2019年高考数学一轮复习课时分层训练北师大版(合集400页)
2019年高考数学一轮复习 课时分层训练55 坐标系 文 北师大版
2019年高考数学一轮复习 课时分层训练55 坐标系 文 北师大版1．在极坐标系中，求点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离．[解] 点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，3分直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝1， 得32y －12x ＝1， 即直线的方程为x －3y ＋2＝0，6分 故点(3，1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝|3－3×1＋2|12＋－32＝1. 10分2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． [解] (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 2分圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，4分直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.6分 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，8分故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.10分3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C的圆心的极坐标是C ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．[解] (1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，2分OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4， ∴圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.4分 (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， 又圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，22，满足直线l 的方程， ∴直线l 过圆C 的圆心，8分 故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分 4．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.【导学号：00090370】[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0，2分联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. 4分(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 8分所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.10分5．(2018·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2的普通方程为x 216＋y 24＝1，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C 2上的两点，且OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．[解] (1)依题意，曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0，2分曲线C 2的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝16(只要写出ρ，θ的关系式均可).4分(2)曲线C 2的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，设A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，代入C 2的极坐标方程得ρ21cos 2θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1， 6分故1ρ21＋1ρ22＝cos 2θ16＋sin 2θ4＋sin 2θ16＋cos 2θ4＝516， 9分 ∴1|OA |2＋1|OB |2＝516.10分6．(2018·大同模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x ，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 【导学号：00090371】[解] (1)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝2＋sin α(α为参数)，直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.2分 直线C 2的方程为y ＝3x ，极坐标方程为tan θ＝3； 4分 (2)直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2－(2＋23)ρ＋7＝0，6分设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋23，ρ1ρ2＝7，8分 ∴1|OA |＋1|OB |＝|ρ1＋ρ2||ρ1ρ2|＝2＋237.10分。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练23简单的三角恒等变换理北师大版
课时分层训练(二十三) 简单三角恒等变换(对应学生用书第242页)A 组 根底达标一、选择题1．函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 最小正周期为( )A.π2 B ．2π3C ．πD ．2πC [y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，T ＝2π2＝π.应选C.]2．(2021·东北三省三校二联)函数f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，32 C [由于f (x )＝sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝sin x ＋cos x cos π6－sinx sin π6＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3∈[－1,1]，应选C.] 3．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )【导学号：79140128】A ．1B ．3 C. 2 D ．2C[原式＝cos 220°－sin 2 20°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2，应选C.]4．sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＜2α＜π，tan ()α－β＝12，那么tan(α＋β)等于( )A ．－2B ．－1C ．－211D ．211A [由题意，可得cos 2α＝－45，那么tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－tan(α－β)1＋tan 2αtan(α－β)＝－2.]5．(2021·济南一模)公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派研究过正五边形与正十边形作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m ＝2si n 18°.假设m 2＋n ＝4，那么m n2cos 227°－1＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1C [由题意得n ＝4－m 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，那么m n2cos 227°－1＝2sin 18°4cos 218°cos 54°＝2sin 18°×2cos 18°cos 54°＝2sin 36°sin 36°＝2，应选C.]二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们终边关于y 轴对称．假设sin α＝13，那么cos(α－β)＝________.－79 [由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )， sin β＝sin α，cos β＝－cos α. 又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.]7．cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，那么tan αtan β值为________．13 [因为cos(α＋β)＝16， 所以cos αcos β－sin αsin β＝16. ①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13. ②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13.]8．(2021·石家庄质检(二))在平面内将点A (2,1)绕原点按逆时针方向旋转3π4，得到点B ，那么点B 坐标为________.【导学号：79140129】⎝⎛⎭⎪⎪⎫－322，22 [由题意得|OB |＝|OA |＝5，设射线OA 与x轴正半轴夹角为θ，那么易得sin θ＝15＝55，cos θ＝25＝255，那么x B ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋3π4＝5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤255×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22－55×22＝－322.y B ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋3π4＝5⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤55×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22＋255×22＝22，所以点B 坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－322，22.] 三、解答题9．tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)值，并求出α＋β值．[解] 由cos β＝55，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π2， ∴π2＜α＋β＜3π2， ∴α＋β＝5π4.10．(2021·合肥调研)函数f (x )＝sin x ＋cos x .(1)当f (x )＝2时，求sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3值； (2)假设g (x )＝f (2x )，求函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上值域． [解] (1)依题意，sin x ＋cos x ＝2⇒(sin x ＋cos x )2＝2⇒sin 2x ＝1， ∴cos 2x ＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＝12.(2)g (x )＝f (2x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4， ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1. ∴函数g (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2上值域为[－1，2]．B 组 能力提升11．(2021·南宁、钦州第二次适应性考试)假设α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，那么3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π4－α，那么sin 2α值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718D [由3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－α，得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又α∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，得cos α－sin α≠0，所以cos α＋sinα＝26，两边平方可得1＋sin 2α＝118，那么sin 2α＝－1718，应选D.]12．(2021·银川质检)关于函数f (x )＝2cos 2x2＋3sin x (x ∈[0，π])，以下结论正确是( )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值2，最小值－2C ．有最大值3，最小值0D ．有最大值2，最小值0C [由题意得f (x )＝2cos 2x2＋3sin x ＝cos x ＋1＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＋1，因为0≤x ≤π，所以π6≤x ＋π6≤7π6，－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6≤1,0≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6f (x )最大值为3，最小值为0，应选C.]13．0＜θ＜π，tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________.－15 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ，∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1.∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.] 14．(2021·广东湛江一模)函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图像相邻两条对称轴距离为π2，且f (0)＝1.(1)求函数f (x )解析式；(2)设α、β∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3＝－1013，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β＋π6＝65，求tan(2α－2β)值.【导学号：79140130】[解] (1)∵函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx －π3(A ＞0，ω＞0)图像相邻两条对称轴距离为π2，∴T 2＝πω＝π2，∴ω＝2，又f (0)＝1，∴12A ＝1，∴A ＝2，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α－π3 ＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π3－π3＝2cos(2α－π)＝－2cos 2α＝－1013，∴cos 2α＝513，sin 2α＝1－cos 22α＝1213，那么tan 2α＝sin 2αcos 2α＝125.∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β＋π6＝2cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎪⎫β＋π6－π3＝2cos 2β＝65， ∴cos 2β＝35，∴sin 2β＝1－cos 22β＝45，那么tan 2β＝sin 2βcos 2β＝43.∴tan(2α－2β)＝tan 2α－tan 2β1＋tan 2α·tan 2β＝125－431＋125×43＝1663.。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练椭圆文北师大版
课时分层训练(四十五) 椭 圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．5A [由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )A ．13B ．33C ．22D ．12B [原方程化为x 2m 2＋y 2m3＝1(m >0)，∴a 2＝m2，b 2＝m 3，则c 2＝a 2－b 2＝m6，则e 2＝13，∴e ＝33.]3．(2018·衡水模拟)已知A (－1,0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )【导学号：00090293】A ．x 212＋y 211＝1 B ．x 236－y 235＝1 C ．x 23－y 22＝1D ．x 23＋y 22＝1D [由题意得|PA |＝|PB |，∴|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2，∴点P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，∴b ＝2，∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1，故选D ．]4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6D ．8C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]5．已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A ．x 23＋y 22＝1B ．x 23＋y 2＝1C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1 A [∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43， ∴4a ＝43，∴a ＝3，∴b ＝2， ∴椭圆方程为x 23＋y 22＝1.]二、填空题6．已知椭圆的方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两个焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，弦AB (椭圆上任意两点的线段)过点F 1，则△ABF 2的周长为__________． 441 [∵a >5，∴椭圆的焦点在x 轴上． ∵|F 1F 2|＝8，∴c ＝4， ∴a 2＝25＋c 2＝41，则a ＝41.由椭圆定义，|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ， ∴△ABF 2的周长为4a ＝441.]7．(2017·湖南长沙一中月考)如图854，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．【导学号：00090294】图854x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝A ．∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2B ．∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2. ∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]8．(2018·赣州模拟)已知圆E ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点F 1，F 2，与椭圆在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，则该椭圆的方程为________．x 24＋y 22＝1 [对于x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94，当y ＝0时，x ＝±2， ∴F 1(－2，0)，F 2(2，0)，∵E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线EF 1的方程为y －012－0＝x ＋20＋2，即y ＝24x ＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝24x ＋12，x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝94得点A 的坐标为(2，1)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，∴a ＝2，∴b 2＝2， ∴该椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.]三、解答题9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．[解] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.3分∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3.8分∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3.10分∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355.12分10．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB ．【导学号：00090295】[解] (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 2分又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.5分(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.8分又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2). 10分由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB ．12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A ．34 B ．1 C ．2D ．4C [圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)， ∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 又直线l 过椭圆C 的左焦点，且垂直于x 轴， ∴直线l 的方程为x ＝－C ． 又∵直线l 与圆M 相切， ∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.]2．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 [如图所示，|AF 2|＝a ＋c ，|BF 2|＝a 2－c 2a，∴k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c＝a －ca＝1－e . 又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <23.] 3．(2017·西安调研)如图855，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.图855(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【导学号：00090296】[解] (1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 3分 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.5分(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0. 7分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.9分从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2. 12分。
2019学年年高考数学一轮复习课时分层训练11函数与方程文北师大版077
综上知，函数 f ( x) 的零点个数是 2.]
|2 x－ 1| ， x＜ 2， 4．(2018 ·太原模拟 ) 已知函数 f ( x) ＝ 3
x－ 1， x≥2，
若方程 f ( x) － a＝0 有三个不
同的实数根，则实数 a 的取值范围是 (
)
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会当凌绝顶，一览众山小
A． (1,3) C． (0,2) D [ 画出函数 f ( x) 的图像如图所示，
]
二、填空题 6．已知关于 x 的方程 x2＋ mx－6＝ 0 的一个根比 2 大，另一个根比 2 小，则实数 m的取值范
围是 ________． ( －∞， 1) [ 设函数 f ( x) ＝ x2＋ mx－ 6，则根据条件有 f (2) ＜ 0，即 4＋ 2m－ 6＜0，解得
m＜ 1.] 7．方程 2x＋ 3x＝ k 的解在 [1,2) 内，则 k 的取值范围为 ________．
当 x＞ 0 时， f ( x) ＝2x－ 6＋ ln x，
令 2x－ 6＋ln x＝ 0，得 ln x＝ 6－ 2x.
作出函数 y＝ ln x 与 y＝ 6－2x 在区间 (0 ，＋∞ ) 上的图像 ( 图略 ) ，易得两函数图像只有
一个交点，即函数 f ( x) ＝ 2x－ 6＋ ln x( x＞ 0) 只有一个零点．
＝ 2| x| － 1，则函数 F( x) ＝ f ( x) － |lg x| 的零点个数是 (
)
A． 9
B． 10
C． 11
D． 18
B [ 在坐标平面内画出 y＝f ( x) 与 y＝ |lg x| 的大致图像如图，由图像可知，它们共有
10 个不同的交点，因此函数 F( x) ＝ f ( x) － |lg x| 的零点个数是 10.
2019年高考数学一轮复习课时分层训练32等比数列及其前n项和理北师大版
课时分层训练(三十二) 等比数列及其前n项与A组根底达标一、选择题1．对任意等比数列{a n}，以下说法一定正确是( )A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列D[由等比数列性质得，a3·a9＝a26≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.]2．(2021·武汉调研)等比数列{a n}各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，那么log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )A．12 B．10C．8 D．2＋log35B[由等比数列性质知a5a6＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝10，应选B.]3．(2021·广东深圳一模)等比数列{a n}前n项与S n＝a·3n－1＋b，那么ab＝( )A．－3 B．－1 C．1 D．3A [∵等比数列{a n }前n 项与S n ＝a ·3n －1＋b ， ∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ，a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，∵等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3，∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得ab＝－3.应选A.]4．设等比数列{a n }中，前n 项与为S n ，S 3＝8，S 6＝7，那么a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18 B ．－18C.578D ．558A [因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.]5．S n 是等比数列{a n }前n 项与，假设存在m ∈N ＋，满足S 2m S m ＝9，a 2ma m＝5m ＋1m －1，那么数列{a n }公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3B [设公比为q ，假设q ＝1，那么S 2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m＝8.∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，∴m ＝3，∴q 3＝8， ∴q ＝2.] 二、填空题6．在等比数列{a n }中，假设a 1·a 5＝16，a 4＝8，那么a 6＝________.32 [由题意得，a 2·a 4＝a 1·a 5＝16，∴a 2＝2，∴q 2＝a 4a 2＝4，∴a 6＝a 4q 2＝32.]7．(2021·江苏高考)等比数列{a n }各项均为实数，其前n 项与为S n .S 3＝74，S 6＝634，那么a 8＝________.【导学号：79140178】32[设{a n}首项为a 1，公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.]8．(2021·深圳二次调研)?九章算术?中“两鼠穿墙题〞是我国数学古典名题：“今有垣厚假设干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？〞题意是“有两只老鼠从墙两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．〞如果墙足够厚，S n 为前n 天两只老鼠打洞长度之与，那么S n ＝__________尺．2n－12n －1＋1 [依题意大老鼠每天打洞距离构成以1为首项，2为公比等比数列，所以前n 天大老鼠打洞距离共为1×(1－2n )1－2＝2nn 天小老鼠打洞距离共为1×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n 1－12＝2－12n －1，所以S n ＝2n－1＋2－12n －1＝2n－12n －1＋1.]三、解答题9．在公差不为零等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .【导学号：79140179】[解] (1)设等差数列{a n }公差为d ，那么依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n .(2)由(1)得a n ＝n ，∴b n ＝2n ，∴b n ＋1b n＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2等比数列，∴T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.10．设等比数列{a n }前n 项与为S n ，a 1＋a 2＋a 3＝26，S 6＝728.(1)求数列{a n }通项公式；(2)求证：S 2n ＋1－S n S n ＋2＝4×3n.[解] (1)设等比数列{a n }公比为q ，由728≠2×26得，S 6≠2S 3，∴q ≠1.由得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝26，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝728，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.∴a n ＝2×3n －1.(2)证明：由(1)可得S n ＝2×(1－3n )1－3＝3n －1.∴S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1.∴S 2n ＋1－S n S n ＋2＝(3n ＋1－1)2－(3n －1)·(3n ＋2－1)＝4×3n . B 组 能力提升11．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N ＋，λ∈R 且λ≠0)，假设数列{a n －1}是等比数列，那么λ值等于( ) A ．1 B ．－1 C.12D ．2D [由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.]12．(2021·江西九校联考)正项数列{a n }满足a 2n ＋1－2a 2n ＝a n a n ＋1，假设a 1＝1，那么数列{a n }前n 项与S n ＝________.【导学号：79140180】2n －1 [由a 2n ＋1－2a 2n ＝a n a n ＋1，得(a n ＋1－2a n )(a n ＋1＋a n )＝0，所以a n ＋1＝2a n 或a n ＋1＝－a n (舍去)，所以a n ＋1a n＝2，所以数列{a n }是首项为1，公比为2等比数列，所以S n ＝1－2n1－2＝2n －1.]13．数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求数列{a n}通项公式．[解] (1)证明：∵a n＋1＝a n＋6a n－1(n≥2)，∴a n＋1＋2a n＝3a n＋6a n－1＝3(a n＋2a n－1)(n≥2)．∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15，∴a n＋2a n－1≠0(n≥2)，∴a n＋1＋2a na n＋2a n－1＝3(n≥2)，∴数列{a n＋1＋2a n}是以15为首项，3为公比等比数列．(2)由(1)得a n＋1＋2a n＝15×3n－1＝5×3n，那么a n＋1＝－2a n＋5×3n，∴a n＋1－3n＋1＝－2(a n－3n)．又∵a1－3＝2，∴a n－3n≠0，∴{a n－3n}是以2为首项，－2为公比等比数列．∴a n－3n＝2×(－2)n－1，即a n＝2×(－2)n－1＋3n.。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 课时分层训练1 集合 文 北师大版
课时分层训练(一) 集 合A组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝( ) A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,6}B [∵A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．故选B.]2．(2017·山东高考)设集合M＝{x||x－1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝( ) A．(－1,1)B．(－1,2)C．(0,2)D．(1,2)C [∵M＝{x|0<x<2}，N＝{x|x<2}，∴M∩N＝{x|0<x<2}∩{x|x<2}＝{x|0<x<2}．故选C.]3．(2017·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4D [由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]4．(2016·山东高考)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( ) A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1，＋∞)D．(0，＋∞)C [由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．]5．(2017·衡水模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩∁U B＝( ) 【导学号：00090002】A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}A [由题意得∁U B＝{2,5,8}，∴A∩∁U B＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．]6．(2018·西安模拟)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合M 与集合N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ND ．M ∩N ＝∅B [由题意知N ＝{－1,0}，则M ∩N ＝N ，故选B.]7．若x ∈A ，则∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝的所有非空子1x {－1，0，12，2，3}集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，12，.]{12，2}{－1，12，2}二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016＜0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2 016，＋∞) [由x 2－2 017x ＋2 016＜0，解得1＜x ＜2 016，故A ＝{x |1＜x ＜2 016}，又B ＝{x |x ＜a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016.]9．(2016·天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.{1,4} [因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．]10．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1,0)．]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且∈Z }，则集合A 中的元素个数为( )32－x A ．2 B ．3C ．4D ．5C [∵∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，32－x 又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.]2．(2017·郑州调研)设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cosx ，x ∈R }，则图112中阴影部分表示的区间是( )图112A ．[0,1]B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D [A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]3．(2018·信阳模拟)已知集合A ＝{(x ，y )|y －＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，x C ＝A ∩B ，则C 的子集的个数是________. 【导学号：00090003】2 [曲线y ＝与圆x 2＋y 2＝1只有一个交点，从而集合C 中只有一个元素，则C 的子x 集的个数有2个．]4．设集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x －a ≥0}．若存在实数a ，使得A ∩B ＝{x |0≤x ＜3}，则A ∪B ＝________.{x |x ＞－2} [A ＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |x ≥a }．如图，由A ∩B ＝{x |0≤x ＜3}，得a ＝0，A ∪B ＝{x |x ＞－2}．]。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练10 函数的图像 理 北师大版
课时分层训练(十) 函数的图像A 组 基础达标一、选择题 1．函数y ＝x ln|x ||x |的图像可能是( ) 【导学号：79140057】B [易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数，故排除A 、C ，当x ＞0时，y ＝ln x ，只有B 项符合，故选B.] 2．为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x的图像上所有的点( )A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 A [y ＝2x ――――――――――――――→向右平移3个单位长度y ＝2x －3――――――――――――――――→向下平移1个单位长度y ＝2x －3－1.]3．图274中阴影部分的面积S 是关于h 的函数(0≤h ≤H )，则该函数的大致图像是( )图274B [由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积S 逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.]4．(2017·甘肃白银一中期中)函数f (x )的图像是两条直线的一部分(如图275所示)，其定义域为[－1,0)∪(0,1]，则不等式f (x )－f (－x )＞－1的解集是( )图275A ．{x |－1≤x ≤1且x ≠0}B ．{x |－1≤x ＜0}C ．x －1≤x ＜0或12＜x ≤1D ．x －1≤x ＜－12或0＜x ≤1D [由图可知，f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )－f (－x )＞－1⇔2f (x )＞－1⇔f (x )＞－12⇔－1≤x ＜－12或0＜x ≤1.故选D.]5．(2018·太原模拟(二))函数f (x )＝ln|x |x的图像大致为( )【导学号：79140058】A [当0＜x ＜1时，x ＞0，ln|x |＜0，则f (x )＜0，排除B ，D ；当x ＞1时，x ＞0，ln|x |＞0，f (x )＞0，排除C ，故选A.] 二、填空题6．已知函数f (x )的图像如图276所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．图276(2,8] [当f (x )＞0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图像知满足f (x )＞0时，x ∈(2,8]．]7．若函数y ＝f (x ＋3)的图像经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图像必经过点________．(4,4) [函数y ＝f (x )的图像是由y ＝f (x ＋3)的图像向右平移3个单位长度而得到的(图略)，故y ＝f (x )的图像经过点(4,4)．]8．如图277，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．图277f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1. ∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1， 得a ＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0.]三、解答题 9．已知函数f (x )＝(1)在如图278所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；图278(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值.【导学号：79140059】[解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.10．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围是(－∞，0]．B 组 能力提升11．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图像大致为( )C [令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin(－2x )1－cos(－x )＝－sin 2x1－cos x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图像关于原点对称，∴排除选项B. 故选C.]12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0 C ．f (x 1)－f (x 2)＞0 D ．f (x 1)－f (x 2)＜0D [函数f (x )的图像如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数． 又0＜|x 1|＜|x 2|， 所以f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＜0.]13．函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围是________.【导学号：79140060】(－∞，1) [当x ≤0时，f (x )＝2－x－1， 当0＜x ≤1时，－1＜x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.当1＜x ≤2时，－1＜x －2≤0，f (x )＝f (x －1)＝f (x －2)＝2－(x －2)－1.故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图，要使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图像与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，则a 的取值范围是(－∞，1)．]14．已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，g (x )在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围． [解] (1)设f (x )图像上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图像上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )， 即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴x ∈(0,2]时，q (x )max ＝q (2)＝7， 故a 的取值范围为[7，＋∞)．。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练函数模型及其应用理北师大版
课时分层训练(十二) 函数模型及其应用A 组 基础达标一、选择题1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A ．118元 B ．105元 C ．106元D ．108元D [设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%a ，解得a ＝108，故选D.] 2．在某个物理试验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：【导学号：79140068】则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2xD [根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图294甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．图294给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3A [设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx (0＜x ≤10)，10m ＋(x －10)·2m (x ＞10)，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ， 解得x ＝13.]5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．18B [由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t (万元)，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16.] 二、填空题6．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与年广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．4 [L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ＝432－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x 2(x ＞0)．当x －4x ＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【导学号：79140069】8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 24 [由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln 192.又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.]三、解答题9．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图295(1)；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图295(2)．(注：利润和投资单位：万元)(1) (2)图295(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解] (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)． (2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6， 所以总利润y ＝8.25万元．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N ＋)， 飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数， 故当x ＝30时，S 取最大值12 000元， 又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x ＝60时，取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．B 组 能力提升11．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10 A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]12．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司共100元的日常维修等费用(租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( ) A ．3 000元 B ．3 300 C ．3 500元D ．4 000元B [设利润为y 元，租金定为(3 000＋50x )元(0≤x ≤70，x ∈N ＋)， 则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每套房月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选B.]13．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图296)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．图296180 [依题意知：20－x 20＝y －824－8(0＜x ≤20,8≤y ＜24)，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180(8≤y ＜24)．∴当y ＝12时，S 取最大值180.]14．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间物体的温度为5 ℃； (2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围.【导学号：79140070】[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令x＝2t ，x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，当x ＝2时，t ＝1.故经过1 min ，物体的温度为5 ℃.(2)物体的温度总不低于2 ℃等价于对于任意的t ∈[0，＋∞)，θ≥2恒成立，即m ·2t＋22t ≥2(t ≥0)恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t (t ≥0)恒成立．令y ＝12t ，则0＜y ≤1，故对于任意的y ∈(0,1]，m ≥2(y －y 2)恒成立，因为y －y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋14≤14，所以m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练集合理北师大版
课时分层训练(一) 集合A组基础达标一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0B[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B[依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(2018·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2A[因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.] 4．(2018·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D[由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.]5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图112中阴影部分表示的集合为( )图112A ．{－1，－2}B ．{1,2}C ．{－2,1}D ．{－1,2}A [因为Q ＝{1,2}，所以P ∩(∁U Q )＝{－1，－2}，故选A.]6．(2018·南昌一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为A ＝(0，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0,1)，故选C.]7．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.]二、填空题8．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．1 [∵A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，∴1∈B 且2∉B . 若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意． 又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.]9．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]10．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2.]B 组 能力提升11．(2018·辽宁五校模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( ) A. (－2，＋∞) B ．( 4，＋∞) C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]C[集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图113中阴影部分表示的区间是( )图113A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B[∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是( )A．0 B．1C．11 D．12C[由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2] [集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．]。
2019年高考数学一轮复习 课时分层训练32 基本不等式 文 北师大版.doc
2019年高考数学一轮复习 课时分层训练32 基本不等式 文 北师大版一、选择题1．已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2C [由于x >－1，则x ＋1>0，所以y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2x ＋1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，由于x >－1，即当x ＝0时，上式取等号．] 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件．]3．(2018·广州模拟)已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是( )【导学号：00090204】A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3C [∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg(2x·8y)＝lg 2， ∴2x ＋3y＝2，∴x ＋3y ＝1.∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x3y＝4，当且仅当x ＝3y ＝12时取等号．所以1x ＋13y的最小值为4.故选C ．]4．(2018·许昌模拟)已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为( ) A ．24 B ．32 C ．20D ．28C [∵x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y ＝(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2＋1y ＋2(x ＋2＋y ＋2)－4＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x ＋2y ＋2＋y ＋2x ＋2－4≥6×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2x ＋2y ＋2·y ＋2x ＋2－4＝20， 当且仅当x ＝y ＝10时取等号． ∴x ＋y 的最小值为20.]5．(2016·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <QC [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ， 即Q >P .∵a ＋b2>ab ，∴lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R .] 二、填空题6．(2018·华师附中模拟)若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是__________.【导学号：00090205】2 [因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.] 7．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为__________．94 [由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，所以2p ＋1＝4， 解得p ＝94.]8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨． 20 [每次都购买x 吨，则需要购买400x次．∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x＋4x 万元．∵4×400x ＋4x ≥160，当且仅当4x ＝4×400x时取等号，∴x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x－2x的最大值．[解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 2分当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 4分当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.6分(2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x－2x＝2·x－x ≤2·x ＋2－x2＝2， 8分当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x的最大值为 2.12分10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值.【导学号：00090206】[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，2分又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.5分(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.8分当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·深圳模拟)已知f (x )＝x 2＋33x(x ∈N *)，则f (x )在定义域上的最小值为( )A ．585B ．232C ．33D ．233B [f (x )＝x 2＋33x ＝x ＋33x，∵x ∈N *＞0， ∴x ＋33x≥2x ·33x＝233，当且仅当x ＝33时取等号．但x ∈N *，故x ＝5或x ＝6时，f (x )取最小值， 当x ＝5时，f (x )＝585，当x ＝6时，f (x )＝232，故f (x )在定义域上的最小值为232.故选B ．]2．(2018·武昌模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0＜x ＜1，若f (a )＝f (b )(0＜a ＜b )，则1a ＋4b取得最小值时，f (a ＋b )＝________. 【导学号：00090207】1－2lg 2 [由f (a )＝f (b )及0＜a ＜b 可得lg b ＝－lg a ，即lg(ab )＝0，即ab ＝1， 则1a ＋4b ＝4a ＋b ab ＝4a ＋b ≥24ab ＝4，当且仅当b ＝4a 时，1a ＋4b取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，b ＝4a ，可得a ＝12，b ＝2，∴f (a ＋b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝lg 52＝1－2lg 2.] 3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．[解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t－4t ，20<t ≤30. 5分(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值).7分当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，10分 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元.12分。
[配套K12]2019年高考数学一轮复习 课时分层训练4 函数及其表示 理 北师大版
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课时分层训练(四) 函数及其表示A 组 基础达标一、选择题1．(2017·四川巴中中学月考)下列哪个函数与y ＝x 是同一个函数( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3D [y ＝x 的定义域为R .而y ＝x 2x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，y ＝2log 2x的定义域为{x |x ∈R ，且x ＞0}，排除A 、B ；y ＝x 2＝|x |的定义域为R ，但对应关系与y ＝x 的对应关系不同，排除C ；y ＝(3x )3＝x 的定义域、对应关系与y ＝x 的均相同，故选D.] 2．(2017·山西师大附中)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图像可以是()B [A 项，定义域为[－2,0]，D 项，值域不是[0,2]，C 项，当x ＝0时有两个y 值与之对应．故选B.]3．(2017·安徽黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( )【导学号：79140021】A ．x ＋1B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1A [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.]4．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)B [由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．所以原函数的定义域为(0,1]．]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]二、填空题6．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]7．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________.【导学号：79140022】g (x )＝9－2x [设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图像上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x .]8．(2018·青岛质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，f x －，x ≥2，则f (log 2 7)＝________.72 [由题意得log 27＞2，log 2 72＜log 24＝2，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫log 272＝2log 272＝72.] 三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1).【导学号：79140023】(1)求f (x )的解析式；(2)在如图212所示的直角坐标系中画出f (x )的图像．图212[解] (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图像如图．B 组 能力提升11．(2018·石家庄质检(一))设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 为( ) A ．－54B ．－13C.14D.52D [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，故选D.]12．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.【导学号：79140024】(－∞，8] [当x ＜1时，x －1＜0，e x －1＜e 0＝1≤2，∴当x ＜1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．]14．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． [解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a x ＋2＋b x ＋＋c ＝ax 2＋bx ＋c ＋x ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，ax 2＋a ＋b x ＋a ＋b ＋c ＝ax 2＋b ＋x ＋c ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＋c ＝c ＋1，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 2－322－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18，故函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞.。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练4函数及其表示文北师大版
课时分层训练(四) 函数及其表示A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．以下各组函数中，表示同一函数是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在D 中，定义域不同．]2．(2021·济南模拟)函数f (x )＝4－x 2lg x ＋1定义域为( ) 【导学号：00090015】 A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]B[由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0lg x ＋1≠0，x ＋1＞0解得－1＜x ＜0或0＜x ≤2，应选B.]3．(2021·安徽黄山质检)f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，那么f (x )＝( )A ．x ＋1B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1A [设f (x )＝kx ＋b ，那么由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，那么f (x )＝x ＋1.应选A.]4．(2021·全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域与值域分别与函数y ＝10lg x 定义域与值域一样是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1xD [函数y ＝10lg x 定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)．函数y ＝1x定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.]5．(2021 ·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x ＞1，且f (a )＝－3，那么f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3，①假设a ≤1，那么2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解；②假设a >1，那么－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＋1＝8，a ＝7，所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.应选A.]二、填空题6．(2021·宝鸡模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cosπ x ，x ≤0f x －1＋1，x ＞0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝________.1 [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12＋2＝1.] 7．函数y ＝f (x 2－1)定义域为[－3，3]，那么函数y ＝f (x )定义域为________．[－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )定义域为[－1,2]．]8．(2021·榆林模拟)f (2x )＝x ＋3，假设f (a )＝5，那么a ＝________. 4 [法一：令t ＝2x ，那么t ＞0，且x ＝log 2t ，∴f (t )＝log 2t ＋3，∴f (x )＝log 2x ＋3，x 2a ＋3＝5，解得a ＝4.法二：由x ＋3＝5得x ＝2，从而a ＝22＝4.]三、解答题9．f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )解析式．[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，那么3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不管x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.10．f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))与g (f (2))值；(2)求f (g (x ))解析式. 【导学号：00090016】 [解] (1)由，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝－f (x )函数，我们称为满足“倒负〞变换函数，以下函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负〞变换函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负〞变换函数是①③.]2．(2021·泉州模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0－3x ，x ＜0，假设a [f (a )－f (－a )]＞0，那么实数a 取值范围为________．(－∞，－2)∪(2，＋∞) [当a ＞0时，不等式可化为a (a 2＋a －3a )＞0，即a 2＋a －3a ＞0，即a 2－2a ＞0，解得a ＞2或a ＜0(舍去)，当a ＜0时，不等式可化为a (－3a －a 2＋a )＞0，即－3a －a 2＋a ＜0，即a 2＋2a ＞0，解得a ＜－2或a ＞0(舍去)．综上，实数a 取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．]3．根据如图211所示函数y ＝f (x )图像，写出函数解析式．图211[解] 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )图像是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.。
2019年高考数学一轮复习： 课时分层训练64 二项式定理 理 北师大版
课时分层训练(六十四) 二项式定理A 组 基础达标一、选择题1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10C [(1＋x )6的展开式的第(r ＋1)项为T r ＋1＝C r 6x r ，则x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x 3＝15x 3，所以系数为15.]2．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27A [依题意得2n＝8，解得n ＝3.取x ＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.]3．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( ) A ．6 B ．10 C ．12D ．15C [由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n展开式的第5项C 4n (x )n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4＝16C 4n x n2－6是常数项，可得n 2－6＝0，解得n ＝12.]4．1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87B [1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.] 5．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )【导学号：79140349】A. 3 B ．－ 3 C ．6D ．－6 D [T r ＋1＝C r 5(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r ＝C r 5(－a )r x 5－2r2，由5－2r 2＝32，解得r ＝1.由C 15(－a )＝30，得a ＝－6.故选D.]6．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．－3C ．1D ．1或－3D [令x ＝0，得a 0＝(1＋0)6＝1.令x ＝1，得(1＋m )6＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6.又a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6＝63，∴(1＋m )6＝64＝26，∴1＋m ＝±2，∴m ＝1或m ＝－3.]7．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 等于( )A ．63B ．64C ．31D ．32A [逆用二项式定理，得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.] 二、填空题8．(2018·太原模拟(二))⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项是________． －161 [⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －15的展开式中常数项为C 15(－1)1C 24·22＋C 35(－1)3C 12·21＋C 55(－1)5＝－120－40－1＝－161.]9．(2017·浙江高考)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________.16 4 [a 4是x 项的系数，由二项式的展开式得a 4＝C 33·C 12·2＋C 23·C 22·22＝16；a 5是常数项，由二项式的展开式得a 5＝C 33·C 22·22＝4.]10．(2018·长沙模拟(二))若x 10－x 5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 5＝________.【导学号：79140350】251 [x 10－x 5＝[(x －1)＋1]10－[(x －1)＋1]5，则a 5＝C 510－C 05＝252－1＝251.]11．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系数为－3，则⎠⎛-2a x 2d x 的值为________．73 [∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r＝C r 6a 6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r ， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1， ∴⎠⎛-2a x 2d x ＝⎠⎛-2-1x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪-1-2＝73.]B 组 能力提升12．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8B [由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，n )． 又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.]13．(2017·广东肇庆三模)(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( )A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1 344x 2y 5C [设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r7·2r≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！(7－r )！·2r ≥7！(r －1)！(7－r ＋1)！·2r －1，7！r ！(7－r )！·2r≥7！(r ＋1)！(7－r －1)！·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤163，r ≥133.又因为r ∈Z ，所以r ＝5.所以系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.] 14．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( ) A ．45 B ．60 C ．120D ．210C [在(1＋x )6的展开式中，x m的系数为C m6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.]15．(2018·郑州二测)已知幂函数y ＝x a的图像过点(3,9)，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －x 8的展开式中x 的系数为________．112 [由幂函数的图像过点(3,9)，可得a ＝2.则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 8展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫2x8－r(－x )r ＝(－1)r C r 8·28－r x 32r －8，由32r －8＝1，得r ＝6，故含x 的项的系数为C 68×22×(－1)6＝112.]16．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________.【导学号：79140351】2 [⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r＝C r 6a 6－r b r x 12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3.由C 36a 6－3b 3＝20得ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2.]。
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课时分层训练(一) 集合A组基础达标一、选择题1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0B[集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.]2．设集合M＝{x|x2－2x－3＜0，x∈Z}，则集合M的真子集个数为( )【导学号：79140003】A．8 B．7C．4 D．3B[依题意，M＝{x|(x＋1)·(x－3)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}，因此集合M的真子集个数为23－1＝7，故选B.]3．(2018·重庆调研(二))已知集合A＝{a，a2}，B＝{1}，若B⊆A，则实数a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．2A[因为B⊆A，所以a＝1或a2＝1，且a≠a2，解得a＝－1，故选A.] 4．(2018·长春模拟(二))若集合M＝{1,3}，N＝{1,3,5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D[由M∪X＝N得集合X中必有元素5，则X＝{5}或{1,5}或{3,5}或{1,3,5}，共4个，故选D.]5．已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图112中阴影部分表示的集合为( )图112A ．{－1，－2}B ．{1,2}C ．{－2,1}D ．{－1,2}A [因为Q ＝{1,2}，所以P ∩(∁U Q )＝{－1，－2}，故选A.]6．(2018·南昌一模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg x }，集合B ＝{y |y ＝x ＋1}，那么A ∩(∁U B )＝( ) A ．∅ B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为A ＝(0，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，所以A ∩(∁U B )＝(0,1)，故选C.]7．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.]二、填空题8．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．1 [∵A ∩B ＝{1}，A ＝{1,2}，∴1∈B 且2∉B . 若a ＝1，则a 2＋3＝4，符合题意． 又a 2＋3≥3≠1，故a ＝1.]9．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140004】(－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]10．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2，＋∞) [因为A ＝{x |x 2－3x ＋2＜0}＝{x |1＜x ＜2}⊆B ，所以a ≥2.]B 组 能力提升11．(2018·辽宁五校模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( ) A. (－2，＋∞) B ．( 4，＋∞) C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]C[集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.]12．设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cos x，x∈R}，则图113中阴影部分表示的区间是( )图113A．[0,1]B．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C．[－1,2]D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D[A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cos x，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]13．已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( )【导学号：79140005】A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)B[∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.]14．已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018＜0}，B＝{x|log2x＜m}，若A⊆B，则整数m的最小值是( )A．0 B．1C．11 D．12C[由x2－2 019x＋2 018＜0，解得1＜x＜2 018，故A＝{x|1＜x＜2 018}．由log2x＜m，解得0＜x＜2m，故B＝{x|0＜x＜2m}．由A⊆B，可得2m≥2 018，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11.]15．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：79140006】(－∞，－2] [集合A ＝{x |4≤2x≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．]课时分层训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件A 组 基础达标一、选择题1．命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题是( )A ．若a ＞b ，则a －1≤b －1B ．若a ＞b ，则a －1＜b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a ＜b ，则a －1＜b －1C [根据否命题的定义可知：命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题应为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．故选C.] 2．下列命题是真命题的是( )【导学号：79140009】A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2A [由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确；由x 2＝1得x ＝±1，B 错误；由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，C 错误；由x ＜y 不一定能得到x 2＜y 2，如x ＝－2，y ＝－1，D 错误，故选A.] 3．设M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [若N ⊆M ，则a 2＝1或a 2＝2， 解得a ＝±1或a ＝±2，所以“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件，故选A.]4．已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件B[若函数y＝2x＋m－1有零点，则m－1＜0，得m＜1；若函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m＜1，由于(0,1)(－∞，1)，所以“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．]5．若x＞5是x＞a的充分条件，则实数a的取值范围为( )A．a＞5 B．a≥5C．a＜5 D．a≤5D[由x＞5是x＞a的充分条件知，{x|x＞5}⊆{x|x＞a}．∴a≤5，故选D.] 6．(2018·青岛质检)已知λ∈R，向量a＝(3，λ)，b＝(λ－1,2)，则“λ＝3”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由题意得a∥b⇔3×2－λ(λ－1)＝0，解得λ＝－2或λ＝3，所以“λ＝3”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A.]7．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[法一：∵数列{a n}是公差为d的等差数列，∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d，∴S4＋S6＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d.若d>0，则21d>20d,10a1＋21d>10a1＋20d，即S4＋S6>2S5.若S4＋S6>2S5，则10a1＋21d>10a1＋20d，即21d>20d，∴d>0.∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.法二：∵S4＋S6>2S5⇔S4＋S4＋a5＋a6>2(S4＋a5)⇔a6>a5⇔a5＋d>a5⇔d>0，∴“d>0”是“S4＋S6>2S5”的充分必要条件．故选C.]二、填空题8．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．－1，－2，－3(答案不唯一) [只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．]9．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是________．m ＝－2 [∵f (x )＝x 2＋mx ＋1图像的对称轴为直线x ＝－m2，∴f (x )的图像关于直线x＝1对称⇔－m2＝1⇔m ＝－2.]10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140010】(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]B 组 能力提升11．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件B [函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数等价于－－4a 2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故选B.]12．(2018·石家庄质检(二))在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin A ＞sin B ”是“a ＞b ”的( )【导学号：79140011】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [由正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R (R 为三角形外接圆半径)得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，故sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b .]13．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]B [解x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，故﹁p ：－3≤x ≤1，又﹁q ：x ≤a ，由﹁q 的一个充分不必要条件是﹁p ，可知﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，故a ≥1.]14．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)． 由图可知，p 是q 的必要不充分条件．] 15．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________.【导学号：79140012】②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误． ②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．]16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．(2，＋∞) [A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.]课时分层训练(三) 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”A组基础达标一、选择题1．(2018·合肥第二次质检)已知命题q：任意x∈R，x2＞0，则( )A．命题﹁q：任意x∈R，x2≤0为假命题B．命题﹁q：任意x∈R，x2≤0为真命题C．命题﹁q：存在x0∈R，x20≤0为假命题D．命题﹁q：存在x0∈R，x20≤0为真命题D[本题考查全称命题的否定．命题q：任意x∈R，x2＞0的否定是﹁q：存在x0∈R，x20≤0，为真命题，故选D.]2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( )A．p且﹁q B．﹁p且qC．﹁p且﹁q D．p且qA[由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故﹁p是假命题，﹁q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p且﹁q是真命题．]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )【导学号：79140015】A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数B[特称命题的否定是全称命题，改写量词，否定结论知B正确．] 4．(2017·山东高考)已知命题p：任意x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )A．p且q B．p且﹁qC．﹁p且q D．﹁p且﹁qB[∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴﹁p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴﹁q为真命题．∴p且q为假命题，p且﹁q为真命题，﹁p且q为假命题，﹁p且﹁q为假命题．故选B.] 5．(2018·临汾一中)已知命题p：任意x∈R，x2＋ax＋a2≥0(a∈R)，命题q：存在x0∈N＋，2x20－1≤0，则下列命题中为真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或qC ．(﹁p )或qD ．(﹁p )且(﹁q )B [对于命题p ，因为在方程x 2＋ax ＋a 2＝0中，Δ＝－3a 2≤0，所以x 2＋ax ＋a 2≥0，故命题p 为真命题；对于命题q ，因为x 0≥1，所以2x 20－1≥1，故命题q 为假命题，结合选项知只有p 或q 为真命题，故选B.] 6．下列命题中，真命题是( )A ．存在x 0∈R ，sin2x2＋cos2x2＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1＞x D ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1C [对于A 选项：任意x ∈R ，sin 2x2＋cos 2x2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x ＝32，sin x ＜cos x ，故B 为假命题；对于C 选项：x 2＋1－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0恒成立，C 为真命题；对于D 选项：x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题．]7．命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若﹁p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140016】A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [因为命题p ：任意x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以命题﹁p ：存在x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1＜0， 则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.]二、填空题8．若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.]9．已知命题“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140017】⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ [由“任意x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图像恒在x 轴的上方．故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.]10．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R )，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p 或q ；②p 且q ；③(﹁p )且(﹁q )；④(﹁p )或q . 其中为假命题的序号为________．②③④ [显然命题p 为真命题，﹁p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴命题q 为假命题，﹁q 为真命题．∴p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，(﹁p )且(﹁q )为假命题，(﹁p )或q 为假命题．]B 组 能力提升11．(2018·湖北省4月调考)设a ，b ，c 均为非零向量，已知命题p ：a ＝c 是a·b ＝b·c 的必要不充分条件，命题q ：x ＞1是|x |＞1成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(﹁p )且(﹁q )D ．p 或(﹁q )B [命题p 中，当a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(0，－1)时，a·b ＝b·c ，但a ≠c ，必要性不成立，所以命题p 为假命题；命题q 中，由|x |＞1得x ＞1或x ＜－1，所以x ＞1是|x |＞1的充分不必要条件，所以命题q 是真命题，所以p 或q 为真命题，故选B.]12．(2016·浙江高考)命题“任意x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n ≥x 2”的否定形式是( )A ．任意x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n <x 2B ．任意x ∈R ，任意n ∈N ＋，使得n <x 2C ．存在x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n <x 2D ．存在x ∈R ，任意n ∈N ＋，使得n <x 2D [由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“任意x ∈R ，存在n ∈N ＋，使得n ≥x 2”的否定形式为“存在x ∈R ，任意n ∈N ＋，使得n <x 2”．]13．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：存在(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：任意(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：存在(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0y ＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距．结合题意知p 1，p 2正确．]14．已知命题p ：存在x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p 或(﹁q )为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．[0,2] C ．RD ．∅B [若p 或(﹁q )为假命题，则p 假q 真，命题p 为假命题时，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.所以当p 或(﹁q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.]15．已知下列命题：【导学号：79140018】①存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2；②任意x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1； ③存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1； ④任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＞sin x . 其中真命题为________．(填序号)①② [对于①，当x 0＝π4时，sin x 0＋cos x 0＝2，所以此命题为真命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2＞0，所以此命题为真命题；对于③，任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，所以此命题为假命题；对于④，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x ＜0＜sin x ，所以此命题为假命题．]16．已知命题p ：任意x ∈[0,1]，a ≥e x，命题q ：存在x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[e,4] [命题“p 且q ”是真命题，则p 和q 均为真命题；当p 是真命题时，a ≥(e x)max ＝e ；当q 为真命题时，Δ＝16－4a ≥0，a ≤4；所以a ∈[e,4]．]课时分层训练(四) 函数及其表示A 组 基础达标一、选择题1．(2017·四川巴中中学月考)下列哪个函数与y ＝x 是同一个函数( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3D [y ＝x 的定义域为R .而y ＝x 2x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，y ＝2log 2x的定义域为{x |x ∈R ，且x ＞0}，排除A 、B ；y ＝x 2＝|x |的定义域为R ，但对应关系与y ＝x 的对应关系不同，排除C ；y ＝(3x )3＝x 的定义域、对应关系与y ＝x 的均相同，故选D.] 2．(2017·山西师大附中)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图像可以是( )B [A 项，定义域为[－2,0]，D 项，值域不是[0,2]，C 项，当x ＝0时有两个y 值与之对应．故选B.]3．(2017·安徽黄山质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( )【导学号：79140021】A ．x ＋1B ．2x －1C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1A [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，所以k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.]4．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．[1，＋∞)B [由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x ≠0，1－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞0，x ≠0，－1≤x ≤1.则x ∈(0,1]．所以原函数的定义域为(0,1]．]5．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]二、填空题6．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]7．已知函数f (x )＝2x ＋1与函数y ＝g (x )的图像关于直线x ＝2成轴对称图形，则函数y ＝g (x )的解析式为________.【导学号：79140022】g (x )＝9－2x [设点M (x ，y )为函数y ＝g (x )图像上的任意一点，点M ′(x ′，y ′)是点M 关于直线x ＝2的对称点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4－x ，y ′＝y .又y ′＝2x ′＋1， ∴y ＝2(4－x )＋1＝9－2x ， 即g (x )＝9－2x .]8．(2018·青岛质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，f x －，x ≥2，则f (log 2 7)＝________.72 [由题意得log 27＞2，log 2 72＜log 24＝2，所以f (log 27)＝f (log 27－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 272＝2log 272＝72.] 三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1).【导学号：79140023】(1)求f (x )的解析式；(2)在如图212所示的直角坐标系中画出f (x )的图像．图212[解] (1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x，x ≥0.(2)f (x )的图像如图．B 组 能力提升11．(2018·石家庄质检(一))设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1，log 2x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2，则实数n 为( ) A ．－54B ．－13C.14D.52D [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋n ＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，故选D.]12．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.] 13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.【导学号：79140024】(－∞，8] [当x ＜1时，x －1＜0，e x －1＜e 0＝1≤2，∴当x ＜1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．]14．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x 2－2)的值域． [解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a x ＋2＋b x ＋＋c ＝ax 2＋bx ＋c ＋x ＋1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，ax 2＋a ＋b x ＋a ＋b ＋c ＝ax 2＋b ＋x ＋c ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ≠0，a ＋b ＋c ＝c ＋1，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)知y ＝f (x 2－2)＝12(x 2－2)2＋12(x 2－2)＝12(x 4－3x 2＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 2－322－18，当x 2＝32时，y 取最小值－18，故函数y ＝f (x 2－2)的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞.课时分层训练(五) 函数的单调性与最值A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A ．y ＝2－xB ．y ＝xC ．y ＝log 2xD ．y ＝－1xB [由题知，只有y ＝2－x与y ＝x 的定义域为R ，且只有y ＝x 在R 上是增函数．] 2．(2017·广州七中期末)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )【导学号：79140027】A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)A[f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.其图像如图，由图像可知函数的单调递减区间是[1,2]．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A [因为函数f (x )在(－∞，－1)上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.] 4．(2018·北京西城区二模)下列函数中，值域为[0,1]的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝sin xC ．y ＝1x 2＋1D ．y ＝1－x 2D [A 中，x 2≥0；B 中，－1≤sin x ≤1；C 中，0＜1x 2＋1≤1；D 中，0≤1－x 2≤1，故选D.]5．定义新运算○+：当a ≥b 时，a ○+b ＝a ；当a ＜b 时，a ○+b ＝b 2，则函数f (x )＝(1○+x )x －(2○+x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6D ．12C [由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]二、填空题6．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________. 【导学号：79140028】6 [易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝1，f b ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6.]8．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [函数f (x )＝x 2－2ax －3的图像开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示．由图像可知，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，但单调性不同，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值.【导学号：79140029】[解] f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a ，当a ＞1时，a －1a＞0，此时f (x )在[0,1]上为增函数，∴g (a )＝f (0)＝1a ；当0＜a ＜1时，a －1a＜0，此时f (x )在[0,1]上为减函数，∴g (a )＝f (1)＝a ；当a ＝1时，f (x )＝1，此时g (a )＝1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a，a ≥1.∴g (a )在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，∴当a ＝1时，g (a )取最大值1.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值范围是(0,1]．B 组 能力提升11．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)D ．[－1,1)C [函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，∴0≤a ＜1，故选C.]12．(2017·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [因为函数f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]13．函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.]14．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值.【导学号：79140030】[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.课时分层训练(六) 函数的奇偶性、周期性与对称性A 组 基础达标一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( )【导学号：79140033】A ．－3B ．－54C.54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.]2．函数y ＝log 21＋x1－x的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x＝－f (x )，所以函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．(2018·银川质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A.12B. 2C.22D ．1B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212＝2，故选B.]4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( ) A ．有最大值4 B ．有最小值－4 C ．有最大值－3D ．有最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B.]5．(2017·湖南省东部六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( )【导学号：79140034】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫1100，100D ．(0,1)∪(100，＋∞)C [法一：不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，lg x ＜2或⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＜0，－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1，所以x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1100，100.法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2，即－2＜lg x ＜2，解得1100＜x ＜100，故选C.]二、填空题6．(2018·西宁检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.0 [因为奇函数的定义域关于原点对称，所以n ＋n ＋6＝0，所以n ＝－3，又f (0)＝m －3＝0.所以m ＝3，则m ＋n ＝0.]7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________.【导学号：79140035】1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 [∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∴f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23.]三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．[解] (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是以3为周期的周期函数．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x1－3x .(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )＜－x8.[解] (1)f (x )是奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝－f (－x )＝－－x1－3－x ＝x1－3－x.(2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，x 1－3x ＜－x 8，所以11－3x ＜－18，所以13x－1＞18，所以3x－1＜8，解得x ＜2，所以x ∈(0,2)；当x ＜0时，x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x ＞－18，所以3－x ＞32，所以x ＜－2，所以原不等式的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．B 组 能力提升11．(2018·郑州第二次质量预测)已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( ) A.13 B ．－13C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.]12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0)D ．(－1,2)A [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0， 解得－1＜a ＜4.]13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________.【导学号：79140036】f (1)＞g (0)＞g (－1) [在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x. 联立方程组解得f (x )＝2－x－2x2，g (x )＝－2－x＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)＞g (0)＞g (－1)．]14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标一、选择题1．函数y ＝3x 2的图像大致是( )C [y ＝3x 2＝x 23，其定义域为R ，排除A ，B ，又0＜23＜1，图像在第一象限为上凸的，排除D ，故选C.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )【导学号：79140039】A ．－3B ．13C ．7D ．5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图像的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( ) A ．a ＞0,4a ＋b ＝0 B ．a ＜0,4a ＋b ＝0 C ．a ＞0,2a ＋b ＝0D ．a ＜0,2a ＋b ＝0A [因为f (0)＝f (4)＞f (1)，所以函数图像应开口向上，即a ＞0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a＝2，所以4a ＋b ＝0.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )D [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c a＜0，∴函数图像与x 轴交点的横坐标之积为负数，即两个交点分别位于x 轴的正半轴和负半轴，故排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，∴也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图像为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.]二、填空题6．已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图像上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图像上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.【导学号：79140040】±1 [由题意，设f (x )＝x α，则2＝(2)α，得α＝2.设g (x )＝x β，则12＝(－2)β，得β＝－2.由f (x )＝g (x )，得x 2＝x －2，解得x ＝±1.]7．已知二次函数y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ，则其图像的顶点位置最高时对应的解析式为________．y ＝x 2－2x ＋5 [y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3，所以图像的顶点坐标为(－k ，－k 2－2k ＋3)．因为－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4，所以当k ＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋5.]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1，∴m －n 的最小值是1.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N ＋)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围.【导学号：79140041】[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1， ∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N ＋，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32. 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－13或－1.B 组 能力提升11．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]12．(2018·福州质检)已知函数f (x )＝x 2－πx ，α，β，γ∈(0，π)，且sin α＝13，tanβ＝54，cos γ＝－13，则( )A ．f (α)＞f (β)＞f (γ)B ．f (α)＞f (γ)＞f (β)C ．f (β)＞f (α)＞f (γ)D ．f (β)＞f (γ)＞f (α)A [因为函数f (x )＝x 2－πx 是二次函数，对称轴为x ＝π2，开口向上，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增；又α，β，γ∈(0，π)，则sinα＝13＜sin β＝2541＜sin γ＝89，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪α－π2＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪β－π2＞⎪⎪⎪⎪⎪⎪γ－π2，则f (α)＞f (β)＞f (γ)，故选A.]13．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是________.【导学号：79140042】[7，＋∞) [函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图像(抛。