二次函数培优专题一(图像与性质)

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二次函数培优专题

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二次函数培优专题一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义- 一般地,形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。

- 例如y = 2x^2+3x - 1,这里a = 2,b = 3,c=-1。

- 题目解析:判断一个函数是否为二次函数,关键看其是否符合y = ax^2+bx + c(a≠0)的形式。

比如y=3x + 2就不是二次函数,因为它不符合二次函数的定义形式,其中x的最高次数是1;而y=(1)/(x^2)也不是二次函数,因为它不是整式函数。

2. 二次函数的图象- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

- 当a>0时,抛物线开口向上;当a < 0时,抛物线开口向下。

- 例如,对于二次函数y = x^2,a = 1>0,其图象开口向上;对于y=-2x^2,a=-2 < 0,其图象开口向下。

- 题目解析:给定二次函数,判断其图象开口方向是常见题型。

如y = 3x^2-2x + 1,因为a = 3>0,所以图象开口向上。

对于二次函数图象开口方向的理解,可以从二次函数的增减性角度来看,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而减小,在对称轴右侧y随x的增大而增大;当a < 0时,在对称轴左侧y随x的增大而增大,在对称轴右侧y随x的增大而减小。

3. 二次函数的对称轴和顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0),其对称轴公式为x =-(b)/(2a),顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如,对于二次函数y = 2x^2-4x + 3,a = 2,b=-4,c = 3。

对称轴x=-(-4)/(2×2)=1,顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1,所以顶点坐标为(1,1)。

二次函数图像与性质培优题及答案

二次函数图像与性质培优题及答案

2016/11/24 14:57:23一.选择题(共10小题)1.一次函数y=ax +b (a ≠0)与二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A .B .C .D .2.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)图象上部分点的坐标(x ,y )对应值列表如下:x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11… 则该函数图象的对称轴是( )A .直线x=﹣3B .直线x=﹣2C .直线x=﹣1D .直线x=0 3.二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么一次函数y=ax +b 的图象大致是( )A .B .C .D .4.已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1(a 是常数,a ≠0),下列结论正确的是( ) A .当a=1时,函数图象过点(﹣1,1) B .当a=﹣2时,函数图象与x 轴没有交点C .若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小D .若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大5.如图,已知二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (﹣1,0),与y 轴的交点B 在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc >0 ②4a +2b +c >0 ③4ac ﹣b 2<8a ④<a <⑤b >c .其中含所有正确结论的选项是( )A .①③B .①③④C .②④⑤D .①③④⑤ 6.抛物线y=x 2+bx +c (其中b ,c 是常数)过点A (2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x ≤3)有交点,则c 的值不可能是( ) A .4 B .6 C .8 D .107.如图是抛物线y=ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n ),且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:①a ﹣b +c >0;②3a +b=0;③b 2=4a (c ﹣n );④一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .48.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a +b=0;(2)9a +c >3b ;(3)8a +7b +2c >0;(4)若点A (﹣3,y 1)、点B (﹣,y 2)、点C (,y 3)在该函数图象上,则y 1<y 3<y 2;(5)若方程a (x +1)(x ﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个9.点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y310.二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为()A.B.2 C.D.二.选择题(共10小题)11.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A 在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=﹣x2+6x上一点,且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为.12.二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为.13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|,则P,Q的大小关系是.14.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D (0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD 为底的等腰三角形,则点P的坐标为.15.a、b、c是实数,点A(a+1、b)、B(a+2,c)在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上,则b、c的大小关系是b c(用“>”或“<”号填空)16.如图,二次函数y=ax2+mc(a≠0)的图象经过正方形ABOC的三个顶点,且ac=﹣2,则m的值为.17.已知二次函数y=x2+(m﹣1)x+1,当x>1时,y 随x的增大而增大,则m的取值范围是.18.抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交,其中一个交点坐标是(p,0).那么该抛物线的顶点坐标是.19.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A,直线AB交x轴正半轴于点B,交抛物线的对称轴于点C,若OB=2OA,则点C的坐标为.20.二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=.三.选择题(共6小题)21.如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B 两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC 的值最小时,求点P的坐标.22.已知平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4,8).(1)求此抛物线和直线的解析式;(2)若点P在线段OA上,过点P 作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值.23.如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.24.如图,直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4(k>0)相交于A、B两点,抛物线的顶点为P.(1)抛物线的对称轴为,顶点坐标为(用含k 的代数式表示).(2)无论k取何值,抛物线总经过定点,这样的定点有几个?试写出所有定点的坐标,是否存在这样一个定点C,使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行?如果不存在,请说明理由;如果存在,求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时,直线PC 的解析式.25.已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点.(1)用含m的代数式来表示顶点M的坐标(直接写出答案);(2)当x≥2时,二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大,求m的取值范围(3)若m=6,当x取值为t﹣1≤x≤t+3时,二次函数y 最小值=2,求t的取值范围.26.如图,已知抛物线y=ax2+x+c经过A(4,0),B (1,0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.四.选择题(共3小题)27.在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x …﹣1 0 1 2 3 …y …8 3 0 ﹣1 0 …求这个二次函数的解析式.28.如图,一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点.(1)利用图中条件,求两个函数的解析式;(2)根据图象写出使y1>y2的x的取值范围.29.如图,抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4).(1)求抛物线的解析式,结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,点D关于直线BC的对称点为点E,求点E的坐标.五.解答题(共1小题)30.已知二次函数y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(﹣3,0),C(0,﹣3)(1)求此二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6,求点P的坐标.(写出详细的解题过程)参考答案与试题解析一.选择题(共10小题) 1.(2016•毕节市)一次函数y=ax +b (a ≠0)与二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A .B .C .D .【解答】解:A 、由抛物线可知,a <0,由直线可知,故本选项错误;B 、由抛物线可知,a >0,x=﹣>0,得b <0,由直线可知,a >0,b >0,故本选项错误; C 、由抛物线可知,a <0,x=﹣<0,得b <0,由直线可知,a <0,b <0,故本选项正确; D 、由抛物线可知,a <0,x=﹣<0,得b <0,由直线可知,a <0,b >0故本选项错误.故选C . 2.(2016•衢州)二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)图象上部分点的坐标(x ,y )对应值列表如下:x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11… 则该函数图象的对称轴是( )A .直线x=﹣3B .直线x=﹣2C .直线x=﹣1D .直线x=0【解答】解:∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等, ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2. 故选:B . 3.(2016•泰安)二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么一次函数y=ax +b 的图象大致是( )A .B .C .D .【解答】解:∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上, ∴a >0,∵对称轴在y 轴的左侧, ∴b >0,∴一次函数y=ax +b 的图象经过一,二,三象限. 故选A . 4.(2016•宁波)已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1(a 是常数,a ≠0),下列结论正确的是( )A .当a=1时,函数图象过点(﹣1,1)B .当a=﹣2时,函数图象与x 轴没有交点C .若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小D .若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大 【解答】解:A 、∵当a=1,x=﹣1时,y=1+2﹣1=2,∴函数图象不经过点(﹣1,1),故错误; B 、当a=﹣2时,∵△=42﹣4×(﹣2)×(﹣1)=8>0,∴函数图象与x 轴有两个交点,故错误; C 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而增大,故错误; D 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大,故正确; 故选D . 5.(2016•达州)如图,已知二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (﹣1,0),与y 轴的交点B 在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc >0 ②4a +2b +c >0 ③4ac ﹣b 2<8a ④<a <⑤b >c .其中含所有正确结论的选项是( )A .①③B .①③④C .②④⑤D .①③④⑤【解答】解:①∵函数开口方向向上, ∴a >0;∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号,∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴, ∴c <0,∴abc>0,故①正确;②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,故②错误;③∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),∴当x=﹣1时,y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0,∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c ,c=b﹣a,∵对称轴为直线x=1∴=1,即b=﹣2a,∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a,∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2<0∵8a>0∴4ac﹣b2<8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,∴﹣2<c<﹣1∴﹣2<﹣3a <﹣1,∴>a>;故④正确⑤∵a>0,∴b﹣c>0,即b>c;故⑤正确;故选:D.6.(2016•绍兴)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是()A.4 B.6 C.8 D.10【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,∴解得6≤c≤14,故选A.7.(2016•孝感)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:①a﹣b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c﹣n);④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间.∴当x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c >0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,∴3a+b=3a﹣2a=a,所以②错误;∵抛物线的顶点坐标为(1,n),∴=n,∴b2=4ac﹣4an=4a(c﹣n),所以③正确;∵抛物线与直线y=n有一个公共点,∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点,∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根,所以④正确.故选C.8.(2016•随州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A (﹣3,y1)、点B (﹣,y2)、点C (,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D .5个【解答】解:(1)正确.∵﹣=2,∴4a+b=0.故正确.(2)错误.∵x=﹣3时,y<0,∴9a﹣3b+c<0,∴9a+c<3b,故(2)错误.(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),∴解得,∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,∵a<0,∴8a+7b=2c>0,故(3)正确.(4)错误,∵点A(﹣3,y1)、点B (﹣,y2)、点C (,y3),∵﹣2=,2﹣(﹣)=,∴<∴点C离对称轴的距离近,∴y3>y2,∵a<0,﹣3<﹣<2,∴y1<y2∴y1<y2<y3,故(4)错误.(5)正确.∵a<0,∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0,即(x+1)(x﹣5)>0,故x<﹣1或x>5,故(5)正确.∴正确的有三个,故选B.9.(2016•兰州)点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y3【解答】解:∵y=﹣x2+2x+c,∴对称轴为x=1,P2(3,y2),P3(5,y3)在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,∵3<5,∴y2>y3,根据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,故y1=y2>y3,故选D.10.(2016•舟山)二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x ≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为()A.B.2 C.D.【解答】解:二次函数y=﹣(x﹣1)2+5的大致图象如下:.①当m≤0≤x≤n<1时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,解得:m=﹣2.当x=n时y取最大值,即2n=﹣(n﹣1)2+5,解得:n=2或n=﹣2(均不合题意,舍去);②当m≤0≤x≤1≤n时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,解得:m=﹣2.当x=1时y取最大值,即2n=﹣(1﹣1)2+5,解得:n=,所以m+n=﹣2+=.故选:D.二.选择题(共10小题)11.(2016•长春)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=﹣x2+6x上一点,且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为15.【解答】解:∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点,∴设D(x,﹣x2+6x),∵顶点C的坐标为(4,3),∴OC==5,∵四边形OABC是菱形,∴BC=OC=5,BC∥x轴,∴S△BCD=×5×(﹣x2+6x﹣3)=﹣(x﹣3)2+15,∵﹣<0,∴S△BCD有最大值,最大值为15,故答案为15.12.(2016•泰州)二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为(1+,3)或(2,﹣3).【解答】解:∵△ABC是等边三角形,且AB=2,∴AB边上的高为3,又∵点C在二次函数图象上,∴C的纵坐标为±3,令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3,∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上,∴x>0,∴x=1+或x=2∴C(1+,3)或(2,﹣3)故答案为:(1+,3)或(2,﹣3)13.(2016•内江)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|,则P,Q的大小关系是P>Q.【解答】解:∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵﹣>0,∴b>0,∴2a﹣b<0,∵﹣=1,∴b+2a=0,x=﹣1时,y=a﹣b+c<0.∴﹣b﹣b+c<0,∴3b﹣2c>0,∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴3b+2c>0,∴p=3b﹣2c,Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c,∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b<0∴P>Q,故答案为:P>Q.14.(2016•梅州)如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为(1+,2)或(1﹣,2).【解答】解:∵△PCD是以CD为底的等腰三角形,∴点P在线段CD的垂直平分线上,如图,过P作PE⊥y轴于点E,则E为线段CD的中点,∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,∴C(0,3),且D(0,1),∴E点坐标为(0,2),∴P点纵坐标为2,在y=﹣x2+2x+3中,令y=2,可得﹣x2+2x+3=2,解得x=1±,∴P点坐标为(1+,2)或(1﹣,2),故答案为:(1+,2)或(1﹣,2).15.(2016•镇江)a、b、c是实数,点A(a+1、b)、B(a+2,c)在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上,则b、c的大小关系是b<c(用“>”或“<”号填空)【解答】解:∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a,二次项系数1>0,∴抛物线的开口向上,在对称轴的右边,y随x的增大而增大,∵a+1<a+2,点A(a+1、b)、B(a+2,c)在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上,∴b<c,故答案为:<.16.(2016•绵阳校级自主招生)如图,二次函数y=ax2+mc(a≠0)的图象经过正方形ABOC的三个顶点,且ac=﹣2,则m的值为1.【解答】解:连接BC,如图,根据题意得A(0,mc),即OA=mc,∵四边形ABCD为正方形,∴OA=BC,OA与BC互相垂直平分,∴C点坐标为(,),把C(,)代入y=ax2+mc得a•()2+mc=,整理得amc=﹣2,∵ac=﹣2,∴m=1.故答案为1.17.(2016•新县校级模拟)已知二次函数y=x2+(m﹣1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m 的取值范围是m≥﹣1.【解答】解:抛物线的对称轴为直线x=﹣=,∵当x>1时,y的值随x值的增大而增大,∴≤1,解得:m≥﹣1.故答案为:m≥﹣1.18.(2016•同安区一模)抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交,其中一个交点坐标是(p,0).那么该抛物线的顶点坐标是(,﹣).【解答】解:将(p,0)代入得:p2﹣p+p=0,p2=0,p=0,则y=x2﹣x=x2﹣x+﹣=(x﹣)2﹣,∴顶点坐标为(,﹣).19.(2016•宽城区一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A,直线AB交x轴正半轴于点B,交抛物线的对称轴于点C,若OB=2OA,则点C的坐标为(1,).【解答】解:由抛物线y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1可知A (0,2),对称轴为x=1,∴OA=2,∵OB=2OA,∴B(4,0),设直线AB的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴直线AB为y=﹣x+2,当x=1时,y=,∴C(1,).20.(2016•闸北区二模)二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=1.【解答】解:∵y=x2﹣2x+b=x2﹣2x+1+b﹣1=(x+1)2+b﹣1故对称轴是直线x=1.故答案为:1.三.选择题(共6小题)21.(2016•宁波)如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x 轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC 的值最小时,求点P的坐标.【解答】解:(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=﹣x2+mx+3得:0=﹣32+3m+3,解得:m=2,∴y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点坐标为:(1,4).(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC 的值最小,设直线BC的解析式为:y=kx+b,∵点C(0,3),点B(3,0),∴,解得:,∴直线BC的解析式为:y=﹣x+3,当x=1时,y=﹣1+3=2,∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为:(1,2).22.(2016•封开县二模)已知平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣(a +1)x与直线y=kx的一个公共点为A (4,8).(1)求此抛物线和直线的解析式;(2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值.【解答】解:(1)由题意,可得8=16a﹣4(a+1)及8=4k,解得a=1,k=2,所以,抛物线的解析式为y=x2﹣2x,直线的解析式为y=2x.(2)设点P的坐标为(t,2t)(0≤t≤4),可得点Q的坐标为(t,t2﹣2t),则PQ=2t﹣(t2﹣2t)=4t﹣t2=﹣(t﹣2)2+4,所以,当t=2时,PQ的长度取得最大值为4.23.(2016•安徽)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.【解答】解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得,解得:;(2)如图,过A作x轴的垂直,垂足为D(2,0),连接CD,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F,S△OAD=OD•AD=×2×4=4;S△ACD=AD•CE=×4×(x﹣2)=2x﹣4;S△BCD=BD•CF=×4×(﹣x2+3x)=﹣x2+6x,则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x(2<x<6),∵S=﹣x2+8x=﹣(x﹣4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.24.(2016•江西模拟)如图,直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4(k>0)相交于A、B两点,抛物线的顶点为P.(1)抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,﹣k﹣4)(用含k的代数式表示).(2)无论k取何值,抛物线总经过定点,这样的定点有几个?试写出所有定点的坐标,是否存在这样一个定点C,使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行?如果不存在,请说明理由;如果存在,求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时,直线PC 的解析式.【解答】解:(1)∵抛物线y=kx2﹣2kx﹣4(k>0),∴对称轴为直线x=﹣=1,当x=1时,y=k﹣2k﹣4=﹣k﹣4,∴顶点P为(1,﹣k﹣4),故答案为直线x=1,(1,﹣k﹣4);(2)由y=kx2﹣2kx﹣4=k(x﹣2)x﹣4可知,无论k取何值,抛物线总经过定点(0,﹣4)和(2,﹣4)两个点,∵交点Q与点P关于x轴对称,∴Q(1,k+4),∵直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点为Q,∴k+4=k+2k﹣1,解得k=,∴P(1,﹣),∵线PC与直线y=kx+2k﹣1平行,∴设直线PC的解析式为y=x+b,代入P(1,﹣)得﹣=+b,解得b=﹣9,∴直线PC的解析式为y=x﹣9.故存在定点C,使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行,直线PC的解析式为y=x﹣9.25.(2016•萧山区模拟)已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点.(1)用含m的代数式来表示顶点M的坐标(直接写出答案);(2)当x≥2时,二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大,求m的取值范围(3)若m=6,当x取值为t﹣1≤x≤t+3时,二次函数y 最小值=2,求t的取值范围.【解答】解:(1)由,解得,即交点M坐标为;(2)∵二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点为,且当x≥2时,二次函数y=x2+px+q与y=x +的值均随x的增大而增大,∴≤2,解得m ≤,∴m的取值范围为m≤;(3)∵m=6,∴顶点为(3,2),∴抛物线为y=(x﹣3)2+2,∴函数y有最小值为2,∵当x取值为t﹣1≤x≤t+3时,二次函数y最小值=2,∴t﹣1≤3,t+3≥3,解得0≤t≤4.26.(2016•湘潭一模)如图,已知抛物线y=ax2+x+c 经过A(4,0),B(1,0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)把A(4,0),B(1,0)代入抛物线的解析式得:,解得:,则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2;(2)存在,理由如下:设D的横坐标为t(0<t<4),则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2,过D作y轴的平行线交AC于E,连接CD ,AD,如图所示,由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2,∴E点的坐标为(t,t ﹣2),∴DE=﹣t2+t﹣2﹣(t﹣2)=﹣t 2+2t ,∴△DAC的面积S=×(﹣t2+2t)×4=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4,当t=2时,S最大=4,∴此时D(2,1),△DAC面积的最大值为4.四.选择题(共3小题)27.(2016秋•宁县校级期中)在二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x …﹣1 0 1 2 3 …y …8 3 0 ﹣1 0 …求这个二次函数的解析式.【解答】解:根据题意得,解得:,则二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3.28.(2016秋•丹江口市校级月考)如图,一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点.(1)利用图中条件,求两个函数的解析式;(2)根据图象写出使y1>y2的x的取值范围.1111【解答】解:(1)由图象可知:B(2,4)在二次函数y2=ax2上,∴4=a×22,∴a=1,则二次函数y2=x2,又A(﹣1,n)在二次函数y2=x2上,∴n=(﹣1)2,∴n=1,则A(﹣1,1),又A、B 两点在一次函数y1=kx +b上,∴,解得:,则一次函数y1=x+2,答:一次函数y1=x+2,二次函数y2=x2;(2)根据图象可知:当﹣1<x<2时,y1>y2.29.(2016春•江阴市校级月考)如图,抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4).(1)求抛物线的解析式,结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,点D关于直线BC的对称点为点E,求点E的坐标.【解答】解:(1)将C(0,4)代入y=ax2+bx ﹣4a中得a=﹣1又∵对称轴为直线x=,∴,得b=3.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4,∵y=﹣x2+3x+4=﹣(x ﹣)2+.∴顶点坐标为:(,),∴当0≤x ≤4时y的取值范围是0≤y≤.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=﹣m2+3m+4,解得:m=﹣1,或m=3;∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).又∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3.当y=﹣x2+3x+4=0时,解得:x=﹣1,或x=4,∴B(4,0);当x=0时,y=4,∴C(0,4),∴OB=OC=4,∴∠OCB=∠DCB=45°,∴点E在y轴上,且CE=CD=3,∴OE=1.即点E的坐标为(0,1).五.解答题(共1小题)30.(2016秋•临沭县校级月考)已知二次函数y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(﹣3,0),C(0,﹣3)(1)求此二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在一点P使△ABP 的面积为6,求点P的坐标.(写出详细的解题过程)【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x+3),把C(0,﹣3)代入得a×(﹣1)×3=﹣3,解得a=1,所以这个二次函数的解析式为y=(x﹣1)(x+3)=x2+2x ﹣3.(2)∵A(1,0),B(﹣3,0),∴AB=4,设P(m,n),∵△ABP的面积为6,∴AB•|n|=6,解得:n=±3,当n=3时,m2+2m﹣3=3,解得:m=﹣1+或﹣1﹣,1212∴P(﹣1+,3)或P(﹣1﹣,3);当n=﹣3时,m2+2m﹣3=﹣5,解得m=0或m=﹣2,∴P(0,﹣3)或P(﹣2,﹣3);故P(﹣1+,3)或P(﹣1﹣,3)或(0,﹣3)或P(﹣2,﹣3).1313。

人教版九上数学二次函数的解析式、图象和性质(培优专题)

人教版九上数学二次函数的解析式、图象和性质(培优专题)

二次函数的解析式、图象和性质(培优专题)典例剖析类型一用待定系数法求二次函数的解析式例 1 的图象经过两点,且以二次函数的解析式【变式题组】1.已知抛物线的顶点为C,与x轴相交于点A,B两点(点A在点B的左侧),点C关于x,我们称以A,对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线的“梦之星”抛物线,直线为抛物线的“梦之星”直线。

若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是和,则这条抛物线的解析式为。

2.用描点法画二次函数的图象时,列了如下表格:根据表格上的信息回答问题:该二次函数在x=3时,y= 。

类型二二次函数与几何变换例2 在平面直角坐标系中,将抛物线绕着它与y轴的交点旋转,所得抛物线的解析式是。

例3 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为,则()【变式题组】3.将抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为。

4. 矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为,再次平移透明纸,使这个点与点C重合,则该抛物线的函数表达式变为。

标为(2,b);⑤当x<2时,y随x增大而增大。

其中结论正确的是___.(填上正确的结论序号)【变式题组】A.1个B.2个C.3个D.4个类型四二次函数与直线使四边形BDFE是平行四边形?如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由。

【变式题组】A.1个B.2个C.3个D.4个大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由。

类型五二次函数与几何图形的综合应用秒。

过点P作PE⊥AB交AC于点E.(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.11. 已知:如图,在四边形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,−1),B(3,−1),动点P从点O Q,设点P移动的时间t秒(0<t<2),△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.课后训练:C13,若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=___.求点P的坐标。

二次函数图像的性质与解析

二次函数图像的性质与解析

二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义:一般地,形如y=ax^2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。

2.二次函数的标准形式:y=a(x-h)2+k,其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线,a为抛物线的开口方向和大小,h、k为顶点坐标。

二、二次函数图像的性质1.开口方向:由a的符号决定,a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。

2.对称性:二次函数图像关于y轴对称,即若点(x,y)在图像上,则点(-x,y)也在图像上。

3.顶点:二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点,顶点式y=a(x-h)^2+k中,(h,k)为顶点坐标。

4.轴:二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根,与y轴的交点为c/a。

5.增减性:当a>0时,二次函数图像在顶点左侧单调递减,在顶点右侧单调递增;当a<0时,二次函数图像在顶点左侧单调递增,在顶点右侧单调递减。

三、二次函数图像的解析1.求顶点:根据顶点式y=a(x-h)^2+k,直接得出顶点坐标为(h,k)。

2.求对称轴:对称轴为x=h。

3.求开口大小:开口大小由a的绝对值决定,绝对值越大,开口越大。

4.求与坐标轴的交点:与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根,与y轴的交点为c/a。

5.判断增减性:根据a的符号,判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。

四、二次函数图像的应用1.实际问题:利用二次函数图像解决实际问题,如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。

2.几何问题:利用二次函数图像研究几何图形的性质,如求解三角形面积、距离等问题。

3.物理问题:利用二次函数图像研究物理现象,如抛物线运动、振动等。

五、二次函数图像的变换1.横向变换:对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换,如向左平移h个单位,得到y=a(x+h)2+k;向右平移h个单位,得到y=a(x-h)^2+k。

二次函数图像与性质培优题及答案

二次函数图像与性质培优题及答案

2016/11/24 14:57:23一.选择题(共10小题)1.一次函数y=ax +b (a ≠0)与二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A .B .C .D .2.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)图象上部分点的坐标(x ,y )对应值列表如下:x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11… 则该函数图象的对称轴是( )A .直线x=﹣3B .直线x=﹣2C .直线x=﹣1D .直线x=03.二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么一次函数y=ax +b 的图象大致是( )A .B .C .D .4.已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1(a 是常数,a ≠0),下列结论正确的是( )A .当a=1时,函数图象过点(﹣1,1)B .当a=﹣2时,函数图象与x 轴没有交点C .若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小D .若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大5.如图,已知二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (﹣1,0),与y 轴的交点B 在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc >0 ②4a +2b +c >0 ③4ac ﹣b 2<8a ④<a <⑤b >c .其中含所有正确结论的选项是( )A .①③B .①③④C .②④⑤D .①③④⑤ 6.抛物线y=x 2+bx +c (其中b ,c 是常数)过点A (2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x ≤3)有交点,则c 的值不可能是( ) A .4 B .6 C .8 D .107.如图是抛物线y=ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n ),且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:①a ﹣b +c >0;②3a +b=0;③b 2=4a (c ﹣n );④一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .48.二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a +b=0;(2)9a +c >3b ;(3)8a +7b +2c >0;(4)若点A (﹣3,y 1)、点B (﹣,y 2)、点C (,y 3)在该函数图象上,则y 1<y 3<y 2;(5)若方程a (x +1)(x ﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个9.点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y310.二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为()A .B.2 C .D .二.选择题(共10小题)11.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A 在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=﹣x2+6x上一点,且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为.12.二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为.13.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|,则P,Q的大小关系是.14.如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D (0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD 为底的等腰三角形,则点P的坐标为.15.a、b、c是实数,点A(a+1、b)、B(a+2,c)在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上,则b、c的大小关系是b c(用“>”或“<”号填空)16.如图,二次函数y=ax2+mc(a≠0)的图象经过正方形ABOC的三个顶点,且ac=﹣2,则m的值为.17.已知二次函数y=x2+(m﹣1)x+1,当x>1时,y 随x的增大而增大,则m的取值范围是.18.抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交,其中一个交点坐标是(p,0).那么该抛物线的顶点坐标是.19.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A,直线AB交x轴正半轴于点B,交抛物线的对称轴于点C,若OB=2OA,则点C的坐标为.20.二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=.三.选择题(共6小题)21.如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A,B 两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC 的值最小时,求点P的坐标.22.已知平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4,8).(1)求此抛物线和直线的解析式;(2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值.23.如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.24.如图,直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4(k>0)相交于A、B两点,抛物线的顶点为P.(1)抛物线的对称轴为,顶点坐标为(用含k 的代数式表示).(2)无论k 取何值,抛物线总经过定点,这样的定点有几个?试写出所有定点的坐标,是否存在这样一个定点C,使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行?如果不存在,请说明理由;如果存在,求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时,直线PC 的解析式.25.已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点.(1)用含m的代数式来表示顶点M的坐标(直接写出答案);(2)当x≥2时,二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大,求m的取值范围(3)若m=6,当x取值为t﹣1≤x≤t+3时,二次函数y 最小值=2,求t的取值范围.26.如图,已知抛物线y=ax2+x+c经过A(4,0),B (1,0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.四.选择题(共3小题)27.在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x …﹣1 0 1 2 3 …y …8 3 0 ﹣1 0 …求这个二次函数的解析式.28.如图,一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点.(1)利用图中条件,求两个函数的解析式;(2)根据图象写出使y1>y2的x的取值范围.29.如图,抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4).(1)求抛物线的解析式,结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,点D关于直线BC的对称点为点E,求点E的坐标.五.解答题(共1小题)30.已知二次函数y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(﹣3,0),C(0,﹣3)(1)求此二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6,求点P的坐标.(写出详细的解题过程)参考答案与试题解析一.选择题(共10小题) 1.(2016•毕节市)一次函数y=ax +b (a ≠0)与二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A .B .C .D .【解答】解:A 、由抛物线可知,a <0,由直线可知,故本选项错误;B 、由抛物线可知,a >0,x=﹣>0,得b <0,由直线可知,a >0,b >0,故本选项错误; C 、由抛物线可知,a <0,x=﹣<0,得b <0,由直线可知,a <0,b <0,故本选项正确; D 、由抛物线可知,a <0,x=﹣<0,得b <0,由直线可知,a <0,b >0故本选项错误.故选C .2.(2016•衢州)二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)图象上部分点的坐标(x ,y )对应值列表如下:x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11… 则该函数图象的对称轴是( )A .直线x=﹣3B .直线x=﹣2C .直线x=﹣1D .直线x=0【解答】解:∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等, ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2. 故选:B . 3.(2016•泰安)二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么一次函数y=ax +b 的图象大致是( )A .B .C .D .【解答】解:∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上, ∴a >0,∵对称轴在y 轴的左侧, ∴b >0,∴一次函数y=ax +b 的图象经过一,二,三象限. 故选A .4.(2016•宁波)已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1(a 是常数,a ≠0),下列结论正确的是( )A .当a=1时,函数图象过点(﹣1,1)B .当a=﹣2时,函数图象与x 轴没有交点C .若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而减小D .若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大 【解答】解:A 、∵当a=1,x=﹣1时,y=1+2﹣1=2,∴函数图象不经过点(﹣1,1),故错误;B 、当a=﹣2时,∵△=42﹣4×(﹣2)×(﹣1)=8>0,∴函数图象与x 轴有两个交点,故错误;C 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a >0,则当x ≥1时,y 随x 的增大而增大,故错误; D 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,∴若a <0,则当x ≤1时,y 随x 的增大而增大,故正确; 故选D . 5.(2016•达州)如图,已知二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (﹣1,0),与y 轴的交点B 在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc >0 ②4a +2b +c >0 ③4ac ﹣b 2<8a ④<a <⑤b >c .其中含所有正确结论的选项是( )A .①③B .①③④C .②④⑤D .①③④⑤【解答】解:①∵函数开口方向向上, ∴a >0;∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号,∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴, ∴c <0,∴abc>0,故①正确;②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,故②错误;③∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),∴当x=﹣1时,y=(﹣1)2a+b×(﹣1)+c=0,∴a﹣b+c=0,即a=b﹣c,c=b﹣a,∵对称轴为直线x=1∴=1,即b=﹣2a,∴c=b﹣a=(﹣2a)﹣a=﹣3a,∴4ac﹣b2=4•a•(﹣3a)﹣(﹣2a)2=﹣16a2<0∵8a>0∴4ac﹣b2<8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,∴﹣2<c<﹣1∴﹣2<﹣3a<﹣1,∴>a >;故④正确⑤∵a>0,∴b﹣c>0,即b>c;故⑤正确;故选:D.6.(2016•绍兴)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是()A.4 B.6 C.8 D.10【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,∴解得6≤c≤14,故选A.7.(2016•孝感)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:①a﹣b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c﹣n);④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间.∴当x=﹣1时,y>0,即a﹣b+c>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,∴3a+b=3a﹣2a=a,所以②错误;∵抛物线的顶点坐标为(1,n),∴=n,∴b2=4ac﹣4an=4a(c﹣n),所以③正确;∵抛物线与直线y=n有一个公共点,∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点,∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根,所以④正确.故选C.8.(2016•随州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B (﹣,y2)、点C (,y3)在该函数图象上,则y1<y3<y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<﹣1<5<x2.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个【解答】解:(1)正确.∵﹣=2,∴4a+b=0.故正确.(2)错误.∵x=﹣3时,y<0,∴9a﹣3b+c<0,∴9a+c<3b,故(2)错误.(3)正确.由图象可知抛物线经过(﹣1,0)和(5,0),∴解得,∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,∵a<0,∴8a+7b=2c>0,故(3)正确.(4)错误,∵点A(﹣3,y1)、点B (﹣,y2)、点C (,y3),∵﹣2=,2﹣(﹣)=,∴<∴点C离对称轴的距离近,∴y3>y2,∵a<0,﹣3<﹣<2,∴y1<y2∴y1<y2<y3,故(4)错误.(5)正确.∵a<0,∴(x+1)(x﹣5)=﹣3/a>0,即(x+1)(x﹣5)>0,故x<﹣1或x>5,故(5)正确.∴正确的有三个,故选B.9.(2016•兰州)点P1(﹣1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y3【解答】解:∵y=﹣x2+2x+c,∴对称轴为x=1,P2(3,y2),P3(5,y3)在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,∵3<5,∴y2>y3,根据二次函数图象的对称性可知,P1(﹣1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称,故y1=y2>y3,故选D.10.(2016•舟山)二次函数y=﹣(x﹣1)2+5,当m≤x ≤n且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为()A .B.2 C .D .【解答】解:二次函数y=﹣(x﹣1)2+5的大致图象如下:.①当m≤0≤x≤n<1时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,解得:m=﹣2.当x=n时y取最大值,即2n=﹣(n﹣1)2+5,解得:n=2或n=﹣2(均不合题意,舍去);②当m≤0≤x≤1≤n时,当x=m时y取最小值,即2m=﹣(m﹣1)2+5,解得:m=﹣2.当x=1时y取最大值,即2n=﹣(1﹣1)2+5,解得:n=,所以m+n=﹣2+=.故选:D.二.选择题(共10小题)11.(2016•长春)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线y=﹣x2+6x上一点,且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为15.【解答】解:∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点,∴设D(x,﹣x2+6x),∵顶点C的坐标为(4,3),∴OC==5,∵四边形OABC是菱形,∴BC=OC=5,BC∥x轴,∴S△BCD=×5×(﹣x 2+6x﹣3)=﹣(x﹣3)2+15,∵﹣<0,∴S△BCD有最大值,最大值为15,故答案为15.12.(2016•泰州)二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为(1+,3)或(2,﹣3).【解答】解:∵△ABC是等边三角形,且AB=2,∴AB边上的高为3,又∵点C在二次函数图象上,∴C的纵坐标为±3,令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3,∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上,∴x>0,∴x=1+或x=2∴C(1+,3)或(2,﹣3)故答案为:(1+,3)或(2,﹣3)13.(2016•内江)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,且P=|2a+b|+|3b﹣2c|,Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|,则P,Q的大小关系是P>Q.【解答】解:∵抛物线的开口向下,∴a<0,∵﹣>0,∴b>0,∴2a﹣b<0,∵﹣=1,∴b+2a=0,x=﹣1时,y=a﹣b+c<0.∴﹣b﹣b+c<0,∴3b﹣2c>0,∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴3b+2c>0,∴p=3b﹣2c,Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c,∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b<0∴P>Q,故答案为:P>Q.14.(2016•梅州)如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为(1+,2)或(1﹣,2).【解答】解:∵△PCD是以CD为底的等腰三角形,∴点P在线段CD的垂直平分线上,如图,过P作PE⊥y轴于点E,则E为线段CD的中点,∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C,∴C(0,3),且D(0,1),∴E点坐标为(0,2),∴P点纵坐标为2,在y=﹣x2+2x+3中,令y=2,可得﹣x2+2x+3=2,解得x=1±,∴P点坐标为(1+,2)或(1﹣,2),故答案为:(1+,2)或(1﹣,2).15.(2016•镇江)a、b、c是实数,点A(a+1、b)、B (a+2,c)在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上,则b、c 的大小关系是b<c(用“>”或“<”号填空)【解答】解:∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a,二次项系数1>0,∴抛物线的开口向上,在对称轴的右边,y随x的增大而增大,∵a+1<a+2,点A(a+1、b)、B(a+2,c)在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上,∴b<c,故答案为:<.16.(2016•绵阳校级自主招生)如图,二次函数y=ax2+mc (a≠0)的图象经过正方形ABOC的三个顶点,且ac=﹣2,则m的值为1.【解答】解:连接BC,如图,根据题意得A(0,mc),即OA=mc,∵四边形ABCD为正方形,∴OA=BC,OA与BC互相垂直平分,∴C 点坐标为(,),把C (,)代入y=ax2+mc得a•()2+mc=,整理得amc=﹣2,∵ac=﹣2,∴m=1.故答案为1.17.(2016•新县校级模拟)已知二次函数y=x2+(m﹣1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是m≥﹣1.【解答】解:抛物线的对称轴为直线x=﹣=,∵当x>1时,y的值随x值的增大而增大,∴≤1,解得:m≥﹣1.故答案为:m≥﹣1.18.(2016•同安区一模)抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交,其中一个交点坐标是(p,0).那么该抛物线的顶点坐标是(,﹣).【解答】解:将(p,0)代入得:p2﹣p+p=0,p2=0,p=0,则y=x2﹣x=x2﹣x+﹣=(x﹣)2﹣,∴顶点坐标为(,﹣).19.(2016•宽城区一模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A,直线AB交x轴正半轴于点B,交抛物线的对称轴于点C,若OB=2OA,则点C的坐标为(1,).【解答】解:由抛物线y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1可知A (0,2),对称轴为x=1,∴OA=2,∵OB=2OA,∴B(4,0),设直线AB的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴直线AB为y=﹣x+2,当x=1时,y=,∴C(1,).20.(2016•闸北区二模)二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=1.【解答】解:∵y=x2﹣2x+b=x2﹣2x+1+b﹣1=(x+1)2+b﹣1故对称轴是直线x=1.故答案为:1.三.选择题(共6小题)21.(2016•宁波)如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x 轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0)(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC 的值最小时,求点P的坐标.【解答】解:(1)把点B的坐标为(3,0)代入抛物线y=﹣x2+mx+3得:0=﹣32+3m+3,解得:m=2,∴y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点坐标为:(1,4).(2)连接BC交抛物线对称轴l于点P,则此时PA+PC 的值最小,设直线BC的解析式为:y=kx+b,∵点C(0,3),点B(3,0),∴,解得:,∴直线BC的解析式为:y=﹣x+3,当x=1时,y=﹣1+3=2,∴当PA+PC的值最小时,点P的坐标为:(1,2).22.(2016•封开县二模)已知平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A (4,8).(1)求此抛物线和直线的解析式;(2)若点P在线段OA上,过点P作y轴的平行线交(1)中抛物线于点Q,求线段PQ长度的最大值.【解答】解:(1)由题意,可得8=16a﹣4(a+1)及8=4k,解得a=1,k=2,所以,抛物线的解析式为y=x2﹣2x,直线的解析式为y=2x.(2)设点P的坐标为(t,2t)(0≤t≤4),可得点Q的坐标为(t,t2﹣2t),则PQ=2t﹣(t2﹣2t)=4t﹣t2=﹣(t﹣2)2+4,所以,当t=2时,PQ的长度取得最大值为4.23.(2016•安徽)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;(2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.【解答】解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得,解得:;(2)如图,过A作x轴的垂直,垂足为D(2,0),连接CD,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F,S△OAD =OD•AD=×2×4=4;S△ACD =AD•CE=×4×(x﹣2)=2x﹣4;S△BCD =BD•CF=×4×(﹣x2+3x)=﹣x2+6x,则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x(2<x<6),∵S=﹣x2+8x=﹣(x﹣4)2+16,∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.24.(2016•江西模拟)如图,直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4(k>0)相交于A、B两点,抛物线的顶点为P.(1)抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,﹣k﹣4)(用含k的代数式表示).(2)无论k取何值,抛物线总经过定点,这样的定点有几个?试写出所有定点的坐标,是否存在这样一个定点C,使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行?如果不存在,请说明理由;如果存在,求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时,直线PC 的解析式.【解答】解:(1)∵抛物线y=kx2﹣2kx﹣4(k>0),∴对称轴为直线x=﹣=1,当x=1时,y=k﹣2k﹣4=﹣k﹣4,∴顶点P为(1,﹣k﹣4),故答案为直线x=1,(1,﹣k﹣4);(2)由y=kx2﹣2kx﹣4=k(x﹣2)x﹣4可知,无论k取何值,抛物线总经过定点(0,﹣4)和(2,﹣4)两个点,∵交点Q与点P 关于x轴对称,∴Q(1,k+4),∵直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点为Q,∴k+4=k+2k ﹣1,解得k=,∴P(1,﹣),∵线PC与直线y=kx+2k ﹣1平行,∴设直线PC的解析式为y=x+b,代入P(1,﹣)得﹣=+b,解得b=﹣9,∴直线PC的解析式为y=x﹣9.故存在定点C,使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行,直线PC的解析式为y=x﹣9.25.(2016•萧山区模拟)已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x +与y=﹣x+m﹣1的交点.(1)用含m的代数式来表示顶点M的坐标(直接写出答案);(2)当x≥2时,二次函数y=x2+px+q与y=x +的值均随x的增大而增大,求m的取值范围(3)若m=6,当x取值为t﹣1≤x≤t+3时,二次函数y 最小值=2,求t的取值范围.【解答】解:(1)由,解得,即交点M 坐标为;(2)∵二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x +与y=﹣x+m﹣1的交点为,且当x≥2时,二次函数y=x2+px+q与y=x +的值均随x的增大而增大,∴≤2,解得m ≤,∴m的取值范围为m ≤;(3)∵m=6,∴顶点为(3,2),∴抛物线为y=(x﹣3)2+2,∴函数y有最小值为2,∵当x取值为t﹣1≤x≤t+3时,二次函数y最小值=2,∴t﹣1≤3,t+3≥3,解得0≤t≤4.26.(2016•湘潭一模)如图,已知抛物线y=ax2+x+c 经过A(4,0),B(1,0)两点,(1)求该抛物线的解析式;(2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?若存在,求出点D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)把A(4,0),B(1,0)代入抛物线的解析式得:,解得:,则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2;(2)存在,理由如下:设D的横坐标为t(0<t<4),则D 点的纵坐标为﹣t2+t﹣2,过D作y轴的平行线交AC于E,连接CD,AD,如图所示,由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2,∴E点的坐标为(t ,t﹣2),∴DE=﹣t2+t﹣2﹣(t﹣2)=﹣t2+2t,∴△DAC的面积S=×(﹣t2+2t)×4=﹣t2+4t=﹣(t﹣2)2+4,当t=2时,S最大=4,∴此时D(2,1),△DAC面积的最大值为4.四.选择题(共3小题)27.(2016秋•宁县校级期中)在二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中,函数y与自变量x的部分对应值如表:x …﹣1 0 1 2 3 …y …8 3 0 ﹣1 0 …求这个二次函数的解析式.【解答】解:根据题意得,解得:,则二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3.28.(2016秋•丹江口市校级月考)如图,一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点.(1)利用图中条件,求两个函数的解析式;(2)根据图象写出使y1>y2的x的取值范围.【解答】解:(1)由图象可知:B(2,4)在二次函数y2=ax2上,∴4=a×22,∴a=1,则二次函数y2=x2,又A(﹣1,n)在二次函数y2=x2上,∴n=(﹣1)2,∴n=1,则A(﹣1,1),又A、B两点在一次函数y1=kx+b上,∴,解得:,则一次函数y1=x+2,答:一次函数y1=x+2,二次函数y2=x2;(2)根据图象可知:当﹣1<x<2时,y1>y2.29.(2016春•江阴市校级月考)如图,抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=,与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4).(1)求抛物线的解析式,结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,点D关于直线BC的对称点为点E,求点E的坐标.【解答】解:(1)将C(0,4)代入y=ax2+bx﹣4a中得a=﹣1又∵对称轴为直线x=,∴,得b=3.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4,∵y=﹣x2+3x+4=﹣(x ﹣)2+.∴顶点坐标为:(,),∴当0≤x≤4时y的取值范围是0≤y ≤.(2)∵点D(m,m+1)在抛物线上,∴m+1=﹣m2+3m+4,解得:m=﹣1,或m=3;∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,4).又∵C(0,4),∴CD∥AB,且CD=3.当y=﹣x2+3x+4=0时,解得:x=﹣1,或x=4,∴B(4,0);当x=0时,y=4,∴C(0,4),∴OB=OC=4,∴∠OCB=∠DCB=45°,∴点E在y轴上,且CE=CD=3,∴OE=1.即点E的坐标为(0,1).五.解答题(共1小题)30.(2016秋•临沭县校级月考)已知二次函数y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(﹣3,0),C(0,﹣3)(1)求此二次函数的解析式;(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6,求点P的坐标.(写出详细的解题过程)【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x+3),把C(0,﹣3)代入得a×(﹣1)×3=﹣3,解得a=1,所以这个二次函数的解析式为y=(x﹣1)(x+3)=x2+2x ﹣3.(2)∵A(1,0),B(﹣3,0),∴AB=4,设P(m,n),∵△ABP的面积为6,∴AB•|n|=6,解得:n=±3,当n=3时,m2+2m﹣3=3,解得:m=﹣1+或﹣1﹣,∴P(﹣1+,3)或P(﹣1﹣,3);当n=﹣3时,m2+2m﹣3=﹣5,解得m=0或m=﹣2,∴P(0,﹣3)或P(﹣2,﹣3);故P(﹣1+,3)或P(﹣1﹣,3)或(0,﹣3)或P(﹣2,﹣3).。

第1讲 二次函数的图像及性质

第1讲 二次函数的图像及性质

第1讲二次函数的图形及性质题型1:二次函数的概念1.下列函数表达式中,一定为二次函数的是()A.y=5x−1B.y=ax2+bx+c C.y=3x2+1D.y=x2+1x题型2:利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数,则m的值为()A.−1B.3C.−1或3D.0题型3:二次函数的一般形式3.二次函数y=2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是()A.2、0、﹣3B.2、﹣3、0C.2、3、0D.2、0、3A.2B.﹣2C.﹣1D.﹣4题型4:根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm,设一边长为xcm,面积为y cm2,那么y与x的关系式是【变式4-1】如图,用长为20米的篱笆(AB+BC+CD=20),一边利用墙(墙足够长),围成一个长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,围成的花圃面积为y米2,则y关于x的函数关系式是.【变式4-2】某商品的进价为每件20元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出200件.市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出5件.则每星期售出商品的利润y (单位:元)与每件涨价x(单位:元)之间的函数关系式是()A.y=(200﹣5x)(40﹣20+x)B.y=(200+5x)(40﹣20﹣x)C.y=200(40﹣20﹣x)D.y=200﹣5x题型5:自变量的取值范围5..若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数,则a的取值范围是()A.a≠2B.a>0C.a>2D.a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是()x−1A.x≥−2B.−2≤x<1C.x>1D.x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数,则m=,其中自变量x的取值范围是.22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象,如图,它是一条关于y轴对称的曲线,这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象时,应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值,然后计算出对应的y 值,这样的对应值选取越密集,描出的图象越准确.注意:用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象,该图象是轴对称图形,对称轴是y 轴.画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.题型1:利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中,画出函数y =2x 2的图象(取值、描点、连线、画图).【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中,画出函数y =2x 2,y =x 2,y =﹣2x 2与y =﹣x 2的图象.x y =2x 2 y =x 2 y =﹣2x 2 y =﹣x 2x ya>0a<0题型2:二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1=2x2,y2=﹣2x2,y3=x2的图象,正确的是()A.B.C.D.【变式2-1】下列图象中,是二次函数y=x2的图象的是()A.B.C.D.【变式2-2】如图,在同一平面直角坐标系中,作出函数①y=3x2;②y=;③y=x2的图象,则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是()A.①②③B.①③②C.②③①D.③②①题型3:二次函数y=ax2的性质3.抛物线y=﹣3x2的顶点坐标为()A.(0,0)B.(0,﹣3)C.(﹣3,0)D.(﹣3,﹣3)【变式3-1】抛物线,y=x2,y=﹣x2的共同性质是:①都开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都以y轴为对称轴.其中正确的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个【变式3-2】.对于函数y=4x2,下列说法正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x>0时,y随x的增大而增大C.y随x的增大而减小D.y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y=﹣3x2的图象一定经过()A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限题型4:函数图像位置的识别4.已知a≠0,b<0,一次函数是y=ax+b,二次函数是y=ax2,则下面图中,可以成立的是()A.B.C.D.【变式4-1】函数y=ax2与y=ax+a,在第一象限内y随x的减小而减小,则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是()A.B.C.D.【变式4-2】在图中,函数y=﹣ax2与y=ax+b的图象可能是()A.B.C.D.题型5:函数值的大小比较5.二次函数y1=﹣3x2,y2=﹣x2,y3=5x2,它们的图象开口大小由小到大的顺序是()A.y3<y1<y2B.y3<y2<y1C.y1<y2<y3D.y2<y1<y3题型6:简单综合-三角形面积6.求直线y=3x+4与抛物线y=x2的交点坐标,并求出两交点与原点所围成的三角形面积.22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象(1)(2)0 a>0 a<题型1:二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系,画出二次函数y=﹣x2及y=﹣x2+3的图象.向上向下题型2:二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是()A.向下B.向上C.向左D.向右【变式2-2】抛物线y=2x2+1的对称轴是()A.直线x=B.直线x=﹣C.直线x=2D.y轴题型3:二次函数y=a(x-h)²的图象3.画出二次函数(1)y=(x﹣2)2(2)y=(x+2)2的图象.课堂总结:题型4:二次函数y=a(x-h)²的性质4.对于二次函数y=﹣(x﹣1)2的图象,下列说法不正确的是()A.开口向下B.对称轴是直线x=1C.顶点坐标为(1,0)D.当x<1时,y随x的增大而减小题型5:二次函数y=a(x-h )²+k 的图象和性质5.对于二次函数y =﹣5(x +4)2﹣1的图象,下列说法正确的是( ) A .图象与y 轴交点的坐标是(0,﹣1) B .对称轴是直线x =4C .顶点坐标为(﹣4,1)D .当x <﹣4时,y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 (1)y =(x ﹣2)2+3 (2)y =(x +2)2﹣3【变式5-2】画函数y =(x ﹣2)2﹣1的图象,并根据图象回答: (1)当x 为何值时,y 随x 的增大而减小.(2)当x 为何值时,y >0.【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1)y =5(x +2)2﹣3;(2)y =﹣(x ﹣2)2+3;(3)y =(x +3)2+6.二次函数的平移 1.平移步骤:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标; ⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下: ()2y a x h k =-+()h k ,2y ax =()h k ,2.平移规律:在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.概括成八个字“左h k加右减,上加下减”.题型6:二次函数几种形式之间的关系(平移)6.将抛物线y=(x﹣3)2﹣4先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的抛物线的函数表达式为()A.y=(x﹣4)2﹣6B.y=(x﹣1)2﹣3C.y=(x﹣2)2﹣2D.y=(x﹣4)2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,能得到抛物线y =2(x﹣2)2+3的是()A.y=2(x﹣1)2+1B.y=2(x﹣3)2+1C.y=﹣2(x﹣1)2+1D.y=﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y=x2﹣3的图象向右平移3个单位,再向上平移5个单位后,所得抛物线的表达式是.题型7:利用增减性求字母取值范围7.抛物线y=(k﹣7)x2﹣5的开口向下,那么k的取值范围是()A.k<7B.k>7C.k<0D.k>0【变式7-1】已知点(x1,y1)、(x2,y2)是函数y=(m﹣3)x2的图象上的两点,且当0<x1<x2时,有y1>y2,则m的取值范围是()A.m>3B.m≥3C.m≤3D.m<3【变式7-2】二次函数y=(x﹣h)2+k(h、k均为常数)的图象经过P1(﹣3,y1)、P2(﹣1,y2)、P3(1,y3)三点.若y2<y1<y3,则h的取值范围是.题型8:识别图象位置8.如果二次函数y=ax2+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+c的图象大致是()A.B.C.D.【变式8-1】在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=ax+b的图象不可能是()A.B.C.D.【变式8-2】已知m是不为0的常数,函数y=mx和函数y=mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是()A.B.C.D.题型9:比较函数值的大小9.已知二次函数y=(x﹣1)2+h的图象上有三点,A(0,y1),B(2,y2),C(3,y3),则y1,y2,y3的大小关系为()A.y1=y2<y3B.y1<y2<y3C.y1<y2=y3D.y3<y1=y2题型10:简单综合问题10.已知抛物线y=(x﹣5)2的顶点为A,抛物线与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)求△ABC的面积;(3)试判断△ABC 的形状并说明理由.【变式10-1】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+3与y 轴交于点A ,过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y =x 2于点B 、C ,求BC 的长度.【变式10-2】在同一坐标系内,抛物线y =ax 2与直线y =x +b 相交于A ,B 两点,若点A 的坐标是(2,3).(1)求B 点的坐标;(2)连接OA ,OB ,AB ,求△AOB 的面积.22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ,k),所以我们称为顶点式,将顶点式去括号,合并同类项就可化成一般式. 2.一般式化成顶点式. 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法,这三种方法都有各自的优缺点,应根据实际灵活选择和运用.题型1:一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式,结果为()A.y=(x−4)2+1B.y=(x−4)2−1C.y=(x−2)2−1D.y=(x−2)2+1题型2:一般式化成顶点式-应用2.已知:二次函数y=x2﹣2x﹣3.将y=x2﹣2x﹣3用配方法化成y=a(x﹣h)2+k的形式,并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标.题型3:公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ,当 x >1 时,y 随x 的增大而减小,则b 的取值范围是( ) A .b ≥−1B .b ≤−1C .b ≥1D .b ≤10a >0a <题型4:二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列说法不正确的是()A.当1<x<3时,y>0B.当x=2时,y有最大值C.图像经过点(4,−3)D.当y<−3时,x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,当x>0时,函数值y的取值范围是()A.y⩽9B.y⩽2C.y<2D.y⩽3 4题型5:利用二次函数的性质比较函数值5.函数y=﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A(1,y1),B(2,y2),则()A.y1<y2B.y1>y2几种常考的关系式的解题方法题型6:二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是()A.B.C.D.【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4.若x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个根,且x1<x2,1<x2<2,则下列说法正确的是A.x1x2>0B.−10<x1<−9C.b2−4ac<0D.abc>0【变式6-2】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(2,0),,有下列结论:①b<0;②a+b>0;③4a+2b+3c<0;④无且对称轴为直线x=12,0).其中正确结论有()论a,b,c取何值,抛物线一定经过(c2aA.1个B.2个C.3个D.4个【变式6-3】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C;对称轴为直线x=−1,点B的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2−4ac>0;③b>0;④a−b+c<0,其中正确的结论有()个.A.1个B.2个C.3个D.4个7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x,y的部分对应值如下表:x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为()A.y轴B.直线x=12C.直线x=1D.直线x=32题型8:利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y=x2+bx+1当0<x<12的范围内,都有y≥0,则b的取值范围是A.b≥0B.b≥﹣2C.b≥﹣52D.b≥﹣32a题型9:利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10:给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象(0≤x≤4)如图,则该函数在所给自变量的取值范围内,最大值为,最小值为.。

二次函数与三角函数的图像与性质

二次函数与三角函数的图像与性质

二次函数与三角函数的图像与性质一、二次函数的图像与性质1.图像特点:二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

开口向上的抛物线顶点在最低点,开口向下的抛物线顶点在最高点。

2.性质:二次函数的图像具有对称性,对称轴是抛物线的轴线,即x = -b/2a。

对称轴上的点关于抛物线对称。

3.顶点:二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

顶点是抛物线的最高点或最低点,取决于a的正负。

4.零点:二次函数与x轴的交点称为零点。

二次函数最多有两个零点。

5.开口方向:当a > 0时,抛物线开口向上;当a < 0时,抛物线开口向下。

6.增减性:当a > 0时,随着x的增大,y值增大;当a < 0时,随着x的增大,y值减小。

二、三角函数的图像与性质1.正弦函数(sin x):–图像特点:正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线,周期为2π。

–性质:正弦函数的值域为[-1, 1],在0°到π之间,正弦函数是增函数;在π到2π之间,正弦函数是减函数。

2.余弦函数(cos x):–图像特点:余弦函数的图像与正弦函数相似,也是一条周期性波动的曲线,周期为2π。

–性质:余弦函数的值域为[-1, 1],在0°到π之间,余弦函数是减函数;在π到2π之间,余弦函数是增函数。

3.正切函数(tan x):–图像特点:正切函数的图像是一条周期性波动的曲线,周期为π。

–性质:正切函数的值域为全体实数,在每个周期内,正切函数是增函数。

4.弧度制与角度制的转换:–弧度制:π rad = 180°。

–角度制:1° = π/180 rad。

5.三角函数的定义:–正弦函数:sin x = 对边/斜边。

–余弦函数:cos x = 邻边/斜边。

–正切函数:tan x = 对边/邻边。

三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别1.联系:二次函数与三角函数都是周期性函数,具有周期性波动的特点。

二次函数图像与性质

二次函数图像与性质
2. 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程或最大(小)
值,可设表达式为 y a x h2 k,其中顶点坐标为
(h,k),对称轴为x=h。
3.一些常见二次函数图像的解析式 1. 如图1:若抛物线的顶点是原点,设 y ax2 a 0 2. 如图2:若抛物线过原点,设 y ax2 bxa 0 3. 如图3:若抛物线的顶点在y轴上,设 y ax2 ca 0
y=ax²+bx y
(2,4)
以A为原点,大门 底部AB所在的直线 为x轴,建立平面直 角坐标系
(4,0) x
2. 某工厂大门是一抛物线水泥建筑物,如图所示,大 门底部宽AB=4m,顶点C离地面高度为4m,现有一辆 满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.56m, 装货宽度为2.3米,请判断这辆车能够顺利通过大门?
当y=2.56时,有-x²+4=2.56
课堂小结
1. 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的性质。 2. 抛物线的增减性。 3. 抛物线的平移。 4. 抛物线的对称性。 5. 抛物线解析式的求法。 6. 如何建立恰当的坐标系来解决实际问题。
完成课后练习
决定对称轴的位置,a、b同号 对称轴在y轴的_左__侧
b 对称轴为直线
b=0
对称轴为_y__轴
x b 2a
a、b异号 对称轴在y轴的_右__侧
确定抛物线与y轴
c>0 交点在y轴的_正__半轴
c 交点的位置,交点 c=0
交点是_原__点
坐标为(0,c)
c<0 交点在y轴的_负__半轴
a、b、c 的代数式
y=ax²
x
以C为原点建立平 面直角坐标系,使 x轴∥AB
(-2,-4)
(2,-4)
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二次函数培优专题一(图像和性质)姓名:
一:填空题: 1.若y =(2-m )2
3
m
x -是二次函数,且开口向上,则m 的值为__________.
2.抛物线y =x 2+8x -4与直线x =4的交点坐标是__________.
3.若抛物线y =(k +2)x 2+(k -2)x +(k 2+k -2)经过原点,则k =________.
4.已知点P (a ,m )和Q (b ,m )是抛物线y =2x 2+4x -3上的两个不同点,则a +b =_____. 5.函数y =mx 2+x -2m (m 是常数),图象与x 轴的交点有_____个. 二、选择题: 6.如果反比例函数y =k
x
的图象如图4所示,那么二次函数y =kx 2-k 2x -1的图象大致为( )
7.函数在同一直角坐标系内的图象大致是 ( )
8.二次函数y =x 2-(12-k )x +12,当x >1时,y 随着x 的增大而增大,当x <1时,y 随着x 的增大而减小,则k 的值应取( ).A .12 B .11 C .10 D .9 9.如果抛物线y =x 2-6x +c -2的顶点到x 轴的距离是3,那么c 的值等于( ). A .8 B .14 C .8或14 D .-8或-14 10.若0<b ,则二次函数12
-+=bx x y 的图象的顶点在( ). A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限
11.已知抛物线y =ax 2+bx ,当a >0,b <0时,它的图象经过( ).
A .一、二、三象限
B .一、二、四象限
C .一、三、四象限
D .一、二、三、四象限 12.如果二次函数y ax bx c =++2(a >0)的顶点在x 轴上方,那么( ). A .b 2-4ac ≥0 B .b 2-4ac <0 C .b 2-4ac >0 D .b 2-4ac =0 13.已知二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)的图象如图所示,给出以下结论: ①a >0.
②该函数的图象关于直线1x =对称.
③当13x x =-=或时,函数y 的值都等于0.其中正确结论的个数是( ) A .3B .2C .1D .0
2
y ax b y ax bx c =+=++
和y x O 图 4 y
x
O A .
y
x
O B .
y x
O C .
y x
O D .
O
三:解答题
1.已知抛物线y=-x2+mx-m+
2.
(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=5,试求m的值;
(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求m的值.
分析:
(1)让y=0,利用根与系数的关系表示出较大的根减去较小的根,求解即可;
(2)在求△CMN的面积时,要结合图象,已知条件,可以发现S△COM=S△CON.而△MNC的面积等于S△COM+S△CON.
【解析】
(1)设点A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程-x2+mx-m+2=0的两根.
∵x1+x2=m,x1•x2=m-2<0即m<2,
又∵AB=|x1-x2|=,
∴m2-4m+3=0.
解得:m=1或m=3(舍去),
故m的值为1.
(2)设M(a,b),则N(-a,-b).
∵M、N是抛物线上的两点,

①+②得:-2a2-2m+4=0,
∴a2=-m+2,
∴当m<2时,才存在满足条件中的两点M、N,
∴.
这时M、N到y轴的距离均为,
又∵点C坐标为(0,2-m),而S△MNC=27,
∴2××(2-m)×=27,
解得m=-7.
2、已知抛物线562-+-=x x y 与x 轴交点为A ,B ,(A 在B 左侧)顶点为C.与Y 轴交于点D
(1)求△ABC 的面积。

(2)若在抛物线上有一点M ,使△ABM 的面积是△ABC 的面积的2倍。

求M 点坐标。

(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得△QAD 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)在抛物线上是否存在一点P ,使四边形PBAD 是等腰梯形,若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由。

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