【专题培优】2018年 九年级数学上册 二次函数压轴题 培优专题(含答案)

2018年九年级数学上册二次函数压轴题培优专题

1.如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m 的代数式表示MN的长；

(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

3.如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，

其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G为顶点四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出F点坐标；如果不存在，请说明理由．

4.在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m﹣7的图象经过点（1，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）把﹣4＜x＜1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．

5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2,﹣4），与x轴交于A、B两点,且A（﹣6,0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）求△ABC的面积；

（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大？若能,请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

6.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；

（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．

7.如图，关于x的二次函数y=x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛

物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的解析式；

(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位长度的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，问点M，N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.

8.如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点

A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求A D的长；

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．

9.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

10.如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C（0,4）,与x轴交于点A、B,点A坐标为（4,0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线的顶点为N,在x轴上找一点K,使CK+KN最小,并求出点K的坐标；

（3）点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标；

（4）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为（2,0）.问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．

参考答案

1.解：

2.解：(1)y ＝－x 2

＋2x ＋3

(2)易求直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3，∴M(m ，－m ＋3)，又∵MN ⊥x 轴，∴N(m ，－m 2

＋2m ＋3)，∴MN ＝(－m 2＋2m ＋3)－(－m ＋3)＝－m 2

＋3m(0＜m ＜3)

(3)S △BNC ＝S △CMN ＋S △MNB ＝21|MN|·|OB|，∴当|MN|最大时，△BNC 的面积最大，MN ＝－m 2

＋3m ＝－(m －23)2＋49，

所以当m ＝23时，△BNC 的面积最大为21×49×3＝827

3.（1）A （﹣1，0）B （3，0）C （2，﹣3）

设直线AC 的解析式为：y=kx+b ，解得，k=-1,b=-1，∴直线AC 的函数解析式是y=﹣x ﹣1， 由抛物线的对称性可知，点A 与点B 关于对称轴x=1对称，

∴连接AC 与x=1交于点P ，点即为所求，当x=1时，y=﹣2，则点P 的坐标为（1，﹣2）； （3）存在4个这样的点F ，F 点坐标是：（﹣3，0）或（1，0）或（4+，0）或（4﹣

，0）

4.解：（1）∵二次函数y=x 2+mx+2m ﹣7的图象经过点（1，0）， ∴1+m+2m ﹣7=0，解得m=2．∴抛物线的表达式为y=x 2+2x ﹣3； （2）y=x 2+2x ﹣3=（x+1）2﹣4．

∵当﹣4＜x ＜﹣1时，y 随x 增大而减小；

当﹣1≤x ＜1时，y 随x 增大而增大，∴当x=﹣1，y 最小=﹣4．