湖北武汉市部分学校09届高三数学(理)起点调研

湖北武汉市部分学校09届高三数学（理）起点调研
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

） 1．已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式n
x
x )2(2
+展开式中常数项是
（ ）
A ． 第7项
B ．第8项
C ．第9项
D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξ
E ，4
9
=ξD ，则n 与p 的值为
（ ）
A ．41,12=
=p n B ．43,12==p n C ．4
1,24==p n D ．4
3
,24==p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）
4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）
A ．f （x ）＝⎩
⎨
⎧>-≤-.0,1,
0,1x x x B ．f （x ） ＝lnx
C ．f （x ）＝x
x |
|
D ．f （x ）＝⎪⎩
⎪⎨
⎧<=>-.0,1,0,0,
0,1x x x
5．已知函数b
a b f a f x f x f x
1
1,4)()()(2)(111
+=+=---则满足的反函数的最小值为
（ ）
A ．1
B ．
31 C ．
2
1 D ．
4
1 6．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m += )sin sin ,3(A B c a -+=，若//，则角B 的大小为 （ ）
A ．
6
π B ．
6
5π C ．
3
π D ．
3
2π 7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点，而被该双曲线的右
准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于
（ ）
A ．
5
B ．
2
5 C ．3
D ．
2
8．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的
直线至少有 （ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条
9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|.
若有函数g （x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是 （ ） A ．g （x ）⊂M B ．g （x ）∈M C ．g （x ）∉M D ．不能确定 10．已知函数12
||4
)(-+=
x x f 的定义域是[]b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数对),(b a 共有 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为
3
4
，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 . 12．已知随机变量)4,3(~N ξ，若ξ=2η+3，则D η=____________.
13．已知,,R y x ∈且满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≥+756y x y x ，则2
2y x +的最大值是 .
14．设10321221010++3+2+++++=+1a a a a ,x a x a x a a )x (n
n n 则= .
15． 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离
叫做刹车距离。

在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)
满足下列关系：n mx x y ++=200
2
(m ,n 是常数)， 如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与 汽车的车速x (千米/时)的关系图.
（I ）y 关于x 的函数表达式为：___________ （II ）如果要求刹车距离不超过25.2米，则行
驶的最大速度为：__________
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）
已知函数.sin 3cos ]sin )3
sin(2[)(2x x x x x f -++
=π
（I ）若函数)(x f y =的图象关于直线)0(>=a a x 对称，求a 的最小值； （II ）若存在02)(],12
5,
0[00=-∈x mf x 使π
成立，求实数m 的取值范围. 17．（本小题满分12分）
如图在直三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，∠BAC = 90°，AB = AC = a ，AA 1 = 2a ，D 为BC
的中点，E 为CC 1上的点，且CE =
4
1CC 1 （I ）求三棱锥B – AB 1D 的体积； （II ）求证：BE ⊥平面ADB 1；
（Ⅲ）求二面角B —AB 1—D 的大小.
18．（本小题满分12分）
口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每
次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望. 19．（本小题满分12分）
已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2
=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图. （I ）若△POM 的面积为
2
5
，求向量OM 与OP 的夹角。

（II ）试证明直线PQ 恒过一个定点。

20．（本小题满分13分）
设函数.)2()(2x
e k kx x x
f -+-= （I ）k 为何值时，f (x )在R 上是减函数； （II ）试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0. 21．（本小题满分14分）
已知函数2
1
)1()()(=-+∈x f x f R x x f 都有对任意 （I ）求*))(1
(
)1()21(N n n
n f n
f f ∈-+和的值； （II ）数列{a n }满足*)(),1()1
()2()1()0(N n f n
n f n f n f f a n ∈+-++++= 数列{a n }
是等差数列吗？请给予证明；
（III ）2
212221,1632,1
44n n n n n b b b b T n
S a b ++++=-
=-= ，试比较T n 与S n 的大小.
参考答案
一、选择题：
1—5CABAC 6—10BDCBB 二、填空题： 11．
189
256
12．1 13.74 14．5120 15．（I ）)0(100
2002≥+=
x x
x y （II ）70千米/时 三、解答题
16．解：（I ）).3
2sin(22cos 32sin )(π
+=+=x x x x f …………………………（4分）
由题设，).(12
2,2
3
2Z k k a k a ∈+=
+
=+
π
ππ
ππ
即
.12
,0,0min π
=
=>a k a 时则当 ………………………………………………（6分）
（II ）当].1,2
1[)32sin(],67,3[32,]125,
0[000-∈+∈+∈ππππx x x x 时 ].2,1[)(0-∈∴x f …………………………………………………………………（9分）
由.12,22
1.2)(,02)(00≥-≤≤≤-∴=
=-m m m
m x f x mf 或即得
故m 的取值范围是).,1[]2,(+∞⋃--∞…………………………………………（12分）
17．解：（Ⅰ）∵AB=AC=a ，∠BAC=90°，D 为BC 中点
B 1B=
C 1C=A 1A=2a ，2
411a CC CE == ∴24
1
)21(2121a AC AB S S ABC ABD =⋅==∆∆ ………………2分 ∵3216
1
241313111a a a BB S V V ABD ABD B D
AB B =⋅⋅=⋅⋅==∆-- …………4分
解法一：
（Ⅱ）由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC 从而AD ⊥平面B 1BCC 1
又BE ⊂平面B 1BCC 1，所在AD ⊥BE …………6分 由已知∠BAC=90°，AB=AC=a ，得a BC 2=
在Rt △BB 1D 中，4
2
21tan 111===∠BB BC
BB BD D BB 在Rt △CBE 中，42
22tan ===∠a
a BC CE CBE 于是∠BB 1D=∠CBE ，设EB ∩DB 1=G
∠BB 1D+∠B 1BG=∠CBE+∠B 1BG=90°，则DB 1⊥BE ，又AD ∩DB 1=D 故BE ⊥平面ADB 1 ……………………8分 （Ⅲ）过点G 作GF ⊥AB 1于F ，连接BF
由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG 是二面角B —AB 1—D 的平面角 …………10分 在Rt △ABB 1中，由BF ·AB 1=BB 1·AB ，得a BF 5
5
2= 在Rt △BDB 1中，由BB 1·BD=BG ·DB 1，得BG=
a 3
2
所以在Rt △BFG 中，3
5
sin ==
∠BF BG BFG 故二面角B —AB —D 的大小为arcsin
3
5
………………12分 解法二： 解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A －xyz …………2分 可知A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，a ，0），D （0,2
,2a
a ）
， B 1（a ，0，2a ），E （0，a ，
2
a
） …………4分 可得 ),0,2
,2(),2,,(a
a AD a a a BE =-=
)2,2
,2(1a a
a DB = ………………6分
于是得0,01=⋅=⋅DB BE AD BE ，
可知BE ⊥AD ，BE ⊥DB 1
又AD ∩DB 1=D ，故BE ⊥平面ADB 1 …………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB 1的法向量)2
,,(a a a BE -=，平面ABB 1的法向量)0,,0(a AC =
于是 3
2
|
|||,cos =
⋅>=
<AC BE AC BE AC BE …………10分 故二面角B —AB 1—D 的大小为arccos
3
2
………………12分 18．解：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A ，“乙摸球一次摸出红球”为事件B ，则 3
2
)()(,31844)()(===+=
=B P A P B P A P ，且A 、B 相互独立.………………（2分）
据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中
.2714
)32(3132)()()0(3=+⨯=
⋅⋅+⋅==A B A P B A P P ξ .27
10
)32(3231)()()1(2=+⨯=⋅⋅+⋅==A B A P A A P P ξ
.272
32)31()()2(2=⨯=⋅⋅==A A A P P ξ
.271
)31()()3(3==⋅⋅==A A A P P ξ………………（8分）
ξ 0 1 2 3 p
14/27
10/27
2/27
1/27
………………（10分）
)12(.27
17271327222710127140分 ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯
=∴ξE 19．解：（I ）设点P y y P y y M ),,4
(),,4(22
2
121、M 、A 三点共线，
,4
414
,2
2
212
12
11y y y y y y k k DM AM --=
+=∴即
4,1
4212
1211=∴+=+y y y y y y 即
……（2分）
.54
4212
2
21=+⋅=⋅∴y y y y OM ……………………………………………（4分）
设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM
.5sin ||||,2
5
=⋅⋅∴=
∆αS ROM 由此可得tan α=1.…………………（6分）
又.45,45),,0(︒︒=∴∈与故向量απα……………………（7分）
（II ）设点M y y Q ),,4
(32
3
、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴
)8(.04,4))(1(,1
41,4
41431312
33133123
3232
131233
分即即即
=+++-=++∴+=-+--=
+y y y y y y y y y y y y y y y y y y
,044
4,4,432
322121=+++⋅∴=
=y y y y y y y y 即
即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（9分）
,44
43223
2
232y y y y y y k PQ +=--=
)4
(4
22322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线
即.4)(,4))((32322
2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（10分）
由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y
由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.…………………………………………（12分）
20．解：（Ⅰ）∵x
e k kx x x
f -⋅+-=)2()(2
∴x x
e k kx x e k x x
f --⋅-⋅+-+-=')1()2()4()(2
x e x k
x -⋅-⋅-
-=)2()2
(2 ………………2分 当k=4时，0)2()(≤⋅--='-x
e x x f
∴当k=4时，R x f 在)(上是减函数………………5分 （Ⅱ）当k ≠4时，令2
,20)(21k
x x x f =
=='，得………………6分 当k<4时，即2<k
有
令,02)2(2,0)2(2=+⋅-⋅=k k k k k f 得 ∴k=0 ………………9分
②当k>4时，即k
>2有
0242 0)2(=+-⨯=k k f 得∴当k=0或k=8时，)(x f 有极小值0 ………………13分
21．（1）解：f (x )对任意2
1)1()(=-+∈x f x f R x 都有 41
)21(21)211()21(21=∴=-+=f f f x 时有………………2分
令21
)11()1(*)(1=-+∈=n f n f N n n x 时有
2
1)1()1(=-+∴n n f n f ……………………………………4分
（2）解：数列{a n }是等差数列
f (x )对任意x ∈R 都有,2
1
)1()(=
-+x f x f 则令2
1)()(=-+=
n k n f n k f n k x 时有……………………………………6分 )1()1
()2()1()0(f n n f n f n f f a n +-++++=
)0()1
()2()1()1(f n
f n n f n n f f a n +++-+-+=∴
)]0()1([)]1
()1([)]1()1([)]1()0([2f f n
f n n f n n f n f f f a n +++-++-+++=∴
*)(21
2N n n a n ∈+=∴
*)(4
1
N n n a n ∈+=∴
*)(4
1
4141)1(1N n n n a a n n ∈=+-++=-∴+
∴{a n }是等差数列. ………………10分 （3）解：由（2）有*)(4
1
44N n n
a b n n ∈=
-=
n
n
n S n
n n n n n n
n b b b b T =-=-=--++-+-+=-++⨯+⨯+≤++++=++++=++++=16
32)12(1611131212111(16))1(13212111(16)
1
312111(1643424142222222222222
21
22
21
∴T n ≤S n …………………………………………………………………………14分 该题也可用数学归纳法做.。