奥数题-等差数列求和及应用一

等差数列求和及应用一
等差数列的定义：一列数，如果相邻两个数的差相等，我们就说这个数列叫做等差数列；相等的差叫做这列数的公差，这列数的个数叫做项数，最小的数叫做首项，最大的数叫做末项。

〔以下公式要求熟记〕
基本公式：和=〔首项+末项〕×项数÷2 末项=首项+〔项数-1〕×公差
项数=〔末项-首项〕÷公差+1 首项=末项-〔项数-1〕×公差 公差=
1
--项数首项
末项
例1、 计算：1+2+3+4+…+99+100=？
例2、 计算：1+3+5+7+…+1995+1997+1999=？
例3、 数列4，9，14，19，…的第80项是多少？
例4、 有一列数按如下规律排列：6，10，14，18，…这数列中前100个数的和是多少？
例5、 求100至200之间被7除余2的所有三位数的和是多少？
例6、 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手要和其他选手赛一场，⑴如果一共有10外队员，一共要进行多少场比赛？⑵一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？
例7、 小红家在一条胡同里，这条胡同门牌号从1开始，挨着号码编下去。

如果除小红家外，其余各家的门牌号加起来，减去小红家的门牌号数，恰好等于100。

问小红家的门牌是几号？全胡同里共有几家？
例8、 假设干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有棋子，然后他外出了。

小光从每个有棋子的盒子里各拿出一个其中放在空盒里，再把盒子重新排列了一下，小明回来查看一番，没发现有人动过。

问：共有多少个盒子？
家庭作业：
【1】计算 ⑴ 2+4+6+8…+198+200 ⑵ 3+10+17+24+31+…+94 ⑶ 77+74+71+……+11+8+5
【2】已知等差数列3，7，11，15，…，195，问这个数列共有多少项？
【3】已知等差数列2，7，12，17，……它的第25项是多少？第36项是多少？
【4】一个有30项的等差数列，公差是5，末项为154，这个数的首项是多少？
【5】一个等差数列，首项是4，末项是88，公差是6，这列数的总和是多少？
【6】有一列数，已知第一个数是9，从第二个数起，每个数都比前一个数多4，这列数的前50个数的和是多少？
【7】学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行91场比赛，有多少人参加了选拔赛？
【8】一个物体从空中降落，第一秒落下9米，以后每秒都比前一秒多落下9米，经过10秒到达地面，这个场体原来离地面的高是多少米？
【9】上体育课时，我们几个同学站成一排，从1开始顺序报数，除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于72。

问：共有多少个同学？我报的数是几？
【10】7个小队共种树100棵，各小队种的棵数都不相同，其中种树最多的小队种了18棵树，种树最少的小队至少种了多少棵树？
【11】编号为1—9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖。

如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？如果3号盒子里放了23粒糖呢？
体育比赛中的数学问题
例1、三年级一班组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，小明投5个球，投进了3个，那么他应该得多少分？
例2、甲、乙、丙3人进行乒乓球循环赛，结果3人获胜的场数各不相同，问第一名胜了几场？
例3、甲、乙、丙、丁等4人进行乒乓球比赛，每2人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3人胜的场数相同，问丁胜了多少场？
例4、甲、乙、丙、丁与小华等5个人参加乒乓球比赛，每2人都要比赛1盘。

到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘，小华赛了几盘？
例5、⑴世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛。

每场比赛胜队得3 分，败队得0分。

平局时两队各得1分，各小组之间全赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛。

如果积分相同，要按小分排序。

问一个队至少要积几分才能保证本队出线？简述理由。

〔2〕在上述世界杯足球小组赛中，假设有一个队总积3分，问：这个队有可能出线吗？为什么？
例7、A，B，C，D，E等五人参加乒乓球比赛。

每两个人都要赛一场，并且只赛一场，规定胜者得2分，负者得0分，已知比赛得结果如下：⑴A与B并列第一名；〔2〕C是第三名；⑶D和E并列第四名。

求C的得分。

例8、六个足球队进行单循环比赛，每两队都要比赛一场。

如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。

现在比赛已进行了四轮〔每队都已与4个队比赛过〕，各队4场得分之和都互不相同。

已知总分居第三位的队共得7分，并且有场球赛踢成平局，总得分居第五位的队最多可得分，最少可得分。

例9、在某市举行的一次乒乓球比赛中，有6名选手参赛。

其中专业选手与业余选手各3名。

比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。

为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分；每胜专业选手一场的加2分，每胜业余选手一场的加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分。

现问：一位业余选手至少要胜几场才能保证他必定进入前三名？家庭作业：
【1】三年级六个班举行拔河循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？
【2】在一次排球联赛中，所有参赛队每两队都要赛1场，共赛21场，问有多少个队参加？
【3】某校五年级五个班各派一队参加小足球比赛，每两队都要比赛一场，到现在为止，一班赛了4场，二班赛了3场，三班赛了1场，那么五班赛了场。

【4】甲、乙、丙、丁与小明等五位同学进入象棋比赛。

每两人都要比赛1盘，每胜1盘得2分，和1盘得1分，输一盘得0分。

到现在为止，甲赛了4盘，共得2分；乙赛了3盘，得了4分；丙赛了2盘，得了1分，丁赛了1盘，得了2分，那么小明现在已赛了盘，得分。

【5】五所小学进行足球赛，每两所学校赛一场，每场胜的队得3分，负的队得0分，踢平各和1分。

已知四所小学的得分分别为8、7、4、1，第五所小学的得分最多是。

【6】六个排球队进行比赛，每两队都刚好比赛一次，现知各队的得分都各个相同〔排队赛中没有平局，赢队得1分，输队得0分〕；且A队名列第三，B 队名列第四。

试问：在A、B两队比赛时，谁赢了谁？试加以论证。

【7】德国队、意大利和荷兰进行一次足球比赛，每一队与另外两队各赛一场，现在知道：⑴意大利队总进球数是0，并且有一场平局；⑵荷兰队总进取球数是1，总失球数是2，并且它恰好胜了一场。

按规定，胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分，那么德国队共得分。

【8】德国队、意大利队和荷兰队进行一次足球赛，每队与另外两队各比赛一场。

现在知道：
⑴意大利总进球是0。

并且有一场打了平局。

⑵荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且经恰好胜过1场。

按照规则胜1场得2分，平一场得1分，负一场得0分。

那么，德国队得了分。

【9】四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场，如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。

比赛结果各队得分恰好是连续自然数，问：输给第一名的队的总分是多少？
【10】四名棋手进行循环比赛，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分。

如果各人得的总分不同，第一名不是全胜，那么至少多有局是平局。

【11】1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支足球队分在同一小组。

在小组赛中这4支队伍中的每支队伍都要与其他3队比赛1场，根据规定：每场比赛胜队可得3分，负队得0分，如果双方踢平，两队各记1分。

已知：⑴这4支队比赛得总得分为4个连续奇数；⑵乙队总得分排在第一；⑶丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。

根据以上条件可以推断：总分排在第四位的是队。

图形的切拼
例1、用两块相同的直角三角板〔不等腰〕可以拼成哪几种图形？
例2、长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小形状都相等的两块，并使它们拼成一个正方形。

例3、把下面16个小方体方格分成两块，然后拼成一个正方形。

例4、把下面切成两块，拼成一个正方形。

例5、请把一面两个图中的一个分成3块，使它们能拼成一个正方形。

〔单位：厘米〕
例6、把图中的不规则图形分成形状大小相同的四块，然后拼成一个正方形。

只剪两刀。

例7、将图剪成一个中间有一个方孔的正方形。

例8、用四块形状和大小完全一样的三角形，拼拼搭搭〔不能重叠〕，能出现多少个边长不同的正方形？请画出示意图。

例9、将下列图分成三块，然后把这三块拼成一个正方形。

家庭作业
【1】用两块相同的直角三角板〔等腰〕可以拼成哪几种图形？
【2】一个长方形的长和宽分别是8厘米和2厘米，要把它剪成大小形状都相同的两块，并使它们拼成一个正方形。

【3】把图分成两块，然后拼成一个5×6的长方形。

【4】将右图切成大小相等、形状相同的4个小方块相连的4块，拼成一个正方形。

【5】将图形切成3块，再拼成一个正方形。

【6】下列图是一块长方形铁皮，现在要把它剪成形状、大小都相同的2块，然后拼成一个正方形，拼成的正方形的边长应是多少？〔单位：厘米〕
【7】把图中的长方形切成两块，然后拼成一个正方形。

【8】把一个平行四边形剪成两块拼成一个长方形。

〔画图表示〕
【9】这是一个阶梯的方格图，顺着哪条方格线剪一刀，就可以拼成一个长方形？
【10】这是一张塔形的方格纸，沿着哪条方格线剪开后，可以拼成一个正方形？
图形的分割
例1、用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？
例2、在一块长方形的地里有一口正方形的水池，如图，试着画一条直线把除开水池外的这块地平均分成两块。

例3、如图是5个面积为1的正方形拼成的，试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。

例4、试将下列图分割成4个大小相等、形状相同的图形。

例5、将图⑴分割成五个大小相等的图形。

左下列图是一个3×4的方格纸，请用四种不同的方法将它分割在完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。

例6、把图沿格线分成面积、形状完全相同的五部分，用图表示分割方法。

例7、将图分成四个大小相等、形状相同的图形。

例8、把图中分割成大小、形状完全相同的四部分，使每部分都含有一个“○”，应怎样分割？
例9、如图是一块“H”形的地，地里栽了8棵树，现在要把这块地划分成面积相等、形状一样的4块地，要求每块地里各有2棵树，应如何划分？家庭作业
【1】用一条线段把一个正方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？
【2】在一块正方形的地里有一条长方形的水槽，如图，试画一条直线把除开水槽外的这块地平分成两块。

【3】图是由7个面积为1的正方形拼成的，试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。

【4】如图是6个面积为1的正方形拼成的，试用一直线将此图形划分为面积相等的两块。

【5】右上图是一个4×4的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整。

【6】试将图分成形状、大小都一样的四块。

【7】将右图切成大小相等、形状相同的4个小方块相连的4块，拼成一个正方形。

【8】将图分割成两个大小相等、形状相同的图形。

【9】将图分成大小、形状相同的4块，每块带一个小圆圈。

【10】把图分成形状、大小完全相同的4块，而且每块中有1个字母。

【11】将图分割成5个大小相等、形状相同的图形。

【12】将图形分成大小、形状相同的3块，并且每块带一个小圆圈。

幻方及应用
幻方：是指将给定的数，填入3×3，4×4…的方格表中，使得每一横行、每一竖列以及每条对角线的3个或者4个数的和相等，这样的方格表我们就称之为幻方。

这个相等的和叫做幻和。

小学主要研究3×3的幻方〔简称三阶幻方〕
一、幻方的基本构成方法
例1、将1---9这九个数填入右图，使它成为一个三阶幻方。

例2、用“杨辉法”将3---11这九个数制成三阶幻方。

例3、将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。

二、幻方的应用
例4、图所示的三阶幻方的幻和是30，请把图所示的幻方填完整。

例5、将9个连续自然数填入3行3列的9个方格中，使每横行、每一竖行及每一对角线的3数之和都等于51。

例6、要使图中的3×3的方格表中每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，中间的空格〔即第二行第二列的空格〕内应该填入什么数？
例7、图中有九个方格，要求每个方格中填入互不相同的数，使得每一横行、竖行、斜行三个数的和都相等。

图中左上角的数是。

例8、在方格表中的格子填上数，每一行、每一列及两条对角线上所填的数的和均相等，则x的值为。

例9、在如图方格表的每个方格中，填入一个数字，使和每行、每列以及两条对角线上的四个方格中的数字都是1，3，5，7，那么表中带★的两个方格中的数字之和等于。

例10、诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不管从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城，如图，为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不管从哪一面看士兵反而增加了25名，试填出兵力分布图，并求出最多抽调了多少名士兵？家庭作业
【1】把2--10填入方格中，使幻方成立。

【2】试用“杨辉法”将7—15这九个数制成三阶幻方。

【3】把6、8、10、12、14填入空格中，使幻方的幻和是30。

【4】在图中的每个没有数的格内填入一个数，使得每行、每列及每条对角线的三个格中的三数之和都等于3000。

那么，画有？的格内所填的数是。

【5】用1—9这九个数补全图中的幻方，并求出幻和。

【6】把3、4、5、6、8、10填入空格中，使每行、每列以及两个斜向中三个数的和相等。

【7】图中的3×3方格表示中行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。

正中间方格内填的数是。

【8】如图是一个三阶幻方。

图中右上角的数是多少？
【9】图中每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等。

第一行第二列方格中所填的数是多少？
【10】在图中的方格中填上数，使每行、每列及两条对角线中所填的数的和都相等，则X的值是。

【11】在下列图〔1〕的方格内，每条边上的数加起来之和是5，所有数的和是12，现在请你用任何数字重新排列填入图〔2〕，图〔3〕中，使每条边上的数字之和仍为5，但全部数的和是13、14。

【12】在图所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行、每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A，B，C，D，那么，表中标有★的方格内应填的字母是什么？
【13】图是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少？。