人教B版高中数学必修5创新设计练习3.5.2简单线性规划(含答案详析)
数学人教B必修5同步训练：352简单线性规划 含解析
3.5.2 简单线性规划5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.目标函数z=3x-y ，将其看成直线方程时，z 的意义是（ ） A.该直线的截距 B.该直线的纵截距 C.该直线纵截距的相反数 D.该直线的横截距 解析：由目标函数z=3x-y ，得y=3x-z.令x=0,得y=-z.也就是说,z 表示该直线纵截距的相反数,故选C. 答案：C2.能表示下图阴影部分的二元一次不等式组是（ ）A.⎩⎨⎧≤+-≤≤02210y x y B.⎩⎨⎧≥+-≤0221y x yC.⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤≤002210x y x yD.⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤02201y x x y 解析：从图中可看出，阴影部分满足0≤y≤1，-1≤x≤0.因为点（0，0）在2x-y+2=0下方，且（0，0）点坐标代入方程左端有2×0-0+2＞0，因为阴影部分符合2x-y+2＞0.故选C. 答案：C3.若0≤x≤1，-1≤y≤2，则z=x+4y 的最小值为_____________.解析：如下图所示，当直线z=x+4y 过点（0，-1）时，z 取最小值，则z min =0+4×（-1）=-4.答案：-44.设z=2y-x ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-,12323,12y y x y x ，则z 的最大值为____________.解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC 中满足z=2y-x 的最大值是点C ，代入得最大值等于11.答案：1110分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.设E 为平面上以三点A （4，1），B （-1，-6），C （-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y 的最大值与最小值分别为（ ）A.14，-18B.-14，-18C.18，14D.18，-14 解析：当动直线z=4x-3y 通过点B 时，z 取最大值，通过点C 时，z 取最小值. 答案：A2.完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设请木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是（ ）A.⎩⎨⎧∈≤+*,532N y x y x B.⎪⎩⎪⎨⎧=≤+3220004050y x y x C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=≤+*,3220045N y x y x y x D.⎪⎩⎪⎨⎧=<+32,10065y x y x解析：工人数x 、y 必须为正整数，所以可排除B 、D ，再根据工资预算列线性约束条件，得5x+4y≤200.故选C. 答案：C3.已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧-≥≤.|1|,1x y y 则x+2y 的最大值是_____________.解析：已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧-≥≤.|1|,1x y y 在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴x+2y 的最大值是4.答案：44.在线性条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y 下，z=2x-y 的最大值是___________,最小值是___________.解析：约束条件的可行域,如下图中△ABC 的内部加上边界. 当z 为常数时，-z 表示直线z=2x-y 在y 轴上的截距.如下图所示，当点（x ，y ）位于点C （-1，-1）时，-z 取最大值.∴z 有最小值，z min =2×（-1）-（-1）=-1.当点（x ，y ）位于点B （2，-1）时，-z 取最小值， ∴z 有最大值，z max =2×2-（-1）=5. 答案： 5,-1.5.已知变量x,y 满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x -y≤2.若目标函数z=ax+y （其中a ＞0）仅在点（3,1）处取得最大值，则a 的取值范围为_______________.解析：变量x ，y 满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x -y≤2.在坐标系中画出可行域，如下图为四边形ABCD ，其中A(3，1)，k AD =1,k AB =-1，目标函数z=ax+y （其中a ＞0）中的z 表示斜率为-a 的直线截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于k AB =-1，即-a ＜-1，所以a 的取值范围为(1，+∞).答案：(1，+∞)6.若x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104,01023,0122y x y x y x 求z=x+2y 的最大值和最小值.解：画出可行域，平移直线找最优解.作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如下图所示.作直线l：z=x+2y，即y=21-x+21z，它表示斜率为21-，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点A时,z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值.所以,z max=2+2×8=18,z min=-2+2×2=2.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115xyxyx则z=10x+10y的最大值是（）A.80B.85C.90D.95解析：画出可行域,寻找最优解.故找到（5，4）点，∴z=10x+10y.最大值为10×5+10×4=90.答案：C2.在△ABC中，三顶点A（2，4）、B（-1，2）、C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x-y的最大值为（）A.1B.-3C.-1D.3解析：先画出△ABC，如下图所示，对z=x-y，可看成y=x-z，求z的最值，相当于找斜率为1的直线经过△ABC区域时纵截距的有关最值.可知，直线经过C、B点，纵截距-z分别取最小值-1及最大值3，从而z分别取最大值1及最小值-3.答案：A3.如下图，目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB（含边界），若C（54,32）是该目标函数z=ax-y的最优解，则a的取值范围是（）A.（125,310--） B.（103,512--）C.（512,103） D.（103,512-）解析：因k BC=103-，k AC=512-，故a∈（512-，103-）.最优解为C点，则目标函数表示的直线的斜率在直线BC与AC的斜率之间.答案：B4.已知三点A（x0，y0）、B（1，1）、C（5，2），如果一个线性规划问题的可行域是△ABC 的边界及其内部，线性目标函数z=ax+by在点B处取得最小值3，在点C处取得最大值12，则下列关系成立的是（）A.3≤x0+2y0≤12B.x0+2y0≤3或x0+2y0≥12C.3≤2x0+y0≤12D.2x0+y0≤3或2x0+y0≥12解析：由题设，得z min=a+b=3，z max=5a+2b=12，联立解得a=2，b=1，则z=2x+y.又对于可行域内的任意点（x，y），都有3≤z≤12，故3≤2x0+y0≤12.答案：C5.可行域D：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-,0,04,01yxyxyx与可行域E：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤25,4yx对应的点集间的关系是____________.解析：分别作出可行域D和E，其中两直线x-y+1=0与x+y-4=0交点坐标为（25,23），如下图所示，可知区域D的点全部落在E区域内，且E中有更多的点，故D E.答案：D E6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤5,0,3yxyxx表示的平面区域的面积为______________.解析：作出不等式组表示的可行域，如下图所示，可知图形为三角形，可求BC=11，BC边上的高为253+=211，∴S=21×11×211=4121.答案：41217.在满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0,62,5y x y x y x 的点中，使目标函数k=6x+8y 取得最大值的点的坐标是_____________.解析：首先根据不等式组表示的约束条件画出对应的平面区域,然后由直线k=6x+8y 在平面区域内平移可得在点（0，5）处取最大值.答案：（0，5）8.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+.052,053,052y x y x y x 问（x+1）2+（y+1）2的最大值、最小值各是多少?解：作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+052,053,052y x y x y x 表示的可行域.由⎩⎨⎧=-+=+-.052,052y x y x 得:A （1，3）;由⎩⎨⎧=--=+-.053,052y x y x 得:B （3，4）;由⎩⎨⎧=-+=--.052,053y x y x 得:C （2，1）.z=（x+1）2+（y+1）2表示可行域内的点到点（-1，-1）的距离的平方.以（-1，-1）为圆心，z 为半径画圆，当圆经过点B 时，z 最大；当圆经过点C 时，z 最小.∴当x=3，y=4时，（x+1）2+（y+1）2=41最大,当x=2，y=1时，（x+1）2+（y+1）2=13最小. 9.学校有线网络同时提供A 、B 两套校本选修课程.A 套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B 套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分.全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课不超过1 400分钟，研讨时间不得少于1 000分钟.两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？ 解：设选择A 、B 两套课程分别为x 、y 次，z 为学分，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+≤+≤+.,,10004020,14003240,40N y x y x y x y x 图示如下：目标函数:z=5x+4y.由方程组解得:点A(15,25),B(25,12.5),由于目标函数的斜率与直线AB 的斜率相等，因此在图中阴影线段AB 上的整数点A （15，25）、C （19，20）、D （23，15）都符合题意，使得学分最高为175分.但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点.例如，学生需要最省时就可以选择点A(15，25).10.海湾战争，美军两支部队从不同驻地到某攻击点会师，实行合围，其运动时间可能需要5至6小时.伊军一旦发现情况后只需20分钟集结就会遁逸.全歼伊军胜算的概率有多少？ 解：以x 、y 分别表示两支部队到达攻击点的时刻，则两支部队能在伊军逃走前会师的条件为|x-y|≤20,x 、y ∈［0,60］,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+-≤--.600,600,020,020y x y x y x 图示如下：在直角坐标系中画出x 、y 的可行域，如上图中阴影部分所示，显然两支部队可能在伊军逃走前会师的时间为图中边长等于60的正方形内的点（包括边界），两支部队能在伊军逃走前会师的机会为图中阴影部分，从而可得到所求的概率为P=602-2×956040402126022=⨯⨯⨯-.。
人教B版人教B版高中数学必修五3.5.2《简单线性规划》测试
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）【高中数学新人教B 版必修5】3.5.2《简单线性规划》测试一．选择题：1．以下四个命题中，正确的是（ ）Ａ．原点与点（2，3）在直线2x+y-3=0的同侧Ｂ．点（3，2）与点（2，3）在直线x －y=0同侧 Ｃ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0异侧Ｄ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0同侧2．不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（ ）A ．右上方B ．右下方C ． 左下方D ．左上方3．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23 Ｃ．223 Ｄ．2 二．填空题： 4．若x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0,0625y x y x y x ，则目标函数z=6x+8y 的最大值为 ，最小值为 。
5．若实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-≤≤+≤822624y x y x ，则x+y 的范围是 。
6．非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则x+3y 的最大值是 。
7．设实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--03204202y y x y x ，则x y 的最大值是 。
8．设实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ，那么2x －y 的最大值为（ ）A ． 2B ． 1C ． －2D ． －39．已知变量x 、y 满足约束条件1≤x+y ≤4，－2≤x －y ≤2。
若目标函数z=ax+y （其中a>0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a 的取值范围是 。
10．设D 是不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥+≤+14032102y x y x y x 表示的平面区域，则D 中的点P （x,y ）到直线x+y=10距离的最大值是 。
三．解答题：11．某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号的电视机，每台A 型、B 型电视机所得的利润分别为6和4个单位，而生产一台A 型、B 型电视机所耗原料分别为2和3个单位；所需工时分别为4和2个单位。
2022-2021学年高二数学人教B必修5学案：3.5.2 简单线性规划(二) Word版含答案
3.5.2 简洁线性规划(二)明目标、知重点 1.精确 利用线性规划学问求解目标函数的最值.2.把握线性规划实际问题中的常见类型.3.会求一些简洁的非线性函数的最值．1．用图解法解线性规划问题的步骤： (1)确定线性约束条件； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域；(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解． 2．非线性目标函数的最值对于非线性目标函数，需结合解析式的几何意义来确定最值，同样让目标函数的图象经过可行域．常用解析式的几何意义有：z ＝x 2＋y 2，表示点(x ，y )与(0,0)距离的平方．z ＝y －ax －b表示点(x ，y )与(b ，a )所连直线的斜率．探究点一 生活实际中的线性规划问题例1 某运输公司接受了向四川地震灾区每天至少运送180 t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天来回的次数是A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车来回的成本费是A 型卡车320元，B 型卡车504元．请为公司支配一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？解 设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据.A 型车B 型车 限量 车辆数 x y 10 运物吨数 24x 30y 180 费用320x504yz由表可知x ，y 满足的线性条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，且z ＝320x ＋504y .作出线性区域，如图所示，可知当直线z ＝320x ＋504y 过点A (8,0)时z 最小，这时z min ＝8×320＝2 560(元)，即只用8辆A 型车成本最低．反思与感悟 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接依据约束条件得到的不愿定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是很多个，应具体状况具体分析．跟踪训练1 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和300万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨，煤矿应怎样编制调运方案，使总运费最少？解 设甲煤矿向东车站运x 万吨煤，乙煤矿向东车站运y 万吨煤，那么总运费 z ＝x ＋1.5(200－x )＋0.8y ＋1.6(300－y )万元， 即z ＝780－0.5x －0.8y ，其中x ，y 应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0200－x ≥0300－y ≥0x ＋y ≤280200－x ＋300－y ≤360作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图所示．设直线x ＋y ＝280与y 轴的交点为M ，则M (0,280)，把直线l ：0.5x ＋0.8y ＝0向上平移至经过平面区域上的点M (0,280)时，z 的值最小，∵点M 的坐标为(0,280)， ∴甲煤矿生产的煤全部运往西车站，乙煤矿向东车站运280万吨，向西车站运20万吨时，总运费最少． 例2 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．在3.5.1节的例3中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解 设x 、y 分别为方案生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，能够产生利润z 万元．则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝x ＋0.5y .可行域如图所示．把z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为2z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可以看出，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ＝66，4x ＋y ＝10得M 的坐标为x ＝2，y ＝2.所以z max ＝x ＋0.5y ＝3.答 生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大的利润为3万元．反思与感悟 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．假如顶点不是整数点，不符合实际问题的需要，适当调整最优解．若目标函数的最大值、最小值在可行域的边界上取得，则满足条件的最优解有很多多个．跟踪训练2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配养分餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足养分，又使费用最省？ 解 将已知数据列成下表：原料/10 g蛋白质/单位铁质/单位费用(元)甲 5 10 3 乙742设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28 (g)，乙种原料3×10＝30 (g)，费用最省．探究点二 非线性目标函数的最值问题思考 一些非线性目标函数的最值可以赐予几何意义，利用数形结合的思想加以解决，例如： ①z ＝x 2＋y 2表示可行域中的点(x ，y )与原点(0,0)距离的平方；②z ＝(x －a )2＋(y －b )2表示可行域中的点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方； ③z ＝y －b x －a表示可行域内的点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率；④z ＝ay ＋b cx ＋d(ac ≠0)，可以先变形为z ＝ac ·y －⎝⎛⎭⎫－b a x －⎝⎛⎭⎫－d c ，可知z 表示可行域内的点(x ，y )与定点⎝⎛⎭⎫－d c ，－b a 连线斜率的ac倍；⑤z ＝|ax ＋by ＋c | (a 2＋b 2≠0)，可以化为z ＝a 2＋b 2·|ax ＋by ＋c |a 2＋b 2的形式，可知z 表示可行域内的点(x ，y )到直线ax ＋by ＋c ＝0距离的a 2＋b 2倍．例3 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，(1)试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值；(2)试求z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值． 解 (1)由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小， 又∵B (0,2)，C (1,0)，∴z max ＝k MB ＝3； z min ＝k MC ＝12.∴z 的最大值为3，最小值为12.(2)z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A 的距离最大，原点到直线BC 的距离最小． 故z max ＝|OA |2＝13， z min ＝⎝⎛⎭⎫|OB |·|OC ||BC |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×152＝45. 反思与感悟 在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可快速解决相关问题．当斜率k ，两点间的距离，点到直线的距离与可行域相结合求最值时，留意数形结合思想方法的机敏运用．跟踪训练3 已知x ，y 满足约束条件同例题，求下列函数z 的最值： (1)z ＝y ＋1x ＋2；(2)z ＝|x ＋2y －4|. 解 (1)将z ＝y ＋1x ＋2化为z ＝y －(－1)x －(－2)，问题化归为求可行域内的点M (x ，y )与点P (－2，－1)连线斜率的最值．由图①可知z min ＝k PB ＝13，z max ＝k PC ＝32.(2)将目标函数化为z ＝5·|x ＋2y －4|12＋22，问题化归为求可行域内的点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍的最大值．观看图②，点C (0,2)到直线x ＋2y －4＝0的距离最小，为0；点A (2,3)到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，为45.所以z max ＝4，z min ＝0.1．某电脑用户方案使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．依据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种答案 C解析 设购买软件x 片，磁盘y 盒． 则⎩⎪⎨⎪⎧60x ＋70y ≤500x ≥3，x ∈N ＋y ≥2，y ∈N＋，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10 答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如右图所示：易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22， C (1,3)，|OC |＝10. ∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，x ≤4，y ≤4，则z ＝y －1x －1的最大值是________．答案 3解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．z ＝y －1x －1可看作可行域上的点(x ，y )与定点B (1,1)连线的斜率．由图可知z ＝y －1x －1的最大值为k AB ＝3.4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为____．答案 12解析 实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12. [呈重点、现规律]1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能精确 ，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接依据约束条件得到的不愿定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体状况具体分析．一、基础过关1．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( ) A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2 800元答案 B解析 设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元， 依据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值，解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，z min ＝2 200(元)．2．某公司有60万元资金，方案投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( ) A ．36万元 B ．31.2万元 C ．30.4万元 D ．24万元答案 B解析 设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5，z ＝0.4x ＋0.6y .由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产方案为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y .画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值． 4．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2]答案 C解析 作出可行域，如图所示， 由于OA →·OM →＝－x ＋y .所以设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点A (1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点B (0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． 答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ＋，y ∈N ＋.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元．6．A ，B 两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B 仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样支配调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？解 设从A 仓库调运x 万个到甲地，y 万个到乙地，则从B 仓库调40－x 个到甲地，20－y 个到乙地，总运费记为z 元，则有⎩⎨⎧x ＋y ≤5040－x ＋20－y ≤300≤x ≤400≤y ≤20，z ＝120x ＋180y ＋100(40－x )＋150(20－y )，即z ＝20x ＋30y ＋7 000，作出可行域及直线l 0：20x ＋30y ＝0，经平移知直线经可行域上点M (30,0)时与原点距离最小，即x ＝30，y ＝0时，z 有最小值，z min ＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A 仓库调运30万个到甲地，从B 仓库调运10万个去甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7 600元．7．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，预备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)假如只支配生产书桌，可获利润多少？ (2)假如只支配生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样支配生产可使所得利润最大？ 解 由题意可画表格如下：方木料(m 3)五合板(m 2)利润(元) 书桌(张) 0.1 2 80书橱(个)0.21120(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元，则⎩⎨⎧0.1x ≤902x ≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900x ≤300⇒x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即假如只支配生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎨⎧0.2y ≤901·y ≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450y ≤600⇒y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即假如只支配生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎨⎧0.1x ＋0.2y ≤902x ＋y ≤600x ≥0y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域． 作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600 解得点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．二、力气提升8．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于( ) A ．4 650元 B ．4 700元 C ．4 900元D ．5 000元答案 C解析 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y . 画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即A (7,5)．∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)． 9．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，13 解析 如图，画出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0的解(x ，y )构成的可行域△ABO ，求得B (2,2)，依据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值13.故ω的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，13. 10．某工厂要制造A 种电子装置45台，B 种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2 m 2，可做A 、B 的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3 m 2，可做A 、B 的外壳分别为6个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的面积最小．解 设用甲种薄钢板x 张，乙种薄钢板y 张，则可做A 种产品外壳3x ＋6y 个，B 种产品外壳5x ＋6y 个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥45，5x ＋6y ≥55，x ≥0，y ≥0，全部的薄钢板的总面积是z ＝2x ＋3y .可行域为如图所示的阴影部分，其中l 1：3x ＋6y ＝45；l 2：5x ＋6y ＝55，l 1与l 2的交点为A (5，5)，因目标函数z ＝2x ＋3y 在可行域上的最小值在区域边界的A (5,5)处取得，此时z 的最小值为2×5＋3×5＝25.即甲、乙两种薄钢板各5张，能保证制造A 、B 的两种外壳的用量，同时又能使用料总面积最小． 11．已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围． 解 (1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方， 过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322.∴|MN |2＝⎝⎛⎭⎫3222＝92，∴z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线斜率的2倍， ∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72. 三、探究与拓展12．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少供应12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分 种类 阿司匹林小苏打 可待因 每片价格(元)A (毫克/片) 2 5 1 0.1B (毫克/片)1760.2解 设A ，B 两种药品分别为x 片和y 片，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥125x ＋7y ≥70x ＋6y ≥28x ≥0，y ≥0，两类药片的总数为z ＝x ＋y ，两类药片的价格和为k ＝0.1x ＋0.2y . 如图所示，作直线l ：x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l 1位置时，直线经过可行域上一点A ，且与原点最近．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝125x ＋7y ＝70，得交点A 坐标为⎝⎛⎭⎫149，809. 由于A 不是整点，因此不是z 的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x ＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z 的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x ＝3，y ＝8时，k 取最小值1.9，因此当A 类药品3片、B 类药品8片时，药品价格最低．。
高中数学人教B版必修5 3.5 素材 《3.5.2简单线性规划》跟踪练习及解析(人教B)
则 z＝10x＋10y 的最大值是(
)
A.80
B.85
C.90
D.95
解析答案
1 2 3
解析
该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由于 x， y∈N*， x＝5，y＝4 时，z 取得最大值
11 9 计算区域内与 2 ，2 最近的点为(5,4)，故当
为 90.
答案
C
3、
如图所示.
落在阴影部分 (含边界)区域的整点有 (3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件
5x－11y≥－22， 2x＋3y≥9， 2x≤11， * * x∈N ，y∈N ，
2016-2017学年高二数学人教B版必修5学案3.5.2《简单线性规划》
3.5.2 简单线性规划[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．[知识链接]已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解答时容易错误地利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x ，y 的范围，再分别求出2x 及－3y 的范围，然后相加得2x －3y 的取值范围．由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x ，y 的取值范围扩大，得出错误的2x －3y 的取值范围．如果把1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3看作变量x ，y 满足的条件，把求2x －3y 的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z ＝2x －3y 的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题． [预习导引]1．线性规划中的基本概念线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值.要点一 求线性目标函数的最值例1 已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y 的最大值和最小值．解(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图(1)所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图(1)可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)，∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.图(1)当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图(2)所示．图(2)由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一组平行线．由图(2)可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z 最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＝－8.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z 最大，即z 最大，∴z max ＝x ＋2y ＝4，∴z ＝x ＋2y 的最大值是4，最小值是－8.规律方法 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值． 跟踪演练1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值．解由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.作出可行域，如图所示．∵目标函数为z ＝3x ＋5y ， ∴作直线l ：3x ＋5y ＝0.平移直线l ，在可行域内以经过点A (32，52)的直线l 1所对应的z 最大．类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的z 最小． ∴z max ＝3×32＋5×52＝17，z min ＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11.要点二 非线性目标函数的最值问题 例2 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围． 解 (1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322.∴|MN |2＝(322)2＝92，∴z 的最小值为92. (2)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q (－1，－12)连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是[34，72]．规律方法 非线性目标函数的最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)．点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等．常见代数式的几何意义主要有： (1)(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离．(2)y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率；y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键． 跟踪演练2 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．解 画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A (0，12)，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取得最小值为32.要点三 线性规划的实际应用例3 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位，所花的费用为z 元，则依题意得：z ＝2.5x ＋4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.让目标函数表示的直线2.5x ＋4y ＝z 在可行域上平移．由图可知z ＝2.5x ＋4y 在B (4,3)处取得最小值．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．规律方法 线性规划解决实际问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；(6)实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪演练3 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A ．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B ．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C ．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D ．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案 B解析 设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y .画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值为( )A ．－52B ．0C.53D.52答案 C解析 设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2.作出可行域如图，平移直线y ＝－12x ＋z2，由图象可知当直线y ＝－12x ＋z2经过点B 时，直线y ＝－12x ＋z2的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝23，即B (13，23)，代入z ＝x ＋2y 得z ＝13＋2×23＝53，选C.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 答案 B解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3．给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________．答案 35解析 将z ＝ax ＋y 变形，得y ＝－ax ＋z .当它与直线AC 重合时，z 取最大值的点有无穷多个． ∵k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．答案 8解析 由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点(0,2)处取得最大值8.1．用图解法解决线性或非线性规划问题的基本步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．一、基础达标1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2答案 A解析 画出可行域，如图所示，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝|x |，得A (－2,2)， 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z . 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 3．设变量x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2答案 A解析 由z ＝y －2x ，得y ＝2x ＋z ，作出可行域如图，平移直线y ＝2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝2x ＋z 经过点D 时，直线y ＝2x ＋z 的截距最小，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －2＝0，y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，即D (5,3)．将D 点坐标代入z ＝y －2x ，得z ＝3－2×5＝－7，故选A. 4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为________． 答案 3，－11解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11.5．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，且z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 答案 [3,8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时， 目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时， 目标函数有最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．如图，作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4. 7．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于多少？解 设该公司合理计划当天派用甲，乙卡车的车辆数分别为x ，y ，则根据条件x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤12，2x ＋y ≤19，10x ＋6y ≥72，x ≤8，y ≤7，x ∈N ＋，y ∈N ＋.目标函数z ＝450x ＋350y .作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x ＋350y －z ＝0知，当直线经过直线x ＋y ＝12与2x ＋y ＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，即z ＝450×7＋350×5＝4900(元)． 二、能力提升8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C ．1D ．2 答案 B解析 先根据约束条件画出可行域，如图，设z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，将最大值转化为y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，得a ＝12，故选B.9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·O A →的最大值为________．答案 4解析由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点B (2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4. 10．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)，x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max＝17，z min ＝－7.11．预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N ＋，y ≥0，y ∈N ＋.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2000，y ＝x ， 解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为(2007，2007)．由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752.所以B 点的坐标为(25，752)．所以满足条件的可行域是以A (2007，2007)、B (25，752)、O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B (25，752)，但注意到x ∈N ＋，y ∈N ＋，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择． 三、探究与创新12．某公司计划2015年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ 解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别 为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90000，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3000x ＋2000y .作出可行域如图所示：作直线l ：3000x ＋2000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.得M (100,200)． ∴z max ＝3000×100＋2000×200＝700000(元)．答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．。
2018版高中数学(人教B版)必修五学案第三章 3.5.2 简单线性规划 Word版含答案
简单线性规划[学习目标].了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．[知识链接]已知≤＋≤，－≤－≤，求－的取值范围．解答时容易错误地利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到，的范围，再分别求出及－的范围，然后相加得－的取值范围．由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使，的取值范围扩大，得出错误的－的取值范围．如果把≤＋≤，－≤－≤看作变量，满足的条件，把求－的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求＝－的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题．[预习导引]．线性规划中的基本概念名称定义目标函数要求最大值或最小值的函数，叫做目标函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性目标函数如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数线性约束条件如果目标函数是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题最优解使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解可行解满足线性约束条件的解，叫做可行解可行域由所有可行解组成的集合叫做可行域.目标函数的最值线性目标函数＝＋(≠)对应的斜截式直线方程是＝－＋，在轴上的截距是，当变化时，方程表示一组互相平行的直线．当>，截距最大时，取得最大值，截距最小时，取得最小值；当<，截距最大时，取得最小值，截距最小时，取得最大值.要点一求线性目标函数的最值例已知关于，的二元一次不等式组()求函数＝－的最大值和最小值；()求函数＝＋的最大值和最小值．解()作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图()所示．由＝－，得＝－，得到斜率为，在轴上的截距为－，随变化的一组平行线，由图()可知，当直线经过可行域上的点时，截距－最大，即最小．解方程组得(－)，∴＝×(－)－＝－.图()当直线经过可行域上的点时，截距－最小，即最大，解方程组得()，∴＝×－＝.∴＝－的最大值是，最小值是－.。
人教B版高中数学必修五《3.5.2 简单线性规划》_0
3.5.2 简单线性规划(一)学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.思考 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0.①该不等式组所表示的平面区域如图，求2x ＋3y ②的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念. 1.要求最大值或最小值的函数，叫做目标函数.2.如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数.如上述问题中，②就是线性目标函数.知识点二 约束条件及线性约束条件1.目标函数中的变量所要满足的不等式组叫约束条件.2.如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件.如上述问题中的①就是线性约束条件. 知识点三 线性规划问题1.在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题.2.满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解.1.可行域是一个封闭的区域.( × )2.在线性约束条件下，最优解是唯一的.( × )3.最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解.( √ )4.线性规划问题一定存在最优解.( ×)类型一 求线性目标函数的最大(小)值例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，求2x ＋3y 的最大值.解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为定值－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图.由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4，2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤： ①确定线性约束条件，线性目标函数； ②作图——画出可行域；③平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；④求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围.解 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图阴影部分)即为可行域.设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线.－13z 是直线在y 轴上的截距， 当直线截距最大时，z 的值最小， 由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大， 即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2，3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小， 即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1).∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7. ∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5，7]. 类型二 根据最优解的个数求参数 例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值.解 约束条件所表示的平面区域如图阴影部分，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1，1)时取得最大值；当a ＞0时，当y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a ＜0时，当y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围为 . 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由约束条件画出可行域如图阴影部分所示，要使仅在点(3，0)处取最大值， 则－a <－12，所以a >12.类型三 生活中的线性规划问题例3 营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪，1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg? 将已知数据列成下表：解 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z21，它表示斜率为－43，且随z 变化的一组平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小. 如图可知，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时， 截距最小，即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6，得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 17 kg ，食物B 47kg.反思与感悟 (1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负.当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb 越小，z 就越大.(2)最优解和目标函数与边界函数的斜率大小有关.跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为 .答案 4，1解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4，1).易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.1.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A.－52B.0C.53D.52答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(含边界).设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53.2.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A.6B.7C.8D.23 答案 B解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2，1)时，z 有最小值，z 的最小值为7. 3.满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点的个数是( ) A.10 B.11 C.13 D.15 答案 C解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个.4.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为 .答案 8解析 由不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，知目标函数z 在点(0，2)处取得最大值8.1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l；(3)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.一、选择题1.若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域内，则2x－y的最小值为()A.－6B.－2C.0D.2答案 A解析如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点A(－2，2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6.A.9B.157C.1D.715答案 A解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4，5)， ∴z max ＝4＋5＝9.3.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A.－7B.－4C.1D.2 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5，3). ∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.别为( ) A.3，－11 B.－3，－11 C.11，－3 D.11，3答案 A解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值. 易求得A (3，5)，B (5，3).∴z 最大值＝3×5－4×3＝3，z 最小值＝3×3－4×5＝－11. 5.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14 B.12 C.1 D.2答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界).易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.6.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定.若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A.3B.4C.3 2D.4 2答案 B解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，当目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大， 将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4. 7.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1，0)为最优解，所以a ＝2；若a ≤－2，则(3，4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.二、填空题8.在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是 .答案 －7解析 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域阴影部分所示，包含边界.三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3，3)， x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9，1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1，9)， 作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小， 即z min ＝2×1－9＝－7.9.已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是 .(答案用区间表示) 答案 [3，8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示.在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值， z max ＝2×1＋3×2＝8. 所以z ∈[3，8].10.某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为 元. 答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元. 三、解答题11.设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求z ＝x ＋y 的取值范围.解 如图，z ＝x ＋y 表示直线过可行域阴影部分所示时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2，0).z 最小值＝2，z 无最大值.∴x ＋y ∈[2，＋∞).12.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务.该公司有8辆载重6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？ 解 设需A 型，B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y.作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5，0)时，z 最小，但A (7.5，0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8，0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，成本费最低. 所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低.13.如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值.解 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域阴影部分所示，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆. 如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32. 四、探究与拓展14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤53，5B.[0，5]C.[0，5)D.⎣⎡⎭⎫53，5答案 C解析 作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示.令u ＝2x －2y －1，当直线2x －2y －1－u ＝0经过点A (2，－1)时，u ＝5，经过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，u ＝－53，则－53≤u <5，所以z ＝|u |∈[0，5)，故选C.15.设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则当y x >37时，实数x ，y 满足的不等式组为 .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧3x －7y <0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0解析 如图所示，点B 的坐标是⎝⎛⎭⎫72，32，yx 的几何意义是点(x ，y )与(0，0)的连线的斜率，点B 与坐标原点O 的连线的斜率是37，故满足y x >37的区域是图中的区域ABD ，其中直线BD 左上方的点可以用不等式y >37x ，即3x －7y <0表示，故当y x >37时，实数x ，y 满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧3x －7y <0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0.。
2018版高中数学人教B版必修五学案第三单元 3.5.2 简单线性规划(二) Word版含答案
简单线性规划(二)
学习目标.了解实际线性规划中的整数解求法.会求一些简单的非线性函数的最值．
知识点一非线性约束条件
思考类比探究二元一次不等式表示平面区域的方法，画出约束条件(－)＋(－)≤的可行域．
梳理约束条件不是不等式．这样的约束条件称为非线性约束条件．
知识点二非线性目标函数
思考在问题“若、满足求＝的最大值”中，你能仿照目标函数＝＋的几何意义来解释＝的几何意义吗？
梳理下表是一些常见的非线性目标函数．
目标函数 目标函数变形 几何意义 最优解求法 ＝＋ (≠)
＝－＋
是
平移直线＝－，使 (－)＋(－)
令＝(－)＋(－)，则目标函数为()
点与点距离的 改变圆(－)＋(－)＝
的半径，寻求可行域最先(或最后)与圆的
点与定点连线的
绕定点(，)旋转直线，
寻求与可行域最先(或最后)相交时的直线
＋＋(＋
≠)
·
点到直线距离的倍
平移直线＋＋＝，寻求与可行域最先(或最后)相交时的
类型一生活实际中的线性规划问题 例
某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工小时，装配加工小时，每件甲种家电的利润为元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工小时，在电器方面加工小时，装配加工小时，每件乙种家电的利润为元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天小时，可用于电器方面加工的能力为每天小时，可用于装配加工的能力为每天小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大？(每天制造的家电件数为整数)。
【测控设计】高二数学人教B版必修5同步训练：3.5.2 简单线性规划 Word版含解析[ 高考]
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3.5.2简单线性规划一、非标准1.在△ABC中,三顶点A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,则z=x-y的最大值为()A.1B.-3C.-1D.3解析:先画出△ABC,如图所示,对z=x-y,可看成y=x-z,求z的最值,相当于找斜率为1的直线经过△ABC区域时纵截距的有关最值.可知,直线经过C,B点,纵截距-z分别取最小值-1及最大值3,从而z分别取最大值1及最小值-3.答案:A2.某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y须满足约束条件则z=10x+10y的最大值是()A.80B.85C.90D.95解析:画出可行域,寻找最优解.故找到(5,4)点,∴z=10x+10y.最大值为10×5+10×4=90.答案:C3.如图,目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB(含边界),若C是该目标函数z=ax-y的最优解,则a的取值范围是()A.B.C.D.解析:因k BC=-,k AC=-,故a∈.最优解为C点,则目标函数表示的直线的斜率在直线BC与AC的斜率之间.答案:B4.已知三点A(x0,y0),B(1,1),C(5,2),如果一个线性规划问题的可行域是△ABC的边界及其内部,线性目标函数z=ax+by在点B处取得最小值3,在点C处取得最大值12,则下列关系成立的是()A.3≤x0+2y0≤12B.x0+2y0≤3或x0+2y0≥12C.3≤2x0+y0≤12D.2x0+y0≤3或2x0+y0≥12解析:由题设,得z min=a+b=3,z max=5a+2b=12,联立解得a=2,b=1,则z=2x+y.又对于可行域内的任意点(x,y),都有3≤z≤12,故3≤2x0+y0≤12.答案:C5.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则的最大值是()A.B.C.D.解析:易知a≠0,目标函数z=x+ay可化为y=-x+z,由题意,a<0且当直线y=-x+z与直线AC重合时符合题意.此时k AC=1=-.∴a=-1.又∵的几何意义是区域内动点(x,y)与P(-1,0)连线的斜率,显然k PC=最大.答案:B6.(2014山东高考)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为() A.5 B.4 C. D.2解析:约束条件满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取最小值时,最优解为(2,1).所以2a+b=2,则b=2-2a,所以a2+b2=a2+(2-2a)2=5a2-8a+20=5+4,即当a=,b=时,a2+b2有最小值4.答案:B7.(2014福建高考)若变量x,y满足约束条件则z=3x+y的最小值为.解析:由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示.由线性目标函数z=3x+y,得y=-3x+z,可知其过A(0,1)时z取最小值,故z min=3×0+1=1.故答案为1.答案:18.某实验室需购买某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,第一种每袋是35千克,价格为140元;第二种是每袋24千克,价格为120元,在满足需求的条件下,最少要花费元.解析:设第一种为x袋,第二种为y袋,总的花费为z元,由题意知35x+24y≥106(x,y均为整数),且z=140x+120y.其中x=0,1,2,3,4,相应y值和花费如下:x=0,y=5,z=600;x=1,y=3,z=500;x=2,y=2,z=520;x=3,y=1,z=540;x=4,y=0,z=560.易见,最少要花费500元.答案:5009.(2014浙江高考)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.解析:作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示,令z=ax+y,即y=-ax+z.作直线l0:y=-ax,平移l0,最优解可在A(1,0),B(2,1),C处取得.故由1≤z≤4恒成立,可得解得1≤a≤.答案:10.已知x,y满足约束条件求解下列问题:(1)求目标函数z=4x-y的最小值;(2)若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,求的最小值.解:不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.(1)z min=-2.(2)当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,所以+2=,当且仅当a=b=时,等号成立.即的最小值为.11.学校有线网络同时提供A,B两套校本选修课程.A套选修课播40分钟,课后研讨20分钟,可获得学分5分;B套选修课播32分钟,课后研讨40分钟,可获学分4分.全学期20周,网络每周开播两次,每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟,研讨时间不得少于1000分钟.两套选修课怎样合理选择,才能获得最好学分成绩?解:设选择A,B两套课程分别为x,y次,z为学分,则如图所示:目标函数:z=5x+4y.由方程组解得:点A(15,25),B(25,12.5),由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等,因此在图中阴影线段AB上的整数点A(15,25),C(19,20),D(23,15)都符合题意,使得学分最高为175分.但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点.例如,学生需要最省时就可以选择点A(15,25).。
人教新课标版数学高二B版必修5课时作业 3.5.2 简单线性规划
一、选择题1．图3－5－2中阴影部分的点满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是( )图3－5－2A ．(0,5)B ．(1,4)C ．(2,4)D ．(1,5)【解析】 目标函数可化为y ＝－34x ＋z 8，因为－34>－1，∴当过点(0,5)时，目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值． 【答案】 A2．现有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，设需x 辆载重6吨汽车和y 辆载重4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )A ．z ＝6x ＋4yB ．z ＝5x ＋4yC ．z ＝x ＋yD ．z ＝4x ＋5y【解析】 由题意，要运送最多的货物，先找到两类型汽车运送的总货物量，即z ＝6x ＋4y .【答案】 A3．(2013·东营高二检测)已知x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8D ．10【解析】 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方．显然|AC |长度最小，∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 【答案】 D4．(2013·惠州高二检测)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，则z ＝x－y 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．【解析】 画出可行域，如图中的阴影部分所示．如图知，－z 是直线y ＝x －z 在y 轴上的截距，当直线y ＝x －z 经过点A (2,0)时，－z 取最小值，此时x ＝2，y ＝0，则z 的最大值是x －y ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 经过点B (0,1)时，－z 取最大值，此时x ＝0，y ＝1，则z 的最小值是x －y＝0－1＝－1，所以z＝x－y的取值范围为－1≤z≤2.【答案】 C5．某厂拟用集装箱托运甲，乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各被托运的箱数为()货物体积/箱(m3)质量/箱(50 kg)利润/箱(百元)甲5220乙4510 托运限制2413C．1,4D．2,4【解析】设托运货物甲x箱，托运货物乙y箱，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧5x＋4y≤242x＋5y≤13x≥0，y≥0，x，y∈N*，利润z＝20x＋10y，由线性规划知识可得，当x＝4，y＝1时，利润最大．【答案】 A二、填空题6．若变量x，y满足约束条件⎩⎨⎧x＋2y－5≤0，x－y－2≤0，x≥0，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为________．【解析】画出x，y的可行域，如图阴影部分，直线x＋2y－5＝0与直线x －y－2＝0交于点A(3,1)，当z＝2x＋3y＋1过A点时，使得z＝2x＋3y＋1取得最大值，z max ＝2×3＋3＋1＝10.【答案】 107．已知x 、y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k＝________.【解析】 由条件作出可行域如图．根据图象知，目标函数过x ＋y ＋k ＝0与x ＝3的交点(3，－3－k )时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k )，∴k ＝0.【答案】 08．(2013·烟台高二检测)设x ，y满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则ab 的取值范围是________．【解析】 作出可行域如图． ∵a >0，b >0.∴当ax ＋by ＝z 经过A 时，z 取得最大值．∴4a ＋6b ＝12,2a ＋3b ＝6， ∴ab ＝16×(2a )×(3b )≤16×(62)2＝32， 即ab ∈(0，32 三、解答题9．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，求z ＝x ＋2y 的最小值．【解】 作出可行域如图阴影部分所示， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3，y ＝x －9，解得A (4，－5)． 当直线z ＝x ＋2y 过A 点时z 取最小值，将A (4，－5)代入， 得z min ＝4＋2×(－5)＝－6.10．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【解】 作出可行域如图所示．得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4， ∴点C 的坐标为C (1,4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a >0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.11．(2013·厦门高二检测)某工厂用两种不同的原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可生产产品90千克，若采用乙种原料，每吨成本1 500元，运费400元，可生产产品100千克，若每日预算总成本不得超过6 500元，运费不得超过2 200元，问此工厂如何安排每日可生产产品最多？最多生产多少千克？【解】 设采用甲种原料x 吨、乙种原料y 吨，生产产品z 千克．则有：⎩⎪⎨⎪⎧1 000x ＋1 500y ≤6 500500x ＋400y ≤2 200x ≥0，y ≥0，z ＝90x ＋100y ，即y ＝－910x ＋z100. 其可行域为：由图形知：点A 是z 取最大值时的最优解．解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝135x ＋4y ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，即A (2,3)，∴z max ＝90×2＋100×3＝480千克． 答：工厂安排采用甲种原料2吨、乙种原料3吨时每日可生产产品最多，最多为480千克．。
人教新课标版数学高二B版必修5规范训练 3.5.2 简单线性规划
双基达标 (限时20分钟)1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )．A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．无最小值，也无最大值解析 不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，的平面区域为如图的阴影区域．x ＋y 在点A (2,0)处取最小值为2，无最大值．答案 B2．某中学新学期需要购买一批球类体育器材，已知篮球的价格为每只80元，排球的价格为每只60元，现计划该项支出为3 000元，若设购买篮球x 只，排球y 只，则购买球类体育器材的约束条件是( )．A ．80x ＋60y ＝3 000B ．80x ＋60y ≤3 000C ．80x ＋60y ≥3 000D ．80x ＋60y <3 000解析 由题意可得购买球类体育器材的总金额是购买篮球、排球的函数，即S ＝80x ＋60y .因为计划该项支出为3 000元，所以购买球类体育器材的约束条件是80x ＋60y ≤3 000, 故应选B.答案 B3．图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0，在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋8y 取得最大值的点的坐标是( )．A ．(1,4)B ．(0,5)C ．(5,0)D ．(3,0)解析 作出可行域如图，当直线z ＝6x ＋8y 过点(0,5)时z max ＝40.答案 B4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝2x ＋y 的最小值为 .解析 易知直线z ＝2x ＋y 过A (－52，52)时，如图，z min ＝2×(－52)＋52＝－52.答案 －525．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x ≥0，y ≥0，则不等式组表示的区域面积为 ，z ＝y ＋2x －1的取值范围是 .解析 易知A (3,0)，B (0,1)，∴S △AOB ＝32，k PA ＝1，k PO ＝－2，∴z ≤－2或z ≥1.答案 32(－∞，－21，＋∞)6．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目． 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．综合提高 (限时25分钟)7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )．A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,01，＋∞)解析 可行域如图阴影，y x －1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得yx －1>1或yx －1<－1. 答案 B9．如下图所示的坐标平面的可行域内(包括阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于.解析 令z ＝0，l 0：y ＝－ax ，当－a ＝k AC ＝4－22－4＝－1.即a ＝1时，z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个．答案 110．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于 ，最大值等于 .解析 画出可行域如图所示，则A (2,2)，B (1,3)，C (1,1)， ∴OA ＝22，OB ＝10，OC ＝2， 即|OP |的最大值为10，最小值为 2.答案21011．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求z ＝4x －3y 的最值． (2)求u ＝x 2＋y 2的最值．解 原不等式组表示的平面区域如图所示．其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)．(1)作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小；当l 过B 点时，t 最大；∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14， z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)∵u ＝x 2＋y 2表示点 (x ，y )到原点的距离，结合不等式组所表示的区域，知B 点到原点距离最大；而当(x ，y )在原点时，距离最小为0.∴u max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，u min ＝012．(创新拓展)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为 .解析 由图形可知，目标函数在(4,6)处取得最大值12， ∴4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，从而有2a ＋3b＝16(2a ＋3b )(2a ＋3b ) ＝16(6b a ＋4＋9＋6a b ) ＝136＋16(6b a ＋6a b ) ＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2b a ·a b ＝136＋2＝256当且仅当a ＝b 时等号成立 ∴2a ＋3b 的最小值为256.25答案6。
人教B版高中数学必修五《3.5.2 简单线性规划》_10
板书设计
3．3．2简单的线性规划问题
一、基本概念：
线性约束条件、线性目标函数、线性规划1)画可行域(2)移平行直线
(3)求最优解(4)作出答案
及时进行教学阶段小结，
同时提出思考、引入后续探究活动
类比题型、开放型问题创设一个探究、讨论的课堂氛围，激发学生的学习情趣，增强师生、生生之间的互动，体现新课程中让学生“做主学”的理念
探究练习，增强互动，开阔视野
通过小结再次强调并巩固本节知识点重点
“家电生产方案的确定”与“电视台连续剧的收拾率”两个
实例均是具有时代气息的线性规划应用题，通过作业再
例1：
求z=3x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件
思考：
目标函数：Z=2x+3y
4、巩固练习
如图所示，△ABC的三顶点 ，点P（x，y）在△ABC内部及其边界运动。
请你探究并讨论以下问题(并分析：是否对于所有的z=ax+by的目标函数都是在平行线组在y轴上的截距最大时z最大，在y轴上的截距最小时z最小):
结合以上探究给出基本概念：
线性约束条件：关于 、 的一次不等式，有时也用一次方程表示。如（1）
线性目标函数：要求最大值的函数，如：
线性规划：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题。
可行解：满足线性约束条件的解（ 、 ）
可行域：所有可行解组成的集合
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。如A（5，2）,B(1,1)
课题
3．5．2简单的线性规划问题
课型
新课
第一课时
教学目标
知识目标：了解基本概念，掌握图解法基本步骤，让学生在实际情境中感受数学思想的同时获得数学方法。
数学人教B版5课后训练：3.5.2 简单线性规划含解析
课后训练1．设x ,y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z ＝x ＋y （ ）．A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3,无最小值D ．既无最小值，也无最大值2．如图,目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)，若24(,)35C 是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是（ ）．A ．105(,)312-- B ．123(,)510-- C ．312(,)105 D ．123(,)510- 3．某公司招收男职员x 名,女职员y 名，x 和y 须满足约束条件51122,239,211,x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z ＝10x ＋10y 的最大值是（ ）．A ．80B ．85C ．90D ．954．给出下列定义:连接平面点集内两点的线段上的点都在该点集内,则这种线段的最大长度就叫做该平面点集的长度．已知平面点集M 由不等式组2210,10,0x x x y y ⎧--≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩给出，则M 的长度是( )．AB ．52C ．94 D5．给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y （a ＞0）取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为（ )．A．35B．14C．4 D．536．在满足不等式组5,26,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是______．7．平面上满足约束条件2,0,60xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩的点(x，y）形成的区域为D，则区域D的面积为______；设区域D关于直线y＝2x－1对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为______．8．已知实系数方程x2＋ax＋2b＝0的两根在区间(0，1）与区间(1，2)内，则21ba--的取值范围是__________．9．已知x，y满足约束条件360,20,0,0,x yx yx y--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩求解下列问题：（1）求目标函数z＝4x－y的最小值;(2)若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0）的最大值为12，求23a b+的最小值．10．学校有线网络同时提供A，B两套选修课程．A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟,可获学分4分．全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容．学校规定学生每学期收看选修课不超过1 400分钟，研讨时间不得少于1 000分钟．两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？参考答案1。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.5.2 简单线性规划》7
【教学过程】一、（一）问题探究：已知签字笔2元一支，练习本1元一本。
某同学欲购买的签字笔不少于3支，练习本不少于5本，但买签字笔和练习本的总数量不超过10，则支出的钱数最多是多少元？最少是多少元？经过B3,5，min 11z =，经过C5,5, max 15z =y（二）归纳提升，引出线性规划的概念,的不等关系表示成的不等式（组），称为（约束条件），如果约束条件中都是关于,的一次不等式，称为（线性约束条件）2在线性约束条件下，欲达到最大值或最小值所涉及的关于变量,的函数解析式=f ,称为（目标函数），当f ,是关于,的一次解析式时，=f ,称为（线性目标函数）3在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为（线性规划），满足线性约束条件的解（,）叫做（可行解）由所有可行解组成的集合叫做（可行域），使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的（最优解）。
4 解线性规划问题的步骤：（1）列：设未知数，列出不等式组及目标函数式；（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域和直线0；（3）移：平移。
找出最值得位置；x y 解：设购买签字笔支，练习本本,支出钱数为z 3510,2x y x y x N x N z x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩=+由题意得：（4）解：通过解方程组求出最优解;5答：作出答案。
（三）典例探究： 学生分组研究讨论例2、，y x 、满足以下条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，求（1）y x z +=2的最值；（2）求y x z 2+=的最值;（3）求y x z -=2的最值；（4）求y x z 53+=的最值。
解：（1）234只探讨最值位置，留课下学生自己完成。
例2、y x 、满足以下条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x（1）求xy z =的最值；（2）求22y x z +=的最值 解析：（1））y z x =的几何意义是点（x,y)与原点（0,0）决定的直线的斜率AB max 5212B z =经过（，）时，0:2l y x =-作直线0l 平移min 113A z =经过（，）时，2y x =-（2）22(,)0,0 z x y x y=+的几何意义是点到原点（）的距离的平方（四）课堂小结：1、线性规划问题的有关概念。
2022-2021学年高二数学人教B必修5学案：3.5.2 简单线性规划(一) Word版含答案
3.5.2 简洁线性规划(一)明目标、知重点 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题．1．线性规划中的基本概念名称 定义目标函数 要求最大值或最小值的函数，叫做目标函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组线性目标函数 假如目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数 线性约束条件 假如目标函数是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件 线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题最优解 使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解可行解 满足线性约束条件的解，叫做可行解 可行域由全部可行解组成的集合叫做可行域2.目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组相互平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．[情境导学]在生产与营销活动中，我们经常需要考虑：怎样利用现有的资源(人力、物力、资金……)，取得最大的收益．或者，怎样以最少的资源投入去完成一项给定的任务．我们把这一类问题称为“最优化”问题．不等式的学问是解决“最优化”问题的得力工具．本节我们将借助二元一次不等式(组)的几何表示，学习“最优化”问题中的简洁“线性规划”问题． 探究点一 线性规划中的基本概念问题 某工厂方案生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A 种原料3 kg ，B 种原料1 kg ；生产乙产品1工时需要A 种原料2 kg ，B 种原料2 kg ，现有A 种原料1 200 kg ，B 种原料800 kg.假如生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？思考1 “问题”中的数量关系比较简洁，为清楚起见，你能用表格表示出来吗？ 答 依题意可列表如下：产品原料A 数量(kg) 原料B 数量(kg) 利润(元)生产甲种产品1工时3 1 30 生产乙种产品1工时2 2 40 限额数量1 200800思考2 制条件？如何表示获得的利润总额？ 答 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤1 200x ＋2y ≤800x ≥0y ≥0.获得的利润总额为f ＝30x ＋40y .思考3 写出x ，y 满足的不等式组后，求利润的总额最大问题转化成了什么问题？ 答 转化成了在x ，y 满足不等式组的条件下，求f ＝30x ＋40y 的最大值．思考4 如下图，不等式组的解集对应着不等式组表示的平面区域的点集，在此前提下，求利润的总额最大问题又可转化成什么问题？答 转化成在不等式组表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子30x ＋40y 时，使该式取得最大值． 思考5 若把f ＝30x ＋40y 变形为y ＝－34x ＋f 40，这是斜率为定值－34，在y 轴上的截距为f40的直线，在此背景下，如何求f 的最大值？答 如图(见思考4)，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，就能确定一条直线，因而确定出唯一截距f 40，而且当截距f 40最大时，f 取得最大值．由图可以看出，当直线y ＝－34x ＋f40经过点B 时，截距的值最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1 200x ＋2y ＝800，得点B 的坐标为(200,300)，将x ＝200，y ＝300代入f ＝30x ＋40y ，得f max ＝30×200＋40×300＝18 000.答 用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得利润18 000元，此时利润总额最大．小结 (1)在上述问题中，我们把要求最大值或最小值的函数f ＝30x ＋40y 叫做目标函数，目标函数中的变量所要满足的不等式组称为约束条件．(2)假如目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数，假如约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)，则称为线性约束条件．(3)在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．(4)一般地，满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解，由全部可行解组成的集合叫做可行域． 探究点二 生活中的线性规划问题例1 下表给出甲、乙、丙三种食物中的维生素A ，B 的含量及单价：甲 乙 丙 维生素A (单位/千克) 400 600 400 维生素B (单位/千克) 800 200 400 单价(元/千克)765养分师想购买这三种食物共B 不少于4 800单位，而且要使付出的金额最低，这三种食物应各购买多少千克？解 设购买甲种食物x 千克，乙种食物y 千克，则购买丙种食物(10－x －y )千克，又设总支出为z 元，依题意得z ＝7x ＋6y ＋5(10－x －y )， 化简得z ＝2x ＋y ＋50. x ，y 应满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧400x ＋600y ＋400(10－x －y )≥4 400800x ＋200y ＋400(10－x －y )≥4 800x ≥0，y ≥010－x －y ≥0，化简，得⎩⎨⎧y ≥22x －y ≥4x ＋y ≤10x ≥0.依据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示．画直线l 0：2x ＋y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点的坐标使目标函数取最小值，简洁看出，点M 符合上述条件，点M 是直线y ＝2与直线2x －y ＝4的交点． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x －y ＝4 得点M (3,2)．因此，当x ＝3，y ＝2时，z 取得最小值 z min ＝2×3＋2＋50＝58， 此时，10－x －y ＝5.答 购买甲食物3千克，乙食物2千克，丙食物5千克时，付出的金额最低为58元．反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键在于平移目标函数对应的直线ax ＋by ＝0，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最终离开可行域，则这样的点即为最优解，再留意到它的几何意义，从而确定是取得最大值还是最小值．跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即为可行域．设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一族平行直线．－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2x －3y 取得最小值．由图可见，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝5得A 的坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝1得B 的坐标为(2，－1)．∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]．例2 某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱能够装所托运货物的总体积不能超过24 m 3，总质量不能低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积，质量和可获得的利润，列表如下：货物 每袋体积(单位：m 3)每袋质量(单位：百千克)每袋利润(单位：百元)甲 5 1 20 乙42.510解 设托运甲种货物x 袋，乙种货物y 袋，获得利润z 百元，则z＝20x ＋10y .依题意，可得关于x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤242x ＋5y ≥13x ≥0，y ≥0依据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示．画直线l 0：20x ＋10y ＝0.即2x ＋y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域的某点，并且可行域内的其他各点都在l 的包含直线l 0的同一侧，该点到直线l 0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取最大值，简洁看出，图中的点M 符合上述条件．点M 是直线2x ＋5y ＝13与直线5x ＋4y ＝24的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝242x ＋5y ＝13，得点M (4,1)．因此当x ＝4，y ＝1时，z 取得最大值．此时， z max ＝20×4＋10×1＝90.答 在一个大集装箱内装甲种货物4袋，乙种货物1袋，可获得最大利润9 000元.反思与感悟 用图解法解决简洁的线性规划问题的基本步骤：(1)查找线性约束条件，线性目标函数；(2)作出可行域；(3)平移目标函数对应的直线确定最优解；(4)求出最优解的坐标及目标函数的最值．跟踪训练2 A 、B 两个居民小区的居委会组织本小区的中同学，利用双休日去市郊的敬老院参与献爱心活动，两个小区都有同学参与．已知A 区的每位同学来回车费是3元，每人可为5位老人服务；B 区的每位同学来回车费是5元，每人可为3位老人服务．假如要求B 区参与活动的同学比A 区的同学多，且去敬老院的来回总车费不超过37元．怎样支配参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少人？解 设A 、B 两区参与活动的人数分别为x ，y ，受到服务的老人人数为z ，则z ＝5x ＋3y ，应满足的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥13x ＋5y ≤37x ≥1x ，y ∈Z ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤03x ＋5y ≤37x ≥1x ，y ∈Z.依据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域，如图阴影部分所示． 画直线l 0：5x ＋3y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域中的某点．简洁看出，点M 符合上述条件，点M 是直线x －y ＋1＝0与直线3x ＋5y ＝37的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－13x ＋5y ＝37， 得点M (4,5)．因此，当x ＝4，y ＝5时，z 取得最大值，并且z max ＝5×4＋3×5＝35.答 A 、B 两区参与活动同学的人数分别为4、5时，受到服务的老人最多，最多为35人．1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52答案 C解析 画出可行域如图．设z ＝x ＋2y ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53， 所以(x ＋2y )max ＝53.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 答案 B解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有很多个，则a 的一个可能值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．1 答案 A解析 －1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．答案 8解析 如图，由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点A (0,2)处取得最大值8. [呈重点、现规律]1．用图解法解决简洁的线性规划问题的基本步骤： (1)查找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ； (3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．2．一般地，对目标函数z ＝ax ＋by ，若b >0，则纵截距与z 同号，因此，纵截距最大时，z 也最大；若b <0，则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大时，z 反而最小．3．作不等式组表示的可行域时，留意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要留意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．一、基础过关1．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z min ＝2×(－2)－2＝－6.2．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5,3)． ∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．答案 [3,8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤42≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8. 所以z ∈[3,8]．6．已知x ，y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求z ＝4x －3y 的最大值和最小值．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0所表示的可行域如图所示：其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)，作一族与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y －z ＝0， 当l 过点C 时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大， ∴z min ＝4×(－3)－3×2＝－18， z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14. 7．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7. 二、力气提升8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．42 答案 B解析 由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.10．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造1 t 甲产品要用煤9 t ，电力4 kW ，劳动力(按工作日计算)3个；制造1 t 乙产品要用煤4 t ，电力5 kW ，劳动力10个．又知制成甲产品1 t 可获利7万元，制成乙产品1 t 可获利12万元．现在此工厂只有煤360 t ，电力200 kW ，劳动力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少吨能获得最大经济效益？解 设此工厂应分别生产甲、乙产品x t 、y t ，利润z 万元，则依题意可得约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，利润目标函数为：z ＝7x ＋12y . 画出可行域如图所示．作直线l ：7x ＋12y ＝0，把直线l 向右上方平移至l 1位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z ＝7x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝300，4x ＋5y ＝200，得M 点坐标为(20,24)．∴生产甲种产品20 t ，乙种产品24 t ，才能使此工厂获得最大利润.11．某公司方案在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何支配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大．最大收益是多少万元？解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .作出可行域如图所示：作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，由图可知当l 过点M 时，目标函数z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900.得M (100,200)． ∴z max ＝3 000×100＋2 000×200＝700 000(元)．答 该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元． 三、探究与拓展12．假如点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．解 画出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32.。
(人教B版必修5)3.5.2简单线性规划(2)学案(含答案)
3.5.2 简单线性规划(二)自主学习知识梳理1．用图解法解线性规划问题的步骤：(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．3．线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题利用图形直观、形象、简便地寻找出来．自主探究结合下面的具体问题想一想，在什么情况下，目标函数的最优解可能有无数多个？在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )A．－3 B．3 C．－1 D．1对点讲练知识点一实际应用中的最优解问题例1某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？总结 利用图解法解决线性规划实际问题，要注意合理利用表格，处理繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求，如果要求整点，则用逐步平移法验证．变式训练1 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．知识点二 实际应用中的最优整数解问题例2 要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A 、B 、C 且使所用钢板张数最少？总结 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析．变式训练2 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y≥－22，2x ＋3y≥9，2x≤11，则z ＝10x＋10y 的最大值是________．1．解答线性规划的实际应用问题应注意的问题：(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；(3)结合实际问题，未知数x 、y 等是否有限制，如x 、y 为正整数、非负数等；(4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数)，则它不是最优整数解，此时必须在可行域内该点的附近调整为整点．常用调整方法有：(1)平移直线法：先在可行域内打格，再描整点，平移直线l ，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解．(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解． (3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整数解.课时作业一、选择题1．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y≥0，x≤0，则z ＝x ＋2y 的最小值是( )A ．0 B.12 C ．1D ．22.如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35C ．4 D.533．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )A ．36万元B ．31.2万元C ．30.4万元D ．24万元4．如图所示，目标函数z ＝kx －y 的可行域为四边形OABC ，仅点B(3,2)是目标函数的最优解，则k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53 C.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－43 二、填空题5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．6．已知平面区域D 由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y)可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.三、解答题7．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？8．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A 、B 两种规格的金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用一张A 种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用一张B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？3．5.2 简单线性规划(二)自主探究A [－1a ＝2－14－1＝13，∴a＝－3.结论：当目标函数对应的直线经过可行域的一条边界时，最优解可能有无数多个．] 对点讲练例1 解(1)则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x≤902x≤600z ＝80x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤900x≤300⇒x≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y≤901·y≤600z ＝120y⇒⎩⎪⎨⎪⎧y≤450y≤600⇒y≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y≤902x ＋y≤600x≥0y≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤900，2x ＋y≤600，x≥0，y≥0.z ＝80x ＋120y.在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域． 作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600解得点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时， z max ＝80×100＋120×400 ＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大． 变式训练1 20 24 解析设每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，总利润为S 万元， 依题意约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y≤3004x ＋5y≤2003x ＋10y≤300x≥15y≥15目标函数为S ＝7x ＋12y从图中可以看出，当直线S ＝7x ＋12y 经过点A 时，直线的纵截距最大，所以S 也取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y －200＝03x ＋10y －300＝0得A(20,24)，故当x ＝20，y ＝24时，S max ＝7×20＋12×24＝428(万元)例2 解 设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张． ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥15x ＋2y≥18x ＋3y≥27x≥0，y≥0.作出可行域(如图)：(阴影部分)目标函数为z ＝x ＋y作出一组平行直线x ＋y ＝t ，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x ＋3y ＝27和直线2x ＋y ＝15的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395，直线方程为x ＋y ＝575.由于185和395都不是整数，而最优解(x ，y)中，x ，y 必须都是整数，所以可行域内点⎝ ⎛⎭⎪⎫185，395不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x ＋y ＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．变式训练2 90 解析该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x ，y∈N *，计算区域内与点⎝ ⎛⎭⎪⎫112，92最近的整点为(5,4)，当x＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.课时作业 1．A2．B [由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a＝35.]3．B [设投资甲项目x 万元，投资乙项目y 万元，可获得利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤60，x≥23y ，x≥5，y≥5，z ＝0.4x ＋0.6y.由图象知，目标函数z ＝0.4x ＋0.6y 在A 点取得最大值． ∴y max ＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．]4．C [y ＝kx －>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意． ∴k<0，∵只有点(3,2)是目标函数的最优解．∴k AB <k<k BC ，即－2<k<－23.]5．2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y≥50，10x ＋20y≥140，x∈N *，y∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y.作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元． 6．1解析 如图所示，目标函数可化为y ＝－1m x ＋zm，若m>0，则z 的最小值对应截距的最小值，可知m ＝1，满足题意； 若m<0，则z 的最小值对应截距的最大值，m ＝－1及－2均不合题意．7．解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤10，0.3x ＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝100.3x ＋0.1y ＝1.8得x ＝4，y ＝6，此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∵7>0，∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．8．解 设A 、B 两种金属板各取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y≥45，5x ＋6y≥55，x≥0，y≥0，目标函数z ＝2x ＋3y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图所示．z ＝2x ＋3y 变为y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上的截距为z3.当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上的点M 时，截距最小，z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25(m 2)．因此，两种金属板各取5张时，用料面积最省．。
人教版数学高二B版必修5同步训练3.5.2简单线性规划
3.5.2 简单线性规划5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.目标函数z=3x-y，将其看成直线方程时，z的意义是（）A.该直线的截距B.该直线的纵截距C.该直线纵截距的相反数D.该直线的横截距解析：由目标函数z=3x-y，得y=3x-z.令x=0,得y=-z.也就是说,z表示该直线纵截距的相反数,故选C.答案：C2.能表示下图阴影部分的二元一次不等式组是（）A.⎩⎨⎧≤+-≤≤221yxyB.⎩⎨⎧≥+-≤221yxyC.⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≤≤221xyxyD.⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≤221yxxy解析：从图中可看出，阴影部分满足0≤y≤1，-1≤x≤0.因为点（0，0）在2x-y+2=0下方，且（0，0）点坐标代入方程左端有2×0-0+2＞0，因为阴影部分符合2x-y+2＞0.故选C.答案：C3.若0≤x≤1，-1≤y≤2，则z=x+4y的最小值为_____________.解析：如下图所示，当直线z=x+4y过点（0，-1）时，z取最小值，则z min=0+4×（-1）=-4.答案：-44.设z=2y-x，式中变量x、y满足下列条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-,12323,12yyxyx，则z的最大值为____________.解析：在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC 中满足z=2y-x的最大值是点C，代入得最大值等于11.答案：1110分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.设E为平面上以三点A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）为顶点的三角形区域（包括边界），则z=4x-3y的最大值与最小值分别为（）A.14，-18B.-14，-18C.18，14D.18，-14解析：当动直线z=4x-3y通过点B时，z取最大值，通过点C时，z取最小值.答案：A2.完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设请木工x人，瓦工y人，请工人数的约束条件是（）A.⎩⎨⎧∈≤+*,532NyxyxB.⎪⎩⎪⎨⎧=≤+3220004050yxyxC.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=≤+*,3220045NyxyxyxD.⎪⎩⎪⎨⎧=<+32,10065yxyx解析：工人数x、y必须为正整数，所以可排除B、D，再根据工资预算列线性约束条件，得5x+4y≤200.故选C.答案：C3.已知实数x、y满足⎩⎨⎧-≥≤.|1|,1xyy则x+2y的最大值是_____________.解析：已知实数x、y满足⎩⎨⎧-≥≤.|1|,1xyy在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是A(0，1)，B(1，0)，C(2，1)，∴x+2y的最大值是4.答案：44.在线性条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,yyxxy下，z=2x-y的最大值是___________,最小值是___________.解析：约束条件的可行域,如下图中△ABC的内部加上边界.当z为常数时，-z表示直线z=2x-y在y轴上的截距.如下图所示，当点（x，y）位于点C（-1，-1）时，-z取最大值.∴z有最小值，z min=2×（-1）-（-1）=-1.当点（x，y）位于点B（2，-1）时，-z取最小值，∴z有最大值，z max=2×2-（-1）=5.答案：5,-1.5.已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取值范围为_______________.解析：变量x，y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.在坐标系中画出可行域，如下图为四边形ABCD，其中A(3，1)，k AD=1,k AB=-1，目标函数z=ax+y（其中a＞0）中的z表示斜率为-a 的直线截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大值，则斜率应小于k AB=-1，即-a＜-1，所以a 的取值范围为(1，+∞).答案：(1，+∞)6.若x,y满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≤-+.0104,01023,0122yxyxyx求z=x+2y的最大值和最小值.解：画出可行域，平移直线找最优解.作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如下图所示.作直线l：z=x+2y，即y=21-x+21z，它表示斜率为21-，纵截距为2z的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线l过点A时,z取得最大值，当l过点B时，z取得最小值.所以,z max=2+2×8=18,z min=-2+2×2=2.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115xyxyx则z=10x+10y的最大值是（）A.80B.85C.90D.95解析：画出可行域,寻找最优解.故找到（5，4）点，∴z=10x+10y.最大值为10×5+10×4=90.答案：C2.在△ABC中，三顶点A（2，4）、B（-1，2）、C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x-y的最大值为（）A.1B.-3C.-1D.3解析：先画出△ABC，如下图所示，对z=x-y，可看成y=x-z，求z的最值，相当于找斜率为1的直线经过△ABC区域时纵截距的有关最值.可知，直线经过C、B点，纵截距-z分别取最小值-1及最大值3，从而z分别取最大值1及最小值-3.答案：A3.如下图，目标函数z=ax-y的可行域为四边形OACB（含边界），若C（54,32）是该目标函数z=ax-y的最优解，则a的取值范围是（）A.（125,310--） B.（103,512--）C.（512,103） D.（103,512-）解析：因k BC =103-，k AC =512-，故a ∈（512-，103-）.最优解为C 点，则目标函数表示的直线的斜率在直线BC 与AC 的斜率之间.答案：B4.已知三点A （x 0，y 0）、B （1，1）、C （5，2），如果一个线性规划问题的可行域是△ABC 的边界及其内部，线性目标函数z=ax+by 在点B 处取得最小值3，在点C 处取得最大值12，则下列关系成立的是（ ）A.3≤x 0+2y 0≤12B.x 0+2y 0≤3或x 0+2y 0≥12C.3≤2x 0+y 0≤12D.2x 0+y 0≤3或2x 0+y 0≥12解析：由题设，得z min =a+b=3，z max =5a+2b=12，联立解得a=2，b=1，则z=2x+y.又对于可行域内的任意点（x ，y ），都有3≤z≤12，故3≤2x 0+y 0≤12.答案：C5.可行域D ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,0,04,01y x y x y x 与可行域E ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤250,40y x 对应的点集间的关系是____________. 解析：分别作出可行域D 和E ，其中两直线x-y+1=0与x+y-4=0交点坐标为（25,23），如下图所示，可知区域D 的点全部落在E 区域内，且E 中有更多的点，故D E.答案：D E6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤05,0,3y x y x x 表示的平面区域的面积为______________.解析：作出不等式组表示的可行域，如下图所示，可知图形为三角形，可求BC=11，BC 边上的高为253+=211，∴S=21×11×211=4121.答案：41217.在满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+,0,62,5yxyxyx的点中，使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是_____________.解析：首先根据不等式组表示的约束条件画出对应的平面区域,然后由直线k=6x+8y在平面区域内平移可得在点（0，5）处取最大值.答案：（0，5）8.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+.052,053,052yxyxyx问（x+1）2+（y+1）2的最大值、最小值各是多少?解：作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+52,053,052yxyxyx表示的可行域.由⎩⎨⎧=-+=+-.052,052yxyx得:A（1，3）;由⎩⎨⎧=--=+-.053,052yxyx得:B（3，4）;由⎩⎨⎧=-+=--.052,053yxyx得:C（2，1）.z=（x+1）2+（y+1）2表示可行域内的点到点（-1，-1）的距离的平方.以（-1，-1）为圆心，z为半径画圆，当圆经过点B时，z最大；当圆经过点C时，z最小.∴当x=3，y=4时，（x+1）2+（y+1）2=41最大,当x=2，y=1时，（x+1）2+（y+1）2=13最小.9.学校有线网络同时提供A、B两套校本选修课程.A套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；B套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分.全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容.学校规定学生每学期收看选修课不超过1 400分钟，研讨时间不得少于1 000分钟.两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？解：设选择A、B两套课程分别为x、y次，z为学分，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+≤+≤+.,,10004020,14003240,40Nyxyxyxyx图示如下：目标函数:z=5x+4y.由方程组解得:点A(15,25),B(25,12.5),由于目标函数的斜率与直线AB的斜率相等，因此在图中阴影线段AB上的整数点A（15，25）、C（19，20）、D（23，15）都符合题意，使得学分最高为175分.但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点.例如，学生需要最省时就可以选择点A(15，25).10.海湾战争，美军两支部队从不同驻地到某攻击点会师，实行合围，其运动时间可能需要5至6小时.伊军一旦发现情况后只需20分钟集结就会遁逸.全歼伊军胜算的概率有多少？解：以x、y分别表示两支部队到达攻击点的时刻，则两支部队能在伊军逃走前会师的条件为|x-y|≤20,x、y∈［0,60］,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+-≤--.60,60,020,020yxyxyx图示如下：在直角坐标系中画出x、y的可行域，如上图中阴影部分所示，显然两支部队可能在伊军逃走前会师的时间为图中边长等于60的正方形内的点（包括边界），两支部队能在伊军逃走前会师的机会为图中阴影部分，从而可得到所求的概率为P=602-2×956040402126022=⨯⨯⨯-.。
高中数学人教B版必修5学案：3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.5.2简单线性规划课堂探究学案含答案
3.5.2 简单线性规划课堂探究一、图解法求最值的实质剖析：设目标函数为z ＝Ax ＋By ＋C (AB ≠0)，由z ＝Ax ＋By ＋C 得y ＝－AB x ＋z －CB．这样，二元一次函数就可以视为斜率为－A B ，在y 轴上截距为z －CB，且随z 变化的一组平行线．于是，把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值和最小值的问题．当B >0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B <0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．名师点拔 (1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最优解一般就是多边形的某个顶点．(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误． 二、常见的线性规划问题类型剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．(2)线性规划问题的常见类型有： ①物资调运问题例如已知A 1，A 2两煤矿每年的产量，煤需经B 1，B 2两个车站运往外地，B 1，B 2两车站的运输能力是有限的，且已知A 1，A 2两煤矿运往B 1，B 2两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？②产品安排问题例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A ，B ，C 三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？题型一 线性目标函数的最值问题【例1】 (1)(2013·四川高考，文8)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16 解析：画出可行域，如图．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝8，2y －x ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.即A 点坐标为(4，4)，由线性规划可知，z max ＝5×4－4＝16，z min ＝0－8＝－8，即a ＝16，b ＝－8， ∴a －b ＝24．故选C ． 答案：C(2)(2013·课标全国Ⅱ高考，理9)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3).若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2解析：由题意作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝1，因为直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y ＝a (x －3)过点(1，－1)，代入得a ＝12，所以a ＝12．答案：B反思 解决线性目标函数的最值问题一般用图解法，但应注意作图要规范，且要弄清函数值与截距的内在联系；对于第(2)小题属逆向问题，在解决时也要正向解答．题型二 非线性目标函数的最值问题【例2】 已知⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围．分析：(1)中z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝(x －0)2＋(y －5)2的几何意义为平面区域内的点(x ，y )到(0，5)的距离的平方；(2)z ＝2y ＋1x ＋1＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －(－1)的几何意义为平面区域内的点(x ，y )与⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合知识求解．解：作出可行域，如图阴影部分所示．可求得A (1，3)，B (3，1)，C (7，9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0，5)的距离的平方，过M 作MN ⊥AC 于N ，则|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322． 所以|MN |2＝92，所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92．(2)z ＝2·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍．∵k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72． 反思 (1)对形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间的距离的平方的最值问题．(2)对形如z ＝ay ＋b cx ＋d (ac ≠0)型的目标函数，可先变形为z ＝a c ·y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－d c 的形式，将问题转化为求可行域内的点(x ，y )与⎝ ⎛⎭⎪⎫－dc ，－b a 连线斜率的a c倍的范围、最值等，注意斜率不存在的情况．(3)z ＝|Ax ＋By ＋C |可转化为点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍． 题型三 简单的线性规划问题【例3】 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0．5元，米饭每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0．4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作可行域，再作出初始直线l 0，通过向上或向下平移直线l 0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值．解：设每盒盒饭需要面食x (百克)，米饭y (百克)，所需费用为z ＝0．5x ＋0．4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥8，4x ＋7y ≥10，x ≥0，y ≥0，作出可行域，如下图阴影部分所示．令z ＝0，作直线l 0：0．5x ＋0．4y ＝0，即直线5x ＋4y ＝0． 由图形可知，把直线l 0平移至过点A 时，z 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝8，4x ＋7y ＝10得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1315，1415．答：每盒盒饭为面食1315百克，米饭1415百克时既科学又费用最少．反思 (1)在线性规划应用问题中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要； (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；(3)结合实际问题，分析未知数x ，y 等是否有限制，如x ，y 为正整数、非负数等； (4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能的准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．题型四 最优整数解的问题【例4】 (2013·湖北高考，文9)某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元 解析：设需A ，B 型车分别为x ，y 辆(x ，y ∈N )，则x ，y 需满足⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ∈N ，y ∈N ，设租金为z ，则z ＝1 600x ＋2 400y ，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x ＝5，y ＝12，此时z 最小等于36 800，故选C ．答案：C反思 如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图，打好网格的办法求得．题型五 易错辨析【例5】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的范围是( )A ．[3，12]B ．(3，12)C ．(5，10)D ．[5，10]错解：由于f (－2)＝4a －2b ，要求f (－2)的范围，可先求a 与b 的范围．由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4. ②两式相加得32≤a ≤3．又－2≤b －a ≤－1，③ ②式与③式相加得0≤b ≤32．∴6≤4a ≤12，－3≤－2b ≤0． ∴3≤4a －2b ≤12． 即3≤f (－2)≤12． 故选A ．错因分析：这种解法看似正确，实则使f (－2)的范围扩大了．事实上，这里f (－2)最小值不可能取到3，最大值也不可能是12．由上述解题过程可知，当a ＝32且b ＝32时才能使4a －2b ＝3，而此时a －b ＝0，不满足①式．同理可验证4a －2b 也不能等于12．出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求a ，b 的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了．正解：解法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (1)＋f (－1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].∴f (－2)＝4a －2b ＝2[f (1)＋f (－1)]－[f (1)－f (－1)]＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10，故选D ． 解法二：数形结合法在坐标平面aOb 上，作出直线a ＋b ＝2，a ＋b ＝4，a －b ＝1，a －b ＝2，则⎩⎪⎨⎪⎧2≤a ＋b ≤4，1≤a －b ≤2表示平面上的阴影部分(包括边界)，如下图阴影部分所示．令m ＝4a －2b ，则b ＝2a －m2．显然m 为直线系4a －2b ＝m 在b 轴上截距2倍的相反数．当直线b ＝2a －m 2过阴影部分中点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，m 取最小值5； 过点C (3，1)时，m 取最大值10． ∴f (－2)∈[5，10]，故选D ．。
高中数学人教B版学案：第3章 3.5.2 简单线性规划 Word版含答案
3.5.2 简单线性规划学习目标：1.了解线性规划的意义，能根据线性约束条件建立目标函数．(重点)2.理解并初步运用线性规划的图解法解决一些实际问题．(重点、难点)3.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．线性规划中的基本概念线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋zb ，它表示斜率为－a b ，在y 轴上的截距是zb 的一条直线，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)可行域是一个封闭的区域．( )(2)在线性约束条件下，最优解是唯一的．( )(3)最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解．( ) (4)线性规划问题一定存在最优解．( )[解析] (1)错误．可行域是约束条件表示的平面区域，不一定是封闭的． (2)错误．在线性约束条件下，最优解可能有一个或多个，也可能有无数个，也可能无最优解，故该说法错误．(3)正确．满足线性约束条件的解称为可行解，但不一定是最优解，只有使目标函数取得最大值或最小值的可行解，才是最优解，所以最优解一定是可行解．(4)错误．线性规划问题不一定存在可行解，存在可行解也不一定存在最优解，故该说法是错误的．[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．若⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为________．1 [根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z ＝0，作直线l ：y －x ＝0.当直线l 向下平移时，所对应的z ＝x －y 的函数值随之增大，当直线l 经过可行域的顶点M 时，z ＝x －y 取得最大值．顶点M 是直线x ＋y ＝1与直线y ＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝0，得顶点M 的坐标为(1,0)，代入z ＝x －y ，得z max ＝1.]3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．3 [由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距，要使z 最小，需使12z 最小，易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时，z 最小，最小值为3.]4．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________.8 [画出可行域(如图所示)，通过平移直线y ＝－2x 分析最优解．∵z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，将直线y ＝－2x 向上平移，经过点B 时z 取得最大值．由⎩⎨⎧ x ＋y －5＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2， ∴z max ＝2×3＋2＝8.][合 作 探 究·攻 重 难]已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y 的最大值和最小值.[解](1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图(1)所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图(1)可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)，∴umin ＝3×(－2)－3＝－9.图(1)当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图(2)所示．图(2)由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，得到斜率为－12， 在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一组平行线．由图(2)可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z 最小，即z 最小， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＝－8.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z 最大，即z 最大， ∴z max ＝x ＋2y ＝4，∴z ＝x ＋2y 的最大值是4，最小值是－8. [规律方法] 1.解二元线性规划问题的一般步骤(1)画：在直角坐标平面上画出可行域和直线ax ＋by ＝0(目标函数为z ＝ax ＋by )；(2)移：平行移动直线ax ＋by ＝0，确定使z ＝ax ＋by 取得最大值或最小值的点；(3)求：求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值； (4)答：给出正确答案.2.一般地，对目标函数z ＝ax ＋by ，若b >0，则纵截距与z 同号，因此，纵截距最大时，z 也最大；若b <0，则纵截距与z 异号，因此，纵截距最大时，z 反而最小.[跟踪训练]1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值．[解]由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3.作出可行域，如图所示．∵目标函数为z ＝3x ＋5y ， ∴作直线l ：3x ＋5y ＝0.平移直线l ，在可行域内以经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52的直线l 1所对应的z 最大．类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的z 最小． ∴z max ＝3×32＋5×52＝17，z min ＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11.已知⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围.[解] (1)作出可行域如图所示，A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过M 作AC 的垂线，易知垂足在AC 上，故|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322.∴|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＝92，∴z 的最小值为92.(2)z ＝2·y －(－12)x －(－1)表示可行域内点(x ，y )与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12连线斜率的2倍，∵k QA ＝74，k QB ＝38，∴z 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72.[规律方法] 1.利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确.2.非线性目标函数的最值的求解策略(1)z ＝(x －a )2＋(y －b )2型的目标函数可转化为点(x ，y )与点(a ，b )距离的平方，特别地，z ＝x 2＋y 2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.(2)z ＝y －b x －a型的目标函数可转化为点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.(3)z ＝|Ax ＋By ＋C |可转化为点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍.[跟踪训练]2．如果点P 在平面区域⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．[解]画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取得最小值为32.[探究问题]某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．1．设投资甲、乙两个项目的资金分别为x 、y 万元，那么x 、y 应满足什么条件？[提示] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5.2．若公司对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，设该公司所获利润为z 万元，那么z 与x ，y 有何关系？[提示] 根据公司所获利润＝投资项目甲获得的利润＋投资项目乙获得的利润，可得z 与x ，y 的关系为z ＝0.4x ＋0.6y .3．x ，y 应在什么条件下取值，x ，y 取值对利润z 有无影响？[提示] x ，y 必须在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤60，x ≥23y ，x ≥5，y ≥5下取值．x ，y 取不同的值，直接影响z 的取值．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小.[思路探究] 可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．[解] 设需要甲种原料x 张，乙种原料y 张，则可做文字标牌(x ＋2y )个，绘画标牌(2x ＋y )个，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ， 作出可行域如图．在一组平行直线z ＝3x ＋2y 中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点(2,1)，∴最优解为x ＝2，y ＝1.∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小． [规律方法] 解答线性规划应用题的一般步骤：(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.(2)转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题. (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. [跟踪训练]3．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运多少箱．[解] 设甲货物托运x 箱，乙货物托运y 箱，利润为z ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N .z ＝20x ＋10y ，作出可行域如图所示，作直线l ：20x ＋10y ＝0，当直线z ＝20x ＋10y 经过可行域上的点A 时，z 最大，又A (4.8,0)不是整点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ＝24，2x ＋5y ＝13，得点B (4,1)为整点．所以甲货物托运4箱，乙货物托运1箱，可获得最大利润．[当 堂 达 标·固 双 基]1．z ＝x －y在⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12C [可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6C [由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.]3．已知实数x ，y满足⎩⎨⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________.－9 [不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．目标函数可化为y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 及其平行线，知当此直线经过点A 时，－12z 的值最大，即z 的值最小．又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.]4．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．210 [点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1，1)，C (1,3)．由图可得，|PO |min ＝|AO |＝2；|PO |max ＝|CO |＝10.]5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为多少元？[解] 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台， 租赁费z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ，y ≥0且x ，y ∈N ，z ＝200x ＋300y .作出如图所示的可行域．令z ＝0，得l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0可知，当l 0过点A 时，z 有最小值． 又由⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝50，10x ＋20y ＝140，得A 点坐标为(4,5)．所以z min ＝4×200＋5×300＝2 300.答：该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为2 300元．。
2013优化方案人教B版数学必修5知能演练3.5.2简单线性规划
1．如果实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么2x －y 的最大值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－3解析：选B.画出可行域如图，发现当直线2x －y ＝t 过点(0，－1)时，t 最大，且最大值为1.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：选B.x ，y 满足的区域为图中阴影部分． 由题意知，当(x ，y )在点A 处时取得最小值． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，得A (m ＋13，2m －13)．∴m ＋13－2m －13＝－1，∴m ＝5.3．若实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥22x －y ≤4，x －y ≥0则2x ＋3y 的最小值是________．解析：画出可行域如图，由图可知当直线过(2,0)时，(2x ＋3y )min ＝4.答案：44．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．甲产品每吨利润为5万元，乙产品每吨利润为3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业的最大利润为________．解析：设生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，利润为z 万元，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝5x ＋3y ，作出如图所示的可行域(阴影部分)．当直线5x ＋3y ＝z 经过A (3,4)时，z 取得最大值，∴z max ＝5×3＋3×4＝27. 答案：27[A 级 基础达标]1．(2012·山东聊城高二期末)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.则z ＝2x ＋4y 的最大值为( )A ．5B ．－38C ．10D ．38解析：选D.本题考查线性规划．作出不等式组对应的平面区域如图，由图象可知，当目标函数过点(3,8)时，取得最大值，最大值为2×3＋4×8＝38.2．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0x －2y －1≤0x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．(12，12)解析：选C.可以验证这四个解均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.故选C.3．已知平面区域D 由以A (1,3)，B (5,2)，C (3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点(x ，y )可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．4解析：选C.依题意，令z ＝0，可得直线x ＋my ＝0的斜率为－1m，结合可行域可知当直线x＋my ＝0与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以m ＝1. 4．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝2x －y 的取值范围是________．解析：画出可行域如图，点(－1,3)使得目标函数z ＝2x －y 取得最小值，点(5,3)使得目标函数z ＝2x －y 取得最大值． 答案：[－5,7]5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0y ≥a0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是________．解析：根据不等式画出可行域，如图所示，当5≤a <8时，平面区域是一个三角形． 答案：5≤a <86．已知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥0，4x －3y －12≤0，x ＋2y －3≥0，求函数z ＝x 2＋y 2的最大值和最小值．解：已知不等式组为 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7≥0，4x －3y －12≤0，x ＋2y －3≥0，在同一坐标系中，画出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋7＝0，4x －3y －12＝0， 解得A (9,8)．所以z max ＝(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝145.因为原点O 到直线BC 的距离为|3|5＝355，所以z min ＝(x 2＋y 2)min ＝95.[B 级 能力提升]7．(2012·河南郑州高二期末)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤3，x ＋y ≥1，则S ＝2x ＋y －1的最大值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选A.本题考查线性规划．作出不等式组对应的平面区域如图．由图可知，当目标函数过图中点(2,3)时取得最大值6. 8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝4ax ＋3by (a >0，b >0)最大值为12，则1a ＋1b 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D.12解析：选C.本题把线性规划与基本不等式结合在一起来考查学生分析问题解决问题的能力，难度较大，多次体现了转化思想．依据约束条件作图，判断目标函数z ＝4ax ＋3by 过(3,4)取得最大值，所以a ＋b ＝1，因此1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ≥2＋2 b a ·ab ＝4.9．(创新题)已知A (3，3)，O 是原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ＜0，x －3y ＋2＜0，y ≥0，则OA →·OP →|OP→|的取值范围为________．解析：由OA →·OP →|OP →|＝|OA →|·|OP →|·cos 〈OA →，OP →〉|OP →|＝|OA →|·cos 〈OA →，OP →〉＝23cos 〈OA →，OP →〉，画出可行域(图略)，即可求出OA →与OP →夹角的范围为(30°，150°]，所以所求范围为[－3,3)． 答案：[－3,3)10．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0x ≤a (a 为正实数)表示的平面区域的面积是4，求2x＋y 的最大值．解：由题意画出可行域如图：S ＝12×2a ×a ＝4，∴a ＝2. 设z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x x ＝2，得A 点坐标(2,2)，即z 在(2,2)处取得最大值6. 11．某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1 h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2 h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8 h 计算，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？解：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，工厂获得的利润为z ，又由已知条件可得二元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤84x ≤164y ≤12x ≥0y ≥0，目标函数为z ＝2x ＋3y .画出可行域如图，把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋z 3，这时斜率为－23，在y 轴上截距为z3的直线．当z 变化时，可以得到一簇互相平行的直线，当截距z 3最大时，z 取得最大值，由上图可以看出，y ＝－23x＋z 3，当直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z 3的值最大，最大值为143，这时2x ＋3y ＝14，所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元．。
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双基达标 (限时20分钟)
1．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，
x －2y ≤2，则z ＝x ＋y ( )．
A ．有最小值2，最大值3
B ．有最小值2，无最大值
C ．有最大值3，无最小值
D ．无最小值，也无最大值
解析 不等式组 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y ≥4，
x －y ≥－1，x －2y ≤2，的平面区域为如图的阴影区域．x ＋y 在点A (2,0)处取最小值为2，无
最大值．
答案 B
2．某中学新学期需要购买一批球类体育器材，已知篮球的价格为每只80元，排球的价格为每只60元，现计划该项支出为3 000元，若设购买篮球x 只，排球y 只，则购买球类体育器材的约束条件是
( )．
A ．80x ＋60y ＝3 000
B ．80x ＋60y ≤3 000
C ．80x ＋60y ≥3 000
D ．80x ＋60y <3 000
解析 由题意可得购买球类体育器材的总金额是购买篮球、排球的函数，即S ＝80x ＋60y .因为计划该项支出为3 000元，所以购买球类体育器材的约束条件是80x ＋60y ≤3 000, 故应选B.
答案 B
3．图中阴影部分的点满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤5，
2x ＋y ≤6，
x ≥0，
y ≥0，在这些点中，使目标函数z ＝6x ＋
8y 取得最大值的点的坐标是
( )．
A ．(1,4)
B ．(0,5)
C ．(5,0)
D ．(3,0)
解析 作出可行域
如图，当直线z ＝6x ＋8y 过点(0,5)时z max ＝40.
答案 B
4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3，
则z ＝2x ＋y 的最小值为 .
解析 易知直线z ＝2x ＋y 过A (－52，52)时，如图，z min ＝2×(－52)＋52＝－5
2
.
答案 －5
2
5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y －3≤0，x ≥0，
y ≥0，则不等式组表示的区域面积为 ，z ＝
y ＋2
x －1
的取值范围是 .
解析 易知A (3,0)，B (0,1)，∴S △AOB ＝3
2
，k P A ＝1，k PO ＝－2，∴z ≤－2或z ≥1.
答案 3
2
(－∞，－2]∪[1，＋∞)
6．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目． 由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，
x ≥0，y ≥0.
目标函数z ＝x ＋0.5y .
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行直线l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z ，z ∈R ，
与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝10，
0.3x ＋0.1y ＝1.8，
得x ＝4，y ＝6.
此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值．
所以投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
综合提高 (限时25分钟)
7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，
则a 的取值范围是( )．
A ．(－1,2)
B ．(－4,2)
C ．(－4,0]
D ．(－2,4)
解析 作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－
1<－a
2
<2，即－4<a <2.
答案 B
8．若实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＋1≤0，x ＞0，则y
x －1的取值范围是
( )．
A ．(－1,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．[1，＋∞)
解析 可行域如图阴影，y x －1的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得y
x －1>1
或
y
x －1<－1.
答案 B
9．如下图所示的坐标平面的可行域内(包括阴影部分且包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于
.
解析 令z ＝0，l 0：y ＝－ax ，当－a ＝k AC ＝4－2
2－4＝－1.即a ＝1时，z ＝ax ＋y (a >0)取得
最大值的最优解有无穷多个．
答案 1
10．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，y ≥x ，
x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值
等于 ，最大值等于 .
解析 画出可行域如图所示，则A (2,2)，B (1,3)，C (1,1)， ∴OA ＝22，OB ＝10，OC ＝2，
即|OP |的最大值为10，最小值为 2.
答案
2
10
11．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，
4x ＋y ＋10≥0.
(1)求z ＝4x －3y 的最值． (2)求u ＝x 2＋y 2的最值．
解 原不等式组表示的平面区域如图所示．
其中A (4,1)、B (－1，－6)、C (－3,2)．
(1)作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，即y ＝43x －t
3，则当l 过C 点时，t 最小；
当l 过B 点时，t 最大；
∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14， z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.
(2)∵u ＝x 2＋y 2表示点 (x ，y )到原点的距离，结合不等式组所表示的区域，知B 点到原点距离最大；而当(x ，y )在原点时，距离最小为0.∴u max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，u min ＝0
12．(创新拓展)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，
x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)
的最大值为12，则2a ＋3
b
的最小值为 .
解析 由图形可知，目标函数在(4,6)处取得最大值12，
∴4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，从而有2a ＋3
b
＝16(2a ＋3
b )(2a ＋3b ) ＝16(6b a ＋4＋9＋6a b ) ＝136＋16(6b a ＋6a b ) ＝136＋(b a ＋a b )≥136
＋2b a ·a b ＝136＋2＝25
6
当且仅当a ＝b 时等号成立 ∴2a ＋3b 的最小值为25
6. 答案 256。