电路课件电路14线性动态电路复频域分析
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第14章线性动态电路的复频域分析
1F - uC
10
10
时域电路
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•
20 + 50V -
+ iL 0.5H
1F - uC
10
10
5 UC(s)
20
1/s +
25/s -
IL(s) 0.5s -
2.5V
+ 5
注意附加电源
t >0 运算电路
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•
例11
电路原处于稳态，t 法求电流 i(t)。
S 2
3
4s 5 K2 s 2 7 s3
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•
解法2
K1
N ( p1) D' ( p1)
4s 5 2s 5
s 2
3
K2
N ( p2 ) D' ( p2 )
4s 5 2s 5
s 3
7
f (t) 3e2t (t) 7e3t (t)
L
1 2j
(e
j
t
e
j
t
)
1 1
2
j
s
j
s
1
j
s2
2
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• 例3 利用导数性质求下列函数的象函数
(1) f (t) cos( t)的象函数
解 dsin( t) cos(t)
dt
cos(t) 1 d(sint) dt
K21
d ds
[(s
1) 2
F
电路理论第十四章 动态电路的复频域分析与网络函数
M
di1 (t ) dt
1
i1 +
M
i2 + 2
u1 L1 L2 u2
+ UL(s) -
+ I1(s)
I2(s) +
sL1 -
sL-2
L1i1(0 )
U1(s)
+ +
sMI2
(s) --
L+2i2 +
(0 ) U2
(s)
s-MI1(s)
-
-
- 2'
Mi2(0 ) -+
+Mi1
(0 ) -
U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI2 (s) Mi2 (0 )
即有：
1,
2,1
4
f (t) 2 k1 et cos(t 1) (t) 2 0.5
即 f (t) 2et cos(2t ) (t)
2 et cos(2t ) (t)
4
4
3. D(s) 0 具有重根。
设D(s)中含有因式(s p1)3 ，其余为单根，F(s) 可分解为：
F (s)
则有：F (s)
s2
s3 2s 5
s
k1 (1
j2)
k2 s (1
j2)
即 N(s)
s3
k1
[ D(s) ]s p1
[ 2s
2 ]s1 j 2
0.5
j0.5
0.5
j
2e 4
N (s)
s3
j
k2 [ D(s) ]s p2 [ 2s 2]s1 j2 0.5 j0.5 0.5 2e 4
2.零极点的分布与频率响应。
第14章线性动态电路的复频域分析2012讲解
1
§14. 1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的应用在线形动态电路中的应用概述：
对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解高阶 微分方程的方法(经典法)比较困难，工作量较大,见第七章。 积分变换法：通过积分变换，把已知的时域函数（微分 方程） 频域函数（代数方程），求出频域函数后，再做 反变换，返回时域。求解时不需确定积分常数。 拉普拉斯变换和傅里叶变换都是积分变换，但拉普拉斯 变换比傅里叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换 法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。
c
j
F
(
s)e
st
ds
2 j c j
4
二、运算法 (复频域分析方法)
F(s) f (t)estdt 0
积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s
的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变
换到 s 域内的复变函数F(s)。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一
若
L[f(t)] = F(s)
则
L[f ’(t)] = sF(s) - f(0-
)
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t) = cos(ωt) （2）f(t) =δ(t)
12
解：（1） f(t)=cos(ωt)
cos(t) 1 d sin(t)
dt L[sin(t)]
s2 2
L[cos(t)] L1
有如下关系:
若
L[f(t)]= F(s)
则
L
t 0
f
(
)d
F (s) s
15
积分性质
L
t 0
f
(
)d
§14. 1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的应用在线形动态电路中的应用概述：
对于具有多个动态元件的复杂电路，用直接求解高阶 微分方程的方法(经典法)比较困难，工作量较大,见第七章。 积分变换法：通过积分变换，把已知的时域函数（微分 方程） 频域函数（代数方程），求出频域函数后，再做 反变换，返回时域。求解时不需确定积分常数。 拉普拉斯变换和傅里叶变换都是积分变换，但拉普拉斯 变换比傅里叶变换有更广泛的适用性，所以拉普拉斯变换 法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。
c
j
F
(
s)e
st
ds
2 j c j
4
二、运算法 (复频域分析方法)
F(s) f (t)estdt 0
积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s
的函数。 所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变
换到 s 域内的复变函数F(s)。 变量 s 称为复频率。 应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一
若
L[f(t)] = F(s)
则
L[f ’(t)] = sF(s) - f(0-
)
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t) = cos(ωt) （2）f(t) =δ(t)
12
解：（1） f(t)=cos(ωt)
cos(t) 1 d sin(t)
dt L[sin(t)]
s2 2
L[cos(t)] L1
有如下关系:
若
L[f(t)]= F(s)
则
L
t 0
f
(
)d
F (s) s
15
积分性质
L
t 0
f
(
)d
第十四章 线性动态电路的复频域分析 电路第五版 邱广源.
R、L、C等元件 电源 uS(t)、iS(t)
U(S)=SLI(S)–Li(0-) 1 U(S)= I(S)+ u(0-) SC S 运算阻抗(或导纳)和附加电源 US(S)、IS(S) 运算电路
(频域电路)
£
时域电路
14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
一、KCL与KVL的运算形式
1、KCL Ik(S)=0 i1 i3
i2
I1(S) I3(S) I2(S)
– I1(S) +I2(S) –I3(S) =0
2、KVL Uk(S)=0
电路元件模型的回顾 时域 相量法
= RI U
I
u(t)=Ri(t)
R + L
i(t) R u(t) -
S=pi
设n>m m m–1 N(S) bmS + bm–1S + • • • + b1S + b0 F (S)= = D(S) anSn + an–1Sn–1 + • • • + a1S + a0 令D(s)=anSn + an–1Sn–1 + … + a1S + a0=0可得根为 p1, p2,…, pn （1） D(S)有n个实数单根 K2 Ki Kn K1 • • • • • • F(S)= S –p + S –p + + S –p + S –p + 2 i n 1 f(t)=
K2=K1*
令 K1= K1 ej 则 K2= K1 e–j f(t)= K1 eje(+j)t + K1 e–je(–j)t + • • •
= K1 et [ej(t + ) + e–j(t + ) ] + • • • =2 K1 et cos(t+ ) + • • • 注意K1是虚部为正的极点对应的那个常数
电路课件 电路14 线性动态电路复频域分析
14
例14-4
利用积分性质求函数f(t)＝t的象函数。 解 由于
f(t)t0t()d,
所以
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-5
第十四章 线性动态电路的复频域分析
15
4．延迟性质
函数f(t)的象函数与其延迟函数f(t-t0)的象 函数之间有如下关系 若 £[f(t)]＝F(s) 则 £[f(t-t0)]＝e-st0F(s) 其中，当t＜t0时，f(t-t0)＝0。
其余为单根，F(s)可分解为
对于单根，仍采用
公式计算。
为了确定K11、K12和K13，将式(13-7)两边乘以(s-pi)3， 则K11被单独分离，即
则
K11＝(s-p1)3F(s)|s＝p1
2020/4/17
14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开-8
第十四章 线性动态电路的复频域分析
27
D(s)＝0具有重根 (2)
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-7
第十四章 线性动态电路的复频域分析
17
常用函数的拉氏变换表
2020/4/17
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-8
第十四章 线性动态电路的复频域分析
18
14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求线性电路时域响应，需拉氏反变 换为时间函数。
第十四章 线性动态电路的复频域分析
23
例14-6
求 解 因为
的原函数f(t)。
所以：D(s)＝0的根为 p1＝0，p2＝-2，p3＝-5 D'(s)＝3s2&同理求得： 所以
2020/4/17
K2＝0.5
K3＝-0.6
线性动态电路的复频域分析(精)
U
s
1 sC
I
s
1 s
u0
或 I (s) sCU (s) Cu(0 )
1 sC
和
SC 分别为
C
的运算阻抗和运算导纳。
u(0 ) s
和
Cu (0
)分别为反映
u(0 )
的附加电压源电压和附加
电流源电流。
④ 耦合电感的运算电路
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
又 D' (s) 3s2 14s 10
k1
N (s) D(s)
s p1
3s
2
2s 1 14s 10
s0
0.1
同理
k2 0.5, k3 0.6
故 f (t) 0.1 0.5 e2t 0.6 e5t
② D(s) = 0 具有共轭复根，p1 = + j , p2 = - j , 则
现设 D(s) = 0 中含有 ( s - p1)m 的因式，其余为单根， F(s)可 分解为
F
s
k1m s p1
k1( m1) (s p1)2
k11 (s p1)m
n i2
ki s pi
(n n m)
这里
ki
N (s) D(s)
s pi
② 拉氏变换是一种积分变换，把 f(t) 与 e-s t 构成的乘积由 t = 0-到 ∞对 t 进行积分，定积分的值不再是 t 的函数，而是复 变数 s 的函数。
③ 拉氏变换把时域函数 f(t) 变换到 s 域复变函数 F(s) 。
第十四章 动态电路的复频域分析
简单表示： f (t) F (s)
原函数
象函数
2. 拉氏反变换
由 F(s) f (t)
f (t) 1
c
j
F
(
s)e
st
dt
2j c j
记为： f (t) L1[F(s)]
二. 典型函数的拉氏变换
1. f (t) Ae t 或 f (t) Ae t (t)
Ae t
Ae t (t)
A
s
二. D(s)＝0有共轭复根的情况
设 p1 j ， K1 K e j f (t) 2 K et cos(t )
三. D(s)＝0具有重根的情况
F(s)
s2
K11 K12 K2
(s 1)2 (s 3) (s 1)2 s 1 s 3
K11 (s 1)2 F(s) s1
K12
解： u(t) u1(t 4)
U (s) 10 1 e2s e4s s
例14—3： f (t) (t 3) (t 2) ，求 F(s) L f (t) 。
解：
t
(t
)
1 s2
A (t) A
s
f (t) (t 3) (t 2) (t 2 1) (t 2) (t 2) (t 2) 1 (t 2)
iL(t) L
+ uL(t) -
uL
(t
)
L
diL (t dt
)
IL(s)
+
SL
LiL(0-)
-+
UL(s)
-
L UL (s) sLIL (s) LiL (0 )
SL —— 称为电感的运算阻抗。
LiL(0-) —— 称为电感的附加电压源。 注意
电路第五版课件 第十四章线性动态电路的复频域分析
ss L
Us25s(s)
L1iLV(0-)
注意UL(s) ： 计算 动态元件电压或电 流时，要包含附加 电源在内。
24
④求响应的象函数(用结点法)
2
5
1 5
1 5
1 s
UL(s)
(s2) 5
1 s
s 5
整理： UL(s)
2s (s2)(2s5)
4 s2
①把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代 数方程；
②将电流和电压的初始值自动引入代数方程中，在 变换处理过程中，初始条件成为变换的一部分。
由于解代数方程比解微分方程简单效，所以拉 氏变换在线性电路分析中得到广泛应用。
4
1. 拉氏变换的定义
定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
F (s)
1 2(1
j)
K 22
I (s)(s 1 j) s1j
1 s(s 1
j)
s1 j
1 2(1 j)
原函数
i1(t) ℒ [I1(s)]
1 2
(1 et costet sint) A
部分分式展开法 23
例2：稳态时闭合S。求 t≥0时的 uL(t)。
20
§14-5 应用拉氏变换法分析线性电路
相量法由直流电阻电路推广而来，运算法也是。 所以运算法的分析思路与相量法非常相似，推广 时引入拉氏变换和运算阻抗的概念： i → I(s)，u → U(s)，R → Z(s)，G → Y(s)。
用运算法分析动态电路的步骤： ① 由换路前的电路求初始值 uC(0) , iL(0) ； ② 将激励变换成象函数； ③ 画运算电路(注意附加电源的大小和方向) ； ④ 用电阻电路的方法和定理求响应的象函数； ⑤ 反变换求原函数(得时域形式表达式)。
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只要s实部ζ取足够大，当t→∞时，e-stf(t)→0，则F(s)存在，得 £ [f ’(t)]＝sF(s)-f(0-)
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-2
2018年12月24日星期
第十四章 线性动态电路的复频域分析
11
例14-3
应用导数性质求下列函数的象函数： (1) f(t)＝cos(ωt)；(2) f(t)＝δ(t)。
st st
0
1 st F ( s) L[ f (t )] (t )e dt e dt e 0 0 s
1 s
2018年12月24日星期
14-1 拉普拉斯变换的定义-5
第十四章 线性动态电路的复频域分析
7
例14-1 (2)
(2)单位冲激函数的象函数 f(t)＝δ(t)
t st
0
0
0
1 s
ห้องสมุดไป่ตู้
2018年12月24日星期
14-1 拉普拉斯变换的定义-6
第十四章 线性动态电路的复频域分析
8
14-2 拉普拉斯变换的基本性质
拉普拉斯变换有许多重要性质，仅介绍与线性电路有 关基本性质。 1．线性性质 设f1(t)和f2(t)是两个任意时间函数，象函数分别为F1(s) 和F2(s)，A1和A2是两个任意实常数，则
第十四章 线性动态电路的复频域分析
主要内容： 拉普拉斯(法place)变换的定义 拉普拉斯变换与电路分析有关的基本性质 求拉普拉斯反变换的部分分式法(分解定理) KCL和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导 纳及运算电路 通过实例说明在线性电路分析中的应用。
2018年12月24日星期
14-1 拉普拉斯变换的定义-1
第十四章 线性动态电路的复频域分析
2018年12月24日星期
3
拉氏变换-1
一个定义在[0，∞)区间的函数f(t)，其拉普拉斯 变换式F(s)定义为 st
F ( s) f (t )e dt
0
s=ζ+jω为复数，F(s)称f(t)的象函数，f(t)称F(s) 的原函数。简称拉氏变换。 f (t)拉氏变换F(s)存在条件是该式右边积分为有 限值，e-st称收敛因子。 对函数f(t)，如存在正有限值常数M和c，使得 对 于所有t满足条件 |f(t)|≤Mect 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。
用符号£ []表示对时域函数作拉氏变
-1[]表示对复变函数作拉 换，用符号£ 氏反变换。
2018年12月24日星期
14-1 拉普拉斯变换的定义-4
第十四章 线性动态电路的复频域分析
6
例14-1 (1)
求以下函数的象函数：
(1)单位阶跃函数； (2)单位冲激函数； (3)指数 函数。
解 (1)单位阶跃函数的象函数 f(t) ＝ε(t)
第十四章 线性动态电路的复频域分析
1
14-1 拉普拉斯变换的定义
多个动态元件复杂电路，用经典法直 接求解微分方程比较困难。 例：n阶微分方程，直接求解需要知 道变量及(n-1)阶导数在t＝0+时刻值， 电路中只给定各电感电流和电容电压 t＝0+时刻值，求所需初始条件工作 量很大。
14-1 拉普拉斯变换的定义-0
2018年12月24日星期
14-1 拉普拉斯变换的定义-2
第十四章 线性动态电路的复频域分析
4
拉氏变换-2
原函数f(t)与e-st的乘积从t＝0-到∞对t进行积分， 积分的结果不再是t的函数，而是复变量s的函 数。 拉氏变换是把一个时间域函数f(t)变换到s域内 的复变函数F(s)。变量s称复频率。 用拉氏变换法进行电路分析称电路的复频域分 析方法，又称运算法。 定义拉氏变换积分从t=0-开始，可计及t=0时f(t) 包含冲激，方便计算有冲激函数的电路。
2018年12月24日星期
第十四章 线性动态电路的复频域分析
2
积分变换法
通过积分变换，把已知时域函数变为频域
函数，把时域微分方程化为频域函数代数 方程。求出频域函数后，作反变换返回时 域，可求得满足电路初始条件的原微分方 程解答，不需确定积分常数。 拉普拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路 的有效而重要的方法之一。
F ( s) L[ f (t )] (t )e dt (t )e st dt e s ( 0) 1
st 0
1 F ( s) L[ f (t )] e e dt e ( s )t 0 (s )
可见按式(14-1)定义，能计及t＝0时f(t) 所包含冲激函数。 (3)指数函数的象函数 f(t)＝eαt (α为实数)
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-1
2018年12月24日星期
第十四章 线性动态电路的复频域分析
10
2．微分性质
函数f(t)象函数与其导数f ’(t)＝df(t)/dt象函数间 关系： 若 £ [f(T)]＝F(s) 则 £ [f ’(t)]=sF(s)-f(0-)
证
设e-st＝u，f ’(t)dt＝dv，则du＝-se-stdt，v＝f(t)。由于∫udv＝uv ∫vdu，所以
证
14-2
拉普拉斯变换的基本性质-0
2018年12月24日星期
第十四章 线性动态电路的复频域分析
9
例14-2
若：(1)f(t)＝sin(ωt)；(2)f(t)＝K(1-e-αt)。函数定 义域为[0，∞]，求象函数。 解(1)
(2) 根据拉氏变换线性性质，求函数乘以常数的象 函数以及求几个函数相加减的结果象函数时， 可先求各函数象函数再进行计算。
解(1)由于 而 所以
d (t ), dt
(2)由于
(t )
而
所以
此结果与例14-1所得结果完全相同。
14-2 拉普拉斯变换的基本性质-3
2018年12月24日星期
第十四章 线性动态电路的复频域分析
2018年12月24日星期
14-1 拉普拉斯变换的定义-3
第十四章 线性动态电路的复频域分析
5
拉普拉斯反变换
如F(s)已知，求对应f(t)，由F(s)到f(t)
变换称拉普拉斯反变换，定义
1 c j st f (t ) F ( s ) e ds 2j c j
式中c为正有限常数。