）13572n1（3）①63②yn2(m1)方法1.对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得yn2(m1).方法2.以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共(m3)个点为顶点，可把△ABC分割成32(m1)个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m4)个点为顶点，可把四边形分割成42(m1)个互不重叠的小三角形.故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(mn)个点作为顶点，可把原n边形分割成n（2m1）个互不重叠的小三角形.故可得yn2(m1).【解析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理.（2）由图可知n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为 2n，每层棋子分别为1，3，5，7，，2n1.故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答.（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论.解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab，12ab，122c.直角梯形的面积为12(ab)(ab).由图形可知：1111(ab)(ab)ababc2 2222整理得22222(ab)2abc,ab2ab2abc，222abc.故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中222abc.（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为2n，每层棋子分别为1，3，5，7，，2n1.由图形可知：13572n1.WOED格式故答案为13572n1.（3）①如图4，当n4，m2时，y6如图5，当n5，m3时，y9.②方法1.对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得yn2(m1).方法2.以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共(m3)个点为顶点，可把△ABC分割成32(m1)个互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m4)个点为顶点，可把四边形分割成42(m1)个互不重叠的小三角形.故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(mn)个点作为顶点，可把原n边形分割成n（2m1）个互不重叠的小三角形.故可得yn2(m1).2m1）.故答案为：①6，3；②n（【考点】列代数式，求代数式的值，规律探究以及运用知识解决问题55.【答案】（1）2（2）存在满足条件呢的点P，使得PMMNNH.二次函数解析式为23yxbx，当x0时y3，C0，3，当y0时，2230xx，解得：x11，x23.A﹣1，0，B3，0.直线BC的解析式为yx3.点D为OC的中点，3 D0，.2直线BD的解析式为13 yx，22设2Pt,t2t30t3，则Mt,t3，13Nt，t，Ht，0.22131313 223(3)23PMttttt，NHt，MNt3xt，222222 MNNH.PMMN，213t3tt.22解得：1t，t23（舍去）. 12115 P，.24P的坐标为115,24，使得PMMNNH.（3）过点P作PFx轴于F，交直线BD于E.OB3，3OD，BOD90，2 2235BD0B0D. 2cosOBD O BBD3253552.PQBD于点Q，PFx轴于点F，PQEBQRPFR90. PRFOBDPRFEPQ90.EPQOBD，即25 cosEPQcosOBD.5在Rt△PQE中，255PQPE. cosEPQP QPE255，在Rt△PFR中，cosRPF P FPR255，PF5PRPF2525S△2S△QRB，PQB1SBQPQ，PQB21S△BQQRQRB2PQ2QRWOED格式设直线BD与抛物线交于点G，132 xx2x3，解得：22 x13（即点B横坐标），x212∴点G横坐标为12设2Pt,t2t3(t3)，则13Et,t22223PFtt，213253PEt2t3ttt2222①若12＜＜，则点P在直线BD上方，如图2，t3223PFtt，253 PEtt22PQ2QR2PQPR32525PEPF，即6PE5PF 53225326tt5t2t322解得：t12，t23（舍去）P(2,3)②若11＜x＜，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，2此时，PQQR，即S△2S△不成立.PQBQRB③若t1，则点P在x轴下方，如图4，223223 PFtttt，135322 PEtt2t3tt2222PQ2QRPQ2PR255PE2PF，即2PE5PF 5225322tt5t2t322解得：4t，t23（舍去）13P 413 , 39综上所述，点P坐标为2，3或413,39.【解析】（1）把点A坐标代入二次函数解析式即求得b的值.二次函数23yxbx的图象与x轴交于点A(1,0)1b30解得：b2.故答案为：2.（2）求点B、C、D坐标，求直线BC、BD解析式.设点P横坐标为t，则能用t表示点P、M、N、H的坐标，进而用含t的式子表示PM、MN、NH的长.以PMMN为等量关系列得关于t的方程，求得t的值合理（满足P在第一象限），故存在满足条件的点P，且求得点P坐标.（3）过点P作PFx轴于F，交直线BD于E，根据同角的余角相等易证EPQOBD，所以coscos25EPQOBD，即在Rt△PQE中，5 cosEPQP QPE255；在Rt PQE△中，cosPF25RPFPR5 ，进而得25PQPE，55PRPF.设点P横坐标为t，2可用t表示PE、PF，即得到用t表示PQ、PR.又由S△2S△易得PQ2QR.要对PQBQRB点P位置进行分类讨论得到PQ与PR的关系，即列得关于t的方程.求得t的值要注意是否符合各种情况下t的取值范围.【考点】二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，函数图像的交点问题，用坐标表示线段的长度，二次函数图像上点的坐标特征以及一元二次方程的解法56.【答案】解：（1）①2②10；理由：①根据宽距的定义，可知在半径为1的半圆中，宽距为半圆的直径即宽距为2；②如图，作AB的垂直平分线交半圆于点E，交AB于点F，连接A E，则A E的长为该图形的宽距，由题意知AF1，EF3，宽距22 AE3110；（2）①如图，阴影部分就是点C所在的区域：A1，0，B1，0，AB2，S的宽距d2,点C所在的区域是以AB为直径的圆的圆面，点C所在的区域的面积π；②当M在y轴右侧时，如图，连接A M1，过点M1作x轴的垂线，垂足为C，设点M1x，2，则M1C2，ACx1，2222AM1(x1)2(x1)4，5≤d≤8，4≤AM1≤7，216≤(x1)4≤49，解得231≤x≤351；当M在y轴的左侧时，如图，连接B M?，过点M?作x轴的垂线，垂足为D，设点M2x,2，则M2D2，BD1x，2222BM2(x1)2(x1)4，5≤d≤8，4≤BM ≤7，2216≤(x1)4≤49，解得351≤x ≤231；所M 的横坐标的取是：231≤x ≤351或351≤x ≤231. 【解析】（1）①根据在半圆中最长的弦为直径，即可求解； ②如图，根据新定义，作出半圆点E AE ，然后利用勾股定理求出AE 的长即可； （2）①点C 所在的区域就是以A B 为直径的圆的圆面，然后根据圆的式求解；②分两种情况：M 在y 轴M 在y 轴左侧，然后根据5≤d ≤8列出不等式，求出解 集即可. 【考点】勾股定理，尺规作图，求不等式的解集，数形结合思想以思想。
2019年江苏省常州市中考数学试卷(含解析)完美打印版
2019年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣32．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠33．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．（2分）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：46．（2分）下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：a3÷a＝．10．（2分）4的算术平方根是．11．（2分）分解因式：ax2﹣4a＝．12．（2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．（2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．（2分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．（2分）若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．17．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
精品解析：江苏省常州市2019年中考数学试题(原卷版)
江苏省常州市2019年中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.3-的相反数是（ ） A.13 B. 13- C. 3 D. 3- 2.若代数式13x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A. 1x =-B. 3x =C. 1x ≠-D. 3x ≠ 3.如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）A. 圆柱B. 正方体C. 圆锥D. 球 4.如图，在线段PA 、P B 、P C 、PD 中，长度最小的是（ ）A线段PAB. 线段P BC. 线段PC D. 线段PD 5.若A B CA B C '''∆∆～，相似比为1:2，则A B C ∆与A B C '''∆的周长的比为（ ） A. 2:1 B. 1:2 C. 4:1 D. 1:46.下列各数中与2的积是有理数的是（ ）A. 2B. 2C.D. 2 7.判断命题“如果n ＜1，那么n 2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n 可以为（ ）A. ﹣2B. ﹣12 C. 0 D. 12 8.随着时代的进步，人们对2.5P M （空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中2.5P M 的值1y （3/ug m ）随时间t （h ）的变化如图所示，设2y 表示0时到t 时2.5P M 的值的极差（即0时到t 时2.5P M 的最大值与最小值的差），则2y 与t 的函数关系大致是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.计算：3a a ÷=__________．10.4的算术平方根是 ．11.分解因式：24a x a -=________. 12.如果∠α＝35°，那么∠α的余角为_____．13.如果20a b --=，那么代数式122a b+-的值是_____． 14.平面直角坐标系中，点()3,4P -到原点的距离是_____．15.若12x y =⎧⎨=⎩，是关于x 、y 的二元一次方程3a x y +=的解，则a =_____． 16.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，120A O C ∠=︒，则C D B ∠=_____︒．17.O 与边长为8的等边三角形ABC 的两边AB 、B C 都相切，连接O C ，则t a n O C B ∠=_____．18.如图，在矩形A B C D 中，3A D A B =，点P 是AD 的中点，点E 在B C 上，2C E B E =，点M 、N 在线段BD 上．若P M N ∆是等腰三角形且底角与D E C ∠相等，则MN =_____．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
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2019年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣32．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠33．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球4．（2分）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：46．（2分）下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。
不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）计算：a3÷a＝．10．（2分）4的算术平方根是．11．（2分）分解因式：ax2﹣4a＝．12．（2分）如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于°．13．（2分）如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是．14．（2分）平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是．15．（2分）若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．16．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB ＝°．17．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝．18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝．三、解答题（本大题共10小题，共84分。
请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）计算：（1）π0+（）﹣1﹣（）2；（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．21．（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD 相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是，这组数据的众数为元；（2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．23．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）24．（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？25．（8分）如图，在▱OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC 的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、D．（1）求k的值；（2）求点D的坐标．26．（10分）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝；【运用】（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝；当n＝5，m＝时，y＝9；②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．28．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．（1）写出下列图形的宽距：①半径为1的圆：；②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：；（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．2019年江苏省常州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（2分）﹣3的相反数是（）A．B．C．3D．﹣3【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．【解答】解：（﹣3）+3＝0．故选：C．【点评】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比较简单．2．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠3【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：∵代数式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3．故选：D．【点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．3．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球【分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何体为圆锥．【解答】解：该几何体是圆柱．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．4．（2分）如图，在线段P A、PB、PC、PD中，长度最小的是（）A．线段P A B．线段PB C．线段PC D．线段PD【分析】由垂线段最短可解．【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B．故选：B．【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题．5．（2分）若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A'B′C'的周长的比为1：2．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6．（2分）下列各数中与2+的积是有理数的是（）A．2+B．2C．D．2﹣【分析】利用平方差公式可知与2+的积是有理数的为2﹣；【解答】解：∵（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1；故选：D．【点评】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．7．（2分）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．﹣2B．﹣C．0D．【分析】反例中的n满足n＜1，使n2﹣1≥0，从而对各选项进行判断．【解答】解：当n＝﹣2时，满足n＜1，但n2﹣1＝3＞0，所以判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，举出n＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．8．（2分）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（）A．B．C．D．【分析】根据极差的定义，分别从t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20及20＜t≤24时，极差y2随t的变化而变化的情况，从而得出答案．【解答】解：当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；故选：B．【点评】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。