人教B版高中数学选择性必修第一册《圆的一般方程》课件

2. 通过学习圆的一般方程的应用,培养数学运算的数学素养.
探究新知
思考1:圆的标准方程 −
得到一个什么式子?



+ −




= 展开可

+ − − + + − =
思考2:方程 + − − + + − = 的一
把(1)代入(2)得 − + − = .
整理得 − + − = .即为所求的轨迹方程.
素养提炼
1.圆的一般方程的特点
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中, , 为常数)具
有以下特点:
(1) x2,y2的项的系数均为1.
(2)没有xy项.
( − ) +( + ) = ,∴方程 + − + + = 表示点 , − .
2.若方程 + − + + = 表示一个圆,则实数的取值范
围是( A )


. <
. ≤
. <
. ≤

解析

由
是什么?
圆心为

−


−


,半径为

+ −
探究新知
圆的一般方程
我们把方程




+ + + + = ( + − > )
称为圆的一般方程
特点:① 和 的系数相同都等于1;
②没有这样的二次项.
探究新知
思考7:当 = , = 或 = 时,圆 + +
(3) + − > .
素养提炼
2.求圆的方程的基本思路
(1)求圆的方程时,若已知条件中明确圆心的坐标或半径,则设圆的标准方
程求解;若已知条件中没有明确圆心坐标或半径大小设圆的一般方程求解.
(2)由于圆的一般方程中所含的三个特定系数不是二次项的系数,在由三
个独立条件列出方程组后,一般可求出待定系数, , .
表示,再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中得P点的轨迹方程.
(2)①求出轨迹方程后应说出最后是什么样的图形;②要考虑轨迹上应去掉的
点及轨迹不存在的情形.
变式训练

2、已知线段的中点坐标是 , , 端点在圆( + ) +
= 上运动,求线段端点的轨迹方程.
解析
设点的坐标是(, ),点的坐标是( , ).
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤:
(1)设圆方程 ;
(2)列方程组;
= −.
4.设圆 + − + − = 的圆心为,点在圆上,则
+ − + + =

的中心的轨迹方程是__________________________.
解析
由条件知(, −), 设(, ),则( − , + ),由于在圆上,
− + + = ,
= ,
即三角形的外接圆方程为＋ − − ＋＝.
典例讲解

例、已知线段的端点坐标是 , , 端点在圆( + ) +
= 上运动,求线段的中点的轨迹方程.
解析
设点的坐标是(, ),点的坐标是( , )由于点坐标是
解析
法二:设所求圆的方程为: − + − =
因为(, ) 、 (, ) 、 (, )都在圆上
− + − =
=
所以൞ − + − = ⇒ ቐ = −
=
− + − =
(3)若求圆心和半径,则可以将圆的一般方程配方成圆的标准方程,再写出
圆心坐标和半径.另外在解答圆的有关问题时,应注意利用圆的平面几何
的性质,使运算简化.
素养提炼
3.求轨迹方程的一般步骤
(1)建系:建立适当的直角坐标系.
(2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任意一点的坐标.
(3)列式:列出关于x,y的方程.


示圆?
=
+ −
,它在什么条件下表

探究新知
思考5:当 + − = 或 + − < 时,


方程 + + + + = 表示什么图形?
思考6:方程 + + + + = ( + −
> ) 叫做圆的一般方程,其圆心坐标和半径分别
2
M1

O
半径:圆心到圆上一点的距离
C
几何法
方法归纳
求
圆
的
方
程
几何方法
求圆心坐标 (两条直线的
交点)(常用弦的中垂线)
求半径(圆心到圆
上一点的距离)
写出圆的标准方程
待定系数法
设方程为
− + − =
或 + + + + =
列关于, , (或, , )的方程组
复习引入
圆心为(, ),半径为的圆的标准方程是什么?
−

+ −

=


复习引入
直线方程有多种形式,圆的方程是否还可以表示成
其他形式?这是一个需要探讨的问题.
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圆的一般方程
学习目标
学习目标
核心素养
准确把握圆的一般方程的结构形式,理解各个
字母的意义
把握圆的一般方程与标准方程的互化
般形式是什么?
+ + + + =
探究新知




+ +




思考3:方程 + − + + = 与 + −
− + = 表示的图形都是圆吗?为什么?
思考4:方程 + + + + = 可化为
+
− + + + = ,
= −,
由题意可得ቐ− − + + = ,解得ቐ = −,
+ + + = ,
= −.
故所求外接圆的方程为＋ − − − ＝.
归纳小结
１.圆的一般方程:
+ + + + = ( + − > )
方法归纳
任何一个圆的方程都可化为＋＋＋＋＝的形式,但
形如＋＋＋＋＝的方程不一定表示圆.判断它是否
表示圆可以有以下两种方法:
(1)计算＋－,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一
个点;若其值为负,则不表示任何图形.
(2)将该方程配方为 +
准方程来判断.
(, ),且点是线段的中点,所以
+
=
= −

相关点法
൞
,⇒ቊ

= −
+
=

因为点在圆 + + = 上运动,所以点坐标满足方程
+ + = ,即 + + = .
把(1)代入(2)得 − + + − = .
由于点坐标是(, ),且点是线段的中点,所以
+
=
⇒ ቊ = −
+
= −
=

因为点在圆 + + = 上运动,所以点坐标满足方
程 + + = ,即 + + = .
+ + = 的位置分别有什么特点?

C
C
o
=


o

C


o
=
=
探究新知
圆的标准方程
方程形式
圆心
−

+ −

=
圆的一般方程
>
+ + + + =
+ − >


− −


半径

优点
几何特征明显

+

− > 得 −

+

− > ,解得 <

,故选A.

当堂练习
3.若圆 + − + − = 关于直线 − + =
对称,则实数等于______.
−
解析 由条件可知,直线经过圆的圆心(, −),∴ − − + = ,解得
所求圆的方程为 − + + = .
圆的半径 = ,圆心坐标是(4,-3).
待定系数法
典例讲解
(, )的圆的方
例2、求过三点(, ) 、 (, ) 、
程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
M
法三:先求出圆心和半径,再求圆的方程
圆心:两条弦的中垂线的交点


+ +


=
+ −
,根据圆的标

典例讲解
例2、求过三点(, ) 、 (, ) 、 (, )的圆的方程,
并求这个圆的半径和圆心坐标.
解析
法一:设所求的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,
因为, , 在圆上,所以它们的坐标是方程的解,
所以当 = 时,它表示一个点;当 ≠ 时,它表示圆的方程,
此时,圆的圆心为(, −),半径为 = − .
法二:原方程可化为( − ) ＋( + ) ＝( − ) ,
所以当 = 时,它表示一个点;当 ≠ 时,它表示圆的方程,
此时,圆的圆心为(, −),半径为 = − .
+ −

突出方程形式上的特点
典例讲解
例1、判断方程＋－＋＋－＝能否表示
圆,若能表示圆,求出圆心和半径.
解析
法一:由方程 ＋ －＋＋－＝可知, = −, = , = − ,
所以 ＋ － = ＋ − + ＝( − ) ,
(4)化简:把方程化为最简形式.
(5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
当堂练习
1.方程 + − + + = 表示的图形是( A )
A.一个点
B.一个圆C.ຫໍສະໝຸດ 条直线D.不存在解析
方程 + − + + = ,可化为 + − + + = ,即
整理得

−

+ −


= 即为所求的轨迹方程.
方法归纳
(1)求轨迹方程的三种常用方法
①直接法:根据题目条件,建立坐标系,设出动点坐标,找出动点满足的条件,然
后化简、证明.
②定义法:动点的运动轨迹符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.
③代入法:若动点P(x,y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1,y1)而运动,把x1,y1用x,y
代入方程可得
=
= −
ቐ +++= ⇒ቐ = ,
+ + + =
=
所求圆的方程为x2＋y2-8x＋6y＝0,圆的半径 = ,圆心坐标是(4,-3).
典例讲解
例2、求过三点(, ) 、 (, ) 、 (, )的圆的方
程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
体会用待定系数法求圆的一般方程的步骤
明确求动点的轨迹及轨迹方程的步骤,弄清楚
轨迹与轨迹方程的区别
数学抽象
数学运算
数学抽象
数学抽象
数学运算
学习目标
学习目标:
1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.
2.会在不同条件下求圆的一般方程.
学科核心素养:
1. 通过圆的一般方程的推导,提升逻辑推理、数学运算的数学素养.
解出, , (或, , )写出标准
方程(或一般方程)
变式训练
1、已知A(2,2),B(5,3),C(3, − 1),求三角形ABC的外接圆的方程.
解析
设三角形外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,
+ + + = ,
= −,
由题意得ቐ + + + = , 解得 ቐ = −,
∴ − + + − − + + − = ,整
理得 + − + + = .
当堂练习
5.已知△ 的三个顶点分别为(−, ), (−, −),(, ),求
其外接圆P的方程.
解析
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2 -4F>0),