2020年暑假高二数学提分训练题 (48)-0712(解析版)

2020年暑假高二数学提分训练题 (48)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈R|0≤x ≤4}，B ={x ∈R|x 2≥9}，则A ∪(∁R B)等于( )A. [0,3)B. (−3,4]C. [3,4]D. (−∞,−3)∪[0，+∞)2. 已知z −是复数z 的共轭复数，(z +1)(z −−1)是纯虚数，则|z|=( )A. 2B. 32C. 1D. 123. 等差数列{a n }中，a 1=1，d =1，则该数列的前n 项和S n =( )A. nB. n(n +1)C. n(n −1)D. n(n+1)24. 在△ABC 中，AD ⊥BC ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知实数x ，y 满足不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≤0y +2≥0，则z =x +y 的最小值是( )A. −13B. −15C. −1D. 76. 已知命题p ：∃x ∈R 使得x +1x <2，命题q ：∀x ∈R ，x 2+1>x ，下列为真命题的是( )A. (￢p)∧qB. p ∧(￢q)C. p ∧qD. (￢p)∧(￢q)7. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年家庭总收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年的就医费用增加了4750元，则该教师2018年的旅行费用为( )A. 21250元B. 28000元C. 29750元D. 85000元8. 某多面体的三视图如图所示，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长棱的长为( )A. √5B. 2√2C. 3D. 2√39.函数f(x)=(3ax−b)2的图象如图所示，则()A. a>0且b>1B. a>0且0<b<1C. a<0且b>1D. a<0且0<b<110.角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为−12，则tanθ的值为()A. −√3B. ±1C. ±√3D. ±√3311.已知a=ln3，b=√3ln2，c=log32，则()．A. c<b<aB. c<a<bC. a<b<cD. a<c<b12.若函数f(x)=2x−ax+a在(2,+∞)是增函数，则a的取值范围是()A. (−12,+∞)B. [−12,+∞)C. (−8,+∞)D. [−8,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需的天数至少为________．14.(1−x)(1+x)8的展开式中，x3的系数是______．15.设F1，F2为双曲线C：x2a2−y216=1(a>0)的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|−|PF2|=6，那么双曲线C的方程为______ ；离心率为______ ．16.在三棱锥P−ABC中，∠BAC=60°，∠PBA=∠PCA=90°，PB=PC=√3，点P到底面ABC的距离为√2，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若4sinAsinB−4cos2A−B2=√2−2．(1)求角C的大小；(2)已知asinBsinA=4，△ABC的面积为8，求边长c的值．18. 如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且∠BAD =60°，四边形BDEF是等腰梯形，EF//BD ，且DE =EF =FB =1，AC ⊥BF ．(1)证明：平面BDEF ⊥平面ABCD ． (2)求二面角A −EF −C 的余弦值．19. 以抛物线y 2=4x 的焦点为右焦点的椭圆，上顶点为B 2，右顶点为A 2，左、右焦点为F 1、F 2，且|F 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠B 2F 1F 2=√33|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，过点D(0,2)的直线l ，斜率为k(k >0)，l 与椭圆交于M ，N 两点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若M ，N 的中点为H ，且OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出斜率k 的值；(3)在x 轴上是否存在点Q(m,0)，使得以QM ，QN 为邻边的四边形是个菱形？如果存在，求出m 的范围；否则，请说明理由．20. 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车具体收费标准为日间0.5元/分钟，晚间(18时30分至次日上午7时30分)收费35元/小时．已知孙先生家离上班地点20公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分钟)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示： 时间 t (分(20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,70]分钟． (1)若孙先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设X 表示4次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求X 的分布列和期望；(2)若公司每月给1000元的车补，请估计孙先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．(同一时段，用该区间的中点值作代表)21. 已知f(x)=e x −1+ln(xa +1)．(1)若函数f(x)在(−1,0)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若a ∈(0,1]且x >0，证明：f(x)>2x ．22. 已知直线l 的参数方程为{x =2+12ty =m +√32t，点P(1,2)在直线1上． (1)求m 的值；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1：ρ=4与直线l 交于两点A 、B ，求|PA|⋅|PB|的值．23. 已知函数f(x)=√x 2−4x +4−|x −1|．(1)解不等式f(x)>12；(2)若正数a ，b ，c ，满足a +2b +4c =f(12)+2，求√1a+2b+4c的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={x ∈R|0≤x ≤4}=[0,4]， B ={x ∈R|x 2≥9}={x|x ≥3或x ≤−3}， 则∁R B =(−3,3)，则A ∪(∁R B)=(−3,4]， 故选：B求得集合B ，再根据补集与并集的定义写出A ∪(∁R B)．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2.答案：C解析：解：设复数z =a +bi ，a 、b ∈R ， 则z −=a −bi ，∴(z +1)(z −−1)=z ⋅z −−z +z −−1=a 2+b 2−2bi −1，且为纯虚数， ∴a 2+b 2−1=0，且−2b ≠0， ∴|z|=√a 2+b 2=1． 故选：C ．设复数z =a +bi ，a 、b ∈R ，表示出z −以及(z +1)(z −−1)， 再根据纯虚数以及模长公式求出|z|的值．本题考查了复数的定义与应用问题，是基础题． 3.答案：D解析：解：S n =na 1+n(n−1)d2=n +n(n−1)2=n(n+1)2，故选：D ．利用等差数列的求和公式，把已知条件代入即可．本题主要考查了等差数列的求和公式的应用．属基础题． 4.答案：A解析：【分析】本题考查了数量积运算性质及其投影，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．如图所示，由AD ⊥BC ，可得|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.再利用数量积运算性质即可得出． 【解答】解：如图所示，∵AD ⊥BC ，∴|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |． 则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1． 故选：A ． 5.答案：A解析：解：作出实数x ，y 满足不等式组{x −3y +5≥02x +y −4≤0y +2≥0表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由{y =−2x −3y +5=0，解得B(−11,−2)设z =F(x,y)=x +y ，将直线l ：z =x +y 进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值， ∴z 最小值=F(−11,−2)=−13．故选：A ．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =2x +y 对应的直线进行平移，可得当x =y =1时，z =2x +y 取得最小值．本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 6.答案：C解析：【分析】举例说明p 为真命题，利用作差法判断大小说明q 为真命题，再由复合命题的真假判断逐一核对四个选项得答案．本题考查复合命题的真假判断，训练了利用基本不等式求最值，是基础题． 【解答】解：当x <0时，x +1x <2，∴命题p ：∃x ∈R 使得x +1x <2为真命题；∵x 2+1−x =(x −12)2+34>0，∴∀x ∈R ，x 2+1>x ，即命题q 为真命题． ∴(￢p)∧q 为假命题；p ∧(￢q)为假命题；p ∧q 为真命题；(￢p)∧(￢q)为假命题．7.答案：C解析：解：设教师2018年家庭总收入为n ， 则n ×15%−80000×10%=4750， 解得n =85000，则该教师2018年的旅行费用为85000×35%=29750， 故选：C ．先对图表信息进行分析，再结合简单的合情推理可得解．本题考查了对图表信息的分析及进行简单的合情推理，属于基础题． 8.答案：C解析：【分析】本题考查了几何体的三视图，属于简单题．根据三视图确定多面体的形状，进而根据图象数据得到最长棱的长度． 【解答】解：根据三视图，可得到该几何体如图所示：可知棱AB 最长，可求得其长度为√22+1+22=3， 故选C ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查有关函数图象的问题，属于基础题． 【解答】解：函数f(x)=(3ax −b)2，可知，当3ax →0时，f (x )→b 2；当3ax →+∞时，f (x )→+∞， 因为当x →+∞,f(x)趋近于一个固定值， 所以当x →+∞时，3ax →0，故a <0，又因为f(x)与x 轴的交点在x 轴的负半轴上，设其横坐标为x 0， ∴x 0<0,ax 0>0，则b =3ax 0>1， 故选C ． 10.答案：C解析：解：角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为x =−12，则它的纵坐标为y =±√32，故tanθ=yx =±√3，由条件利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．11.答案：B解析：【分析】本题考查利用对函数函数的性质比较大小，属于基础题．求出a，b，c的取值范围，即可求出结果．【解答】解：∵2√3>3>e，∴1<a=ln3<b=√3ln2=ln2√3，∵0<c=log32<1，∴c<a<b．故选B．12.答案：D解析：解：由题意可得，在区间(2,+∞)上，f′(x)=2+ax2≥0恒成立，即a≥−2x2恒成立，因为二次函数y=−2x2在(2,+∞)上单调递减，所以∀x∈(2,+∞)，y=−2x2<−8，∴a≥−8，故选：D．由题意可得，在区间(2,+∞)上f′(x)≥0恒成立，由此求得a的范围．考查函数单调性和函数导数符号的关系，并且由f(x)在(2,+∞)上是增函数，则f′(x)≥0恒成立，体现了转化的数学思想，属于基础题．13.答案：7解析：【分析】本题考查等比数列求和，根据题意，可得该女子每天织布的量组成了等比数列{a n}，且其公比q=2，又由她5天共织布5尺，可得S5=a1(1−25)1−2=5，解得a1的值，可得S n=a1(1−2n)1−2≥20，解得n的范围．【解答】解：由题意可得：该女子每天织布的量构成等比数列{a n}，且其公比q=2，若她5天共织布5尺，即S5=5，则a1(1−25)1−2=5，解可得a1=531，若S n≥20，则有a1(1−2n)1−2≥20，即2n≥125解可得n≥7，即若要使织布的总尺数不少于20尺，该女子所需7天；故答案为7．14.答案：28解析：解：∵(1−x)(1+x)8=(1+x)⋅(1+8x+28x2+56x3+70x4+56x5+28x6+8x7+x8)，故它的展开式中x3的系数为56−28=28，故答案为：28．把(1+x)8按照二项式定理展开，可得展开式中x3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.答案：x29−y216=1；53解析：解：F1，F2为双曲线C：x2a2−y216=1(a>0)的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，如果|PF1|−|PF2|=6，可得a=3，双曲线方程为：x29−y216=1，则b=4，c=5，双曲线的离心率为：e=53．故答案为：x29−y216=1；53．利用双曲线的定义求出a，然后求解离心率即可．本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16.答案：6π解析：【分析】本题考查三棱锥的外接球表面积的求法，是中档题，确定球心是关键．根据已知条件，利用直角三角形斜边上的中线性质可得球心O是PA的中点，PA就是球的直径，根据已知条件，设P在底面内的射影为H，可以证明∠ACH=∠ABH=90°，进而确定∴Rt△ACH≌Rt△ABH，然后计算求得PA2=6，从而由表面积公式计算即可．【解答】解：由已知可得外接球的球心就是直角三角形PCA和PBA的公共斜边的中点，记作O，设P在底面内的射影为H，如图所示．∵∠PBA=∠PCA=90°，由三垂线定理得∠ACH=∠ABH=90°，又∵∠BAC=60°，∴∠BHC=120°，∵PB=PC=√3，PH=√2，∴BH=CH=1，∴Rt△ACH≌Rt△ABH，∴∠CAH=30°，∴AH=2CH=2，∴PA2=AH2+PH2=6，∴三棱锥P−ABC的外接球的表面积为4πR2=πd2=6π．17.答案：解：(1)由条件得4sinAsinB=2(2cos2A−B2−1)+√2，即4sinAsinB=2cos(A−B)+√2=2(cosAcosB+sinAsinB)+√2，化简得cos(A+B)=−√22，∵0<A+B<π，∴A+B=3π4，又A +B +C =π，∴C =π4， (2)由已知及正弦定理得ab a =4即b =4， 又 S △ABC =8，C =π4，∴12absinC =8，得a =4√2，由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC=(4√2)2+42−2×4√2×4×√22=16，得c =4．解析：本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，解题时注意分析角的范围，属于中档题．(1)由已知等式化简可得cos(A +B)=−√22，结合角的范围即可求得C 的大小； (2)由已知及正弦定理求得b ，又 S △ABC =8，C =π4从而解得a ，由余弦定理即可解得c 的值． 18.答案：(1)证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又因为AC ⊥BF ，且BF ∩BD =B ，所以AC ⊥平面BDEF ，又，所以平面BDEF ⊥平面ABCD ；(2)解：设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．A(0,−√3,0),C(0,√3,0),E(−12,0,√32),F(12,0,√32)． 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,√32)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y,z)为平面AEF 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12x +√3y +√32z =0x =0, 令y =1，则x =0，z =−2，m⃗⃗⃗ =(0,1,−2)， 同理可得平面CEF 的法向量n⃗ =(0,1,2)， 所以，因为二面角A −EF −C 的平面角为钝角，所以二面角A −EF −C 的余弦值为−35．解析：本题考查面面垂直的判定，二面角的计算，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．(1)由AC ⊥BF ，AC ⊥BD ，可证AC ⊥平面BDEF ，进一步可证平面BDEF ⊥平面ABCD ；(2)求出平面AEF 和平面CEF 的法向量，计算法向量夹角的余弦值，再结合图形，即可得出二面角的夹角．19.答案：解：(1)抛物线y 2=4x 的焦点为(1,0)，∴椭圆中c =1，∵|F 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠B 2F 1F 2=√33|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴b =√3c =√3，∴a =2，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)设l ：y =kx +2(k >0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线代入椭圆方程得(4k 2+3)x 2+16kx +4=0，∴△=12k 2−3>0，∵k >0，∴k >12，且x 1+x 2=−16k 4k 2+3，x 1x 2=44k +3，∴MN 的中点H(−8k 4k +3,64k +3)，∵OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴64k 2+3−8k4k 2+3=√3−00−2， ∴k =√32>12， ∴k =√32； (3)设在x 轴上存在点Q(m,0)，使得以QM ，QN 为邻边的四边形是个菱形，则HQ ⊥MN ， ∴64k 2+3−0−8k 4k 2+3−m ⋅k =−1，∴m =−2k4k 2+3=−24k+3k ≥2√4k⋅3k =−√36， 当且仅当4k =3k ，即k =√32时取等号， 又m =−2k4k 2+3<0，∴在x 轴上存在点Q(m,0)，使得以QM ，QN 为邻边的四边形是个菱形，m 范围是[−√36,0)．解析：(1)由抛物线y 2=4x 的焦点，求出椭圆的焦点，利用|F 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠B 2F 1F 2=√33|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求出b ，从而可求a ，即可求椭圆的标准方程；(2)设l ：y =kx +2(k >0)，代入椭圆方程，求出H 的坐标，利用OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出斜率k 的值；(3)设在x 轴上存在点Q(m,0)，使得以QM ，QN 为邻边的四边形是个菱形，则HQ ⊥MN ，可得m =−2k4k 2+3，利用基本不等式，即可求出m 的范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题．20.答案：解：(1)孙先生租用一次新能源分时租赁汽车“路段畅通”的频率为4+1650=25， 视频率为概率，孙先生租用一次新能源分时租赁汽车为“路段畅通”的概率为25， X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，则X 服从二项分布B(4,25)，所以P(X =0)=C 40×(25)0×(35)4=81625； P(X =1)=C 41×(25)1×(35)3=216625；P(X =2)=C 42×(25)2×(35)2=216625； P(X =3)=C 43×(25)3×(35)1=96625；P(X =4)=C 44×(25)4=16625， 所以X 的分布列为则E(X)=4×25=85；(2)孙先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间为t ，则t =25×450+35×1650+45×1850+55×1050+65×250=43(分钟)，每次上下班租车的费用约为43×0.5=21.5(元)，一个月上下班租车总费用约为21.5×2×22=946(元)，因为946<1000，估计孙先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用．解析：本题考查随机变量的分布列及数学期望，考查数据处理能力，属于中档题．(1)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，求出相应的概率，得出X 的分布列，即可得解；(2)根据题意，从而得出结论．21.答案：解：(1)由xa +1>0在(−1,0)上恒成立．当a >0时，x >−a ，∴−a ≤−1，可得a ≥1．当a <0时，x <−a ，∴−a >0，可得a <0．故a ∈(−∞,0)∪[1，+∞)．当a ≥1时，可得f(x)在(−1,0)上单调递增．当a <0时，f′(x)=e x +1x+a ≥0在(−1,0)上恒成立，此时x +a <0．故e x (x +a)+1≤0，⇔a ≤−e −x −x =g(x)，x ∈(−1,0)，∵g′(x)=e −x −1=1−e xe x >0，∴a ≤g(−1)=1−e ．综上可得：f(x)在(−1,0)上单调递增，实数a 的取值范围是(−∞,1−e]∪[1,+∞)．(2)证明：a ∈(0,1]且x >0，f(x)>2x ⇔e x −1+ln(x a +1)>2x ．∵x a+1≥x +1，故只要证明：x >0，e x −1+ln(x +1)>2x ． 令ℎ(x)=e x −1+ln(x +1)−2x(x >0)．ℎ′(x)=e x +1x+1−2，ℎ″(x)=e x −1(x+1)2，即ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，ℎ′(x)>ℎ′(0)=0．∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，ℎ(x)>ℎ(0)=0．故a ∈(0,1]且x >0时，f(x)>2x ．解析：(1)由x a +1>0在(−1,0)上恒成立．对a 分类讨论可得：a ∈(−∞,0)∪[1，+∞).根据f(x)在(−1,0)上单调递增，当a ≥1时，容易得出单调性．当a <0时，利用导数研究函数的单调性即可得出．(2)a ∈(0,1]且x >0，f(x)>2x ⇔e x −1+ln(x a +1)>2x. x a+1≥x +1，故只要证明：x >0，e x −1+ln(x +1)>2x.利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：(1)由于点P(1,2)在直线1上．直线l 的参数方程为{x =2+12t y =m +√32t, 故代入直线的参数方程得到：m =2+√3．(2)曲线C 1：ρ=4，转换为直角坐标方程为：x 2+y 2=16，由于圆与直线l 交于两点A 、B ，把直线的参数方程代入圆的方程得到：t 2+(5+2√3)t −5+4√3=0，故：t 1t 2=4√3−5(t 1和t 2为A 、B 对应的参数)．故：|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=4√3−5．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(1)直接把点的坐标代入直线的参数方程求出结果．(2)利用(1)的结论，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|x −2|−|x −1|，①当x ≤1时，f(x)=2−x −(1−x)=1，由f(x)>12，解得x ≤1；②当1<x <2时，f(x)=3−2x ，由f(x)>12，即3−2x >12，解得x <54，又1<x <2，所以1<x <54；③当x ≥2时，f(x)=−1不满足f(x)>12，此时不等式无解，综上，不等式f(x)>12的解集为：(−∞,54)；(2)∵a +2b +4c =f(12)+2=3，∴1a +2b +4c =(1a +2b +4c )×a +2b +4c 3 =13[(1+4+16)+2b a +2a b +4c a +4a c +8c b +8b c] ≥13(21+2√2b a ×2a b +2√4a a ×4a c +2√8c b ×8b c )=493， 当且仅当a =b =c =37时等号成立．所以√1a +2b +4c 的最小值为7√33．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(1)去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集，(2)由题意可得a +2b +4c =3，再根据基本不等式即可求出．。