九年级(上)培优讲义：第4讲 二次函数综合应用
人教版初中数学同步讲义九年级上册第04讲 二次函数的实际应用与综合(解析版)
又∵28≤x＜80， ∴当 x＝40 时，y 有最大值，最大值为 2000 平方米； （3）由题意得，S 矩形 EAGH＝AG•AE＝ （100﹣ x）
x＝﹣
x2+25x，S 矩形 DEFC＝DC•DE＝（100
﹣ x）• x＝﹣ x2+50x，
设安装成本为 w 元，则 w＝40（﹣ x2+25x）+20（﹣ x2+50x）＝﹣25x2+2000x，
最大 元
D．36 或 37 元
【解答】解：设销售单价上涨 x 元，月销售利润为 y 元．
∵每件商品售价不能高于 40 元，
∴0≤x≤10，
依题意得：
y＝（30﹣20+x）（240﹣10x）
＝（10+x）（240﹣10x） ＝﹣10x2+140x+2400 ＝﹣10（x﹣7）2+2890，
A．y＝5×3﹣3x﹣5x
B．y＝（5﹣x）（3﹣x）
C．y＝3x+5x
D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2
【解答】解：设挡板的宽度为 xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为 ycm2，根据题意可得：
y＝（5﹣x）（3﹣x），
故选：B．
【即学即练 2】
4．某家禽养殖场，用总长为 200m 的围栏靠墙（墙长为 65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 EAGH
500 千克；销售单价每涨 2 元，月销售量就减少 10 千克．设每千克涨 x 元，月销售利润为 y 元，则 y 与
x 的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）]
人教版九年级上册数学课件：二次函数的应用
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (1)a确定抛物线的开口方向：
y
•(0,c)
0
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解:(6)
y
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
•(0,-3–) 2
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 ：（4）由对称性可知
y
MA=MB=√22+22=2√2
• • AB=|x1-x2|=4
A(-3,0) D B(1,0) x
∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
0
=2 √2×2+4=4 √2+4 Δ=M—12 A×B4面×积2==4—12AB×MD
3
• •C(0,-2–) • M(-1,-2)
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级上册二次函数专题讲义
九年级上册二次函数专题讲义一、二次函数概念二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数。
需要注意的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。
例如，下列函数中哪些是二次函数：①y=3x²；②y=x²-x(1+x)；③y=x²(x²+x)-4；④y=1+x；⑤2xy=x(1-x)。
其中，例1需要判断每个函数的a，b，c值，而例2则是给定函数，需要判断m取何值时，该函数是关于x 的二次函数。
练1和练2则是练判断给定函数是否是关于x的二次函数，需要注意二次项系数a是否为零。
练3是已知点A在函数y=x-1的图像上，需要求出点A的坐标。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式是y=ax²，它的图象是一条抛物线，有一条对称轴，对称轴和图象有一点交点，这个点叫做抛物线的顶点。
画出函数y=x的图象的步骤如下：首先列出函数对应值表，然后在直角坐标系中描点，最后用光滑的曲线连接各点得到函数的图象。
需要注意的是，抛物线与它的对称轴的交点就是抛物线的顶点。
通过观察比较函数y=x和y=-x的图象，可以得出它们关于y轴对称的结论；通过观察比较函数y=2x和y=-2x的图象，可以得出它们关于x轴对称的结论。
同时，可以发现这四个函数的图象都是抛物线，都有一条对称轴和一个顶点。
因此，结论是函数y=ax²的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0,0)。
当$a>0$时，抛物线$y=ax^2$开口向上，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而增大；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而减小；顶点是抛物线上位置最低的点。
当$x=-\frac{b}{2a}$时，函数值$y=ax^2$取得最小值，最小值是$-\frac{b^2}{4a}$。
当$a<0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小；对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大；顶点是抛物线上位置最高的点。
九年级数学上册专题：二次函数的综合应用
九年级数学上册专题：二次函数的综合应用【知识概述】二次函数的综合运用是为考察学生综合运用知识的能力而设计的题目,常以中考压轴题出现,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活,因此成为拉开分值而具有选拔功能。
有的学生对二次函数的综合题有一种恐惧感,认为自己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数,为了提高函数的综合题（压轴题）的得分率,解好函数的综合题（压轴题）,本讲将以具体实例介绍几种常用的解题策略,从心理上打消望而生畏的忧虑,获得数学高分的制胜法宝。
【解题策略】1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想；2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想；3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想；4、综合多个知识点,运用等价转换思想；5、分题分段得分：对题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平,做到得一分算一分。
【典例精析】专题一 知识回顾【例1】1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线 2=x ,且有最大值2,其图象在x 轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。
2、已知二次函数y=ax 2+bx +c 满足a -b +c =0,其图像过点A(2, -3),并且以x =1为对称轴,求此二次函数的解析式。
3、已知二次函数24y ax x c =-+的图象与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点,与y 轴负半轴交于点C ,tan ∠ACO =15,CO =BO , △ABC 的面积为15。
求该二次函数的解析式。
专题二 能力提升题型1：利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的解析式【例2】已知二次函数b ax x y ++-=2与x 轴从左到右交于A 、B 两点,与y 轴正半轴交于C 点,∠ACB =90°,且tan ∠BAC -tan ∠ABC =2,求此二次函数的解析式。
-变式：在直角坐标平面内,点O 为坐标原点,二次函数)4()5(2+--+=k x k x y 的图象交x 轴于点yxO CBAA )0,(1x 、B )0,(2x ,且8)1)(1(21-=++x x 。
培优12.二次函数的应用
培优《二次函数的应用》 一、知识要点1.二次函数的应用主要体现在：（1）与一次函数或反比例函数的综合应用；（2）与方程、不等式知识的综合应用；（2）与三角函数、几何知识的综合应用；（4）与其他学科知识的综合应用；（5）生产、生活实际应用题2.解决实际问题的具体步骤：（1）建立数学模型，即把实际问题中的有关变量关系用函数关系式表达；（2）应用函数的性质解决实际问题. 二、典型例题例 1. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m )的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为()x m ，花园的面积为2()y m ． (1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？例 2. 某瓜果基地市场部为指导某地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息．如图10(1)(2)两图．注：两图中的每个实心黑点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6 月份最低；图10(1)的图象是线段，图10(2)的图象是抛物线段． (1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由．例3.已知抛物线线2y ax bx c=++与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程210160x x-+=的两个根，且抛物线的对称轴是直线2x=-．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC 于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．三、能力测试1.周长为8m最大透光面积是222.38.34.2564.DmCmBmA2.已知某商品涨价x成（1成即10%）后，销量将减少x65成，若要获得最大的营业额，则需涨价A. 1成B. 2成C. 3成D. 4成3.一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间t（秒）间的关系式为210S t t=+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（）Ａ．24米Ｂ．12米Ｃ．Ｄ．6米4.二次函数2y ax bx c=++图象上部分点的对应值如下表：则使y的取值范围为．5.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出。
九年级数学上册二次函数讲义(最新整理)
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a 何 b 何 c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b 何 实数．2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全体⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a 何 b 何 c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax 2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的性质：上加下减。
的性质：左加右减。
2. y = ax 2 + c3.y = a ( x - h )2a > 0 向上(h 何0) X=hx >h 时，y 随x 的增大而增大；x <h 时，y随x 的增大而减小；x =h 时，y 有最小值0 ．a < 0 向下(h 何0) X=hx >h 时，y 随x 的增大而减小；x <h 时，y随x 的增大而增大；x =h 时，y 有最大值0 ．4.y =a (x-h)2 +k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0 向上(h 何k ) X=hx >h 时，y 随x 的增大而增大；x <h 时，y随x 的增大而减小；x =h 时，y 有最小值k ．a < 0 向下(h 何k ) X=hx >h 时，y 随x 的增大而减小；x <h 时，y随x 的增大而增大；x =h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x-h)2 +k ，确定其顶点坐标(h何k )；⑵ 保持抛物线y =ax2的形状不变，将其顶点平移到(h 何k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y =ax 2+bx +c 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，y =ax 2+bx +c 变成y =ax 2+bx +c +m （或y =ax 2+bx +c -m ）2a ⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2者，即 y = a x + ⎪ +⎝ ⎭4a ，其中 h = - 何 k = ． 2a 4a五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点(0何 c ) 、以及(0何 c ) 关于对称轴对称的点(2h ，c ) 、与 x 轴的交点( x 1 何 0) ， ( x 2 何 0) （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质b ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪ ．当 x < - b2a4ac - b 2时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a ⎝ ⎭时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最小值 ． 4ab⎛ b4ac - b 2 ⎫ b 2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪ ．当x < - 2a 时， y ⎝ ⎭b b 4ac - b 2随 x 的增大而增大；当 x > - 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a 时，y 有最大值 ． 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y =ax2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠ 0 ．⑴ 当a > 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a < 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a > 0 的前提下，当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a < 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；>0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a >0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；< 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．bab 的符号的判定：对称轴x =-2a同右异”总结：3.常数项c在y 轴左边则ab > 0 ，在y 轴的右侧则ab < 0 ，概括的说就是“左⑴ 当c > 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a 何b 何c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；2 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ；y = a ( x - h )2+ k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a ( x - h )2- k ；2. 关于 y 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ；y = a ( x - h )2+ k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a ( x + h )2+ k ； 3. 关于原点对称y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；y = a ( x - h )2+ k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a ( x + h )2- k ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°） y = ax 2+ bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx + c -b； 2ay = a ( x - h )2+ k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a ( x - h )2+ k ．5. 关于点(m 何 n ) 对称y = a ( x - h )2 + k 关于点(m 何 n ) 对称后，得到的解析式是 y = -a ( x + h - 2m )2+ 2n - k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：b2-4aca① 当∆=b2- 4ac > 0 时，图象与x轴交于两点A(x ，0)，B (x ，0)(x ≠x ) ，其中的x ，x 是一元二次1 2 1 2 1 2方程ax2+bx +c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离AB =x2-x1=.② 当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2+bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax2+bx +c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx +c(a ≠ 0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a > 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：∆> 0 抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆= 0 抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根∆< 0 抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数图像参考：⎩十一、函数的应用⎧ 何 何 何 何 ⎪二次函数应用⎨何 何 何 何 何 何 何 何⎪何 何 何 何 何 何 何二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m 2 - m - 2 的图像经过原点， 则 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx - 1的图像大致是（）3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x =5 ，求这条抛物线的解析式。
九年级数学(上)课件二次函数的应用_4
【例1】
如图，在△中，∠90°，6，12，点P 从点A开始，•沿着向点B以1的速度 移动；点Q从点B开始，沿边向点C 以2的速度移动，•设P，Q同时出 发，问：
（1）经过几秒后P，Q的距离最短？ （2）经过几秒后△的面积最大？最大
面积是多少？
【例1】
如图，在△中，∠90°，6， 12，点P从点A开始，•沿 着向点B以1的速度移动； 点Q从点B开始，沿边向 点C以2的速度移动，•设P， Q同时出发，问：
练习提升
完成课内练习。
思考
如图所示，一位运动员在距篮圈4m处跳 起投篮，球运行的路线是抛物线，当球 运行的水平距离为2.5m时，达到最大高 度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈 中心到地面的距离为3.05m．
（1）建立如图所示的坐标系，求抛物 线的解析式；
（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投 中，球在头顶上方0.25m处出手，问球 出手时，他跳离地面的高度是多少？
（1）经过几秒后P，Q的距 离最短？
（2）经过几秒后△的面积最 大？最大面积是多少？
【注意】
对于动点问题，一般采用“以静制动”的方 法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在 求最值时，可用配方法或公式法，同时取值 时要注意自变量的取值范围．
【例2】
某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品， 并投入资金500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过 程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元， 年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利 额（年获利额=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）． （1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，•销 售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？ （4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；•第二年 的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单 价x（元）•应确定在什么范围？
九年级上册 专题04 二次函数的实际应用(知识点串讲)(教师版含解析)
专题04 二次函数的实际应用知识网络重难突破知识点一根据实际问题列二次函数表达式根据实际问题确定二次函数表达式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题.【典例1】(2018•胶州市一模)将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是()A．y＝(x﹣35)(400﹣5x) B．y＝(x﹣35)(600﹣10x)C．y＝(x+5)(200﹣5x) D．y＝(x+5)(200﹣10x)【点拨】根据售价减去进价表示出实际的利润；【解析】解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：y＝(x﹣35)(400﹣5x)，故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每个涨价2元，其销售量就减少10个”．【变式训练】1．(2018秋•松山区校级月考)国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为()A．y＝66(1﹣x) B．y＝33(1﹣x) C．y＝33(1﹣x2) D．y＝33(1﹣x)2【点拨】原价为33，第一次降价后的价格是33×(1﹣x)，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：33×(1﹣x)×(1﹣x)＝33(1﹣x)2，则函数解析式即可求得．【解析】解：根据题意：平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为33元，降价后的价格为y元，可得y与x之间的函数关系为：y＝33(1﹣x)2．故选：D．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．2．(2019•芜湖县二模)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是() A．y＝a(1+x)2B．y＝a(1﹣x)2C．y＝(1﹣x)2+a D．y＝x2+a【点拨】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×(1+增长率)，如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．【解析】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，依题意得第三个月第三个月投放单车a(1+x)2辆，则y＝a(1+x)2．故选：A．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b．3．(2018秋•康巴什期中)如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为()A．S＝t(0＜t≤3) B．S＝t2(0＜t≤3)C．S＝t2(0＜t≤3) D．S＝t2﹣1(0＜t≤3)【点拨】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，所以很容易求得∠AOB＝∠A＝45°；再由平行线的性质得出∠OCD＝∠A，即∠AOD＝∠OCD＝45°，进而证明OD＝CD＝t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式．【解析】解：如图所示，∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD＝∠A，∴∠AOD＝∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝t，∴S△OCD＝×OD×CD＝t2(0＜t≤3)，即S＝t2(0＜t≤3)．故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系，难度不大．知识点二二次函数的实际应用在实际生活中存在很多抛物线型问题，还有很多“利润最大”“用量最少”“面积最大”“路程最短”等问题，它们都会用到二次函数的图象和性质来描述问题，解决这类问题的步骤：(1)设出两个变量；(2)写出函数表达式或画出图象；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用二次函数的性质求解；(5)用求得的解来解释实际问题.【典例2】(2019秋•衢州期中)某景区经营一种新上市的纪念品，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设这种纪念品的销售单价为x(元)．(1)求每天所得的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该纪念品每天的销售利润最大；(3)若要求每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，则该纪念品的最大利润是多少？【点拨】(1)按照每件的利润乘以实际销量可得y与x之间的函数关系式；(2)将(1)中的二次函数配方，利用二次函数的性质可得答案；(3)先根据题意得出x的取值范围，再根据(2)中二次函数的性质，可得答案．【解析】解：(1)y＝(x﹣20)[250﹣10(x﹣25)]＝﹣10x2+700x﹣10000∴每天所得的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式：y＝﹣10x2+700x﹣10000；(2)y＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10(x﹣35)2+2250∴当x＝35时销售利润最大为2250元；(3)∵250﹣10(x﹣25)0≥10，x﹣20≥25∴45≤x≤49∵y＝﹣10(x﹣35)2+2250的对称轴为：x＝35，图象开口向下∴x＝45时，y有最大值1250元．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，能根据题意正确列式并明确二次函数的性质，是解题的关键．【典例3】(2019秋•诸暨市校级月考)某农场拟建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙(墙长50m)，中间用两道墙隔开，已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48米，设垂直于墙的一边的长为x米，三间矩形种牛饲养室总占地面积为S平方米．(1)当x＝8时，S＝128平方米；(2)请设计方案，当x取何值时，总占地面积S最大，并求最大面积．【点拨】(1)设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的边长为48﹣4x，S＝x(48﹣4x)，即可求解；(2)S＝x(48﹣4x)＝﹣4x(x﹣12)，即可求解．【解析】解：(1)设垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的边长为48﹣4x，S＝x(48﹣4x)，x＝8时，S＝128，故答案为128；(2)S＝x(48﹣4x)＝﹣4x(x﹣12)，∵﹣4＜0，故S有最大值144，此时x＝6，当x＝6时，总占地面积S最大为144平方米．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．【典例4】(2019秋•瑞安市期中)如图，B船位于A船正东25km处，现在A，B两船同时出发，A船以6km/的速度朝正北方向行驶，B船以8km/h的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近是15km．【点拨】利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两车的距离最小值即可．【解析】解：设t时两船相距为ykm，则AA1＝6tkm，AB′＝25﹣8t，由题意可知y＝＝＝10，故当t﹣2＝0时，即t＝2时两船相距最近，y＝10×＝15(km)，答：两船出发2小时后相距最近，最近距离是15km．故答案为：15．【点睛】本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两船之间的距离表达式，注意掌握配方法求二次函数最值得应用，难度中等．【变式训练】1．(2019秋•安陆市月考)教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝﹣+3，由此可知铅球达到的最大高度是3m，推出的距离是10m．【点拨】根据抛物线的解析式即可求出铅球达到的最大高度；再根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解析】解：∵y＝﹣+3，∴抛物线的顶点坐标为(4，3)，∴当x＝4时，铅球达到的最大高度为3米，令函数式y＝﹣(x﹣4)2+3中，y＝0，0＝﹣(x﹣4)2+3，解得x1＝10，x2＝﹣2(舍去)，答：铅球推出的距离是10m．故答案为：3；10．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．2．(2019秋•吴兴区期中)浙北商场一专柜销售某种品牌的玩具，每件进价为20元．销售过程中发现，每月销售y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．(1)每月销售260件，则每件利润是多少？(2)如果该专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为多少元？(3)设专柜每月获得的利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润多少元？【点拨】(1)由题意得，y＝260，进而得出x的值，即可得出答案；(2)利用利润＝销量×每件利润＝2160，进而解方程得出答案；(3)首先得出二次函数解析式，进而根据二次函数最值求法得出答案．【解析】解：(1)令y＝260，则260＝﹣10x+500，解得：x＝24，所以每件利润是24﹣20＝4(元)；(2)由题意可得：(﹣10x+500)(x﹣20)＝2160，﹣10x2+700x﹣10000＝2160，解得：x1＝32，x2＝38，当x1＝32时，y＝﹣10×32+500＝180，成本为：180×20＝3600(元)，当x2＝38时，y＝﹣10×38+500＝120，成本为：120×20＝2400(元)，∴专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为38元；(3)由题意可得：w＝(x﹣20)•y＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10(x﹣35)2+2250，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝35时，w最大＝2250(元)，∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元．【点睛】此题考查了二次函数的性质及其应用、一元二次方程的应用，将实际问题转化为求函数最值问题是解题关键．3．(2019•温州模拟)为了节省材料，某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2．【点拨】根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；再利用二次函数的性质求出面积S的最大值即可．【解析】解：如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝(﹣x+30)x＝﹣x2+30x，∵a＝﹣x+10＞0，∴x＜40，则S＝﹣x2+30x(0＜x＜40)；∵S＝﹣x2+30x＝﹣(x﹣20)2+300(0＜x＜40)，且二次项系数为﹣＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．故答案为：300．【点睛】此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．巩固训练1．(2019•越城区一模)今年3月20日，浙江省发布了《2019年浙江省国民经济和社会发展计划》，其中28条预计“全省居民全年可支配收入“平均增长率为6.5%，小明爸爸2018年全年可支配收入为10万元，对照这个增长率，预计2019年小明爸爸全年可支配收人应为()A．65万B．16.5万元C．10.65万元D．6.5万元【点拨】根据题意可列式子10×(1+6.5%)，即可得2019年的可支配收入【解析】解：依题意得2019年可支配的收入为：10×(1+6.5%)＝10.65万元故选：C．【点睛】此题考查的是二次函数的思想，解题的关键是读懂题意，求增长后情况可列式子：w＝a(1+增长率)2．(2019•柯桥区模拟)某汽车刹车后行驶的距离y(单位：m)与行驶的时间t(单位：s)之间近似满足函数关系y＝at2+bt(a＜0)．如图记录了y与t的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为()A．2.25s B．1.25s C．0.75s D．0.25s【点拨】直接利用待定系数法求出二次函数解析式，进而得出对称轴即可得出答案．【解析】解：将(0.5，6)，(1，9)代入y＝at2+bt(a＜0)得：，解得：，故抛物线解析式为：y＝﹣6t2+15t，当t＝﹣＝﹣＝＝1.25(秒)，此时y取到最大值，故此时汽车停下，则该汽车刹车后到停下来所用的时间为1.25秒．故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．3．(2018秋•柯桥区期末)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD 的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园面积S的最大值为()A．193 B．194 C．195 D．196【点拨】根据长方形的面积公式可得S关于m的函数解析式，由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出m的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．【解析】解：∵AB＝m米，∴BC＝(28﹣m)米．则S＝AB•BC＝m(28﹣m)＝﹣m2+28m．即S＝﹣m2+28m(0＜m＜28)．由题意可知，，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m＝13时，S最大值＝195，即花园面积的最大值为195m2．故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与m的函数关系式是解题关键．4．(2019春•西湖区校级月考)用12m长的木材做窗框(如图所示)，要使透过窗户的光线最多，窗框的长为3 m，此时最大面积为6m2．【点拨】设窗框的长为xm，根据木材的总长度是12m表示出宽，然后根据窗框的面积列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．【解析】解：设窗框的长为xm，则窗框的宽为(12﹣2x)，所以，窗框的面积＝(12﹣2x)x＝﹣(x﹣3)2+6，∵a＝﹣＜0，∴当x＝3时，窗框的面积最大，透过窗户的光线最多，此时最大面积为6m2．故答案为：3，6．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，用长表示出宽并根据矩形的面积公式列式整理成顶点式形式是解题的关键，难点在于要注意窗框有三条宽．5．(2019秋•青山区校级月考)从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度h(米)与小球运动时间t(秒)之间关系是h＝30t﹣5t2(0≤t≤6)，则小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是50米．【点拨】根据题目中的函数解析式可以求得h的最大值，从而可以求得小球从抛出后运动4秒共运动的路径长，本题得以解决．【解析】解：∵h＝30t﹣5t2＝﹣5(t﹣3)2+45(0≤t≤6)，∴当t＝3时，h取得最大值，此时h＝45，∴小球从抛出后运动4秒共运动的路径长是：45+[45﹣(30×4﹣5×42)]＝50(米)，故答案为：50．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的总的路径的长．6．(2019春•西湖区校级月考)某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元(x为整数)，每个月的销售量为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．【点拨】(1)当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x ≤140，(2)由利润＝(售价﹣成本)×销售量列出函数关系式，【解析】解：(1)当50≤x≤80时，y＝210﹣(x﹣50)，即y＝260﹣x，当80＜x≤140时，y＝210﹣(80﹣50)﹣3(x﹣80)，即y＝420﹣3x．则，(2)由利润＝(售价﹣成本)×销售量可以列出函数关系式W＝﹣x2+300x﹣10400(50≤x≤80)W＝﹣3x2+540x﹣16800(80＜x≤140)．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单．7．(2019秋•诸暨市期中)某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经过调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少20件．设这种商品的销售单提高x元．(1)现每天的销售量为(100﹣20x)件，现每件的利润为(2+x)元．(2)求这种商品的销售单价提高多少元时，才能使每天所获利润W最大？最大利润是多少？【点拨】(1)设这种商品的销售单价提高x元，则销量为(100﹣20x)件，每件的利润(10﹣8+x)＝(2+x)件；(2)根据利润＝数量×每件的利润建立W与x的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解析】解：(1)设这种商品的销售单价提高x元，则销量为(100﹣20x)件，每件的利润(10﹣8+x)＝(2+x)件故答案为：(100﹣20x)，(2+x)；(2)设商店每天获得的利润为W元，则W＝(2+x)(100﹣20x)＝﹣20x2+60x+200，当x＝1.5时，w最大＝245，所以这种商品的销售单价提高4元时，每天获得的最大利润为245元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能从实际问题中抽象出二次函数模型，难度不大．。
九年级数学上册24 二次函数的应用课件2 新版北师大版
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当 xb时 ,最小4值 ac为 b2 当 xb时 ,最大4值 ac为 b2
2a
4a
2a
4a
自主探究，合作交流
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元, 根据市 场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5000件,并且表示每件降低0.1元,愿意多经销500件.
解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少 6x间。设客房日租金总收入为y元，则
何时橙子总产量最大
还记得本章一开始涉及的“种多少棵橙子树”的 问题吗？
我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在请 你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时,总产量最 大?)是否正确.与同伴进行交流你是怎么做的.
请你帮助分析,厂家批发 单价是多少时,可以获利 最多?
自主探究，合作交流
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元, 根据市 场调查,以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5000件,并且表示每件降低0.1元,愿意多经销500件.
设批发价为x元(x≤13元),那么
销售量可表示为 :
件;
销售额可表示为:
(3)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个 橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产 量最多？
人教版(初中数学讲义含解析)九年级培优之第四讲 二次函数的应用
第四讲 二次函数的应用【问题探索】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？答案：设降价x 元时利润最大，则每星期可多卖18x 件，实际卖出（300+18x)件，销售额为 (60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润)18300(40)18300)(60(x x x y +-+-=)200(600060182≤≤++-=x x x 当352=-=a b x 时，60506000356035182=+⨯+⨯=）（最大y 【新课引入】提问：1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？2、由上给出引例：引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图（1），正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？对，本题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。
今天我们学习的内容是“二次函数的应用”。
答案:如图，水平面所在的直线为x 轴，以甲学生身体所在的垂线为y 轴，建立直角坐标系。
甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（4,1） 学生丙距甲拿绳的手水平距离1米处，丙的身高是1.5米 ∴点C 的坐标为（1,1.5）。
设抛物线为12++=bx ax y ，把B （4,1）和C （1,1.5）代入上式的，11416=++b a ，5.11=++b a 解得：61-=a ，32=b ，所以抛物线为132612++-=x x y ； 又 学生丁站在距甲拿绳的手水平距离2.5米处，∴当5.2=x 时，625.1132612=++-=x x y 学生丁的身高为1.625米。
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第4讲： 二次函数综合应用一、建构新知1.二次函数y =ax 2+bx +c =0（a ≠0），a 的符号由抛物线的开口方向决定，c 的符合由抛物线与y 轴交点的位置确定，b 的符号由a 及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y 随x 的增大而增大，对称轴右边y 随x 的增大而减小．此外抛物线解析式中y =0得到一元二次方程的解即为抛物线与x 轴交点的横坐标．2.二次函数的图象及性质：对于二次函数的图象与性质，关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系，同时观察图象与x 轴，y 轴交点的位置，注意二次函数值y 随自变量x 的变化要以对称轴为分界点.对于二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象：（1）开口向上⇔a >0；开口向下⇔a <0.（2）c >0⇔图象与y 轴的正半轴有交点；c =0⇔图象过坐标原点；c <0⇔图象与y 轴的负半轴有交点；（3）根据对称轴abx 2-=和a 符号确定b 的符号以及a 、b 之间的数量关系；（4）根据x =1时y 的值来确定a +b +c 的符号；根据x =－1时y 的值来确定a －b +c 的符号；x =2时y 的值来确定4a +2b +c 的符号；根据x =－2时y 的值来确定4a －2b +c 的符号.（5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性比较大小.3.二次函数综合应用，解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、坐标交点、图象交点分析，这是解决这类问题的思考点，数形结合思想方法是解题中常用方法. 二、经典例题例1.如图，已知抛物线于x 轴交于A （－1,0）、B （3,0）两点，与y 轴交于点C （0,3）.（1）求抛物线的解析式.（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标.例2.如图，抛物线经过A （－1，0），B （5，0），C （0，－52）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使P A ＋PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．例3. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =x 2+2x 与x 轴相交于O 、B ，顶点为A ，连接OA ．（1）求点A 的坐标和∠AOB 的度数；（2）若将抛物线y =x 2+2x 向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m ，其顶点为点C ．连接OC 和AC ，把△AOC 沿OA 翻折得到四边形ACOC ′．试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C ′是否在抛物线y =x 2+2x 上，说明理由；（4）若点P 为x 轴上的一个动点，试探究在抛物线m 上是否存在点Q ，使以点O 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，且OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．yxOAB C三、基础演练1．如图，已知二次函数221y x x =--的图象的顶点为A .二次函数2y ax bx =+ 的图象与x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点B 在函数221y x x =--的图象的对称轴上．（1）求点A 与点C 的坐标；（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数2y ax bx =+的关系式．2．如图，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），ΔABC 的面积为45． （1）求该二次函数的关系式；（2） 在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．xy O 12 32 11- 1-2-221y x x =--A3．已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧. 点B 的坐标为（1，0），OC =3OB . （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上．是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求P 的坐标；若不存在，请说明理由．四、直击中考1．（2013甘肃）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a +b +c ＜0；④a ﹣b +c ＞0；⑤4a +2b +c ＞0，错误的个数有（ ） A ．1 B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2.（2013山东）对于抛物线y ＝－（x ＋1）2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为（－1，3）；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 3.（2013杭州）给出下列命题及函数y =x ，y =x 2和y = ①如果，那么0＜a ＜1；②如果，那么a ＞1；③如果，那么﹣1＜a ＜0；④如果时，那么a ＜﹣1．则（ ）A ．正确的命题是①④B ．错误的命题是②③④O xy1-C ．正确的命题是①②D ．错误的命题只有③4.（2013陕西）已知两点),3(),,5(21y B y A -均在抛物线)0(2≠++=a c bc ax y 上，点),(00y x C 是该抛物线的顶点，若021y y y ≥>，则0x 的取值范围是（ ） A ．50->x B ．10->x C ．150-<<-x D ．320<<-x 5．（2013山东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝经过平移得到抛物线y ＝，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．166．（2013兰州）如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线y =x 2+k 与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 ．7.（2013四川）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a +b ＞0；②b ＞a ＞c ；③若－1＜m ＜n ＜1，则m +n ＜ba-；④3|a |+|c |＜2|b |。
其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）.8．(2013湖北)若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点，且过点A (m ，n )，B (m ＋6，n )，则n ＝______．9.（2013四川）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为2-（，0），点B 的坐标为13-（，），已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过三点A 、B 、O (O 为原点)． （1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使BOC ∆的周长最小．若存在，求出点C 的坐标．若不存在，请说明理由；（3）如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么PAB ∆是否有最大面积．若有，求出此时P 点的坐标及PAB ∆的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）．10．（2013山东）如图，三角形ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A ，C 分别是一次函数334y x =-+的图象与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形. (1)试求b ，c 的值、并写出该二次函数表达式；(2)动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动． ①当P 运动到何处时，有PQ ⊥AC ?②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小?此时四边形的面积是多少？xyOBA DCyxOAB五、挑战竞赛1.如图，抛物线32-+=bx ax y ，顶点为E ，该抛物线x 与轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB =OC =3OA 。
直线131+-=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC －∠CBE .六、每周一练1. 如图是二次函数c bx ax y ++=2图像的一部分，其对称轴是1-=x ，且过点（－3,0），下列说法：①0<abc ②02=-b a ③024<++c b a ④若),25(),,5(21y y -是抛物线上两点，则21y y >，其中说法正确的是（ ） A .①② B .②③ C . ①②④ D .②③④2．在平面直角坐标系中，直线y ＝kx (k 为常数)与抛物线y ＝13x 2－2交于A ，B 两点，且A 点在y 轴左侧，P 点的坐标为(0，－4)，连接P A ，PB ．有以下说法：①PO 2＝P A ·PB ； ②当k ＞0时，(P A ＋AO )(PB －BO )的值随k 的增大而增大；③当k ＝－33时，BP 2＝BO ·BA ； ④△P AB面积的最小值为46．其中正确的是__ ____．(写出所有正确说法的序号)ABCDEO3．如图，已知抛物线c bx x y ++=2的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C (0，5)．（1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ ，设平行四边形CBPQ 的面积为1S ，△ABN 的面积为2S ，且216S S =，求点P 的坐标．y xO CA B。