电路分析-第九章 线性动态电路的复频域分析
(完整版)邱关源电路教材重点分析兼复习纲要-武汉大学电路
第一章电路模型和电路定律，第二章电阻电路的等效变换，第三章电阻电路的一般分析，第四章电路定理。
这四章是电路理论的基础，全部都考，都要认真看，打好电路基础。
第一章1-2电流和电压的参考方向要注意哈，个人认为搞清楚方向是解电路最重要的一步了，老师出题，喜欢把教材上常规的一些方向标号给标反，这样子，很多式子就得自己重推，这也是考验你学习能力的方式，不是死学，比如变压器那章，方向如果标反，式子是怎样，需要自己推导一遍。
第二章都要认真看。
第三章3-1 电路的图。
图论是一门很重要的学科，电路的图要好好理解，因为写电路的矩阵方程是考试重点，也是送分题，而矩阵方程是以电路图论为基础的。
第四章4-7对偶原理。
自己看一下，懂得什么意思就行了。
其他小节都是重点，特别是特勒跟和互易。
这几年真题第一题都考这个知识点。
第五章含有运算放大器的电阻电路。
这个知识点是武大电路考试内容，一定要懂，虚短和虚断在题目中是怎么用的，多做几个这章的题就很清楚了。
5-2 比例电路的分析。
这一节真题其实不怎么常见，跟第三节应该是一个内容，还是好好看一下吧。
第六章储能元件。
亲，这是电路基础知识，老老实实认真看吧。
清楚C和L的能量计算哦。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析。
一阶电路的都是重点，二阶电路的时域分析，其实不怎么重要，建议前期看一下，从来没有出现过真性二阶电路让考生用时域法解的，当然不是不可以解，只是解微分方程有点坑爹，而且基本上大家都是要背下来那么多种情况的解。
所以，这章的课后习题中，二阶的题用时域解的就不用做了，一般后面考试都是用运算法解。
7-1 7-2 7-3 7-4 都是重点，每年都考。
好好看。
7-5,7-6，两节，看一下即可，其实也不难懂，只是很难记。
7-7，7-8很重要，主要就是涉及到阶跃和冲激两个函数的定义和应用，是重点。
7-9，卷积积分，这个方法很有用，也不难懂，不过我没看过也不会用也不会做，每次遇到题目都是死算，建议好好研究下卷积。
第九章 线性动态电路的复频域分析
sM * sL1
L1i1 (0 ) Mi2 (0 )
* sL2
L2 i2 (0 )
U1 ( s)
Mi1 (0 )
U 1 ( s ) L1 sI 1 ( s ) L1 i1 ( 0 ) MsI 2 ( s ) Mi2 ( 0 ) U ( s ) U ( s ) MsI ( s ) Mi ( 0 ) 1 1 2 L2 sI 2 ( s ) L2 i 2 ( 0 )
2．单边拉氏反变换
0
f ( t )e dt L[ f ( t )]
s t
j st 1 1 f (t ) [ F ( s )e d s ] ( t ) L [ f ( t )] 2 π j j
f(t)←→F(s) F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数
上题也可先去耦等效有
(t=0)
S
2.5 i1 1H 1H i2 2H 2.5 I2 ( s ) s 2 + s 2s 2.5 i3 + 2.5 10V -
i1 (0 ) i3 (0 ) 2A i2 (0 ) 0
画出s域模型如图
I1 ( s) 2.5 + 10 s -
4 +
(2.5 s 2s) I1 ( s) 2sI 2 ( s) 10 6 s 2sI1 ( s) (2.5 2s s) I 2 ( s) 4
i2 (t ) (e
0.5t
e
2.5t
)A , t 0
例．电路换路前已达稳态，求tu >0的全响应i(t) . + C2 2 F + 解: i L (0 ) 10 2.5A S
9-拉普拉斯变换分析法
K m1 Km2 K mn 2 s pm ( s pm ) ( s pm ) n 1 d l 1 n K ml [( s p ) F ( s)] m l 1 (l 1)! ds s p
对应这 n 个部分分式的原函数为
m
K ml K ml l 1 pmt t e (t ) l ( s pm ) (l 1)!
at
L
0
e
0
( s a )t
dt
1 ( s a )t ∞ e 0 sa 1 sa
《电路》课程讲义 Professor Rui-Xiang Yin(PhD) etrxyin@
8
常用拉普拉斯变换对
No 原函数 象函数
1 2
3
4
5
《电路》课程讲义 Professor Rui-Xiang Yin(PhD) etrxyin@
0 ∞ 0
∞
t
0
f ( )d e dt
st
t
0
e s
st
t
1 st f ( )d d(e ) s
0
f ( )d
0
∞
0
1 st f (t ) e dt s
1 F (s) s
《电路》课程讲义 Professor Rui-Xiang Yin(PhD) etrxyin@
d d d an n u an1 n 1 u a1 u a0u e(t ) dt dt dt d n 1 d 初始条件： n 1 u (0), u (0), u (0) dt dt
直接求解将是十分困难的。
电路教案线性动态电路的复频域分析
本章重点：(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念(4) 网络函数的极点和零点14.1 拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f (t)与复变函数F (s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义定义 [ 0 , ∞)区间函数 f (t )的拉普拉斯变换式： ⎪⎩⎪⎨⎧⎰=⎰=∞+∞-+∞--d )(πj 21)( d )()(0反变换正变换se s F tf t e t f s F stj c j c st [][])s (L )( )(L )s ( F t f t f F -1，简写==S: 复频率，ωσj s +=注意：● 积分域：0-：积分下限从0- 开始，称为0- 拉氏变换 。
0+：积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
今后讨论的均为0 - 拉氏变换。
t e t f t e t f t e t f s F st st st d )(d )( d )()(0000⎰+⎰=⎰=∞--+∞-++--（[0- ,0＋]区间f (t) = δ (t) 时，此项≠0）● 象函数F(s) 存在的条件：∞<⎰∞--t e t f st d )(0如果存在有限常数M 和 c 使函数 f(t) 满足：),0[ )(∞∈≤t Me t f ct ，即：cs Mt Me t e t f tc t -=⎰≤⎰∞---∞--d d )(0)s (s 0 则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)；原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3.典型函数的拉氏变换变换公式： d )()(0t e t f s F st⎰=+∞--(1)单位阶跃函数)()(t t f ε=的象函数s e s t e t e t t s F st st st 101d d )()]([L )(00=∞-=⎰=⎰==--∞--∞--εε(2)单位冲激函数)()(t t f δ=的象函数1d )(d )()]([L )(0000==⎰=⎰==---∞+--s st st e t e t t e t t s F δδδ(3)指数函数at e t f =)(的象函数[]a s e a s t e e e s F t a s st at at -=∞--=⎰==----∞-101d L )()(0 14.2 拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质)(])(L[ , )(])(L[ 2211s F t f s F t f ==若 ，[][][])()()(L )( L )()( L 221122112211s F A s F A t f A t f A t f A t f A +=+=+则证明：[][]t e t f A t f A t f A t f A std )()()()( L 022112211-∞⎰+=+-)()(d )(d )(2211022011s F A s F A t e t f A t e t f A st st +=⎰+⎰=-∞-∞--结论：根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。
拉普拉斯变换l
➢变量 s 称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分 析称为电路的一种复频域分析方法，又称运算法。
➢ 拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包 含的冲激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和 电流的电路带来方便。
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)]
(t )estdt
0
est
t0
1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1
例3 求单位阶跃函数 ( t )的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t )] (t )estdt 0
estdt est 1
0
s s
0
[ (t)] 1
熟悉的变换 相量法 把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 i1 i2 i
相量
拉氏变换：
时域函数f(t)(原函数)
I1 I2 I
对应 复频域函数F(s)(象函数)
二、拉普拉斯变换的定义
傅立叶变换
F ( j) f (t)e jtdt
条件：绝对可积 很难满足！！
乘以指数 衰减函数
f (t)ete jt dt
1 2
e
j t
(t
)
1 2
e
j t
(t
)
1 ejt (t) 1 ejt (t)
2
2
同理可得
11
1
s
( 2s
j
s
)
j
s2
2
[sint (t)]
s2
2
2. 微分定理 (differentiation theorem)
拉普拉斯变换及其基本性质(“函数”相关文档)共62张
K 2(s2j3)F (s)s 2j3s s2 5j3s 2j30.5j0.50.52ej45
即
F (s )
K 1
K 2
0 .52 e j4 5 0 .52 e j4 5
(s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 )
其中α=2,ω=3,θ=–45°，查表可得出
(2) K的象函数为
F(s)L[K]K estdtK(e sst) 0K s
0
(3) 单位冲击函数δ(t) 的象函数
δ(t)函数定义
(t ) 0
t 0
t
0
(t)dt 1
δ(t)函数意义:t≠0时,δ(t)=0 。当t=0 时是一个面积
为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。
δ(t) 的象函数为
F(s)K1 K2 Kn
sp1 sp2
spn
式中K1、K2…Kn是待定系数。上式两边都乘以(s–P1)，则
(sp1)F (s)K 1(sp1) s K 2 p2s K n pn
令s=P1 代入，则等号右边除K1项之外其余项为零，故得
同理得出
K 1(s p 1 )F (s)s p 1 K2 (sp2)F(s) sp2
f(t)
把
改写为
由象函数求原函数
【例9-1】求下列原函数的象函数
(1) 单位阶跃函数ε(t)；
(2) 实常数K；
(3) 单位冲击函数δ(t) ；
(4) 指数函数 e;at
解 对于以上几个原函数，直接用拉普拉斯变
换式
(1)
ε(Ft)(的s)象0函 求f(数t取)e为。stdt
F (s ) L [(t)]0 (t)e s td t0 e s td t e s s t 0 1 s
拉氏反变换
求 K12：上式两边对 s 求导一次，则K12被分离出来。
d K 12 ( s p1 )3 F ( s ) s p1 ds 1 d2 3 K 13 ( s p ) F ( s ) s p1 1 2 2! ds
同理
第9章 动态电路的复频域分析
s2 [例9-10] 求 F ( s ) 的原函数 f (t) 。 2 ( s 1) ( s 3)
解：
K 11 K 12 K2 F ( s) 2 ( s 1) s1 s 3 s2 1 2 K 11 ( s 1) F ( s ) s 1 s 1 s3 2 d ( s 3) ( s 2) 1 2 K 12 ( s 1) F ( s ) s 1 s 1 2 ds ( s 3) 4 s2 1 K 2 ( s 3)F ( s ) s 3 2 s 3 ( s 1) 4 1 1 1 1 t 1 t 1 3t 2 4 4 f ( t ) te e e F ( s) 2 2 4 4 ( s 1) s1 s 3
第9章 动态电路的复频域分析
拉氏反变换： F (s) → f (t) 求解方法：部分分式展开法。 1. 电路中的象函数通常是两个有理多项式之比。 N ( s ) a0 s m a1 s m 1 an F ( s) n m n n 1 D( s ) b0 s b1 s bn
s 1
1 4
s 2
第9章 动态电路的复频域分析
s2 s 2 [例9-7] 求 F ( s ) 3 的原函数 f (t) 。 2 s 6 s 11s 6
解： 已求得
电路复频域 频域 时域 相量关系 分析
哈为啥有这些呢，产生这些概念的前提：正弦量被广泛采用，原因如下1. 电力工程，发电输电用电，正弦量使设备简单，效率高，经济2. 实验室易于产生标准的正弦量3. 有一套成熟的正弦电路的算法4. 正弦量可以利用傅里叶级数分解为不同频率的正弦量对于正弦的使用以及电路分析有这样的解释：对电路的分析其实就是对电路的建模，包括对每个元器件的建模。
纯阻性元件的数学模型很简单，只有一个方程。
而理想电感的方程会复杂一点，电压电流满足一个微分方程，而且还有关于磁链的方程。
对于非线性的二极管等等，就有更复杂的数学模型。
数学模型建立起来之后就要求解。
在求解过程中，人们发现，只有e^x和正弦函数具有一个特殊的性质，那就是不管求导多少次，都满足函数的相似性。
人们就开始研究，能否把输入都用正弦信号或者指数信号的叠加代替，带入电路的数学模型之后，计算非常简便，得到输出之后，再把输出恢复成实际的信号。
这就是傅立叶和拉普拉斯解法。
在用正弦信号求解的时候，指数函数和正弦函数又有一个牛逼的公式将两者联系起来，这就是欧拉公式，这样正弦函数的相位信息就可以放到指数函数中去。
/question/23290060/answer/24128688（转自知乎）所以与其相关的算法如期而至首先，时域算法，最容易理解，首先描述正弦量的是时域的算法（其定义的时候就是用的时间，随时间按正弦规律变化的电压和电流就是正弦量）基本的单位有：频率，周期，角频率，瞬时值，最大值，有效值相位（瞬时值变化进程）初相位相位差（前提，频率相同，反映了两个正弦量变化进程差异，而非产生波形先后，超前滞后同相反相正交）①时域——相量（将时域分析换为频域分析）细节一点，在时域的正弦表示中，根据欧拉公式，转化为了相量的形式，这其中，相量形式保持了原来正弦量的幅值、初相位信息，即两者联系为通过欧拉公式实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应但是需要注意的是，此时，我们取到的仅仅是复指数的实数部分，而且不研究旋转因子e^jwt ,原因是，在线性的电路中，全部的稳态响应也是同频率的正弦函数，没有新的频率，w显然不是研究问题的中心，也就在相量分析中放在了一边。
动态电路的分析与计算
动态电路的分析与计算动态电路是指根据电压和电流的变化情况，进行分析和计算的电路。
在动态电路中，电压和电流是随时间变化的，因此需要进行动态分析，即考虑电路中的时间响应。
动态电路有许多应用，如信号处理、通信系统、数据传输以及计算机等。
动态电路的分析方法主要有微分方程法和拉普拉斯变换法。
微分方程法以电路中的基本元件为基础，根据基尔霍夫定律和基本电路方程建立微分方程组，通过求解微分方程组来获得电路的时间响应。
拉普拉斯变换法则是将时间域的电路方程转化为复频域的代数方程，通过频域分析来求解电路的输出响应，最后再进行反变换得到时间响应。
对于动态电路的计算，通常需要计算电路的传输函数、单位冲激响应或者零输入响应等。
电路的传输函数是指输出与输入之间的关系，可以用于计算输出的频率响应和稳态响应。
单位冲激响应是指当输入是单位冲激信号时，电路的输出响应。
零输入响应是指当输入为零时，电路的输出响应。
在进行动态电路分析和计算时，需要考虑电路中的各种元器件的动态特性和非线性特性。
例如，电容和电感有时会引起频率依赖的阻抗，这需要在计算中进行考虑。
此外，对于非线性元件，可以使用小信号模型或者通过数值方法进行求解。
动态电路的分析和计算通常使用电路模拟软件或者数值分析软件进行。
这些软件可以提供丰富的模型和工具，使得电路的分析和计算更加方便和准确。
例如，SPICE软件可以模拟电路的动态响应，并给出电路的各种性能参数和波形图。
总的来说，动态电路的分析和计算是电路理论和实验的重要组成部分。
通过合理使用分析方法和计算工具，可以获得电路的时间响应和频率响应等信息，为电路设计和优化提供依据。
线性动态电路的复频域
复频域具有线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等基本性质，这些性质使得在复频域中对电路进行分析和 计算更为方便。
拉普拉斯变换及其性质
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，它将一个实数函数或复数函数转换为另一个复数函数，通过选择 合适的变换核，可将时域函数转换为复频域函数。
拉普拉斯变换性质
线性动态电路复频域
03
模型建立
元件复频域模型建立
电阻元件
在复频域中，电阻元件的阻抗为实数，与频 率无关，表示为$R$。
电感元件
电感元件在复频域中的阻抗为$jomega L$，其中 $omega$为角频率，$L$为电感值。
电容元件
电容元件在复频域中的阻抗为$1/( jomega C)$，其中$C$为电容量。
频率特性
线性动态电路的频率特性是指电 路对不同频率信号的响应特性， 这对于分析和设计滤波器、振荡 器等电路具有重要意义。
线性动态电路分析方法
时域分析法
时域分析法是通过求解电路的时域微分方程来分析电路的动态行为，这种方法适用于简单电路的分析和设计。
复频域分析法
复频域分析法是通过将电路的微分方程转换为复数域的代数方程来分析电路的动态行为，这种方法适用于复杂电路的 分析和设计。复频域分析法具有计算简便、物理概念清晰等优点，被广泛应用于线性动态电路的分析和设计。
复杂网络复频域模型建立
串联与并联
在复频域中，元件的串联和并联规则与 实数域相同，阻抗相加或倒数相加。
VS
复杂网络
对于复杂网络，可以通过节点电压法和回 路电流法等方法建立复频域模型。
状态变量法建立复频域模型
状态变量选择
选择一组能够完全描述系统动态行为的状态变 量。
线性动态电路的复频域分析
第十四章线性动态电路的复频域分析一、教学目标应用拉氏变换分析线性时不变网络时，可以先列出网络的积分微分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解；也可以先将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再作出线性时不变网络的运算电路，然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。
一般来说，后一种方法比前一种方法简便。
本章介绍的就是后一种方法。
1.知识教学点(1)拉普拉斯变换的复习：定义和性质；常用信号（即基本函数）的象函数；部分分式展开定理(2)运算电路：KCL、KVL的s域形式；元件V AR的s域形式及元件的s域模型；运算电路的画法(3)电阻电路分析方法在运算电路中的应用(4)线性动态电路的复频域分析法(5)网络函数：定义、分类、性质；极点、零点与极零点图；()H jω之间的关系H s与()2.能力训练点（1）利用拉普拉斯变换的性质和常用信号的象函数求原函数的象函数；用部分分式展开定理由象函数求原函数（2）正确画出运算电路（3）应用电阻电路的分析方法分析运算电路（4）求网络函数及其极点、零点（5）由网络函数求零状态响应及稳态响应3.其它（1）掌握复频域分析法的优缺点及其应用范围（2）了解卷积定理：时域卷积←→频域相乘二、教学方法1 教法指导（1）指导学生复习数学积分变换中已经学过的拉氏变换（定义、常用信号的象函数、性质）和高等数学不定积分中的有理函数的分解（求拉氏反变换的部分分式展开法）。
重点放在部分分式展开法。
（2）与相量法类比介绍运算电路的画法，特别应注意储能元件（电容和电感）的s域模型。
（3）与电阻电路类比，介绍运算电路的分析。
（4）在介绍网络函数时，特别要强调电路为零状态。
讲解清楚()H s的求法及其几种表示方法；H jω及()h t的联系；网络函数的一些应用。
H s、()()2 学法指导预备知识数学方面：积分变换中的傅氏变换与拉氏变换；高等数学不定积分中的有理函数的分解（樊映川等编.高等数学讲义.人民教育出版社，1958：7.6（pp.355-361））电路方面：电阻电路、正弦稳态电路的相量法、动态电路的基本概念。
《电路》课程的重点和难点
《电路》课程的重点和难点第一章电路模型和电路定律本章重点1. 理解电流和电压的参考方向。
2. 熟练掌握和应用电阻元件、独立电源（电压源和电流源）和受控电源的电压和电流的关系。
3. 掌握和熟练运用基尔霍夫定律分析和计算电路。
本章难点1. 正确认识电压、电流的实际方向与参考方向的联系和差别以及根据电压、电流的参考方向正确判断元件是吸收功率还是发出功率。
2. 正确理解独立电源与受控电源的联系和差别。
3. 掌握和熟练运用基尔霍夫定律分析和计算电路。
第二章电阻电路的等效变换本章重点1. 深刻理解等效变换的概念和熟练运用等效变换的方法化简电路。
2. 熟练判别电阻的串联、并联和串并联并能运用电阻网络等效变换的方法化简电路。
3. 应用实际电源两种模型的等效变换方法来化简电路。
4. 理解输入电阻和等效电阻的关系，熟练掌握求解输入电阻的方法。
本章难点1. 正确认识等效变换的条件和等效变换的目的。
2. 判别电路中电阻的串并联关系是进行电阻网络等效变换的难点。
3. 受控电压源、电阻的串联组合和受控电流源、电阻（电导）的并联组合之间的等效变换是电源等效变换中的难点。
4. 求解含受控源的一端口电阻网络输入电阻。
第三章电阻电路的一般分析本章重点1. 采用一般分析法求解电路，必须确定一个具有个n个结点和b条支路的电路的KVL和KCL独立方程的数目。
2. 根据网孔电流法的步骤简便正确地列写电路的网孔电流方程。
3. 根据结点电压法的步骤简便、正确地列写电路的结点电压方程。
本章难点1. .列写含无伴独立电流源和无伴受控电流源电路的网孔电流方程。
2. 列写含无伴独立电压源和无伴受控电压源电路的结点电压方程。
第四章电路定理本章重点1. 掌握叠加定理并能熟练运用叠加定理求解线性电路。
2. 掌握戴维宁定理和诺顿定理并能熟练运用戴维宁定理和诺顿定理简化电路的分析和计算。
3. 掌握最大功率传输的条件及最大功率的计算。
本章难点1. 应用叠加定理分析求解线性电路。
线性动态电路的复频率分析
d ( t ) (t ) dt
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3.积分性质 若： L[ f (t )] F (s)
t 0
则：L[
t
0
证 令 L[ f ( t )dt ] (s)
1 f ( )d ] F (s) s
应用微分性质
d t L[ f ( t )] L 0 f (t )dt dt 0 t F ( s ) s ( s ) f ( t )dt t 0
Ke
at
K K Ka s s a s( s a )
象 数 例2 求: f ( t ) sin( t )的 函
解
sin(ωt ) L 1 (e F ( s) L
2j
j t
e
j t
)
1 1 1 2 2 j s j s j s 2
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k1 ( s s1 ) F ( s )
s s1
s si
同理
k i ( s si )F ( s )
s1t s2 t
故:
f ( t ) k1e k2e
kne
sn t
返 回
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下 页
2s 1 例1. 求F ( s ) 的逆变换 s( s 2)( s 5)
n
S降幂排列 S
n
S
n1
S S
n 2
1
0
升导数
f (0 ), , f
0
(0- ) , f
n1
(0- )
上 页 下 页
返 回
例 利用导数性质求下列函数的象函数 (1) f (t ) cos( t )的象函数
线性动态电路的复频域分析(精)
U
s
1 sC
I
s
1 s
u0
或 I (s) sCU (s) Cu(0 )
1 sC
和
SC 分别为
C
的运算阻抗和运算导纳。
u(0 ) s
和
Cu (0
)分别为反映
u(0 )
的附加电压源电压和附加
电流源电流。
④ 耦合电感的运算电路
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
又 D' (s) 3s2 14s 10
k1
N (s) D(s)
s p1
3s
2
2s 1 14s 10
s0
0.1
同理
k2 0.5, k3 0.6
故 f (t) 0.1 0.5 e2t 0.6 e5t
② D(s) = 0 具有共轭复根，p1 = + j , p2 = - j , 则
现设 D(s) = 0 中含有 ( s - p1)m 的因式，其余为单根， F(s)可 分解为
F
s
k1m s p1
k1( m1) (s p1)2
k11 (s p1)m
n i2
ki s pi
(n n m)
这里
ki
N (s) D(s)
s pi
② 拉氏变换是一种积分变换，把 f(t) 与 e-s t 构成的乘积由 t = 0-到 ∞对 t 进行积分，定积分的值不再是 t 的函数，而是复 变数 s 的函数。
③ 拉氏变换把时域函数 f(t) 变换到 s 域复变函数 F(s) 。
线性电路动态过程的复频域分析
解：根据延迟和线性性质
ℒ f (t)= ℒ [A e(t) - A e(t- t0 )]
= A A e st 0 A(1 e
s s s
st 0
)
推广：脉冲序列的象函数
f(t) A 0
电路理论基础
f1(t) t
t0
T
T+ t0
f(t)= f1(t)+ f1(t-T) +f1(t-2T) +f1(t-T)+…….
ℒ
例10-6 求原函数 解
电路理论基础
s3 F ( s) ( s 1)( s 2 2 s 5)
D( s) ( s 1)( s 2 3s 5) 0
P1= -1, P2=-1+j2 , P3=-1- j2
D( s) s2 2s 5 ( s 1)(2 s 2) 3s 2 6s 7 k1 k2 k3 F ( s) ( s 1) ( s 1 j 2) ( s 1 j 2)
N ( s ) a0 s m a1 s m 1 am F ( s) n n 1 D( s ) b0 s b1 s bn
式中m和n为正整数，且n≥m 利用反变换公式 f ( t ) 求其原函数比较困难
1 2j c j c j F ( s )e st ds
一般先分解F(s)为若干简单项之和，再根据拉氏变换 的线性性质求出院函数。该方法为分解定理或部分分 式展开法。
分解定理—部分分式展开
象函数
N ( s) a0 s m a1 s m 1 am F ( s) D( s ) b0 s n b1 s n1 bn
线性动态电路的分析
采用负反馈
引入负反馈机制，减小系统对扰动的敏感程度，增强 系统的抗干扰能力，提高稳定性。
06
线性动态电路的应用举例
RC电路的应用
延时电路
利用RC电路的充放电特性，可以实现延时功能， 如电子开关的消抖、定时器等。
滤波电路
RC电路可以作为低通、高通或带通滤波器，用 于信号处理中滤除特定频率的干扰。
LC振荡电路的应用
振荡器
01
LC振荡电路是振荡器的基本组成部分，用于产生稳定
的高频振荡信号，如无线电发射机中的载波振荡器。
调谐放大器
02 LC振荡电路作为调谐放大器的选频网络，实现对特定
频率信号的放大。
频率合成器
03
在通信和电子设备中，LC振荡电路可用于频率合成器
，产生各种所需频率的信号。
感谢您的观看
05
线性动态电路的稳定性分析
稳定性的定义和分类
稳定性定义
线性动态电路在受到外部扰动后，能够恢复到原来的平衡状态或者趋近于一个新的平衡状态的能力。
稳定性分类
根据电路受到扰动后的表现，稳定性可分为渐近稳定、临界稳定和不稳定三种类型。
稳定性的判定方法
01
劳斯判据
通过构造劳斯表，根据表中第一 列元素的符号变化来判断线性动 态电路的稳定性。
电容的伏安特性
电容的伏安特性曲线是一条通过原点的直线，表明 电容两端的电压与流过电容的电流成正比，但方向 相反。
电容的储能
电容能够储存电场能量，其储能大小与电容 量及电压的平方成正比。
运算放大器
运算放大器的定义
运算放大器是一种具有高放大倍 数、低失真、宽频带等特点的电 子放大器。
线性动态电路的复频域分析
核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来 时域问题变换为复频域问题
时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程
应用拉氏变换进行电路分析的方法称为复频域分析 法，又称运算法。
2019/11/14
7
例 一些常用的变换
乘法运算变换
①对数变换 A B AB 为加法运算
展开法
f (t) f1(t) f2(t) fn(t)
2019/11/14
24
14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
F(s)
N (s) D(s)
0
0
②象函数F(s) 存在的条件：
f (t )est dt 0
f (t ) Me ct t [0, )
0
f (t )estdt
Me ( sc)tdt
0
M
e ( sc )t
sc
0
M sc
默认满足
2019/11/14
10
1. 拉氏变换的定义
1.拉普拉斯变换的基本原理和性质
2.掌握用拉普拉斯变换法分析线性电路的 方法和步骤
3.网络函数的概念 4.网络函数的极点和零点
难点：
应用拉普拉斯变换求解线性电路。2019/11/142
线性时不 变电路
线性电阻电路 线性代数方程
线性动态电路 线性常系数微 分方程
1～4章 忽略暂态，只考虑稳态
稳态分析
s
L [e t ] 1
s
1 L [t] s2
L
[tn]
n! sn1
2019/11/14
14
14.2 拉普拉斯变换的基本性质
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H0 2
j
j2
2
j2
4、H(s)与网络的频率特性
若网络函数H(s)的收敛域包含j，则令s= j
m
H(
jω)
H(s)
s jω
H0
( jω
i 1
n
( jω
zi ) pr )
|
H( jω) | (ω)
r 1
频率响应： H ( jω) ~ω曲线 : 幅频特性曲线;
(ω) ~ω曲线 : 相频特性曲线
2F+ uC -
S
+(t=0) 5-iL
i(t
)
- + 2
10V
iL
2
2H
画出s域模型如图
IL(s)
10 s
5
2s 2
2.5(s 2) s(s 1)
１ 2s
17.5 + s-
+ I(s)
I
(
s
)
2s[5
I
L
(
s
)
17.5 s
]
I
L
(
s
)
5-IL(s)
- + 2 IL(s)
10/s 2
2s
5
+
10
2．单边拉氏反变换
f (t) [ 1 j F(s)estds] (t) L 1[ f (t)]
2π j j
f(t)←→F(s)
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数
3、常见函数的拉氏变换对
冲激函数： (t ) 1
L[ (t)]
(t )estdt
(t)dt 1
件为y(0-)=2，y'(0-)=1，试求系统的零输入响应、零
状态响应和全响应。
y(t) 3 y(t) 2 y(t) 2 f (t) 6 f (t)
解：对微分方程拉普拉斯变换
Ly(t) 3 y(t) 2 y(t) L2 f (t) 6 f (t)
[s2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 3[sY (s) y(0 )] 2Y (s)
复频域阻抗与复频域导纳：
I(s)
在零状态下
Z(s)
U(s) I(s)
,
Y
( s)
I(s) U(s)
+
N0
U(s) 无源、
-
零状态
I(s)
Z(s) R sL 1 , sC
Y(s) 1 R sL
1
+ U(s)
sC -
R sL
1 sC
有s域形式的欧姆定律
U(s) Z(s)I(s) , I(s) Y(s)U(s)
2[sF (s) f (0 )] 6F(s)
Y (s)
2s 6 s2 3s
2
F(s)
sy(0 ) y(0 ) 3 y(0 ) s2 3s 2
Y f (s) Yx (s)
Yf
(s)
2(s 3) s2 3s 2
1 s
3 s
(4) s1
s
1
2
y f (t) (3 4et e2t ) (t)
-
i 1
+ L1-M
u 1
-
i 2
L2-M +
u
M
2
-
I1(s)
(L1 M )i1(0 )
-
+
L1-M
U1(s)
+ - (L2 M )i2(0 )
sM -
Mi (0 )
+- 1 -
Mi (0 )
+2 -
I2(s)
L2sL称为复频域感抗，(1/sLs)称域为模复型
频域感纳；(1/sC)称为复频域容抗，sC称为复频 域容纳。独立电源称为附加电源或内激励。
L
di L (t ) dt
UL(s) L[sIL(s) iL(0 )] UL(s) sLIL(s) LiL(0 )
i L (t )
iL (0
)
1 L
t
u( )d
0
IL(s)
iL (0 s
)
1 L
UL(s) s
I
L
( s)
UL(s) sL
iL
(0 s
)
1/sL
L i(t)
＋ u(t) －
I(s)
复频域分析法步骤
1. 求换路前电路的状态 uC(0-)、iL(0-)； 2.求激励f(t)的象函数F(s)；
3.画出s域电路模型
4.用s域形式的各种分析法建立方程，解出响应
变量的象函数；
5. 拉氏反变换的求出响应的时域表达式，画出 响应的波形。
例: 图示电路，试求零状态响应uC1 、uC1 、u
U1(s) L1sI1(s) L1i1(0 )
U
2
(
s
)U
2
(
s
)
MsI 2 (s MsI1(s)
) Mi2 (0 Mi1(0 )
)
Mi2 (0 )
Mi1(0 )
L2sI 2 (s) L2i2 (0 )
当耦合电感为三端接法时的s域模型
i 1
+*
u 1
L1
-
i
M
2
*+
L2
u 2
元件：VAR 相应的s域形式 s域模型
1、电阻元件：
u(t) R i(t) U(s) R I(s)
i(t) G u(t) I(s) G U(s)
i(t)
I(s)
u(t)
U (s)
2、电容元件：
ic (t)
C
duc (t) dt
Ic (s) C[sUc (s) uc (0 )] Ic (s) sCUc (s) Cuc (0 )
若
f (t) F(s)则
df (t) dt sF (s) f (0 )
推论：
f (n)(t) snF(s)
sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1)(0 )
§9–3 拉普拉斯反变换
部分分式展开法
F(s)
N(s) D(s)
bm sm bm1sm1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
2s 2.5 3s
4
i2 (t ) (e0.5t e2.5t )A , t 0
去耦等效
i1(0 ) i3 (0 ) 2A i2(0 ) 0
画出s域模型如图
S
(t=0)
+ 2.5 10V -
2.5 i1 1H
1H i2
i3 2H 2.5
I1(s)
I2(s)
2.5 +
10
s
-
2+
s 2s
H(s)
Y f (s) F(s)
bm sm bm1sm1 sn an1sn1
b1s a1s
b0 a0
N(s) D(s)
将分子、分母因式分解(设为单根情况)得
m
H(s)
bm (s (s
z1 )(s z2 ) (s zm ) p1 )(s p2 ) (s pn )
H0
(s
Yx (s)
2s 1 3 2 s2 3s 2
s
5 1
(3) s2
yx (t) 5et 3e2t , t 0
故 y(t) y f (t) yx (t) 3 et 2e2t , t 0
二、电路的s域模型
由拉氏变换的线性特性有 KCL： i(t)=0 I(s)=0
KVL： u(t)=0 U(s)=0
0
0
阶跃函数： (t ) 1
s
斜坡函数： t (t ) 1
s2
L[t (t)]
testdt 1
0
s
tdest
0
1 s2
指数函数：
e t (t) 1 s
L[et (t )] etestdt e(s )tdt
0
0
1
s
e ( s )t
0
1
s
正幂函数：
t n (t)
I(s) sL LiL(0 )
iL(0 ) s
＋
U(s)
－＋
U(s)
－
4．耦合电感的s域模型
i 1
*
u1(t ) L1
i 2
M * L2 u2 (t )
u1 u2
L1 M
di1 dt di1 dt
M L2
di2 dt di2 dt
sM
*
sL1
U1(s)
L1i1 (0 )
* sL2
L2i2 (0 )
例:电路换路前已达稳态，求t>0的全响应i2(t) .
S
(t=0)
+ 2.5 10V -
2.5 i1 2H *
3H
i2
* 3H 2.5
解：画出0-等效电路，有：
2.5
i1(0-)
i2(0-)
+ 2.5 10V -
2.5
例2
i1(0
)
10 2.5 2.5
2A
,
i2(0
)
0
画出s域模型如图
n! s n1
(n为正整数)
余弦函数： 正弦函数：
cos0t (t) sin0t (t)
s
s2 0 02 s2 02
§9–2 拉普拉斯变换的性质
一、拉氏变换的基本性质：
1、线性特性： 若 f1(t) F1(s) , f2(t) F2(s)
则 af1(t) bf2(t) aF1(s) bF2(s) 2、时域的微分性：