2012中考数学压轴题及答案40例(7)
2012年中考数学压轴题精选附答案
25、如图：∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON 上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1。
（1）连续D1D，求证：∠ADD1= 90°；（2）连结CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断。
26、如图：正方形ABCO的边长为3，过A点作直线AD交x轴于D点，且D点的坐标为（4，0），线段AD上有一动点，以每秒一个单位长度的速度移动。
（1）求直线AD的解析式；（2）若动点从A点开始沿AD方向运动2.5秒时到达的位置为点P，求经过B、O、P三点的抛物线的解析式；（3）若动点从A点开始沿AD方向运动2.5秒时到达的位置为点P1，过P1作P1E⊥x轴，垂足为E，设四边形BCEP1的面积为S，请问S是否有最大值？若有，请求出来；若没有，请说明理由。
24.如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥3，AD=12．BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC，cos∠ABD=5⑴求证：△ANM≌△ENM；⑵求证：FB是⊙O的切线；⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截25.如图，二次函数的图象经过点D(0，39得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．七、（本大题8分）20．如图8，半圆的直径10AB =，点C 在半圆上，6BC =． （1）求弦AC 的长；（2）若P 为AB 的中点，PE AB ⊥交AC 于点E ，求PE 的长．21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：123S S =？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．P BC EA （图8）23.（本小题9分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点E ，AD ⊥CD （1）求证：AE 平分∠DAC ； （2）若AB=3，∠ABE=60°，①求AD 的长；②求出图中阴影部分的面积。
2012年中考数学压轴题100题精选(71-80题)答案
2012年中考数学压轴题100题精选（71-80题）答案2 ba【071】解：（1）由题意得，解得13 2a 4 9a 3b c 0∴此抛物线的解析式为3b 3c 2 c 2 242分 y x 2x 33（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最ACBCBC△PBCPC PB小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点. ACx 1BAP y 设直线的表达式为ACy kx b E，k A O B x 则解得3 D2 3k b 0∴此直线的表达式为……5分b 2 b 2 P 2 C．344 （第24题图）把代入得∴点的坐标y x 2， 33 （3）为······································ 6分 ·x 1y P 1存在最大值·························································································7分S理由：∵即DE∥PC，DE∥AC．ODOE2 mOE∴∴即△OED∽△OAC． ， ．OCOA2333∴OE 3 mm，AE 3，OE 22方法一：OP连结△OED△POE△POD△OED四边形S S S S S SPDOE134113= 3 m 2 m 1 3 m 2 m·················································223222 332= ···········································8分m m423333m 1∵，∴当最大4424时， ·········································· 9分 0S方法二：S S S S S△OAC△OED△AEP△PCD1131341 =13 2 3 m 2 m m m2222232 33332 2= (8)分 m m m 1 424433∵，∴当时，··························································9分m 1 0S 最大448【072】解：（1）①，，，S=12 OC 4OA 4AB 2OABC梯形2②当时，直角梯形OABC被直线扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开DOE面积2 t 4l1228 （2）存S 12 (4 t) 2( 4t )t t8 4在，,4),P(4,4),P(8,4)P( 12,4),P( 4,4),P( 451233对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二：① 以点D为直角顶点，作轴PP x1 设.（图示阴影）， 在Rt OD E中，OE 2OD， OD b，OE 2bRt ODE Rt PPD1，在上面二图中分别可得到点的生标为P（－12，4）、P（－4，4）E点在0点 b ，2b 8P与A点之间不可能；② 以点E为直角顶点8同理在②二图中分别可得点的生标为P（－，4）、P（8，4）E点在0点下方不可能. P3③ 以点P为直角顶点同理在③二图中分别可得点的生标为P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4），PE点在A点下方不可能. 8综上可得点的生标共5个解，分别为P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、P3P（8，4）、P （4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法⑴中所示图此时D（-b,o)，E(O,2b) P为直角：设直线DE：y 2x 2b，b1b3b，直线的中垂线方程：，令得．由的中点坐标为(-,b)y b (x )P( 8,4)DEy 4 2222 3 222222 (b 8) (4 2b) b 4b 已知可得即化简得解2PE DE3b 32b 64 0283b 得 ； P( 4,4)b 8，b 将之代入P （-8，4） P （4，4)、 121232 第二类如上解法②中所示图此时D （-b,o)，E(O,2b) E 为直角：设直线DE ：y 2x 2b ，1，直线的方程：，令得．由已知可得即y x 2bPEPE DEP(4b 8,4)y 4 2 222222化简得解之得 ，(4b 8) (4 2b) b 4bb (2b 8)48 b 4，b ,4)将之代入P （4b-8，4） P （8，4)、P( 123433 第三类如上解法③中所示图此时D （-b,o)，E(O,2b) D 为直角：设直线DE ：y 2x 2b ，1，直线的方程：，令得．由已知可得即y (x b)PDPD DEP( b 8,4)y 4 2 2222 解得8 4 b 4b （-b-8，4） P （-12，4)、b 4，b 4将之代入P512． （与重合舍去）P( 4,4)P( 4,4)P6628综上可得点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－，4）、 P 3P （8，4）、P （4，4）． 事实上，我们可以得到更一般的结论： b a 如果得出设，则P 点的情形如下 AB a 、OC b 、OA h 、k h 直角分类情形 k 1k 1 P(h,h)1 P( h,h) P 为直角1 P( h,h)2hk P( ,h)3h1 k P( ,h) E 为直角2hk2 P(,h)4k 1 P( h(k 1),h)P(0,h)53 D 为直角 P( 2h,h)P( h(k 1),h)46 【073】(1)∵∠A 、∠C 所对的圆弧相同，∴∠A ＝∠C ． APPD ∴Rt △APD ∽Rt △CPB ，∴，∴PA·PB ＝PC·PD ；………………………3分 CPPB(2)∵F 为BC 的中点，△BPC 为Rt △，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF．又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°，∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．(3)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，同垂径定理：222222∴OM＝(2)－4＝4，ON＝(2)－3＝11 55 y 又易证四边形MONP是矩形， O l 3O P 2O 2260°∴OP＝ OM ON 151 B D D x O A 1 C （第22题答图）点坐标为．在中，，Rt△AOC OAC 60° A ( 12，【074】（1）解：由题意得，OA | 4| |8| 12设直线的解析式为，由过两点的坐标为． C(0， 123) 123 b0) OC OAtan OAC 12 tan60° 123b 123 解得直线的解析式为：． ly 3x 123 k 3 点，得 A、Clly kx b 0 12k b（2）如图，设平移秒后到处与第一次外切于点，⊙O⊙O⊙O t P231与轴相切于点，连接．则x OO OP PO 8 5 13在⊙ODOO，OD1313113313轴，， OD⊥x OD 531312222OD OO OD 13 5 12中，．····································6分Rt△OOD111331131，，（秒）平移的时间为5OD OO OD 4 13 17 DD OD OD 17 12 51111115秒． ····························································· 8分 ⊙O t 521【075】解：（1）对称轴是直线：， x 1点A的坐标是（3，0）．···························································· 2分（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）（2）如∵点ADC的坐标分别图11，连接AC、AD，过D作于点M，DM y 轴△AOC∽△CMD解法一：利用、、、， a b b是 A （3，0），D（1，）C（0），AOOC3b3 ab 0∴AO＝3，MD=1．由得∴·············································3分∴函数解析式0 2CMMDa13 ab 0a 1 2又∵∴由得0 a ( 1) 2a ( 1) b b 33a b为： ·········································································· 6分 y x 2x 3解法二：利用以AD为直径的圆经过点C ∵点A、D的坐标分别是A （3，0）、D（1，）、C（0，）， a b b222222∴，，∵∴…① 又AC 9 bCD 1 aAD 4 ( a b)AC CD AD2∵…②···········································4分由①、②得∴函数解析式3 ab 00 a ( 1) 2a ( 1) b2为：·······························6分a 1，b 3y x 2x 3（3）如图所示，当BAFE为平行四边形时，则∥，并且＝． BAEFBAEF ∵=4，∴=4 ，由于对称为，∴点F的横坐标为5． ·························· 7分 x 1BAEF2 E 将根据抛物线的对称代入得，∴F（5，12）． F x 5y x 2x 3y 12 y性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F，使得四边形BAEF是平行四边形，此时点F坐标为（，12）． 3当四边形BEAF是平行四边形时，点F即为点D，此时点F的坐标为（1，）． 4综上所述，点F的坐标为（5，12）， O A B x （，12）或（1，）． 3 4【076】解：（1）∵四边形OBHC为矩形，∴CD∥AB， C 又D（5，2），∴C（0，2），OC=2 .图11 ∴解得 2 1 2 5 5 m n 2 D 5n 2 mn 22 152 ∴抛物线的解析式为：…… 4分y x x 222（2）点E落在抛物线上. 理由如下：……… 5分152由y = 0，得. 解得x=1，x=4.∴A（4，0），B（1，0）. x x 2 01222 ∴OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点E的坐标为（3，－1）. 151522把x=3代入，得，2222（3）法一：∴点E在抛物线上. y x x 2y 3 3 2 1存在点P（a，0），延长EF交CD于点G，易求OF=CG=3，PB=a－1. S=5，S= 3，记S= S，S= S， BCGF ADGF BCQP 1ADQP 2梯形梯形梯形梯形1 下面分两种情形：①当S∶S=1∶3时，，S (5 3)2 512 14PFEF1此时点P在点F（3，0）的左侧，则PF = 3－a，由△EPF∽△EQG，得，则QG=9 QGEG319－3a，∴CQ=3－(9－3a) =3a －6，由S=2，得，解得；(3a 6 a 1) 2 2a 1243②当S∶S=3∶1时，此时点P在点F（3，0）的右侧，则PF = a－S (5 3) 6 51214，3，由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，913113由S= 6，得，解得，综上所述：所求点P的坐标为24440）……… 14分（，0）或（，(3a 6 a 1) 2 6a 1法二：存在点P（a，0）. 记S= S，S= S，易求S= 8. BCQP 1ADQP 2ABCD 梯形梯形梯形当PQ经过点F（3，0）时，易求S=5，S= 3，此时S∶S不符合条件，故a≠3. 12 121 k，则，解得设直线PQ的解3k b 1 a 3k≠0 y = kx+b()析式为， aak b 0 b∴. 由y = 2得xa 3 1a= 3a－6，∴Q（3a－6，2）……… 10分 y x a 3a 31∴CQ1211= 2；= 3a－6，BP = a－1，. (3a 6 a 1) 2 4a 7S下面分两种情形：①当S∶S= 1∶3时，S 8S 12 1梯形ABCD449－∴4a7 = 2，解得； (12)分a 43313－②当S∶S= 3∶1时，；∴4a7 = 6，解得；1梯形ABCD444913，0）………… 14分综上S 8 6S a 12所述：所求点P的坐标为（，0）或（44913[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出或两个答案，就给6分. ] a a 443【077】解：（1）把B（0，6）代入，得＝6 (1)分my m43 把＝0代入，得＝8 xy 6y4∴点A 的坐标为（8，0）…………… 3分 B'PCP（2）在矩形OACB中，AC ＝OB＝6，BC＝OA＝8，∠C＝90°GDQ∴AB＝FIE'JM∵PD⊥AB∴∠PDB=∠C＝2222AC BC 6 8 1090° OMEABDBD8BC，∴∴cos CBA BPa10BA 44∴BD aAD 10 a55又∵BC∥AE，∴△PBD∽△EAD4a10 AEAEAD54a5∴，即，∴ AE (10 ) 12.5 a 4aaBPBD45511∵，∴梯形PEAC22S (PC AE)ACs (8 a 12.5 a)6 6a 61.5（）……………………………7分（注：写成不扣分） o a 8o a 8② ⊙Q是△OAB的内切圆，可设⊙Q的半径为r 11∵,解得OAB22、、r=2.………………………………………8分 S (6 8 10)r 6 8设⊙Q与OBABOA分别切于点F、G、H 可知，OF＝2∴BF＝BG＝OB－OF＝6－2＝4，设直线PD与⊙Q交于点I、J ，过Q作QM⊥IJ于点1M，连结IQ、QG，∵QI＝2， IM IJ 1.2222 ∴∴在∴BD＝矩形GQMD中，GD＝QM＝1.6 QM QI IM 1.6BDBC85BG+GD＝4+1.6＝5.6，由，得 cos CBA BP BD 7 BPBA104∴点P的坐标为（7，6）…………………………………………………………………11分当PE在圆心Q的另一侧时，同理可求点P的坐标为（3，6）………………………12分综上，P点的坐标为（7，6）或（3，6）．………………………………………………13分。
2012中考数学压轴题及答案
（ 1）求 m ，k 的值；
（ 2）如果 M 为 x 轴上一点， N 为 y 轴上一点，
以点 A，B，M， N 为顶点的四边形是平行四边形，
试求直线 MN 的函数表达式．
（3） 选做题 ：在平面直角坐标系中，点 P 的坐标
为（ 5， 0），点 Q 的坐标为（ 0， 3），把线段 PQ 向右平
移 4 个单位，然后再向上平移 2 个单位，得到线段 P1Q1，
绕着点 A按逆时针方向旋转 . 使边 AO与 AB重合 . 得到Δ ABD. （ 1）求直线 AB的解析式；
（ 2）当点 P运动到点（ 3 ， 0 ）时，求此时 DP的长及点 D的坐标；（ 3 ）是否存在点
P，使Δ OPD的面积等于 请说明理由 .
3
，若存在，请求出符合条件的点
4
P的坐标；若不存在，
象限 . ①说明四边形 APBQ一定是平行四边形；②设点
A.P 的横坐标分别为 m， n ，
四边形 APBQ可能是矩形吗 ?可能是正方形吗 ?若可能， 直接写出 mn应满足的条件；
若不可能，请说明理由 .
6. （2011浙江金华） 如图 1 ，在平面直角坐标系中，己知Δ
AOB是等边三角形，点
A的坐标是 (0 ， 4) ，点 B在第一象限，点 P是 x轴上的一个动点，连结 AP，并把Δ AOP
11.2011 淅江宁波 )2011 年 5 月 1 日，目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥 通车了． 通车后， 苏南 A 地到宁波港的路程比原来缩短了 120 千米． 已知运输车速度不 变时，行驶时间将从原来的 3 时 20 分缩短到 2 时．
（1）求 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．
8. (2011 浙江义乌 )如图 1 所示，直角梯形 OABC的顶点 A、C 分别在 y 轴正半轴与 x 轴 负半轴上 . 过点 B、C 作直线 l ．将直线 l 平移，平移后的直线 l 与 x 轴交于点 D，与 y 轴 交于点 E．
2012年中考数学压轴题1
2012年中考数学压轴题70题精选（1~10）【001】如图，已知抛物线2(1)33y a x =-+（a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．xyMCDPQOAB【001】解：（1） 抛物线2(1)33(0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，， 309333a a ∴=+∴=-1分∴二次函数的解析式为：232383333y x x =-++3分（2）D 为抛物线的顶点(133)D ∴，过D 作DN OB ⊥于N ，则33DN =， 2233(33)660AN AD DAO =∴=+=∴∠=，° 4分OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形66(s)OP t ∴=∴= 5分②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t ∴=== 6分③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．7分（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形 xyM CDPQO AB N E H则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E ，则32PE t=8分113633(62)222BCPQS t t ∴=⨯⨯-⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+⎪⎝⎭ 9分当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338 10分∴此时3339333324444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=，222233933442PQ PE QE ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11分，4514t =【002】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC 于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形? 请直接写出相应的t值。
2012年中考数学模拟压轴题100题精选(91-100题)答案
2012年中考数学模拟压轴题100题精选（91-100题）答案【091】(1)解：法1：由题意得⎩⎨⎧n ＝2＋c ，2n －1＝2＋c . ……1分解得⎩⎨⎧n ＝1，c ＝－1.……2分法2：∵ 抛物线y ＝x 2－x ＋c 的对称轴是x ＝12，且 12－(－1) ＝2－12 A 、B 两点关于对称轴对称.∴ n ＝2n －1 ……1分 ∴ n ＝1，c ＝－1. ……2分∴ 有 y ＝x 2－x －1 ……3分 ＝(x －12)2－54.∴ 二次函数y ＝x 2－x －1的最小值是－54. ……4分(2)解：∵ 点P (m ，m )(m ＞0)，∴ PO ＝2m .∴ 22≤2m ≤2＋2.∴ 2≤m ≤1＋2. ……5分 法1： ∵ 点P (m ，m )(m ＞0)在二次函数y ＝x 2－x ＋c 的图象上， ∴ m ＝m 2－m ＋c ，即c ＝－m 2＋2m . ∵ 开口向下，且对称轴m ＝1，∴ 当2≤m ≤1＋2 时，有 －1≤c ≤0. ……6分 法2：∵ 2≤m ≤1＋2， ∴ 1≤m －1≤2. ∴ 1≤(m －1)2≤2.∵ 点P (m ，m )(m ＞0)在二次函数y ＝x 2－x ＋c 的图象上， ∴ m ＝m 2－m ＋c ，即1－c ＝(m －1)2.∴ 1≤1－c ≤2.∴ －1≤c ≤0. ……6分 ∵ 点D 、E 关于原点成中心对称， 法1： ∴ x 2＝－x 1，y 2＝－y 1.∴ ⎩⎨⎧y 1＝x 12－x 1＋c ，－y 1＝x 12＋x 1＋c .∴ 2y 1＝－2x 1， y 1＝－x 1. 设直线DE ：y ＝kx . 有 －x 1＝kx 1.由题意，存在x 1≠x 2.∴ 存在x 1，使x 1≠0. ……7分∴ k ＝－1.∴ 直线DE ： y ＝－x . ……8分 法2：设直线DE ：y ＝kx .则根据题意有 kx ＝x 2－x ＋c ，即x 2－(k ＋1) x ＋c ＝0. ∵ －1≤c ≤0， ∴ (k ＋1)2－4c ≥0.∴ 方程x 2－(k ＋1) x ＋c ＝0有实数根. ……7分 ∵ x 1＋x 2＝0， ∴ k ＋1＝0. ∴ k ＝－1.∴ 直线DE ： y ＝－x . ……8分 若 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y ＝x 2－x ＋c ＋38.则有 x 2＋c ＋38＝0.即 x 2＝－c －38. ① 当 －c －38＝0时，即c ＝－38时，方程x 2＝－c －38有相同的实数根，即直线y ＝－x 与抛物线y ＝x 2－x ＋c ＋38有唯一交点. ……9分② 当 －c －38＞0时，即c ＜－38时，即－1≤c ＜－38时，方程x 2＝－c －38有两个不同实数根，即直线y ＝－x 与抛物线y ＝x 2－x ＋c ＋38有两个不同的交点. ……10分③ 当 －c －38＜0时，即c ＞－38时，即－38＜c ≤0时，方程x 2＝－c －38没有实数根，即直线y ＝－x 与抛物线y ＝x 2－x ＋c ＋38没有交点. ……11分【092】解：（1）如图，在坐标系中标出O ，A ，C∵∠AO C≠90°， ∴∠ABC =90°，故BC ⊥OC ， BC ⊥AB ，∴B （72，1）．（1分，）即s =72，t =1．直角梯形如图所画．（2分）（大致说清理由即可）（2）由题意，y =x 2+mx －m 与 y =1（线段AB ）相交，得，12y =x mx m,y =.+-⎧⎨⎩ （3分）∴1＝x 2+mx －m ，由 (x －1)(x +1+m )=0，得121,1x x m ==--．∵1x =1<32，不合题意，舍去． （4分）∴抛物线y =x 2+mx -m 与AB 边只能相交于（2x ，1）， ∴32≤－m －1≤72，∴9252m --≤≤ ． ①（5分）又∵顶点P (2424,m m m+--)是直角梯形OABC 的内部和其边上的一个动点，∴7022m ≤-≤，即7m -≤≤ ． ② （6分）∵2224(2)4(1)44211m mm m ++-+-=-=-+≤，（或者抛物线y =x 2+mx －m 顶点的纵坐标最大值是1） ∴点P 一定在线段AB 的下方． （7分） 又∵点P 在x 轴的上方， ∴2440m m+-≥，(4)0,m m +≤∴0,0,4040m m m m ≤≥+≥+≤⎧⎧⎨⎨⎩⎩或者． （*8分） 4(9)0. m ∴-≤≤分③（9分）又∵点P 在直线y =23x 的下方，∴242()432m mm +-≤⨯-，（10分）即(38)0.m m +≥0,0,380380.m m m m ≤≥+≤+≥⎧⎧⎨⎨⎩⎩或者 （*8分处评分后，此处不重复评分） 80.3m m ∴≤-≥(11分)，或 ④由①②③④ ，得4-≤83m ≤-．（12分）说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣1分，个别漏写的酌情处理．【093】解：（1）连结BO 与A C 交于点H ，则当点P 运动到点H 时，直线DP 平分矩形O ABC 的面积．理由如下：∵矩形是中心对称图形，且点H 为矩形的对称中心．又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线DP 过矩形O ABC的对称中心点H ，所以直线DP 平分矩形O ABC 的面积．…………2分由已知可得此时点P 的坐标为3(2)2P ，．设直线DP 的函数解析式为y kx b =+．则有503 2.2k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得413k =，2013b =．所以，直线DP 的函数解析式为：4201313y x =+．··················································· 5分（2）存在点M 使得D O M △与A B C △相似．如图，不妨设直线DP 与y 轴的正半轴交于点(0)m M y ，． 因为D O M ABC ∠=∠，若△DOM 与△ABC 相似，则有O M BC O DAB=或O M AB O DBC=．当O M BC O D AB=时，即354m y =，解得154m y =．所以点115(0)4M ，满足条件．当O M AB O DBC=时，即453m y =，解得203m y =．所以点220(0)3M ，满足条件．由对称性知，点315(0)4M -，也满足条件．综上所述，满足使D O M △与A B C △相似的点M 有3个，分别为115(0)4M ，、220(0)3M ，、315(0)4M -，． ·············································································································· 9分（3）如图 ，过D 作DP ⊥AC 于点P ，以P 为圆心，半径长为52画圆，过点D 分别作P 的切线DE 、DF ，点E 、F 是切点．除P 点外在直线AC 上任取一点P 1，半径长为52画圆，过点D 分别作P 的切线DE 1、DF 1，点E 1、F 1是切点．在△DEP 和△DFP 中，∠PED ＝∠PFD ，PF ＝PE ，PD ＝PD ，∴△DPE ≌△DPF ． ∴Ｓ四边形DEPF ＝2Ｓ△DPE ＝2×1522DE PE DE PE DE⨯⋅=⋅=．∴当DE 取最小值时，Ｓ四边形DEPF 的值最小． ∵222D E D P P E =-，2221111DE DP P E =-，∴222211DE DE DP DP -=-． ∵1DP DP >，∴2210DE DE ->． ∴1DE DE >．由1P 点的任意性知：DE 是D点与切点所连线段长的最小值． (12)在△ADP 与△AOC 中，∠DPA ＝∠AOC ， ∠DAP ＝∠CAO ， ∴△ADP ∽△AOC ．x∴DP CO DACA=，即485D P =．∴325D P =．∴10D E ==．∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ＝44·····································································14分（注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．） 【094】解：（1）令二次函数2y ax bx c =++，则16402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩········································································································· 1分 12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪∴=-⎨⎪=⎪⎪⎩··················································································································· 2分∴过A B C ，，三点的抛物线的解析式为213222y x x =--+ ······································· 4分（2）以A B 为直径的圆圆心坐标为302O ⎛⎫' ⎪⎝⎭，52O C '∴=32O O '=································································································· 5分C D 为圆O '切线 O C C D '∴⊥ ··············································································· 6分 90O C D D C O '∴∠+∠=°90C O O O C O ''∠+∠=° C O O D C O'∴∠=∠ O C O C D O '∴△∽△ //O O O C O C O D '=······························································ 8分 3/22/2O D = 83O D ∴=D ∴坐标为803⎛⎫⎪⎝⎭， ······································································································· 9分（3）存在 ····················································································································10分 抛物线对称轴为32X =-设满足条件的圆的半径为r ，则E 的坐标为3()2r r -+，或3()2F r r --，而E 点在抛物线213222y x x =--+上21333()()22222r r r ∴=--+--++112r ∴=-+212r =--故在以E F 为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为12-+，12+···········12分注：解答题只要方法合理均可酌情给分 【095】（1）B （4，0），(02)C -，．··········································································· 2分213222y x x =--． ···································································································· 4分 （2）A B C △是直角三角形． ······················································································ 5分 证明：令0y =，则2132022x x --=．1214x x ∴=-=，．(10)A ∴-，． ················································································································ 6分解法一：5AB AC BC ∴===，． ······························································ 7分22252025AC BC AB ∴+=+==．A B C ∴△是直角三角形． ····························································································· 8分 解法二：11242C O A O A O C O B O B OO C===∴== ，，，90A O C C O B ∠=∠= °，A O C C OB ∴△∽△． ································································································· 7分 AC O C B O ∴∠=∠． 90C B O B C O ∠+∠= °，90A C O B C O ∴∠+∠=°．即90A C B ∠=°．A B C ∴△是直角三角形． ····························································································· 8分（3）能．①当矩形两个顶点在A B 上时，如图1，C O 交G F 于H ．G F A B ∥，C G F C A B ∴△∽△． G F C H A B C O∴=． ························································ 9分 解法一：设G F x =，则D E x =，25C H x =，225D G O H O C C H x ==-=-．2222255D EFG S x x x x ⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭矩形·图1522⎝⎭当52x =时，S 最大．512D E D G ∴==，．A D G A O C △∽△， 11222A D D G A D O D O E A OO C∴=∴=∴==，，，．102D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)E ，． ····························································································11分 解法二：设D G x =，则1052xD E G F -==．221055555(1)2222D E F G xS x x x x -∴==-+=--+矩形·． ···········································10分∴当1x =时，S 最大．512D G D E ∴==，．A D G A O C △∽△， 11222A D D G A D O D O E A OO C∴=∴=∴==，，，．102D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，(20)E ，． ····························································································11分 ②当矩形一个顶点在A B 上时，F 与C 重合，如图2， D G BC ∥， A G D A C B ∴△∽△． G D A G B CA F∴=．解法一：设G D x =，AC BC ∴==2x G F A C A G ∴=-=．∴2122D EFG x S x x ⎫=-=-+⎪⎭矩形·=(21522x --+． ··································································································12分当x =S 最大．2G D AG ∴==，52A D ∴==．32O D ∴=图22⎝⎭解法二：设D E x =，AC = ，BC =G C x ∴=，AG x =-．2GD x ∴=．()222D EFG S x x x ∴==-+矩形·=25222x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭·····································································································12分∴当2x =时，S 最大，2G D AG ∴==．52A D ∴==．3.2O D ∴=∴302D ⎛⎫⎪⎝⎭，·················································································································13分 综上所述：当矩形两个顶点在A B 上时，坐标分别为102⎛⎫-⎪⎝⎭，，（2，0）； 当矩形一个顶点在A B 上时，坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭， ·································································14分 【096】（1）因所求抛物线的顶点M 的坐标为(2,4)，故可设其关系式为()224y a x =-+ ………………(1分) 又抛物线经过O (0,0)，于是得()20240a -+=， ………………(2分) 解得 a=-1 ………………(3分)∴ 所求函数关系式为()224y x =--+，即24y x x =-+. ……………(4分)（2）① 点P 不在直线ME 上. ………………(5分)根据抛物线的对称性可知E 点的坐标为(4,0)， 又M 的坐标为(2,4)，设直线ME 的关系式为y=kx +b . 于是得⎩⎨⎧=+=+4204b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=82b k所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. ……(6分) 由已知条件易得，当t 25=时，OA=AP 25=，⎪⎭⎫⎝⎛∴25,25P ……………(7分)∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8. ∴ 当t 25=时，点P 不在直线ME 上. ………………(8分)② S 存在最大值. 理由如下： ………………(9分)∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t .∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2+4t ) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t ≤3) , ∴ AN -AP=(-t 2+4 t )- t=-t 2+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …(10分)（ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD ，∴ S=21DC ·AD=21×3×2=3. ………………(11分)（ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ，∴ S=21(CD+PN )·AD=21[3+(-t 2+3 t )]×2=-t 2+3 t +3=421232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--t 其中(0＜t ＜3)，由a=-1，0＜23＜3，此时421=最大S . …………(12分)综上所述，当t 23=时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为421. ………………(13分)说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.【097】解：（1）点D 的坐标为(43)-，． ······························································ （2分） （2）抛物线的表达式为23984y x x =-． ······························································ （4分）（3）抛物线的对称轴与x 轴的交点1P 符合条件． ∵O A C B ∥， ∴1P O M C D O ∠=∠．∵190O P M D C O ∠=∠=°，∴1R t R t P O M C D O △∽△．··························· （6∵抛物线的对称轴3x =，∴点1P 的坐标为1(30)P ，． ····················································································· （7分）过点O 作O D 的垂线交抛物线的对称轴于点2P ． ∵对称轴平行于y 轴， ∴2P M O D O C ∠=∠． ∵290P OM DCO ∠=∠=°，∴21Rt Rt P M O DOC △∽△． ············································································· （8分）∴点2P 也符合条件，2O P M O D C ∠=∠．∴121390P O C O P P O D C O ==∠=∠=，°，∴21R t R t P P O D C O △≌△． ··············································································· （9分） ∴124P P C D ==． ∵点2P 在第一象限， ∴点2P 的坐标为2P (34)，，∴符合条件的点P 有两个，分别是1(30)P ，，2P (34)，．········································（11分） 【098】解：（1）当t =4时，B (4,0) 设直线AB 的解析式为y = kx +b . 把 A (0,6)，B (4,0) 代入得：⎩⎨⎧b =64k +b =0, 解得：⎩⎨⎧k =－32b =6, ∴直线AB 的解析式为：y =－32x +6.………………………………………4分(2) 过点C 作CE ⊥x 轴于点E由∠AOB =∠CEB =90°，∠ABO =∠BCE ，得△AOB ∽△BEC . ∴12B EC E B C A OB OA B===，∴BE = 12AO =3，CE = 12OB = t2，∴点C 的坐标为(t +3，t2).…………………………………………………………2分方法一：S 梯形AOEC = 12O E ·(AO +EC )= 12(t +3)(6+t 2)=14t 2+154t +9，S △ AOB = 12AO ·OB = 12×6·t =3t ，S △ BEC = 12BE ·CE = 12×3×t 2= 34，∴S △ ABC = S 梯形AOEC － S △ AOB －S △ BEC= 14t 2+154t +9－3t －34t = 14t 2+9. 方法二：∵AB ⊥BC ，AB =2BC ，∴S △ ABC = 12AB ·BC = BC 2.在R t △ABC 中，BC 2= CE 2+ BE 2= 14t 2+9，即S △ ABC = 14t 2+9.…………………………………………………………2分(3)存在，理由如下： ①当t ≥0时. Ⅰ.若AD ＝BD . 又∵BD ∥y 轴∴∠OAB =∠ABD ，∠BAD =∠ABD ， ∴∠OAB =∠BAD . 又∵∠AOB =∠ABC ， ∴△ABO ∽△ACB ， ∴12O BB C A OA B==，∴t 6 = 12， ∴t =3，即B (3，0).Ⅱ.若AB ＝AD .延长AB 与CE 交于点G ， 又∵BD ∥CG ∴AG ＝AC过点A 画AH ⊥CG 于H ． ∴CH ＝HG ＝12 CG由△AOB ∽△GEB ， 得GE BE ＝AO OB ， ∴GE =18t. 又∵HE ＝AO ＝６，CE ＝t2∴18t ＋６＝12 ×（t 2＋18t ） ∴t 2-24t -36=0解得：t =12±6 5. 因为 t ≥0，所以t =12＋65，即B(12＋65，0).Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t <12时，∠ADB 为钝角，故BD ≠ AB . 当t ≥12时，BD ≤CE <BC<AB . ∴当t ≥0时，不存在BD ＝AB 的情况.②当－3≤t <0时，如图，∠DAB 是钝角.设AD =AB ， 过点C 分别作CE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴于点E ，点F . 可求得点C 的坐标为(t +3，t2)，∴CF =OE =t +3，AF =6－t2，由BD ∥y 轴，AB =AD 得，∠BAO =∠ABD ，∠FAC =∠BDA ，∠ABD =∠ADB ∴∠BAO =∠FAC ，又∵∠AOB =∠AFC =90°， ∴△AOB ∽△AFC ， ∴B O A OC FA F= ， ∴6362t t t -=+-， ∴t 2-24t -36=0解得：t =12±6 5.因为－3≤t <0， 所以t =12－65，即B (12－65，0).③当t <－3时，如图，∠ABD 是钝角.设AB =BD ， 过点C 分别作CE ⊥x 轴，CF ⊥y 轴于点E ，点F ， 可求得点C 的坐标为(t +3，t2)，∴CF = －(t +3)，AF =6－t2，∵AB =BD ， ∴∠D =∠BAD . 又∵BD ∥y 轴， ∴∠D =∠CAF ， ∴∠BAC =∠CAF .又∵∠ABC =∠AFC =90°，AC =AC ， ∴△ABC ≌△AFC ， ∴AF ＝AB ，CF =BC ，∴AF =2CF ，即6－t2=－2(t +3)，解得：t =－8，即B (－8，0).综上所述，存在点B 使△ABD 为等腰三角形，此时点B 坐标为：B 1 (3，0)，B 2 (12＋65，0)，B 3 (12－65，0)，B 4(－8，0). ………………………4分【099】解：(1) 弦（图中线段AB ）、弧（图中的ACB 弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等.（写对一个给1分，写对两个给2分）(2) 情形1 如图21，AB 为弦，CD 为垂直于弦AB 的直径. …………………………3分 结论：（垂径定理的结论之一）. …………………………………………………………………………4分 证明：略（对照课本的证明过程给分）. ……………………………………………………………7分 情形2 如图22，AB 为弦，CD 为弦，且AB 与CD 在圆内相交于点P . 结论：PD PC PB PA ⋅=⋅.证明：略.情形3 （图略）AB 为弦，CD 为弦，且m 与n 在圆外相交于点P . 结论：PD PC PB PA ⋅=⋅. 证明：略.情形4 如图23，AB 为弦，CD 为弦，且AB ∥CD . = .证明：略.（上面四种情形中做一个即可，图1分，结论1分，证明3分；其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的）(3) 若点C 和点E 重合，则由圆的对称性，知点C 和点D 关于直径AB 对称. …………………………………………8分 设x BAC=∠，则x BAD =∠，x ABC -︒=∠90.…………………………………………9分 又D 是的中点，所以ABC ACD CAD CAD ∠-︒=+∠=∠1802， 即)90(18022x x -︒-︒=⋅.………………………………………………………………………………10分 解得︒=∠=30BAC x .………………………………………………………………………………………11分 （若求得AC AB 23=或FB AF ⋅=3等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点B 、C 是圆的十二等分点，然后说明）【100】解：（1）令0))((4)2(2=+--=∆a m a m b 得222m b a =+ 由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知△ABM 是一个以a 、b 为直角边的等腰直角三角形 （2）设1)2(2-+=x a y ，∵△ABM 是等腰直角三角形∴斜边上的中线等于斜边的一半，又顶点M(－2，－1) ∴121=AB ，即AB ＝2，∴A(－3，0)，B(－1，0)将B(－1，0) 代入1)2(2-+=x a y 中得1=a∴抛物线的解析式为1)2(2-+=x y ，即342++=x x y （3）设平行于x 轴的直线为k y = 解方程组⎩⎨⎧++==342x x y ky 得121++-=k x ，122+--=k x （)1->k∴线段CD 的长为12+k ，∵以CD 为直径的圆与x 轴相切，据题意得kk =+1，ABC A B 第25题图3第25题图22第25题图23m。
2012年中考数学压轴题及解析分类汇编
中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．例2 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图12012中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例4 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22=++上．y mx mx n （1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图12012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1例6 如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图 备用图例 7 如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图12012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1 如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2例2 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N 分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1例4 如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12y m，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？图12012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1例6 在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM//x轴（如图1所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆与圆O外切，求圆O的半径．图12012中考数学压轴题函数直角三角形问题(一)例1 如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1例2 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图12012中考数学压轴题函数直角三角形问题(三)例 5 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1例6 已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图1，求证：222BN AM MN +=；思路点拨：考虑222BN AM MN +=符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，只需证BN DN =，︒=∠90MDN 就可以了．请你完成证明过程．（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1 图2图5 图6 图72012中考数学压轴题函数平行四边形问题(一)例 1 已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图像与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图像上，且MO ＝MA ．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数334y x =+的图像上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1例2将抛物线c 1：2y =x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数平行四边形问题(二)例3 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2例4在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图22012中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1例6 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图1例 7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BECD的值；如果不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数梯形问题(一)例1 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．备用图图1 图2例 2 已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．图1 图22012中考数学压轴题函数梯形问题(二)例3 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x ，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时．① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．图1例 4 已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数平行四边形问题(三)例 5 如图1，等边△ABC 的边长为4，E 是边BC 上的动点，EH ⊥AC 于H ，过E 作EF ∥AC ，交线段AB 于点F ，在线段AC 上取点P ，使PE ＝EB ．设EC ＝x （0＜x ≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF 相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q 是线段AC 上的动点，当四边形EFPQ 是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x 的代数式表示）；（3）当（2）中 的平行四边形EFPQ 面积最大值时，以E 为圆心，r 为半径作圆，根据⊙E 与此时平行四边形EFPQ 四条边交点的总个数，求相应的r 的取值范围．图1例6 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图1例 7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E 、D 、O 、A 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BE CD的值；如果不存在，请说明理由．图12012中考数学压轴题函数面积问题(一)例 1 如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的顶点O 为坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，CB ∥OA ，OC ＝4，BC ＝3，OA ＝5，点D 在边OC 上，CD ＝3，过点D 作DB 的垂线DE ，交x 轴于点E ．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图12012中考数学压轴题函数面积问题(二)例3 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．例 4 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图2012中考数学压轴题函数面积问题(三)例5 如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP 与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1 图2例6 在直角坐标系中，抛物线c=2经过点（0，10）和点（4，2）．+y+xbx（1）求这条抛物线的解析式.（2）如图1，在边长一定的矩形ABCD中，CD＝1，点C在y轴右侧沿抛物线=2滑动，在滑动过程中CD∥x轴，AB在CD的下方.当点D在y轴上时，y++cbxxAB落在x轴上.①求边BC的长.②当矩形ABCD在滑动过程中被x轴分成两部分的面积比为1:4时，求点C的坐标.。
2012年全国各地中考数学压轴题精选(解析版1--10)
2012年全新中考数学模拟试题四（时量：120分钟 满分：120分）一. 填空题（每小题3分，共24分） 102..-的倒数是。
2282.分解因式：。
x -=321.在函数中，自变量的取值范围是。
y x x =-41236.不等式组的解集是。
x x +≥<⎧⎨⎩5. 母线长为3cm 底面半径为1cm 的圆柱的侧面展开图的面积为_____________cm 2。
6. 如图所示，已知△ABC 中，P 为AB 上一点，连结PC ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件_____________。
（只需填入一种情况）7. 如图所示，P 是⊙O 的弦AB 上的一点，AB ＝10cm ，AP ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径为_____________cm 。
8. 观察下列各式：111222233334222+=⨯+=⨯+=⨯ ……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来_____________。
二. 选择题（每题3分，共24分） 98212227021211211123230..()在实数，，，，…，，--π sin tan tan .604743022o o o ·，中无理数有（）-A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10131201222.如用换元法解方程，并设，那么原方程可x x x x y x x ---+==- 化为（ ） A y y B y y ..22320320-+=+-=C y yD y y ..22230230-+=+-=11. 受季节的影响，某种商品每件按原售价降价10%，又降价a 元，现每件售价为b 元，那么该商品每件的原售价为（ ） A a bB a b ..()+--+110%110%)(元元C b aD b a ..()----110%110%)(元元12. 在矩形ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝2cm ，则以AB 所在直线为轴旋转一周所得的圆柱的表面积为（ ） A cm B cm ..172022ππC cmD cm ..213022ππ13. 已知点P 是半径为5的⊙O 内一定点，且OP ＝4，则过点P 的所有弦中，弦长可能取到的整数值为（ ）A. 5，4，3B. 10，9，8，7，6，5，4，3C. 10，9，8，7，6D. 12，11，10，9，8，7，6 14. 下列说法错误的是（ ）A. 直线y ＝x 就是第一、三象限的角平分线 B y x.反比例函数的图象经过点（，）=212 C y x y x .函数中，随着的增大而减小=-310D y x x x .抛物线的对称轴是=-+=2211()1512102.sin tan 已知，则等于（）αβαβ-+-=+A. 105°B. 75°C. 60°D. 90° 16. 若两圆的圆心距等于7，半径分别是R 、r ，且R 、r 是关于x 的方程ax ax 2560-+=的两个根，则这两圆的位置关系是（）A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切 三. 解答题（本题共6个小题，每小题6分，共36分）()172132226021.()cos 计算：-+⎛⎝ ⎫⎭⎪----o1822232.先将化简，然后自选一个合适的值，代入化简后的式x x xx xx --÷- 子求值。
2012年中考压轴题精选(7)
2012年中考压轴题精选（7）1、如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．班级____________________ 姓名____________________………………密………………………………………………封………………………………………………线………………2、在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）．连接OP，过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q．连接PQ，交y轴于点M．作PA丄x轴于点A，QB丄x轴于点B．设点P的横坐标为m．（1）如图1，当m=时，①求线段OP的长和tan∠POM的值；②在y轴上找一点C，使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，连接AM、BM，分别与OP、OQ相交于点D、E．①用含m的代数式表示点Q的坐标；②求证：四边形ODME是矩形．3、已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE=PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．4、已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）如图2，当折叠后的经过圆心O时，求的长；（2）如图3，当弦AB=2时，求折叠后所在圆的圆心O′到弦AB的距离；（3）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点．试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．答案1、解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=4；∴直线l：y=x﹣4．由于S△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．2、解：（1）①把x=代入y=x2，得y=2，∴P（，2），∴OP=∵PA丄x轴，∴PA∥MO．∴tan∠P0M=tan∠0PA==．②设Q（n，n2），∵tan∠QOB=tan∠POM，∴．∴n=∴Q（，），∴OQ=．当OQ=OC时，则C1（0，），C2（0，）；当OQ=CQ时，则C3（0，1）；当CQ=CO时，OQ为底，则C4（0，）不合题意，舍去．综上所述，所求点C坐标为：C1（0，），C2（0，），C3（0，1）；（2）①∵P（m，m2），设Q（n，n2），∵△APO∽△BOQ，∴∴，得n=，∴Q（，）．②设直线PQ的解析式为：y=kx+b，把P（m，m2）、Q（，）代入，得：解得b=1，∴M（0，1）∵，∠QBO=∠MOA=90°，∴△QBO∽△MOA∴∠MAO=∠QOB，∴QO∥MA同理可证：EM∥OD又∵∠EOD=90°，∴四边形ODME是矩形．3、解：问题1：∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，∴∠DPC=90°，∵AD=1，AB=2，BC=3，∴DC=2，设PB=x，则AP=2﹣x，在Rt△DPC中，PD2+PC2=DC2，即x2+32+（2﹣x）2+1=8，化简得x2﹣2x+3=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，∴方程无解，∴对角线PQ与DC不可能相等．问题2：如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，∵PD∥CQ，∴∠PDC=∠DCQ，∴∠ADP=∠QCH，又∵PD=CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，∴AD=HC，∵AD=1，BC=3，∴BH=4，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．问题3：如图3，设PQ与DC相交于点G，∵PE∥CQ，PD=DE，∴==，∴G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，同理可证∠ADP=∠QCH，∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，即==，∴CH=2，∴BH=BC+CH=3+2=5，∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．问题4：如图4，设PQ与AB相交于点G，∵PE∥BQ，AE=nPA，∴=，∴G是AB上一定点，作QH∥CD，交CB的延长线于H，过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠D=∠QHC，∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°，∠PAG=∠QBG，∴∠QBH=∠PAD，∴△ADP∽△BHQ，∴，∵AD=1，∴BH=n+1，∴CH=BH+BC=3+n+1=n+4，过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABMD是矩形，∴BM=AD=1，DM=AB=2∴CM=BC﹣BM=3﹣1=2=DM，∴∠DCM=45°，∴∠KCH=45°，∴CK=CH•cos45°=（n+4），∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为（n+4）．4、解：（1）如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE ∵点E与点O关于AB对称∴△OAE、△OBE为等边三角形；…1分∴∠OEA=∠OEB=60°∴==；…2分（2）如图3，连接O′A、O′B，∵折叠前后所在的⊙O与⊙O′是等圆，∴O′A=O′B=OA=AB=2∴△AO′B为等边三角形；…3分过点O′作O′E⊥AB于点E∴O′E=O′B•sin60°=；…4分（3）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于点E，交于点F，∵AB∥CD，∴EF垂直平分CD、且必过点P，…5分根据垂径定理及折叠，可知，…6分又∵EF=4，∴点O到AB、CD的距离之和为：d=PH+PG=；…7分②如图5，当AB与CD不平行时，四边形OMPN是平行四边形…8分证明如下：设O′、O″为和所在圆的圆心，由折叠可知：O′与O关于AB对称，O″与O关于CD对称，∴M为OO′的中点，N为OO′的中点；…9分∵所在圆外切，∴连心线O′O″必过点P，∵所在圆与⊙O都是等圆，∴O′P=O″P=2；∴；∴四边形OMPN是平行四边形．。
2012年数学中考压轴题
已知：如图，一艘渔船正在港口A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向．问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?)45.26,73.13,41.12(≈≈≈22．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A点恰好落在OB 的中点C 处，折痕为DE ．(1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值； (2)求△CDE 的面积．23．已知：如图，斜坡PQ 的坡度i ＝1∶3，在坡面上点O 处有一根1m 高且垂直于水平面的水管OA ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M 比点A 高出1m ，且在点A 测得点M 的仰角为30°，以O 点为原点，OA 所在直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B ，最高点为C ．(1)写出A 点的坐标及直线PQ 的解析式；(2)求此抛物线AMC 的解析式； (3)求｜x C －x B ｜；(4)求B 点与C 点间的距离．如图所示，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝15°，AD ∥OC 并交BC 的延长线于D 点，OC 交AB 于E 点．(1)求∠D 的度数；(2)求证：AC 2＝AD ·CE ．18．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上的一个动点(不与B ，C 点重合)，∠ADE ＝45°．(1)求证：△ABD ∽△DCE ；(2)设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； (3)当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．19．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′．(1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值； (2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．20．已知：如图，抛物线y ＝x 2－x －1与y 轴交于C 点，以原点O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于另一点D ．设点P 为抛物线y ＝x 2－x －1上的一点，作PM ⊥x 轴于M 点，求使△PMB ∽△ADB 时的点P 的坐标．21．在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数y ＝x 2＋(k －1)x ＋2k －1的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，－3)． 求这个二次函数的解析式及A ，B 两点的坐标．22．如图所示，在平面直角坐标系xOy 内已知点A 和点B 的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P ，Q 移动的时间为t 秒．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位?23．已知：如图，□ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAD ＝120°，E 为BC 上一动点(不与B 点重合)，作EF ⊥AB 于F ，FE ，DC 的延长线交于点G ，设BE ＝x ，△DEF 的面积为S ．(1)求证：△BEF∽△CEG；(2)求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；(3)当E点运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?。
2012年中考数学压轴题精选精析
2012年各地中考数学压轴题精选精析(1.2012黄石) 25.（本小题满分10分）已知抛物线1C 的函数解析式为23(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点(0,3)-，方程230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。
（1）求抛物线1C 的顶点坐标. （2）已知实数0x >，请证明：1x x +≥2,并说明x 为何值时才会有12x x+=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C ，设1(,)A m y ，2(,)B n y 是2C 上的两个不同点，且满足：090AOB ∠=，0m >，0n <.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。
（参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则P ，Q 两点间的距离【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题；配方法．【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，需要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a 、b 的值．已知抛物线图象与y 轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a 的值）；然后从方程入手求b 的值，题干给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b 的值． （2）11x x +=，因此将1x x+配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证．（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C 2的解析式；在Rt △OAB 中，由勾股定理可确定m 、n 的关系式，然后用m 列出△AOB 的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB 的最小面积值以及此时m 的值，进而由待定系数法确定一次函数OA 的解析式．【解答】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a ＝－３∴a ＝１ ……………………………………１分 ∴ｙ＝x 2＋bx －３∵x 2＋bx －３=０的两根为x 1,x 2且21x -x ＝４∴21221214)(x x x x x x -+=-＝４且b ＜０∴b ＝－２ ……………………１分 ∴ｙ＝x 2－２x －３＝（x －１）２－４∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４） ………………………１分 （2）∵x ＞０，∴0)1(21≥-=-+xx x x ∴,21≥+x x 显然当x ＝１时，才有,21=+xx ………………………２分 （3）方法一：由平移知识易得Ｃ２的解析式为：y ＝x 2 ………………………１分∴Ａ(m ，m ２)，B （n ，n ２） ∵ΔAOB 为Rt Δ ∴OA ２+OB ２=AB ２∴m ２＋m ４＋n ２＋n ４＝（m －n ）２＋（m ２－n ２）２化简得：m n ＝－１ ……………………１分 ∵ＳΔAOB =OB OA ∙21=424221n n m m +∙+ ∵m n ＝－１∴ＳΔAOB ＝22221221221mm n m ++=++ ＝1221121)1(212=∙≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+m m m m ∴ＳΔAOB 的最小值为１，此时m ＝１,Ａ(１,１) ……………………２分 ∴直线OA 的一次函数解析式为ｙ＝x ……………………１分方法二：由题意可求抛物线2C 的解析式为：2y x = ··········································· （1分）∴2(,)A m m ，2(,)B n n过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为CAOC BOD ACDB S S S S =-- 梯形2222111()()222m n m n m m n n =+--⋅-⋅ 1()2mn m n =--由BOD △ ∽OAC △得 BD ODOC AC=即22n n m m-= ∴1mn =- ········································································································· （1分）∴1n m =-∴1()2S mn m n =--11()2m m=+由（2）知：12m m+≥∴111()2122S m m =+≥⨯=当且仅当1m =，S 取得最小值1此时A 的坐标为（１，１） ·········································································· （2分） ∴一次函数OA 的解析式为y x = ································································· （1分）【点评】该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、不等式的应用等知识，解题过程中完全平方式的变形被多次提及，应熟练掌握并能灵活应用．（2.2012滨州）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．考点：二次函数综合题。
2012年中考数学压轴题精选(含答案)
（2012年北京市）24、在△ABC 中，BA ＝BC ，∠BAC ＝α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
（1）若α＝60°且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；（2）在图2中，点P 不与点B 、M 重合，线段CQ 的延长线于射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B 、M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ ＝DQ ，请直接写出α的范围。
图1QM(P)C B APM图2QCBA（答案）（1）o CDB 30=∠ （2）α-=∠o CDB 90 （3）o o 6045<<α （2012年北京市）25、在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)的“非常距离”，给出如下定义：若｜x 1－x 2｜≥｜y 1－y 2｜，则点P 1与点P 2的“非常距离”为｜x 1－x 2｜； 若｜x 1－x 2｜＜｜y 1－y 2｜，则点P 1与点P 2的“非常距离”为｜y 1－y 2｜。
例如：点P 1(1,2)，点P 2(3,5)，因为｜1－3｜＜｜2－5｜，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为｜2－5｜＝3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）。
（1）已知点A(-12,0)，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；（2）已知C 是直/线y ＝34x ＋3上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是(0,1)，求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标；②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点C 的坐标。
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2012中考数学压轴题及答案40例（7）28.如图，Rt △ABC 的顶点坐标分别为A （0，3），B （－21，23），C （1，0），∠ABC＝90°，BC 与y 轴的交点为D ，D 点坐标为（0，33），以点D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B ．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B ′，求证：四边形AOCB ′是矩形，并判断点B ′是否在（1）的抛物线上； （3）延长BA 交抛物线于点E ，在线段BE 上取一点P ，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点F ，是否存在这样的点P ，使四边形PADF 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由． 解：（1）∵抛物线的顶点为D （0，33）∴可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋33． ············································· 1分∵B （－21，23）在抛物线上∴a (－21)2＋33＝23，∴a ＝332． ······················ 3分∴抛物线的解析式为y ＝332x 2＋33． ···················· 5分（2）∵B （－21，23），C （1，0）∴BC ＝2223121)＋()－(－＝3又B ′C ＝BC ，OA ＝3，∴B ′C ＝OA ． ················································ 6分∵AC ＝22OCOA ＋＝2213＋)(＝2∴AB ＝22BCAC －＝2232)－(＝1又AB ′＝AB ，OC ＝1，∴AB ′＝OC ． ···················································· 7分 ∴四边形AOCB ′是矩形． ····································································· 8分 ∵B ′C ＝3，OC ＝1∴点B ′ 的坐标为（1，3） ······························································· 9分将x ＝1代入y ＝332x 2＋33得y ＝3∴点B ′ 在抛物线上． ········································································ 10分（3）存在 ····································································································· 11分理由如下：设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎪⎩⎪⎨⎧32321 ＝＝＋－b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧33 ＝＝b k∴直线AB 的解析式为y ＝33＋x ····················································· 12分∵P 、F 分别在直线AB 和抛物线上，且PF ∥AD ∴设P （m ，33＋m ），F （m ，332m 2＋33）∴PF ＝(33＋m )－(332m 2＋33)＝－332m 2＋m3＋332AD ＝333－＝332若四边形PADF 是平行四边形，则有PF ＝AD ． 即－332m 2＋m3＋332＝332解得m 1＝0（不合题意，舍去），m 2＝23． ······································ 13分 当m ＝23时，33＋m ＝3×23＋3＝235．∴存在点P （23，235），使四边形PADF 是平行四边形． ·············· 14分29.如图1，平移抛物线F 1：y ＝x 2后得到抛物线F 2．已知抛物线F 2经过抛物线F 1的顶点M 和点A （2，0），且对称轴与抛物线F 1交于点B ，设抛物线F 2的顶点为N ． （1）探究四边形ABMN 的形状及面积（直接写出结论）；（2）若将已知条件中的“抛物线F 1：y ＝x 2”改为“抛物线F 1：y ＝ax 2”（如图2），“点A （2，0）”改为“点A （m ，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN 的形状及其面积，并说明理由；（3）若将已知条件中的“抛物线F 1：y ＝x 2”改为“抛物线F 1：y ＝ax 2＋c ”（如图3），“点A （2，0）”改为“点A （m ，c ）”其它条件不变，求直线AB 与y 轴的交点C 的坐标（直接写出结论）．解：（1）四边形ABMN 是正方形，其面积为2．······················································ 1分（2）四边形ABMN 是菱形．当m ＞0时，四边形ABMN 的面积为43am ；当m ＜0时，四边形ABMN 的面积为-43am ． ··················································· 2分（说明：如果没有说理过程，探究的结论正确的得2分）理由如下：∵平移抛物线F 1后得到抛物线F 2，且抛物线F 2经过原点O ． ∴设抛物线F 2的解析式为y ＝ax 2＋bx ．∵抛物线F 2经过点A （m ，0），∴am 2＋bm ＝0． 由题意可知m ≠0，∴b ＝－am ．∴抛物线F 2的解析式为y ＝ax 2－amx ． ··············································· 3分 ∴y ＝a (x －2m )2－42am∴抛物线F 2的对称轴为直线x ＝2m ，顶点N （2m ，－42am ）． ········· 4分∵抛物线F 2的对称轴与抛物线F 1的交点为B ，∴点B 的横坐标为2m ．∵点B 在抛物线F 1：y ＝ax 2上 ∴y B ＝a (2m )2＝42am ············································································· 5分设抛物线F 2的对称轴与x 轴交于点P ，如图1． ∵a ＞0，∴BP ＝42am ．∵顶点N （2m ，－42am ），∴NP ＝|－42am |＝42am ．∴BP ＝NP ． ······························································ 6分 ∵抛物线是轴对称图形，∴OP ＝AP ．∴四边形ABMN 是平行四边形．······························ 7分 ∵BN 是抛物线F 2的对称轴，∴BN ⊥OA ．∴四边形ABMN 是菱形．······································································ 8分 ∵BN ＝BP ＋NP ，∴BN ＝22am ．∵四边形ABMN 的面积为21×OA ·BN ＝21×|m |×22am∴当m ＞0时，四边形ABMN 的面积为21×m ×22am ＝43am ．··········· 9分当m ＜0时，四边形ABMN 的面积为21×(－m )×22am ＝－43am ． · 10分（3）点C 的坐标为（0，22am ＋c ）（参考图2）．30.如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋1．∵抛物线经过原点，∴a (0－2)2＋1＝0，∴a ＝－41．∴抛物线的解析式为y ＝－41(x －2)2＋1＝－41x 2＋x ． ······················ 3分（2）△AOB 和所求△MOB 同底不等高，若S △MOB ＝3S △AOB ，则△MOB 的高是△AOB 高的3倍，即M 点的纵坐标是－3． ······································································· 5分 ∴－41x 2＋x ＝－3，整理得x 2－4x －12＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2．∴满足条件的点有两个：M 1(6，－3)，M 2(－2，－3) ·························· 7分 （3）不存在． ································································································ 8分理由如下：由抛物线的对称性，知AO ＝AB ，∠AOB ＝∠ABO ． 若△OBN ∽△OAB ，则∠BON ＝∠BOA ＝∠BNO ．设ON 交抛物线的对称轴于A ′ 点，则A ′ (2，－1)．∴直线ON 的解析式为y ＝－21x ．由21x ＝－41x 2＋x ，得x 1＝0，x 2＝6．∴N (6，－3)．过点N作NC⊥x轴于C．在Rt△BCN中，BC＝6－4＝2，NC＝3∴NB＝2232＋＝13．∵OB＝4，∴NB≠OB，∴∠BON≠∠BNO，∴△OBN与△OAB不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．∴在x轴下方的抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．······10分31.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．由旋转性质知OB＝OA＝2．∵∠AOB ＝120°，∴∠BOM ＝60°．∴OM ＝OB ·cos60°＝2×21＝1，BM ＝OB ·sin60°＝2×23＝3．∴点B 的坐标为(1，3)． ······································· 1分（2）设经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ∵抛物线过原点，∴c ＝0．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-3024b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==33233b a∴所求抛物线的解析式为y ＝33x 2＋332x ．···································· 3分（3）存在．·································································································· 4分如图2，连接AB ，交抛物线的对称轴于点C ，连接OC ．∵OB 的长为定值，∴要使△BOC 的周长最小，必须BC ＋OC 的长最小． ∵点A 与点O 关于抛物线的对称轴对称，∴OC ＝AC ． ∴BC ＋OC ＝BC ＋AC ＝AB ．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BC ＋OC 最小，点C 的位置即为所求．设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋m ，将A (－2，0)，B (1，3)代入，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-32m k m k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==33233m k∴直线AB 的解析式为y ＝33x ＋332．抛物线的对称轴为直线x ＝332332⨯-＝－1，即x ＝－1．将x ＝－1代入直线AB 的解析式，得y ＝33×(－1)＋332＝33．∴点C 的坐标为(－1，33)． ···························································· 6分（4）△PAB 有最大面积．············································································ 7分如图3，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ． ∵S △PAB ＝S △PAD ＋S △PBD＝21(y D －y P )(x B －x A ) ＝21[(33x ＋332)－(33x 2＋332x )](1＋2)＝－23x 2－23x ＋3＝－23(x ＋21)2＋839∴当x ＝－21时，△PAB 的面积有最大值，最大值为839． ·············· 8分此时y P ＝33×(－21)2＋332×(－21)＝－43．∴此时P 点的坐标为(－21，－43)．················································· 9分。