北京市高考数学一轮复习第2讲函数性质与研究课后练习理(1)

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近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.8函数与方程课后作业理(2021年整理)

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2。

8 函数与方程[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·临汾三模）已知函数f（x)、g(x）：则函数y＝f[g（x)］的零点是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析由题意,g(x)＝1，∴x＝1，故选B。

2．(2017·衡水调研）方程｜x2－2x｜＝a2＋1(a>0）的解的个数是（) A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析∵a>0，∴a2＋1〉1，而y＝｜x2－2x|的图象如图，∴y＝｜x2－2x｜的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．故选B。

3．若函数f(x）＝2ax2－x－1在（0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（－1，1）B．［1，＋∞)C．（1，＋∞) D．(2，＋∞）答案C解析当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不合题意．当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a〉1.若Δ＝0，即a＝－错误!，函数的零点是x＝－2，不合题意,故选C。

4．(2017·浙江嘉兴测试）已知函数f(x）＝错误!x－cos x，则f（x)在［0,2π］上的零点个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析函数f(x）＝错误!x－cos x的零点个数为错误!x－cos x＝0⇒错误!x＝cos x的根的个数，即函数h(x)＝错误!x与g(x)＝cos x的图象的交点个数．如图所示，在区间［0，2π］上交点个数为3，故选C.5．(2017·河南新乡三模)若函数f(x）＝log2(x＋a）与g（x）＝x2－（a ＋1）x－4（a＋5）存在相同的零点，则a的值为( )A．4或－错误!B．4或－2C．5或－2 D．6或－错误!答案C解析g(x)＝x2－（a＋1）x－4（a＋5)＝(x＋4)［x－（a＋5）］，令g（x）＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4）＝log2(－4＋a）＝0或f(a＋5)＝log2(2a ＋5)＝0,解得a＝5或a＝－2。

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第2讲函数的表示法课时作业理.docx

第2讲函数的表示法知能训练1.若f(x+2)=2x+3,则f(x) = ( )A. 2x+1B. 2x—1C. 2x—3D. 2%+712.已知代方=-^(无工±1),贝9()A. fg・ f( — x)=lB. f( — x)+f(x)=OC. f\x) • f\ — x) = —1D. f( —/)+f(x)=l3.(2017年安徽黄山质检)已知是一次函数，且代代力]=/+2,则f(x)=( )A. x~\~ 1B. 2x—1C. ~x+1D. x+1 或一x—14.下列函数中，不满足f(2x)=2f(x)的是( )A. f\x) = |B. f{x)=x-\x\C. f^=x+\.D. f3=_x5.如图X2-2-l(l),在直角梯形力跑中，动点P从点B出发，由B-CfXA沿边运动,设点P运动的路程为x, AMP的面积为f(x).若函数y=f3的图象如图X2-2-K2), 则△九力的面积为()A. 10B. 32C. 18D. 166.若函数fg , gd)分别是R上的奇函数、偶函数,且满足f\x) 一财=£,则有() A.f(2)<f(3)<g(0) B. g(0)53)52)C. f(2)<g(0心(3)D. g(0)〈f(2)</*(3)27.己知函数f(x) =2*+] + sin 才，则f( —2) + f( —1) + f(0) + f(l) + f(2) = ___________ .8.(2016 年浙江)设函数f(x) =x +3#+l.已知日HO,且f{x)— /(a) = (x—b) (x—a)2fx丘R, 贝实数臼= ________ , b=_________ .窜质丹华9.根据条件求下列各函数的解析式：(1)已知fCr)是二次函数，若f(0)=0, f{x+1) = f(x) +x+1,求代v)的解析式;(2)已知求心的解析式；(3)己知f\x)满足2f(x) +4£)=3X,求f\x)的解析式.10.定义：如果函数y=f{x)在定义域内给定区间［曰,b］上存在xo(a<xo<H),满足fg) r A— f o= ------ ,则称函数y=f^)是［幼方］上的“平均值函数”，心是它的一个“均值点”.如尸=/是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.(1)判断函数f(x) = -x2+^x在区间［0,9］上是否为平均值函数.若是，求岀它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数#+/加+1是区I'可［―1, 1］上的平均值函数，试确定实数加的取值范围.第2讲函数的表示法 1. B 2. A3. A 解析：设 f(必=kx~\~b,则由 ] =x+2,可得 k(kx+b) +Z?=x+2,即&■ +kb+b=x+2. AA 2=1, kb+b=2.解得 k=\,力=1,则 f(x)=x+l.故选 A.4. C 解析：将f(2力表示出来，看与2f\x)是否相等.对于A, f(2x) = |2” =2|” = 2A%);对于 B, f<2x} =2x- 12^| =2 (x~ | ) =2f(x)；对于 C, f(2x) =2/+lH2f(Q ；对于D, f(20=—2x=2f(0.故只有C 不满足f(2方=2fCr).故选C.5. D 解析：由y=f(x)的图象，得当x=4和x=9时，胪的面积相等，:・BC=4, BC+CD=g,即 CD=5.易知初=14一9 = 5.如图 D90,过点〃作 DEVAB 于点 £ •: Z 3=90° , :・DE=BC=4.在 Rt △必〃中，AE=pA#_DF=3. :.AB=AB'+E'B=3 + 5=S.1 1・・・ S^=-ABX BC=~X 8 X 4 = 16.6. D 解析：仁 _xf — x —g — x =e ,所以 f(2)=匸1，f(3)=—「，g(O)= — l ・显然 g(0)<f(2)〈f(3).故选 D.AO) =b ••• f(一2) + f(—1) + AO) +A1)+ A2) = 5.8. —2 1 解析：f{x) — =x+^x +1 —』一3/—1 = /+3,—3/, (x_D {x-2a-b=Z.— a) 2=x~ (2a+Z?) •(a 2+2atl) x — a b,所 a +2aA=0,2 i3 o 2 { — a b=_a ~5a.d — —2, b=1.9.解：⑴ 设 /(%) = ax + bx+ ,由 AO) =0,得 f{x) =ax +bx. 又由 f(x+l) =f(x)+x+l,得日(x+1)'+〃(/+1) =ax+bx+ x+1, 即 /+(2日+b)卄日+〃=/+(方+l)x+l.2臼+ b= b+1,* 日HO,・：曰=Z?=a+ b={.因此 f{x) =*#+*¥.7. 5解析:2*/ f(x) +/( — %) =2 ]+ sin ^4 2 2^+1sin 尸侖+2x+1 1+2”解得尸0(舍去)解得g =三二，如二咎.1 —x 1 — /*(2)t=-~,由此，得^=7—(t^-1).1 + x 1 + t从而fd)的解析式为/'(%)=・丄飞(好-1) • 1十X(3)・・・2fd)+£ = 3x,①・••把①中的x换成丄，得X2绘+f(心•②3① X2—②,得3/(A)=6X—•x・"3=2「卄0).10. ----------------------------------------------------------------------------- 解:(l)rtl定义知，关于的方程一#+心=——占------------------------------------------- 在(0, 9)±有实数根时, 函数fd) = —/+4尢是［0, 9］上的平均值函数.• I f — f而一x+4x=心不可解得山=5, &= — 1.又山=5丘(0, 9)［曲=—1年(0, 9),故舍去］,・・・f3 =—芒+心是［0, 9］上的平均值函数，5是它的均值点.(2) V f^=~x+mx+ \是［一1, 1］上的平均值函数，・・・关于x的方程一#+〃圧+1= —在(一1,1)内有实数根.由一x + mx-\-1 = : , 得”一mx-\-m—1=0.1 ——解得 =A2=l.又呈=1毎(一1, 1),:,x\ = m— 1 必为均值点，即-l<iw-l<l.・••所求实数m的取值范围是0〈冰2.。

高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程习题理

§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点．当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33，则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点，故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围．解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2，当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。

高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第二节函数的基本性质课件(理)

奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，偶函数都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以用逗号或 “ 和 ”] 函数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增

高考数学一轮复习第二章第一节函数及其表示课时作业理含解析北师大版

高考数学一轮复习：第二章第一节函数及其表示授课提示：对应学生用书第271页[A 组基础保分练]1.（2021·宣城模拟）函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为（） A.（－1，3] B.（－1，0）∪（0，3]C.[－1，3]D.[－1，0）∪（0，3]解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得x ∈（－1，0）∪（0，3].答案：B 2.（2021·吉安模拟）已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f （a ）＝6，则a 等于（） A.74B.－74C.43D.－43解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f （t ）＝2（2t ＋2）－5＝4t －1，则f （a ）＝4a －1＝6，解得a ＝74. 答案：A3.已知定义在[0，＋∞）上的函数f （x ）＝2f （x ＋1），当x ∈[0，1）时，f （x ）＝－x 2＋x ，则当x ∈[1，2）时，f （x ）＝（）A.－12 －x 2＋3x －2B.12 －x 2＋3x －2C.12 x 2－3x ＋2D.－12x 2－3x ＋2 解析：根据f （x ）＝2f （x ＋1）得f （x －1）＝2f （x ）.当x ∈[1，2）时，x －1∈[0，1），f （x－1）＝－（x －1）2＋x －1＝－x 2＋3x －2，所以f （x ）＝12f （x －1）＝12－x 2＋3x －2. 答案：B4.（2021·芜湖模拟）如果函数f （x ）＝ln （－2x ＋a ）的定义域为（－∞，1），那么实数a 的值为（）A.－2B.－1C.1D.2解析：因为－2x ＋a ＞0，所以x ＜a 2，所以a 2＝1，得a ＝2. 答案：D5.（2021·邢台模拟）下列函数满足f （log 32）＝f （log 23）的是（）A.f （x ）＝2x ＋2－xB.f （x ）＝x 2＋2xC.f （x ）＝x 2＋1xD.f （x ）＝x －1x ＋1解析：由于log 32＝1log 23，故问题等价于满足f （x ）＝f ⎝⎛⎭⎫1x 的函数.对于A 选项，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝21x ＋2－1x ≠f （x ），不符合题意；对于B 选项，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x 2＋2x ≠f （x ），不符合题意；对于C 选项，f （x ）＝x ＋1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f （x ），符合题意；对于D 选项，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －11x＋1＝1－x 1＋x ≠f （x ），不符合题意. 答案：C6.（2021·揭阳模拟）已知函数f （x ）＝2x 2－a ，f （3）＝14，则f （－2）＝（） A.1 B.－18C.12D.18解析：依题意f （3）＝23－a ＝14＝2－2，故3－a ＝－2，解得a ＝5.故f （x ）＝2x 2－5，所以f （－2）＝22－5＝2－3＝18. 答案：D7.已知函数y ＝f （2x －1）的定义域是[0，1]，则函数f （2x ＋1）log 2（x ＋1）的定义域是（） A.[1，2] B.（－1，1]C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D.（－1，0）解析：由f （2x －1）的定义域是[0，1]，得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1，所以函数f （x ）的定义域是[－1，1]，所以要使函数f （2x ＋1）log 2（x ＋1）有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0. 答案：D8.设函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f [f （a ）]＝2f （a ）的a 的取值范围是（） A.⎣⎡⎦⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.[1，＋∞）解析：由f [f （a ）]＝2f （a ）得，f （a ）≥1.当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23. 答案：C9.（2021·郴州模拟）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧a log 3x ，x ＞0，1－x ，x ≤0，若f （f （－2））＝－2，则a ＝__________. 解析：f （f （－2））＝f （3）＝a ＝－2.答案：－210.设函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7（x <0），x （x ≥0），若f （a ）<1，则实数a 的取值范围是__________. 解析：若a <0，则f （a ）<1⇔⎝⎛⎭⎫12a －7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f （a ）<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1.综上可得－3<a <1.答案：（－3，1）[B 组能力提升练]1.（2021·聊城模拟）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－f （x －2），x ＞2，e x －1＋x 2，x ≤2，则f （2 019）＝（）A.2B.1eC.－2D.e ＋4解析：因为当x ＞2时，f （x ）＝－f （x －2），所以f （x ＋2）＝－f （x ），故f （x ＋4）＝－f （x ＋2）＝f （x ），因此当x ＞2时，函数f （x ）是以4为周期的函数，所以f （2 019）＝f （3＋4×504）＝f （3）＝－f （1），又当x ≤2时，f （x ）＝e x －1＋x 2，所以f （2 019）＝－f （1）＝－（1＋1）＝－2.答案：C2.设f （x ），g （x ）都是定义在实数集上的函数，定义函数（f ·g ）（x ）：任意x ∈R ，（f ·g ）（x ）＝f （g （x ））.若f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则（） A.（f ·f ）（x ）＝f （x ） B.（f ·g ）（x ）＝f （x ）C.（g ·f ）（x ）＝g （x ）D.（g ·g ）（x ）＝g （x ）解析：对于A 选项，（f ·f ）（x ）＝f （f （x ））＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）＞0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x ＞0时，f （x ）＝x ＞0，（f ·f ）（x ）＝f （x ）＝x ；当x ＜0时，f （x ）＝x 2＞0，（f ·f ）（x ）＝f （x ）＝x 2；当x ＝0时，f （x ）＝0，（f ·f ）（x ）＝f 2（x ）＝0＝f （x ），因此对任意的x ∈R ，都有（f ·f ）（x ）＝f （x ），故A 正确.答案：A3.（2021·大庆模拟）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1，3}的同族函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：由x 2＋1＝1得x ＝0，由x 2＋1＝3得x ＝±2，所以函数的定义域可以是{0，2}，{0，－2}，{0，2，－2}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个.答案：C4.（2021·乌鲁木齐模拟）函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜2，－log 3（x －1），x ≥2，则不等式f （x ）＞1的解集为（）A.（1，2）B.⎝⎛⎭⎫－∞，43 C.⎝⎛⎭⎫1，43 D.[2，＋∞）解析：当x ＜2时，不等式f （x ）＞1即e x －1＞1，∴x －1＞0，∴x ＞1，则1＜x ＜2；当x ≥2时，不等式f （x ）＞1即－log 3（x －1）＞1，∴0＜x －1＜13，∴1＜x ＜43，此时不等式无解. 综上可得，不等式的解集为（1，2）.答案：A5.（2021·荆州模拟）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f （f （1））＞3a 2，则a 的取值范围是__________.解析：由题知，f （1）＝2＋1＝3，f （f （1））＝f （3）＝32＋6a ，若f （f （1））＞3a 2，则9＋6a ＞3a 2，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.答案：（－1，3）6.已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________. 解析：由题意知y ＝ln x （x ≥1）的值域为[0，＋∞），故要使f （x ）的值域为R ，则必有y ＝（1－2a ）x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12. 答案：⎣⎡⎭⎫－1，12 [C 组创新应用练]1.下列函数中，不满足f （2 018x ）＝2 018f （x ）的是（）A.f （x ）＝|x |B.f （x ）＝x －|x |C.f （x ）＝x ＋2D.f （x ）＝－2x解析：若f （x ）＝|x |，则f （2 018x ）＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f （x ）；若f （x ）＝x －|x |，则f （2 018x ）＝2 018x －|2 018x |＝2 018（x －|x |）＝2 018f （x ）；若f （x ）＝x ＋2，则f （2 018x ）＝2 018x ＋2，而2 018f （x ）＝2 018x ＋2 018×2，故f （x ）＝x ＋2不满足f （2 018x ）＝2 018f （x ）；若f （x ）＝－2x ，则f （2 018x ）＝－2×2 018x ＝2 018×（－2x ）＝2 018f （x ）. 答案：C2.（2021·郑州模拟）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f （x ）＝2x ＋32x ＋1，则函数y ＝[f （x ）]的值域为（）A.{0，1，2，3}B.{0，1，2}C.{1，2，3}D.{1，2}解析：f （x ）＝2x ＋32x ＋1＝2x ＋1＋22x ＋1＝1＋22x ＋1，因为2x ＞0，所以1＋2x ＞1，所以0＜12x ＋1＜1，则0＜22x ＋1＜2，所以1＜1＋22x ＋1＜3，即1＜f （x ）＜3，当1＜f （x ）＜2时，[f （x ）]＝1，当2≤f （x ）＜3时，[f （x ）]＝2.综上，函数y ＝[f （x ）]的值域为{1，2}.答案：D3.设f （x ）是定义在R 上的函数，且f （x ＋2）＝2f （x ），f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1＜x ＜0，b e 2x ，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a b的取值范围为__________. 解析：因为f （x ＋2）＝2f （x ），所以f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＋4＝（2）2f ⎝⎛⎭⎫12＝2e b ，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋2＝2f ⎝⎛⎭⎫－12＝2⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＝2（a －1），因为f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫32，所以2（a －1）＝2e b ，所以a ＝2e b ＋1，因为b 为正实数，所以a b ＝2e b ＋1b ＝2e ＋1b ∈（2e ，＋∞）.故a b的取值范围为（2e ，＋∞）.答案：（2e ，＋∞）。

北京市高考数学一轮复习第1讲函数性质与研究课后练习理(1)

第1讲函数性质与研究（一）题一：若函数f （x ），g （x ）分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f （x ）+g （x ）=e x，则有（）A ．f （2）＜f （3）＜g （3）B ．g （3）＜f （3）＜f （2）C ．f （3）＜f （2）＜g （3）D ．g （3）＜f （2）＜f （3）题二：已知定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ），且f （x +2）为偶函数，f （4）=1，求不等式f （x ）＜e x 的解集．题三：已知函数f （x ）=log 2|ax 1|（a ≠0）满足f （2+x ）=f （2x ），则实数a 的值是．题四：已知f （x ）=x 3+3x 2+x +2的导函数f ′（x ）是二次函数，f ′（x ）的图象关于某个轴对称．你认为三次函数f （x ）=x 3+3x 2+x +2的图象是否具有某种对称性？并证明你的结论．题五：关于x 的方程（x 21）2|x 21|+k =0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根；其中假命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3题六：若关于x 的方程|a x 1|=2a （a ＞0，a ≠1）有两个不等实根，则a 的取值范围是．第1讲函数性质与研究（一）题一： A ．详解：用x 代换x 得：f （x ）+g （x ）=e -x ，即f （x ）g （x ）=e -x ，又∵f （x ）+g （x ）=e x，∴(),()22x x x xe e e ef xg x ---+==，所以3333(3),(3)22e e e efg ---+=-=，所以f （3）＜g （3）．又因为f （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以f （2）＜f （3）．故选A ．题二：（0，+∞）．详解：∵y =f （x +2）为偶函数，∴y =f （x +2）的图象关于x = 0对称∴y =f （x ）的图象关于x =2对称，∴f （4）=f （0），又∵f （4）=1，∴f （0）=1，设()()()x f x g x x R e=∈，则2'()()'()()'()()x x x x f x e f x e f x f x g x e e ⋅-⋅-==，又∵f ′（x ）＜f （x ），∴f ′（x ）f （x ）＜0，∴g ′（x ）＜0，∴y =g （x ）在定义域上单调递减，∵f （x ）＜e x ，∴g （x ）＜1 又∵0(0)(0)1f g e ==，∴g （x ）＜g （0）∴x ＞0．即不等式f （x ）＜e x 的解集为（0，+∞）．题三： 12．详解：∵f （2+x ）=f （2x ），∴x =2是函数的对称轴，∴令x =1，代入f （2+x ）=f （2x ）得，f （3）= f （1），∴22log |31|log |1|a a -=-，即|31||1|a a -=-，解得10(2a a ==或舍去），故答案为12a =．题四： f （x ）=x 3+3x 2+x +2的图象具备中心对称．详解：f ′（x ）=3x 2+6x +1的对称轴x =1，现证f （x ）的图象关于点C （1，3）中心对称．设M （x ，y ）是y =f （x ）图象上任意一点，且M （x ，y ）关于C （1，3）对称的点为N （x 0，y 0），则0000122,,632x x x x y y y y +⎧=-⎪=--⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩得因为f (x 0)＝x 03+3x 02+x 0+2=（2x ）3+3（2x ）2+（2x ）+2=（x 3+3x 2+x +2）+6=y +6=y 0，故M 关于点C （1，3）对称的点N （x 0，y 0）也在函数y =f （x ）的图象上，所以f （x ）的图象关于点C （1，3）中心对称．题五： A详解：关于x 的方程（x 21）2|x 21|+k =0可化为（x 21）2（x 21）+k =0（x ≥1或x ≤1）（1）或（x 21）2+（x 21）+k =0（1＜x ＜1）（2）当k =2时，方程（1）的解为3±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根；当14k =时，方程（1）有两个不同的实根6±，方程（2）有两个不同的实根2± 即原方程恰有4个不同的实根；当k =0时，方程（1）的解为1，+1，2±，方程（2）的解为x =0，原方程恰有5个不同的实根；当29k=时，方程（1）的解为153±，233±，方程（2）的解为33±，63±，即原方程恰有8个不同的实根。

高考数学一轮总复习专题检测2.1函数及其性质

函数及其性质一、选择题1.(2022届北京一六一中学10月月考,3)下列函数中,值域为R 的是( ) A.y=1x B.y=1+1x C.y=x+1x D.y=x-1x答案 D 对于函数y=1x ,因为x≠0,所以y≠0,故它的值域不是R,所以A 不满足题意; 对于函数y=1+1x ,因为x≠0,所以y≠1,故它的值域不是R,所以B 不满足题意;对于函数y=x+1x,由对勾函数的性质可知值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),所以C 不满足题意;对于函数y=x-1x =x 2-1x,可得关于x 的方程x 2-yx-1=0有解,∵Δ=y 2+4>0,∴y 可以取任意实数,即y∈R,故D 满足条件. 故选D.2.(2022届北京一七一中学10月月考,7)存在函数f(x)满足:对任意x∈R 都有( ) A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x 2+x C.f(x 2+1)=|x+1| D.f(x 2+2x)=|x+1|答案 D A 选项,取x=0,可知f(sin0)=sin0,即f(0)=0,再取x=π2,可知f(sinπ)=sin π2,即f(0)=1,矛盾,∴A 错误;同理可知B 错误;C 选项,取x=1,可知f(2)=2,再取x=-1,可知f(2)=0,矛盾,∴C 错误.故选D.3.(2022届黑龙江适应性测试,2)托马斯说:“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断,下列对应关系是从集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是( ) A.y=2x B.y=x+2 C.y=x 2D.y=2x答案 C A.当x=-1时,y=2x=-2,集合N 中没有对应值,不满足条件. B.当x=4时,y=x+2=6,集合N 中没有对应值,不满足条件.C 中函数满足条件. D.当x=-1时,y=12,集合N 中没有对应值,不满足条件.故选C. 4.(2022届西安期中,4)下列各图中,一定不是函数图象的是( )答案 A 对于A 选项,由图可知,存在一个x 同时有两个y 值与之对应,A 选项中的图不是函数图象;对于B 选项,由图可知,对于每个x,有唯一的y 值与之对应,B 选项中的图是函数图象,同理可知CD 选项中的图是函数图象,故选A. 5.(2022届山东鱼台一中月考一,2)已知函数f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,设f(1)=a,则f(a)=( )B.12 12 32答案 A 因为f(x)={(12)x,x ≤0,x -2,x >0,所以f(1)=1-2=-1,所以a=-1,所以f(-1)=(12)-1=2.6.(2022届广东深圳七中月考,7)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)={log 9(1-x),x ≤0,x (x -10),x >0,则f(2018)=( ) A.1212答案 A∵f(x)={log 9(1-x),x ≤0,x (x -10),x >0,∴f(2018)=f(2008)=f(1998)=…=f(8)=f(-2),∴f(2018)=log 93=12.故选A.7.(2022届广东普通高中10月质检,3)函数f(x)=1x +4x 在[1,2)上的值域是( ) A.[5,172) B.[4,172) C.(0,172) D.[5,+∞)答案 A 因为f'(x)=-1x 2+4=(2x +1)(2x -1)x 2,所以当x∈[1,2)时,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以f(1)≤f(x)<f(2),即5≤f(x)<172.故选A.8.(2022届河北保定重点高中月考,7)设定义在R 上的函数f(x)=x·|x|,则f(x)( )A.既是奇函数,又是增函数B.既是偶函数,又是增函数C.既是奇函数,又是减函数D.既是偶函数,又是减函数答案 A ∵f(-x)=-x·|-x|=-x·|x|=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,∴函数f(x)为奇函数,∵f(x)=x·|x|={x 2,x ≥0,-x 2,x <0,∴函数f(x)为增函数,故选A.9.(2022届北京市育英中学10月月考,2)下列函数中,在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )A.y=1x B.y=(x+1)2C.y=12x+√x +1 D.y=|x-1|答案 D A 选项,y=1x 在(0,+∞)上单调递减. B 选项,y=(x+1)2在(0,+∞)上单调递增.C 选项,y=12x+√x +1=12(√x )2+√x +1,在(0,+∞)上单调递增.D 选项,y=|x-1|={x -1,x ≥1,1-x ,x <1,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.故选D.10.(2022届山西忻州月考,9)设f(x)是定义域为R 的偶函数,若∀x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),都有x (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,则( )A.f(lo g 123.1)<f(log 23)=f (32)B.f(log 23)<f(lo g 123.1)<f (32)(32)<f(lo g 123.1)<f(log 23)(32)<f(log 23)<f(lo g 123.1)答案 D 因为∀x 1,x 2∈(0,+∞)(x 1≠x 2),都有x (x 1)-f(x 2)x 1-x 2>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)是定义域为R 的偶函数,所以f(lo g 123.1)=f(-log 23.1)=f(log 23.1),又因为232=2√2,所以232<3<3.1,而y=log 2x 在(0,+∞)上单调递增,所以32<log 23<log 23.1,故f (32)<f(log 23)<f(log 23.1),即f (32)<f(log 23)<f(lo g 123.1),故选D.11.(2022届四川广元质检(二),9)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意实数x,都有f(x)+f(4-x)=0,当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+4,则f(11)=( )答案 D ∵f(-x)=f(x),且f(x)+f(4-x)=0,∴f(4+x)=-f(-x)=-f(x),即f(8+x)=f(x),∴f(x)是以8为周期的偶函数,又当x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+4,∴f(11)=f(3)=-f(1)=-f(-1)=-[-(-1)2+4]=-3.故选D.12.(2022届合肥联考,12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,∀x∈R,恒有f(x+4)=-f(x),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-x-1,则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)+f(2021)=()答案 B 因为f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是8.因为f(0)=0,f(2)=-f(-2)=-1,f(3)=-f(-1)=0,f(4)=-f(0)=0,f(1)=-f(-3)=f(3)=0,f(5)=-f(1)= 0,f(6)=-f(2)=1,f(7)=-f(3)=0,f(8)=-f(4)=0,又f(x)是周期为8的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)+f(20 12)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.f(2016)+f(2017)+f(2018)+f(2019)+f(2020)+f(2021)=f (0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0+0+(-1)+0+0+0=-1.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)+f(2021)=-1.故选B.13.(2022届清华大学中学生标准学术能力测试(11月),7)已知定义域为R的奇函数f(x)满足:f(x)=f(2-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=ax+b,若f(-1)=2,则f(-1.5)=( )答案 C 由题意,f(0)=b=0,且f(1)=a+b=-f(-1)=-2,所以a=-2,所以当x∈[0,1]时,f(x)=-2x,因为f(x)=f(2-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期为4的函数,所以f(-1.5)=f(2.5)=-f(0.5)=-(-2×0.5)=1.14.(2022届河北保定重点高中月考,12)已知定义在R上的函数f(x),g(x),其中函数f(x)满足f(-x)=f(x)且在[0,+∞)上单调递减,函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x)且在(1,+∞)上单调递减,设函数F(x)=1[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|],则对任意x∈R,均有( )2A.F(1-x)≥F(1+x)B.F(1-x)≤F(1+x)C.F(1-x2)≥F(1+x2)D.F(1-x2)≤F(1+x2)答案 C根据题意,函数f(x)满足f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数,又由f(x)在[0,+∞)上单调递减,且|1-x 2|≤|1+x 2|,得f(1-x 2)≥f(1+x 2).函数g(x)满足g(1-x)=g(1+x),即g(x)的图象关于直线x=1对称,则g(1-x 2)=g(1+x 2),又由F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]={x (x ), x (x )≥x (x ),x (x ), x (x )<x (x ),则F(x)的示意图可表示为图中实线部分,所以有F(1-x 2)≥F(1+x 2).故选C. 二、填空题15.(2022届福建永安三中10月月考,13)设函数f(x)={1+log 2(2-x),x <1,2x ,x ≥1,则f(-2)+f(log 26)= . 答案 9解析 f(-2)=1+log 24=3,f(log 26)=2log 26=6,∴f(-2)+f(log 26)=3+6=9.16.(2022届广东深圳三中月考,15)已知函数f(x)={13x 3-ax +1,0≤x <1,x ln x ,x ≥1,若f(x)≥f(1)恒成立,则正实数a 的取值范围是 . 答案 (0,43]解析 ∵a>0,∴当x≥1时,f(x)=alnx≥f(1),当0≤x<1时,f(x)=13x 3-ax+1,f'(x)=x 2-a.(1)若a≥1,则f'(x)<0,f(x)单调递减,f(x)≥f(1)成立,则13-a+1≥0,解得a≤43,∴1≤a≤43,(2)若0<a<1,则当0<x<√x 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当√x <x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,因此x=√x 时,f(x)min =f(√x )=13(√x )3-(√x )3+1=-23x 32+1,所以-23x 32+1≥0,显然成立,∴0<a<1.综上,a 的取值范围是(0,43].17.(2022届山东学情10月联考,14)设f(x)是定义域为R 的奇函数,且f(1-x)=f(2+x),若f (43)=12,则f (-53)= . 答案 -12解析因为f(1-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=32对称,又f(x)是奇函数,所以f (-53)=-f (53)=-f (43)=-12.18.(2022届山西忻州顶级名校联考,16)在下列命题中,正确命题的序号为 .(写出所有正确命题的序号)①函数f(x)=x+x x(x>0)的最小值为2√x ;②已知定义在R 上周期为4的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),则f(x)一定为偶函数; ③定义在R 上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f(1)+f(4)+f(7)=0; ④已知函数f(x)=x 3,若a+b>0,则f(a)+f(b)>0. 答案 ②③④解析 ①当a=0时,f(x)=x(x>0)无最小值,故①错误;②因为f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)的周期为4,所以f(-x)=f(-x+4)=f(4-(-x+4))=f(x),故函数f(x)一定为偶函数,故②正确;③因为f(x)是定义在R 上的奇函数,又是以2为周期的周期函数,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),f(-1)=f(-1+2)=f(1),故f(1)=0,又f(4)=f(0+2×2)=f(0)=0,f(7)=f(1+2×3)=f(1)=0,所以f(1)+f(4)+f(7)=0,故③正确;④f(x)=x 3为奇函数,且在R 上单调递增,若a+b>0,则a>-b,有f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0,故④正确.19.(2022届山东鱼台一中月考,16)定义在R 上的函数f(x)=x+a+sinx,若f (x+π)是奇函数,则a= ;满足f(x)-π>0的x 的取值范围是 . 答案 -π;(2π,+∞)解析 f(x+π)=x+π+a -sinx,因为f(x+π)是奇函数,则π+a=0,即a=-π,f(x)=x -π+sinx,因为f'(x)=1+cosx≥0,则f(x)递增,又f(2π)=π,则f(x)-π>0⇔f(x)>π⇔f(x)>f(2π)⇔x>2π. 三、解答题20.(2022届福建长汀一中月考二,20)已知a,b∈R 且a>0,函数f(x)=4x +b4x -a 是奇函数. (1)求a,b 的值;(2)对任意x∈(0,+∞),不等式mf(x)-f (x2)>0恒成立,求实数m 的取值范围. 解析 (1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2-2ab+(b-a)(4x +4-x)=0恒成立,∴{x -x =0,2-2xx =0,又a>0,所以解得a=b=1.(2)不等式mf(x)-f (x 2)>0⇔m (1+24x -1)-(14x2-1>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,令2x=t(t>1),则m>x +1x -1x 2+1x 2-1=(x +1)2x 2+1=x 2+1+2t x 2+1=1+2x x 2+1=1+2x +1x对t>1恒成立,∵y=2x +1x在(1,+∞)上单调递减,∴y=1+2x +1x<2,∴m≥2,∴m 的取值范围为[2,+∞).21.(2022届山西忻州顶级名校联考,19)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x 2+2x.(1)求函数f(x)在R 上的解析式; (2)解关于x 的不等式f(x)<3.解析 (1)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x 2-2x, 由f(x)是定义在R 上的奇函数,得f(x)=-f(-x)=x 2+2x,且f(0)=0,综上,f(x)={-x 2+2x,x >0,0,x =0,x 2+2x,x <0.(2)①当x>0时,-x 2+2x<3⇒x 2-2x+3>0,解得x∈R,所以x>0; ②当x=0时,0<3显然成立,所以x=0; ③当x<0时,x 2+2x<3,得-3<x<0. 综上,不等式的解集为(-3,+∞).。

高考数学复习第二章第二节函数的基本性质理(全国通用)1

第二节函数的基本性质考点一函数的单调性1.(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 0.53|＞0，∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )，故选C. 答案 C2.(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝(x －1)2C.y ＝2－xD.y ＝log 0.5(x ＋1)解析显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数；y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在 (－ 1，＋∞)上是减函数.故选A. 答案 A3.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝x 12B.f (x )＝x 3C.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.f (x )＝3x解析根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确. 答案 D4.(2014·山东，5)已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C.sin x >sin yD.x 3>y 3解析根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立. 答案 D5.(2012·广东，4)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2)B.y ＝－x ＋1C.y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD.y ＝x ＋1x解析函数y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上是增函数；函数y ＝－x ＋1在[－1，＋∞)上是减函数；函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，函数y ＝x ＋1x 在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.综上可得在(0，＋∞)上是增函数的是y ＝ln(x ＋2)，故选A. 答案 A6.(2012·陕西，2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A.y ＝x ＋1B.y ＝－x 3C.y ＝1xD.y ＝x |x |解析对于A ，注意到函数y ＝x ＋1不是奇函数；对于B ，注意到函数y ＝－x 3是在R 上的减函数；对于C ，注意到函数y ＝1x在其定义域上不是增函数；对于D ，注意到－x ·|－x |＋x |x |＝0，即函数y ＝x |x |是奇函数，且当x ≥0时，y ＝x |x |＝x 2是增函数，因此函数y ＝x |x |既是奇函数又是R 上的增函数，选D. 答案 D7.(2012·浙江，9)设a >0，b >0( ) A.若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a >b B.若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a b D.若2a －2a ＝2b－3b ，则a <b解析函数y ＝2x ＋2x 为单调递增函数，由题意可知2a ＋3a >2a ＋2a ＝2b＋3b ，∴a >b . 答案 A8.(2011·新课标全国，2)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A.y ＝x 3B.y ＝|x |＋1C.y ＝－x 2＋1D.y ＝2－|x |解析 A 中y ＝x 3是奇函数，不满足题意；由y ＝|x |＋1的图象可知B 满足题意；C 中y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意；D 中y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数，故不满足题意.故选B. 答案 B9.(2014·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解析由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3. 答案 (－1，3)考点二函数的奇偶性与周期性1.(2015·福建，2)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝|sin x | C.y ＝cos xD.y ＝e x－e －x解析由奇函数定义易知y ＝e x－e －x为奇函数，故选D. 答案 D2.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋e xB.y ＝x ＋1xC.y ＝2x＋12xD.y ＝1＋x 2解析令f (x )＝x ＋e x，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A. 答案 A3.(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln xD.y ＝x 2＋1解析由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点. 答案 A4.(2014·湖南，3)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A.－3B.－1C.1D.3解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C. 答案 C5.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f (x )g (x )是偶函数B.f (x )|g (x )|是奇函数C.|f (x )|g (x )是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选B. 答案 B6.(2014·湖北，10)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析 [当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2－a 2，a 2<x ≤2a 2x －3a 2，x >2a 2，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示，由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66，选B.答案 B7.(2013·广东，2)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A.4B.3C.2D.1解析根据奇、偶函数的定义可知，y ＝2x为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，y ＝x 3与y ＝2sin x 为奇函数，故选C. 答案 C8.(2013·山东，3)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A.－2B.0C.1D.2解析由函数f (x )为奇函数，得f (－1)＝－f (1)＝－2. 答案 A9.(2015·新课标全国Ⅰ，13)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.解析 f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. 答案 110.(2014·四川，12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.答案 111.(2012·上海，9)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析由题意得g (－1)＝f (－1)＋2. 又f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]＝－2，所以f (－1)＋2＝－3＋2＝－1，故g (－1)＝－1. 答案－1。

高考数学一轮复习第二章函数 2

高考数学一轮复习第二章 2.6 指数与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理 1．根式(1)如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂，m n a-＝1m na＝1nam(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )． 4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )，⎝⎛⎭⎫－1，1a . 2．如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)4－44＝－4.( × )(2)2a ·2b ＝2ab .( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × )1．化简3234[(5)]-的结果为( )A ．5 B. 5 C ．－ 5 D ．－5答案 B解析原式＝22333132334442(5)(5)55⨯===＝ 5.2．函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________．答案 (1,3)3．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c 1435-⎛⎫⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1，又c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫320＝1， ∴c 0，b >0)＝________.答案 85解析原式＝33322233222410a b a b--⋅＝85. (2)若12x ＋12x -＝3(x >0)，则33222232x x x x --+-+-＝________.答案 13解析由12x ＋12x-＝3，两边平方，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47， ∴x 2＋x －2－2＝45.3311332222()()x xx x --+=+＝1122()x x -+(x －1＋x －1)＝3×(7－1)＝18.∴33222232x x x x --+-+-＝13.教师备选(2022·杭州模拟)3322114423()a b ab ba b a⋅(a >0，b >0)的结果是( )A.b aB.a bC.a 2bD.b 2a 答案 B解析1133322632111111443342423()()a baba b a bba b a ba b a-⋅=⋅⋅⋅3111111226333a b+-++--=＝ab －1＝a b.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1 (1)已知a >0，则1132aa a 化为( )A ．112a B ．512a C ．56a D ．13a答案 B解析原式＝1111133222aa a a a ⋅=⋅1552612.a a ⨯==(2)计算：238－⎝⎛⎭⎫－780＋43－π4＋162[(2)]-＝________.答案 π＋8解析原式＝233(2)－1＋|3－π|＋162(2)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝x|x |a x (0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 D解析因为y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x ，x <0，且0<a <1，所以根据指数函数的图象和性质，当x ∈(0，＋∞)时函数是减函数；当x ∈(－∞，0)时函数是增函数，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故选D. (2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．答案 (0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示．∴当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． ∴b 的取值范围是(0,2)．教师备选在同一直角坐标系中，指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x，二次函数y ＝ax 2－bx 的图象可能是( )答案 B解析指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象位于x 轴上方，据此可区分两函数图象．二次函数y ＝ax 2－bx ＝(ax －b )x ，有零点b a，0.A ，B 选项中，指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 在R 上单调递增，故ba >1，故A 错误，B 正确． C ，D 选项中，指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 在R 上单调递减，故0b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )答案 A解析由图象可知，b<－1,0<a<1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，g(0)＝1＋b<0，所以选项A符合．(2)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0答案 D解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.又f(0)＝a－b<a0，所以－b>0，即b<0.题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(1)(2022·永州模拟)若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．c>b>aC．b>c>a D．a>c>b答案 B解析∵函数y＝0.3x在R上是减函数，∴0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1，又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3<0.7，∴0<0.30.3<0.70.3，∴0<a<b<1，而函数y＝1.2x是R上的增函数，∴c＝1.20.3>1.20＝1，∴c>b>a.(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<0答案 A解析设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增．原式等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确．因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确．命题点2解简单的指数方程或不等式例4(1)(2022·长岭模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则x的取值范围是() A．[2,4] B．(－∞，0)C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]答案 D解析∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7.∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4.∴x≤0或1≤x≤2.(2)当0<x <12时，方程a x ＝1x (a >0且a ≠1)有解，则实数a 的取值范围是______．答案 (4，＋∞)解析依题意，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，y ＝a x 与y ＝1x 有交点，作出y ＝1x的图象，如图，所以1212a a ⎧⎪⎨⎪⎩＞，＞，解得a >4.命题点3 指数函数性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，4]解析令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 是增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．教师备选1．下列各式比较大小不正确的是( )A ．1.72.5>1.73B.2433122-⎛⎫⎪⎝⎭＞ C ．1.70.3>0.93.1D.32432334⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜答案 A解析 ∵y ＝1.7x 为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确；443312=2-⎛⎫ ⎪⎝⎭，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数， ∴24433311=222-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，故B 正确； ∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C 正确；∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 为减函数，∴32432233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，又y ＝23x 在(0，＋∞)上单调递增， ∴22332334⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴322433223334⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＜＜，故D 正确． 2．(2022·泸州模拟)已知函数f (x )＝e x －1e x ，若f (a －2)＋f (a 2)≤0，则实数a 的取值范围是______．答案 [－2,1]解析因为f (x )＝e x －1e x ，定义域为R ， f (－x )＝e －x －1e－x ＝1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )＝e x －1e x 为奇函数．又因为f (x )＝e x －1e x 在R 上为增函数，所以f (a －2)＋f (a 2)≤0⇒f (a －2)≤－f (a 2)⇒f (a －2)≤f (－a 2)，即a －2≤－a 2，a 2＋a －2≤0，解得－2≤a ≤1.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3 (1)设m ，n ∈R ，则“m <n ”是“⎝⎛⎭⎫12m －n >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫12m －n >1，即⎝⎛⎭⎫12m －n >⎝⎛⎭⎫120，∴m －n <0，∴m <n .故“m <n ”是“⎝⎛⎭⎫12m －n >1”的充要条件．(2)已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，若f (x )有最大值3，则a 的值为________．答案 1解析令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )，∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1.课时精练1．(2022·佛山模拟)已知a＝432，b＝254，c＝135，则()A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．c<a254＝b，因为b＝254＝1615(4)＝1154096，c＝135＝1515(5)＝1153125，则b>c.综上所述，a>b>c.2．若函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则()A．a>1，b>1 B．a>1,0<b<1 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 答案 D解析根据图象，函数f(x)＝a x－b是单调递减的，所以指数函数的底数a∈(0,1)，根据图象的纵截距，令x＝0，y＝1－b∈(0,1)，解得b∈(0,1)，即a∈(0,1)，b∈(0,1)．3．下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝log 2x答案 B解析 y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数，y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝⎝⎛⎭⎫12x 是非奇非偶函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数，符合题意．4．(2022·福建三明一中检测)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则a 的值是( )A.12或 2B.12或2C.12D ．2 答案 B解析当a >1时，函数单调递增，f (x )max ＝2f (x )min ，∴f (2)＝2f (1)，∴a 2＝2a ，∴a ＝2；当0<a <1时，函数单调递减，f (x )max ＝2f (x )min ，∴f (1)＝2f (2)，∴a ＝2a 2，∴a ＝12，综上所述，a ＝2或a ＝12. 5．函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a<1，此时四个选项均不对；当0<a <1时，函数y ＝a x －1a 是减函数，且其图象可视为是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a ⎝⎛⎭⎫1a >1个单位长度得到，选项D 适合．6．(2020·新高考全国Ⅰ)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天答案 B解析由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38. 由题意，累计感染病例数增加1倍，则I (t 2)＝2I (t 1)，即20.38et ＝10.382e t ，所以210.38()e t t -＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.7．已知a >0，b >0，则12323651a a b b ab -⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭＝________. 答案 1 解析 12323651a a b b ab -⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ＝211113322156()()a b a bab --⋅⋅⋅ ＝111133221566a b a ba b -⋅⋅⋅⋅＝111115236326a b --+-⋅＝1.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0)解析当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0. 所以实数a 的取值范围是[－3,0)．9．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )的解析式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图象过点A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均单调递减，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也单调递减，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. 10．已知定义域为R 的函数f (x )＝a x －(k －1)a －x (a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f (1)<0，判断函数f (x )的单调性，若f (m 2－2)＋f (m )>0，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，∴k ＝2，经检验k ＝2符合题意，∴k ＝2.(2)f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)，∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1， ∴0<a <1，而y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x 在R 上单调递增，故由单调性的性质可判断f (x )＝a x －a －x 在R 上单调递减，不等式f (m 2－2)＋f (m )>0可化为f (m 2－2)>f (－m )，∴m 2－2<－m ，即m 2＋m －2<0，解得－2<m <1，∴实数m 的取值范围是(－2,1)．11．已知0<a (1－a )bB ．(1－a )b >2(1)ba -C ．(1＋a )a >(1＋b )bD ．(1－a )a >(1－b )b答案 D解析因为0<a <1，所以0<1－a <1，所以y ＝(1－a )x 是减函数，又0b ，b >b 2，所以1(1)b a -<(1－a )b ，(1－a )b <2(1)b a -，所以A ，B 均错误；又1<1＋a <1＋b ，所以(1＋a )a <(1＋b )a <(1＋b )b ，所以C 错误；因为0<1－b <1－a <1，所以(1－a )a >(1－a )b >(1－b )b ，所以D 正确．12．(2022·南京模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12∪(1，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫0，12C.⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1，＋∞)答案 B解析 ①当a >1时，由图象得0<2a <1，∴0<a <12， ∵a >1，∴此种情况不存在；②当0<a <1时，由图象得0<2a <1，∴0<a <12， ∵0<a <1，∴0<a <12.13．(2022·西安模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f (x )＝e x －1e x ＋1－12，则函数y ＝[f (x )]的值域为( )A ．{0}B ．{－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{－1,0,1}答案 C解析 f (x )＝e x －1e x ＋1－12＝e x ＋1－2e x ＋1－12 ＝－2e x ＋1＋12， ∵e x >0，∴e x ＋1>1，∴0<2e x ＋1<2， ∴－2<－2e x ＋1<0， ∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫－32，12， ∴[f (x )]为－2或－1或0.14．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．答案 3或13解析令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上知a ＝3或a ＝13.15．(2022·定远模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－23，0 解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝03x -－m ＋1，∴2m ＝0033x x ---＋2，构造函数y ＝0033x x ---＋2，x 0∈[－1,1]，令t ＝03x ，t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，y ＝－1t－t ＋2＝2－⎝⎛⎭⎫t ＋1t 在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增，在(1,3]上单调递减，∴t ＝1取得最大值0，t ＝13或t ＝3取得最小值－43，y ∈⎣⎡⎦⎤－43，0， ∴－43≤2m <0，∴－23≤m <0. 16．(2022·上海模拟)已知函数f (x )＝2x ＋a ·2－x (a 为常数，a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性；(2)当f (x )为偶函数时，若方程f (2x )－k ·f (x )＝3在x ∈[0,1]上有实根，求实数k 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝2x ＋a ·2－x 的定义域为x ∈R ，又∵f (－x )＝2－x ＋a ·2x ，∴①当f (－x )＝f (x )，即2－x ＋a ·2x ＝2x ＋a ·2－x 时，可得a ＝1，即当a ＝1时，函数f (x )为偶函数；②当f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋a ·2x ＝－(2x ＋a ·2－x )＝－2x －a ·2－x 时，可得a ＝－1，即当a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．(2)由(1)可得，当函数f (x )为偶函数时，a ＝1，即f (x )＝2x ＋2－x ，f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2，由题可得，(2x ＋2－x )2－2－k (2x ＋2－x )＝3⇔(2x ＋2－x )2－k (2x ＋2－x )－5＝0，令t ＝2x ＋2－x ，则有t 2－kt －5＝0，∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，根据对勾函数的性质可知，2x ＋2－x ∈⎣⎡⎦⎤2，52，即t ∈⎣⎡⎦⎤2，52，方程t 2－kt －5＝0在t ∈⎣⎡⎦⎤2，52上有实数根，则k ＝t 2－5t ＝t －5t，令φ(t )＝t －5t ，∴φ(t )在⎣⎡⎦⎤2，52上单调递增，且φ(2)＝－12，φ⎝⎛⎭⎫52＝12， ∴－12≤k ≤12， ∴实数k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.。

(新课标)高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2-2 函数的单调性与最值课时规范练理(

2-2 函数的单调性与最值课时规X 练(授课提示：对应学生用书第219页)A 组基础对点练1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( B ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( C ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg|x |3．下列函数中，既是奇函数且在定义域内是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．ln 2＋x 2－x4．函数f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的递增区间是( D ) A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(2，＋∞)解析：令t ＝x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)＞0，求得x ＜1或x ＞2，故函数的定义域为{x |x ＜1或x ＞2}，f (x )＝ln t ，由复合函数的单调性知本题即求函数t 在定义域内的增区间．结合二次函数的性质可得函数t 在定义域内的增区间为(2，＋∞)． 5．设f (x )＝x －sin x ，则f (x )( B ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)7．(2017·某某模拟)若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( C ) A ．f (x )＝(x －1)2B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝ln(x ＋1)8．(2018·某某二模)已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( D )A ．tan x ＞tan yB ．ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1) C.1x >1yD ．x 3＞y 3解析：根据题意，实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则x ＞y ，依次分析选项：对于A ，因为y ＝tan x 在其定义域上不是单调函数，故tan x ＞tan y 不一定成立，不符合题意；对于B ，若x ＞y ，则x 2＋2＞y 2＋2不一定成立，故ln(x 2＋2)＞ln(y 2＋1)不一定成立，不符合题意；对于C ，当x ＞y ＞0时，1x ＜1y，不符合题意；对于D ，函数y ＝x 3在R 上为增函数，若x ＞y ，必有x 3＞y 3，符合题意．9．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为( D ) A ．(－∞，1] B ．[1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)11．(2017·某某模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a的取值X 围是( B ) A ．(0,1)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，3a ≥1，得13≤a <1. 12．函数f (x )＝x ＋2x －1的最小值为 12.解析：由2x －1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，又函数f (x )＝x ＋2x －1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，∴当x ＝12时，函数取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.13．已知y ＝f (x )是定义在(－2,2)上的增函数，若f (m －1)<f (1－2m )，则m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，23.解析：依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m <2m －1<1－2m⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3－12<m <32m <23⇒－12<m <23.14．(2018·城关区校级模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，若m ＞0，n ＞0，且m ＋n ＝f (f (ln 2))，则1m ＋2n的最小值为 3＋2 2.解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋2，x ≥1，e x－1，x <1，m ＋n ＝f [f (ln 2)]＝f (e ln 2－1)＝f (2－1)＝log 33＝1，则1m ＋2n＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22，当且仅当n ＝2m 时，取得最小值3＋2 2.15．(2018·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤2，log 2x －1，x >2，则f (f (4))＝ 1 ；函数f (x )的单调递减区间是 [1,2] ．解析：f (4)＝log 24－1＝1， ∴f (f (4))＝f (1)＝－12＋2×1＝1.x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ，对称轴为x ＝1，∴f (x )在[1,2]上单调递减． ∴f (x )的单调递减区间为[1,2]．B 组能力提升练1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 12a ≤2f (1)，则a 的取值X 围是( C )A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0 B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ 解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．3．(2017·某某阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( B ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数4．(2018·某某一模)已知函数f (x )满足：①对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0；②对定义域内任意x ，都有f (x )＝f (－x )，则符合上述条件的函数是( A )A ．f (x )＝x 2＋|x |＋1 B ．f (x )＝1x－xC ．f (x )＝ln|x ＋1|D ．f (x )＝cos x解析：由题意得f (x )是偶函数，在(0，＋∞)递增，对于A ，f (－x )＝f (x )，是偶函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，f ′(x )＝2x ＋1＞0，故f (x )在(0，＋∞)递增，符合题意；对于B ，函数f (x )是奇函数，不合题意；对于C ，由x ＋1＝0，解得x ≠－1，定义域不关于原点对称，故函数f (x )不是偶函数，不合题意；对于D ，函数f (x )在(0，＋∞)无单调性，不合题意．5．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值X 围是( B ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32C ．[1,2)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：由题意知f ′(x )＝2x －12x＝2x ＋12x －12x ，易知函数f (x )在x ＝12处取得极值，所以有k －1<12<k ＋1，且k －1≥0，得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 6．(2018·铁东区校级一模)指数函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)在R 上是减函数，则函数g (x )＝a －2x 2在其定义域上的单调性为( C ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减D ．在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增解析：∵指数函数f (x )＝a x在R 上是减函数， ∴0＜a ＜1，∴－2＜a －2＜－1，函数y ＝1x2在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．∴g (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增． 7．已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a ＞1)，则( C ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] C ．sgn[g (x )]＝－sgn x D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )]8．若f (x )＝e x －a e －x为奇函数，则f (x －1)＜e －1e 的解集为( A )A ．(－∞，2)B ．(－∞，1)C ．(2，＋∞)D ．(1，＋∞)9．已知函数f (x )＝lg(a x－b x)＋x 中，常数a ，b 满足a ＞1＞b ＞0，且a ＝b ＋1，那么f (x )＞1的解集为( B ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,10)D ．(10，＋∞)10．(2018·兴庆区校级三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1－b ，x ≤1，－log 2x ＋1，x >1(a ＞0，a ≠1)，在其定义域上单调，则ab 的值不可能的是( D ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由于函数f (x )在R 上单调，当x ＞1时，函数f (x )＝－log 2(x ＋1)单调递减，则当x ≤1时，函数f (x )＝a x －1－b 单调递减，所以0＜a ＜1，且a1－1－b ≥－log 2(1＋1)，即1－b ≥－1，解得b ≤2.当0＜b ≤2时，0＜ab ＜2；当b ≤0时，则ab ≤0.因此，ab ≠2，故选D.11．已知函数f (x )是定义在R 上的单调递增函数，且满足对任意的实数x 都有f (f (x )－3x)＝4，则f (x )＋f (－x )的最小值等于( B ) A ．2 B ．4 C ．8D ．12解析：由f (x )的单调性知存在唯一实数K 使f (K )＝4，即f (x )＝3x＋K ，令x ＝K 得f (K )＝3K ＋K ＝4，所以K ＝1，从而f (x )＝3x ＋1，即f (x )＋f (－x )＝3x＋13x ＋2≥23x·13x ＋2＝4，当且仅当x ＝0时取等号．故选B.12．(2018·某某二模)已知函数f (x )＝(x ＋2 012)(x ＋2 014)(x ＋2 016)(x ＋2 018)，x ∈R ，则函数f (x )的最小值是－16 解析：令x ＋2 012＝t ，t ∈R ，则y ＝t (t ＋2)(t ＋4)(t ＋6)＝(t 2＋6t )(t 2＋6t ＋8)＝(t 2＋6t )2＋8(t 2＋6t )＝(t 2＋6t ＋4)2－16，当t 2＋6t ＋4＝0，即t ＝－3±5时，取得最小值－16.13．(2017·某某东营广饶一中模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x ＞1是R 上的减函数，则a 的取值X 围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 . 解析：由函数f (x )为单调递减函数可得g (x )＝(3a －1)x ＋4a 在(－∞，1]上单调递减，函数h (x )＝log a x 在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)≥h (1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1，7a －1≥0，∴17≤a ＜13. 14．已知函数f (x )＝则f (f (3))＝－3 ，函数f (x )的最大值是1 . 解析：f (3)＝3＝－1，∴f (f (3))＝f (－1)＝－(－1)2－2＝－3. 当x ＞1时，f (x )＝x 为减函数，可得f (x )<0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，最大值为1. 15．(2017·模拟)已知函数f (x )＝xx 2＋1，关于f (x )的性质，有下列四个结论：①f (x )的定义域是(－∞，＋∞)；②f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12； ③f (x )是奇函数；④f (x )是区间(0,2)上的增函数．其中正确结论的个数是 3 . 解析：对于①，∵函数f (x )＝xx 2＋1，∴f (x )的定义域是(－∞，＋∞)，故①正确；对于②，当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x，若x ＞0，则0＜f (x )≤12，若x ＜0，则－12≤f (x )＜0；当x ＝0时，f (x )＝0，故f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，故②正确；对于③，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，故③正确；对于④，f ′(x )＝1－x2x 2＋12，令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜1，令f ′(x )＜0，解得x ＞1或x ＜－1，∴f (x )在区间(0,2)上先增后减，故④错误．综上可知，正确结论的个数是3.。

2020版高考数学北京版大一轮精准复习精练：2.2函数的基本性质含解析

2.2函数的基本性质挖命题【考情探究】分析解读 1.能够证明函数在给定区间上的单调性;求函数的单调区间;利用单调性求函数的最值(值域)、比较大小及求参数的取值范围.2.函数奇偶性的判断及应用是高考常考的知识点,常与函数的单调性、周期性、对称性、最值综合考查.3.要强化函数性质的应用意识,熟练掌握利用性质求最值等相关问题.4.本节在高考中多以选择题、填空题的形式考查函数的奇偶性与周期性,5分左右,属于中低档题.与不等式、方程等结合,以解答题的形式考查函数的单调性,属于中档题,要注意借助数形结合的思想解题.破考点【考点集训】考点一函数的单调性及最值1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为()A.y=B.y=-x3C.y=lo xD.y=x+答案 B2.已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈,使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()A.[-5,0]B.(-∞,-5]∪[0,+∞)C.(-5,0)D.(-∞,-5)∪(0,+∞)答案 A考点二函数的奇偶性与周期性3.下列函数中为偶函数且在(0,+∞)上递减的是()A.y=(x-2)2B.y=ln|x|C.y=xcos xD.y=e-|x|答案 D4.若函数f(x)定义域为(-∞,+∞),则“曲线y=f(x)过原点”是“f(x)为奇函数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B5.下列函数中为偶函数的是()A. f(x)=2x-B. f(x)=xsin xC. f(x)=e x cos xD. f(x)=x2+sin x答案 B6.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.1答案 D炼技法【方法集训】方法1判断函数单调性的方法1.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且a+b>0,b+c>0,a+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值()A.恒为正B.恒为负C.恒为0D.无法确定答案 B2.已知函数f(x)=ax2-x,若对任意x1,x2∈[2,+∞),且x1≠x2,不等式->0恒成立,则实数a的取值范围是-()A.∞B.∞C.∞D.∞答案 D方法2判断函数奇偶性的方法3.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1)=-2,那么f(-1)+f(0)=()A.-2B.0C.1D.2答案 D4.对于函数f(x)=asin x+bx+c(a,b∈R,c∈Z),计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是()A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2答案 D方法3函数周期的求法及应用5.已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=ln(-x)+x;当-e≤x≤e时, f(-x)=-f(x);当x>1时, f(x+2)=f(x),则f(8)=.答案2-ln 2方法4函数性质的综合应用6.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是()A. f(x)=sin xB. f(x)=|x+1|C. f(x)=-xD. f(x)=cos x 答案 C7.设函数f(x)=-(a>0,且a≠1).(1)若a=,则函数f(x)的值域为;(2)若f(x)在R上是增函数,则a的取值范围是.答案(1)-∞(2)[2,+∞)方法5函数值域的求法8.下列函数中,值域为[0,1]的是()A.y=x2B.y=sin xC.y=D.y=答案 D过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组考点一函数的单调性及最值1.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=B.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案 D2.(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x-1)2C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)答案 A3.(2014北京文,2,5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e-xB.y=x3C.y=ln xD.y=|x|答案 B4.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=-(x≥2)的最大值为.答案 2考点二函数的奇偶性与周期性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sin xB.y=x2cos xC.y=|ln x|D.y=2-x答案 B2.(2013北京文,3,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|答案 CB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的单调性及最值1.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案 D2.(2014课标Ⅱ,15,5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.答案(-1,3)考点二函数的奇偶性与周期性1.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50答案 C2.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=.答案 1C组教师专用题组考点一函数的单调性及最值1.(2017课标Ⅱ,8,5分)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)答案 D2.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是()A. B.-∞∪(1,+∞) C.- D.-∞-∪∞答案 A3.(2013辽宁,12,5分)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=()A.a2-2a-16B.a2+2a-16C.-16D.16答案 C考点二函数的奇偶性与周期性1.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是()A.-∞B.-∞∪∞C.D.∞答案 C2.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>时, f=f -.则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案 D3.(2015安徽,4,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()A.y=ln xB.y=x2+1C.y=sin xD.y=cos x答案 D4.(2014课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 C5.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知函数f(x)=ln(-x)+1, f(a)=4,则f(-a)=.答案-26.(2017课标Ⅱ,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案127.(2014课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)=.答案 3【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2018北京房山一模,5)下列函数中,与函数y=x3的单调性和奇偶性相同的是()A.y=B.y=ln xC.y=tan xD.y=e x-e-x答案 D2.(2019届北京潞河中学10月月考文,6)已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数,其部分图象如图所示,则在(-2,0)上与函数f(x)的单调性相同的是()A.y=-x2+1B.y=cos xC.y=-D.y=log2|x|答案 D3.(2019届北京潞河中学10月月考,4)下列函数是奇函数且在区间(1,+∞)上单调递减的是()A.f(x)=-x3B.f(x)=C.f(x)=x+D.f(x)=-x+1答案 A4.(2019届中央民大附中10月月考,5)下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是()A.y=B.y=|ln x|C.y=x2+2|x|D.y=2-x答案 C5.(2019届北京牛栏山一中期中,2)下列函数中,定义域为R的偶函数是()A.y=2xB.y=ln|x|C.y=cos xD.y=2x答案 C6.(2019届北京朝阳期中文,8)已知定义域为R的奇函数f(x)的周期为2,且x∈(0,1]时, f(x)=lo x.若函数F(x)=f(x)-sin x在区间[-3,m](m∈Z且m>-3)上至少有5个零点,则m的最小值为()A.2B.3C.4D.6答案 A7.(2018北京石景山期末,6)给定函数①y=,②y=lo(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是()A.①④B.①②C.②③D.③④答案 C8.(2018北京东城期末,5)已知函数f(x)=,则f(x)的()A.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是增函数B.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是增函数C.图象关于原点对称,且在[0,+∞)上是减函数D.图象关于y轴对称,且在[0,+∞)上是减函数答案 B9.(2017北京朝阳期中,2)下列函数中,既在定义域上是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的是()A.y=x2B.y=x+1C.y=-lg|x|D.y=-2x答案 C10.(2019届北京八中10月月考,3)下列函数中,在(-1,1)内有零点且单调递增的是()A.y=lo xB.y=2x-1C.y=x2-D.y=-x3答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)11.(2018北京一七一中学期中,12)若函数g(x)=-是奇函数,则f(x)=.答案x+112.(2018北京通州一模,14)设函数f(x)=x2+acos x,a∈R,非空集合M={x|f(x)=0,x∈R}.(1)M中所有元素之和为;(2)若集合N={x|f(f(x))=0,x∈R},且M=N,则a的值是.答案(1)0(2)0三、解答题(共30分)13.(2019届北京四中期中文,18)已知实数a≠0,函数f(x)=ax(x-2)2(x∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有极大值32,求实数a的值.解析(1)∵f(x)=ax3-4ax2+4ax,∴f '(x)=3ax2-8ax+4a=a(3x-2)(x-2).令f '(x)=0,得x=或x=2.当a>0时,函数f(x)的单调增区间是-∞,(2,+∞);单调减区间是.当a<0时,函数f(x)的单调增区间是;单调减区间是-∞,(2,+∞).(2)∵f(x)=ax(x-2)2(x∈R)有极大值32,由(1)知当x=2或时, f(x)取得极值,而f(2)=0,∴当x=时, f(x)取得极大值32,即a-=32,∴a=27.14.(2019届北京八中10月月考,15)设函数f(x)=是奇函数,a,b,c都是整数,且f(1)=3, f(2)<5.(1)求a,b,c的值;(2)求函数f(x)的值域.解析(1)由f(x)=是奇函数,得f(-x)=-f(x)对定义域内的x恒成立,则--=-,∴-bx+c=-(bx+c)对定义域内的x恒成立,即c=0(或由定义域关于原点对称得c=0).又f(1)=3, f(2)<5,∴①②由①得a=3b-1,代入②得-<0,∴0<b<,由a,b,c是整数,得b=1,a=2.(2)由(1)知, f(x)==2x+,当x<0时, f(x)在-∞-上单调递增,在-上单调递减.当x>0时, f(x)在上单调递减,在∞上单调递增.∴函数f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).15.(2019届北京一零一中学10月月考,16)已知函数f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函数,当x=1时, f(x)取得极值-2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间和极大值;(3)证明:对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.解析(1)∵f(x)是R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x),即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,∴d=-d,即d=0(或由f(0)=0得d=0),∴f(x)=ax3+cx,则f '(x)=3ax2+c,又当x=1时, f(x)取得极值-2,-∴即解得∴f(x)=x3-3x.(2)f '(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f '(x)=0,得x=±1.当-1<x<1时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减;当x<-1或x>1时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增;∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为(-1,1).因此, f(x)在x=-1处取得极大值,且极大值为f(-1)=2.(3)证明:由(2)知,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,且f(x)在区间[-1,1]上的最大值为M=f(-1)=2,最小值为m=f(1)=-2,∴对任意x1,x2∈(-1,1),|f(x1)-f(x2)|<M-m=4成立.即对任意x1,x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.。

北师版高考总复习一轮理科数精品课第2章函数的概念与性质第4节幂函数与二次函数

(1,0)代入,得
1
a= ,所以
9
1
f(x)= (x+2)2-1,即
9
1 2 4 5
f(x)= x + x- .
9
9 9
考点三
二次函数的图像与性质(多考向探究)
考向1.二次函数的图像
典例突破
例3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分,
图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:
选项符合题意,故选C.
考向2.二次函数的单调性与最值
典例突破
例4.(2021新疆乌鲁木齐模拟)若定义在R上的二次函数f(x)的值域为[-4,
+∞),且满足f(1+x)=f(1-x),f(2)=-3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求f(x)在[t,t+1]上的最小值g(t).
解:(1)由于f(1+x)=f(1-x),则二次函数f(x)的图像关于直线x=1对称,因为二次
衍生考点
核心素养
1.幂函数的图像与性质
2.二次函数的解析式
3.二次函数的图像
4.二次函数的性质
5.三个“二次”之间的关
系
1.数学抽象
2.直观想象
3.数学运算
4.逻辑推理
强基础增分策略
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数 y=xα
叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.
微点拨幂函数的特点:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα图像上的一些特殊
点,如函数图像与y轴的交点,与x轴的交点等.
从这三方面入手,能准确地判断出二次函数的图像,反之,也能从图像中得

数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理

2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型（1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）；(3）反比例函数模型:f（x）=kk（k为常数，k≠0)；（4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）；（5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1);（6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）；(7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1,k2(k),k∈k2,k3(k),k∈k3;（8）对勾函数模型:y=x+kk（a为常数，a>0）。

2。

指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x(a>1）y=log a x（a〉1)y=xα（α〉0）在(0，+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x<xα〈a x考点自诊1。

判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。

(1）幂函数增长比一次函数增长更快。

（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（）(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。

()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。

（）(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。

(）2。

(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第2讲函数的单调性与最值学案文(含答案)

高考数学一轮总复习学案：第2讲函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1．函数单调性的常用结论(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．(2)若k＞0，则kf(x)与f(x)的单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反．(3)函数y ＝f (x )(f (x )＞0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反． (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f （x ）的单调性相同．(5)复合函数单调性的判断方法：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．简称“同增异减”．2．单调性定义的等价形式设x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2.(1)若有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0或f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数；(2)若有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0或f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数．3．函数最值的结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( )(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解；(4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的单调递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1. 所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的单调递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________．答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一判断或证明函数的单调性(一题多解)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】方法一：(定义法)设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．方法二：(导数法)f ′(x )＝（ax ）′（x －1）－ax （x －1）′（x －1）2＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1，1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．利用定义法证明或判断函数单调性的步骤[提醒] 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．角度二求具体函数的单调区间求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．【解】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋2，x ≥0，－（x ＋1）2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为(－1，0]和(1，＋∞)．【迁移探究】 (变条件)若本例函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1－2，1]和(1＋2，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1－ 2 ]和(1，1＋ 2 ]．确定函数的单调区间的方法[注意] (1)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．(2)“函数的单调区间是M ”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M .1．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D ．A 项中，y ＝11－x在(－1，1)上为增函数；B 项中，y ＝cos x 在(－1，1)上不单调；C 项中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上为增函数；D 项中，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上为减函数．故选D ．2．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：选D ．由x 2－2x －8＞0得x ＜－2或x ＞4.令g (x )＝x 2－2x －8，则g (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，而y ＝ln x 为单调递增函数，根据复合函数的性质，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，作出图象如下：故函数g (x )的单调递减区间为[0，1)．答案：[0，1)4．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在x ∈[1，2]上单调递增，证明如下：设1≤x 1＜x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 21＋1x 1＝(x 2－x 1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2，由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上单调递增．函数单调性的应用(多维探究) 角度一比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，故f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．角度二解函数不等式(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≤0，－x 2－2x ＋1，x ＞0，若f (a －1)≥f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 (2)已知函数f (x )＝－x |x |，x ∈(－1，1)，则不等式f (1－m )<f (m 2－1)的解集为________．【解析】 (1)函数f (x )＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x在(－∞，0]上为减函数，函数f (x )＝－x 2－2x ＋1在(0，＋∞)上为减函数，且e －0＝－02－2×0＋1＝1，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．由f (a －1)≥f (－a )得a －1≤－a ，解得a ≤12.故选A ．(2)由已知得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1<x ≤0，－x 2，0<x <1，则f (x )在(－1，1)上单调递减，所以⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，m 2－1<1－m ，解得0<m <1，所以所求解集为(0，1)．【答案】 (1)A (2)(0，1)解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是：(1)将函数不等式转化成f (x 1)＞f (x 2)的形式；(2)考查函数f (x )的单调性；(3)根据函数f (x )的单调性去掉法则“f ”，转化为形如“x 1＞x 2”或“x 1＜x 2”的常规不等式，从而得解．[提醒] 要注意函数的定义域，如本例(2)易忽视“－1＜1－m ＜1，－1＜m 2－1＜1”而致误．角度三利用函数的单调性求最值(1)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．(2)函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________．【解析】 (1)由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)令 x 2＋4＝t ，则t ≥2，所以x 2＝t 2－4，所以y ＝t t 2＋1＝1t ＋1t，设h (t )＝t ＋1t在[2，＋∞)上为增函数，所以h (t )min ＝h (2)＝52，所以y ≤152＝25(x ＝0时取等号)．即y 的最大值为25.【答案】 (1)3 (2)25运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为首选方法．角度四利用函数的单调性求参数的范围(或值)(1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3－a ）x ，x ∈（－∞，－1]，a x ，x ∈（1，＋∞）是R 上的增函数，则实数a的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(1，3)C ．(1，＋∞)D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 (2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，3－a ≤a ，解得32≤a ＜3，故选D ．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)D (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)(1)根据函数的单调性，将题设条件转化为含参数的不等式(组)，即可求出参数的值或范围；(2)若分段函数是单调函数，则不仅要保证在各区间上单调性一致，还要确保在整个定义域内是单调的．1．函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1) 解析：选B ．因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又0<12<1<32<2，f (x )在[0，2]上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 2．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＜f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C ．由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＜f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＞1，x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧|x |＜1，x ≠0.所以－1＜x ＜0或0＜x ＜1.故选C ．3．设函数f (x )＝2x x －2在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则m2M ＝( )A ．23 B ．38 C ．32D ．83解析：选D ．由题意得f (x )＝2x x －2＝2＋4x －2，所以函数f (x )在区间[3，4]上单调递减，所以M ＝f (3)＝2＋43－2＝6，m ＝f (4)＝2＋44－2＝4，所以m 2M ＝426＝83.故选D ．4．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4（a －3）4a ≥3，得0＜a ≤34.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34思想方法系列2 函数最值的求法方法一单调性法已知a ＞0，设函数f (x )＝2 022x ＋1＋2 0212 022x＋1＋2 022x 3(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，则M ＋N 的值为( )A ．2 022B ．2 023C ．4 043D ．4 044【解析】 f (x )＝2 022x ＋1＋2 0212 022x ＋1＋2 022x 3＝2 022（2 022x＋1）－12 022x＋1＋2 022x 3＝2 022－12 022x＋1＋2 022x 3. 因为y ＝－12 022x＋1，y ＝2 022x 3均为增函数，所以f (x )在[－a ，a ]上单调递增，故最大值为f (a )，最小值为f (－a )，所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝2 022－12 022a ＋1＋2 022a 3＋2 022－12 022－a＋1＋2 022(－a )3＝4 044－1＝4 043.【答案】 C利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关键是准确确定函数的单调性．方法二不等式法主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)； a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．【解析】因为x －2y ＋3z ＝0，所以y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz4xz.又x ，z 为正实数，所以由基本不等式，得y 2xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3.当且仅当x ＝3z 时取“＝”．故y 2xz的最小值为3.【答案】 3先对解析式进行变形，使之满足“一正、二定、三相等”的条件，再利用基本不等式求得最值．常用的不等式有a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab (a ，b 均为正实数)．解题时要注意验证等号成立的条件，如果在求解时发现等号不成立，可尝试利用函数性质解题．方法三配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的最值问题，可以考虑用配方法．已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．【解】 y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －x (t ≥2)，设f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.因为t ≥2，所以f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2，定义域为[2，＋∞)．因为函数y ＝f (t )图象的对称轴为直线t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2；当a ＞2时，y min ＝f (a )＝a 2－2.利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本例化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．方法四换元法换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．(1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________．(2)函数y ＝x －4－x 2的值域为________．【解析】 (1)设1－x ＝t (t ≥0)，所以x ＝1－t 2.所以y ＝f (x )＝x ＋21－x ＝1－t 2＋2t ＝－t 2＋2t ＋1＝－(t －1)2＋2.所以当t ＝1即x ＝0时，f (x )max ＝2.(2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2，所以设x ＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝2cos θ－4－4cos 2θ＝2cos θ－2sin θ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，因为θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，所以y ∈[]－22，2. 【答案】 (1)2 (2)[]－22，2换元法方式很多，常见的有代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题．方法五数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值是________．【解析】由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2.所以x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x ＜12. 其图象如图所示．由图象易知，当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝32.【答案】 32本例作出y ＝|x ＋1|与y ＝|x －2|的图象，作出f (x )的图象是解题关键．。

(北京专用)高考数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性作业本理

（北京专用）高考数学一轮复习第二章函数第三节函数的奇偶性与周期性作业本理第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.下列函数中,值域为R的偶函数是( )A.y=x2+1B.y=e x-e-xC.y=lg|x|D.y=2.(2017北京丰台二模,2)下列函数中,既是偶函数又是(0,+∞)上的增函数的是( )A.y=-x3B.y=2|x|C.y=D.y=log3(-x)3.(2017北京海淀零模,2)下列函数中为偶函数的是( )A.y=x2sin xB.y=2-xC.y=D.y=|log0.5x|4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.35.已知函数f(x)=是偶函数,则下列结论可能成立的是( )A.a=,b=-B.a=,b=C.a=,b=D.a=,b=6.已知f(x)是奇函数,g(x)=.若g(2)=3,则g(-2)= .7.(2018北京朝阳高三期中,12)已知函数f(x)同时满足以下条件:①定义域为R;②值域为[0,1];③f(x)-f(-x)=0.试写出一个函数解析式f(x)= .8.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有f=-f成立.(1)证明y=f(x)是周期函数,并指出其周期;(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.B组提升题组9.(2017北京朝阳期中)下列函数中,既在其定义域上是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=x2B.y=x+1C.y=-lg|x|D.y=-2x10.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时, f(x)=2x-1,则f(2 017)+f(2 018)的值为( )A.-2B.-1C.0D.111.设奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0,则不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集为( )A.{x|-1<x<0或x>1}B.{x|x<-1或0<x<1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|-1<x<0或0<x<1}12.已知函数f(x)=则该函数是( )A.奇函数,且在定义域内单调递减B.奇函数,且在定义域内单调递增C.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递增D.偶函数,且在(0,+∞)上单调递增13.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数.(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0;(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.C y=x2+1是偶函数,值域为[1,+∞),∴A错误;y=e x-e-x是奇函数,∴B错误;y=lg|x|是偶函数,值域为R,∴C正确;y=的值域为[0,+∞),∴D错误.故选C.2.B 易知A中的函数为奇函数,C、D中的函数的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故选B.3.C 对于A,定义域为R, f(-x)=(-x)2·sin(-x)=-x2sin x=-f(x),故A中函数是奇函数;对于C,定义域为{x|x≠0}, f(-x)===f(x),故C中函数是偶函数;B,D中函数为非奇非偶函数.故选C.4.C 解法一:∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1,故选C.解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,则f(1)+g(1)=12+1-13=1.选C.5.C 因为f(x)为偶函数,所以f(2π)=f(-2π),即cos(2π+b)=sin(-2π+a),则cos b=sin a=cos,即b+a=+2kπ(k∈Z)或b-a=+2kπ(k∈Z),则a=,b=满足.6.答案-1解析由题意可得g(2)==3,则f(2)=1,又f(x)是奇函数,则f(-2)=-1,所以g(-2)===-1.7.答案|sin x|(答案不唯一)8.解析(1)由f=-f,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=f=-f=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函数,且3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又3是y=f(x)的一个周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.B组提升题组9.C 选项A:记f(x)=x2,其定义域为R,∵f(-x)=(-x)2=x2,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,但y=x2在(0,+∞)上单调递增,故A不符合题意.选项B:记f(x)=x+1,则f(1)=2,f(-1)=0,∵f(-1)≠f(1),∴y=x+1不是偶函数,故B不符合题意.选项C:记f(x)=-lg|x|,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),∵f(-x)=-lg|-x|=-lg|x|,∴f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,当x∈(0,+∞)时,y=-lg x.∵y=lg x在(0,+∞)上单调递增,∴y=-lg x在(0,+∞)上单调递减,故C符合题意.选项D:记f(x)=-2x,则f(1)=-2,f(-1)=-,∵f(-1)≠f(1),∴y=-2x不是偶函数,故D不符合题意.故选C.10.D 因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又因为函数的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f((2+x)+2)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的周期为4.又函数的图象关于x=1对称,所以f(0)=f(2),所以f(2 017)+f(2 018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=21-1+20-1=1.11.D 因为函数f(x)是奇函数且在(0,+∞)上是增函数,所以f(x)在(-∞,0)上也是增函数.因为f(-x)=-f(x),所以f(-1)=-f(1)=0,不等式x[f(x)-f(-x)]<0可化为2xf(x)<0,即xf(x)<0.当x<0时,可得f(x)>0=f(-1),所以x>-1,所以-1<x<0,当x>0时,可得f(x)<0=f(1),所以x<1,所以0<x<1.综上,原不等式的解集为{x|-1<x<0或0<x<1}.12.B 由题意得,当x>0时,-x<0, f(-x)=-2-(-x)=-2x=-f(x);当x<0时,-x>0, f(-x)=2-x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,因为当x>0时, f(x)=2x单调递增,且f(x)>20=1,当x<0时, f(x)=-2-x 单调递增,且f(x)=-2-x<-20=-1,所以f(x)在其定义域内单调递增,故选B.13.解析(1)证明:若x1+x2=0,显然原不等式成立.若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1,同理可证f(x1)+f(x2)<0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.综上所述,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)](x1+x2)≤0恒成立.(2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得即解得0≤a<1.故所求实数a的取值范围是[0,1).。

2022届新教材一轮复习北师大版第2章第2讲函数的基本性质作业

第二讲函数的基本性质1.[2021江西红色七校第一次联考]下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=cos xB.y=x2C.y=ln|x|D.y=e-|x|2.[2021湖北省四地七校联考]若函数f(x)=sin x·ln(mx+√1+4x2)的图象关于y轴对称,则m= ( )A.2B.4C.±2D.±43.[2020郑州三模]若函数f(x)={e x-x+2a,x>0,(a-1)x+3a-2,x≤0在(-∞,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.(1,3]C.[12,1) D.(1,2]4.[2021广州市阶段模拟]已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+a,则g(2)=( )A.-4B.4C.-8D.85.[2021长春市第一次质量监测]定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+5),当x∈[-2,0)时,f(x)=-(x+2)2,当x∈[0,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2 021)=( )A.809B.811C.1 011D.1 0136.[2021陕西省部分学校摸底检测]已知函数f(x)=2x cosx4x+a是偶函数,则函数f(x)的最大值为( )A.1B.2C.12D.37.[2021济南名校联考]已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),y=f(x+3)为偶函数,若f(x)在(0,3)上单调递减,则下面结论正确的是( )A.f(192)<f(e12)<f(ln 2)B.f(e12)<f(ln 2)<f(192)C.f(ln 2)<f(192)<f(e12)D.f(ln 2)<f(e12)<f(192)8.[2020江苏苏州初调]若y=f(x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)={sinx,x∈[0,1),f(x-1),x∈[1,+∞),则f(-π6-5)= .9.函数f(x)=x3-3x2+5x-1图象的对称中心为.10.[2021蓉城名校联考]已知函数f(x)=x+cosx,x∈R,设a= f(0.3-1), b= f(2-0.3),c= f(log20.2),则( )A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a11.[2021辽宁葫芦岛第二次测试]已知y=f(x-1)是定义在R 上的偶函数,且y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则不等式f(-2x-1-1)<f(3)的解集为 ( )A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,3)12.已知f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,若对于任意x,y∈(1,+∞),均有f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,则不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为 ( )A.[52,+∞)B.(52,+∞)C.[1,52]D.(2,52] 13.[2020广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y=f(x+2),其图象是连续的,当x>2时,函数y=f(x)是单调函数,则满足f(x)=f(1-1x+4)的所有x 之积为( )A.3B.-3C.-39D.3914.[原创题]设增函数f(x)={lnx,x >1,-1+ax x,0<x ≤1的值域为R,若不等式f(x)≥x+b 的解集为{x|c≤x≤e},则实数c 的值为( ) A.e -√e 2-42B.e+√e 2-42C.e±√e 2-42 D.1215.[多选题]已知奇函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,f(1)=2,若0<f(m)<2,则 ( )A.log m (1+m)<log m (1+m 2) B.log m (1-m)<0 C.(1-m)2>(1+m)2D.(1-m )13>(1-m )1216.[2021湖南六校联考][多选题]已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|),下列说法正确的是( ) A.g(x)为偶函数B.g(x)在(1,2)上单调递增C.g(x)在[2 016,2 020]上恰有三个零点D.g(x)的最大值为2答案第二讲函数的基本性质1.D 函数y=cos x是偶函数且是周期为2π的周期函数,所以y=cos x在(0,+∞)上不具有单调性,所以A选项不符合题意;函数y=x2为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以B选项不符合题意;函数y=ln|x|={lnx,x>0,ln(-x),x<0为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以C选项不符合题意;函数y=e-|x|={e-x,x≥0,e x,x<0为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以D选项符合题意.故选D.2.C ∵f(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)为偶函数,又y=sin x为奇函数,∴y=ln(mx+√1+4x2)为奇函数,即ln[-mx+√1+4·(-x)2]+ln(mx+√1+4x2)=0,即ln(1+4x2-m2x2)=0,1+4x2-m2x2=1,解得m=±2.故选C.3.B 当x>0时,f(x)=e x-x+2a,则f '(x)=e x-1>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数.当x≤0时,f(x)=(a-1)x+3a-2是单调递增函数,所以a-1>0,得a>1.e0-0+2a≥(a-1)×0+3a-2,解得a≤3.所以1<a≤3,故选B.4.C 依题意f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+a ①,所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+a,即f(x)+g(x)=-x3+x2+a ②,②-①得2g(x)=-2x3,g(x)=-x3,所以g(2)=-23=-8.故选C.5.A 由f(x)=f(x+5)可知f(x)的周期为5,又f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(-1)=-1,f(-2)=0,∴f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-1)=-1,f(5)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4 )+f(5)=2,∴f(1)+f(2)+…+f(2 021)=f(1)+2×404=809.故选A.6.C 解法一因为函数f(x)=2x cosx4x+a 是偶函数,所以f(-x)=f(x),即2-x cos(-x)4-x+a=2x cosx4x+a,化简可得a(4x-1)=4x-1,得a=1,所以f(x)=2x cosx4x+1=cosx2x+2-x.又cos x≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)≤12.故选C.解法二因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即2-1cos(-1)4-1+a =21cos14+a,解得a=1,所以f(x)=2x cosx4x+1=cosx2x+2-x.因为cosx≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)max=12,故选C.7.A 由f(x+6)=f(x)知函数f(x)是周期为6的函数.因为y=f(x+3)为偶函数,所以f(x+3)=f(-x+3),所以f(192)=f(72)=f(12+3)=f(-12+3)=f(52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内)因为1<e12<2,0<ln 2<1,所以0<ln 2<e12<52<3.因为f(x)在(0,3)上单调递减,所以f(52)<f(e12)<f(ln 2),即f(192)<f(e12)<f(ln 2),故选A.8.12因为y=f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-π6-5)=f(π6+5).因为x≥1时,f(x)=f(x-1),所以f(π6+5)=f(π6+4)=…=f(π6).又0<π6<1,所以f(π6)=sinπ6=12.故f(-π6-5)=12.9.(1,2) 解法一由题意设图象的对称中心为(a,b),则2b=f(a+x)+f(a-x)对任意x均成立,代入函数解析式得,2b=(a+x)3-3(a+x)2+5(a+x)-1+(a-x)3-3(a-x)2+5(a-x)-1=2a3+6ax2-6a2-6x2+10a-2=2a3-6a2+10a-2+(6a-6)x2对任意x均成立,所以6a-6=0,且2a3-6a2+10a-2=2b,即a=1,b=2,即f(x)的图象的对称中心为(1,2).解法二由三次函数对称中心公式可得,f(x)的图象的对称中心为(1,2).10.D f(x)=x+cos x,则f '(x)=1-sin x≥0,所以f(x)在R 上单调递增,又log 20.2<2-0.3<1<0.3-1=103,所以f(log 20.2)<f(2-0.3)<f(103),即c<b<a. 11.D 由题可知y=f(x-1)的图象关于y 轴对称.因为y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象,所以y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.因为y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减.所以|-2x-1-1-(-1)|<|3-(-1)|,即0<2x-1<4,解得x<3,所以原不等式的解集为(-∞,3),故选D.12.A 根据f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(24),所以f(x)+f(x-1)-2≥0得f(22x-1)≥f(24).又f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,所以{22x -1≥24,x >1,x -1>1,解得x≥52.所以不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为[52,+∞). 13.D 因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)图象关于x=2对称,因为f(x)在(2,+∞)上单调,所以f(x)在(-∞,2)上也单调,所以要使f(x)=f(1-1x+4),则x=1-1x+4或4-x=1-1x+4.由x=1-1x+4,得x 2+3x-3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2=-3;由4-x=1-1x+4,得x 2+x-13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x 3,x 4,则x 3x 4=-13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D.14.A 当x>1时,f(x)为增函数,且f(x)∈(0,+∞), 当0<x≤1时,-1+ax x =a-1x≤a -1,即f(x)∈(-∞,a -1]. 因为f(x)为增函数,所以a-1≤0,则a≤1,又函数f(x)的值域为R,所以a-1≥0,即a≥1,从而a=1,函数f(x)={lnx,x >1,-1+x x,0<x ≤1.因为不等式f(x)≥x+b 的解集为{x|c≤x≤e},易知ln x=x+b 的解为x=e,所以b=1-e,当x=1时,x+b=1+1-e=2-e<0=f(1),故0<c<1.令-1+x x=x+1-e,得x 2-ex+1=0,从而x=e -√e 2-42,则c=e -√e 2-42,故选A.15.AD ∵f(x)为奇函数,0<f(m)<2,f(1)=2,f(0)=0,∴f(0)<f(m)<f(1).又f(x)在R 上单调递增,∴0<m<1,∴1+m>1,0<1-m<1,∴log m (1-m)>0,B 错误.∵1+m>1+m 2,∴log m (1+m)<log m (1+m 2),A 正确.∵y=x 2在(0,+∞)上单调递增,1-m<1+m,∴(1-m)2<(1+m)2,C 错误.∵y=(1-m)x在(0,+∞)上单调递减,∴(1-m )13>(1-m )12,D 正确.故选AD. 16.AD 易知函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=|f(-x)|+f(|-x|)=|-f(x)|+f(|x|)=|f(x)|+f(|x|)=g(x),所以g(x)为偶函数,故A 正确.因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)是奇函数,所以f(x)是周期为4的函数,其部分图象如图D 2-2-1所示,图D 2-2-1所以当x≥0时,g(x)={2f(x),x ∈[4k,2+4k]0,x ∈(2+4k,4+4k],k∈N,当x∈(1,2)时,g(x)=2f(x),g(x)单调递减,故B 错误.g(x)在[2 016,2 020]上零点的个数等价于g(x)在[0,4]上零点的个数,而g(x)在[0,4]上有无数个零点,故C 错误. 当x≥0时,易知g(x)的最大值为2,由偶函数图象的对称性可知,当x<0时,g(x)的最大值也为2,所以g(x)在整个定义域上的最大值为2,故D 正确.综上可知,选AD.。

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第2讲函数性质与研究（二）题一：求函数249y x x =++-的值域。

题二：设[x ]表示不超过x 的最大整数（如：[1]=1，则定义在[2，4）的函数f （x ）=x [x ] ax
（其中a 为常数，且a ≤ 4）的值域为（）
A ．[42a ，644a ）
B ．[42a ，93a ）∪[273a ，644a ）
C ．[93a ，644a ）
D ．[42a ，93a ]∪（273a ，644a ]
题三：已知a 2+b 2+c 2=1，若2|1|a b c x ++≤+对任意实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．
若不等式 23(2)a b a b λ++>+ 对于任意正数a ，b 恒成立，则实数λ的取值范围为
第2讲函数性质与研究（二）
题一： [1,324]+.
详解：令x =3cos t （t ∈（0，π））
则函数249y x x =++-=3cos t +4+3sin t =32sin()44t π
++
由于t ∈（0，π），则5()(,)444t πππ+
∈，则2sin()[,1]4t π+∈-，故32sin()4[1,324]4t π
++∈+，
即函数249y x x =++-的值域为[1,324]+.
题二： B
详解：利用特殊值排除法
a 为常数，且a ≤ 4，可先令a =0，f （x ）=x [x ]则2≤ x ＜4可得，[x ]=2或[x ]=3
当2≤ x ＜3，[x ]=2，f （x ）=x 2ax ，令a =0可得此时4 ≤ f （x ）＜9
当x =3，[x ]=3，f （x ）=333a =273a ，令a =0可得f （x ）=27
当3＜x ＜4，[x ]=3，f （x ）=x 3ax ，令a =0 27＜f （x ）＜64
从而可排除选项A ，C ，D
故选B.
题三： x ≤ 3或x ≥1.
详解：因为2222(2)(112)()4a b c a b c ++≤++++=，
所以22a b c ++≤，又∵2|1|a b c x +≤+对任意实数a ，b ，c 恒成立，
∴(2)|1|max a b c x ++≤+，即|1|2x +≥，解得x ≤ 3或x ≥1.
题四： (,2)-∞．
详解：由不等式23)a b a b λ++>，可得2a b λ<+
由于23(1)2(1)2(2)a b a b a b ++=+++≥， ∴λ＜2，故实数λ的取值范围为(,2)-∞．。

北京市高考数学一轮复习 第2讲 函数性质与研究课后练习 理(1)