2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.3 正态分布曲线 Word版含解析
2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义 精练第8章 8.5 一元线性回归案例 Word版含解析
．一元线性回归案例[读教材·填要点]．相关系数()定义：样本容量是的成对观测数据，用(，)，(，)，…，(，)表示，用表示数据，，…，，用表示数据，，…，，用与分别表示和的均值，用表示的标准差，用表示的标准差，再引入：＝－.当≠时，称＝＝＝为和的相关系数．当>时，我们称①和正相关；②当<时，我们称和；负相关③当＝时，我们称和不相关．()性质：总在区间①[中取值；]－②增加，也倾向于当越接近于时，，的线性相关程度越强，且，这时数据(，)，(，)，增加…一条上升的直线，(，)分散在附近．③当越接近于－时，，的线性相关程度越强，且增加，倾向于减少，这时数据(，)，(，)，…，(，)分散在一条下降的直线附近．④当越接近于时，，的线性相关程度越弱．．一元线性回归()回归直线方程：：＝＋，其中＝，＝－.()一元线性回归模型：若样本量的成对观测数据关系：＝，(，)中和满足…(，)，(，)，＋＋随机误，表示(＝，…，，)，其中，，…差，则称该模型为一元线性回归模型．[小问题·大思维]．越接近，及越接近于，表示两个变量与之间线性相关程度如何？提示：越接近，表明两个变量的线性相关程度越强，它们的散点图越接近于一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据的效果就越好；越接近，表明两个变量的线性相关程度越弱，通常>时，认为有很强的相关关系．．在一元线性回归模型中，变量由变量唯一确定吗？提示：不唯一．值由和随机误差共同确定，即自变量只能解释部分的变化．．随机误差产生的主要原因有哪些？提示：随机误差产生的主要原因有：()所用的确定性函数不恰当引起的误差；()忽略了某些因素的影响；()存在观测误差．．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？提示：不一定是真实值．利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等．[例]()画出散点图；()求物理成绩对数学成绩的线性回归方程；()一名学生的数学成绩是，试预测他的物理成绩．[解]()散点图如图．()＝×(＋＋＋＋)＝，＝×(＋＋＋＋)＝.＝×＋×＋×＋×＋×＝.＝＋＋＋＋＝.所以＝。
数学：高中选修2-3(人教版)8.3正态分布曲线
8.3正态分布曲线教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。
过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。
情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。
教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。
教具准备：多媒体、实物投影仪。
教学设想：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。
内容分析：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征 5．由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难 研究N （0，1），其他的正态分布都可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化为N （0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为22121)(x ex F -=π，x ∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化6．结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质 教学过程： 学生探究过程： 复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN . 经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π（３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率， 即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ． 若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生 假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析 假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)； 三是作出判断 讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）； Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(22)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业： 书本第75页 习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
【精选】2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：模块综合检测(含解析)
模块综合检测(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，则不同的种植方法共有( )A ．24种B ．18种C ．12种D ．6种解析：选B 先选择一块土地种植黄瓜，有C 13种选择，再从剩余的3种蔬菜选出2种分别种在剩余的两块土地上有A 23种法，所以有C 13·A 23＝18种不同的种植方法．2．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得k ＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由方差的定义知①正确，由线性回归直线的特点知③正确，②④⑤都错误．3．设随机变量服从正态分布N (0,1)，P (X ＞1)＝p ，则P (－1＜X ＜1)＝( ) A.12p B ．1－p C ．1－2pD.12－p 解析：选C P (－1＜X ＜1)＝1－P (X ＞1)－P (X ＜－1)＝1－2P (X ＞1)＝1－2p . 4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表．由此建立的身高与年龄的回归模型为y ^＝7.19x ＋73.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )B ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 左右D ．身高在145.83 cm 以下解析：选C 将x ＝10代入得y ^＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右．5．5个人排成一排，甲、乙两人中至少有一人站在两端的排法种数为( ) A ．A 33B ．4A 33C ．A 55－A 23A 33D ．A 22A 33＋A 12A 13A 33解析：选C 不考虑限制条件有A 55种，甲、乙两人都站中间有A 23A 33种，则A 55－A 23A 33即为所求．6.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x 8的展开式中的常数项是( )A ．7B ．－7C ．28D ．－28解析：选A T r ＋1＝C r 8⎝⎛⎭⎫x 28－r ⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝(－1)r ·⎝⎛⎭⎫128－r ·C r 8x 8－r －13r ＝(－1)r ⎝⎛⎭⎫128－r C r8x 8－43r . 令8－43r ＝0，解得r ＝6，T 7＝(－1)6×⎝⎛⎭⎫128－6·C 68＝7. 7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75解析：选D 目标被击中的情况有：①甲击中，乙未击中；②甲未击中，乙击中；③甲击中，乙也击中． 因此目标被击中的概率为P ＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8， 所以所求概率为0.60.8＝0.75.8．硕士学位与博士学位的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如表所示：根据以上数据，则( A ．性别与获取学位类别有关 B ．性别与获取学位类别无关 C ．性别决定获取学位的类别 D ．以上都是错误的解析：选A 由列联表可得：博士：男性占2735≈77%，女性占835≈23%，相差很大，所以性别与获取学位的类别有关．9．(2017·全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：选C 当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.10．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320B.15C.14D.25解析：选D 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A ∩ B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A ∩B )＝25. 11.⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．180 B ．90 C ．45D ．360解析：选A 只有第六项二项式系数是最大，则n ＝10，T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝2r C r10x 5－52r ，令5－52r ＝0，r ＝2，T 3＝4C 210＝180.12．从字母a ，b ，c ，d ，e ，f 中选出4个数排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻(a 在b 的前面)，共有排列方法( )A ．36种B ．72种C ．90种D ．144种解析：选A 从c ，d ，e ，f 中选2个，有C 24种选法，把a ，b 看成一个整体，则3个元素全排列为A 33种排法，共有C 24A 33＝36(种)排法．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．解析：∵X ～N (1，σ2)，故X 在(0,1)及(1,2)内取值的概率相同均为0.4，如图所示，故X 落在(0,2)内取值的概率为P (0＜X ＜1)＋P (1＜X ＜2)＝0.4＋0.4＝0.8.答案：0.814．已知(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，则k ＝________.解析：x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，∵15k 4<120，k 4<8， ∴k ＝1. 答案：115．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.解析：设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则x －＝173，y －＝176，b ＝0×(－6)＋(－3)×0＋3×602＋9＋9＝1，a ＝y －－bx －＝176－1×173＝3， ∴y ＝x ＋3，当x ＝182时，y ＝185. 答案：18516．一排长椅有7个座位，4个人坐，要求3个空位中有2个空位相邻，另一个空位与这两个空位不相邻，共有________种坐法．解析：可以用插空法或间接法．法一：把2个相邻空位看成一个整体，另一个空位与这个整体不相邻，就是用4个人把2个元素隔开．可以先让4人坐在4个位置上，再让空位的2个元素选择被4个人造成的5个“空隙”中的2个，这样有A 44·A 25＝480(种)坐法．法二：从全部入座的方法中，减去3个空位全相邻和3个空位全分开的坐法，得共有A 47－A 44·C 15－A 44·C 35＝480(种)坐法． 答案：480三、解答题(本大题共有6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)一个盒子中有6个白球、4个黑球，每次从中不放回地任取1个，连取两次，求第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率．解：法一：记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黑球”为事件B .注意，这里的问题和求“第一次取到白球，第二次取到黑球的概率”不一样．显然，事件“第一次取到白球，第二次取到黑球”的概率P (A ∩B )＝6×410×9＝415.由条件概率的计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝415610＝49.法二：抓住条件概率的本质，这个问题还可以这样理解：第一次取到白球，则只剩9个球，其中5个白球，4个黑球，在这个前提下，第二次取到黑球的概率当然是49.18．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64.(1)求x 3项的系数； (2)求二项式系数最大的项．解：令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n 2n ＝2n＝64，∴n ＝6.(1)由T r ＋1＝C r 6(x )6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫3 3x r ＝3r C r 6x 3－5r6 可知，当r ＝0时，x 3项的系数为30C 06＝1. (2)∵此展开式共有7项， ∴二项式系数最大的项为第4项．∴T 4＝C 36(x )3⎝ ⎛⎭⎪⎫33x 3＝540x . 19．(本小题满分12分)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性别和是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23. 若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？解：设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则χ2>3.841， 由χ2＝3x 2⎝⎛⎭⎫x 6×x 6－5x 6×x 32x ·x 2·x 2·x ＝38x >3.841， 解得x >10.24， ∵x 2，x6为整数， ∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．20．(本小题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？解：(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝2＋1690＝0.2，P(X＝300)＝3690＝0.4，P(X＝500)＝25＋7＋490＝0.4.因此X的分布列为：(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．21．(2017·全国卷Ⅲ)(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：，χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表χ2＝200×(62×66－34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．22．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}， A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意知A 1与A 2相互独立，A 1A －2与A －1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A－2＋A －1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A －2＋A －1A 2)＝P (A 1A －2)＋P (A －1A 2) ＝P (A 1)P (A －2)＋P (A －1)P (A 2) ＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2) ＝25×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－25×12＝12. 故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验， 由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.于是P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫151⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫451＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.。
【精选】2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.4 离散型随机变量及其分布(含解析)
8．2.4离散型随机变量及其分布[读教材·填要点]1．随机变量(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．2．离散型随机变量所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．3．随机变量X的概率分布如果随机变量X的取值是x1，x2，…，x n，则{X＝x i}是事件，用p i＝P(X＝i)表示事件{X＝x i}的概率，则p i＝P(X＝x i)，i＝1,2，…，n是离散型随机变量X的概率分布．当X的概率分布{p i}规律性不明显时，可用下面的表格表示X的分布.4.随机变量X①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝1.[小问题·大思维]1．任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？提示：可以．实际上我们可以建立一个随机试验的所有结果同实数间的对应关系，根据问题的需要选择相应数字．2．是不是所有试验的离散型随机变量？并举例说明．提示：不是．如在东北森林中任取一棵树木的高度．[例1](1)湖南矮寨大桥桥面一侧每隔30米有一路灯，将所有路灯进行编号，其中某一路灯的编号X；(2)在一次数学竞赛中，设一、二、三等奖，小明同学参加竞赛获得的奖次X；(3)丁俊晖在2017年世锦赛中每局所得的分数．[解](1)桥面上的路灯是可数的，编号X可以一一列出，是离散型随机变量．(2)小明获奖等次X可以一一列出，是离散型随机变量．(3)每局所得的分数X可以一一列举出来，是离散型随机变量．判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．1．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ是一个随机变量．解：(1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.{X＝0}，表示抽出0件次品；{X＝1}，表示抽出1件次品；{X＝2}，表示抽出2件次品；{X＝3}，表示抽出3件次品；{X＝4}，表示抽出的全是次品．(2)随机变量ξ可能的取值为：0,1,2,3.{ξ＝0}，表示取出0个白球，3个黑球；{ξ＝1}，表示取出1个白球，2个黑球；{ξ＝2}，表示取出2个白球，1个黑球；{ξ＝3}，表示取出3个白球，0个黑球．[例2] 个球，设X 表示取出3个球中的最大号码，求X 的概率分布．[解] 根据题意，随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6.X ＝3，即取出的3个球中最大号码为3，其他2个球的号码为1,2.所以，P (X ＝3)＝C 22C 36＝120； X ＝4，即取出的3个球中最大号码为4，其他2个球只能在号码为1,2,3的3个球中取． 所以，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320；X ＝5，即取出的3个球中最大号码为5，其他2个球只能在号码为1,2,3,4的4个球中取．所以，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310；X ＝6，即取出的3个球中最大号码为6，其他2个球只能在号码为1,2,3,4,5的5个球中取．所以，P ＝(X ＝6)＝C 25C 36＝12.所以，随机变量X 的概率分布为：求随机变量的概率分布的关键是搞清离散型随机变量X 取每一个值时对应的随机事件，然后利用排列组合的知识求出X 取每个值时的概率，最后列出表格即可．2．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取1个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一个红球则得2分，用X 表示所得分数，求X 的概率分布列．解：由题意知X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝C 14C 19＝49，P (X ＝1)＝C 13C 19＝13，P (X ＝2)＝C 12C 19＝29.故X 的概率分布列为：[例3] 设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4.求： (1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72. [解] ∵P (X ＝k )＝k10，k ＝1,2,3,4， (1)P (X ＝1或X ＝2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72 ＝P (X ＝1或X ＝2或X ＝3) ＝1－P (X ＝4)＝1－410＝610＝35.利用离散型随机变量概率分布的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布表即可得到它的概率，注意分布表中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．3．某离散型随机变量的概率分布列如下：(1)求常数a ，k ； (2)求概率P (X ≤5)．解：(1)因为随机变量X 的取值及其概率的值都是按等差数列变化的，因此只要确定项数n 就可以求出常数a .所以n ＝23－(－4)(－1)－(－4)＋1＝273＋1＝10，a ＝1＋(10－1)(3－1)＝19.即k ＋3k ＋5k ＋…＋19k ＝1，求得k ＝0.01. (2)由加法公式，可以得到P (X ≤5)＝P (X ＝－4)＋P (X ＝－1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝5)＝k ＋3k ＋5k ＋7k ＝16k ＝0.16.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若以X 表示笼内还剩下的果蝇的只数，求X 的概率分布．[尝试] [巧思] 若以A k 表示事件“剩下k 只果蝇”(k ＝0,1，…，6)，则当A k 发生时，第(8－k )只飞出的蝇子是苍蝇，且在前(7－k )只飞出的蝇子中恰有1只是苍蝇，因此P (A k )＝C 17－k C 28＝7－k28. [妙解] 设A k 表示事件“剩下k 只果蝇”(k ＝0,1,2，…，6)，则P (A k )＝C 17－kC 28＝7－k 28.∴P (X ＝0)＝P (A 0)＝728；P (X ＝1)＝P (A 1)＝628； P (X ＝2)＝P (A 2)＝528；P (X ＝3)＝P (A 3)＝428； P (X ＝4)＝P (A 4)＝328； P (X ＝5)＝P (A 5)＝228；P (X ＝6)＝P (A 6)＝128. 即X 的概率分布列为1．一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )A ．取到的球的个数B ．取到红球的个数C ．至少取到一个红球D ．至少取到一个红球或一个黑球解析：选B A 中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B 中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量．C 和D 叙述的结果也是确定的，而且不能包含所有可能出现的结果，故不是随机变量．2．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：选C 第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个，两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.3．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝a (11－2k )，k ＝1,2,3,4,5，其中a 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫52<ξ<235＝( ) A.35 B.1325 C.45D.825解析：选D 由a (9＋7＋5＋3＋1)＝1，可得a ＝125，所以P ⎝⎛⎭⎫52<ξ<235＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝525＋325＝825，故选D.4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为X ，则X 的可能取值为________．解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次． 答案：0,1,2,35．随机变量X 的概率分布列如图所示：(1)x ＝________(2)P (X >3)＝________； (3)P (1<X ≤4)＝________.解析：(1)由X 概率分布的性质得0.2＋x ＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x ＝0； (2)P (X >3)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＋P (X ＝6) ＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；(3)P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4) ＝0＋0.35＋0.1＝0.45. 答案：(1)0 (2)0.45 (3)0.456．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．解：(1)设“当天商店不进货”为事件A，“当天商品的销售量为0件”为事件B，“当天商品的销售量为1件”为事件C，则P(A)＝P(B)＋P(C)＝120＋520＝310.(2)由题意，知X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(C)＝520＝1 4，P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－14＝34.故X的分布列为一、选择题1．有下列四个命题：①某立交桥一天经过的车辆X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④解析：选A①②中变量X所有可能取值是可以一一列出，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为() A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：选C第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则共放回2个球…，共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n的值为()A．3 B．4C．10 D．不确定解析：选C X的概率分布表为：P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3＝310.∴n＝10.4．从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行调研，记女生入选的人数为X，则X的概率分布列为()A.C.解析：选A X的所有可能取值为0,1,2，“X＝0”表示入选3人全是男生，则P(X＝0)＝C38C310＝715，“X＝1”表示入选3人中恰有1名女生，则P(X＝1)＝C12C28C310＝715，“X ＝2”表示入选3人中有2名女生，则P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.因此X 的概率分布列为：二、填空题5．在8件产品中，有3 件次品，5 件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次数为X ，则“X ＝3”表示的试验结果是________．解析：X ＝3表示前2次均是正品，第3次是次品． 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品6．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值是__________．解析：可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．答案：300,100，－100，－3007．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．解析：设X 的概率分布为：⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1.解得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 8．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝ak (k ＝1,2，…，n )，则常数a ＝________. 解析：由分布列的性质可得， a (1＋2＋…＋n )＝1， 所以a ＝2n (n ＋1).答案：2n (n ＋1)三、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X ； (2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X .解：(1)X 可取0,1,2.X ＝i ，表示取出的3个球中有i 个白球，3－i 个黑球，其中i ＝0,1,2. (2)X 可取3,4,5.X ＝3，表示取出的3个球的编号为1,2,3；X ＝4，表示取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4；X ＝5，表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5. 10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)求x ，y 的值；(2)将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列． 解:(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P (X ＝1)＝15100＝320，P (X ＝1.5)＝30100＝310，P (X ＝2)＝25100＝14，P (X ＝2.5)＝20100＝15，P (X ＝3)＝10100＝110.X 的分布列为。
【精选】2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.1 概率的加法公式(含解析)
8．1_&_8.2随机对照试验__概率8．2.1概率的加法公式[读教材·填要点]1．随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组和对照组的试验．我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂．2．概率的加法公式如果Ω的事件A1，A2，…，A m两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪A m)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A m)．我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥．[小问题·大思维]1．概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立，对立一定互斥．当计算事件A的概率P(A)比较复杂，困难时，常用公式P(A)＝1－P(A)求解．2．必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？提示：本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广，它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥．[例1](1)则至多2人排队的概率为( ) A ．0.3 B ．0.43 C ．0.57D ．0.27(2)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D ．1[解析] (1)记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A ，B ，C 彼此互斥．记“至多2人排队”为事件E .则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.11＋0.16＋0.3＝0.57.(2)设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.[答案] (1)C (2)C运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏．1．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率． 解：(1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1＋10＋501 000＝611 000，故1张奖券的中奖概率约为611 000.[例2]7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)射中的环数低于7环的概率．[解](1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在这次射击中，事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A∪B.∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10环或7环的概率为0.49.(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解．可考虑从反面入手．“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理．设“低于7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.∴射中的环数低于7环的概率为0.03.解决此类问题的规律是：(1)①必须分清事件A、B是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式；②所求事件必须是几个互斥事件的和．满足以上两点才能用P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率．2．某单位36人的血型类别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．解：这2人血型不同的情况有：1人A型1人B型；1人A型1人AB型；1人A型1人O 型；1人B 型1人AB 型；1人B 型1人O 型；1人AB 型1人O 型．共6种情况，而其反面是血型相同，只有4种情况．法一：从36人中任选2人，共有C 236种选法，2人血型不同的概率为：P ＝C 112C 110C 236＋C 112C 18C 236＋C 112C 16C 236＋C 110C 18C 236＋C 110C 16C 236＋C 18C 16C 236＝3445.法二：由于“2人血型不同”与“2人血型相同”为对立事件，因而2人血型不同的概率为：P ＝1－C 212＋C 210＋C 28＋C 26C 236＝1－1145＝3445.随机抽取的9个同学中，至少有2个同学在同一月份出生的概率是________(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)．[尝试] [巧思] 每个同学的生日月份都有12种可能，故9人的生日月份共有129个．至少有2个人的生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件的概率．其对立事件为“所有人的出生月份都不同”有A 912种可能．[妙解] 总事件数为129个，至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相同”，则其概率为1－A 912129≈1－0.0155＝0.9845≈0.985.答案：0.9851．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A ．互斥但非对立事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．以上都不对解析：选A 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．2．在所有的两位数(10～99)中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是( ) A.56 B.45 C.23D.12解析：选C 共90个数字，被2或3整除的数有45＋30－15＝60，故概率为6090＝23.3．从5张500元，3张800元，2张1 200元演唱会的门票中任取3张．则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )A.14B.79120C.34D.2324解析：选C 3张中没有价格相同的取法有C 15C 13C 12＝30，则3张中至少有2张相同的概率为1－30C 310＝34. 4．从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于2.45 g 的概率是0.22，重量不小于2.50 g 的概率是0.20，那么重量在2.45 g ～2.50 g 范围内的概率是________．解析：重量在2.45 g ～2.50 g 范围内的概率是1－0.22－0.20＝0.58. 答案：0.585．同时抛掷两个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6)，则向上的一面数之积为偶数的概率为________．解析：向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可能出现的结果数为C 13·C 13，因此向上的一面数之积为奇数的概率P ＝C 13·C 136×6＝14，从而向上的一面数之积为偶数的概率为：1－P ＝1－14＝34.答案：346．银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加了部分自助存取款功能的ATM 机，也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面．经统计，在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：(2)至少11人但不超过40人排队的概率．解：记“有0～10人排队”、“有11～20人排队”、“有21～30人排队”、“有31～40人排队”、“至多20人排队”、“至少11人但不超过40人排队”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，F ，则A 与B 是互斥事件，事件B ，C ，D 两两互斥，从而(1)P (E )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ) ＝0.12＋0.27＝0.39；(2)P (F )＝P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D ) ＝0.27＋0.30＋0.23＝0.80.一、选择题1．一箱产品中有正品4件、次品3件，从中任取2件，其中事件： ①恰有1件次品和恰有2件次品； ②至少有1件次品和全是次品； ③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少有1件次品和全是正品． 4组事件中是互斥事件的有( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组解析：选B 对于①，恰有1件次品就是1件正品1件次品，与恰有2件都是次品显然互斥；对于②，至少有1件次品包括有1件次品和2件全是次品，两事件不互斥；对于③，至少有1件正品包括恰有1件正品和1件次品以及2件都是正品， 与至少有1件次品显然不互斥；对于④，至少有1件次品包括恰有1件次品和2件全是次品，与全是正品显然互斥．故是互斥事件的是①、④.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为( )A ．0.09B ．0.98C ．0.97D ．0.96解析：选D 1－0.03－0.01＝0.96.3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50% 解析：选D “甲不输”事件是事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”的和事件，又事件“甲获胜”和“甲、乙两人下成和棋”互斥．所以甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.4．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.929 B.1029 C.1929D.2029解析：选D 既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学，全为男同学的概率为C 320C 330，全为女同学的概率C 310C 330，故所求事件概率为1－C 320C 330－C 310C 330＝2029.二、填空题5．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的命题序号是________．①A ∪B 与C 是互斥事件，也是对立事件 ②B ∪C 与D 是互斥事件，也是对立事件 ③A ∪C 与B ∪D 是互斥事件，但不是对立事件 ④A 与B ∪C ∪D 是互斥事件，也是对立事件解析：由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：④6．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析：断头不超过两次的概率P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03.答案：0.97 0.037．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为________．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415. 答案：815 14158．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，则x ＋y 的最小值为________． 解析：由题意，x >0，y >0，4x ＋1y ＝1.则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥9，当且仅当x ＝2y 时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.答案：9 三、解答题9．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率． 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．袋中有12只小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，记事件A ＝{摸得红球}，事件B ＝{摸得黑球}，事件C ＝{摸得黄球}，事件D ＝{摸得绿球}，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝23.解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14.所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为14.。
8.正态分布曲线-湘教版选修2-3教案
8. 正态分布曲线-湘教版选修2-3教案一、教学目标1.了解正态分布的概念和性质；2.掌握如何描述正态分布，使用正态分布曲线描述具有正态分布的随机变量；3.掌握如何求解正态分布的概率；4.能够应用正态分布解决实际问题。
二、教学内容1. 正态分布的概念和性质正态分布是一种概率分布，常用来描述一些连续型的随机变量，在自然界和社会生活中产生的各种现象中都有广泛的应用。
常态分布的形状呈钟形，两端逐渐陡峭，靠近中心对称，符合“三个sigma”原则，即68%的样本落在平均值的一个标准差范围内，95%的样本落在两个标准差范围内，99.7%的样本落在三个标准差范围内。
2. 描述正态分布描述正态分布需要确定两个参数：均值（μ）和标准差（σ）。
均值决定了正态分布曲线的位置，而标准差决定了曲线的形态，同时也决定了正态分布曲线的高度和宽度。
3. 正态分布曲线正态分布曲线是以均值为对称轴的曲线，是一条钟形曲线。
如下图所示，其中，μ为均值，σ为标准差。
10.9 /\\0.8 / \\0.7 / \\0.6 / \\0.5 / \\0.4 / \\0.3 / \\0.2 / \\0.1 /________________\\μ-3σ μ-2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ4. 正态分布的概率计算正态分布的概率计算需要用到标准正态分布表。
标准正态分布表的横坐标表示标准正态分布变量Z0，纵坐标表示从0到Z0的面积。
标准正态分布表只给出了从0到4.09的面积比例，求解不同Z值对应的面积比例时，需要通过插值法计算，或者使用电子表格软件的标准正态分布函数进行计算。
5. 实际问题的应用正态分布被广泛应用于各个领域，例如金融、医学、工程、统计学等等。
在实际问题中，经常需要对某些数据进行统计分析，得出信息后作出决策。
三、教学步骤1. 引入正态分布通过举例子的方式，向学生介绍正态分布的概念和性质，包括正态分布的形状、均值和标准差的含义及作用、正态分布的应用场景等等。
2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.3 事件的独立性 Word版含解析
8．2.3事件的独立性[读教材·填要点]1．事件A，B独立用Ω1表示第一个试验的全集，用Ω2表示第二个试验的全集，如果这两个试验是独立的，就称全集Ω1和Ω2独立．当事件的全集Ω1和Ω2独立，对于A⊆Ω1和B⊆Ω2，有P(A∩B)＝P(A)P(B)．2．事件A1，A2，A3，…，A n相互独立对于j＝1,2，…，n，用Ωj表示第j个试验的全集，如果这n个试验是相互独立的，就称这些试验的全集Ω1，Ω2，…，Ωn是相互独立的．如果试验的全集Ω1，Ω2，…，Ωn是相互独立的，则对A1⊆Ω1，A2⊆Ω2，…，A n⊆Ωn，有P(A1∩A2∩…∩A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．[小问题·大思维]1．两个事件相互独立与互斥有什么区别？提示：两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．2．公式P(A∩B)＝P(A)P(B)使用的前提条件是什么？提示：P(A∩B)＝P(A)P(B)使用的前提条件是事件A与事件B相互独立，同样的，只有当A1，A2，…，A n相互独立时，这几个事件同时发生的概率才等于每个事件发生的概率之积，即P(A1∩A2∩A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．[例1](1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．(3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．1．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，设A ＝“抽得老K ”，B ＝“抽得红牌”，判断事件A 与B 是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？解：由于事件A 为“抽得老K ”，事件B 为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到老K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑他们是否互为独立事件：抽到老K 的概率为P (A )＝452＝113，抽到红牌的概率P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件A ∩B即为“既抽得老K 又抽得红牌”，亦即“抽得红老K 或方块老K ”，故P (A ∩B )＝252＝126，从而有P (A )·P (B )＝P (A ∩B )，因此A 与B 互为独立事件．[例2] 求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率； (2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．[解] 记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A、B、C都是相互独立事件．(1)P(A∩B)＝P(A)P(B)＝C23C25·C22C25＝310·110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P(C∩A)＝P(C)P(A)＝C13·C12C25·C23C25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是9 50.2．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件A i(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P1＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.[例3]100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．[解] 记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)(1)三人都合格的概率：P 3＝P (A ∩B ∩C )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝P (A －∩B －∩C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P 2＝P (A ∩B ∩C －)＋P (A ∩B －∩C )＋P (A －∩B ∩C ) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360. 恰有一人合格的概率：P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)(3)可知P 1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的运用，即三个公式的联用：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )(A ，B 互斥)，P (A )＝1－P (A )，P (A ∩B )＝P (A )P (B )(A ，B 相互独立)．3．在某项比赛的选拔赛中，种子选手M 与B 1，B 2，B 3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M 获胜的概率分别为34，23，12，且各场比赛互不影响．(1)若M 至少获胜两场的概率大于710，则M 入选比赛，否则不予入选，问M 是否会入选比赛？(2)求M 获胜两场的概率．解：记M 与B 1，B 2，B 3进行对抗赛获胜的事件分别为A ，B ，C ，M 至少获胜两场的事件为D ，则P (A )＝34，P (B )＝23，P (C )＝12，事件A ，B ，C 相互独立，用X 表示“M 获胜的场次”．(1)则P (D )＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝34×23×12＋14×23×12＋34×13×12＋34×23×12＝1724，因为1724>710，所以M 会入选比赛． (2)P (X ＝2)＝P (D )－P (ABC )＝1724－34×23×12＝1124.路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．[尝试] [巧思] 根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中至少有1个能够闭合，这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其中某2个开关闭合、恰有3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的概率，从而求得其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率．[妙解] 如图所示，分别记这段时间内开关J A ，J B ，J C 能够闭合为事件A ，B ，C .由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不闭合的概率是P (A －∩B －∩C －)＝P (A －)P (B －)P (C －) ＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P (A－∩B －∩C －)＝1－0.027＝0.973.答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1和A 2是( )A ．互斥的事件B ．相互独立的事件C ．对立的事件D ．不相互独立的事件解析：选D 由互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义可知，A 1与A 2不互斥也不对立，同时A 1与A 2也不相互独立．2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )A.1425B.1225C.34D.35解析：选A 由题意知P 甲＝810＝45，P 乙＝710，所以P ＝P 甲·P 乙＝1425. 3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：选B 设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品；事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：P (A ∩B )＋P (A ∩B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512. 4．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________． 解析：甲、乙两人都未能解决为⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1－13＝12×23＝13， 问题得到解决就是至少有1人能解决问题． ∴P ＝1－13＝23.答案：13 235.在如图所示的电路图中，开关a ，b ，c 闭合与断开的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．解析：设“开关a ，b ，c 闭合”分别为事件A ，B ，C ，则灯亮这一事件为ABC ∪AB C ∪A B C ，且A ，B ，C 相互独立，ABC ，AB C ，A B C 互斥，所以 P ＝P (ABC )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C ) ＝12×12×12＋12×12×⎝⎛⎭⎫1－12＋12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＝38. 答案：386．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率； (2)甲、乙两地都不降雨的概率； (3)其中至少一个地方降雨的概率．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为P 1＝0.2×0.3＝0.06. (2)甲、乙两地都不降雨的概率为 P 2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56. (3)至少一个地方降雨的概率为 P 3＝1－P 2＝1－0.56＝0.44.一、选择题1．一枚硬币连掷三次，至少出现一次正面向上的概率是( ) A.18 B.14 C.12D.78解析：选D 一枚硬币连掷三次，每次结果互不影响，相互独立．至少出现一次正面朝上的对立事件为三次全为正面朝下，概率为1－12·12·12＝78.2．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A 叶上，则跳三次之后停在A 叶上的概率是( )A.13B.29C.49D.827解析：选A 青蛙跳三次要回到A 只有两条途径： 第一条：按A →B →C →A ， P 1＝23×23×23＝827；第二条，按A →C →B →A ， P 2＝13×13×13＝127，所以跳三次之后停在A 叶上的概率为 P ＝P 1＋P 2＝827＋127＝13. 3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )A.5960 B.35 C.12D.160解析：选B 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35.4．从甲袋内摸出1个红球的概率是13，从乙袋内摸出1个红球的概率是12，从两袋内各摸出1个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率解析：选C 至少有1个红球的概率是 13×⎝⎛⎭⎫1－12＋12×⎝⎛⎭⎫1－13＋12×13＝23. 二、填空题5．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．解析：设从甲袋中任取一个球，事件A ：“取得白球”，则此时事件A ：“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B ：“取得白球”，则此时事件B ：“取得红球”．∵事件A 与B 相互独立，∴事件A 与B 相互独立． ∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为 P (A ∩B ＋A ∩B )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝23×12＋13×12＝12. 答案：126．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．则红队至少两名队员获胜的概率为________．解析：记甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘中甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 分别为事件D ，E ，F ，则甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 分别为事件D ，E ，F ，根据各盘比赛结果相互独立可得红队至少两名队员获胜的概率为：P ＝P (DEF )＋P (DEF )＋P (DEF )＋P (DEF )＝P (D )P (E )P (F )＋P (D )P (E )P (F )＋P (D )P (E )·P (F )＋P (D )P (E )P (F )＝0.6×0.5×(1－0.5)＋0.6×(1－0.5)×0.5＋(1－0.6)×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.答案：0.557．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮， 说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确， 第1个问题答对答错都可以． 因为每个问题的回答结果相互独立， 故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128. 答案：0.1288．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．解析：对①，P (B )＝C 15C 110×C 15C 111＋C 15C 110×C 14C 111＝922；②，P (B |A 1)＝C 15C 111＝511；③，由P (A 1)＝12，P (B )＝922，P (A 1·B )＝522知P (A 1·B )≠P (A 1)·P (B )．④，故事件B 与事件A 不是相互独立事件；从甲罐中只取一球，若取出红球就不可能是其他颜色的球，故两两互斥；⑤由①可算得．答案：②④ 三、解答题9．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．求：(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)至少有1名工人选择的项目属于民生工程的概率．解：记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P ＝A 33P (A 1∩B 2∩C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16. (2)至少有1名工人选择的项目属于民生工程的概率P ＝1－P (B 1∩ B 2 ∩ B 3)＝1－P (B 1)P (B 2)P (B 3)＝1－⎝⎛⎭⎫1－133＝1927. 10．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算：(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率；(3)至少有一人击中目标的概率．解：记“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B .“两人都击中目标”是事件A ∩B ；“恰有1人击中目标”是A ∩B ∪A －∩B ；“至少有1人击中目标”是A ∩B ∪A ∩B －∪A －∩B .(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A ∩B ，又由于事件A 与B 相互独立，∴P (A ∩B )＝P (A )P (B )＝0.8×0.8＝0.64.(2)“两人各射击一次，恰好有一次击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A ∩B －)，另一种是甲未击中乙击中(即A －∩B )，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A ∩B －与A －∩B 是互斥的，所以所求概率为P ＝P (A ∩B －)＋P (A －∩B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P ＝P (A ∩B )＋[P (A ∩B －)＋P (A －∩B )]＝0.64＋0.32＝0.96.。
2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 章末小结 Word版含解析
姓名，年级：时间：1．离散型随机变量的概率分布(1)X的概率分布离散型随机变量X的所有不同取值为x1，x2，…，x n,X取每一个值x i（i＝1,2，…,n）的概率P(X＝x i)＝p i，则称以下表格为随机变量X的概率分布列，简称为分布列.X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n离散型随机变量具有如下性质：①p i≥0，i＝1,2，…，n；②错误!i＝1。
（2）两点分布:两点分布也叫0~1分布，它只有两个试验结果0和1,其分布列为X01P1－p p(3)二项分布：在n次独立重复试验中,事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k）＝C错误!p k·（1－p）n－k,k＝0,1，2，…，n。
这时称X服从二项分布，记为X～B（n，p）．(4）超几何分布N件产品中M件次品,从中随机抽取n件，因X表示这n件中的次品数，则X服从超几何分布H(N，M，n），即P(X＝M）＝错误!,m＝0，1,…，n2．离散型随机变量的均值和方差(1)均值和方差随机变量X的分布列是P(X＝x i）＝p i,i＝1，2，…,n，则称E（X）＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n 为X的均值或数学期望;D（X)＝［x1－E(X）]2×p1＋[x2－E(X）]2×p2＋…＋［x n－E（X)］2×p n为随机变量X的方差．（2)均值与方差的性质：①E(ax＋b)＝aE(X）＋b；②D(ax＋b)＝a2D(X）．(3)两点分布与二项分布的均值与方差:①若X服从两点分布，则E(X）＝p，D(X)＝p(1－p)．②若X～B（n，p），则E(X)＝np,D（X）＝np(1－p)．3．条件概率及事件的相互独立性（1)事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A）＝错误!＝错误!(P（A）>0）．(2)若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B）＝P（A）P(B）．4．正态分布若X~N(μ，σ2），则P（μ－σ〈X≤μ＋σ）＝68.3％，P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）＝95.4％，P(μ－3σ〈X≤μ＋3σ）＝99。
2019年高中数学湘教版选修2-3讲义+精练：第8章8.2.7离散型随机变量的方差含解析
8．2.7 离散型随机变量的方差[读教材·填要点]1．离散型随机变量X 的方差与标准差(1)当离散型随机变量X 有概率分布，p j ＝P (X ＝x j )，j ＝0,1，…，n 和数学期望μ＝E (X )时，就称D (X )＝(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n 为X 的方差，称D (X )为X 的标准差．(2)X 的方差描述了随机变量X 向它的数学期望集中的程度，方差越小，X 向数学期望μ集中的越好．(3)如果X 是从某个总体中通过随机抽样得到的个体，X 的方差D (X )就是总体方差σ2，X 的数学期望E (X )就是总体均值μ.2．几个常见方差的计算公式(1)若Y ＝aX ＋b ，a ，b 为常数，即D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (2)当X 服从二点分布(1，p )时，D (X )＝p (1－p )； (3)当X 服从二项分布B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p )； (4)当X 服从超几何分布H (N ，M ，n )时，D (X )＝nM N ⎝⎛⎭⎫1－M N N －nN －1.[小问题·大思维]1．离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗？提示：样本的方差随样本的不同而变化，是一个随机变量，而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常数而非变量．2．D (X )的取值范围是什么？若b 为常数，则D (b )为何值？ 提示：①因为D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i ，其中(x i －E (X ))2≥0，p i ≥0， 所以D (X )的取值范围为[0，＋∞)．②因为b 为常数，所以x 1＝x 2＝…＝x n ＝E (X )＝b ， 故D (b )＝0.3．D (X )与X 的单位之间有什么关系？ 提示：D (X )的单位是X 的单位的平方．求离散型随机变量的方差[例1] (1)X1234则D (X )等于( )A.2912B.121144C.179144D.1712(2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是13.①求这位司机遇到红灯数X 的期望与方差；②若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间Y 的期望与方差．[解析] (1)选C 由题意知，E (X )＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，故D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－29122×14＋⎝⎛⎭⎫2－29122×13＋⎝⎛⎭⎫3－29122×16＋⎝⎛⎭⎫4－29122×14＝179144.(2)解：①易知司机遇上红灯次数X 服从二项分布， 且X ～B ⎝⎛⎭⎫6， 13， ∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝⎛⎭⎫1－13＝43. ②由已知Y ＝30X ，∴E (Y )＝30E (X )＝60，D (Y )＝900D (X )＝1 200.由离散型随机变量的概率分布求其方差时，应首先计算数学期望，然后代入方差公式求解即可．但需要注意，如果能利用性质运算，先考虑性质运算，可避免繁琐的运算，提高解题效率．1．某运动员投篮命中率p ＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X 的方差为________． 解析：依题意知X 服从两点分布， 所以D (X )＝0.8×(1－0.8)＝0.16. 答案：0.162．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．解：设摸得白球的个数为X ， 依题意得P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝23，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－232×25＋⎝⎛⎭⎫1－232×815＋⎝⎛⎭⎫2－232×115＝1645⎝ ⎛⎭⎪⎫或D (X )＝2×26×⎝⎛⎭⎫1－26×6－26－1＝1645.离散型随机变量方差的性质[例2] (1)( ) A ．6,2.4 B ．2,2.4 C ．2,5.6D ．6,5.6(2)已知X 是离散型随机变量，P (X ＝1)＝23，P (X ＝a )＝13，E (X )＝43，则D (2X －1)＝( )A.13 B ．－19C.43D.89[解析] (1)∵X ～B (10,0.6)，∴E (X )＝10×0.6＝6，D (X )＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E (η)＝8－E (X )＝2，D (η)＝(－1)2D (X )＝2.4. (2)由题意，知1×23＋a ×13＝43，解得a ＝2，∴D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－432×23＋⎝⎛⎭⎫2－432×13＝29， ∴D (2X －1)＝22 D (X )＝4×29＝89.[答案] (1)B (2)D求随机变量函数Y ＝aX ＋b 方差的方法求随机变量函数Y ＝aX ＋b 的方差，一种是先求Y 的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种是应用公式D (aX ＋b )＝a 2D (X )求解．3．已知η的分布列为η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．解：(1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，D (η)＝8 6.(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1 536.方差的实际应用[例3]X、Y，X和Y的概率分布如下表：X 01 2P 610110310Y 01 2P 510310210试对这两名工人的技术水平进行比较．[解]工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：E(X)＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81；工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：E(Y)＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D(Y)＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．4．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X 012 3P 0.30.30.20.2乙保护区：解：甲保护区违规次数X 的数学期望和方差为 E (X )＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D (X )＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数Y 的数学期望和方差为：E (Y )＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D (Y )＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (X )＝E (Y )，D (X )＞D (Y )，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定.解题高手妙解题第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为12.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15.第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由． [尝试][巧思] 合理的理财方案应满足两个条件：①获利高；②稳妥性强．因此可从数学期望和方差两个方面考虑．优先选择期望值较大的方案，若期望值相同应考虑选择方差较小的方案．[妙解] 若按方案一执行，设收益为X 万元，则其概率分布为X 4 －2 P1212E (X )＝4×12＋(－2)×12＝1万元．若按方案二执行，设收益为Y 万元，则其概率分布为：Y2－1∴E (Y )＝2×35＋0×15＋(－1)×15＝1万元．若按方案三执行，收益y ＝10×4%×(1－5%)＝0.38万元． 又E (X )＝E (Y )>y .D (X )＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9，D (Y )＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85.由上知D (X )>D (Y )．这说明虽然方案一、方案二收益相等，但方案二更稳定．所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．下列说法中，正确的是( )A ．随机变量的期望E (X )反映了X 取值的概率平均值B ．随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．随机变量的期望E (X )反映了X 取值的平均水平D ．随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值解析：选C 离散型随机变量X 的期望反映了随机变量取值的平均水平，随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．2．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．n ＝100，p ＝0.08 B ．n ＝20，p ＝0.4 C ．n ＝10，p ＝0.2D ．n ＝10，p ＝0.8解析：选D 由于X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6. 所以np ＝8，np (1－p )＝1.6，解之得n ＝10，p ＝0.8.3．已知离散型随机变量X 的概率分布为：P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．4解析：选B ∵E (X )＝(1＋2＋3)×13＝2，D (X )＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝6.4．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，若两枚硬币同时出现反面的次数为X ，则D (X )＝________. 解析：因为两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故X ～B ⎝⎛⎭⎫10，14，因此D (X )＝10×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝158.答案：1585．已知离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则X 的方差为________.X 1 3 5 P0.40.1x解析：由条件知，x ＝0.5.E (X )＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (X )＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56. 答案：3.566．设X 是随机变量，P (X ＝a )＝23，P (X ＝b )＝13，且a <b .又E (X )＝43，D (X )＝29，求a ＋b 的值．解：由题意知，⎩⎨⎧23a ＋13b ＝43，23×⎝⎛⎭⎫a －432＋13×⎝⎛⎭⎫b －432＝29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝53，b ＝23.又a <b ，所以a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3.一、选择题1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D (X 甲)＝11，D (X 乙)＝3.4.由此可以估计( )A ．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B ．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C ．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D ．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较 解析：选B ∵D (X 甲)>D (X 乙) ∴乙种水稻比甲种水稻整齐．2．随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝p k q 1－k (k ＝0,1，p ＋q ＝1)，则E (X )与D (X )依次为( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和p (1－p )解析：选D 根据题意，E (X )＝0×q ＋1×p ＝p ，D (X )＝(0－p )2q ＋(1－p )2p ＝p (1－p )，或可以判断随机变量X 满足两点分布，所以E (X )与D (X )依次为p 和p (1－p )．3．已知X 服从二项分布B (n ，p )，且E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1解析：选B 由E (3X ＋2)＝3E (X )＋2，D (3X ＋2)＝9D (X )，当X ～B (n ，p )时，E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )可知⎩⎪⎨⎪⎧ 3np ＋2＝9.2，9np (1－p )＝12.96，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n ⎝⎛⎭⎫23k ·⎝⎛⎭⎫13n －k ，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( )A ．8B ．12 C.29D ．16解析：选A 由题意可知ξ～B ⎝⎛⎭⎫n ，23，∴23n ＝E (ξ)＝24，∴n ＝36，∴D (ξ)＝n ×23×⎝⎛⎭⎫1－23＝29×36＝8.二、填空题5．随机变量X 的概率分布为：X －1 0 1 Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，若E (X )＝13，则D (X )的值是________．解析：E (X )＝－1×a ＋0×b ＋1×c ＝c －a ＝13，又a ＋b ＋c ＝1，且2b ＝a ＋c ， ∴a ＝16，b ＝13，c ＝12.∴D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1－132×16＋⎝⎛⎭⎫0－132×13＋⎝⎛⎭⎫1－132×12＝59. 答案：596．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，D (X )＝25×0.6×0.4＝6，E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，D (Y )＝D (4X )＝42×D (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.答案：60,967．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又知E (X )＝49，D (X )＝2，则x 1＋x 2＝________.解析：由题意可得：E (X )＝23x 1＋13x 2，D (X )＝⎝⎛⎭⎫x 1－492×23＋⎝⎛⎭⎫x 2－492×13， ∴⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝49，⎝⎛⎭⎫x 1－492×23＋⎝⎛⎭⎫x 2－492×13＝2.解得x 1＋x 2＝179.答案：1798．随机变量X 的概率分布如下表，若E (X )＝0，D (X )＝1，则a ＝________，b ＝________.X －1 0 1 2 pabc112解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＋112＝1，－a ＋c ＋16＝0，a ×1＋c ×1＋4×112＝1.解得a ＝512，b ＝c ＝14. 答案：512 14三、解答题9．编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X .(1)求随机变量X 的概率分布； (2)求随机变量X 的数学期望和方差． 解：(1)P (X ＝0)＝2A 33＝13；P (X ＝1)＝C 13A 33＝12；P (X ＝3)＝1A 33＝16.∴概率分布为：X 0 1 3 P131216(2)E (X )＝1×12＋3×16＝1.D(X)＝(1－0)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16＝1.10．甲、乙两名射手各打了10发子弹，其中甲击中环数与次数如表：环数5678910次数11112 4环数78910概率0.20.3p 0.1(1)(2)比较甲、乙射击水平的优劣．解：(1)p＝0.4.设甲、乙击中的环数分别为X1、X2，则P(X1＝8)＝110＝0.1，P(X1＝9)＝210＝0.2，P(X1＝10)＝410＝0.4，P(X2＝8)＝0.3，P(X2＝9)＝0.4，P(X2＝10)＝0.1，所以甲、乙各打一枪击中18环的概率为：P＝0.1×0.1＋0.3×0.4＋0.2×0.4＝0.21.(2)甲的期望为E(X1)＝5×0.1＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＋9×0.2＋10×0.4＝8.4，乙的期望为E(X2)＝7×0.2＋8×0.3＋9×0.4＋10×0.1＝8.4.甲的方差为D(X1)＝(5－8.4)2×0.1＋(6－8.4)2×0.1＋(7－8.4)2×0.1＋(8－8.4)2×0.1＋(9－8.4)2×0.2＋(10－8.4)2×0.4＝3.04，乙的方差为D(X2)＝(7－8.4)2×0.2＋(8－8.4)2×0.3＋(9－8.4)2×0.4＋(10－8.4)2×0.1＝0.84.所以D(X1)>D(X2)，乙比甲技术稳定.。
2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.2 条件概率 Word版含解析
8．2.2条件概率[读教材·填要点]1．条件概率设A，B是事件，且P(A)>0，以后总是用P(B|A)表示在已知A发生的条件下B发生的条件概率，简称条件概率．2．条件概率的计算公式如果P(A)>0，则P(B|A)3．条件概率的性质①P(B|A)∈[0,1]②如果B与C为两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．[小问题·大思维]1．P(B|A)＝P(A∩B)吗？提示：事件(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生，而事件A∩B是指事件A与事件B同时发生，故P(B|A)≠P(A∩B)．2．P(B|A)和P(A|B)相同吗？提示：P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)不同．[例1]在52道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．[解]设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的基本事件总数为A25＝20.事件A所含基本事件的总数为A13×A14＝12.故P (A )＝1220＝35.(2)因为事件A ∩B 含A 23＝6个基本事件． 所以P (A ∩B )＝620＝310. (3)法一：由(1)、(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝31035＝12.法二：因为事件A ∩B 含6个基本事件，事件A 含12个基本事件，所以P (B |A )＝612＝12.条件概率的计算方法有两种：(1)利用定义计算，先分别计算概率P (A ∩B )和P (A )，然后代入公式P (B |A )＝P (A ∩B )P (A ). (2)利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A ，原来的事件B 缩小为AB ，利用古典概型计算概率：P (B |A )＝n (A ∩B )n (A ).1．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (A ∩B )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，问两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？解：(1)设x 为掷红骰子得的点数，y 为掷蓝骰子得的点数，则所有可能的事件为(x ，y )，建立一一对应的关系，由题意作图如图．显然：P (A )＝1236＝13，P (B )＝1036＝518，P (A ∩B )＝536. (2)法一：P (B |A )＝n (A ∩B )n (A )＝512. 法二：P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝53613＝512.[例2] 3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．[解] 法一：设“摸出第一个球为红球”为事件A ，“摸出第二个球为黄球”为事件B ，“摸出第二个球为黑球”为事件C ，则P (A )＝110，P (AB )＝1×210×9＝145，P (AC )＝1×310×9＝130. ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝145110＝1045＝29，P (C |A )＝P (AC )P (A )＝130110＝13.∴P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59.∴所求的条件概率为59.法二：∵n (A )＝1×C 19＝9，n (B ∪C |A )＝C 12＋C 13＝5，∴P (B ∪C |A )＝59.∴所求的条件概率为59.利用公式P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与C 互斥”．2．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设事件A 为“该考生6道题全答对”，事件B 为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C 为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D 为“该考生在这次考试中通过”，事件E 为“该考生考试中获得优秀”，则A 、B 、C 两两互斥，且D ＝A ∪B ∪C ，E ＝A ∪B ，由古典概型的概率公式及加法公式可知P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝C 610C 620＋C 510C 110C 620＋C 410C 210C 620＝12 180C 620， P (A ∩D )＝P (A )，P (B ∩D )＝P (B )， P (E |D )＝P (A ∪B |D )＝P (A |D )＋P (B |D ) P (A )P (D )＋P (B )P (D )＝210C 62012 180C 620＋2 520C 62012 180C 620＝1358. 故所求的概率为1358.4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？[尝试] [巧思] 本题数据较多，关系有点复杂，可采用列表方法理顺关系，这样不仅过程简单，同时还能快捷地找出计算条件概率时所需的相关事件的概率．[妙解] 设事件A ：“任取一个球，是玻璃球”；事件B ：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：由表知，P (B )＝1116，P (A ∩B )＝416， 故所求事件的概率为P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝4161116＝411.1．若P (A )＝34，P (B |A )＝12，则P (A ∩B )等于( )A.23 B.38 C.13D.58解析：选B 利用条件概率的乘法公式求解． P (A ∩B )＝P (A )·P (B |A )＝34×12＝38.2．用“0”“1”“2”组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P (A |B )＝( )A.12B.13C.14D.18解析：选B ∵P (B )＝3×33×3×3＝13，P (AB )＝33×3×3＝19，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝13，故选B. 3．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A.18B.14C.25D.12解析：选B P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.4．若P (A )＝310，P (B )＝410，P (A ∩B )＝110，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________. 解析：P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝14， P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝13.答案：14 135.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝______；(2)P (B |A )＝______.解析：圆的面积是π，正方形的面积是2，扇形的面积是π4，根据几何概型的概率计算公式得P (A )＝2π，根据条件概率的公式得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12π2π＝14.答案：(1)2π (2)146．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班平均分成4个小组，其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． 解：设事件A 表示“选到第一组学生”， 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝14. (2)法一：要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝415. 法二：P (B )＝1540＝38，P (AB )＝440＝110，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝415.一、选择题1．设P (A |B )＝P (B |A )＝12，P (A )＝13，则P (B )等于( )A.12 B.13 C.14D.16解析：选B P (A ∩B )＝P (A )P (B |A )＝13×12＝16，由P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )，得P (B )＝P (A ∩B )P (A |B )＝16×2＝13.2．4张奖券中只有一张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )A.14 B.13 C.12D ．1解析：选B 设第一名同学没有抽到中奖券为事件A ，最后一名同学抽到中奖券为事件B ，则P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝13. 3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45解析：选A 根据条件概率公式P (B |A )＝P (AB )P (A )，可得所求概率为0.60.75＝0.8.4．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( )A.119B.1738C.419D.217解析：选D 设事件A 表示“抽到2张都是假钞”，事件B 为“2张中至少有一张假钞”，所以为P (A |B ).而P (AB )＝C 25C 220＝119，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738. ∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝217.二、填空题5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________．解析：记“种子发芽”为事件A ，“种子长成幼苗”为事件AB (发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，又P (A )＝0.9.故P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.72.答案：0.726．6位同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是________．解析：甲排在第一跑道，其他同学共有A 55种排法，乙排在第二跑道共有A 44种排法，所以所求概率为A 44A 55＝15.答案：157．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．解析：设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5100＝120，P (AB )＝C 15C 195A 2100＝19396， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝9599.答案：95998．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，记A ＝{出现的点数为奇数}＝{1,3,5}，B ＝{出现的点数不超过3}＝{1,2,3}．若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________．解析：由题意知n (B )＝3，n (A ∩B )＝2，故在出现的点数不超过3的条件下，出现的点数是奇数的概率为P (A |B )＝n (A ∩B )n (B )＝23.答案：23三、解答题9．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率．解：令A ＝{第1只是好的}，B ＝{第2只是好的}，法一：n (A )＝C 16C 19，n (AB )＝C 16C 15， 故P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 16C 15C 16C 19＝59.法二：因事件A 已发生(已知)，故我们只研究事件B 发生便可，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P (B |A )＝C 15C 19＝59.10．一袋中装有6个黑球，4个白球．如果不放回地依次取出2个球．求： (1)第1次取到黑球的概率；(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；(3)在第1次取到黑球的条件下，第2次又取到黑球的概率．解：设第1次取到黑球为事件A ，第2次取到黑球为事件B ，则第1次和第2次都取到黑球为事件A ∩B .(1)从袋中不放回地依次取出2个球的事件数为 n (Ω)＝A 210＝90.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 16×A 19＝54.于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝5490＝35. (2)因为n (A ∩B )＝A 26＝30. 所以P (A ∩B )＝n (A ∩B )n (Ω)＝3090＝13. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次取到黑球的条件下， 第2次取到黑球的概率为P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝1335＝59.法二：因为n (A ∩B )＝30，n (A )＝54，所以 P (B |A )＝n (A ∩B )n (A )＝3054＝59.。
数学(选修2-3)课件8.3正态分布曲线
A．0.477
B．0.628
C．0.954
D．0.977
解析：方法一 P(ξ＞2)＝1－P(ξ≤2)＝1－F(2)＝1－Φ2σ＝0.023， ∴Φ2σ＝1－0.023＝0.977. ∴P(－2≤ξ≤2)＝F(2)－F(－2)＝Φ2σ－Φ－2σ＝2Φ2σ－1 ＝0.954.
方法二 因为随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，所以正态 曲线关于直线x＝0对称．又P(ξ＞2)＝0.023，所以P(ξ＜－2)＝ 0.023.所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝1－2×0.023 ＝0.954.
答案：A
【点评】 准确理解正态分布的概念和性质是解题关键， 尤其应注意正态分布中参数μ，σ的意义以及它们在正态曲线中 的作用．正态分布由μ和σ这两个参数决定，参数μ是反映随机 变量的平均水平的特征数，参数σ是衡量随机变量总体波动大 小的特征数，σ越小，曲线越尖陡，σ越大，曲线越扁平．
1．设 X～N(μ1，σ21)，Y～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度 曲线如图所示．下列结论中正确的是( )
(2)∵μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26， μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， ∴零件尺寸 X 在区间(14,26)mm 的百分比大约是 99.7%， 而零件尺寸 X 在区间(16,24)mm 的百分比大约是 95.4%. ∴ 零 件 尺 寸 在 区 间 (24,26)mm 的 百 分 比 大 约 是 99.7%－2 95.4%＝2.15%.因此尺寸在区间(24,26)mm 的大约有 5 000×2.15%≈108(个)．
正态分布下的概率问题
设随机变量X～N(3,1)，P(X＞4) ＝p.求P(2＜X＜4)．
解：由X～N(3,1)，得μ＝3. ∵P(X＞4)＝p， ∴由对称性可得P(X＞4)＝P(X＜2)＝p. ∴P(2＜X＜4)＝1－P(X＞4)－P(X＜2)＝1－2p.
高中数学新湘教版精品教案《8.3 正态分布曲线》
§2.6 正态分布教学目标：了解正态分布在实际生活中的意义和作用；掌握正态分布的特点及正态分布曲线所表示的意义、性质； 掌握正态分布3-σ原则及实际应用．教学重点：正态分布函数和正态曲线的性质；正态分布3-σ原则及实际应用．教学难点：正态曲线的性质． 教学过程： 一、问题情境１．情境引入：根据2021产品数据画出频率分布直方图、总体密度曲线；２．情境引入：根据高尔顿板试验画出小球球槽编号的频率分布直方图、总体密度曲线；二、学生活动：根据总体密度曲线总结这一类曲线的特征频率分布直方图：密度曲线：若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．xy频率／组距三、建构数学１．上图中概率密度曲线具有“中间高，两头低”的特征，像这种类型的概率密度曲线，叫做“正态密度曲线”，它的函数表达式是222)(21)(σμσπ--=xexf，),(+∞-∞∈x2．正态密度曲线的特征（１）曲线在x轴上方，与x轴不相交．（２）曲线关于直线μ=x对称．（３）在μ=x时位于最高点．σ＝0.5σ＝1σ＝2（４）当μ<x 时，曲线上升；当μ>x 时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．（５）当μ一定时， 曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中． 思考：)(x f 的值域是什么？单调区间如何？ 3．正态分布若X 是一个随机变量，对任给区间],(b a ，)(b X a P ≤<恰好是正态密度曲线下方和X 轴上],(b a 上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数μ和2σ的正态分布，简记为),(~2σμN X ．4．当0=μ，1=σ时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是其相应的曲线称为标准正态曲线．标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中占有重要地位．任何正态分布的问题均可转化成标准总体分布的概率问题． 5．正态分布的意义（１）在生产中，各种产品的质量指标一般都服从正态分布； （２）在测量中，测量结果、测量的随机误差都服从正态分布； （３）在生物学中，同一群体的某种特征都服从正态分布；221(),R2x f x e x π-=∈（４）在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等都服从正态分布． ６．3σ原则小概率事件的含义：发生概率一般不超过%5的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生． 四、数学运用例1：某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如下图：(1)写出X 的正态密度函数；(2)求成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？(3)求成绩X 位于区间(]68,60的概率是多少？例2：设随机变量X ～N (2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2)内取值的概率为0.2，试求：(1)X 在(0,4)内取值的概率；(2)P (X >4)．五、学生练习：课堂小测试一张 六、总结反思。
2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.5 几个常用的分布 Word版含解析
8．2.5几个常用的分布[读教材·填要点]1．两点分布B(1，p)如果X只取值0或1，概率分布是P(X＝1)＝p，P(X＝0)＝1－p，p∈(0,1)，就称X服从两点分布，记作X～B(1，p)．2．二项分布B(n，p)设某试验成功的概率为p，p∈(0,1)，将该试验独立重复n次，用X表示试验成功的次数，则X有概率分布：P(X＝k)＝C k n p k q n－k，k＝0,1,2，…，n，其中q＝1－p，这时，我们称X服从二项分布，记作X～B(n，p)．3．超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列X 01…mP C0M C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．[小问题·大思维]1．在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互有影响吗？提示：在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互间无影响．因为每次试验是在相同条件下独立进行的．2．二项分布与两点分布的关系是什么？提示：二项分布是指n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率分布列，需要在相同条件下做n次试验，两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布．两者的含义不同，将两点分布的试验进行n次，恰好发生k次的概率分布就成了二项分布．两点分布[例1] 已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X 表示抽取的2件产品中的次品数，求X 的分布列．[解] 由题意知，X 服从两点分布，P (X ＝0)＝C 2199C 2200＝99100，所以P (X ＝1)＝1－99100＝1100.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 P991001100两点分布的4个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；(3)由互斥事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))；(4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．1．袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红，求X 的概率分布．解：显然X 服从两点分布， P (X ＝0)＝C 26C 211＝311.∴P (X ＝1)＝1－311＝811，∴X 的概率分布为：X 0 1 P311811二项分布[例2] 局中获胜的概率为23，且各局胜负相互独立．已知比赛中，乙赢了第一局比赛．(1)求甲获胜的概率；(用分数作答)(2)设比赛总的局数为X ，求X 的概率分布． [解] (1)甲获胜的概率P ＝⎝⎛⎭⎫233＋C 13·13·⎝⎛⎭⎫233＝1627. (2)由题意知，X ＝3,4,5 P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫132＝19，P (X ＝4)＝⎝⎛⎭⎫233＋C 12·23·⎝⎛⎭⎫132＝49， P (X ＝5)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＋C 13·13·⎝⎛⎭⎫233＝49. ∴X 的概率分布为：X 3 4 5 P194949二项分布中“X ＝k ”表示在n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次，其特点是：①一次试验中只有两种可能结果；②事件在每次观察中出现的概率相等；③随机变量X 只取有限个实数．2．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为34.某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X 的分布列．解：由题意可知：X ～B ⎝⎛⎭⎫3，34， 所以P (X ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫34k ·⎝⎛⎭⎫143－k ， k ＝0,1,2,3.即P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎫340×⎝⎛⎭⎫143＝164； P (X ＝1)＝C 13×34×⎝⎛⎭⎫142＝964； P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎫342×14＝2764； P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎫343＝2764.分布列为X 0 1 2 3 P16496427642764超几何分布[例3] 名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．[解] 设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为4960.(2)依据条件，随机变量X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝4，n ＝3，且随机变量X 的可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3)．所以随机变量X 的分布列是X 0 1 2 3 P1612310130求解超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．(2)在超几何分布公式中P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }．这里N 是产品总数，M 是产品中次品数，n 是抽样的样品数．(3)如果随机变量X 服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X 的所有取值．(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．3．袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得0分，从袋中任取4个球．(1)求得分X 的分布列． (2)求得分不小于6分的概率． 解：(1)从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红共四种情况，分别得分为2分，4分，6分，8分，故X 的可能取值为2,4,6,8.P (X ＝2)＝C 14C 33C 47＝435；P (X ＝4)＝C 24C 23C 47＝1835；P (X ＝6)＝C 34C 13C 47＝1235；P (X ＝8)＝C 44C 03C 47＝135.所以X 的分布列为X 2 4 6 8 P43518351235135(2)由(1)中分布列得P (X ≥6)＝P (X ＝6)＋P (X ＝8)＝1335.解题高手妙解题有10台都为7.5千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12 min ，问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？(保留两位有效数字)[尝试] [巧思] 由于每台机床正常工作的概率为1260＝0.2，而且每台机床都只有“工作”与“不工作”两种情况，故某一时刻正常工作的机床台数服从二项分布．[妙解] 设X 为某一时刻正常工作的机床的台数，则X ～B (10,0.2)，P (X ＝k )＝C k 10·0.2k ·0.810－k (k ＝0,1,2，…，10)，根据题意，48千瓦可供6台机床同时工作，用电超过48千瓦，即意味着有7台或7台以上的机床在工作，这一事件的概率为：P (X ≥7)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10)＝C 710×0.27×0.83＋C 810×0.28×0.82＋C 910×0.29×0.81＋C 1010×0.210×0.80≈0.000 86.1．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X B ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC ．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，取出白球，0，取出红球D ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X解析：选A A 中随机变量X 的取值有6个，不服从两点分布，故选A. 2．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58D.716解析：选A P (X ＝3)＝C 36×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫123＝516. 3．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C A ，P (X ＝2)＝C 27C 88C 1015；B ，P (X ≤2)＝P (X ＝2)≠C 47C 68C 1015；C ，P (X ＝4)＝C 47C 68C 1015；D ，P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)>C 47C 68C 1015.4．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确的序号是__________________(写出所有正确结论的序号)．解析：①正确；恰好击中目标3次的概率为C 34×0.93×0.1，故②错；由于“至少击中目标1次”的对立事件为“一次都未击中目标”，故③正确．答案：①③5．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．解析：由题知C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，即4(1－p )≤6p .∴p ≥0.4.又0＜p ＜1，∴0.4≤p ＜1. 答案：[0.4,1)6．学校组织一次夏令营活动，有8名同学参加，其中5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学被抽到．求：(1)X 的分布列；(2)去执行任务的同学中有男有女的概率．解：(1)X 服从超几何分布，其中，N ＝8，M ＝5，n ＝3，X 可取0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 33C 38＝156，P (X ＝1)＝C 15C 23C 38＝1556， P (X ＝2)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝3)＝C 35C 38＝528，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P15615561528528(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1556＋1528＝4556.一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 描述一次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12D.23解析：选B 设P (X ＝1)＝p ，则P (X ＝0)＝1－p .依题意知，p ＝2(1－p )，解得p ＝23.故P (X ＝0)＝1－p ＝13.2．从4双不同的鞋中任取4只，设ξ表示取出的鞋中成双的对数，则P (ξ≤1)＝( ) A.2735 B.45 C.67D.3235解析：选D 由已知，可得ξ的所有可能取值为0,1,2，P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝C 12C 12C 12C 12C 48＋C 14C 23C 12C 12C 48＝3235，故选D. 3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则下列概率中等于C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112的是( ) A ．P (X ＝0) B ．P (X ≤2) C ．P (X ＝1)D ．P (X ＝2)解析：选C X 服从超几何分布，当X ＝1时，即从甲袋中取出白球乙袋中取出红球和甲袋中取出红球，乙中取出白球即为C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112. 4．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.则质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为( )A.⎝⎛⎭⎫125B ．C 25⎝⎛⎭⎫125 C ．C 35⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 解析：选B 质点每次只能向上或向右移动，且概率均为12，所以移动5次可看成做了5次独立重复试验．质点P 移动5次后位于点(2,3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C 25⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫123＝C 25⎝⎛⎭⎫125. 二、填空题5．下列说法正确的是________．①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )；③从装有5红5白的袋中，有放回的摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12. 解析：①、②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回的摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．答案：①②6．设X ～B (2，p )，若P (X ≥1)＝59，则p ＝________.解析：∵X ～B (2，p )，∴P (X ＝k )＝C k 2p k (1－p )2－k ，k ＝0,1,2.∴P (X ≥1)＝1－P (X ＜1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02p 0(1－p )2＝1－(1－p )2.∴1－(1－p )2＝59.结合0≤p ≤1，解之得p ＝13.答案：137．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为________．解析：由题意知X 服从超几何分布，代入超几何分布概率公式有P (X ＝k )＝C k 3·C 2－k2C 25(k＝0,1,2)．答案：8________．解析：P (正面次数大于反面次数)＝P (4正2反)＋P (5正1反)＋P (6正) ＝C 46⎝⎛⎭⎫124·⎝⎛⎭⎫122＋C 56⎝⎛⎭⎫125·⎝⎛⎭⎫121＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132.答案：1132三、解答题9．已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子．假定某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的；如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．(1)第一小组做了3次试验，求至少两次试验成功的概率；(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败，且恰有两次连续失败的概率．解：(1)第一小组做了3次试验，至少两次试验成功的概率为C 23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫1－13＋C 33×⎝⎛⎭⎫133＝727. (2)第二小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中3次成功、3次失败，且恰有两次连续失败，其各种可能情况的种数为A 24＝12.因此所求的概率为12×⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫233×13＝32729. 10．为了掌握高二年级学生参加《普通高中信息技术学业水平测试》的备考情况，学校信息技术老师准备对报名参加考试的所有学生进行一次模拟测试，模拟测试时学生需要在10道备选试题中随机抽取5道试题作答，答对5道题时测试成绩为A 等(即优秀)，答对4道题时测试成绩为B 等(即良好)，答对3道题时测试成绩为C 等(即及格)，答对3道题以下(不包括答对3道题)时测试成绩为D 等(即不及格)，成绩为D 等的同学必须参加辅导并补考．如果考生张小明只会答这10道备选试题中的6道题，设张小明同学从10道备选试题中随机抽取5道作答时，不会答的题数为随机变量X ，求：(1)随机变量X 的分布列；(2)求张小明同学需要参加补考的概率．解：(1)在10道备选试题中随机抽取5道试题作答时，其中不会答的题数可能是0,1,2,3,4道，即随机变量X 的所有取值是0,1,2,3,4，其中N ＝10，M ＝4，n ＝5，根据超几何分布概率公式，得P (X ＝0)＝C 04C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 14C 46C 510＝521，P (X ＝2)＝C 24C 36C 510＝1021， P (X ＝3)＝C 34C 26C 510＝521，P (X ＝4)＝C 44C 16C 510＝142.∴随机变量X的分布列为：(2)需要参加补考，说明张小明同学从10道备选试题中随机抽取5道试题作答时，有3道试题或者4道试题答不出来，所以张小明同学在这次测试中需要参加补考的概率是P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝521＋142＝1142.。
2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.2.6 离散型随机变量的数学期望 Word版含解析
8．2.6 离散型随机变量的数学期望[读教材·填要点]1．离散型随机变量X 的数学期望当离散型随机变量X 有概率分布p i ＝P (X ＝x j )，j ＝0,1，…，n ，就称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为X 的数学期望或均值．如果X 是从某个总体中随机抽取的个体，X 的数学期望E (X )就是总体均值μ. 2．数学期望的有关公式(1)若Y ＝aX ＋b ，a ，b 为常数，则E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； (2)当X 服从两点分布B (1，p )时，E (X )＝p ； (3)当X 服从二项分布B (n ，p )时，E (X )＝np ； (4)当X 服从超几何分布H (N ，M ，n )时，E (X )＝n MN.[小问题·大思维]1．随机变量X 的均值E (X )是一个常数还是一个变量？提示：随机变量X 是可变的，可以取不同的值，而数学期望(或均值)是不变的，它描述X 取值的平均水平，由X 的分布列唯一确定．2．若c 为常数，则E (c )为何值？提示：由离散型随机变量的均值的性质E (aX ＋b )＝aE (X )＋b 可知，若a ＝0，则E (b )＝b ，即若c 为常数，则E (c )＝c .3．E (X )与X 的单位是否一致？提示：E (X )表示随机变量X 的平均值，因此E (X )与X 的单位是一致的．[例1]位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (1)顾客所获的奖励额为60元的概率； (2)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； [解]设顾客所获的奖励额为X .(1)依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.(2)依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为 E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)．解决此类问题的一般步骤为：①明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果； ②求出随机变量取各个值的概率； ③列出概率分布； ④利用均值公式进行计算．1．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14. (2)X 的所有可能值为0,1,2，且P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝35⎝⎛⎭⎫或E (X )＝3×210＝35. 2．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求一次投篮时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望． 解：(1)投篮一次，命中次数X 的概率分布为：则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)． 则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.[例2](1)求m 的值； (2)求E (X )；(3)若Y ＝2X －3，求E (Y )． [解](1)由随机变量概率分布的性质， 14＋13＋15＋m ＋120＝1，解得m ＝16. (2)E (X )＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(3)法一：由公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，得E (Y )＝E (2X －3)＝2E (X )－3＝2×⎝⎛⎭⎫－1730－3＝－6215. 法二：由于Y ＝2X －3， 所以Y 的概率分布为：所以E (Y )＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.保持例题条件不变，若Y ＝aX ＋3，且E (Y )＝－112，求a 的值．解：E (Y )＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－1730a ＋3＝－112，∴a ＝15.求均值的关键是求出概率分布，只要求出随机变量的概率分布，就可以套用均值的公式求解，对于aX ＋b 型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX ＋b 的概率分布，再用定义求解．3．随机变量X 可能取的值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又X 的数学期望E (X )＝3，求E (aX ＋b )的值．解：由已知得(a ×1＋b )＋(a ×2＋b )＋(a ×3＋b )＋(a ×4＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1.① 又E (X )＝3，故(a ＋b )×1＋(2a ＋b )×2＋(3a ＋b )×3＋(4a ＋b )×4＝3，即30a ＋10b ＝3.②联立①，②，解得b ＝0，a ＝110， ∴E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝110E (X )＝110×3＝0.3.[例3]期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润．(1)求事件A “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求Y 的分布列及均值E (Y )．[解](1)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P (A )＝(1－0.4)3＝0.216， P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784.(2)Y 的可能取值为200元，250元，300元． P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2， 因此Y 的分布列为E (Y )＝200×0.4＋250×处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并求出随机变量的概率分布，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．4．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值． 解：(1)设5发子弹命中X (X ＝0,1,2,3,4,5)发， 则由题意有P (X ＝5)＝C 55⎝⎛⎭⎫125＝132. (2)X 的分布列为设游客在一次游戏中获得奖金为Y 元， 于是Y 的分布列为故该游客在一次游戏中获得奖金的均值为E(Y)＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元).万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的均匀值) [尝试][巧思]用数学期望确定三种预防方案哪种使用总费用最少，分别求出单独采用甲措施，单独采用乙措施，联合采用甲乙措施的总费用，然后选取最小者即可．[妙解]①不采取预防措施时，总费用损失期望值为400×0.3＝120(万元)；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)．③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失均匀值为400×0.15＝60(万元)，所以总费用30＋60＝90(万元)．④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用45＋30＝75(万元)，发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，损失均值为400×0.015＝6(万元)，所示总费用为75＋6＝81(万元)．综合①②③④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．1．随机变量次品数X 的概率分布为：则E (5X ＋4)等于( )A ．13B ．11C ．2.2D ．2.3 解析：选AE (X )＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×1.8＋4＝13.2．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X 的期望为( )A.13B.23C ．2 D.83 解析：选D X ＝2,3.P (X ＝2)＝1C 23＝13，P ＝(X ＝3)＝C 12C 23＝23.∴E (X )＝2×13＋3×23＝83.3．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为( ) A ．0.8 B ．0.83 C ．3D ．2.4 解析：选D 射手独立射击3次中靶次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.8)，∴E (X )＝3×0.8＝2.4.4．某人共有5发子弹，他射击一次命中目标的概率为12，击中目标射击停止，射击次数X 为随机变量，则E (X )＝________.解析：由题易知，X 的概率分布为：可知E (X )＝1×12＋2×14＋3×18＋4×116＋5×116＝3116.答案：31165.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125B.65C.168125D.75解析：选B 由题意X 可取0,1,2,3，且P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125.故E (X )＝54125＋2×36125＋3×8125＝65. 6．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望． 解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，C ＝A ∪B ， P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.8. (2)D ＝C －，P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2， X ～B (100,0.2)，即X 服从二项分布， 所以期望E (X )＝100×0.2＝20.一、选择题1．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13.且E (X )＝15，则E (Y )等于( ) A ．5 B ．10 C ．15D ．20解析：选B 因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E (X )＝n 2， 又E (X )＝15，则n ＝30.所以Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13， 故E (Y )＝30×13＝10.2．已知随机变量X 的概率分布为：E (X )＝7.5，则a 等于( A ．5B ．6C ．7D ．8 解析：选C ∵E (X )＝4×0.3＋0.1×a ＋9b ＋2＝7.5， 0．3＋0.1＋b ＋0.2＝1，∴a ＝7，b ＝0.4.3．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X 表示取出的红球数，则E (X )为( )A.6135B.127C.2235D.1835解析：选B 随机变量X 的取值分别为0,1,2,3，且P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，P (X ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 37＝435，∴E (X )＝0×135＋1×1235＋2×1835＋3×435＝127. 4．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X (束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是( )A ．706元 C ．754元D ．720元解析：选A 节日期间这种鲜花需求量的均值为E (X )＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．设利润为Y ，则Y ＝5X ＋1.6(500－X )－500×2.5 ＝3.4X －450，所以E (Y )＝3.4E (X )－450＝3.4×340－450＝706(元)． 二、填空题5．若随机变量X ～B (40，p )，且E (X )＝16，则p ＝________. 解析：∵E (X )＝16，∴40p ＝16，∴p ＝0.4. 答案：0.46．同时抛掷2枚均匀的硬币100次，设两枚硬币都出现正面的次数为X ，则E (X )＝________.解析：掷两枚均匀的硬币，两枚硬币都出现正面的概率为p ＝12×12＝14，所以X ～B ⎝⎛⎭⎫100，14. 故E (X )＝np ＝100×14＝25.答案：257．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：∵P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，∴p ＝12，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎫122＋2×13×⎝⎛⎭⎫122＝13，P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎫122×2＋13×⎝⎛⎭⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎫122＝16，因此E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：538．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X ，则X 的数学期望是________．解析：X 的取值为6,9,12，相应的概率为P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8. 答案：7.8 三、解答题9．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解：(1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13. 所以事件A 发生的概率为13. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1. 10．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解：(1)记“每一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110， P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－110－310＝6 10.故X的分布列为E(X)＝200×110＋300×310＋400×610＝350.。
2019年数学新同步湘教版选修2-3讲义+精练：第8章 8.3 正态分布曲线 Word版含解析
8.3正态分布曲线[读教材·填要点]1．正态曲线及其特点(1)正态曲线的概念：函数p (x )＝12πσe－(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称p (x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③p (x )在x ＝μ处达到最大值12πσ； ④当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；⑤当μ一定时，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡； ⑥曲线与x 轴之间所夹的面积等于1. 2．标准正态分布随机变量X 为服务从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)． 特别当μ＝0，σ2＝1时称为标准正态分布，其密度函数记为φ(x )＝12πe－x 22(－∞<x <＋∞)，其图象如图所示，简记为X ～N (0,1)，其分布函数记为Φ(x )．(3)正态分布在三个特殊区间内取值的概率． P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝68.3%； P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝95.4%；P (μ－3σ<x ≤μ＋3σ)＝99.7%.[小问题·大思维]1．正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E (X )去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本方差D (X )去估计．2．如何由正态曲线求随机变量X 在(a ，b ]的概率值？提示：随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈⎠⎛a bφμ，σ(x )d x ，即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率近似值，如图所示．3．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ2)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示．则μ1与μ2，σ1与σ2的大小关系是什么？提示：根据正态分布曲线的性质：正态分布曲线是一条关于x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．故μ1<μ2，σ1<σ2.也可通过比较两图象的最高点来判断，⎝⎛⎭⎫μ1，1σ12π和⎝⎛⎭⎫μ2，1σ22π，显然有μ1<μ2，1σ22π>1σ22π， ∴σ1<σ2.[甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，。
高中数学湘教版选修2-3正态分布曲线
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的 顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为总体密度 曲线．
一、正态曲线
y
O
x
1 , x e 2
x 2
2 2
, x ,
其中实数和(>0)为参数. ,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线。
例 1:某商场经营的某种包装的大米质量（单位 :kg） 例 1:某商场经营的某种包装的大米质量（单位 :kg） 2 例 （ 单位 :kg ） 例 1: 1:某商场经营的某种包装的大米质量 某商场经营的某种包装的大米质量 （ 单位 :kg ） 服从正态分布 , 任选一袋这种大米 , N (10,0.12 ) 服从正态分布 N (10,0.1 ) , 任选一袋这种大米 , 2 2 ) , 任选一袋这种大米 , 服从正态分布 (10,0.1 服从正态分布 N N (10,0.1 ) , 任选一袋这种大米 , (1) 质量在区间 (9.8,10.2] , 概率是多少？ (1) 质量在区间 (9.8,10.2] , 概率是多少？ (1) (1) 质量在区间 质量在区间 (9.8,10.2] 概率是多少？ (9.8,10.2] ,,概率是多少？ (2) 质量在区间 (10,10.2] , 概率是多少？ (2) 质量在区间 (10,10.2] , 概率是多少？ (2) 质量在区间 ,,概率是多少？ (10,10.2] (2) 质量在区间 概率是多少？ (10,10.2] P ( 2 X 2 ) 0.9544
)
B．0.158 7 D．0.158 5
(2)设随机变量ξ服从正态分布 N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c
高中数学8.3正态分布曲线同步精练湘教版选修2-3
是对称的．
∵区间 ( － 3，－ 1) 和区间 (3,5) 关于直线 x＝1 对称，∴正态分布的数学期望就是 1.
7. 答案： (24.94,25.06) 解析： 正态总体 N(25,0.03 2) 在区间 (25 －2×0.03,25 ＋ 2×0.03) 取值的概率在 95%以上，故该
厂生产的零件尺寸允许值范围为 (24.94,25.06) ．
等于 ( ) ．
D．
C．
B． 2
A． 10
4．已知一次考试共有 60 名同学参加，考生的成绩
可以是任意实数 X～ N(110,5 2) ，据此估计，大约应有 57 人
的分数在下列哪个区间内 ( ) ．
D
．
C． (100,120]
B． (95,125]
A．(90,110]
5 ．已知随机变量
ξ 服从正态分布
μ1＜ μ2，σ1＜ σ2，故选 A．
2. 答案： A
解析： 由正态分布曲线的性质知 P(0 ≤ ξ≤2) ＝ 0.4 ，∴ P( － 2≤ξ≤2) ＝ 0.8 ，∴ P( ξ＞ 2) ＝
(1 － 0.8) ＝ 0.1 ，故选 A．
3. 答案： B
解析： 由于 ξ 的取值落在 ( －∞， k) 和 ( k，＋∞ ) 内的概率是相等的，所以正态曲线在直线
≈4( 人 ) ．
4/4
0.683,0.954,0.997. 由于一共有 60 人参加考试，所以成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.683 ≈41( 人),60 ×0.954 ≈57( 人),60 ×0.997 ≈60( 人 ) ．
5. 答案：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC
解析： ∵ P( ξ＞ 2) ＝ 0.023 ，∴ P( ξ＜－ 2) ＝ 0.023 ，
-学年高二数学湘教版选修2-2：第8章8.3知能演练轻松闯关
1.设随机变量ξ～N (2，2)，则D (ξ)的值为( )A ．1B ．2C.12D ．4解析：选B.∵ξ～N (2，2)，∴D (ξ)＝2.2.(2012·秀山调研)如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是( )A ．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B ．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C ．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D ．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3解析：选D.当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f (x )＝12πe －x 22在x ＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”，故选D.3.(2012·永川检测)若随机变量X 的密度函数为f (x )＝12πe －x 22，X 在(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p 1、p 2，则p 1、p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定解析：选C.由题意知μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，所以p 1＝p 2.4.设随机变量ξ服从标准正态分布，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 的值为________． 解析：c ＋1与c －1关于ξ＝0对称，∴c ＋1＋c －12＝0，∴c ＝0. 答案：0一、选择题1.(2012·巫山调研)在标准正态分布中，其随机变量的数学期望与方差分别为( )A ．0，0B ．1，0C ．0，1D ．1，1解析：选C.标准正态分布，n ＝0，σ＝1.2.某测量值X 服从标准正态分布，对于x 0，则Φ(x 0)＋Φ(－x 0)＝( )A ．0 B.12πC ．2Φ(x 0)D ．1答案：D3.在某标准正态分布中，对于某量a ≥0，则Φ(a )与Φ(－a )的大小( )A ．Φ(a )＞(－a )B ．Φ(a )＜Φ(－a )C ．Φ(a )≥Φ(－a )D ．Φ(a )≤Φ(－a )解析：选C.当a ＝0时，Φ(a )＝Φ(－a )＝12.当a ＞0时，Φ(a )＞Φ(－a )． 4.在某测量随机变量的标准正态中，有( )A ．P (－1＜x ＜1)＞P (0＜x ＜2)B ．P (0＜x ＜1)＝P (1＜x ＜2)C ．P (0＜x ＜2)＜P (5＜x ＜8)D ．P (x ＜－1)＞P (x ＞1)解析：选A.根据标准正态曲线的对称性及Φ(a )的意义，表示P (x ＜a )．5.设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，已知P (ξ<－1.96)＝0.025，则P (|ξ|<1.96)＝( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975解析：选C.ξ服从正态分布N (0，1)，则P (ξ<1.96)＝1－P (ξ≤－1.96)，从而P (|ξ|<1.96)＝P (－1.96<ξ<1.96)＝P (ξ<1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.6.(2012·梁平质检)设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，若P (ξ>1)＝p ，则P (－1<ξ<0)＝( ) A.12＋p B.12－p C ．1－2pD ．1－p解析：选B.P (－1<ξ<0)＝12P (－1<ξ<1) ＝12[1－2P (ξ>1)]＝12－P (ξ>1)＝12－p . 二、填空题7.在标准正态分布中，若P (x ＜a )＝0.5，则a ＝________．解析：标准正态分布关于y 轴对称，P (x ＜0)＝0.5.答案：08.若随机变量X 服从数学期望值μ，标准差是σ的正态分布，当X ＝________时，正态曲线达到最大值．解析：正态曲线关于μ对称，当X ＝μ时有最大值．答案：μ9.在标准正态分布Φ(x )＝12πe －x 22中，若P (x ＜3)＝0.9987，则P (－3＜x ＜0)＝________． 解析：P (x ＞3)＝1－P (x ＜3)＝1－0.9987＝0.0013，∴P (x ＜－3)＝P (x ＞3)＝0.0013.又P (x ＜0)＝0.5.P (－3＜x ＜0)＝P (x ＜0)－P (x ＜－3)＝0.5－0.0013＝0.4987.答案：0.4987三、解答题10.(2012·涪陵质检)对于正态分布曲线Φ(x )＝12πe －x 22，若Φ(1.5)＝0.9332，Φ(2)＝0.9772. (1)求P (－1.5＜x ＜1.5)；(2)求P (－1.5＜x ＜2)；(3)求P (－2＜x ＜－1. 5)．解：(1)∵Φ(1.5)＋Φ(－1.5)＝1，∴Φ(－1.5)＝1－Φ(1.5)，P (－1.5＜x ＜1.5)＝Φ(1.5)－Φ(－1.5)＝Φ(1.5)－(1－Φ(1.5))＝2Φ(1.5)－1＝2×0.9332－1＝0.8664.(2)P (－1.5＜x ＜2)＝Φ(2)－Φ(－1.5)＝Φ(2)－1＋Φ(1.5)＝0.9772＋0.9332－1＝0.9104.(3)P (－2＜x ＜－1.5)＝P (1.5＜x ＜2)＝Φ(2)－Φ(0.5)＝0.9772－0.9332＝0.0440.11.对直径等于1 cm 的圆测量的周长是x ，设测量的标准差是σ，要使P (|x －μ|≤0.0353)＝0.95，其标准差的最小值是多少？解：根据定理在正态分布中P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －M |σ≤1.96＝0.95， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x －M |σ≤1.96＝{|x －M |≤1.96σ}， ∴0.0353≤1.96σ，∴σ≥0.018 (cm)，∴标准差σ的最小值为0.018 cm.12.(创新题)一次数学考试中，某班学生的分数X 服从正态分布，全班的平均分为μ＝110.(1)当全班分数的标准差为10时，计算|x －110|≤19.6的概率；(2)当全班学生的分数标准差为20时，计算P (70.8≤x ≤149.2)．解：根据定理P ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －μ|σ≤1.96＝0.95， (1)当σ＝10，μ＝110时，|x －110|≤19.6，即|x －μ|10≤1.96，∴P ⎝⎛⎭⎫|x －110|10≤1.96＝0.95. (2)70.8≤X ≤149.2，∴－39.2≤X －110≤39.2，即|x －110|20≤1.96也是|x －M |σ≤1.96. ∴P (70.8≤X ≤149.2)＝0.95.。
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8.3正态分布曲线[读教材·填要点]1．正态曲线及其特点(1)正态曲线的概念：函数p (x )＝12πσe ，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称p (x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点轴不相交；x 上方，与轴x 曲线位于① 对称；μ＝x 曲线是单峰的，它关于直线②③p (x )在x ＝μ处达到最大值12πσ；平移；轴x 的变化而沿μ一定时，曲线随着σ当④⑤当μ一定时，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；.1轴之间所夹的面积等于x 曲线与⑥2．标准正态分布)．2σ，μ(N ～X 的正态分布，简记为2σ和μ为服务从参数为X 随机变量e 12π)＝x (φ其密度函数记为时称为标准正态分布，＝12σ＝0，μ特别当(－∞<x <＋∞)，其图象如图所示，简记为X ～N (0,1)，其分布函数记为Φ(x )．(3)正态分布在三个特殊区间内取值的概率．P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝68.3%； P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝95.4%； P (μ－3σ<x ≤μ＋3σ)＝99.7%.[小问题·大思维] 1．正态曲线φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义是什么？提示：参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E (X )去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本方差D (X )去估计． 2．如何由正态曲线求随机变量X 在(a ，b ]的概率值？提示：随机变量X落在区间(a ，b ]的概率为P (a ＜X ≤b )≈⎠⎛abφμ，σ(x )d x ，即由正态曲线，过点(a,0)和(b,0)的两条x 轴的垂线，及x 轴所围成的平面图形的面积，就是随机变量X 落在区间(a ，b ]的概率近似值，如图所示．3．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ2)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示．则μ1与μ2，σ1与σ2的大小关系是什么？提示：根据正态分布曲线的性质：正态分布曲线是一条关于x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．故μ1<μ2，σ1<σ2.也可通过比较两图象的最高点来判断，⎝⎛⎭⎫μ1，1σ12π和⎝⎛⎭⎫μ2，1σ22π， 显然有μ1<μ2，1σ22π>1σ22π，∴σ1<σ2.[例1](由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体的平均数最小C ．乙科总体的标准差及平均数都居中D ．甲、乙、丙的总体的平均数不相同[解析] 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知σ越大， 正态曲线越扁平；σ越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.[答案]A利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π，由此性质结合图象可求σ.(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．1．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π，求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y 轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是142π，所以12π·σ＝142π，解得σ＝4.故函数的解析式为φμ，σ(x )＝142π·e，x ∈(－∞，＋∞)．[例2]设X ～N (1,22(1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)． [解]因为X ～N (1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 7. (2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3<X ≤－1)，所以P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)]＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.正态变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ), P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解转化：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b<μ，则P(X<b)＝错误!.2．已知随机变量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，则P(a≤X<4－a)＝________.解析：由正态分布图象的对称性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.答案：0.363．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4<X≤8)．解：(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)．∵P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.(2)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5.[例3]若随机变量X(1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；(3)P(0.51<X≤3.2)；(4)P(X≤－2.1)．[解](1)P(X≤1.26)＝0.896 2.(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.896 2＝0.103 8.(3)P(0.51<X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.884 9－0.695 0＝0.189 9.(4)P(X≤－2.1)＝P(X≥2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.要求随机变量X在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及特殊概率的值进行转化求值即可．4．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，求P(－2≤X≤2)．解：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(X>2)＝0.023，所以P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.5．已知X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＝0.2，求P(X≤4)．解：由正态分布知识，因为X～N(3，σ2)，所以P(X≤3)＝0.5，P(X≤2)＝0.2＝P(X>4)，所以P(X≤4)＝1－P(X>4)＝1－0.2＝0.8.件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？[尝试][巧思]要判断这批零件是否合格，由假设检验的基本思想可知，关键是看随机抽查的一件零件的外直径是在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，还是在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外．若该零件的外直径在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之间，则认为该厂这批零件是合格的，否则，就认为该厂这批零件是不合格的．[妙解]由于圆柱形零件的外直径ε～N (4,0.25)， 由正态分布的特征可知，正态分布N (4,0.25)在区间 (4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.0026，而5.7∉(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．1．正态分布密度函数为φμ，σ(x )＝18πe，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是( ) A ．0和8B ．0和4C ．0和2D ．0和2解析：选C 由条件可知μ＝0，σ＝2.2．右图是当X 取三个不同值X 1，X 2，X 3的三种正态曲线N (0，σ2)的图像，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>1>σ2>σ3>0B ．0<σ1<σ2<1<σ3C ．σ1>σ2>1>σ3>0D ．0<σ1<σ2＝1<σ3解析：选D当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f (x )＝12π·e .在x ＝0时，取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.3．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X ＜4)＝0.8，则P (0＜X ＜2)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2解析：选C 正态曲线关于x ＝2对称，P (X ＜4)＝0.8，∴P (X >4)＝0.2，而P (X >4)＝P (X <0)，又P (X ＜2)＝0.5，∴P (0<X <2)＝P (X <2)－P (X <0)＝0.5－0.2＝0.3.4．若随机变量x ～N (μ，σ2)，则P (x ≤μ)＝________.解析：由于随机变量x ～N (μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x ＝μ对称，故P (x ≤μ)＝12.答案：125．设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4<X ≤8)＝0.3，则P (X <0)＝________.解析：∵P (4<X ≤8)＝0.3，∴P (0≤X <4)＝0.3.∴P (X <0)＝1－0.3－0.32＝0.2.答案：0.26．已知X ～N (1,4)，求X 落在(－∞，3)内的概率．解：由题意知μ＝1，σ＝2，∴P (－1<X ≤3)＝P (1－2<X ≤1＋2)＝68.3%.由正态曲线的对称性，可知P (X >3)＝12×(1－0.683)＝0.158 5，∴在(－∞，3)内取值的概率为1－0.158 5＝0.841 5.一、选择题1．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝( )A ．0.158 8B ．0.158 7C ．0.158 6D ．0.158 5解析：选B 正态曲线关于μ＝3对称，P (X >4)＝1－0.682 62＝0.158 7.2．设随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，若P (X >c )＝a ，则P (X >4－c )等于( )A ．aB ．1－aC ．2aD ．1－2a 解析：选B 因为X 服从正态分布N (2，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (X >4－c )＝P (X <c )＝1－P (X >c )＝1－a .3．若随机变量X ～N (2,100)，若X 落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10C. 2D ．可以是任意实数解析：选A由于X 的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2，∴k ＝2.4．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：选B 由正态分布的概率公式知P (－3<ξ<3)＝0.682 6， P (－6<ξ<6)＝0.954 4， 故P (3<ξ<6)＝错误!＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.二、填空题5．某市有48000名学生，一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，从理论上讲，在80分到90分之间有________人．解析：设X 表示该市学生的数学成绩，则X ～N (80,102)，则P (80－10<X ≤80＋10)＝0.683.所以在80分到90分之间的人数为48 000×12×0.683＝16 392(人)．答案：16 3926.右图是三个正态分布X ～N (0，0.25)，Y ～N (0,1)，Z ～N (0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：①②③7．若随机变量X 服从正态分布N (0,1)，已知P (X ＜－1.96)＝0.025，则P (|X |＜1.96)＝________.解析：由随机变量X 服从正态分布N (0,1)，得P (X ＜1.96)＝1－P (X ≤－1.96)．所以P (|X |＜1.96)＝P (－1.96＜X ＜1.96)＝P (X ＜1.96)－P (X ≤－1.96)＝1－2P (X ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.答案：0.9508．若随机变量X 的正态分布密度函数是φμ，σ(x )＝122π×e (x ∈R)，则E (2X －1)＝________.解析：由题知σ＝2，μ＝－2，故E (2X －1)＝2E (X )－1＝2×(－2)－1＝－5.答案：－5 三、解答题9．工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N ⎝⎛⎭⎫4，19，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？解：∵X ～N ⎝⎛⎭⎫4，19，∴μ＝4，σ＝13.∴不属于区间(3,5)的概率为P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3＜X ＜5)＝1－P (4－1＜X ＜4＋1) ＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝1－99.7%＝0.3%.∴1 000×0.003＝3(个)．即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．10．若随机变量X ～N (0,1)，查表求： (1)P (0<X ≤2.31)；(2)P (1.38≤x <0)；(3)P (|X |<0.5)．解：(1)P (0<X ≤2.31)＝P (X ≤2.31)－P (X ≤0)＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P(－1.38≤X<0)＝P(0<X≤1.38)＝P(X≤1.38)－P(X≤0)＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P(|X|<0.5)＝P(－0.5<X<0.5)＝P(－0.5<X≤0)＋P(0<X<0.5)＝2P(0<X<0.5)＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)]＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。